Geheugensteuntje - Wiki

4) Stabiliteit:
a) f(x) = 1 + 2x - 1/(1+x)
Opmerkingen:
1/(1+ε) = 1-ε
Termen O(εi) (i > 1)
verwaarlozen want zeer klein.
eval1:
y = [(1 + 2x(1 + ε1))(1+ ε2) - ([1/((1+x)(1+ε3))]*(1+ε4))](1+ε5)
= [(1+2x+2xε1)(1+ε2) - 1/(1+x) - ε4/(1+x) + ε3/(1+x)] (1+ε5)
= 1+2x -1/(1+x) + 2xε1 + ε2(1 + 2x) - ε4/(1+x) + ε3/(1+x) + ε5(1+2x-1/(1+x))
= y + 2xε1 + ε2 (1+ 2x) + ε3(1/(1+x)) - ε4/(1+x) + ε5y
|Δsy| = | y- y|
= |-2xε1-ε2(1+2x)-ε3(1/(1+x)) + ε4/(1+x) -ε5y|
≤ |-2xεmach - εmach(1+2x) -εmach(1/(1+x)) + εmach/(1+x) - εmachy|
|δsy| = |(y - y)/y|
= |ε1(2x/y) + ε2 (1+ 2x)/y + ε3(1/(y(1+x))) - ε4/(y(1+x)) + ε5 |
≤ εmach [|2x/y| + |(1+2x)/y| + 2/(|1+x||y|) + 1]
Nu,
y = 1 + 2x - 1/(1+x)
= (1+2x)(1+x)-1 (1+x)
= 1 + 3x + 2x2 -1 (1+x)
= x*(3+2x) (1+x)
Dus
|δsy| ≤ εmach [|(2(1+x))/(3+2x)| + |((1+2x)(1+x))/(x*(3+2x)) | + 2/|x*(3+2x)| + 1]
Besluit:
eval1 is instabiel voor x ≈ 0
|δsy| >> |δky| (ligt aan volgorde)
eval1 is (voorwaarts) stabiel voor x ≈ -3/2
|δsy| ≈ |δky| (groot)
(ligt aan probleem zelf)
eval1 is stabiel voor x ≈ -1
|δsy| ≤ 3εmach