Download Thesis in Pdf Format

3.2. Unitaire groepen: enkele definities 14
dan unitaire transformaties Û, en de symmetriegroep G een unitaire groep U(n), waarbij n
de dimensie van de groep is. Een transformatie Û is een unitaire transformatie als en slechts
als:
Û † = Û −1 , of
ÛÛ† = Û † Û = ˆ1 . (3.1)
Generatoren.
Een unitaire operatie kan steeds als een faseverandering geschreven worden:
Û(θ) = e − i θ· ˆX . (3.2)
Hier is θ een reële parameter die aangeeft in welke mate de symmetrie inwerkt op het systeem
(bv. een hoek bij rotatie, de afstand waarover verschoven wordt bij translatie), en ˆX de
generator. Indien θ op een continue manier evolueert, noemt men de symmetriegroep continu
en spreekt men van een Lie-groep. In deze thesis wordt steeds met Lie-groepen gewerkt.
Meestal is er meer dan één parameter en ook meer dan één generator. θ · ˆX wordt dan
geïnterpreteerd als het scalair product van twee vectoren θ en ˆX, met als componenten de
verschillende mogelijke parameters θ i en generatoren ˆX i . Deze generatoren zijn Hermitisch.
Dit volgt uit de unitariteit van de symmetrie-operatoren:
ÛÛ† = e − i θ· ˆXe i θ· ˆX †
= e − i θ·( ˆX− ˆX † )
= ˆ1 , dus:
ˆX † = ˆX . (3.3)
De generatoren vormen een Lie-algebra van de groep:
[ ˆX i , ˆX j ] = ∑ k
iC ijk ˆXk . (3.4)
De coëfficiënten C ijk worden de structuurconstanten van de groep genoemd.
Representaties en multipletten. Een systeem met Hamiltoniaan Ĥ is invariant onder
een symmetrietransformatie Û indien de volgende commutatierelatie geldt:
[Ĥ, Û] = 0 , of dus
[Ĥ, ˆX] = 0 . (3.5)
De Hilbertruimte wordt onder een symmetriegroep U(n) opgedeeld in invariante subruimtes.
Binnen zo een subruimte transformeert elke toestandsvector onder Û in een lineaire combinatie
van toestanden uit deze subruimte. Zij {|k〉} een basis voor de eigentoestanden van de
Hamiltoniaan Ĥ in de subruimte, dan wil dit zeggen:
Û(θ)|k〉 = ∑ l
D(θ) kl |l〉 ,
〈l|Û(θ)|k〉 = D(θ) kl . (3.6)