TWIST E R - Studievereniging TWIST

hij bewezen is, en een uitspraak is onwaar als bewezen is dat hij niet waar kan zijn. Er
is dus een verschil tussen een bewering die niet waar is, en een bewering die onwaar
is! Van de eerste heeft men niet aangetoond dat hij waar is, en van de tweede is aangetoond
dat hij niet waar kan zijn. Door deze sterke interpretatie van de ontkenning
is voor sommige beweringen P de uitspraak “Of P is waar, of P is onwaar” niet waar.
Een voorbeeld voor zo’n uitspraak zal ik nu geven. Zoals misschien bekend is π =
3, 1415... een irrationaal getal, dat wil zeggen, de decimalen herhalen zich nooit. Het
is echter niet bekend of er ooit ergens achter de komma een rij van 99 negens achter
elkaar komt. Stel nu dat het wel voorkomt, dan kijken we naar de eerste keer dat we
99 negens tegenkomen in de decimalen van π, en dan noemen we K het gehele getal
waarvoor geldt dat de eerste van die negens op de K-de plek achter de komma staat;
dus de K-de tot en met de (K + 98) e decimaal van π zijn allemaal 9. Als zo’n getal
niet bestaat, dan definiëren we K = ∞.
Definieer nu een rij gehele getallen a1, a2, a3, . . . als volgt: Voor elk geheel getal n
zeggen we dat geldt an = 0 als geldt n < K, en anders geldt an = 1. Oftewel, de rij
a1, a2, . . . is de hele tijd 0, totdat we K bereiken (als dat ooit gebeurt), en vanaf dat
punt is de rij constant 1.
Beschouw nu de uitspraak P die luidt: “Er is een geheel getal n zodanig dat an = 1,”
of, zoals wiskundigen liever zien, P = (∃n ∈ N)[an = 1], en kijk naar de uitspraak
“P is waar of P is onwaar.” Intuïtionisten interpreteren het symbool ∃ (‘er is een...’)
ook sterk, dat wil zeggen, als je zegt dat er een x bestaat met een bepaalde eigenschap,
dan bedoel je daarmee dat je zo’n x ook daadwerkelijk kan vinden met behulp van
een algoritme. Dus als de uitspraak P waar zou zijn, dan zouden we een n kunnen
vinden met an = 1; maar dan weten we dat K ≤ n, en door alle decimalen van π tot
en met de n uit te rekenen kunnen we K dan vinden. Aangezien we dit niet kunnen,
is P dus niet waar.
Aan de andere kant, als P onwaar is, dan moet voor alle n gelden dat an = 0, maar
dan geldt dus K = ∞, en dat betekent dat er nergens 99 negens in de decimalen van
π achter elkaar voorkomen. Dit kunnen we ook niet bewijzen, dus de bewering “P
is onwaar” is ook niet waar, volgen een intuïtionist. Aangezien P en “P is onwaar”
allebei niet waar zijn, is de bewering “P is waar of P is onwaar” niet waar voor een
intuïtionist, aangezien het woord “of” ook sterk wordt geïnterpreteerd: Een bewering
“A of B” is pas waar als je weet dat A waar is, of als je weet dat B waar is.
Een belangrijk gevolg van deze sterke interpretaties van verschillende logische woorden
is dat bewijzen uit het ongerijmde niet meer toegestaan zijn. Dit soort bewijzen
gaan als volgt: als je een bewering P wilt bewijzen, begin je door aan te nemen dat
P onwaar is, en vervolgens kijk je of je daar onzin uit af kan leiden. Aangezien on-
25