Download Thesis in Pdf Format

3.3. Unitaire groepen in de fysica van de elementaire deeltjes 24
quark u d s u d s
ˆQ
2
3
− 1 3
− 1 3
− 2 3
1
3
1
3
Tabel 3.3: Ladingstabel van de quarks.
één isospinmultiplet zijn de massa’s nagenoeg dezelfde, maar toestanden met verschillende hyperlading
hebben een significant verschillende massa. De SU(3)-smaaksymmetrie is gebroken
omwille van de verschillende massa van de constituenten: terwijl de up- en de down-quark
beide een constituente quarkmassa van ongeveer 300 MeV/c 2 hebben, is de strange-quark
de helft zwaarder met een constituente massa van ongeveer 450 MeV/c 2 . Voor de SU(3)-
kleursymmetrie treedt uiteraard geen symmetriebreking op - dit is een exacte symmetrie.
De Clebsch-Gordan-coëfficiënten van SU(3)
We beschouwden in paragraaf 3.3.2 de SU(2) Clebsch-Gordan-reeks. Voor SU(3) geldt opnieuw
de relatie (3.21), alleen zijn de SU(3) Clebsch-Gordan-coëfficiënten verschillend van
deze voor SU(2).
Voor een SU(3)-koppeling moet naast de SU(2)-isospin ook de hyperlading Y in rekening
gebracht worden. De intermediaire toestanden zijn dus ψ tt3 y en ψ t ′ t ′ 3 y′, zó dat y + y′ =
Y . Er moet dan ook gesommeerd worden over alle intermediaire toestanden met y en y ′
die aan deze voorwaarde voldoen, met de aangepaste SU(3)-Clebsch-Gordan-coëfficiënten.
Bovendien moet er rekening gehouden worden met de correcte irreduciebele representaties
(α). De kwantumgetallen Y en T 3 bepalen immers enkel de toestand binnen een multiplet,
niet het multiplet zelf. We bekomen zo:
ψ α T T 3 Y = ∑ t,t ′
∑ ∑
(α 1 tt 3 y, α 2 t ′ t ′ 3y ′ |αT T 3 Y )ψ α 1
tt 3 y ψα 2
. (3.34)
t ′ t ′
t 3 , t ′ 3 y, y ′
3 y′
}{{} }{{}
T 3 Y
De SU(3)-Clebsch-Gordan-coëfficiënten (α 1 tt 3 y, α 2 t ′ t ′ 3 y′ |αT T 3 Y ) kunnen gefactoriseerd worden
in een isoscalaire factor en een SU(2)-Clebsch-Gordan-coëfficiënt [DS63]:
(α 1 tt 3 y, α 2 t ′ t ′ 3y ′ |αT T 3 Y ) = (α 1 ty, α 2 t ′ y ′ |αT Y )(tt 3 , t ′ t ′ 3|T T 3 ) . (3.35)
De isoscalaire factoren zijn onafhankelijk van de derde component van de isospin, wat hun
benaming verklaart. Hun waarde staat genoteerd in tabellen, zoals [DS63] en [Kae95], of kan
berekend worden met behulp van een computerprogramma, zoals [KH95]. De SU(2)-Clebsch-
Gordan-coëfficiënten kunnen ook berekend worden [Hey] of gehaald uit bestaande tabellen,
zoals bijvoorbeeld de Particle Data Group ze aanbiedt [Ee04].
3.3.4 SU(6) ⊃ SU(2) × SU(3), een combinatie van spin en smaak
Tot nu toe werd enkel de smaak van de quarks in rekening gebracht. Om een realistisch model
te verkrijgen, dienen echter alle interne vrijheidsgraden (spin, kleur, ...) beschouwd te worden.
Indien we dus een stap verder gaan en ook rekening houden met de quarkspin, zijn er in plaats