Faktor 3 grunnbok kapittel 1-4 - Cappelen Damm

Espen Hjardar
Jan-Erik Pedersen
Illustratør: Line Jerner
Faktor
3
Grunnbok
Bokmål

# J.W. Cappelens Forlag AS, Oslo 2007
Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med
J.W. Cappelens Forlag AS er enhver eksemplarframstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den
utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for
rettighetshavere til åndsverk.
Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes
med bøter eller fengsel.
Faktor 1–3 følger læreplanene for Kunnskapsløftet i faget matematikk og er lagd til bruk på grunnskolens
ungdomstrinn.
Illustratør: Line Jerner
Omslagsdesign: Line Jerner
Omslagsillustrasjon: Line Jerner
Grafisk formgiving: Jakob Thyness
Ombrekking: PrePress AS
Forlagsredaktør: Espen Skovdahl
Trykk og innbinding: AIT Trykk Otta AS, 2006
Utgave 1
Opplag 1
ISBN 978-82-02-25298-4
www.cappelen.no
http://faktor.cappelen.no
Fotografier
GVPress: #Christian Darkin/SPL s. 10, #Science photo library s. 59, #Javier Larrea s. 81, #J. D. Dallet s. 81,
#Conner, Gary s. 81, #Superstock s. 85, #Superstock s. 88, #3LH-Fine Art s. 89, #Science Photo
Library s. 90, #SPL s. 91, #Leonardo Diaz Romero s. 91, #Dr. Kari Lounatmaa s. 123, #Carles
Campsolinas s. 145, #Mehau Kulyk s. 213, #Chris Mattison s. 288
Samfoto: #Tom Schandy/NN s. 72, 227, 255, #Ove Bergersen/NN s. 72, #Tore Wuttudal/NN s. 72, 91, 92,
#Espen Bratlie s. 202, 204, #Bård Løken/NN s. 232
SCANPIX: #Stefano Bianchetti/Corbis s. 39, 278, #Klaus Hackenberg/Zefa/Corbis s. 48, #Bettmann/
Corbis s. 68, 258, #Visuals Unlimited/Corbis s. 71, #Car Culture/Corbis S. 84, #Stian Lysberg Solum/
SCANPIX s. 90, #Paul Seheult/Eye Ubiquitous/Corbis s. 90, #Hanan Isachar/Corbis s. 90, #John
Heseltine/Corbis s. 91, #Steven Vidler/Eurasia Press/Corbis s. 92, #O. Haug/A-foto/SCANPIX s. 136,
#Richard Hamilton Smith/Corbis s. 151, #Blue Lantern Studio/Corbis s. 176, #Rykoff Collection/
Corbis s. 194, #Lou Wall/Corbis s. 198, #Rune Hellestad/Corbis s. 212, #Frans Lanting/Corbis s. 228,
#Cornelius Poppe/SCANPIX s. 254, #Simon Fowler/Capital Pictures/SCANPIX s. 270, #Will &Deni
McIntyre/Corbis s. 282, #Andres Kudacki/Corbis s. 284, #Stephen Frink/Corbis s. 291, #Free Agents
Limited/Corbis s. 292, #Eric Gaillard/Reuters/Corbis s. 293,
#Palazzo Pubblico, Siena, Italia/The Bridgeman Art Library s. 88, #Private Collection/Photo/
Christie’s Images/The Bridgeman Art Library s. 88, #1–images.no s. 92, #Espen Hjardar s. 152,
#Arild Bakkland s. 275

Innledning
Velkommen til Faktor 3. Dette er den tredje av i alt tre grunnbøker du skal
bruke på ungdomstrinnet. Til hver grunnbok hører det en oppgavebok.
Her ser du ungdommene
som følger deg gjennom
alle bøkene.
Fra venstre:
Sara, Simen, Hanna, Herman,
Lotte og Martin
Kapitlene i grunnboka
er delt inn i fire deler:
Lærestoff og oppgaver
Prøv deg selv
Noe å lure på
Oppsummering
Noen av oppgavene er merket med disse symbolene:
Kalkulator
Regneark
Finn ut
Utfordrende oppgave
I oppgaveboka finner du oppgaver i tre vanskelighetsgrader og
repetisjonsoppgaver til hvert kapittel.
Kategori 1
Kategori 2
Kategori 3
Litt av hvert
Bakerst i boka finner du Digital manual for arbeid med kalkulator
og regneark.
Vi håper du får glede av arbeidet med Faktor!
Hilsen Espen Hjardar og Jan-Erik Pedersen
Innledning 3

Innhold
1 Tall og algebra ..........................6
Tallsystemer .....................................8
Problemløsing ................................12
Proporsjoner...................................19
Regning med variabler ..................23
Prøv deg selv ..................................36
Noe å lure på .................................38
Oppsummering ...............................40
2 Geometri og beregninger .......42
Pytagoras-setningen ......................44
Spesielle trekanter .........................49
Konstruksjon og beregning...........54
Formlikhet og kongruens..............64
Kongruensavbildninger..................71
Perspektivtegning ..........................84
Geometri i teknologi, kunst
og arkitektur .............................89
Prøv deg selv ..................................95
Noe å lure på .................................99
Oppsummering ............................. 100
3 Funksjoner..............................104
Funksjoner i dagliglivet ...............106
Lineære funksjoner ......................111
Grafen til kvadratiske
funksjoner ...............................119
Proporsjonale størrelser...............124
Omvendt proporsjonale
størrelser..................................129
Prøv deg selv ................................ 133
Noe å lure på ...............................135
Oppsummering ............................. 137
4 Likninger og ulikheter...........140
Å løse likninger ............................142
Problemløsing og likninger .........149
Grafisk løsing av likninger ...........153
To likninger med to ukjente .......157
Ulikheter.......................................165
Omforming av formler.................170
Prøv deg selv ................................ 173
Noe å lure på ...............................175
Oppsummering ............................. 177
5 Romgeometri og
massetetthet...........................180
Rett prisme og sylinder ...............182
Volumet til en pyramide .............187
Volumet til en kjegle ...................190
Volumet og arealet av
overflaten til en kule ..............195
Massetetthet ................................199
Bruk av formler til
problemløsing.........................206
Prøv deg selv ................................ 210
Noe å lure på ...............................213
Oppsummering ............................. 215
Innhold
4

6 Statistikk, kombinatorikk
og sannsynlighet ...................218
Statistiske undersøkelser .............220
Feilkilder i statistikk .....................225
Tolking av linjediagram ...............230
Kombinatorikk..............................233
Sannsynlighet ved én eller
flere hendelser ........................240
Forsøk og simulering...................245
Vanlige feil i sannsynlighetsregning....................................250
Prøv deg selv ................................ 254
Noe å lure på ...............................257
Oppsummering ............................. 259
7 Økonomi .................................262
Lønn og skatt...............................264
Lån................................................271
Forsikringer ..................................277
Budsjett og regnskap ..................279
Valuta ...........................................283
Prøv deg selv ................................ 290
Noe å lure på ...............................293
Oppsummering ............................. 295
Digital manual ............................296
Kalkulatoren .................................297
Regneark ......................................300
Fasit .............................................333
Stikkord .......................................364
Innhold 5

Avstanden til sola
er 3 10 5 km.
Bakterien er
1,5 10 - 3 mm.

1
Tall og algebra
Vi kan skrive tall på forskjellige måter. Når tallene er svært
store eller svært små, er det vanlig å skrive dem på
standardform. Vi bruker potenser av 10 (10 3 ,10 2 ,10 1 ,
10 0 ,10 1 ,10 2 ,10 3 , osv.) når vi skriver tallene på den måten.
Mål
I dette kapitlet vil du få lære om
. tall i forskjellige posisjonssystemer
. store og små tall på standardform
. egenskaper ved spesielle tall
. proporsjoner
. variabeluttrykk med parenteser og brøk
Hva er forskjellen
på tallene

Tallsystemer
Jeg tror de to
tallene er like store.
Jeg er ikke sikker!
250 000 000
2,5 . 10 8
Hvordan skriver vi store og små tall på standardform
Titallssystemet
Vi kan skrive 250 000 000 på standardform. Da setter vi desimaltegnet
mellom det første og det andre sifferet og multipliserer med en tierpotens:
250 000 000 = 2,5 10 8
Tall og algebra
Vi har flyttet
desimaltegnet åtte
plasser til venstre.
8

Vi kan også skrive små tall på standardform. Vi ser først på disse
sammenhengene:
0,1 = 1 10 =10 1
0,01 = 1
100 = 1
10 2 =10 2
0,001 = 1
1000 = 1
10 3 =10 3
osv.
Den negative
eksponenten forteller oss hvor
mange plasser vi har flyttet
Det betyr at vi kan skrive
desimaltegnet!
for eksempel 0,0000025 slik:
0,0000025 = 2,5
6
= 2,5 10
106 Vi setter altså desimaltegnet
mellom den siste og den
nest siste desimalen og
dividerer med en tierpotens.
Det tallsystemet vi bruker – titallssystemet – er et plassverdisystem. Det betyr
at hvert siffer i et tall har en verdi som bestemmes av hvor sifferet er plassert.
HUNDRERE TIERE ENERE TIDELER HUNDREDELER
Vi sier at sifferet 4 har plassverdi hundre, sifferet 3 plassverdi ti, sifferet 5
plassverdi en, sifferet 8 plassverdi tidel og sifferet 7 plassverdi hundredel.
Husk! 10
Vi kan skrive tallet 435,87 på utvidet form:
1 =10
og 10 0 =1
435,87 = 4 100 + 3 10 + 5 1+8 0,1 + 7 0,01
Når vi bruker standardform med tierpotenser, blir det slik:
435,87 = 4 10 2 +3 10 1 +5 10 0 +8 10 1 +7 10 2
Tall og algebra 9

Regel
Vi skriver store tall på standardform ved å plassere desimaltegnet
mellom det første og det andre sifferet. Deretter multipliserer vi med en
tierpotens.
Vi skriver små tall som er mindre enn 1 på standardform ved å plassere
desimaltegnet mellom den siste og den nest siste desimalen. Deretter
multipliserer vi med en tierpotens med negativ eksponent.
Eksponenten i tierpotensen svarer til antallet plasser vi har flyttet
desimaltegnet.
Eksempel
Skriv tallene på standardform.
a) 29 000 000 b) 0,00034
Løsning
a) 29 000 000 = 2,9 10 7 b) 0,00034 = 3,4 10 4
Oppgaver
1.1 Skriv tallene på standardform.
a) 2500 c) 42 000 e) 270 000
b) 35 000 d) 120 000 f ) 1 300 000
Tall og algebra
1.2 Ammonitter var en gruppe blekkspruter som det fantes mange av for
ca. 200 millioner år siden.
Skriv 200 millioner på standardform.
Ammonitter
10

1.3 Skriv tallene på standardform.
a) 5 400 000 c) 2 050 000 e) 4 070 000
b) 103 000 d) 25 000 000 f) 9 060 000 000
1.4 Skriv tallene på standardform.
a) 0,05 c) 0,0008 e) 0,0085
b) 0,006 d) 0,00075 f) 0,00039
1.5 Regn ut og skriv svarene på standardform.
a) 500 4000
b) 2400 15000
c) 2 400 000 000 : 3000
d) 65 000 000 000 : 50
1.6 Skriv tallene på utvidet form.
a) 23 493 c) 4 003 129 e) 500 603
b) 102 784 d) 50 362 100 f) 1 030 406
1.7 Skriv tallene på vanlig måte.
a) 3 100 + 2 10 + 7 1
b) 5 1000 + 7 100 + 4 1
c) 5 10000 + 7 1000 + 4 10
d) 5 100000 + 7 10000 + 4 100 + 9 1
1.8 Skriv tallene på vanlig måte.
a) 3 10 2 +2 10 + 7 1+5 10 1
b) 5 10 3 +7 10 2 +4 10 1 +3 10 2
c) 5 10 4 +7 10 3 +4 10
d) 5 10 3 +7 10 2 +4 10 + 3 10 1 +2 10 2
1.9 Skriv tallene på vanlig måte.
a) 6 10 4 +7 10 3 +5 10 + 9 10 1
b) 2 10 3 +8 10 2 +5 1+9 10 1 +3 10 2
c) 5 10 3 +4 10 2 +1 1+7 10 1 +8 10 2 +2 10 3
d) 1 10 3 +7 10 2 +5 10 + 5 10 1 +9 10 2 +4 10 3 +7 10 4
1.10 Skriv tallene på utvidet form.
a) 483 c) 291,67 e) 7,938
b) 34,75 d) 29,273 f) 5,076
Tall og algebra 11

Totallssystemet
Databehandling i datamaskiner bygger på totallssystemet. Det er også et
plassverdisystem. Titallssystemet består av ti siffer, mens totallssystemet bare
har to siffer, 0 og 1.
Datamaskinen
bruker strøm og
totallssystemet for
å angi data!
Ja, «strøm» = 1
og «ikke strøm» = 0.
Verdien til hver sifferplass i titallssystemet er en potens av tallet 10, mens
verdien til hver sifferplass i totallssystemet er en potens av tallet 2.
Her ser du verdiene til de fem første posisjonene i totallssystemet:
Tall og algebra
Plassverdi Seksten Åtte Fire To Én
Potens av 2 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0
Et eksempel på et tall i totallssystemet er 11011 (én, én, null, én, én):
1 1 0 1 1
16 ð2 4 Þ 8 ð2 3 Þ 4 ð2 2 Þ 2 ð2 1 Þ 1 ð2 0 Þ
Vi ser at plassverdiene her er seksten, åtte, fire, to og én.
12

Tallet 11011 (én, én, null, én, én) i totallssystemet kan skrives i titallssystemet:
11011 = 1 2 4 +1 2 3 +0 2 2 +1 2 1 +1 2 0
=1 16 + 1 8+0 4+1 2+1 1
=16+8+0+2+1
=27
Tallet 11011 i totallssystemet er altså 27 i titallssystemet.
250 000 000
2,5 ∙ 108
Totallssystemet
kalles også det binære
tallsystem!
Eksempel
Skriv 10111 i totallssystemet som et tall i titallssystemet.
Løsning
10111 = 1 2 4 +0 2 3 +1 2 2 +1 2 1 +1 2 0
=16+0+4+2+1
=23
Tallet 10111 i totallssystemet er 23 i titallssystemet.
Tall og algebra 13

Oppgaver
1.11 Tallene nedenfor er skrevet i totallssystemet. Skriv tallene som tall i
titallssystemet.
a) 11 c) 101 e) 10101
b) 111 d) 1101 f) 110011
1.12 Tallene nedenfor er skrevet i totallssystemet. Skriv tallene som tall i
titallssystemet.
a) 1111 c) 110100 e) 110001
b) 1000 d) 1001 f) 111111
1.13 Skriv av og sett inn riktig tegn, >, < eller =, i de tomme rutene.
Tall i totallssystemet >, < eller = Tall i titallssystemet
10101 21
11011 24
1001 10
111111 111
1.14 Tallene nedenfor er skrevet i titallssystemet.
Skriv tallene i totallssystemet.
a) 7 c) 29
b) 13 d) 48
Tall og algebra
«Bi» betyr dobbelt,
det vil si to ganger.
14

Problemløsing
Du er tre
ganger så gammel som
søsteren din.
Jeg er også
ti år eldre enn henne!
Hvor gammel er Herman og søsteren hans
Hvis Herman er ti år eldre enn søsteren sin, kan han for eksempel være 11 år
og søsteren 1 år. Men han kan også være 12 år, mens søsteren er 2 år. Det er
flere muligheter:
Herman
Søsteren
11 år 1 år
12 år 2 år
13 år 3 år
14 år 4 år
15 år 5 år
16 år 6 år
Osv.
Hvis Herman samtidig skal være tre ganger så gammel som søsteren sin, må
vi se på tallene ovenfor i sammenheng med dette.
Tall og algebra 15

Søsterens alder
Ti år eldre enn søsteren
Tre ganger så gammel
som søsteren
1år 11 år 3 år
2år 12 år 6 år
3år 13 år 9 år
4år 14 år 12 år
5år 15 år 15 år
6år 16 år 18 år
7år 17 år 21 år
Vi ser her at hvis Herman er 15 år, er han både ti år eldre enn søsteren sin og
tre ganger så gammel som henne.
Vi kan også løse problemet
ved å sette opp en likning:
Søsterens
alder:
Ti år eldre
enn søsteren:
Tre ganger
så gammel
som søsteren:
x år (x + 10) år 3 x år
Ettersom Herman både skal være ti år eldre enn
og tre ganger så gammel som søsteren, får vi
denne likningen:
Hvordan kan vi
sette opp dette i et
regneark
Tall og algebra
x +10=3 x
Vi løser likningen slik:
x +10=3 x
10 = 3x -- x
10 = 2x
2x =10
x =5
Vi trekker fra x på begge sider.
Det betyr at søsteren er 5 år.
Vi ser at både 5 + 10 og 3 5 blir 15. Altså er Herman 15 år.
16

Eksempel
Simen har 40 kr mer enn Lotte. Det er samtidig dobbelt så mye som det
Lotte har.
Hvor mange kroner har Simen
Løsning
Vi løser oppgaven ved å sette opp en likning.
Lotte har: 40 kr mer enn Lotte: Dobbelt så mye som Lotte:
x kr (x + 40) kr 2 x kr
x +40=2 x
40 = 2x -- x
40 = x
x =40
Vi flytter x over til motsatt side
og skifter samtidig fortegn.
40 + 40 = 2 40 = 80
Simen har 80 kr.
Oppgaver
1.15 Sara har dobbelt så mange
kroner som Herman. Det
er 20 kr mer enn det
Herman har.
Hvor mange kroner har
Herman
1.16 Et tall er dobbelt så stort som et annet tall. Summen av de to tallene
er 45.
Hvilke to tall er det
Tall og algebra 17

1.17 Summen av to tall er 25. Differensen
mellom de samme to tallene er 5.
Hvilke to tall er det
ledd + ledd = sum
ledd – ledd = differanse
faktor faktor = produkt
dividend : divisor = kvotient
Husk dette!
1.18 Sara, Martin og Lotte skal dele 240 kr. Sara skal ha dobbelt så mye som
Martin. Lotte skal ha 10 kr mindre enn Sara.
Hvor mange kroner skal hver av dem ha
1.19 Et tall er 9 større enn et annet tall. Når du multipliserer det minste tallet
med 8 og det største tallet med 2, får du det samme produktet.
Hvilke to tall er det
Tall og algebra
1.20 Simen kjøper noen små pizzaer og noen store
pizzaer. En liten pizza koster 120 kr. En stor
pizza koster 160 kr. Simen betaler 920 kr
til sammen.
Hvor mange pizzaer kjøper han
Originale
Originale
Originale
Originale
Originale
Originale
Originale
Originale
Originale
Originale
Originale
Originale
Originale
Originale
18

Proporsjoner
Jeg skal bruke en
tredel av sparepengene
mine.
Jeg skal
bruke en firedel av mine
sparepenger.
Hvordan forklarer du at Herman og Lotte vil bruke like mye penger
En firedel av 1600 kr er
En tredel av 1200 kr er
Brøkene 1600
4
og 1200
3
Dette kan vi sette opp slik:
1600 kr
4
=
1200 kr
3
Uttrykket 1600
4
= 400 kr
= 1200
3
1600 kr
4
1200 kr
3
= 400 kr.
= 400 kr.
har samme verdi.
er en proporsjon.
En proporsjon er et uttrykk som viser at to forhold er like store.
Hvis ett av tallene i en proporsjon er ukjent, kan vi finne dette tallet ved å
løse proporsjonen som en likning.
Tall og algebra 19

Eksempel
Onkel Jens tjener 20 000 kr per måned. Han sparer
1
måned. Tante Monica sparer
25
mange kroner.
Hvor mye tjener tante Monica per måned
Løsning
Tante Monica tjener x kr.
Hun sparer x kr
25
Onkel Jens sparer
Proporsjonen blir:
per måned.
20 000 kr
20
1
av lønna hver
20
av lønna hver måned. De sparer like
per måned.
x 20 000
=
25 20
x 25
25
=
20 000 25
20
x = 25 000
Vi multipliserer alle ledd med 25.
Tante Monica tjener 25 000 kr per måned.
Tall og algebra
Oppgaver
1.21 Regn ut x i proporsjonene.
a) x 5 = 50 b) x 10 8 = 90 6
c) 250
10 = x
12
d) 2800
100 = x 8
20

1.22 Sara har 6000 kr i banken. Hun tar ut
en tredel av pengene. Simen tar ut en
firedel av de pengene han har i
banken. De tar ut like mange kroner.
Sett opp en proporsjon, og regn
ut hvor mange kroner Simen har
i banken.
1.23 En sementblanding består av 5 bøtter sement og 20 bøtter sand.
I en annen sementblanding, med samme blandingsforhold, er det
24 bøtter sand.
Sett opp en proporsjon, og regn ut hvor mange bøtter sement det er
i den andre blandingen.
1.24 Forholdet mellom de lengste og de korteste sidene i to formlike
rektangler er likt.
6 cm
4 cm
9 cm
Sett opp en proporsjon og regn ut hvor lang den korteste siden i det
minste rektangelet er.
Tall og algebra 21

1.25 På en skole er forholdet mellom antall jenter og antall gutter 5 : 4. Det
er 108 gutter på skolen.
Sett opp en proporsjon, og regn ut hvor mange jenter det er på skolen.
1.26 På et kart i målestokken 1 : 10 000 er det 9 cm mellom Hoppegropa og
Buldrefossen. På et annet kart er det 6 cm mellom de to stedene.
Sett opp en proporsjon, og regn ut hvilken målestokk det andre kartet
har.
Hoppegropa
Buldrefossen
Tall og algebra
22

Regning med variabler
2(x – 2y) – 2(x – y)
Hvordan kan Herman regne ut uttrykket på tavla
Når vi skal regne ut bokstavuttrykk med parenteser, må vi løse opp
parentesene først. Hvis det står et tall eller et bokstavuttrykk foran
parentesen, må vi multiplisere hvert ledd inne i parentesen med dette tallet
eller bokstavuttrykket.
Vi regner ut uttrykket på tavla slik:
2ðx -- 2yÞ -- 2ðx -- yÞ = ð2x -- 4yÞ -- ð2x -- 2yÞ
=2x -- 4y -- 2x +2y
=2x -- 2x -- 4y +2y
=--2y
Husk at vi
forandrer fortegnet foran
leddene inne i parentesen når
det står minus foran
parentesen!
Tall og algebra 23

Eksempel
Trekk sammen uttrykket 3xðx -- 2Þ -- 2xðx +4Þ så mye som mulig.
Løsning
3xðx -- 2Þ -- 2xðx +4Þ = ð3x 2 -- 6xÞ -- ð2x 2 +8xÞ
=3x 2 -- 6x -- 2x 2 -- 8x
=3x 2 -- 2x 2 -- 6x -- 8x
= x 2 -- 14x
Oppgaver
1.27 Trekk sammen.
a) 3x +2x
b) 5x -- x
c) 5a -- 4a
d) 3a + b -- a -- 3b
e) 3x -- y -- 5x +4y
f) x +2y -- y -- 3x +2x
1.28 Løs opp parentesene og regn ut.
a) ð2x -- 2yÞ -- ðx -- 3yÞ c) ð--2a + bÞ + ð5a +2bÞ
b) ð5x -- yÞ + ð--2x +3yÞ d) 3a -- ða -- bÞ + ð2a -- 3bÞ
1.29 Regn ut.
a) 2ðx -- 3Þ +3x d) 2x -- 2ð2x -- yÞ +3x
b) 5a -- 2ð2a -- 3Þ e) 3ð2a -- 2bÞ -- 2ða +3bÞ
c) ðx -- 2yÞ +2ðx -- yÞ f) 5x -- 2ðx -- 2yÞ +3ðx + yÞ
Tall og algebra
1.30 Regn ut.
a) 2xðx -- 3Þ -- 2x c) xð2x -- yÞ -- 2xðx -- 2yÞ
b) xðx -- yÞ +2x 2 d) 5x -- 3xðx -- 2Þ -- xðx +2Þ
24

Multiplikasjon av to parentesuttrykk
Noen multiplikasjonsstykker består av to eller flere parentesuttrykk, som for
eksempel
ða + bÞðc + dÞ
Når vi skal multiplisere parentesuttrykkene med hverandre, multipliserer vi
hvert ledd i den første parentesen med hvert ledd i den andre parentesen.
ða + bÞðc + dÞ = ac + ad + bc + bd
Vi kan illustrere dette slik:
1
2
(a + b) · (c + d) = ac + ad + bc + bd
3
4
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
(a + b)(c – d) = ac – ad + bc – bd
(a – b)(c + d) = ac + ad – bc – bd
(a – b)(c – d) = ac – ad – bc + bd
Regel
Vi multipliserer to parentesuttrykk ved å multiplisere hvert ledd i den
første parentesen med hvert ledd i den andre parentesen:
ða + bÞðc + dÞ = ac + ad + bc + bd
Tall og algebra 25

Eksempel
Regn ut.
a) ða +2Þða -- 3Þ
b) ð2x -- 1Þðx +2Þ -- 2ðx +1Þ
Løsning
a) ða +2Þða -- 3Þ = a 2 -- 3a +2a -- 6 = a 2 -- a -- 6
b) ð2x -- 1Þðx +2Þ -- 2ðx +1Þ = ð2x 2 +4x -- x -- 2Þ -- ð2x +2Þ
=2x 2 +4x -- x -- 2 -- 2x -- 2
= 2x 2 + x -- 4
(x + 2) • (x – 1) = (x + 2)(x – 1)
Vi kan sløyfe
multiplikasjonstegnet mellom
to parentesuttrykk!
Oppgaver
Tall og algebra
1.31 Regn ut.
a) ðx +1Þðx +2Þ c) ð2 --aÞða +3Þ
b) ðx +2Þð2x -- 1Þ d) ða -- 2Þða +2Þ
1.32 Regn ut.
a) ð2x -- 1Þð2 --xÞ c) ð2x -- 2Þð3x -- 1Þ
b) ðx -- 4Þð2 --xÞ d) ð4 --2xÞð2 --2xÞ
1.33 Regn ut.
a) ða -- 2Þð2a -- 1Þ +3a c) ð4a +1Þða -- 1Þ -- 2a
b) 2a + ða +1Þð3a -- 2Þ d) ðx +2Þðx -- 2Þ -- ðx -- 3Þ
26

(x + 2)
2
= (x + 2)(x + 2)
1.34 Regn ut.
a) ð2x +1Þð3x -- 1Þ -- 6x 2 d) ða +2Þ 2
b) ð2x +2Þðx -- 2Þ -- 4x e) ðx -- 2Þ 2 +2x
c) ðx +2Þ 2 f) ð2x +1Þ 2 -- 4x 2
1.35 Regn ut.
a) 5x -- ð2x -- 1Þð2x -- 2Þ c) ða -- 2Þð2a -- 1Þ + ða +1Þða -- 2Þ
b) 2ða -- 1Þ + ða -- 1Þð2a -- 2Þ d) ð3x -- 1Þ 2 -- ðx +1Þðx -- 2Þ
Faktorisering
Sammensatte tall kan skrives som et produkt av primtall:
6=2 3
18 = 2 3 3
30 = 2 3 5
Primtall kan
bare deles på seg
selv og på 1!
På tilsvarende måte kan bokstavuttrykk
skrives som et produkt av primtall og variabler:
6xy =2 3 x y
10x 2 =2 5 x x
Når bokstavuttrykket har flere ledd, kan vi faktorisere
uttrykket hvis leddene har én eller flere faktorer felles:
2x +4=2 x + 2 2=2ðx +2Þ
Her er 2 felles faktor. Den settes utenfor en parentes.
4a -- 8 = 2 2 a -- 2 2 2=2 2 ða -- 2Þ
Her er 2 2 felles faktorer. De settes utenfor en parentes.
Tall og algebra 27

Eksempel
Faktoriser uttrykkene.
a) 9xy b) 6x 2 y c) 12x -- 18
Løsning
a) 9xy = 3 3 x y
b) 6x 2 y = 2 3 x x y
c) 12x -- 18 = 2 2 3 x -- 2 3 3=2 3 ð2x -- 3Þ
Vi får bruk for faktorisering når vi skal forkorte brøker, særlig når tallene
er store eller brøken inneholder bokstavuttrykk.
Eksempel
Forkort brøkene mest mulig.
a) 12
18
b) 4x2
6xy
c)
6x -- 9
6
Løsning
a) 12
18 = 2 2 3
2 3 3 = 2 3
b) 4x2
6xy = 2 2 x x
2 3 x y = 2x
3y
Tall og algebra
c)
6x -- 9
6
Oppgaver
= 2 3 x -- 3 3
2 3
=
3 ð2x -- 3Þ
2 3
=
2x -- 3
2
1.36 Skriv tallene som produkt av primtall.
a)8 d)16 g)36
b) 12 e) 18 h) 56
c) 15 f) 22 i) 84
28

1.37 Faktoriser uttrykkene.
a) 10xy c) 6a 2 b e) 15xy 2
b) 12ab d) 8x 2 y 2 f) 51a 3 b
6x 3 y 2 = 2 · 3 · x · x · x · y · y
1.38 Faktoriser uttrykkene.
a) 2x + 6 c) 4x + 6 e) 12a +18
b) 3x -- 9 d) 10a -- 15 f) 8a -- 12
1.39 Faktoriser uttrykkene.
a) 4ab -- 6b c) 8x 2 -- 2x e) 10x 2 y -- 4x
b) 9ab +6a d) 4a 2 -- 6a f) 12a +18a 2
1.40 Forkort brøkene mest mulig.
a) 6 c) 4x
8
6
b) 12
9x
d)
18
12xy
1.41 Forkort brøkene mest mulig.
a) 4x2
6x
4x
b)
c) 8xy
6x 2 y
6a
10x 2 d)
10a 2
e) 6xy
8y
f) 12xy
16xy
e) 10a3
8a
f) 12a2
16a 3
1.42 Forkort brøkene mest mulig.
4x +8
a)
2
6x -- 9
b)
6
c)
2a +12
2a
d) 6a2 +4a
8a
Tall og algebra 29

Sammentrekking av brøkuttrykk
Vi kan trekke sammen brøker når de har samme nevner (fellesnevner):
2
7 + 3 7 = 2+3 = 5 7 7
1
6 + 3 4 = 1 2
6 2 + 3 3
4 3 = 2 12 + 9
12 = 11
12
Fellesnevneren for 6 og 4 er 12.
Vi bruker samme framgangsmåte når vi trekker sammen bokstavuttrykk.
2x
7 + 3x 2x +3x
= = 5x
7 7 7
x
6 + 3x
4 = x 2
6 2 + 3x 3
4 3 = 2x
12 + 9x
12 = 11x
12
Fellesnevneren for 6 og 4 er 12.
I noen oppgaver er det variable størrelser i nevnerne. Da går vi fram slik:
Trekk sammen:
3
4x -- 5 6x
Vi finner først fellesnevneren:
4x =2 2 x
6x =2 3 x
Fellesnevneren er 2 2 3 x =12x
Tall og algebra
3
4x -- 5 6x
= 3 3
4x 3 -- 5 2
6x 2
= 9 10
--
12x 12x
= --1
12x
1
=--
12x
Vi utvider brøkene slik at fellesnevneren blir 12x.
30

Eksempel
Trekk sammen brøkene.
a) 2a 9 + a 6
b) x 3 + 1 2x -- 4 6x
Løsning
a) Fellesnevneren for 9 og 6 er 18.
2a
9 + a 6
= 2a 2
9 2 + a 3
6 3
= 4a
18 + 3a
18
= 7a
18
b) Vi finner fellesnevneren:
3=3
2x =2 x
6x =2 3 x
Fellesnevner: 2 3 x =6x
x
3 + 1 2x -- 4 6x
= x 2 x
3 2 x + 1 3
2x 3 -- 4 6x
= 2x2
6x + 3 6x -- 4 6x
= 2x2 +3--4
6x
= 2x2 -- 1
6x
Vi utvider alle brøkene slik
at de får fellesnevner 6x.
Tall og algebra 31

Oppgaver
1.43 Regn ut. Forkort svaret hvis det er mulig.
a) 2 3 + 1 9
c) 2x
3 + 4x
9
b) 5 12 -- 1 6
d) 5 6 -- 2 9
1.44 Regn ut. Forkort svaret hvis det er mulig.
a) 3a 2a
--
5 10
b) 2x
9 + 2x
3 -- x 6
c) 2x
9 + x 6
d) 3x
5
--
3x
10
1.45 Regn ut. Forkort svaret hvis det er mulig.
a) 5x
12 + 4x
c) 2a 15
5 + 4a 3 + a 10
b) 7a 8 -- 5a 6
d) 3a 4 -- 4a 9 + 5a 6
1.46 Regn ut. Forkort svaret hvis
det er mulig.
Her blir fellesnevneren
et bokstavuttrykk!
a) 2 x + 3 4x
b) 2 3x -- 1 6x
Tall og algebra
3
c)
8a + 3
2a
d) 1
3a + 3
4a -- 1
6a
1.47 Regn ut. Forkort svaret hvis det er mulig.
a) 2x
3y + 4x
2
9y c)
8b + 3b
4a 2
b) x y + x 6y d) 2x2
3y 2 + 3y
4x
32

Innsetting av tall i formler og uttrykk
Formelen for arealet A av en trekant med grunnlinje g og høyde h er
A = g h
2
h
g
Hvis g = 8 cm og h = 9 cm, blir arealet
A =
8cm 9cm
2
=36cm 2
Vi kan også sette inn tall som verdier for variablene i bokstavuttrykk.
Hvis x =3ogy =5,såer
6x -- 2y =6 3--2 5 = 18 -- 10 = 8
Tall og algebra 33

Eksempel
a) Trekk sammen.
4x -- 2ðx -- yÞ
b) Sett x =2ogy = 3 inn i oppgave a og i svaret på oppgaven.
Sammenlikn de verdiene du får.
Løsning
a) 4x -- 2ðx -- yÞ =4x -- ð2x -- 2yÞ =4x -- 2x +2y = 2x +2y
b) Vi setter x =2ogy = 3 inn i oppgaven:
4x -- 2ðx -- yÞ =4 2--2ð2 --3Þ =8--2ð-- 1Þ =8+2=10
Vi setter x =2ogy = 3 inn i svaret:
2x +2y =2 2+2 3=4+6=10
Vi får 10 i begge tilfellene.
Oppgaver
1.48 Formelen for omkretsen O av en sirkel er:
O =2r
r
Tall og algebra
der O står for omkretsen og r for radien i sirkelen.
Regn ut omkretsen når
a) r = 5,0 cm
b) r = 8,5 m
34

1.49 Formelen for omkretsen O av et rektangel med lengden a og
bredden b er:
O =2a +2b
b
a
der O står for omkretsen, a for lengden og b for bredden i rektangelet.
Regn ut omkretsen når
a) a = 8 cm og b =5cm
b) a = 7,5 m og b = 4,5 m
1.50 Sett x =2ogy = 4 inn i uttrykkene og regn ut.
a) x + y c) 3x +2y e) 4x -- 2y
b) 2x + y d) 3x -- y f) x -- 3y
1.51 a) Sett a =3ogb = 2 inn i uttrykket og regn ut.
2a -- b +3a
b) Trekk sammen uttrykket i oppgave a, og sett deretter a =3ogb =2
inn i svaret.
1.52 a) Sett x =1ogy = 3 inn i uttrykket og regn ut.
2ð2x -- yÞ -- 3ðx -- 2yÞ
b) Trekk sammen uttrykket i oppgave a, og sett deretter x =1ogy =3
inn i svaret.
1.53 Formelen for arealet A av en trekant med grunnlinje g og høyde h er
A = g h
2
g
h
a) Regn ut arealet av trekanten når g =12cmogh = 8 cm.
b) Regn ut grunnlinja når A =84cm 2 og h = 24 cm.
c) Regn ut høyden når A =55cm 2 og g = 15 cm.
Tall og algebra 35

Prøv deg selv
1 Skriv tallene på standardform.
a) 4500 b) 25 000 c) 370 000 d) 1 200 000
2 Skriv tallene på standardform.
a) 0,008 b) 0,0005 c) 0,00007 d) 0,00049
3 Skriv tallene på utvidet form.
a) 4517 b) 27 019 c) 205 640 d) 1 280 409
4 Skriv tallene på vanlig måte.
a) 2 100 + 3 10 + 9 1
b) 4 1000 + 3 100 + 9 1
c) 7 1000 + 6 100 + 1 10 + 4 1+2 0,1 + 3 0,01
d) 3 1000 + 9 10 + 5 1+6 0,1 + 2 0,01 + 3 0,001
5 Tallene nedenfor er skrevet i totallssystemet.
Skriv tallene i titallssystemet.
a) 111
b) 101
c) 1111
d) 1001
e) 10101
f) 110011
6 Tallene nedenfor er skrevet i titallssystemet.
Skriv tallene i totallssystemet.
a) 5 b) 8 c) 13 d) 16
Tall og algebra
7 a) Summen av to tall er 60. Differansen mellom de samme to tallene
er 10.
Hvilke to tall er det
b) Simen er ni år eldre enn søsteren sin. Om tre år er Simen dobbelt så
gammel som henne.
Hvor gamle er de nå
8 Regn ut x i proporsjonene.
a) x 3 = 24
8
b) 36
8 = x
16
36

9 Løs opp parentesene og regn ut.
a) 3x -- ðx -- 3Þ
b) ð2x -- 1Þ + ðx +3Þ
10 Regn ut.
a) ð2x +1Þðx -- 2Þ
b) ð3a -- 2Þða +2Þ -- 3a
c) 3a -- 2ða -- 2bÞ -- 3ða + bÞ
c) ðx +2Þ 2 -- 4x
11 Primtallsfaktoriser tallene.
a) 12 b) 20 c) 42 d) 91
12 Faktoriser uttrykkene slik at tallene i uttrykkene blir primtall.
a) 12xy b) 6a 2 b c) 8a 2 b 2 d) 3x + 9 e) 6x 2 -- 4xy
13 Regn ut. Forkort svaret hvis det er mulig.
a) 1 6 + 2 3
b) 1 6 + 5 10
c) 2x
5 -- x 3
d) 5a 8 + 1 12
14 Formelen for arealet A av en
sirkel med radius r er:
e) 5x
12
f)
--
4x
18
3
5a + 2
15a -- 1
10a
r 2 = r r
A = r 2
der A står for arealet og r
for radien i sirkelen.
a) Regn ut arealet når
r = 8 cm.
b) Regn ut arealet når r =6m.
15 a) Sett x =2ogy = 1 inn
i uttrykket og regn ut.
3ð2x -- yÞ -- 3x
b) Trekk sammen uttrykket i oppgave a, og sett deretter x =2ogy =1
inn i svaret.
Tall og algebra 37

Noe å lure på
1 Tallet 111 i totallssystemet er det samme som 7 i titallssystemet.
Tallet 11011 i totallssystemet er det samme som 27 i titallssystemet.
I begge tilfellene består tallene i totallssystemet av flere siffer enn
tilsvarende tall i titallssystemet.
Hvorfor er det slik
Hm...
2 Vi vet at 10 5 : 10 2 =10 5 -- 2 =10 3 .
Bruk tilsvarende regnestykke for å forklare at
1
10 3 =10 3 :
3 Du kjenner aldersforskjellen mellom to mennesker.
Hvordan kan du på grunnlag av dette alltid finne ut når den ene var,
eller blir dobbelt så gammel som den andre
Tall og algebra
4 I en blanding av tre stoffer er det 30 % av ett stoff og 50 % av et
annet stoff.
Hvordan kan du sette opp sammensetningen i denne blandingen som
et forhold
5 Tallet 6 er interessant. Det er et fullkomment tall.
6=1 2 3 Faktorene er 1, 2 og 3.
6=1+2+3
Kan du finne et annet tall der summen av faktorene er tallet selv
Tips: Et mulig tall er mindre enn 30.
38

6 Tallet sju finner vi igjen i mange sammenhenger – sjuende far i huset,
sjumilsstøvler, sju underverker, osv.
13 er et ulykkestall. Mange tror at det ikke bør sitte 13 til bords, og
fredag den 13. er en ulykkesdag.
Tallet tre finner vi i en del eventyr.
Undersøk på internett eller i bøker om det fins noe mer om tall
og mystikk.
De hengende hager I Babylon, et av verdens sju underverker fra antikken.
Fra Histoire Ancienne av Charles Rollin (1829).
7 Kan du finne eksempler på bruken av tallet 6 i Bibelen
8 Vi dividerer 1 og 2 med 7:
1
7 = 0,142857 ... 2
= 0,285714 ...
7
Divider flere tall med 7, og finn ut hvordan svaret endrer seg.
9 Herman påstår at elleve tusen, elleve hundre og elleve er det samme
som 11 111.
Har Herman rett
Tall og algebra 39

Oppsummering
Tall på standardform og på utvidet form
Vi kan skrive naturlige tall på standardform.
250 000 = 2,5 10 5
Vanlig form Standardform
0,0025 = 2; 5 10 3
Vanlig form Standardform
Vi kan skrive naturlige tall og desimaltall på utvidet form.
24 537 = 2 10 000 + 4 1000 + 5 100 + 3 10 + 7 1
=2 10 4 +4 10 3 +5 10 2 +3 10 1 +7 10 0
385,39 = 3 100 + 8 10 + 5 1+3 0,1 + 9 0,01
=3 10 2 +8 10 1 +5 10 0 +3 10 1 +9 10 2
Totallssystemet
I totallssystemet bruker vi bare sifrene 0 og 1. Plassverdiene i dette
tallsystemet er potenser av 2 (1, 2, 4, 8, osv.).
Tallet 1101 i totallssystemet er
Tall og algebra
1101 = 1 2 3 +1 2 2 +0 2+1 1=8+4+0+1=13
i titallssystemet.
Parenteser
Når vi løser opp parenteser med minustegn foran, skifter vi fortegn på hvert
ledd inne i parentesen.
5x -- ð2x -- 3Þ =5x -- 2x +3=3x +3
Når vi løser opp parenteser med plusstegn foran, skifter vi ikke fortegn.
5x + ð2x -- 3Þ =5x +2x -- 3 = 7x -- 3
40

Multiplikasjon av tall med parentesuttrykk
Hvis det står et tall eller et variabeluttrykk foran en parentes, må vi
multiplisere tallet eller variabeluttrykket med hvert ledd inne i parentesen før
vi løser den opp.
5x -- 2ð2x -- 3Þ =5x -- ð4x -- 6Þ =5x -- 4x +6=x +6
Multiplikasjon av to parentesuttrykk
Vi kan multiplisere to parentesuttrykk med hverandre. Vi multipliserer hvert
ledd i den første parentesen med hvert ledd i den andre parentesen.
ða +2Þð2a -- 3Þ = a 2a + a ð-- 3Þ +2 2a +2ð-- 3Þ
=2a 2 -- 3a +4a -- 6
=2a 2 + a -- 6
Faktorisering
Vi kan faktorisere variabeluttrykk. Tallene skrives da som produkt av
primtallsfaktorer.
15x 2 y =3 5 x x y
Vi faktoriserer før vi forkorter en brøk.
4x 2 y
6xy = 2 2 x x y = 2x
2 3 x y 3
Sammentrekking av brøkuttrykk
Vi kan trekke sammen brøkuttrykk som inneholder bokstavuttrykk.
3
4x + 5 6x -- 2 3x =
3 3
4x 3 + 5 2
6x 2 -- 2 4
3x 4 =
9
12x + 10
12x -- 8
12x =
11
12x
Fellesnevner er 12x.
Tall og algebra 41

Hvordan klarte romerne
å beregne halvsirklene
Hm, hypotenusen må
være dobbelt så lang som den
minste kateten!
Disse er
formlike!

2
Geometri og beregninger
Geometri og beregninger benyttes i mange yrker. Om du er
matematiker, arkitekt, snekker, murer eller astronom, må du
kjenne litt til de ulike områdene innenfor geometrien og
kunne gjøre ulike beregninger.
Mål
I dette kapitlet vil du få lære om
. Pytagoras-setningen
. egenskapene ved spesielle trekanter
. konstruksjon av trekanter og firkanter
. perspektivtegning med ett og to forsvinningspunkter
. formlikhet og kongruens
. geometri i teknologi, kunst og arkitektur
Geometri brukes
jo overalt!

Pytagoras-setningen
Hvordan kan
vi finne den ukjente siden
i den rettvinklete
trekanten
Vi kan
bruke Pytagorassetningen!
Geometri og beregninger
Når kan vi bruke Pytagoras-setningen
En trekant der en av vinklene er 90 , kaller vi en rettvinklet trekant. Den
lengste siden ligger alltid lengst vekk fra den rette vinkelen. Den lengste
siden kaller vi hypotenus, mens de to andre sidene kaller vi kateter.
A
Katet
Hypotenus
C
Katet
Vi bruker Pytagoras-setningen til å regne ut lengden av en ukjent hypotenus
eller katet i en rettvinklet trekant.
B
44

Regel
Vi finner hypotenusen eller den ukjente kateten i en rettvinklet trekant
ved å bruke formelen:
Katet 2 + Katet 2 = Hypotenus 2
Eksempel
Regn ut hypotenusen.
C
6 cm
A
8 cm
B
Løsning
Katet 2 + Katet 2 = Hypotenus 2
6 2 +8 2 = x 2
36 + 64 = x 2
100 = x 2
pffiffiffiffiffiffiffi
100 = x
x =10
Vi finner kvadratroten på begge sider.
Hypotenusen er 10 cm.
Geometri og beregninger 45

Eksempel
Regn ut den ukjente kateten.
C
1,5 cm
2,5 cm
A
x cm
B
Løsning
Katet 2 + Katet 2 = Hypotenus 2
Geometri og beregninger
x 2 + 1,5 2 = 2,5 2
x 2 + 2,25 = 6,25
x 2 + 2,25 -- 2,25 = 6,25 -- 2,25
x 2 = 4,0
p
x =
ffiffiffiffiffiffi
4,0
x =2
Den ukjente kateten er 2,0 cm.
Oppgaver
2.1 Regn ut hypotenusen.
a)
C
9 cm
A
12 cm
Vi trekker fra 2,25 på beggesider.
Vi finner kvadratroten på begge sider.
B
46

)
C
7 cm
A
24 cm
B
c)
C
2,8 cm
A
4,5 cm
B
2.2 Regn ut den ukjente kateten.
a) b) c)
C
C
C
17 cm
4 cm
4,1 cm
6 cm
6,1 cm
15 cm
A
B
A
B
A
B
2.3 Regn ut den ukjente siden i de rettvinklete trekantene når
a) hypotenusen er 15 m og den ene kateten er 5 m
b) den ene kateten er 12 dm og den andre kateten er 9,5 dm
c) hypotenusen er 2,5 km og den ene kateten er 2,0 km
Geometri og beregninger 47

2.4 Regn ut arealet av de ulike fargene i flaggene.
a) b)
6 m
4,5 m
1 m
1,5 m
1 m
1 m
1,5 m
1,5 m
Kuwait
2 m
Tsjekkia
2.5 I glasspyramiden til museet Louvre i Paris, har grunnflaten form som et
kvadrat. Siden i kvadratet er 35 m. Høyden i pyramiden er 20,6 m.
Geometri og beregninger
Glasspyramiden foran Louvre i Paris
Hvor stort areal har hver av sideflatene i pyramiden
48

Spesielle trekanter
Hm, to av
sidene er like lange!
Trekanten er
halvparten så stor som en
likesidet trekant!
Hva er spesielt med disse to trekantene
Rettvinklet, likebeint trekant
I en rettvinklet, likebeint trekant er én vinkel 90 og to vinkler 45 .
I en slik trekant er katetene like
lange. Vi kan finne de ukjente
sidene ved hjelp av Pytagorassetningen
selv om vi kjenner
lengden til bare én av sidene.
C
45°
A
45°
B
Geometri og beregninger 49

Eksempel
Regn ut de ukjente katetene.
C
Løsning
AB = AC
Vi kaller sidene AB og AC for x.
4,8 cm
Katet 2 + Katet 2 = Hypotenus 2
A
B
Geometri og beregninger
x 2 + x 2 = 4,8 2
2x 2 = 23,04
2x 2
2 = 23,04
2
x 2 = 11,52
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x = 11; 52
x = 3,4
AB = AC = 3,4 cm:
Trekanter med vinkler på 30º, 60º og 90º
I en likesidet trekant er alle sider like lange og alle vinkler like store (60 ). Hvis
vi deler en likesidet trekant i to like store trekanter, får vi to like rettvinklete
trekanter der vinklene er 30 ,60 og 90 .
A
C
60°
60° 60°
B
Vi dividerer alle ledd med 2.
Vi finner kvadratroten på begge sider.
A
C
C
30° 30°
60° 60°
D D B
50

I en rettvinklet trekant der
Hvor lang er
vinklene er 30 ,60 og 90 ,
den korteste kateten i
er hypotenusen dobbelt så lang forhold til hypotenusen
som den minste kateten. Vi kan
finne de ukjente sidene ved hjelp
av Pytagoras-setningen selv om vi
kjenner lengden til bare én av sidene.
AB = AD + DB
Eksempel
Regn ut de ukjente sidene.
C
Løsning
BC =2 AB
BC =2 4,2 cm
BC = 8,4 cm
30°
Vi kaller AC for x.
Katet 2 + Katet 2 = Hypotenus 2
A
4,2 cm
60°
B
x 2 + 4,2 2 = 8,4 2
x 2 + 17,64 = 70,56
x 2 + 17,64 -- 17,64 = 70,56 -- 17,64 Vi trekker fra 17,64 på begge sider.
x 2 = 52,92
p
x =
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
52,92 Vi finner kvadratroten på begge sider.
x 7,3
Den ukjente kateten AC er 7,3 cm, og hypotenusen BC er 8,4 cm.
Geometri og beregninger 51

Eksempel
Regn ut de ukjente sidene i trekantene.
C
30°
Løsning
Vi kaller AB for x, da blir BC =2x.
5,2 cm
Katet 2 + Katet 2 = Hypotenus 2
x 2 + 5,2 2 = ð2xÞ 2
x 2 + 27,04 = 4x 2
A
60°
B
Geometri og beregninger
ð2xÞ 2 = =4x 2
x 2 -- x 2 + 27,04 = 4x 2 -- x 2 Vi trekker fra x 2 på begge sider.
27,04 = 3x 2
27,04
= 3x2
3 3
Vi dividerer begge leddene med 3.
9,0 = x 2
p ffiffiffiffiffiffi
9,0 = x
Vi finner kvadratroten på begge sider.
x =3; 0
BC =2 3,0 cm = 6,0 cm
Den ukjente kateten AB er 3,0 cm, og hypotenusen BC er 6,0 cm.
Oppgaver
2.6 Regn ut de ukjente sidene i de rettvinklete, likebeinte trekantene.
a) C
b) C
ð2xÞð2xÞ
45°
A
45°
6,0 cm
45°
B
A
45°
9,0 cm
B
52

2.7 Regn ut de ukjente sidene i de rettvinklete trekantene.
a) b)
C
C
30°
30°
10 cm
A
3,5 cm
60°
B
60°
A
B
2.8 Regn ut de ukjente sidene i de rettvinklete trekantene.
a) b)
C
C
30°
30°
4,5 cm
6,0 cm
A
60°
B
A
60°
B
2.9 a) Lag en konstruksjonsoppgave der du bruker minst tre av
størrelsene under.
3,5 cm 45 5,0 cm 60 7,0 cm 90
b) La en medelev løse oppgaven.
Geometri og beregninger 53

Konstruksjon og beregning
Regn ut
omkretsen og arealet
av firkanten!
D
C
A
B
Geometri og beregninger
Hva må vi kunne for å beregne omkretsen eller arealet av en figur vi
har konstruert
Mangekanter
Når vi konstruerer mangekanter, kombinerer vi ofte flere vinkelkonstruksjoner
for å oppnå ønsket vinkelstørrelse.
Normal i et punkt (90 ) Nedfelle en normal (90 )
P
54

Konstruere 60
Halvere en vinkel
Hvis vi skal beregne sider, omkrets eller areal av ulike mangekanter, kan vi få
bruk for Pytagoras-setningen og det vi vet om trekanter med vinkler på 90 ,
45 og 45 og trekanter med vinkler på 30 ,60 og 90 .
Eksempel
En 4ABC har disse målene: AB = 5,5 cm, A =45 og C =90
a) Tegn en hjelpefigur.
b) Konstruer trekanten.
c) Skriv forklaring.
d) Hvor stor er B
e) Regn ut AC.
Løsning
a)
C
A
45°
5,5 cm
B
b)
C
A
B
Geometri og beregninger 55

c) 1. Avsatte AB = 5,5 cm.
2. Konstruerte 45 i A.
3. Nedfelte normalen fra B til As venstre vinkelbein.
4. Fant C der normalen skar As venstre vinkelbein, C =90 .
d) B = 180 -- 90 -- 45 = 45
e) AC = BC. Vi kaller sidene AC og BC for x.
Katet 2 + Katet 2 = Hypotenus 2
x 2 + x 2 = 5,5 2
2x 2 = 30,25
2x 2 30; 25
=
2 2
x 2 = 15,13
p
x =
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
15,13
x 3,89
Vi dividerer begge leddene med 2.
Vi finner kvadratroten på begge sider.
Geometri og beregninger
Eksempel
AC = BC = 3,9 cm
En firkant ABCD har disse målene:
AB = 3,0 cm, A =90 , ABD =60 , BDC = DBC =45
a) Tegn en hjelpefigur.
b) Konstruer firkanten.
c) Regn ut de ukjente sidene AD, BD, BC og CD.
d) Regn ut arealet av firkanten ABCD.
Løsning
a)
A
D
45°
90°
60°
3,0 cm
45°
B
C
56

)
D
C
A
B
c) I 4ABC er vinklene 30 ,60 og 90 .
BD =2 AB
BD =2 3,0 cm
BD = 6,0 cm
AB 2 + AD 2 = BD 2
Vi kaller AD for x.
3,0 2 + x 2 = 6,0 2
9,0 + x 2 = 36,0
9,0 -- 9,0 + x 2 = 36,0 -- 9,0
x 2 = 27,0
p
x =
ffiffiffiffiffiffiffiffi
27,0
x 5,2
Vi trekker fra 9,0 på begge sider.
Vi finner kvadratroten på begge sider.
AD = 5,2 cm
Geometri og beregninger 57

I 4BCD er vinklene 45 ,45 og 90 .
BC = CD. Kaller BC og CD for x.
x 2 + x 2 = 6,0 2
2x 2 = 36,0
2x 2
2 = 36,0
2
x 2 = 18,0
p
x =
ffiffiffiffiffiffiffiffi
18,0
x 4,2
Vi dividerer begge leddene med 2.
Vi finner kvadratroten på begge sider.
BC og CD er 4,2 cm.
Geometri og beregninger
d) Arealet av 4ABD =
Arealet av 4BCD =
AB AD
2
BC CD
2
=
=
3,0 cm 5; 2cm
2
4; 2cm 4; 2cm
2
=7; 8cm 2
=8; 82 cm 2
Arealet av firkant ABCD = 7,8 cm 2 + 8,82 cm 2 = 16,62 cm 2
Arealet av firkant ABCD er 16,6 cm 2 :
Oppgaver
2.10 En 4ABC har disse målene: AB = 7,5 cm, A =90 og B =45
a) Tegn en hjelpefigur.
b) Konstruer trekanten.
c) Skriv forklaring.
d) Hvor lang er AC
e) Regn ut lengden av BC.
2.11 En 4ABC har disse målene: AB = 5,0 cm, A =90 og B =60
a) Tegn en hjelpefigur.
b) Konstruer trekanten.
c) Skriv forklaring.
d) Hvor lang er BC
e) Regn ut lengden av AC.
58

2.12 En 4ABC har disse målene: B =90 , C =30 og BC = 4,5 cm
a) Tegn en hjelpefigur.
b) Konstruer trekanten.
c) Skriv forklaring.
d) Regn ut lengden av AC og AB.
2.13 En firkant ABCD har disse målene:
AB = 8,0 cm, B =60 , BC = 4,0 cm, CAD =45 og AD = 5,0 cm
a) Tegn en hjelpefigur.
b) Konstruer firkanten.
c) Skriv forklaring.
2.14 a) Konstruer en firkant ABCD der A =90 , AD = 5,0 cm,
BD = 9,5 cm, CBD =60 og avstanden fra C til BD er 5,5 cm.
b) Regn ut AB.
2.15 En firkant ABCD har disse målene: AB = 7,0 cm, ABD =60 ,
BAD =30 , DBC =90 og BD =BC
a) Tegn en hjelpefigur.
b) Konstruer firkanten.
c) Skriv forklaring.
d) Regn ut omkretsen av firkant ABCD.
e) Regn ut arealet av firkant ABCD.
Leonardo da Vinci (1452–1519) betegnes som et universalgeni og arbeidet blant
annet med konstruksjoner knyttet til vitenskapelige målinger og arkitektur.
Geometri og beregninger 59

Sirkelen
Sirkelen består av en
mengde punkter som ligger like langt
fra sirkelens sentrum.
Geometri og beregninger
Vi bruker linjestykkene diameter og radius når vi skal beregne omkrets og
areal av en sirkel.
Linjestykkene fra ett punkt på sirkellinja til et annet, kaller vi en korde.
Diameteren er den lengste korden vi kan tegne.
En linje som berører (tangerer) sirkellinja
i ett punkt, kaller vi en tangent.
Tangenten står alltid vinkelrett på
radien fra tangeringspunktet.
sentrum
korde
diameter
radius
tangent
60

Vi kan finne sentrum i en sirkel ved
konstruksjon slik:
Midtnormalen
til korden er diameteren
i sirkelen!
1 Tegn en sirkel.
2 Tegn en korde.
3 Konstruer midtnormalen på korden.
Forleng midtnormalen slik at den skjærer
sirkellinja i to punkter. Den blir da en diameter.
4 Konstruer til slutt midtnormalen til
diameteren. Skjæringspunktet mellom
diameteren og denne normalen er
sentrum i sirkelen.
Oppgaver
2.16 Tegn en sirkel og finn sentrum ved
hjelp av konstruksjon.
2.17 Hva heter den lengste korden du kan tegne i en sirkel
2.18 Konstruer sirklene og regn ut omkrets og areal.
a) b) c)
r = 2 cm
r = 3 cm
r = 7 cm
2.19 a) Konstruer en likesidet 4ABC med sider lik 7 cm.
b) Konstruer midtnormalene til sidene AB, BC og AC.
c) Konstruer en sirkel med sentrum i S, og la den tangere
trekantens sider.
Geometri og beregninger 61

2.20 a) Konstruer en sirkel og avsett radien rundt på sirkelbuen.
b) Hvor mange ganger kan du avsette radien på sirkelbuen
c) Tegn inn kordene med avstand lik radien.
d) Hva slags figur har du lagd
2.21 a) Tegn en sirkel med sentrum S.
b) Tegn en stråle fra S som skjærer sirkelbuen.
c) Konstruer en tangent til sirkelen i skjæringspunktet mellom
sirkelbuen og strålen.
2.22 a) Konstruer en halvsirkel og kall diameteren for AB.
Diameteren AB er grunnlinja i en trekant.
b) Tegn tre ulike trekanter ABC
med grunnlinje AB og slik at C
ligger på sirkelbuen.
c) Hvor stor er C i de tre
trekantene
A
B
Geometri og beregninger
2.23 Lag et sekskantpuslespill.
Du trenger: Passer, linjal, papp eller kartong,
saks, blyant
1 Lag en sirkel med diameter 15 cm på
kartong. Trekk et loddrett linjestykke
gjennom sirkelens sentrum. Kall
skjæringspunktene med sirkelbuen for
A og D.
2 Sett passerspissen i A og slå en bue som
skjærer sirkelbuen to steder. Åpningen i
passeren skal være lik radius (7,5 cm). Kall
skjæringspunktene for B og F. Gjør det
samme i punkt D. Kall skjæringspunktene
for C og E.
B
C
A
D
A
D
radius
F
E
62

3 Trekk linjestykkene AB, BC, CD, DE og EF
og FA. Trekk så linjestykkene fra B, C, E
og F til sentrum.
B
A
F
C
E
D
4 Del linjestykkene AB, BC, CD, DE og EF
på midten. Kall punktene for G, H, I,J, K
og L. Trekk linjestykkene GI, GK, HL, HJ
og IK. Sekskanten er nå fylt med
likesidete trekanter.
H
B
G
A
L
F
K
5 Klipp ut og fargelegg brikkene til
puslespillet. Velg selv hvordan brikkene
skal se ut.
C
I
D
J
E
6 Legg brikkene i en konvolutt, bytt med hverandre og pusle
puslespillene.
Lurer på hvor lang
tid jeg bruker...
Geometri og beregninger 63

Formlikhet og kongruens
En av
figurene på tavla er
formlik med denne!
Geometri og beregninger
Hva mener vi med formlikhet
Formlikhet
To figurer er formlike hvis de har samme form. De trenger ikke å ha
samme størrelse.
10,0 cm
A 8,0 cm B D 4,0 cm E
C
6,0 cm
Vi måler vinklene og finner at:
A = D B = E C = F
5,0 cm
F
3,0 cm
64

Vi måler de ensliggende sidene og regner ut forholdet mellom dem:
AB 8,0 cm
=
DE 4,0 cm =2 BC 6,0 cm
=
EF 3,0 cm =2 AC 10,0 cm
=
DF 5,0 cm =2
Vi ser at vinklene er parvis like store,
og at forholdet mellom de ensliggende
sidene er likt.
Vi sier at trekantene er formlike.
Vi skriver:
Tegnet ~
betyr formlik!
4ABC 4DEF
Regel
Når to figurer er formlike, er vinklene like store og forholdet mellom de
ensliggende sidene likt. Vi kan bruke dette forholdet til å finne lengden
til ukjente sider i figurer som er formlike.
Eksempel
4ABC 4DEF
Regn ut DE.
C
15 cm
F
5 cm
A
12 cm B D x cm
E
Geometri og beregninger 65

Løsning
Trekantene er formlike.
DE
AB = DF
AC
Vi kaller den ukjente siden DE for x.
x
12 = 5 15
x 12
12 = 5 12
15
x = 60
15
x =4
Vi multipliserer alle ledd med 12.
DE er 4 cm.
Geometri og beregninger
Oppgaver
2.24 Hvilke figurer er formlike
A
C
B
D
E
F
G
H
66

2.25 Trekantene er formlike. Regn ut den ukjente siden.
a)
C
F
6 cm
A 8 cm B D 6 cm
E
b)
C
F
5 cm
A 10 cm B D 8 cm
E
c)
C
6 cm
B
E
D
4 cm
8 cm
A
F
2.26 4ABC og 4DEF er formlike.
Regn ut lengden av sidene DF og EF.
C
5,6 cm
4,4 cm
F
A
8,0 cm B
D 6,0 cm
E
Geometri og beregninger 67

2.27 Å finne høyden på ulike
ting ved hjelp av skyggen
var kjent allerede i antikken.
Det sies at filosofen Thales,
som levde omkring
600 f.Kr., bestemte høyden
på Keopspyramiden ved
hjelp av sola og pyramidens
skygge. Thales brukte
kunnskap om formlikhet til
å beregne høyden til pyramiden.
Modellen nedenfor
viser hvordan han ved hjelp
av en stokk beregnet
høyden til pyramiden.
Geometri og beregninger
Portrett av Thales fra Miletus av
Ambrose Tardieu, ca. 1810
Hvor høy er Keopspyramiden
274 m
2 m
4 m
68

Kongruens
To figurer er kongruente hvis de har samme form og størrelse. Da er vinklene
parvis like store, sidene parvis like lange, og den ene figuren kan nøyaktig
dekke den andre.
C
E
D
45°
90°
90°
45°
A
B
F
Tegnet ffi betyr
«er kongruent med»!
Vi skriver: ABC ffi DEF
Vi leser: ABC er kongruent med DEF.
Regel
To figurer er kongruente når den ene figuren nøyaktig kan dekke den
andre. Det vil si at figurene er formlike og like store. Vi bruker tegnet ffi
for kongruens.
Oppgaver
2.28 Hvilke av figurene er kongruente
A
C
E
G
I
B
D
F
H
J
Geometri og beregninger 69

2.29 Finn eksempler på ting
som er kongruente.
Hva med disse
2.30 Ta de nødvendige målene
og tegn kongruente figurer.
a) c)
Geometri og beregninger
b)
2.31 a) Konstruer 4ABC der AB = 5 cm, B =45 og BC =7cm:
b) Konstruer 4DEF der DE = 7 cm, D =45 og DF = 5 cm.
c) Er de to trekantene kongruente
70

Kongruensavbildninger
Snøkrystallen
er symmetrisk!
Hva mener vi med symmetri
Speilingssymmetri
En figur er speilingssymmetrisk hvis den kan deles i to kongruente figurer som
dekker hverandre når vi bretter dem om symmetriaksen. En og samme figur
kan ha flere symmetriakser.
Vi arbeider med slike figurer i matematikkfaget, og vi finner dem igjen i
naturen, i kunsten og i arkitekturen.
Antall
symmetriakser: 1 2 4 6
Noen figurer har ingen symmetriakser, mens for eksempel en sirkel har et
uendelig antall symmetriakser.
Geometri og beregninger 71

Oppgaver
2.32 Hvor mange symmetriakser har figurene
a) b) c) d)
2.33 Tegn av figurene og merk av symmetriaksene.
a) b) c) d)
Geometri og beregninger
2.34 Se på bildene og bestem antall symmetriakser.
a) b) c)
Blåveis Oransjegullvinge Blad fra Gjøkesyre
2.35 Brett et papir, og klipp ut
et hjerte, et juletre, en
snøkrystall eller en
valgfri figur.
Hvor finner du
symmetriaksen
72

Speiling ved hjelp av et koordinatsystem
Når vi speiler en figur om en linje, får vi to kongruente figurer. Vi sier at vi har
foretatt en kongruensavbildning fordi den opprinnelige figuren og speilbildet
av denne er kongruente figurer.
Vi kan speile figurer i et koordinatsystem.
Da speiler vi figuren om
førsteaksen eller andreaksen.
Disse aksene fungerer
da som symmetriakser.
A’B’C’ leser
vi A-merket, B-merket
og C-merket.
Hvis vi speiler en 4ABC, kaller vi
den nye trekanten for 4A’B’C’
Eksempel
Speil 4ABC om andreaksen.
Andreaksen
y
C
A
B
x
Førsteaksen
Geometri og beregninger 73

Løsning
Andreaksen
y
C’
C
B’
A’
A
B
x
Førsteaksen
Geometri og beregninger
Hjørnet A(1, 1) blir A’(–1, 1)
Hjørnet B(5, 1) blir B’(–5, 1)
Hjørnet C(1, 4) blir C’(–1, 4)
Trekker linjestykkene A’B’, B’C’ og A’C’.
4ABC ffi4A 0 B 0 C 0
Oppgaver
2.36 Tegn av figuren og koordinatsystemet, og speil figuren om førsteaksen.
a)
y
x
74

)
y
x
2.37 Tegn av figuren og koordinatsystemet.
Speil figuren om
a) andreaksen
b) førsteaksen
y
x
Geometri og beregninger 75

2.38 Tegn av figuren og koordinatsystemet.
Speil figuren om
a) andreaksen
b) førsteaksen
y
x
Geometri og beregninger
2.39 Tegn av figuren og koordinatsystemet, og speil figuren gjennom origo.
y
x
76

Speiling ved hjelp av passer og linjal
Når vi skal speile en figur om en linje, kan vi bruke passer og linjal. Vi nedfeller
normaler fra punkter på figuren til linja. Vi avsetter så avstanden fra punktene
til linja på den andre siden av linja slik at vi får et nytt punkt. Når vi avsetter et
punkt A, kaller vi det nye punktet A’.
Eksempel
a) Speil 4ABC om linja l.
b) Skriv forklaring.
C
l
A
B
Løsning
a)
C
l
A
B
B’
C’
A’
b)
1. Nedfelte normaler fra A, B og C til linja l.
2. Avsatte avstanden fra l til A på motsatt side av l.
3. Gjorde det samme med B og C.
4. Trakk linjestykkene A’B’, B’C’ og A’C’.
5. Fikk 4A’B’C’
4ABC ffi4A 0 B 0 C 0
Geometri og beregninger 77

Oppgaver
2.40 Tegn av, og speil figuren om linja l ved hjelp
av konstruksjon.
a)
l
b)
l
Geometri og beregninger
2.41 Tegn av, og speil figuren om linja l ved hjelp av konstruksjon.
a)
b)
l
l
78

2.42 a) Tegn av 4ABC og linjene l og m.
C
l
A
B
m
b) Speil figuren om linja l ved hjelp av konstruksjon.
c) Speil så den nye figuren om linja m ved hjelp av konstruksjon.
Rotasjon
Noen ganger bruker vi rotasjon når vi lager kongruensavbildninger. Hvis ikke
noe annet er opplyst, utfører vi rotasjonen mot venstre.
Eksempel
a) Roter 4ABC 90 om punktet P.
b) Skriv forklaring.
C
P
A
B
Geometri og beregninger 79

Løsning
a)
C’
A’
B’
C
P
A
B
Geometri og beregninger
b) 1. Roterte A 90 om P.
a) Trakk en stråle fra A gjennom P.
b) Konstruerte 90 i P med det ene vinkelbeinet PA.
c) Avsatte avstanden PA på det andre vinkelbeinet og fant A’.
2. Roterte B 90 om P.
a) Trakk en stråle fra B gjennom P.
b) Konstruerte 90 i P med det ene vinkelbeinet PB.
c) Avsatte avstanden PB på det andre vinkelbeinet og fant B’.
3. Roterte C 90 om P.
a) Trakk en stråle fra C gjennom P.
b) Konstruerte 90 i P med det ene vinkelbeinet PC.
c) Avsatte avstanden PC på det andre vinkelbeinet og fant C’.
4. Trakk linjestykkene A’B’, B’C’ og A’C’.
5. Fikk 4A 0 B 0 C 0 :
Oppgaver
2.43 Tegn av figuren og roter 4ABC 60
om punktet P ved hjelp av konstruksjon.
A
C
B
P
80

2.44 Tegn av figuren og roter
4ABC 120 om punktet P ved hjelp
av konstruksjon.
C
P
A
B
2.45 Tegn et kvadrat ABCD. Roter kvadratet 120 om A ved hjelp
av konstruksjon.
2.46 a) Tegn en 4ABC og et punkt P utenfor trekanten.
b) Roter 4ABC 150 om punktet P ved hjelp av konstruksjon.
Parallellforskyving
Parallellforskyving er også en form for kongruensavbildning.
Bildene nedenfor viser eksempler på dette.
Pont Alexandre III, Paris
Veggmaleri fra gravkammeret til Ramses I, Egypt
Fig 2.90
Utsmykning av trappetrinn, Spania
Geometri og beregninger 81

Når vi parallellforskyver en figur, kan vi konstruere eller tegne inn parallelle
hjelpelinjer.
Eksempel
Tegn av og parallellforskyv trekanten 2 cm to ganger i pilens retning.
Løsning
Geometri og beregninger
Oppgaver
2.47 Tegn av og parallellforskyv trekanten 3 cm fire ganger i pilens retning.
2.48 Tegn av og parallellforskyv figuren 4 cm tre ganger i pilens retning.
82

2.49 Tegn av og parallellforskyv figuren 2 cm tre ganger i pilens retning.
2.50 Lag ditt eget mønster som bygger på parallellforskyvning.
a) Følg bruksanvisningen. Du trenger saks og papir.
1 Klipp et A4-ark opp i tre deler.
2 Brett en av bitene som et trekkspill.
3 Klipp ut en figur du bestemmer selv.
NB! Ikke klipp over brettekantene.
Ikke klipp
her!
b) Hvilken type kongruensavbildning har du lagd
c) Hvor finner du symmetriaksene
Geometri og beregninger 83

Perspektivtegning
Hva er forskjellen på de to figurene
Geometri og beregninger
Ett forsvinningspunkt
Nedenfor ser du et bilde av en vei. Bredden til veien er hele tiden den samme,
men på bildet ser det ut som om veien forsvinner inn i ett punkt. Grunnen til
dette er at det som er langt borte, ser mindre ut enn det som er nærme.
Route 66, New Mexico,
USA
84

Vi lager tegninger og tredimensjonale figurer i perspektiv for at de skal se mer
«riktige» ut. Når vi tegner figurer i perspektiv, tegner vi linjene til figuren
«inn» i papiret slik at de ender i ett punkt, forsvinningspunktet.
1
Tegn først grunnfiguren forfra og trekk
deretter hjelpelinjer fra hvert av hjørnene
mot et forsvinningspunkt.
2
Tegn den formlike baksiden
av figuren.
3
Trekk til slutt linjestykker
mellom hjørnene.
Oppgaver
2.51 Bruk perspektivtegning
og tegn
a) et rett firkantet prisme
b) en terning
c) et trekantet prisme
2.52 Tegn et jernbanespor
som forsvinner
a) i horisonten
b) inn i en tunnel
Geometri og beregninger 85

2.53 Figuren viser et rom tegnet i perspektiv, med forsvinningspunktet i
sentrum bak figuren.
Tegn av figuren og tegn inn
a) et gulvteppe
b) et bilde på veggen
c) et vindu
d) et bord
Geometri og beregninger
To forsvinningspunkter
Noen ganger bruker vi to forsvinningspunkter. Figuren nedenfor har ett
forsvinningspunkt på hver side av figuren. De horisontale linjene på venstre
side møtes i forsvinningspunktet F 1 , og de horisontale linjene på høyre side
møtes i forsvinningspunktet F 2 . Vi gjør på samme måte som med ett
forsvinningspunkt, men vi «strekker» figuren i to retninger.
F 1
F 2
86

Oppgaver
2.54 Hvor mange forsvinningspunkter har disse tegningene
a) c)
b)
2.55 Tegn et hushjørne med to forsvinningspunkter.
Tegn inn to vinduer og en dør.
Home,
sweet home
Geometri og beregninger 87

2.56 Studer disse bildene.
Pieter Neeffs (1578–1656)
Hva er forskjellen på hvordan bildene er lagd
Ambrogio Lorenzetti (1285–1348)
Geometri og beregninger
2.57 «Skolen i Aten» av Rafael er malt med ett forsvinningspunkt, men én
gjenstand på bildet har et helt annet forsvinningspunkt.
Kan du finne hvilken gjenstand det er
Skolen i Aten, Rafael (1483–1520)
88

Geometri i teknologi, kunst og arkitektur
«Den vitruvianske mann» av Leonardo da Vinci
Hvilke geometriske prinsipper finner du i denne tegningen
Verk innenfor teknologi, kunst og arkitektur er som oftest laget ved hjelp av
matematisk kunnskap om geometriske figurer, ulike kongruensavbildninger
og det gylne snitt.
Hvis forholdet mellom to lengder er ca. 1,618, kaller vi det for det gylne snitt.
Et rektangel som har dette forholdet mellom sidene, kalles et gyllent
rektangel.
Geometri og beregninger 89

Her er noen eksempler på at vi finner geometriske figurer og sammenhenger
på kjente byggverk:
Slottet i Oslo:
Geometriske figurer
Parallellforskyving
Speilingssymmetri
Notre Dame i Paris:
Det gylne snitt
Geometriske figurer
Speilingssymmetri
Parallellforskyving
Sirkelgeometri
Geometri og beregninger
Klippemoskeen i Jerusalem:
Geometriske figurer
Speilingssymmetri
Parallellforskyving
Edens hage i St. Austell, Cornwall:
Geometriske figurer
Speilingssymmetri
Parallellforskyving
Sirkelgeometri
90

Oppgaver
2.58 Hvilke geometriske begreper
finner du igjen på bildene
Bruk skjemaet som hjelp til
å finne igjen de ulike begrepene.
a)
Jeg fant:
Formlikhet
Symmetri
Speiling
Rotasjon
Parallellforskyving
Det gylne snitt
Innskrevet kvadrat
Innskrevet sirkel
Innskrevet trekant
Tangering
Utsnitt av gulvet i en romansk kirke
b) c)
Selbuvott med åttebladsroser
Snøkrystall
d)
Philae Tempel
i Aswan, Egypt
Geometri og beregninger 91

e) f)
Bridge of Sighs, Cambridge, England
Nidarosdomen
2.59 Bildet viser ’’Den matematiske broen’’ i Cambridge.
Geometri og beregninger
Den matematiske broen i Cambridge
Broen er bygd etter prinsipper fra sirkelens geometri.
Finn ut hva på broen som er
a) tangenter
b) forlengete radier
92

2.60 Hvilke typer kongruensavbildninger er brukt på disse mønstrene
a)
b)
c)
2.61 Bruk passeren til å lage ulike mønstre basert på sirkelens geometri.
Geometri og beregninger 93

2.62 Bruk internett eller en bok om arkitektur og finn eksempler på ulike
geometriske former som har blitt brukt i arkitekturen. Lag for eksempel
en veggplakat som består av forskjellige geometriske former.
Jeg
prøver operaen
i Oslo!
Jeg søker på «Viaduc de Millau!
Kanskje
architecture + Babylon ...
Hm, hva
med Eiffeltårnet
Geometri og beregninger
2.63 Se på figuren og forklar hvordan
a) kvadratet er plassert i forhold til sirkelen
b) sirkelen er plassert i forhold til kvadratet
c) trekanten er plassert i forhold til sirkelen
d) sekskanten er plassert i forhold til sirkelen
94

Prøv deg selv
1 Regn ut den ukjente siden x i de rettvinklete trekantene.
Oppgi svaret med én desimal.
a) b)
C
C
5 cm
x
4 cm
9 cm
A
6 cm
B
A
x
B
2 Regn ut den ukjente siden x i de rettvinklete, likebeinte trekantene.
Oppgi svaret med én desimal.
a) b)
C
45°
C
10 cm
4 cm
45°
x
A
45°
B
A
x
45°
B
Geometri og beregninger 95

3 Regn ut den ukjente siden x i de rettvinklete trekantene.
Oppgi svaret med én desimal.
a) c)
C
C
30°
2,5 cm 60° 30°
A x B
60°
5,5 cm
b)
C
A x B
60°
8 cm
Geometri og beregninger
4 Konstruer trekantene.
a) b)
A
30°
A x B
C
60°
6,5 cm
30°
5 En firkant ABCD har disse målene: AB = 8,0 cm, BC = 4,0 cm,
CD = 5,0 cm og B =60 og AB || CD.
a) Tegn en hjelpefigur.
b) Konstruer firkanten.
c) Konstruer høyden fra C til AB.
d) Regn ut høyden.
e) Regn ut arealet av firkanten ABCD.
B
D
22,5°
7 cm
120°
F
E
96

6 a) Tegn en vilkårlig sirkel.
b) Finn sentrum av sirkelen ved hjelp av konstruksjon.
c) Konstruer en tangent til sirkelen.
7 Trekantene er formlike. Regn ut den ukjente siden.
C
F
8,0 cm
x
A 10,0 cm B D 8,0 cm
E
8 Ta de nødvendige målene og lag en kongruensavbildning av figuren.
9 Hvor mange symmetriakser har figurene
a) b) c)
Geometri og beregninger 97

10 Tegn av figuren og koordinatsystemet.
a) Speil figuren om førsteaksen.
b) Speil så den nye figuren om andreaksen.
y
x
11 Tegn av, og speil figuren om l ved hjelp av konstruksjon.
Geometri og beregninger
l
12 Tegn en 4ABC og et punkt P utenfor figuren. Roter 4ABC 30 om P.
13 Tegn av og parallellforskyv firkanten 2,5 cm to ganger i pilens retning.
14 Tegn et prisme i perspektiv med ett forsvinningspunkt.
98

Noe å lure på
1 Vil det bli en knute på tråden hvis du trekker i begge endene samtidig
2 Martin har lagd en sjokoladekake med
areal 3,14 dm 2 som han skal putte i en
kvadratisk kakeboks.
Hvor stor må den kvadratiske kakeboksen
være for at kaka skal få plass i boksen
3 Hva er halvparten av halvparten av halvparten
av halvparten av 2000
4 Bestem hvilken kube som er den riktige av 1, 2, 3 eller 4 når du bretter
sammen kuben.
C
1 2 3 4
Geometri og beregninger 99

Oppsummering
Pytagoras-setningen
Vi bruker Pytagoras-setningen til å finne en ukjent side i en rettvinklet
trekant.
Katet 2 + Katet 2 = Hypotenus 2
C
Katet
Katet
A
Hypotenus
B
Spesielle trekanter og Pytagoras-setningen
Geometri og beregninger
Trekanter med vinkler på 45 º ,45 º og 90 º
I en slik trekant er katetene like lange. Dersom vi kjenner lengden til bare én
av sidene, kan vi finne de ukjente sidene ved hjelp av Pytagoras-setningen.
Vi finner katetene på denne måten:
x 2 + x 2 = BC 2
2x 2 =8 2
2x 2 =64
rffiffiffiffiffi
64
x =
2
x 5,7
Trekanter med vinkler på 30 º ,60 º og 90 º
I en rettvinklet trekant der vinklene er 30 ,60 og 90 , er hypotenusen
dobbelt så lang som den minste kateten.
x
C
A
x
8 cm
B
100

Vi finner den minste kateten (x) og hypotenusen (2x) pådenne måten når vi
kjenner bare den lengste kateten (AC):
x 2 + AC 2 = ð2xÞ 2
x 2 +5 2 =4x 2
25 = 4x 2 --x 2
25 = 3x 2
rffiffiffiffiffi
25
= x
3
2,9 x
x = 2,9
5 cm
C
A
30°
90°
x
2x
60°
B
Formlikhet
Når to figurer er formlike, er vinklene parvis like store. Forholdet mellom
ensliggende sider er likt.
C
60°
F
60°
A
30°
B
D
30°
E
4ABC 4DEF
Trekant ABC er formlik med trekant DEF.
Kongruens
To figurer er kongruente når den ene figuren nøyaktig kan dekke den andre.
Det vil si at figurene er formlike og like store.
C
F
A B D E
4ABC ffi4DEF
Trekant ABC er kongruent med trekant DEF.
Geometri og beregninger 101

Kongruensavbildninger
Speilingssymmetri
En figur er symmetrisk hvis den kan deles i to
kongruente figurer som dekker hverandre når vi
bretter dem om symmetriaksen. En og samme
figur kan ha flere symmetriakser.
Symmetriakse
Speiling ved hjelp av et koordinatsystem
Når vi speiler en figur ved
Andreaksen
hjelp av et koordinatsystem,
speiler vi figuren om
førsteaksen eller andreaksen.
y
x
Førsteaksen
Geometri og beregninger
Speiling ved hjelp av passer og linjal
Når vi speiler en figur om en linje, bruker
vi passer og linjal. Vi nedfeller normaler
fra punkter på figuren til linja.
Vi avsetter så avstanden fra
punktet til motsatt side av
normalen slik at vi får et
nytt punkt.
l
102

Rotasjon
Hvis det ikke er gitt beskjed om noe annet, utfører vi rotasjonen mot venstre.
Rotasjon 90 om punktet P
Rotasjon 90 om hjørnet A
C’
B’
C
B’
A’
C
B
P
A
B
C’
A
Parallellforskyving
C
C’
A
B
A’ B’
Perspektivtegning med ett eller to forsvinningspunkter
Geometri og beregninger 103

Hvilket abonnement
lønner seg hvis jeg ringer
mye
Hvilket abonnement
lønner seg hvis jeg
ringer lite

3
Funksjoner
En funksjon viser hvordan en verdi forandrer seg på grunnlag
av en annen verdi.
Når du for eksempel snakker i mobiltelefonen avhenger prisen
av hva slags abonnement du har. Noen abonnement er dyre,
da er ofte minuttprisen lav, mens andre abonnement er
billigere, da er ofte minuttprisen høy. Vi sier at prisen du må
betale avhenger av hvor lenge du snakker, startavgift og
abonnementspris per måned.
Prisen er en
funksjon av abonnement
og ringetid!
Mål
I dette kapitlet vil du få lære om
. funksjoner i praktiske situasjoner og uttrykt i
– tabeller
– bokstavuttrykk eller formler
– grafer
. stigningstall og konstantledd i funksjonsuttrykk
. kvadratiske funksjoner
. proporsjonale størrelser
. omvendt proporsjonale størrelser

Funksjoner i dagliglivet
Vi kjører y km
på x timer!
y = 70•x
Hvordan kan vi tegne sammenhengen mellom y og x i et
koordinatsystem
En funksjon viser en sammenheng mellom to eller flere verdier. Vi kan fortelle
om sammenhengen i tekster, i tabeller, i grafer og som bokstavuttrykk.
En bil kjører med en gjennomsnittshastighet på 70 km/h. Hvis x er tiden i
timer og y er kjørelengden, får vi formelen:
y =70 x
70 km/h er
70 km per time.
Funksjoner
106

Vi regner ut hvor langt bilen kjører på 1 time, 2 timer, ..., 5 timer, og setter
resultatet opp i en verditabell:
x (Tid i timer) 1 2 3 4 5
y (Kjørelengde i km) 70 140 210 280 350
Vi bruker tallene i tabellen til å tegne en graf som viser sammenhengen
mellom antall timer (x) og kjørelengden (y). x er førstekoordinaten, og y er
andrekoordinaten.
Vi tegner punktene (1, 70), (2, 140),
(3, 210), (4, 280) og (5, 350) i koordinatsystemet
og trekker en linje gjennom
origo og punktene.
Vi kan
også bruke et regneark
med diagramveiviser.
Hvis vi kjører et antall timer med bilen,
kjører vi en bestemt strekning. Da sier vi at
strekningen er en funksjon av tiden. Hvis y
er strekningen og x er tiden, så ery en
funksjon av x.
Km
y
300
200
100
1 2 3 4 5
x
Antall timer
Hver gang vi setter inn en verdi for x,får vi regnet ut én verdi av y. Vi kan altså
ikke få to eller flere verdier av y for én verdi av x.
Funksjoner 107

Regel
y er en funksjon av x når hver verdi av x gir én verdi av y.
Vi kan gi uttrykk for en sammenheng mellom to størrelser ved hjelp av
formler eller bokstavuttrykk. Formlene kan vi bruke når vi skal vise
sammenhengen i grafer.
Eksempel
Sara sykler med farten 20 km/h.
Hvis hun sykler i x timer, vil strekningen
y i kilometer være:
y =20x
a) Lag en verditabell og framstill
sammenhengen mellom x og
y i en graf.
b) Forklar hvorfor y er en
funksjon av x.
Løsning
a) Vi velger tre verdier for x, regner ut tilhørende verdier av y og setter
tallene inn i en tabell.
Det holder
x 0 1 2
med to punkter –
det tredje er med for
y 0 20 40
kontrollens skyld.
Funksjoner
Vi merker av punktene
(0, 0), (1, 20) og (2, 40)
i et koordinatsystem
og trekker en rett linje
mellom punktene.
108

Km
140
y
120
100
80
60
40
20
1 2 3 4 5 6 7 8 Antall timer
x
b) Til hver verdi av tiden x svarer kun én verdi av strekningen y.
Da er y en funksjon av x.
Oppgaver
3.1 Martin kjøper epler til 15 kr per kg. For x kg betaler han y kr.
Sammenhengen mellom y og x blir:
y =15x
a) Framstill sammenhengen mellom y og x ved hjelp av en tabell. Velg
verdiene 0, 1, 2, 3, 4 og 5 for x.
b) Tegn en graf som viser sammenhengen mellom y og x.
c) Forklar hvorfor y er en funksjon av x.
3.2 Lotte er 5 år eldre enn Truls. Det kan vi uttrykke med sammenhengen
y = x + 5, der y er alderen til Lotte og x er alderen til Truls.
a) Sett opp en tabell og tegn grafen til y = x +5:
b) Forklar hvorfor y er en funksjon av x.
Funksjoner 109

3.3 Hanna har et mobilabonnement med en fast pris
på 49 kr per måned. I tillegg betaler hun 0,89 kr
for hver SMS hun sender. Hvis hun sender x
meldinger en måned, betaler hun y kr til sammen.
Sammenhengen mellom y og x kan uttrykkes som
en funksjon slik:
y = 0,89x +49
a) Sett opp en tabell og framstill funksjonen
grafisk.
b) Les av på grafen hvor mye Hanna må betale når
hun sender 50 meldinger.
c) Hvor mange meldinger kan hun sende for
110 kr
3.4 En bil har 50 liter bensin på tanken. Den bruker 0,6 liter per mil. Etter
å ha kjørt x mil, er det y liter bensin igjen på tanken. Sammenhengen
mellom y og x kan uttrykkes som en funksjon slik:
y = 50 -- 0,6x
a) Sett opp en tabell og framstill funksjonen grafisk.
b) Les av på grafen hvor mange liter det er igjen på tanken etter at
bilen har kjørt 25 mil.
c) Hvor mange mil kan vi kjøre før tanken er tom
Funksjoner
110

Lineære funksjoner
Stigningstallet
er 2.
4
3
2
y
y=2x
1
–2 –1 1 2 3 4 5
x
1
–1
–2
Hva mener vi med stigningstall
Stigningstall
Funksjonen y =2x er skrevet på
formen y = ax. Grafen til en slik
funksjon er en rett linje som går
gjennom origo og har stigningstallet
a. Vi kaller en slik funksjon for en
lineær funksjon.
4
3
2
y
Dette kan vi utnytte når vi skal tegne
grafer til funksjoner på denne formen.
Vi trenger da ikke å sette inn
forskjellige verdier for x og regne ut
verdiene for y. Vi ser også aty øker
med 2 hver gang x øker med 1. Det
betyr at stigningstallet er 2.
1 2
1
–2 –1 1 2 3
–1
–2
x
Funksjoner 111

Eksempel
Tegn grafen til funksjonen: y =3x
Løsning
y =3x er skrevet på formen y = ax. Her er a = 3:
Grafen går gjennom origo. Fra origo går vi én enhet til høyre langs
førsteaksen. Derfra går vi tre enheter oppover for å finne et annet punkt
på linja. Da har vi to punkter på linja og kan tegne den.
4
y
3
2
1
x
–3 –2 –1 1 2 3
–1
Hvordan blir det hvis stigningstallet er et negativt tall Vi ser på hvordan vi
kan tegne grafen til funksjonen y = --1,5x.
y = --1,5x er skrevet på formen y = ax. Her er a = --1,5.
Funksjoner
Grafen går gjennom origo. Fra origo
går vi én enhet til høyre langs
førsteaksen. Derfra går vi 1,5 enheter
nedover for å finne et annet
punkt på linja. Vi går nedover fordi a
er et negativt tall. Da har vi to
punkter på linja og kan tegne den.
y
2
1
1
x
–2 –1 1 2 3
1,5
–1
–2
–3
112

Oppgaver
3.5 Hva er stigningstallet til funksjonene
a) y =2x b) y =8x c) y =–3x
3.6 Tegn funksjonene.
a) y =2x b) y =–3x c) y = 2,5x
3.7 Hvilken av linjene har størst stigningstall
5
y
linje 3
linje 2
linje 1
4
3
2
1
–2 –1 1 2 3
x
–1
–2
3.8 Tegn funksjonene.
a) y = 3 2 x b) y =--1 2 x
3.9 Grafene til funksjonene y = x, y =2x og y = 5 x går alle gjennom origo.
2
Hvilken av grafene har den største stigningen
3.10 Beskriv hvordan grafen til funksjonen y =–3x går.
3.11 Grafen til en funksjon går gjennom origo og har et stigningstall på -- 8 3 .
Skriv et funksjonsuttrykk der y er en funksjon av x.
Funksjoner 113

Konstantledd
y =2x + 1 er en funksjon. Vi setter inn forskjellige
verdier for x og regner ut verdiene for y.
Du kan godt
velge andre x-verdier.
x = 0 gir y =2 0+1=1
x = 1 gir y =2 1+1=3
x = 2 gir y =2 2+1=5
Dette gir oss denne tabellen:
x 0 1 2
y 1 3 5
Vi får punktene (0, 1), (1, 3) og (2, 5).
Grafen til funksjonen blir slik:
5
y
4
3
2
2
1
1
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5
–1
x
Funksjoner
Grafen til funksjonen y = 2x + 1 er en rett linje som går gjennom punktet
(0, 1) på andreaksen, og som har stigningstallet 2. Tallet 1 i dette
funksjonsuttrykket kaller vi konstantleddet.
Funksjonen y =2x + 1 er et eksempel på en lineær funksjon. Ettersom
konstantleddet er 1, vil skjæringspunktet mellom grafen og andreaksen være (0, 1).
y = ax + b
Stigningstallet
Konstantleddet (skjæringspunkt med andreaksen)
114

Regel
Grafen til en funksjon som kan skrives på formen y = ax + b, er en rett
linje som går gjennom punktet (0, b), og som har stigningstallet a.
Opplysninger om stigningstall og konstantledd er nok til å kunne tegne
grafen til en lineær funksjon.
Eksempel
Tegn grafen til funksjonen y =2x –3.
Løsning
Funksjonen y =2x – 3 er en lineær funksjon der konstantleddet er –3.
Linja går derfor gjennom punktet (0, –3). Stigningstallet er 2.
Vi starter derfor i punktet (0, –3) og går én enhet til høyre parallelt med
førsteaksen. Derfra går vi to enheter oppover for å finne ett punkt til på
linja. Nå kan vi tegne linja.
1
y
–3 –2 –1 1 2 3
–1
x
–2
2
–3
1
–4
–5
I eksempelet ovenfor tegnet vi en linje som vi kjenner likningen (funksjonsuttrykket)
til.
Funksjoner 115

Vi kan også finne likningen til en linje når vi kjenner to punkter på linja.
Eksempel
En linje går gjennom punktene (–1, –3) og (2, 3).
Finn likningen for linja.
Løsning
Vi merker av punktene i et koordinatsystem, og trekker linja mellom
dem.
2
y
3
2
1
2
–3 –2 –1 1 2 3
x
–1
1
–2
–3
–4
–5
Funksjoner
Linja skjærer andreaksen i y = –1. Konstantleddet er derfor –1.
Vi finner stigningstallet ved å gåén enhet mot høyre fra y =–1på
andreaksen, parallelt med førsteaksen. Da må vigåto enheter oppover
for å komme til linja. Stigningstallet er derfor 2.
Likningen til linja er: y =2x -- 1
116

Oppgaver
3.12 Hva er stigningstallet og konstantleddet til funksjonene
a) y =2x -- 1 b) y =--3x +2 c) y = 3 2 x + 5 2
3.13 En linje går gjennom to punkter.
Finn likningen for linjene når punktene er
a) (0, 1) og (1, 3)
b) (–1, –4) og (2, 2)
c) (–1, 0) og (1, 6)
3.14 Lotte kjøper en pose pærer til 20 kr og x kg epler til 10 kr per kg. Hun
betaler y kr til sammen. Sammenhengen mellom det hun kjøper og det
hun betaler, kan vi skrive slik:
y =10x +20
a) Er sammenhengen en lineær funksjon Begrunn svaret.
b) Hvor skjærer grafen andreaksen
c) Hva er stigningstallet til grafen
d) Tegn grafen.
3.15 Tegn grafen til funksjonene.
a) y =2x -- 5 b) y =-- 5 x c) y =--2x +7
2
Funksjoner 117

3.16 Finn stigningstallet og konstantleddet.
a)
y
3
2
1
x
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5
–1
–2
–3
b)
3
y
2
1
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5
–1
x
–2
–3
Funksjoner
3.17 Hvilken av funksjonene nedenfor går gjennom origo
A: y = 1 x -- 5
3
C: y =--5x +5
B: y = --0,5x D: y =10x -- 10
3.18 Tegn grafen til funksjonen: y =-- 7 2 x -- 8 3
118

Grafen til kvadratiske funksjoner
Dette blir jo
ikke en rett linje!
Hva gjør vi
y = x 2 4
y
3
2
1
–2 –1 1 2 3
x
Hvordan kan vi tegne grafen til funksjonen y = x 2
y = x 2 er en kvadratisk funksjon fordi x 2 er et kvadrattall. Grafen til en
kvadratisk funksjon er ikke en rett linje. Når vi skal tegne grafen til en
kvadratisk funksjon, må vi alltid tegne mange punkter for å fåen jevn kurve.
Vi setter inn forskjellige verdier for x,
og regner ut verdiene for y.
x = --2 gir y = ð--2Þ 2 =4
x = --1 gir y = ð--1Þ 2 =1
x =--0; 5 gir y = ð--0; 5Þ 2 =0; 25
x = 0 gir y =0 2 =0
x =0; 5 gir y =0; 5 2 =0; 25
x = 1 gir y =1 2 =1
x = 2 gir y =2 2 =4
Husk!
Du kan godt velge
andre x-verdier.
Funksjoner 119

Dette gir oss denne tabellen:
x –2 –1 –0,5 0 0,5 1 2
y 4 1 0,25 0 0,25 1 4
Vi får punktene (–2, 4), (–1, 1), (–0,5, 0,25), (0, 0), (0,5, 0,25), (1, 1) og (2, 4).
Vi lager et koordinatsystem og setter inn punktene fra tabellen. Da får vi
denne grafen:
9
y
8
7
6
5
4
3
2
1
–3 –2 –1 1 2 3
x
1
Funksjoner
Grafen til funksjonen y = x 2 kaller vi en parabel. Grafen er symmetrisk om
andreaksen. Det kommer av at to x-verdier gir én og samme y-verdi. Du ser at
både x = --2 og x = 2 gir y =4.Påsamme måte fikk vi to løsninger når vi løste
kvadratiske likninger:
x 2 =4
p ffiffiffi
p ffiffiffi
x =-- 4 = --2 og x = 4 =2
120

Eksempel
Tegn grafen til funksjonen: y = x 2 -- 4
Løsning
Vi setter inn forskjellige verdier for x, og regner ut de tilhørende
verdiene for y.
x –3 –2 –1 –0,5 0 0,5 1 2 3
y 5 0 –3 –3,75 –4 –3,75 –3 0 5
Vi merker av punktene i et koordinatsystem og trekker en jevn kurve
gjennom punktene.
2
y
5
4
3
2
1
–3 –2 –1 1 2 3
x
1
–1
–2
–3
–4
Funksjoner 121

Oppgaver
3.19 a) Tegn grafen til funksjonen:
y = x 2 -- 2
Bruk grafen til å svare på spørsmålene b, c og d.
b) Hva er y når x =2
c) Hva er y når x = –2
d) Hva er x når y =7
3.20 a) Tegn grafen til funksjonen:
y = x 2 +1
Bruk grafen til å svare på spørsmålene b, c og d.
b) Hva er y når x =1
c) Hva er y når x = –1
d) Hva er x når y =5
3.21 Sammenlikn grafene i oppgavene 3.19 og 3.20.
Hva har konstantleddet etter x 2 å si for grafen
3.22 Tegn grafen til begge funksjonene i det samme koordinatsystemet.
a) y =2x 2 b) y =4x 2
3.23 Tegn grafen til begge funksjonene i det samme koordinatsystemet.
a) y =--2x 2 b) y =--3x 2
3.24 Sammenlikn grafene i oppgavene 3.22 og 3.23.
Hva har tallet foran x 2 å si for grafen
Funksjoner
3.25 Løs likningene.
a) x 2 =16 b)x 2 = 100 c) x 2 =50 d)x 2 =60
122

3.26 Antallet bakterier i en bakteriekoloni er y etter at den har vokst i
x minutter. y er gitt ved formelen:
y =6; 5x 2 Koloni med
Staphylococcus aureus,
vanlige og ufarlige
bakterier på
hudoverflaten hos
mennesker.
Hvor mange bakterier er det etter
a) 1 minutt
b) 5 minutter
c) 10 minutter
d) 30 minutter
e) Tegn grafen til funksjonen når x er mellom 0 og 30 minutter.
3.27 Tegn grafen til funksjonen:
y =-- 3 4 x2 +6
3.28 Vi kaster en stein opp i lufta. Høyden h over bakken i meter etter
t sekunder er gitt ved denne funksjonen:
h =--5t 2 +10t
a) Tegn grafen til funksjonen når t er mellom 0 og 2. Sett av t langs
førsteaksen og h langs andreaksen.
b) Beskriv bevegelsen til steinen ut fra grafen.
Funksjoner 123

Proporsjonale størrelser
1,50 – 3,00
– 4,50 –...
Hva betyr det at prisen på meldinger er proporsjonal med
antall meldinger
Sara har et abonnement på mobiltelefon der hun betaler 1,50 kr for hver
MMS hun sender. Vi regner ut hvor mye det koster å sende 1, 2, 4, 8, 16 og 32
meldinger. Resultatet setter vi inn i en tabell.
Antall meldinger: 1 2 4 8 16 32
Pris i kroner: 1,50 3,00 6,00 12,00 24,00 48,00
Funksjoner
Vi ser at når antall meldinger øker til det dobbelte,
så øker også prisen til det dobbelte. Øker antall
meldinger til det tredobbelte, øker også prisen til
det tredobbelte.
Vi sier at antall meldinger og prisen øker i samme
forhold. Det betyr at antall meldinger og prisen er
proporsjonale størrelser.
1 · 1,50 = 1,50
2 · 1,50 = 3,00
3 · 1,50 = 4,50
Osv...
124

Hvis vi kaller prisen for y og prisen per melding for x, får vi denne
sammenhengen:
y = k x
der k kan være et hvilket som helst tall bortsatt fra 0.
I tabellen på forrige side er x = 1,50, mens k varierer fra 1 til 32.
Grafen til proporsjonale størrelser går alltid gjennom origo. Det ser vi ved at
sammenhengen mellom proporsjonale størrelser kan skrives som en funksjon
på formen
y = k x
Regel
Sammenhengen mellom to proporsjonale størrelser x og y kan vi alltid
uttrykke på formeny = k x,derk erethvilketsomhelsttallbortsettfra0.
Eksempel
Herman kjøper epler som koster 12 kr per kg.
a) Forklar hvorfor vekten og kjøpesummen er proporsjonale størrelser.
b) Lag en graf som viser hvor mye Herman betaler for inntil 8 kg epler.
Løsning
a) Vi regner ut kjøpesummen for
forskjellige antall kilogram epler.
Vekt (kg) 1 2 4 8
Kjøpesum (kr) 12 24 48 96
Funksjoner 125

Vi ser at vekten og kjøpesummen øker i samme forhold. Når vekten øker
til det dobbelte, øker også kjøpesummen til det dobbelte.
Vekten og kjøpesummen er proporsjonale størrelser.
b)
Hvis kjøpesummen i kroner er y og antallet kilogram epler er x, blir
formelen for kjøpesummen:
y =12x
Dette er en lineær funksjon uten konstantledd. Vi kan tegne grafen til
denne funksjonen når vi vet at den går gjennom origo og har
stigningstallet 12.
Vi kan også sette opp en tabell med tre verdier for x og regne ut y.
x 0 1 2
y 0 12 24
Kjøpesum (kr)
60
48
36
24
12
Funksjoner
1 2 3 4
Vekt (kg)
126

Oppgaver
3.29 Lotte sykler med jevn fart.
Er avstanden hun sykler og tiden hun bruker, proporsjonale størrelser
3.30 På Mega Oil bensinstasjon koster bensinen 13 kr per liter. Tabellen viser
hvor mye ulike antall liter bensin koster.
Liter bensin: 1 2 4 8
Pris i kroner: 13 26 52 104
a) Lag en graf på grunnlag av tallene i tabellen. Sett «Liter bensin»
langs førsteaksen og «Pris» langs andreaksen.
b) Hvorfor er antall liter bensin og prisen proporsjonale størrelser
3.31 Simen arbeider i kiosken på lørdager. Han tjener 90 kr per time. Hvis
han arbeider i x timer, tjener han y kr. Vi kan sette opp sammenhengen
mellom y og x som et funksjonsuttrykk slik:
y =90x
a) Tegn grafen til funksjonen y =90x. Lax variere fra 0 til 10.
b) Hvorfor er lønna og antallet timer proporsjonale størrelser
Funksjoner 127

3.32 Hanna skal kjøpe
gulrøtter til hesten sin.
1 kg koster 4,50 kr
5 kg koster 18,50 kr
10 kg koster 29,50 kr
a) Tegn en graf som viser sammenhengen mellom antallet kilogram og
pris. Sett antall kilogram på førsteaksen og pris på andreaksen.
b) Er vekt og pris proporsjonale størrelser
3.33 Herman sykler i 1 time 20 minutter. Tiden han bruker og kjørelengden
er satt opp i tabellen nedenfor.
Tid (min) 10 20 30 40 50 60 70 80
Kjørelengde
(km)
4 8 12 15 20 24 28 32
Hvilket tall må forandres for at tiden og kjørelengden skal være
proporsjonale størrelser
Funksjoner
128

Omvendt proporsjonale størrelser
Hvis flere skal dele,
blir det mindre på hver.
Hva vil det si at to størrelser er omvendt proporsjonale
I det daglige møter vi ofte størrelser der den ene øker og den andre minker:
– Jo større fart du holder på vei til skolen, jo kortere tid bruker du.
– Jo flere som deler en pizza, jo mindre del av pizzaen får hver.
– Hvis du har 200 kr på telefonkortet ditt, kan du sende flere meldinger jo
lavere prisen per melding er.
Gruppa til Hanna får tilbud om å utføre et
arbeid. De skal få 6000 kr for dette arbeidet.
Lønna skal de dele likt etter hvor mange som
blir med på arbeidet. Vi tenker oss ulikt antall
elever, og regner ut hvor mye det blir på hver.
I tabellen ser du resultatet.
6000 : 3 = 2000
6000 : 6 = 1000
Osv.
Antallet elever 3 6 12 24
Lønn per elev (kr) 2000 1000 500 250
Funksjoner 129

Vi ser at når antallet elever øker til det dobbelte, går lønna til hver elev ned til
det halve. Når antallet elever øker til det tredobbelte, går lønna til hver elev
ned til en tredel.
Vi sier at lønna per elev går ned i samme forhold som antallet elever øker. Det
betyr at antallet elever og lønn per elev er omvendt proporsjonale størrelser.
Hvis vi kaller lønna i kroner per elev for y og antallet elever for x, får vi denne
sammenhengen:
y = k x
der k kan være et hvilket som helst tall bortsett fra 0.
I tabellen ovenfor er k = 6000, mens x varierer fra 3 til 24.
Regel
Sammenhengen mellom to størrelser x og y som er omvendt
proporsjonale, kan vi uttrykke på formen y = k , der k kan være et
x
hvilket som helst tall bortsett fra 0.
Dette er grafen til:
y = 6000
x .
En slik graf kaller vi en
hyperbel. Funksjonsuttrykk
på denne formen er et
uttrykk som viser sammenhengen
mellom to omvendt
proporsjonale størrelser,
x og y.
Lønn (kr)
7000
6000
5000
4000
3000
Funksjoner
2000
1000
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
Antall elever
Grafen nærmer
seg 0 på førsteaksen, men
kommer aldri helt ned!
130

Oppgaver
3.34 I hvilken av disse funksjonene er x og y omvendt proporsjonale
størrelser
A: y = x +2 B: y = 5 x
C: y =5x
3.35 Tegn grafen til funksjonene. Velg x-verdiene 1, 10, 20, 30, 40 50, 60, 80,
90 og 100.
a) y = 100
x
b) y = 2000
x
c) y = 5000
x
3.36 En gruppe elever skal dele 4000 kr.
a) Hvor mye blir det på hver elev hvis to elever deler likt
b) Hvor mye blir det på hver elev hvis fire elever deler likt
c) Lag en tabell som viser hvor mye hver elev får hvis antallet elever
varierer mellom 1 og 20.
d) Tegn en graf som viser hvor mange kroner hver elev får.
e) Hvorfor er det beløpet hver elev får, og antallet elever omvendt
proporsjonale størrelser
3.37 Et rektangel har arealet 24 cm 2 . Bredden er x cm, og lengden er y cm.
Sammenhengen mellom lengden og bredden kan uttrykkes slik:
y = 24
x
a) Lag en tabell, og tegn grafen til funksjonen.
b) Les av på grafen hvor stor bredden er når
lengden er 6 cm.
c) Les av på grafen hvor stor lengden er
når bredden er 3,2 cm.
d) Hvorfor er bredden og lengden
proporsjonale størrelser
Hm. Jeg ser tydelig
en sammenheng her...
Funksjoner 131

3.38 Sara skal sykle til golfbanen, en strekning på
36 km. Farten er y km/h, og tiden er x timer.
a) Lag en formel for farten.
b) Lag en tabell, og tegn grafen til funksjonen.
c) Hvor stor er farten hvis Sara bruker 3 timer
d) Hvor lang tid bruker Sara hvis farten
er 20 km/h
e) Hvorfor er farten og tiden
omvendt proporsjonale størrelser
3.39 Sammenhengen mellom to størrelser x og y er gitt ved uttrykket:
x y = 100
a) Skriv en formel for y uttrykt ved x.
b) Tegn grafen for funksjonen y.
c) Forklar hvorfor x og y er omvendt proporsjonale størrelser.
Funksjoner
132

Prøv deg selv
1 Sammenhengen mellom to størrelser x og y er satt opp i tabellen
nedenfor.
x 0 1 2 3 4 5 6
y –2 0 2 4 6 8 10
a) Merk av punktene (x, y) i et koordinatsystem og trekk en linje
gjennom dem.
b) Hvorfor er y en funksjon av x
2 Simen er tre år yngre enn Silje. Hvis Silje er x år og Simen er y år, så er:
y = x -- 3
a) Sett opp en tabell og tegn grafen til funksjonen y = x -- 3:
b) Forklar hvorfor y er en funksjon av x.
3 Hvilken av funksjonene har en graf som går gjennom origo
A: y = x +4 B: y =2x +1 C: y = 1 x D: y =2x -- 1
2
y
Origo!
x
Funksjoner 133

4 Tegn grafen til funksjonen y = 5 2 x:
5 Hva er stigningstallet, og hva er konstantleddet til funksjonene
a) y =2x +1 b)y = 5 2 x + 1 2
c) y =--2x -- 1
6 Bruk stigningstallet og konstantleddet og tegn grafen til funksjonene.
a) y =2x -- 3 b) y =-- 1 2 x +3
7 a) Tegn grafen til funksjonen y = x 2 -- 3:
b) Hva er y når x =3
c) Hva er x når y = 13
8 Tabellen viser hvor stor omkretsen av et kvadrat er når siden i kvadratet
er oppgitt.
Siden (cm) 1 2 3 4 5
Omkretsen (cm) 4 8 12 16 20
a) Lag en graf på grunnlag av tallene i tabellen. Velg siden i kvadratet
langs førsteaksen og omkretsen langs andreaksen.
b) Forklar hvorfor omkretsen av kvadratet er proporsjonal med
lengden av siden i kvadratet.
9 I hvilke av disse funksjonene er x og y omvendt proporsjonale
størrelser
A: y =10x +1 B: y =10x C: y = 10
x
Funksjoner
10 Tegn grafen til funksjonen y = 10
x :
134

Noe å lure på
1 Hvilke av utsagnene er sanne
a) Omkretsen av et kvadrat er proporsjonal med lengden av siden
i kvadratet.
b) Arealet av et kvadrat er proporsjonalt med lengden av siden
i kvadratet.
c) Prisen på tekstmeldinger er proporsjonal med antallet meldinger.
d) Tiden du bruker er proporsjonal med den farten du har.
e) Kroppshøyden til en person er proporsjonal med alderen til
personen.
2 Tallet 220 er delelig med disse tallene:
1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 og 110
Summen av disse tallene er 284.
Tallet 284 er delelig med disse tallene:
1, 2, 4, 71 og 142
Summen av disse tallene er 220.
En venn er
en som er ens annet jeg, på samme
måte som 220 og 284 er det.
Hvorfor tror du Jakob gav 200 sauer og 20 værer til Esau
(jf. 1. Mosebok 32,14)
Funksjoner 135

3 Man kan lure på om det er noe merkelig med tallet 13.
1 Nasjonaldagen vår er 17.5.: 1 + 7 + 5 = 13
2 Unionen med Sverige ble oppløst 7.6.: 7 + 6 = 13
a) På hvilken dato i 1940
okkuperte tyskerne
Norge
b) På hvilken dato i 1945
ble det fred i landet
c) Har disse datoene noe
med tallet 13 å gjøre
Den andre verdenskrig (1940-
45) er over og frigjøringsfesten
er igang i Oslo.
Funksjoner
4 a) Regn ut: 1 2 + 1 3 + 1 4
b) Hvilket tall tror du summen nærmer seg hvis du summerer mange
brøker etter dette mønsteret:
1
2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 ...
5 a) Regn ut arealet av et A4-ark.
b) Hva er arealet av et A3-ark
c) Hva vil arealet av et A0-ark bli
136

Oppsummering
Funksjon
y er en funksjon av x når hver verdi av x gir én verdi av y.
Lineære funksjoner
En lineær funksjon er av typen
y = ax + b.
Tallet b i uttrykket kaller vi konstantleddet.
Dette forteller hvor linja
skjærer andreaksen.
7
6
5
y
Tallet a i uttrykket kaller vi stigningstallet
for linja. Stigningstallet forteller
hvor mye y øker eller minker når
x øker med 1.
4
3
2
1
2
Hvis tallet b er 0, går linja gjennom
origo.
Funksjonen y =2x + 3 er et
eksempel på en lineær funksjon.
Her er konstantleddet 3, og linja
skjærer andreaksen gjennom tallet 3.
Stigningstallet er 2. Når x øker med 1,
øker y med 2.
1
origo
–2 –1 1 2 3
–1
x
Kvadratiske funksjoner
y = x 2 -- 2 er et eksempel på en kvadratisk funksjon.
Grafen til en kvadratisk funksjon er en parabel.
Funksjoner 137

x –2 –1 –0,5 0 0,5 1 2
y 2 –1 –1,75 –2 –1,75 –1 2
5
y
4
3
2
1
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
x
-1
-2
Proporsjonale størrelser
Sammenhengen mellom to proporsjonale størrelser x og y kan vi alltid
uttrykke på formen y = k x, der k er et hvilket som helst tall bortsett fra 0.
Funksjoner
Grafen til proporsjonale størrelser er
alltid en rett linje gjennom origo.
Til høyre ser du grafen til
funksjonen y =2x.
x 0 1 2
y 0 2 4
y
4
3
y = 2x
2
1
x
–2 –1 1 2
–1
138

Omvendt proporsjonale størrelser
Sammenhengen mellom to størrelser x og y som er omvendt proporsjonale,
kan vi uttrykke på formen y = k , der k kan være et hvilket som helst tall
x
bortsett fra 0.
Grafen til omvendt proporsjonale størrelser er en hyperbel.
Nedenfor ser du grafen til funksjonen y = 10
x :
x 1 2 4 5 10
y 10 5 2,5 2 1
10
y
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x
Funksjoner 139

Vi må se å få orden
på disse bokstavene.
V = G h
Mange variabler
å holde orden på!
2x +3=9
y =2x
2ðx- 1Þ +3=6- ðx- 1Þ

4
Likninger og ulikheter
Vi kan bruke likninger når vi skal løse praktiske problemer. Vi
bruker ofte x for den ukjente i en likning, men vi kan også
bruke andre bokstaver, som for eksempel a, y eller z.
Vi kan løse en likning grafisk eller ved regning.
Mål
I dette kapitlet vil du få lære
. å løse likninger med parenteser og brøker
. å løse enkle likninger grafisk
. å løse to likninger med to ukjente – både grafisk og ved
regning
. å løse enkle ulikheter
. å kunne bruke likninger i problemløsing
2x +3< x +5

Å løse likninger
De to likningene
er jo egentlig like!
2x + 3 = 9
2x = 9 – 3
Hva mener Simen med at likningene er like
Likninger og ulikheter
Når vi løser likninger, kan vi bruke disse reglene:
Vi kan legge til eller trekke fra det samme tallet eller
variabeluttrykket på begge sider av likhetstegnet.
Vi kan multiplisere eller dividere alle leddene på begge
sider av likhetstegnet med det samme tallet eller
variabeluttrykket.
Vi kan løse likningen 2x + 3 = 9 slik:
2x +3=9
2x +3-- 3 = 9 -- 3
2x =9--3
2x
2 = 6 2
x =3
Vi trekker fra 3 på begge sider.
Husk! Du kan
ikke multiplisere eller
dividere med 0!
142

Når vi sammenlikner likningene 2x + 3=9og2x =9--3, ser vi at tallet 3
har kommet over på høyre side og skiftet fortegn. Denne regelen gjelder for
alle likninger:
Regel
I en likning kan vi flytte et ledd over på den andre siden av likhetstegnet
hvis vi samtidig skifter fortegn på leddet.
Eksempel
Løs likningen og sett prøve på svaret.
4x -- 2 = 2x +6
Løsning
4x -- 2 = 2x +6
4x =2x +6+2
Vi flytter –2 over til høyre og skifter fortegn.
4x -- 2x ¼ 6+2
2x =8
2x
2 = 8 2
x =4
Vi flytter 2x over til venstre og skifter fortegn.
Vi dividerer alle ledd med 2.
Vi setter prøve på svaret x =4:
Venstre side:
4x -- 2
4 4--2
16 -- 2
14
Høyre side:
2x +6
2 4+6
8+6
14
Verdien av venstre side er lik verdien av høyre side. Løsningen x =4er
derfor riktig.
Likninger og ulikheter 143

Oppgaver
4.1 Løs likningene.
a) 5x -- 2 = 13 c) 3x -- 2 = 2x -- 5
b) 3x -- 1 = 11 d) 5x +1=2x +7
4.2 Løs likningene og sett prøve på svaret.
a) x -- 2 = --2x + 1 c) 7x -- 5 = --2x +4
b) 4--x =5--2x d) 8 = --2x +4
4.3 Løs likningene og sett prøve på svaret.
a) 3x -- 2 + x =2x + 10 c) 4,2x -- 1,0 = 11,6
b) 4 + x -- 2 = --x + 8 d) 1,7x + 0,2 = 0,7x + 0,8
Likninger med parenteser
Når vi skal løse likninger med parenteser, får vi bruk for de regnereglene vi
har lært i algebra. Vi går da fram i en bestemt rekkefølge.
Eksempel
Løs likningen.
Likninger og ulikheter
2ðx -- 1Þ +3=6--ðx -- 1Þ
Løsning
2ðx -- 1Þ +3=6--ðx -- 1Þ
2x --2+3=6--x +1
2x +1=7--x
2x + x =7--1
3x =6
3x
3 = 6 3
x =2
Vi utfører multiplikasjonen
og løser opp parentesen.
144

Oppgaver
4.4 Løs likningene.
a) 3x -- ð2x -- 1Þ = 7 c) 3ðx -- 1Þ =5--ðx -- 3Þ
b) 4x -- ð2x +4Þ = x -- 2 d) 4 -- ð3x +1Þ = ðx -- 3Þ +2
4.5 Løs likningene.
a) 3ðx +1Þ =2ðx +5Þ c) 8x -- ð4 --5xÞ =2ðx--1Þ
b) 4ð2x -- 4Þ =3ð3x -- 7Þ d) 2ðx -- 1Þ +4=2--ðx -- 2Þ
4.6 Løs likningene og sett prøve på svaret.
a) 3x -- ðx +1Þ = x c) 4 -- ðx -- 2Þ =8--2x
b) ð2x -- 2Þ -- 3 = x -- 1 d) 2ðx -- 1Þ +3=4--ðx -- 9Þ
Likninger med brøker
Vi tenker oss at Simen har x kroner. Han bruker halvparten av pengene til en
kinobillett, og en tredel til bussen fram og tilbake til kinoen. Til sammen
bruker han 125 kr.
Fra filmen Harry Potter og ildbegeret
Halvparten av x er x 2 , og tredjeparten av x er x 3 .
Da kan vi sette opp denne likningen:
x
2 + x 3 = 125
Likninger og ulikheter 145

Når vi skal løse en slik likning, finner vi først fellesnevneren. Her er
fellesnevneren 6. Deretter multipliserer vi hvert ledd i likningen med
fellesnevneren.
x
2 + x 3 = 125
x 6
2 + x 6
3 = 125 6 Vi multipliserer hvert ledd med 6 og forkorter brøkene.
3x +2x = 750
5x = 750
5x
5 = 750
5
x = 150
Dette viser at Simen hadde 150 kr.
Regel
Når vi skal løse en likning med brøker, multipliserer vi hvert ledd i
likningen med fellesnevneren.
Eksempel
Likninger og ulikheter
Løs likningen.
2x
3 -- x 4 = x 6 + 1 4
Løsning
2x 12
3
2x
3 -- x 4 = x 6 + 1 4
-- x 12
4
= x 12
6
8x -- 3x =2x +3
8x -- 3x -- 2x =3
3x =3
3x
3 = 3 3
x =1
+ 1 12
4
Vi multipliserer hvert ledd
med fellesnevneren 12.
146

Oppgaver
4.7 Løs likningene.
a) x 2 +1=x 3
b) x 2 + 1 3 = 5 6
c) x 3 = x 4 + 1 6
4.8 Løs likningene og sett prøve på svaret.
a) 3x
2
5x
= x -- 3 b)
4 + 1 2x
= x c)
2 7 + 5x
14 = 9 7
4.9 Løs likningene og sett prøve på svaret.
a) 2x
5 + 3
10 = 3x
10 + 2 5
b) 3x
4 -- 2 3 = 5 3x
--
6 4
c) 1 3 + 1 x = 1 2
Noen ganger får vi bruk for å løse likninger som har flere ledd i tellerne. Da
kan vi gå fram slik eksempelet nedenfor viser.
Eksempel
Løs likningen.
x -- 2
3
-- x +3
4
=1
Løsning
ðx -- 2Þ 12
3
x -- 2
3
--
-- x +3
4
ðx +3Þ 12
4
=1
=1 12
4ðx -- 2Þ -- 3ðx +3Þ = 123
Vi multipliserer alle ledd
med fellesnevneren 12.
ð4x -- 8Þ -- ð3x +9Þ =12
4x -- 8 -- 3x -- 9 = 12
4x -- 3x =12+8+9
x =29
Likninger og ulikheter 147

Oppgaver
4.10 Løs likningene.
a) x -- 1
2
= x +2
4
b) x +1
3
+ x = x 2
+2 c)
x +1
3
+ x -- 1
5
= 6 5
Når vi setter
prøve, setter vi inn verdien av
x og regner ut venstre og høyre
side hver for seg.
Likninger og ulikheter
4.11 Løs likningene og sett prøve på svaret.
a)
2x -- 1
2
b) x -- 1
3
c)
2x -- 1
6
-- x -- 2
3
= x +4
4
+ x =2-- x +1
2
+
3x -- 4
4
= x -- 1 3
4.12 Løs likningene og sett prøve på svaret.
a)
x -- 1Þ
2
--
2ðx -- 2Þ
3
=-- x 4
2ðx -- 1Þ
b) =2-- x +1
3
2
c)
x -- 1Þ
6
+
3ðx -- 1Þ
4
=0
148

Problemløsing og likninger
Du er
dobbelt så gammel
som meg!
Ja, og så er vi
45 år til sammen!
Hvordan kan vi sette opp en likning for å finne ut hvor gamle Sara og
Fredrik er
Hvis Sara er x år, så er Fredrik 2x år. Til sammen er de 45 år. Da får vi denne
likningen:
x +2x =45
3x =45
3x
3 = 45 3
x =15
Sara er altså 15år, og Fredrik er 2 15 år = 30 år.
Noen ganger har vi oppgaver som vi ikke uten videre ser løsningen på. Det
kan for eksempel være problemer som vi ikke kan løse ved å sette tall inn i
formler. Da må vi sette oss godt inn i oppgaven, finne ut hva oppgaven går
ut på, og hva det er vi skal finne svar på. Da kan det være lurt å sette opp en
likning for å løse problemet.
Likninger og ulikheter 149

Eksempel
Martin kjøpte tre kinobilletter og godteri for 30 kr. Han betalte 270 kr.
Hvor mye kostet én kinobillett
Løsning
Én kinobillett koster x kr. Da koster tre kinobilletter 3x kr. Martin betaler
270 kr til sammen. Vi får denne likningen:
3x + 30 = 270
3x = 270 -- 30
3x = 240
3x
3 = 240
3
x =80
Én kinobillett koster 80 kr.
Oppgaver
Likninger og ulikheter
4.13 Lotte kjøper ny hodelykt og fire batterier. Hodelykta koster 850 kr.
Hun betaler 910 kr til sammen.
Sett opp en likning for å regne ut hvor mye ett batteri koster.
4.14 Simen selger aviser hver søndag. Han får 100 kr i fast lønn. I tillegg får
han 3,50 kr for hver avis han selger. En søndag tjente han 205 kr.
Hvor mange aviser solgte Simen den søndagen
150

4.15 Hanna, Herman og Sara diskuterer hvor mye penger de har igjen etter
ferien i Tyrkia. Hanna har dobbelt så mye som Sara, og Herman har tre
ganger så mye som Sara. De har 180 kr igjen til sammen.
Hvor mange kroner har hver av dem igjen etter ferien
Den blå moskeen i Istanbul
4.16 Tante Klara og onkel Karl er like gamle. Martin er 28 år yngre enn dem.
Til sammen er de 104 år.
Hvor gamle er tante Klara og onkel Karl
4.17 På engård er halvparten av
dyrene sauer, en seksdel er
hester, og resten er kyr.
Det er 12 kyr på gården.
Hvor mange dyr er det
på gården
Likninger og ulikheter 151

4.18 Lotte jogger noen turer hver uke. En uke jogget tre av vennene hennes
2 km lenger enn Lotte, og fire av vennene hennes 3 km kortere enn
Lotte. Til sammen jogget de 114 km.
Hvor mange kilometer jogget Lotte denne uka
4.19 Simen, Hanna og Herman har spart penger til ferien i Sørøst-Asia.
Hanna har spart 200 kr mer enn Simen, mens Herman har spart 100 kr
mindre. Simen bruker alle sparepengene, Hanna bruker halvparten av
sparepengene sine, og Herman bruker en tredel av sparepengene sine.
Til sammen bruker de 1900 kr.
Hvor mye sparepenger hadde Simen
Likninger og ulikheter
Bayontemplet i sentrum av Angkor Thom, Kambodsja
152

Grafisk løsing av likninger
Vi kan finne
verdien av x ved å tegne grafen
til likningen!
Hvordan gjør vi det
2x = 9
Hvordan kan vi løse likningen 2x =9grafisk
Vi tegner først linja y = 2x. I tabellen har vi satt inn tre verdier for x:
x 0 2 4
y 0 4 8
Vi får denne grafen:
Å løse likningen 2x = 9 grafisk vil
si å finne den x-verdien på
førsteaksen som svarer til tallet 9
på andreaksen. Dermed er løsningen
her: x =4 1 2
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
y
x
1 2 3 4 5 6 7
Likninger og ulikheter 153

Eksempel
Løs likningen x + 2 = 7 grafisk.
Løsning
Vi tegner linja y = x +2.
I tabellen har vi satt inn tre verdier for x.
x 0 2 4
y 2 4 6
Vi får denne grafen:
8
7
y
y = x + 2
6
5
4
3
Likninger og ulikheter
Når vi skal løse likningen x +2=7,går vi fra tallet 7 på andreaksen og
bort til grafen. Fra grafen leser vi av på førsteaksen. Vi får svaret x =5.
Løsningen på likningen x +2=7erx =5:
Oppgaver
4.20 Løs likningene grafisk.
a) x -- 1 = 7 b) 2x +1=5 c)--2x +3=1
4.21 Løs likningene grafisk og ved regning.
2
1
1 2 3 4 5
a) 3x -- 1 = 8 b) 2x +5=12 c)--x + 5 2 =4
x
154

4.22 Sara har et mobilabonnement til 200 kr per måned.
Hun må betale 1,50 kr for hver MMS-melding hun
sender. Hvis hun sender x MMS-meldinger, blir
prisen y i kroner:
y = 1,5x + 200
a) Hvor store blir utgiftene hvis Sara sender
70 MMS-meldinger
b) Finn grafisk hvor mange MMS-meldinger hun
kan sende for 380 kr.
4.23 Løs likningene grafisk og ved regning.
a) --2x -- 5 3 =1 b)--3 2 x +1=5 2
Grafisk løsing av likninger ved hjelp av to grafer
Når vi skal løse grafisk en likning som har en ukjent på begge sider av
likhetstegnet, må vi tegne to linjer.
Eksempel
Løs likningen
x +2=2x -- 3 grafisk.
7
6
y
Løsning
Vi tegner linja y = x +2
og linja y =2x -- 3 i det
samme koordinatsystemet:
5
4
y = x + 2
y = 2x – 3
3
Linjene skjærer hverandre
i et punkt som har
førstekoordinaten x =5.
I dette skjæringspunktet
har y = x +2og
y =2x -- 3 samme verdi.
2
1
1 2 3 4 5 6
x
Løsningen på likningen
x +2=2x -- 3 er derfor:
x =5
–1
–2
–3
Likninger og ulikheter 155

Oppgaver
4.24 Løs likningene grafisk.
a) 2x -- 1 = x +2
b) x -- 3 = 3x +1
c) x +1=2x -- 1
d) 1 x -- 1 = --x +3
2
4.25 Løs likningene grafisk og ved regning.
a) 2x -- 1 = --x +2
b) --2x +5=x -- 2
c) 2x = x -- 4
d) 3 2 x -- 1 = -- 1 2 x +4
Likninger og ulikheter
4.26 Herman har et mobilabonnement til 200 kr per måned. Han må betale
1,50 kr for hver MMS-melding han sender. Lotte har ingen fast avgift,
men må betale 2,50 kr for hver MMS-melding.
Hvis de sender x meldinger, må Herman betale 1,50x + 200, mens Lotte
må betale 2,50x.
a) Hvor mye må Herman og Lotte betale hvis de begge sender
120 MMS-meldinger
b) Finn grafisk hvor mange meldinger de må sende for at de skal betale
like mye.
156

To likninger med to ukjente
Jeg er fire år eldre
enn deg, Hanna!
Ja, og så er vi
34 år til sammen.
Hvordan kan vi finne alderen til Morten og Hanna ved å bruke likning
Morten er fire år eldre enn Hanna. De er 34 år til sammen. Hvis vi kaller
alderen til Morten for y og alderen til Hanna for x, får vi denne likningen:
y = x +4
Denne likningen har mange løsninger:
x = 13, y =17
x = 14, y =18
x = 15, y =19
Osv.
Regel
En likning med to ukjente har mange løsninger.
Vi kan altså ikke finne alderen til Morten og Hanna med bare én likning. Men
når vi vet at Morten og Hanna er 34 år til sammen, kan vi undersøke om noen
av de løsningene som står ovenfor passer til dette.
Likninger og ulikheter 157

Vi kan sette opp en ny likning:
x + y =34
Vi har nå to likninger med to ukjente. Slike likningssett kan vi løse.
y = x +4
x + y =34
Regel
Å løse to likninger med to ukjente vil si å finne verdier for de ukjente
som passer i begge likningene.
I den første likningen er y uttrykt med x: y = x +4
Dette uttrykket for y setter vi inn i den andre likningen:
Likninger og ulikheter
x + y =34
x + x +4=34
2x +4=34
2x =30
2x
2 = 30
2
x =15
Vi setter denne verdien for x inn i uttrykket for y.
y = x +4=15+4=19
Likningssettet
I y = x +4
II x + y =34
har dermed løsningen x =15ogy =19:
Hanna er 15 år gammel, og Morten er 19 år gammel.
Vi setter ofte
romertall foran likningene
i et likningssett.
158

Eksempel
Løs likningssettet ved regning.
Sett prøve på svaret.
I x +2y =5
II 3x -- y =8
Løsning
Vi finner et uttrykk for x i den første likningen.
I x +2y =5
x =5--2y
Nå setter vi dette uttrykket for x
inn i den andre likningen.
II 3x -- y =8
3ð5 --2yÞ -- y =8
15 -- 6y -- y =8
--6y -- y =8--15
--7y =--7
--7y
--7 = --7
--7
y =1
Vi setter inn (5 – 2y) i stedet for x.
Til slutt setter vi y = 1 inn i uttrykket for x.
x =5--2y
=5--2 1
=5--2
=3
Løsningen er x =3ogy =1:
Likninger og ulikheter 159

Vi setter prøve på begge likningene:
I Venstre side: Høyre side:
x +2y
3+2 1
3+2
5
5
II Venstre side: Høyre side:
3x -- y
3 3--1
9--1
8
8
Løsningen passer i begge likningene.
x =3ogy = 1 er riktig løsning på likningssettet.
Oppgaver
Likninger og ulikheter
4.27 Finn tre løsninger på likningene.
a) x + y =15 b)x -- y = 7 c) 2x -- 3y =1
4.28 Løs likningssettene.
a) y = x +3 c)x + y =5
x + y =11 2x +3y =11
b) x +2y = 5 d) 2x + y =7
3x -- y =1 y -- x =1
4.29 Løs likningssettene og sett prøve på svaret.
a) x + y = 3 c) 3x -- 3y =3
2x + y =4 2x +2y =6
b) 2x +4y =6 d)y =2x +3
3x -- 2y =1 y =--3x -- 2
4.30 Simen og Lisa er 28 år til sammen. Simen er to år eldre enn Lisa.
Sett opp to likninger, og bruk disse til å finne ut hvor gamle Simen og
Lisa er.
160

4.31 Lotte kjøper fire kort og to penner. Hun betaler 44 kr til sammen.
Simen kjøper fem kort og en penn. Han betaler 37 kr til sammen.
Hvor mye koster kortene og pennene per stk.
Grafisk løsing av likningssett
Sara kjøper en bolle og en flaske brus. Hun betaler 17 kr til sammen.
Hvis bollene koster x kr per stk. og brusen y kr per flaske, får vi likningen:
x + y =17
Vi finner et uttrykk for y:
y =--x +17
Martin kjøper 4 boller og 2
flasker brus. Han betaler 44 kr til
sammen.
Da får vi denne likningen:
4x +2y =44
Vi finner et uttrykk for y:
4x +2y =44
2y =--4x +44
y =--2x +22
Vi lager tabeller og tegner linjene i et koordinatsystem:
I y =--x +17
x 0 2 4
y 17 15 13
II y =--2x +22
x 0 2 4
y 22 18 14
Likninger og ulikheter 161

Løsningen på likningssettet
I x + y =17
II 4x +2y =44
er altså x =5ogy = 12.
Brus
y (kr)
22
20
18
En bolle koster 5 kr,
og en flaske brus
koster 12 kr.
16
14
12
10
y = –x + 17
8
6
4
y = –2x + 22
2
Likninger og ulikheter
Eksempel
Løs likningssettet grafisk.
I --2x + y =1
II y + x =4
Løsning
Vi finner y i likning I:
--2x + y =1
y =2x +1
Vi finner y i likning II:
y + x =4
y =--x +4
2 4 6 8 10
x (kr)
Bolle
162

Vi regner ut verdier for y når x =0,x =2ogx =4.
I y =2x +1
x 0 2 4
y 1 5 9
10
9
y
II y =--x +4
x 0 2 4
y 4 2 0
8
7
6
y = 2x + 1
5
4
3
Løsningen er x =1
og y =3:
2
1
y = –x + 4
1 2 3 4 5
x
Oppgaver
4.32 Løs likningssettene grafisk.
a) y = x -- 3 c) y =2x
y =--2x +6 y =--x +6
b) y =--x +5 d)y =--2x
y = x +1 y =3x -- 5
4.33 Løs likningssettene grafisk og ved regning.
a) x +2y = 4 c) 2x + y =6
x + y =3 --2x +2y =3
b) 3x + y =2 d)--x +2y =4
5x + y =4 2x +4y =4
Likninger og ulikheter 163

4.34 Hanna kjøper 2 pølser og 3 flasker brus. Hun betaler 84 kr til sammen.
Herman kjøper 4 pølser og 2 flasker brus. Han betaler 96 kr til sammen.
En pølse koster x kr, og en flaske brus koster y kr.
a) Sett opp to likninger med to ukjente ut fra opplysningene ovenfor.
b) Løs likningene grafisk.
c) Hvor mye koster en pølse, og hvor mye koster en flaske brus
Likninger og ulikheter
4.35 Hanna og Herman har forskjellige abonnement på mobiltelefonene sine.
Hanna betaler fast 200 kr per måned i tillegg til 0,90 kr per melding.
Herman betaler fast 100 kr per måned i tillegg til 1,90 kr per melding.
En måned betalte de like mye. De sendte x meldinger hver, og de
betalte y kr hver.
a) Sett opp to likninger med to ukjente ut fra opplysningene ovenfor.
b) Løs likningene grafisk.
c) Hvor mange meldinger sendte de, og hvor mye betalte de til
sammen
4.36 Løs likningssettene grafisk og ved regning.
a) 2y = x +3 b)--x + y =2
y +2x =4 2y =9x +9
164

Ulikheter
På Vang skole var det 239 elever i juni. Da skolen begynte igjen etter
ferien, var det flere enn 250 elever på skolen.
Hvor mange elever hadde kommet i tillegg etter ferien
Når vi setter opp en likning, har vi ett uttrykk på hver side av likhetstegnet
som har samme verdi. I eksempelet over kan vi ikke sette opp en likning, for
vi vet ikke nøyaktig hvor mange elever som hadde kommet i tillegg. Vi vet
bare at det hadde blitt flere enn 250 elever til sammen.
Det var 239 elever på skolen før ferien. Vi sier at det har kommet x elever i
tillegg, slik at det til sammen blir flere enn 250 elever. Da kan vi sette opp
ulikheten:
x + 239 > 250
Vi flytter 239 over på høyre side og skifter samtidig fortegn:
x > 250 – 239
x > 11
Det vil si at det har kommet flere enn 11 elever i tillegg etter ferien.
Likninger og ulikheter 165

Regel
I en ulikhet kan vi flytte et ledd over på motsatt side av ulikhetstegnet
hvis vi samtidig skifter fortegn på leddet.
Eksempel
Løs ulikheten:
2x +3< x +5
Løsning
2x +3< x +5
2x < x +5--3
2x -- x < 2
x < 2
På Vang skole er det nå flere enn 250 elever. Det er 10 grupper på skolen.
Hvor mange elever er det i gjennomsnitt per gruppe
Likninger og ulikheter
Vi sier at det er x elever i gjennomsnitt per gruppe. Da er det 10x elever til
sammen på skolen. Vi får denne ulikheten:
10x > 250
Vi dividerer på begge sider av ulikheten med 10:
10x
10 > 250
10
x > 25
Det betyr at det er flere enn 25 elever i gjennomsnitt per gruppe på skolen.
Vi kan kontrollere at det stemmer:
10 grupper med 25 elever i hver gruppe blir 10 25 elever = 250 elever. Hvis
det er flere enn 25 elever i hver gruppe, blir det flere enn 250 elever til
sammen på skolen.
166

Regel
I en ulikhet kan vi dividere med et positivt tall på begge sider av
ulikhetstegnet.
> betyr
større enn, < betyr
Oppgaver
mindre enn!
4.37 Løs ulikhetene.
a) x +4> 7
b) x +10> 15
c) x -- 4 < 13
d) x -- 9 < 21
4.38 Løs ulikhetene.
a) 2x +4> x +7
b) 3x -- 7 > 2x +1
c) 4x -- 4 < 3x -- 3
d) 3x +2x +2< 12 + 4x
4.39 Løs ulikhetene.
a) 3x +2> x +10 c)4x -- 9 < x -- 3
b) 4x -- 7 > 2x + 1 d) 3x +2x +2< 12 + x
4.40 Martin skal på skoletur. Han vil ha mer enn 500 kr i lommepenger, men
foreløpig har han bare 420 kr. Det Martin trenger i tillegg, setter vi lik x kr.
a) Sett opp en ulikhet ut fra opplysningene ovenfor.
b) Løs ulikheten.
Likninger og ulikheter 167

4.41 Simen betaler 150 kr per måned i fast
abonnement på mobiltelefonen sin.
I tillegg betaler han 0,40 kr per SMSmelding
han sender. En måned hadde
han brukt mer enn 330 kr.
a) Sett opp en ulikhet som du kan bruke
for å finne ut hvor mange SMSmeldinger
Simen hadde sendt denne
måneden.
b) Hvor mange meldinger hadde
han sendt
4.42 Broren til Lotte betaler 150 kr per måned i fast abonnement på
mobiltelefonen sin. I tillegg betaler han 0,90 kr per MMS-melding han
sender. Moren til Lotte betaler 50 kr i fast abonnement per måned,
men må betale 1,40 kr per MMS-melding hun sender.
a) Sett opp en ulikhet som viser hvor mange meldinger de har sendt
for at regningen til moren til Lotte skal bli større enn regningen
til broren.
b) Løs ulikheten og finn ut hvor mange meldinger de har sendt.
Likninger og ulikheter
Mer om ulikheter
I regelen på s. 167 står det at vi kan dividere med et positivt tall på begge
sider av en ulikhet.
Hva skjer hvis vi dividerer med et negativt tall på begge sider av en ulikhet
Vi vet at
--10 < --2
Vi dividerer med – 2 på begge sider av ulikhetstegnet:
--10
--2 < --2
--2
5 < 2
Dette er ikke riktig. Men hvis vi snur ulikhetstegnet, så blir det riktig:
5 > 2
168

Regel
Hvis vi dividerer med et negativt tall på begge sider av en ulikhet, må vi
samtidig snu ulikhetstegnet. Det samme gjelder ved multiplikasjon med
et negativt tall.
Eksempel
Løs ulikheten.
--2x +2< 8
Løsning
--2x +2< 8
--2x < 8--2
--2x < 6
--2x
--2 > 6
--2
x > --3
Vi snur ulikhetstegnet.
Oppgaver
4.43 Løs ulikhetene.
a) --2x > --6 c) --2x +1< 9
b) --3x > 12 d) --4x -- 2 < 14
4.44 Løs ulikhetene.
a) x -- 2 > 3x +6 c)
--2x +1< x -- 5
b) --5x +3> --2x +6 d)x < 3x -- 4
4.45 Herman har 750 kr. Han bruker 120 kr per uke.
Etter hvor mange uker har Herman mindre enn
30 kr igjen
Bruk en ulikhet når du løser oppgaven.
Likninger og ulikheter 169

Omforming av formler
Vi kan
regne ut volumet av et
prisme ved å bruke formelen
V = G h:
Men da er jo
G = V h !
Likninger og ulikheter
Hvordan kan vi lage en ny formel av en annen formel
Vi kan bruke en formel til å lage en ny formel. Da bruker vi regnereglene for
likninger.
Hvis volumet av et prisme er V, grunnflaten G og høyden h, såer
V = G h
Vi dividerer med h på begge sider av likhetstegnet:
V
h = G h
h
V
h = G
G = V h
Vi bytter plass på de to sidene i formelen.
Grunnflaten er volumet dividert på høyden.
170

Eksempel
Formelen for omkretsen O av en sirkel er
O =2r
r
der O er omkretsen og r er radien i sirkelen.
a) Finn en formel for r.
b) Regn ut radien når omkretsen er 15,6 cm.
Løsning
a) O =2r
O
2 = 2r
2
O
2 = r
r = O 2
b) Vi bruker den formelen vi har funnet for r:
r = O 2 = 15,6
2 3,14 2,5
Radien er ca. 2,5 cm.
Oppgaver
4.46 Formelen U = R I gir sammenhengen
mellom elektrisk spenning U målt i volt,
motstand R målt i ohm og strømstyrke I
målt i ampere.
a) Finn en formel for R uttrykt ved
U og I.
b) Bruk formelen til å regne ut
motstanden R når spenningen
er 220 volt og strømstyrken
er 20 ampere.
Likninger og ulikheter 171

4.47 Formelen for arealet A av
et rektangel er
A = l b
2 cm
der A er arealet, l er lengden
og b er bredden av rektangelet.
5 cm
a) Finn en formel for b uttrykt ved A og l.
b) Bruk formelen til å regne ut bredden når arealet er 25,2 cm 2 og
lengden er 5,6 cm.
4.48 Formelen for arealet A av
en trekant er
C
A = g h
2
h
der A er arealet, g er grunnlinja
og h er høyden i trekanten.
A
g
B
Likninger og ulikheter
a) Finn en formel for g uttrykt ved A og h.
b) Bruk formelen til å regne ut grunnlinja når arealet er 42 cm 2 og
høyden er 14 cm.
4.49 Faren til Simen betaler 150 kr i fast abonnement per måned på
mobiltelefonen sin. I tillegg betaler han 0,90 kr per tekstmelding han
sender. Hvis han sender x tekstmeldinger, blir prisen P:
P = 0,90x + 150
a) Finn en formel for x uttrykt ved prisen P.
b) Bruk formelen til å finne hvor mange tekstmeldinger han kan sende
for 285 kr.
4.50 Formelen for arealet A av en sirkel er
A = r 2
der A er arealet og r er radius i sirkelen.
a) Finn en formel for r uttrykt ved arealet A.
b) Bruk formelen til å finne radien når arealet er 78,5 cm 2 .
172

Prøv deg selv
1 Løs likningene og sett prøve.
a) 3x -- 1 = 8 b) 4x +3=2x +9
2 Løs likningene og sett prøve.
a) 2ðx -- 1Þ -- 2 = x +5
b) 3ðx -- 2Þ -- ðx -- 1Þ = x +1
3 Løs likningene og sett prøve.
a) 5x
2 =2x +3 b)x 4 -- 2 3 = x 6 +1
4 Herman og Sara sammenlikner hvor mye penger de har på slutten av
uka. Herman har 100 kr mer enn Sara. De har 200 kr til sammen.
Sett opp en likning for å regne ut hvor mye penger hver av dem har.
5 Løs likningen grafisk.
2x -- 1 = 4
6 Løs likningssettet og sett prøve.
I y -- x =--1
II 2y +2x =8
7 Løs likningssettet grafisk.
I 6x +2y =4
II y =--5x +4
Likninger og ulikheter 173

8 Løs ulikheten.
a) 5x -- 3 < 9--x
b) 2x +3> 4x -- 1
9 Formelen for volumet V av en pyramide er
V = G h
3
der V er volumet, G er grunnflaten og h er høyden i pyramiden.
h
G
a) Finn en formel for h uttrykt ved V og G.
b) Bruk formelen til å regne ut høyden når volumet er 175,5 cm 3 og
arealet av grunnflaten er 81 cm 2 .
Likninger og ulikheter
174

Noe å lure på
1 To flaggstenger, en på 30 m og en på 15 m står plassert som vist på
figuren. Hvor høyt over bakken møtes de to diagonalene
2 Lærer L. Ur satte opp denne likningen på tavla:
2x -- 3 = 4x -- 6 -- 2x +3
Læreren sa: «I denne likningen er løsningen både x =1,x =10og
x = 1000. Forresten er det uendelig mange løsninger på likningen.»
Undersøk om læreren har rett og begrunn svaret ditt.
Likninger og ulikheter 175

3 Hanna og Simen skal løse et likningssett med to ukjente.
Likningssettet er:
I 2x -- y =5
II 4x =2y +10
Hanna påstår at det er umulig
å løse likningssettet.
Har Hanna rett, og hva er
isåfall grunnen til det
4 Hvordan kan du vise på en
graf løsningen til ulikheten:
2x -- 3 > 3 2
Likninger og ulikheter
5 En mann spurte Pytagoras
hvor mange elever han
hadde. Pytagoras svarte:
«Halvparten av elevene mine
studerer matematikk, firedelen
studerer fysikk, og
sjudelen lærer å tie stille.
Dessuten har jeg tre små
gutter til å hjelpe til.»
Hvor mange elever hadde
Pytagoras
Pytagoras fra Crotana av
J. Augustus Knapp, 1928
176

Oppsummering
Å løse likninger
I en likning kan vi flytte et ledd over på den andre siden av likhetstegnet hvis
vi samtidig skifter fortegn på leddet.
Vi kan dividere eller multiplisere alle ledd med det samme tallet eller med
den samme variabelen.
2x -- 1 = 7
2x =7+1
2x =8
2x
2 = 8 2
x =4
Når vi skal løse en likning med brøk, multipliserer vi hvert ledd i likningen
med fellesnevneren.
2x 12
3
2x
3 -- x 4 = x 6 + 1 4
-- x 12 = x 12
4 6
8x -- 3x =2x +3
8x -- 3x -- 2x =3
3x =3
3x
3 = 3 3
x =1
+ 1 12
4
Her er fellesnevneren 12.
7
y
Grafisk løsing av likninger
Vi løser likningen x +2=2x -- 3 grafisk
ved å tegne linjene y = x +2og
y =2x -- 3 i det samme
koordinatsystemet.
Førstekoordinaten til skjæringspunktet
gir løsningen.
6
5
4
3
2
y = x + 2
y = 2x – 3
Løsningen er x =5.
1
1 2 3 4 5
x
Likninger og ulikheter 177

To likninger med to ukjente
Å løse to likninger med to ukjente vil si å finne verdier for de ukjente som
passer i begge likningene.
Løsing av likningssett ved regning:
I 2x + y =7
II y -- x =1
II y = x +1
Vi finner et uttrykk for en av de
ukjente fra en av likningene.
I 2x + x +1=7
3x =6
x =2
II y = x +1=2+1
y =3
Vi setter dette uttrykket inn i den
andre likningen og løser denne.
Vi finner verdien av den andre ukjente.
x =2ogy =3
Grafisk løsing av likningssett:
Likninger og ulikheter
I 2x + y =7
II y -- x =1
I y =--2x +7
II y = x +1
Vi tegner til slutt de to linjene i det
samme koordinatsystemet og leser
av koordinatene til skjæringspunktet.
Løsningen er:
x =2ogy =3
Vi uttrykker y ved hjelp av x i begge likningene.
7
6
5
4
3
2
1
y
y = x + 1
y = –2x + 7
178
1 2 3 4
x

Ulikheter
I en ulikhet kan vi flytte et ledd over på motsatt side av ulikhetstegnet hvis vi
samtidig skifter fortegn på leddet.
2x -- 3 < 7
2x < 7+3
2x < 10
x < 5
Vi kan dividere eller multiplisere med positive tall på begge sider av
ulikhetstegnet.
3x > 12
3x
3 > 12 3
x > 4
Vi kan dividere eller multiplisere med negative tall på begge sider av
ulikhetstegnet hvis vi samtidig snur ulikhetstegnet.
--3x > 12
--3x
--3 < 12
--3
x < --4
Omforming av formler
Vi kan bruke en formel til å lage en ny formel.
Formelen for omkretsen O av et kvadrat er O =4s, der s er siden i kvadratet.
Vi kan lage en formel for s:
O =4s
O
4 = 4s
4
O
4 = s
s = O 4
Likninger og ulikheter 179