Download Thesis in Pdf Format

3.3. Unitaire groepen in de fysica van de elementaire deeltjes 16
[Ver].
Speciale unitaire groepen. Elke unitaire groep U(n) kan met behulp van de groepsvermenigvuldiging
geschreven worden als [LYOPR]:
U(n) = U(1) × SU(n) , (3.12)
met SU(n) de groep van de speciale unitaire matrices, namelijk deze met determinant gelijk
aan 1 of de unimodulaire matrices. We kunnen dus even goed de U(1)-symmetrie en de SU(n)-
symmetrie apart beschouwen. Unimodulariteit impliceert dat de generatoren spoorloos zijn
(T r( ˆX) = 0). Immers, det Û(θ) = det e− i θ· ˆX = e − i θT r( ˆX) = 1. De Lie-groep SU(n) wordt
beschreven door n 2 − 1 parameters, daar we een extra voorwaarde hebben opgelegd. De rang
van SU(n) is altijd gelijk aan n − 1 [GM94].
3.3 Unitaire groepen in de fysica van de elementaire deeltjes
3.3.1 U(1), de symmetriegroep van de lading en het baryongetal
De eenvoudigste transformatie is een globale faseverandering. Deze komt overeen met een
ééndimensionale exponentiële functie en dus een U(1)-transformatie:
ψ(x) → ψ ′ (x) = Û(θ)ψ(x)
= e − i θX ψ(x) , (3.13)
met X, de generator, een reële constante. Indien het beschouwde systeem invariant is onder
inwerking van deze transformatie spreken we over een U(1)-symmetrie. Van een Lie-algebra
kan in dit geval geen sprake zijn, daar er slechts n 2 = 1 generator is, en ook niet van eventuele
multipletten en fundamentele representaties. Voorbeelden van een U(1)-symmetrie zijn: behoud
van elektrische lading, behoud van leptongetal en behoud van baryongetal. Deze wetten
gelden voor alle tot nu toe bekende processen, zonder één enkele uitzondering. Het behoud
van totale elektrische lading van een gesloten systeem kan worden afgeleid uit de elektrische
neutraliteit van macroscopische materie. Het baryongetal B van een deeltje is, zoals besproken
in Hoofdstuk 2: B = 1 3
(#q − #q). Voor elke generatie van leptonen wordt een leptongetal
L e,µ,τ = 1 gedefinieerd, met L e,µ,τ = −1 voor hun antideeltjes. Het totale leptongetal per
soort is dan een behouden grootheid.
3.3.2 SU(2), de symmetriegroep van de spin en de isospin
SU(2) beschrijft onder meer de spin Ŝ, het impulsmoment ˆL en het angulair moment Ĵ = ˆL+Ŝ.
Belangrijk voor ons is ook de isospin ˆT (up- en downquark behoren tot een isospinoublet), die
ook een SU(2)-groep vormt en dus op een volkomen analoge manier beschreven kan worden
als de spin.
De generatoren
SU(2) wordt gegenereerd door n 2 − 1 = 3 parameters die geassocieerd kunnen worden met
de 3 reële componenten van een vector θ. De generatoren, 3 lineair onafhankelijke spoorloze