Geheugensteuntje - Wiki

Oefening 3:
Stel: g(x) goed gekonditioneerd
stabiel algo om g(x) te evalueren.
T.B.: g'(x) = (g(x+h) - g(x))/h (met h --> 0 i/d limiet)
is onstabiel algo.
Uitwerking: (k ∈ |N; y = g'(x))
g(x) = g(x)*(1 + k*ε1)
g(x+h) = g(x+h)*(1 + k*ε2)
g'(x) = (g(x+h)(1+kε2) - g(x)(1+kε1))*(1+ε3)*(1+ε4)
h
= [g(x+h) - g(x)]*(1+ε3 + ε4)
h
+ k*[g(x+h)*ε2 - g(x)*ε1](1 + ε3 + ε4)
h
Oefening 4:
|Δsy| = |y*(ε3+ε4)+k*([g(x+h)*ε2-g(x)*ε1]/h)(1+ε3+ ε4)|
≤ |2εmach*y + kεmachy)| ≈ εmach*|(k+2)y|
|δsy| = |(ε3+ε4)+ k*([g(x+h)*ε2-g(x)*ε1]/(h*y))|
≤ 2εmach + k* |[ε2g(x+h) - ε1g(x)]/[h*y]|
≤ 2εmach + k* (|ε2g(x+h)| + |ε1g(x)|)/|h*y|
≤ 2εmach + k*εmach (|g(x+h)| + |g(x)|)/|h*y|
≤ 2εmach + k*εmach (|g(x+h)| + |g(x)|)/|g(x+h)-g(x)|
Instabiel als h --> 0 (|g(x+h)-g(x)| --> 0)
Instabiel als |g'(x)| --> 0 (Noemer = h*g'(x))
Instabiel als g(x) --> 0 (Noemer --> 0)
1) Gevaarlijke aftrekking voor x ≈ 0.
√(x+1) - 1 = [(√(x+1) - 1)(√(x+1) + 1)]/(√(x+1)+1)
= [(x + 1) - 1] / (√(x+1)+1)
= x/(√(x+1)+1)
2) Gevaarlijke aftrekking voor x ≈ y
(sin(x) ≈ sin(y))
Als sin(x) ≈ sin(y), maar x ≠ y, dan:
sin(x) - sin(y) = 2cos((x+y)/2)sin((x-y)/2)
(Sin is een periodische functie, dus bv. x = π en y = 3π
hebben dezelfde sin, maar (x - y) is geen gevaarlijke aftrekking).
Herschrijven zoals hieronder kan, maar matlab geeft dezelfde resultaten voor het
originele algoritme en het herschreven algo.
sin(x) - sin(y) = [sin(x)-sin(y)][sin(x)+sin(y)] [sin(x) + sin(y)]
= sin2(x) - sin2(y) [sin(x) + sin(y)]
= sin2(x) - (1 - cos2(y)) [sin(x) + sin(y)]
= sin2(x) + cos2(y) - 1 [sin(x) + sin(y)]