Download Thesis in Pdf Format

3.4. Classificatiemethodes 26
De multipletten worden er voorgesteld door Young-Tableaux.
Beschouw een toestand van 2 deeltjes ψ(., .), waarin het eerste deeltje steeds op de eerste
plaats komt en het tweede op de tweede plaats (conventie). Onderstel dat de deeltjes identiek
zijn, en in twee mogelijke toestanden of coördinaten kunnen verkeren (spin, plaats, ...), die we
weergeven met een cijfercode: 1 en 2. Indien de totale toestand ψ(1, 2) is, dan kunnen we niets
zeggen over de symmetrie van deze toestand onder verwisseling van de deeltjescoördinaten.
Maar dat geldt wel voor de volgende toestanden:
ψ s = ψ(1, 2) + ψ(2, 1) , die een symmetrische toestand is, en (3.37)
ψ a = ψ(1, 2) − ψ(2, 1) , die een antisymmetrische toestand is. (3.38)
Om een toestand met een bepaalde symmetrie te bekomen is het dus noodzakelijk een lineaire
combinatie te maken van coördinatenpermutaties van de oorspronkelijke toestand. De symmetrische
en de antisymmetrische toestand kunnen ook weergegeven worden m.b.v. Young-
Tableaux (YT):
ψ s = , ψ a = . (3.39)
Een box stelt een deeltje voor, een k-deeltjestoestand is dus een YT met k boxen. In een
box kan de toestand van het deeltje dat overeenkomt met de box weergegeven worden met
de cijfercode (1, 2, ..., n). Een symmetrische toestand is altijd een horizontale rij, een antisymmetrische
steeds verticaal. Een grillig YT heeft een gemengde symmetrie. Een YT kan
ook worden weergegeven door (q 1 , q 2 , q 3 , ..., q k ), met q i het aantal boxen van de i-de rij. Er
wordt per conventie verondersteld dat q i ≥ q i+1 . Meestal is de notatie dan (p 1 , p 2 , p 3 , ...),
met p i = q i − q i+1 . De ééndeeltjestoestanden 1 tot n moeten bovendien voldoen aan de
Standaardvorm:
• in een rij kan een toestandsgetal van links naar rechts stijgen of gelijk blijven, en
• in een kolom moet het toestandsgetal van boven naar onder steeds stijgen.
Deze vorm kan ook fysisch geïnterpreteerd worden: er bestaat een symmetrische tweedeeltjestoestand
waarin de twee ééndeeltjestoestanden dezelfde zijn, maar er bestaat geen antisymmetrische
tweedeeltjestoestand waarin de twee ééndeeltjestoestanden dezelfde zijn.
Dimensie van een Young-Tableau
Een lege boxencombinatie met k boxen stelt een irreduciebele representatie voor van k deeltjes.
Indien we daarin de toestanden 1 tot n invullen volgens de Standaardvorm, en de mogelijke
YT’s tellen, bekomen we de dimensie van deze representatie in SU(n).
Willen we bijvoorbeeld de multipletten van een systeem met drie spin 1 2-deeltjes bepalen,
dus de YT’s met drie boxen en twee mogelijke toestanden (1, 2), dan zijn er drie diagrammen
mogelijk:
, en . (3.40)