TWIST E R - Studievereniging TWIST

More documents

Recommendations

Info

24 . Milan Lopuhaä Intuïtionisme De logica speelt een belangrijke rol in de taalwetenschap. Menselijk redeneren speelt zich immers af in taal, en het is de taak van de logica om een model en formalisatie te geven van dit soort redeneren. Het belangrijkste model hiervoor is die van de klassieke logica, die bijvoorbeeld aan deze universiteit bij filosofie en wiskunde gedoceerd wordt. Dit is echter niet de enige soort logica die er bestaat. In dit artikel zal ik een andere vorm van logica beschrijven, de intuïtionistische logica, tezamen met de wiskunde waaruit hij is voortgekomen. In de volgende <strong>TWIST</strong>ER zal ik uiteenzetten wat voor gevolgen het gebruik van deze logica heeft op de taalwetenschap. Voordat ik het intuïtionisme uitleg, is het handig om te beginnen met de klassieke wiskunde, waarop dit een tegenreactie vormt. De klassieke wiskunde gaat uit van de (klassieke) logica, die zegt hoe uitspraken uit andere afgeleid kunnen worden. Een voorbeeld hiervoor is de wellicht bekende modus ponens: deze zegt dat als een bewering A waar is, en je weet dat de uitpraak “Als A, dan B” waar is (vaak genoteerd als A → B), dan mag je concluderen dat B waar is. Dit klinkt als een trivialiteit, en dat is het ook, maar de logica is ervoor om als wiskundige gemeenschap precies af te kunnen spreken welke redeneermethoden je toestaat en welke niet. Naast deze logische regels zijn er een aantal axiomata, of basisbeginselen, van waaruit men de theorie opbouwt. De meeste wiskundigen gebruiken hiervoor tegenwoordig het axiomastelsel van Zermelo en Fraenkel, dat uit het begin van deze eeuw stamt, samen met het keuzeaxioma. Met behulp van deze axiomata kunnen er dan dingen bewezen worden over de eigenschappen van verzamelingen, en vanuit daar ook over andere wiskundige begrippen. De Nederlandse wiskundige Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966) keerde zich tegen dit idee. Wiskunde in zijn idee niet iets wat onafhankelijk van zijn beoefenaars bestaat op grond van de logica, maar een mentale constructie die zich afspeelt in het hoofd van een (geïdealiseerde) wiskundige. De logica is dan een taal die gebruikt kan worden om over deze wiskunde te praten. In tegentelling tot de klassieke wiskundigen vond Brouwer dus dat de logica niet ten grondslag lag aan de wiskunde, maar andersom. Deze opvatting heeft een aantal belangrijke gevolgen. In de klassieke opvatting is de wiskunde een object dat onafhankelijk van zijn beoefenaars bestaat, en dat deze bepaalde eigenschappen heeft die slechts ontdekt kunnen worden. Omdat de intuïtionistische wiskunde een mentale contructie is, heeft deze pas eigenschappen zodra deze eigenschappen aangetoond zijn. In het bijzonder is een uitspraak pas waar als
hij bewezen is, en een uitspraak is onwaar als bewezen is dat hij niet waar kan zijn. Er is dus een verschil tussen een bewering die niet waar is, en een bewering die onwaar is! Van de eerste heeft men niet aangetoond dat hij waar is, en van de tweede is aangetoond dat hij niet waar kan zijn. Door deze sterke interpretatie van de ontkenning is voor sommige beweringen P de uitspraak “Of P is waar, of P is onwaar” niet waar. Een voorbeeld voor zo’n uitspraak zal ik nu geven. Zoals misschien bekend is π = 3, 1415... een irrationaal getal, dat wil zeggen, de decimalen herhalen zich nooit. Het is echter niet bekend of er ooit ergens achter de komma een rij van 99 negens achter elkaar komt. Stel nu dat het wel voorkomt, dan kijken we naar de eerste keer dat we 99 negens tegenkomen in de decimalen van π, en dan noemen we K het gehele getal waarvoor geldt dat de eerste van die negens op de K-de plek achter de komma staat; dus de K-de tot en met de (K + 98) e decimaal van π zijn allemaal 9. Als zo’n getal niet bestaat, dan definiëren we K = ∞. Definieer nu een rij gehele getallen a1, a2, a3, . . . als volgt: Voor elk geheel getal n zeggen we dat geldt an = 0 als geldt n < K, en anders geldt an = 1. Oftewel, de rij a1, a2, . . . is de hele tijd 0, totdat we K bereiken (als dat ooit gebeurt), en vanaf dat punt is de rij constant 1. Beschouw nu de uitspraak P die luidt: “Er is een geheel getal n zodanig dat an = 1,” of, zoals wiskundigen liever zien, P = (∃n ∈ N)[an = 1], en kijk naar de uitspraak “P is waar of P is onwaar.” Intuïtionisten interpreteren het symbool ∃ (‘er is een...’) ook sterk, dat wil zeggen, als je zegt dat er een x bestaat met een bepaalde eigenschap, dan bedoel je daarmee dat je zo’n x ook daadwerkelijk kan vinden met behulp van een algoritme. Dus als de uitspraak P waar zou zijn, dan zouden we een n kunnen vinden met an = 1; maar dan weten we dat K ≤ n, en door alle decimalen van π tot en met de n uit te rekenen kunnen we K dan vinden. Aangezien we dit niet kunnen, is P dus niet waar. Aan de andere kant, als P onwaar is, dan moet voor alle n gelden dat an = 0, maar dan geldt dus K = ∞, en dat betekent dat er nergens 99 negens in de decimalen van π achter elkaar voorkomen. Dit kunnen we ook niet bewijzen, dus de bewering “P is onwaar” is ook niet waar, volgen een intuïtionist. Aangezien P en “P is onwaar” allebei niet waar zijn, is de bewering “P is waar of P is onwaar” niet waar voor een intuïtionist, aangezien het woord “of” ook sterk wordt geïnterpreteerd: Een bewering “A of B” is pas waar als je weet dat A waar is, of als je weet dat B waar is. Een belangrijk gevolg van deze sterke interpretaties van verschillende logische woorden is dat bewijzen uit het ongerijmde niet meer toegestaan zijn. Dit soort bewijzen gaan als volgt: als je een bewering P wilt bewijzen, begin je door aan te nemen dat P onwaar is, en vervolgens kijk je of je daar onzin uit af kan leiden. Aangezien on- 25
Page 1 and 2: . TWISTE najaar 2012 R
Page 3 and 4: . Woord van de voorzitter Mijn alle
Page 5 and 6: Secretaris: Lisa Steenkamer Ik ben
Page 7 and 8: . Verslag TWeekend Marton Bax, Tess
Page 9 and 10: . Alain Corbeau Taalkronkels: Angui
Page 11 and 12: The patient was referred to a psych
Page 13 and 14: van Italië op de knieën te dwinge
Page 15 and 16: De Berber maandnamen, die allemaal
Page 17 and 18: . Mark Oosterbaan Recensie van een
Page 19 and 20: dige naamwoorden kunnen veranderen
Page 21 and 22: . Alain Corbeau Fachtagung, confere
Page 23: . Quotes “Simplicity can make you
Page 27: . Voor- en achterwaartse agenda 30

TWIST E R - Studievereniging TWIST

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?