José Lourenço Cindra - SBHC

1.Introdução
ALGUMAS CONSIDERAÇÕES SOBRE O INFINITO
* JOSÉ LOURENÇO CINDRA
Neste trabalho, pretende-se tecer algumas considerações sobre o infinito e seus paradoxos
aparentes, apresentando aspectos filosófico-metafísicos e matemáticos do problema. Desde os
pré-socráticos até Cantor, na segunda metade do século XIX, as preocupações com o infinito,
de modo intermitente, sempre chocaram e estimularam o pensamento ocidental.
Considerações de ordem filosófica e matemática estimularam a curiosidade acerca do infinito
e seus paradoxos. O apeiron de Anaximandro e os paradoxos de Zenão parecem ter sido as
primeiras abordagens de algo que parecia infinito ou paradoxal. Os antigos atomistas gregos
também tocaram na questão do infinito. Para eles, os átomos em número infinito, se moviam
em um espaço vazio infinito. Aristóteles, por outro lado, muito mais sistemático e metódico,
concebeu duas espécies de infinito: o infinito potencial e o infinito atual. Ele fez ver que
somente o infinito potencial poderia ter existência real. O outro, o infinito atual, não poderia
corresponder a nada, realmente, existente. Parece que os gregos tinham uma espécie de horror
ao infinito atual, o infinito acabado. Mesmo nos Elementos de Euclides não se afirma que
infinitos são os números primos, senão que os números primos são mais numerosos que toda
quantidade que tenha sido posta de números primos.
Transcorreu-se mais de um milênio e, então, na aurora da ciência clássica, Galileu Galilei,
com toda a sua perspicácia, voltou a comentar sobre os paradoxos do infinito, inerentes ás
sequências dos números inteiros, quando confrontada com a sequência dos números pares, a
sequência dos números ímpares ou a sequência dos números inteiros quadrados. Se todas
estas sequências são infinitas, parecia a Galileu que poderia pensar na existência de um
infinito maior que outro, mas ele concluiu que talvez o conceito de algo maior ou algo menor,
válido para as coleções finitas, não seria aplicável às coleções constituídas de infinitos
elementos. No aspecto metafísico filosófico, os séculos transcorridos entre Nicolau de Cusa e
Georg Wilhelm Hegel, passando por Giordano Bruno e Baruch Spinoza, todos se
preocuparam com o infinito em todas as suas manifestações. Em seu sistema dialético, Hegel
fez a distinção entre o que ele chamou de infinidade má ou espúria (schlechte Unendlichkeit)
e infinidade verdadeira (wahre Unendlichkeit). O mau infinito é a progressão sucessiva
abordada pelo intelecto e que a todo instante permanece finita. Já o infinito verdadeiro seria
uma totalidade concebida pela razão dialética. Mas foi no âmbito da matemática,
propriamente dita, que a questão do infinito iria poder dispor de uma abordagem operacional,
capaz de superar as aporias do infinito atual. Parece que o estudo das sequências e séries
infinitas que podiam ou não convergir para um limite finito foi o ponto de partida promissor
para se chegar a conclusões satisfatórias acerca do infinito. Esta abordagem do problema iria
culminar nas considerações de Bernhard Bolzano acerca dos conjuntos contendo infinitos
elementos e as investigações de Karl Weierstrass e Georg Cantor. Este último teve o mérito
de atingir o coroamento de tudo isso, demonstrando aquilo que para Galileu era uma simples
conjectura.
* UNESP – Universidade Estadual paulista – Campus de Guaratinguetá, Doutor em Física.

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Juntas se encontravam todas as coisas, infinitas tanto em quantidade como em
pequenez – pois que também o pequeno era infinito. E quando juntas se encontravam
todas as coisas, nenhuma delas era distinguível em razão de sua pequenez; pois o ar e
o éter prevaleciam sobre todas as coisas, sendo ambos infinitos – pois em todas as
coisas estes são os maiores, tanto em quantidade como em dimensão (Anaxagoras,
apud BARNES, 1997: 268)
There is no smallest among the small and no largest among the large; But always something
still smaller and something still larger (ANAXAGORAS, apud E. Maor, 1991:.2).
2.Os Paradoxos de Zenon
Os paradoxos ou aporias de Zenon são as aporias da continuidade, aporias da divisão infinita
de uma grandeza extensa, Tornaram-se conhecidas cinco aporias de Zenon: a aporia da
medida, a da dicotomia, a de Aquiles e a tartaruga, a da flecha e a do estádio.
A primeira aporia, a aporia da medida, indica a impossibilidade de ser formada uma grandeza
extensa a partir de elementos inextensíveis. Se os elementos são inextensíveis então a soma
desses elementos será nula. Por outro lado, se os elementos possuem extensão não nula, então
a soma de um conjunto infinito desses elementos será também infinita.
A segunda aporia, o paradoxo da dicotomia, afirma que um corpo em movimento, antes de
percorrer uma distância, tem de percorrer a sua metade, antes disso, percorre 1/4 , antes ainda,
percorre 1/8 daquela distância, etc. Parece que a soma da série dessas frações nunca será igual
à unidade.“Procuramos a primeira parte elementar do caminho percorrido e não a
encontramos” (KOUZNETSOV, 1974: 58).
A terceira aporia é a que traz o nome de Aquiles e a tartaruga. A distância entre Aquiles e a
tartaruga diminui, mas nunca será nula. É impossível alcançar o último ponto de um caminho
contínuo.
Além da ausência do primeiro e do último elemento do caminho, deparamos com
outra particularidade do infinito atual. Em toda a extensão da competição de
Aquiles com a tartaruga o número de segmentos elementares percorridos por
Aquiles coincide com o número de segmentos percorridos pela tartaruga, pois a
cada elemento do caminho percorrido por Aquiles corresponde um elemento do
caminho percorrido pela tartaruga. Mas Aquiles percorre um caminho maior que
aquele que percorre a tartaruga. Sendo assim, segmentos desiguais contêm o
mesmo número de elementos (KOUZNETSOV, 1974: 58-59).
A quarta aporia é a da flecha. Uma flecha em movimento ocupa um espaço que é o mesmo
durante todo o tempo em que está em movimento, ou seja, em cada instante, ela se comporta
como se estivesse em repouso. A soma desses instantes constitui o tempo de movimento da
flecha. No decorrer de todo esse tempo, a flecha esteve em repouso.
A quinta aporia ou paradoxo do estádio. Neste paradoxo, aparece uma noção velocidade
relativa. O intervalo de tempo será divisível ou indivisível, dependendo do referencial em
relação à qual, o movimento é considerado.
Boris Kouznetsov argumenta que a aporia do estádio indica mais uma particularidade do
infinito atual. A aporia de Aquiles e a tartaruga mostrou que o número infinito possui uma

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propriedade paradoxal: α±β = α! Agora, a aporia do “estádio” mostrou que 2α = α!
(KOUZNETZOV, 1974: 60).
Eli Maor ressalta a ausência de uma notação algébrica adequada e o desconhecimento da
operação de passagem ao limite como obstáculos intransponíveis para os gregos antigos
conceber adequadamente os processos que envolviam o infinito.
Entretanto, sem um bom sistema de notação – uma álgebra no sentido moderno da
palavra – os gregos ficaram privados de sua mais vantagem: a capacidade de
exprimir de modo conciso as relações entre quantidades variáveis. E isso inclui o
conceito de infinito. Por não ser um verdadeiro número, não podemos lidar com o
infinito num sentido puramente numérico. Além disso, o processo de passagem ao
limite, para encontrar o valor várias formas indeterminadas também exige
manipulações algébricas (MAORI, 2004:67-8).
3. As Considerações de Aristóteles e de Outros Pensadores sobre o Infinito
Em Physics, III, iv, p. 217-9, Aristóteles escreve que os pitagóricos e Platão consideraram o
ilimitado ou indeterminado com existência própria, não como um acidente de algo mais. E
que os pitagóricos chegaram a considerar o infinito (ilimitado, indeterminado) cognoscível
pelos sentidos, pois eles não separavam os números das coisas. Os pitagóricos consideravam
que o ilimitado se encontra além do ceu. Platão, pelo contrário, asseverava que nenhum corpo
material estaria além do ceu. No tocante aos números inteiros, os pitagóricos identificaram o
“indeterminado” com os números pares e o “determinado” com os números ímpares. Pois, a
série dos números ímpares, começando com a unidade e terminado em 2n – 1 é igual a n 2 .
Enquanto a série dos números, começando com dois e terminando em 2n é indeterminada.
Aristóteles escreveu em Physics, III, iv, 1993: 223), que tudo é determinado por algum
princípio ou é o próprio princípio, e que o indeterminado não pode ser determinado, não
podendo, portanto, depender de algo como princípio. Além disso, não pode ter começo ou fim
em sua existência, pois tudo que surge deve ter um fim. Comentando sobre as concepções de
alguns filósofos pré-socráticos sobre o infinito, Aristóteles escreve que a crença na existência
de algo “ilimitado” parece se apoiar sobre cinco considerações: 1) O tempo, considerado
como sendo desprovido de limite, 2) A divisibilidade infinita das magnitudes, 3) A gênese e o
perecimento dos seres, 4) Tudo o que é limitado alcança seu limite em algo mais, não
existindo, portanto, limite absoluto, 5) A imaginação pode sempre conceber um “além
fronteira”, de modo que a série dos números inteiros parece não ter limite (ARISTOTLE,
1993: 225).
Em “Sobre os Céus”, Aristóteles volta a tecer considerações sobre o infinito e conclui que “ é
claro que o corpo que gira em círculo não é infinito, ele tem um limite” (ARISTOTLE, 2006,
I, v: 43). E mais adiante “Não pode existir um corpo infinito, e, além disso, não pode existir
um peso infinito” (ARISTOTLE, ibid: 47).
“O mundo como um todo não foi gerado e não pode ser destruído, como alguns alegam, mas é
único e eterno, não tendo princípio ou fim, o tempo é infinito” (ARISTOLE, 2006, II, i:. 131).
Considerações de Copérnico sobre a grandeza do Universo

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No Capítulo VI do Revolutionibus, Copérnico escreve: “O Céu é imenso em
comparação com a Terra e dá a impressão de um tamanho infinito, enquanto segundo o
testemunho dos sentidos, a Terra é em relação ao Céu o que um ponto é em relação ao corpo,
o finito em relação ao infinito” (COPÉRNICO, 1984: 34).
No Capítulo VIII, Copérnico lembra o “axioma da Física” de que o infinito não pode ser
percorrido nem movido de forma alguma – conclui que o Céu terá necessariamente
permanecer imóvel. E por fim, ele escreve: “Deixemos pois que os físicos disputem sobre se o
mundo é finito ou infinito, tendo nós como certo que a Terra é limitada pelos seus pólos e por
uma superfície esférica” (ibid, p. 40).
As considerações de Giordano Bruno sobre o infinito são arrojadas e concernem ao infinito
atual. Já no Primeiro Diálogo Acerca do Infinito, do Universo e dos Mundos, Filóteo, o portavoz
do pensamento de Bruno, declara que “não há sentido que veja o infinito ou algum a que
possa solicitar essa conclusão, pois o infinito não pode ser objeto dos sentidos” (BRUNO,
2007: 32).
Portanto, para Bruno, o infinito é objeto da razão. E de modo explícito, é afirmado o infinito
atual: “Se o Universo é infinito, não é necessário procurar seu motor. Depois, que sendo
infinitos os mundos que estão nele, como as terras, os fogos e outros tipos de corpos
denominados astros, todos se movem pelo princípio interno que é a própria alma [do mundo],
como em outra assertiva provamos” (ibid, p. 45).
Spinoza é outro pensador que tratou de alguns aspectos do infinito e da eternidade, vistas do
ponto de vista de sua filosofia monista e panteísta.
Em Ética-I Definição 2, Spinoza escreve: Diz-e que uma coisa é finita no seu gênero quando
pode ser limitada por outra coisa da mesma natureza. E a Proposição VIII diz que “toda
substância é necessariamente infinita”.
Três pilares nos quais sustentam a metafísica spinoziana: substância, atributos e modos.
Enquanto os dois primeiros são o primado da eternidade e da permanência, os últimos são as
mudanças e a transitoriedade das coisas corruptíveis. O mundo material é mutável, mas suas
leis são imutáveis e devem ser consideradas, segundo Spinoza, “sub specie
aeternitatis”(PONCZEK, 2009: 116).
HEGEL faz a distinção entre a infinitude verdadeira e a má infinitude, quando escreve:
Quando trata da infinitude em geral, é, sobretudo, no progresso quantitativo infinito
que o entendimento reflexivo costuma deter-se. Ora, dessa forma do progresso
infinito vale,, antes de tudo, o mesmo que antes se notou sobre o progresso
qualitativo infinito: a saber, que não é a expressão da infinitude verdadeira, mas
somente daquela má infinitude que não vai além do simples dever-ser, e assim, de
fato, permanece no finito” (HEGEL, $ 104, Adendo 2 1995: 208).
Em seguida, no mesmo Adendo 2, Hegel continua dizendo que no que concerne mais
precisamente à forma quantitativa desse progresso infinito, que Espinosa com razão considera
como uma infinitude simplesmente imaginada (infinitumimaginationis), também poetas se
utilizaram não raramente dessa representação. E Hegel cita então o poema de Albrecht von
Haller:

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“Eu amontôo números enormes e milhões de montanhas. Ponho tempos sobre
tempos; e mundos e sobre mundos. E, quando, dessa altura, novamente-tomado de
pavor e de vertigem –dirijo para Ti o meu olhar, todo o poder do número, ainda
elevado à milésima potência, não forma uma só parte de Ti mesmo.Se os retiro,
estás todo à minha frente” (HEGEL, 1995: 209).
E Hegel conclui que estamos lidando com um “mandar-para-fora da quantidade, e mais
precisamente do número, para além de si mesmo, que Kant caracteriza como arrepiante”. Mas
Hegel escreve que arrepiante mesmo tinha de ser apenas a monotonia enfadonha de
constantemente um limite ser posto e de novo suprassumido, e assim não se sair do lugar.
Hegel vê significado apenas no último verso do poeta: “se os retiro, estás todo à minha
frente”. O verdadeiro infinito, para Hegel, não pode ser considerado como um simples Além
do finito. É para isso necessário renunciar ao “progressus ininfinitum”.
4. Arquimedes e os grandes números
No Arenário, Arquimedes escreveu: suponhamos que 10 mil grãos de areia cabem em uma
pilha do tamanho de uma semente de papoula e que uma fileira de 40 sementes de papoula
tenha a largura de um dedo. O volume ocupado por todas as sementes de papoulas em uma
esfera com este diâmetro é da ordem de (40) 3 = 1.6 x 10 4 . Portanto, o número de grãos de
areia contido neste volume é da ordem de 6,4x10 8 grãos. Podemos arredondar este número
para 10 9 grãos de areia. Não precisamos preocupar com o exagero de todas as estimativas até
agora feitas. O exagero faz parte do jogo de Arquimedes. Por outro lado, 10 4 larguras de um
dedo formam um estádio (cerca 160 metros). Logo, uma esfera com o diâmetro igual a um
estádio é aproximadamente igual a (10 4 ) 3 = 10 12 o volume de um dedo. Consequentemente, o
número de grãos de areia contidos em uma esfera de diâmetro igual a um estádio é da ordem
de 10 21 grãos.
Em seguida, Arquimedes recorre ao trabalho do astrônomo Aristarco de Samos, que havia
feito algumas considerações sobre a distância da Terra até o Sol. Seja E a esfera de raio igual
à distância da Terra até o Sol. Arquimedes então supõe que o diâmetro T da Terra está para o
diâmetro da esfera E assim como o diâmetro da esfera E está para o diâmetro do universo U.
T/E = E/U
Com estas estimativas, Arquimedes conclui que o diâmetro do universo é da ordem de 10 14
estádios. Portanto, o volume da esfera cujo diâmetro engloba todo o universo é da ordem de
(10 14 ) 3 = 10 42 vezes o volume de uma esfera de diâmetro igual a um estádio.
Consequentemente, o número de grãos de areia capaz de encher todo o universo é 10 21 x10 42 =
10 63 grãos de areia. Robert Kaplan escreve:
Quando levamos em conta que na década de 1940 dois nova-iorquinos teimosos
calcularam que o número de grãos de areia em Coney Island chegava a 10 20 , e que
cálculos atuais do número total de partículas muito menores em nosso universo
muito maior está entre 10 72 e 10 87 , temos de admitir que os cálculos de Arquimedes
não eram tão ruins assim.Kaplan ainda acrescenta: “Esta é uma aplicação
espetacular do insight grego de que o mundo lá fora pode ser compreendido em
analogia ao mundo perto de nós. Ela é ainda mais espetacular quando percebemos
que Arquimedes não possuía nossa conveniente notação de potência de dez, toda
baseada no uso do zero”(KAPLAN, 2001: 41).

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Discorrendo oobre o método de exaustão de Eudoxo, Howard Eves (EVES, 2004: 418)
comenta que, os gregos antigos sabiam que se pode construir um quadrado de área igual a de
qualquer polígono. Seria então possível construir um quadrado de área igual à do círculo
(quadratura do círculo. Antífon teria antecipado a ideia de que por sucessivas duplicações do
número de lados de um polígono, seria então possível construir um quadrado de área igual à
do círculo. A corajosa abordagem de Antífon continha o germe do famoso método de
exaustão grega. Na realidade, o método de exaustão tinha por base o chamado axioma de
Arquimedes: Dadas duas grandezas de mesma espécie, pode-se achar então um múltiplo da
menor que supere a maior, demonstre a proposição básica do método de exaustão: se de uma
grandeza qualquer subtrai-se uma parte não menor que a sua metade, e assim por diante, se
chegará por fim a uma grandeza menor que qualquer outra predeterminada da mesma espécie.
A Quarta Definição do Livro V dos Elementos de Euclides afirma: Magnitudes são ditas ter
uma razão entre si, aquelas que multiplicadas podem exceder uma a outra. E no Livro X, a
Primeira Definição afirma que Magnitudes são ditas comensuráveis as que são medidas pela
mesma medida, e incomensuráveis, aquelas das quais nenhuma medida comum é possível
produzir-se.
Uma mudança radical ocorreu quando a discussão sobre o infinito atual entrou em cena no
âmbito da matemática. Bolzano está formalmente na origem desta mudança, mesmo levando
em conta que alguns pensadores já haviam expressado ideias que consideravam a existência
do infinito atual. Leibniz foi um deles (WALDEGG, 2005: 563-564).
Bolzano faz uma distinção entre agregado (Inbegriff), multidão (Vielheit) e conjunto (Menge).
Bolzano chama de agregado uma coleção de objetos com determinada relação interna entre
seus membros. Caso contrário, em se tratando de um grupo de objetos sem levar em conta
qualquer relação entre eles, fala-se de conjunto (Menge, em alemão; insieme, em italiano). E,
finalmente, quando os objetos de um agregado são vistos como indivíduos de uma dada
espécie, Bolzano diz tratar-se de uma multidão (Vielheit, em alemão; moltitudine, em
italiano). (ver Bolzano, § 4).Bolzano comenta (§ 10) fica a pergunta, se através de uma
simples definição daquilo que é chamado multidão infinita, estaremos em condição de
determinar o que é o infinito em si. Em seguida (§ 11) Bolzano escreve sobre Hegel e seus
seguidores que chamam o infinito largamente utilizado pelos matemáticos como mau infinito
(il cativo infinito), como grandeza crescente, mas que permanece finita em cada instante. Ao
contrário, uma reta ilimitada em ambos os sentidos seria um verdadeiro infinito. No § 14
Bolzano polemiza com aqueles que negam a existência de um conjunto infinito, porque seus
elementos não podem ser reunidos e formar um todo, nem mesmo podem ser reunidos por
meio do pensamento. Bolzano replica que isso não é verdade, pois, pode-se formar a ideia de
um conjunto numeroso sem conhecimento de seus elementos individuas, como é o caso do
conjunto dos habitantes de uma grande cidade, os habitantes da cidade de Praga, por exemplo.
Este seria um exemplo de agregado, segundo Bolzano. Outra coisa que Bolzano refuta é a
opinião de que um conjunto não existe, a menos que exista alguém para pensa-lo. Segundo
Bolzano, existem conjuntos e totalidades sem a necessidade de alguém que as pensa
(esistonoinsiemi e totalitáanchesenzache ci sai un essereche li pensi).

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Bolzano escreve: existe um infinito não apenas entre os objetos desprovidos de atualidade,
mas também no domínio da atualidade mesma.
Già il concetto di un calcolo dell´infinito há l´apparenza, lo ammetto, di contenere
una contradizione. Infatti, voler calcolare qualcosa significa dopo tutto, tentare una
determinazione di essa mediante numeri. Ma come si protrà tentare di determinare
l´infinito mediante numeri – quell´infinito che, secondo la mostra própria
definizione, deve essere un qualche cosa che possa essere riguardato come un
insieme formato da infiniti membri, cioè un insieme che è più grande di un
qualunque numero, e che quindi non pùo essere determinato mediante un semplice
dato numerico? (BOLZANO, 2003: 65).
Bolzano, em seguida, argumenta que, entretanto, uma determinação do infinito é possível.
E no parágrafo 38 “Uma proprietà che manca in tutte le parti deve anche non appartenere al
tuto? È piuttosto esattamente il contrario! Ogni tutto ha e deve avere molte proprietà che
mancano nelle parti” (BOLZANO, 2003: 91).
“Eine Beschaffenheit,die allenTeilen mangelt, soll auch dem ganzen nicht zu kommen
dürfen? Gerade umgekehrt! Jedes Ganze hat und muss gar manche Eingenschaften haben,
welche den Teilen mangelt” (BOLZANO, 1851).
5.Números Primos, Sequências e Séries Infinitas
Euclides no Livro I dos Elementos (ΣτοιχεΪα) entre os postulados apresentados está o de o
todo é maior do que a parte. E no Livro IX, a Proposição 20 enuncia que “os números primos
são maiores do que toda quantidade que tenha sido proposta de números primos”. Ele prova
esta proposição. Mas Euclides não diz que os números primos são infinitos. Parece que ele
está evitando o infinito atual, simplesmente declarando que os números primos são
intermináveis (infinito potencial).
Sobre os números primos, além da proposição de Euclides, há algumas conjecturas famosas,
mas que ainda não foram provadas. Uma delas é a conjectura de Goldbach, proposta pelo
matemático amador e amigo de Euler, Christian Goldbach em 1742. Ela sugere que todo
número par maior que dois é a soma de dois primos. Buscas computacionais, concluídas até o
ano 2000, confirmaram a conjectura de Goldbach para todos os números pares até 400 trilhões
(4x10 14 ). A outra conjectura é a que pergunta se existem infinitos “pares de primos gêmeos –
primos que distam 2 um do outro, tais como 5 e 7 ou 11 e 13. Com o emprego de
computadores foram encontrados muitos exemplos destes pares. O maior par de primos
descoberto até hoje são os números 4.648.619.711.502x2 60.000 ±1. Cada um destes dois primos
tem 18.075 dígitos. Eles foram descobertos no ano 2000 com uso de um computador
(DEVLIN, p. 46). A conjectura de Gauss, proposta em 1791 refere-se à densidade dos primos.
Gauss percebeu que, para números mais baixos, a distribuição dos primos parece ser aleatória,
mas que na medida em que os números naturais N crescem, a densidade dos números primos
parece aproximar-se DN = P(N)/N é aproximadamente 1/ln(N). Gauss não conseguiu provar
sua conjectura. Ela foi provada em 1896 por Jacques Hadamard, matemático francês, e pelo
belga Charles de la Vallée Poussin, trabalhando independentemente. O resultado deles passou
a ser chamado de Teorema dos Números Primos ((DEVLIN, 2004, p. 48).

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Antes de falar sobre sequências e séries, precisamos discutir um pouco sobre os conceitos de
infinito e de passagem ao limite.
Definição: Uma quantidade variável é dita aproximar-se do infinito se ela pode tornar-se
maior do que qualquer número, não importado o quão grande ele possa ser. Como
consequência disso, concluímos que o infinito não é um número, mas sim um conceito.
Definição: Uma quantidade é o limite de outra, quando a segunda pode aproximar-se mais da
primeira do que qualquer quantidade dada, quantidade tão pequena como se queira. Esta
definição foi dada por Jean Le Rond D´Alembert (1717-1783) (MAOR, 1991:17).
Expressões analíticas para o número π
Fórmula de Viète (1540 – 1603)
Este produto infinito foi descoberto por Viète em 1590. É a primeira vez que um processo
infinito foi explicitamente expresso por uma fórmula.
Série alternada: ∑ ∞
n=1
(- 1) n +1 = 1 – 1 + 1 -1 +1 ...
Esta série diverge, visto que quando n tende ao infinito, a sequência corresponde não tem
limite definido.
Consideremos a sequência infinita do inverso dos números naturais N = {1,2,3,....}, ou seja, a
sequência {an} = {1/1, 1/2 , 1/3, 1/4 , ...} e a série infinita ∑ ∞
n=1
1/n = 1/1 + 1/2 + 1/3 + ... Esta
série é chamada de série harmônica. Embora, quandon →∞.a sequência tenha convergência
para zero,ou seja, lim 1/n = 0, a série corresponde diverge, quando n →∞. Por outro lado, a
série alternadado inverso dos números naturais:∑ ∞
n=1
(-1) n+1 1/n converge para ln2. Esta série
só difere da série harmônica pela alternância de seus termos. Quando os termos são tomados
em valores absolutos a série diverge. Por isso, ela é chamada de condicionalmente
convergente.
A série harmônica é notável. 1) Se removermos todos os termos cujos denominadores são
números compostos, ainda assim a série dos inversos dos números restantes diverge.2) A série
formada dos inversos dos números primos gêmeos converge.3) Se eliminarmos todos os
números que contenham o dígito 9, tais como 9, 19, 92, 199, etc. a série resultante deve
convergir para um número entre 22,4 e 23,4 (MAOR, 1991, p. 28).
Outra série notável é a série geométrica da forma ∑ ∞
para o limite S = a/1-q. Portanto, a série ∑ ∞
n=0
n=0
aq n , onde q < 1. Esta série converge
1/2 n = 1+ ½+ 1/4 + 1/8 + ...converge para 2

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Vejamos agora a sequência {an } = (1/1, 1/2 2 , 1/3 2 ...} para n →∞ converge para zero, e a
série corresponde também converge, ou seja, ∑ ∞
n=1
1/n 2 , quando n →∞ , tende para π 2 /6. Em
1736, Leonhard Euler (1707-1783) encontrou este valor para a convergência desta série. Um
ponto importante é que Euler utilizou métodos incorretos do ponto de vista do rigor
matemático. Outro dado relevante é a surpresa que a descoberta de Euler causou, ao deparar
com o número π no limite de uma série envolvendo apenas números naturais (ver MAOR, p.
35).
Outra série convergente que se relaciona com o número π já era conhecida,trata-seda série
alternada de Gregory, descoberta em 1671: ∑ ∞
n=1
(-1) n-1 1/2n-1 = 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 = π/4 .
Sabe-se que todas as séries da família ∑ 1/n s converge para todos os valores de s maior que 1
e diverge para todos os valores de s menor ou igual a um. Já vimos que, para n =1 temos a
série harmônica, que é uma série divergente e para n =2 a série convergente cujo limite é π 2 /6.
A série da forma ∑1/n s , quando considerada como função do expoentes, é chamada de função
zeta, e, neste caso, é representada por ζ(s). Ela aparece em vários ramos da matemática, e,
geralmente, de forma inesperada. Leonhard Euler descobriu em 1737 um notável produto
infinito, relacionando esta função com os números primos (MAOR, 1995, p. 35), ou seja,
onde p é um número primo.
∑ ∞
n=1
1/n s = ∏1/(1 – 1/p s ) = ζ(s).
Como ele conseguiu isso? Simplesmente, começando com a função ζ(s) e eliminando,
camada após camada, todos os termos cujos inteiros no denominador são divisíveis por um
primo. De modo que,
(1 – 1/2 s )ζ(s) = 1+ 1/3 + 1/5 + 1/7 + ...
(1 – 1/2 s ) (1- /3 s ) ζ(s) = 1 + 1/5 s + 1/7 s + 1/11 s + ...
E assim sucessivamente, até obter o produto infinito, indicado acima. O resultado fornece
uma prova evidente do fato já conhecido pelos gregos antigos de que o número de primos é
infinito.
Euler foi o matemático mais produtivo de todo o século XVIII e, talvez, um dos mais
produtivos de todos os tempos.
Uma descoberta fantástica de Euler foi a de estabelecer que todo número real não-nulo r tem
uma infinidade de logaritmos (para uma dada base), todos imaginários se r 0 (ver EVES, 2004: 473)
Dirichlet´stest .
In mathematics, Dirichlet´s test is a method of testing for the convergence of a series,
published by Johann Dirichlet in the Journal de Mathematiques Pures etAppliquées in 1662.

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The test states that if {an} is a sequence of real numbers and {bn} a sequence of complex
numbers, satisfying
Em matemática, o teste de Dirichlet demonstra a convergência de séries numéricas que
podem ser escritas na forma:
onde as duas propriedades são verificadas:
1. para todo
2.
Teorema fundamental da aritmética
Todo número natural é primo, ou possui uma única decomposição em números primos
(exceto, possivelmente, pela ordenação)(DEVLIN, p. 34)
Sobre a Hipótese de Riemann
Riemann era um “intuitivo”. Durante sua carreira, Riemann trabalhou basicamente de forma
intuitiva. “A abordagem conceitual e abstrata lançada por Dirichlet estava começando a
substituir a antiga visão computacional-algorítmica. Pensar em conceitos” (Denken in
Begriffen) era o lema da nova geração de matemáticos” (DEVLIN, 2004: 41).
Na França, Augustin Cauchy desenvolveu suas famosas definições por episilons e delta. As
contribuições de Cauchy indicavam, em particular, uma nova disposição dos matemáticos
para se atracarem com o conceito de infinito..
Aritigo de Riemann de 1859
“On the number of primes less than a given magnitude” (Ueber die
AnzahlderPrimzahlenuntereinergegebenenGrösse (B. Riemann, Nov. 1859 edition of the
Monatsberichte des KöniglichPreuβischen Akademie der Wissenschaftenzu Berlin)”.
Da função zeta de Euler à função zeta de Riemann.
Riemann discute a relação entre ζ(s) e a distribuição dos números primos.
6. Sobre os Números Transcendentais e os conjuntos infinitos
Johann Heinrich Lambert (1725 – 1777) era dotado de imaginação extraordinária e esmeravase
no aspecto do rigor ao estabelecer seus resultados. Lambert foi o primeiro a fazer uma
demonstração rigorosa de que o número π é irracional. Ele, na realidade, mostrou que se x é
racional e x = 0, então tgx não pode ser racional, e como tg π/4 = 1, logo π/4 não pode ser
racional, ou seja, π é irracional. Lambert fez a conjectura de que π e também o número de
Euler, o número e, seriam números transcendentais. Charles Hermite conseguiu demonstrar

11
em 1873 que o número transcendental, portanto, irracional. A recíproca não é verdadeira.
Todo número transcendental é, ao mesmo tempo, irracional, mas nem todo número irracional
é transcendental. Por exemplo, √2 é um número irracional, mas não é transcendental, ele é
algébrico. A natureza não algébrica de π demorou mais um pouco a ser demonstrada. Em
1882, Ferdinand von Lindemann demonstrou que π é um transcendental. Tendo em vista que
π e e são números transcendentais, eles não podem ser raízes de uma equação algébrica do
tipo
ao +a1x 1 a2 x 2 + ...+ anx n = 0, ao≠ 0
quaisquer que sejam os coeficientes inteiros ao, ..., na e o índice n.
Assim como existem infinitos números inteiros, há também infinitas frações. Há, entretanto,
uma diferença fundamental entre estes dois conjuntos: o conjunto dos números inteiros é
discreto, por excelência. Diríamos então que o conjunto dos inteiros é quantizado na unidade,
ou seja, a diferença entre dois inteiros consecutivos é sempre igual a um. O mesmo não
acontece com os números fracionais, entre duas frações quaisquer, por próximas que sejam
uma da outra, sempre é possível encontrar outra fração entre elas. Por isso, dizemos que o
conjunto dos números fracionais é denso.
A primeira impressão que se tem é que este imenso conjunto dos números racionais,
incluindo os números inteiros e todas as frações possíveis é absolutamente denso. Entretanto
não é isso que acontece. Este conjunto, apesar de sua aparência densa, deixa gaps
vazios,“buracos” vazios, entre seus elementos: pontos que não correspondem a nenhum
número racional.
O inesperado em tudo isso é que esses intervalos vazios são tão numerosos que ultrapassam
em quantidade qualquer número por maior que ele seja. Este conjunto dos números irracionais
é infinito. Dedekind já havia demonstrado que os números irracionais formavam um conjunto
infinito. 1) Ainda mais: Cantor mostrou que o conjunto dos números irracionais não é
numerável. Ao contrário do conjunto dos números racionais que é numerável, o conjunto dos
números irracionais não é enumerável.
A descoberta dos números irracionais é atribuída aos pitagóricos, ou talvez ao próprio
Pitágoras de Samos. Em um quadrado de lados igual a um, sua diagonal é igual à raiz de dois:
√2. Este número é irracional. Na divisão áurea: Se um todo é dividido em duas partes
desiguais, tais que o todo está para a parte maior, assim como esta parte maior está para a
menor, então, dizemos que este todo foi dividido segundo a razão áurea: Seja x esta parte
maior, então 1/x = x/(1-x).
Resolvemos então a equação x 2 + x -1 = 0, escolhendo a solução com x > 0, temos
x = ½ (-1 + √5) ≈0,618, Ф = 1/x = 2/(√5 -1) ≈ 1,618
Ф é chamado de número fi. Como ocorre com √2, Ф também é um número irracional.
Definição de um conjunto infinito, segundo Dedekind.
Um sistema S é dito ser infinito quando ele é semelhante a uma de suas partes; caso contrário,
S é chamado de sistema finito.
No domínio dos números reais é possível estabelecer os seguintes conjuntos infinitos:

12
1.conjunto dos números inteiros positivos ou conjuntos dos números naturais,
2. conjunto dos números racionais,
3. conjunto dos números algébricos,
4. conjuntos dos números reais.
Todos esses conjuntos são infinitos. Entretanto, surge a questão que consiste em saber se é
possível comparar a grandeza de cada um desses conjuntos. É possível fazer a pergunta se um
desses conjuntos é maior, é menor ou é igual a outro dos conjuntos infinitos? Galileu já havia
feito conjecturas sobre alguns conjuntos infinitos. Em Duas Novas Ciências, livro publicado
em 1638, ele discute sobre algumas manifestações do infinito. Como temos certeza de
encontrar linhas uma maior que a outra, contendo ambas infinitos pontos, ..., temos que
admitir uma coisa maior que o infinito, argumenta Simplício. Ao que Salviati responde: Este
tipo de dificuldade decorre do discurso que fazemos com nosso intelecto finito acerca do
infinito, dando-lhes os mesmos atributos que damos às coisas finitas e limitadas. Infinitos são
os números inteiros positivos, como também os números inteiros quadrados. Ele conclui que,
embora ambos esses conjuntos tenham infinitos elementos, a impressão que se tem é que há
menos números quadrados do que números inteiros, em geral. Para um conjunto finito desses
números, não resta dúvida que o conjunto dos números inteiros quadrados é muito menor do
que o conjunto dos números naturais no dado intervalo. Como exemplo, tomemos o conjunto
dos números naturais entre 1 e 1000. O conjunto dos números que é quadrado de outro
número entre 1 e 1000 é formado de apenas 31 elementos. Galileu, fazendo elucubrações
sobre os conjuntos infinitos, teve a sagacidade de perceber que o que é válido para conjuntos
finitos pode não ser válido para conjuntos infinitos. Sendo assim, ele escreveu que poderia ser
que os atributos de igual, maior ou menor não se aplicassem aos conjuntos infinitos.
Entretanto, passados mais de duzentos anos, Georg Cantor conseguiu fazer um estudo
rigoroso dos conjuntos infinitos, e por meio de conceitos precisos, estabeleceu uma hierarquia
desses conjuntos. Em outras palavras, segundo Cantor, há infinitos maiores do que outros. O
que Cantor concluiu foi que os conjuntos dos números inteiros naturais, o conjunto dos
inteiros quadrados, o conjunto dos números racionais, e até mesmo o conjunto dos números
algébricos,todos são infinitos de mesma potência ou de mesma cardinalidade. Esses conjuntos
são enumeráveis, são contáveis, é possível estabelecer uma correspondência biunívoca entre o
conjunto dos números inteiros positivos e qualquer um desses conjuntos. Por outro lado, o
conjunto dos números reais, o conjunto de pontos da reta numérica, tem uma cardinalidade
maior do que a dos números reais. O conjunto dos números reais é conjunto do continuum. O
inesperado em tudo isso é que existem muito mais números transcendentes que números
algébricos. E é o conjunto dos números transcendentes que faz com que o conjunto dos
números reais seja não enumerável.
Em 1874,no artigo “Über eine Eigenschfat des Inbegriffes aller algebraischen
Zahlen”, Cantor demonstrou que o conjunto dos números irracionais, tema que ocupava os
matemáticos da época, especialmente Dedekind, não é enumerável. Está implícito neste
resultado que existem conjuntos infinitos de “tamanhos” diferentes. A noção de potência
{Mächtigkeit} foi introduzida para expressar o que intuitivamente seria chamado de

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“tamanhos” diferentes de conjuntos infinitos. A conclusão a que Cartor chegou foi que os
conjuntos infinitos podem possuir potências diferentes. Em 1883, no mesmo ano em que
morria Karl Marx, Cantor publicou a primeira versão dos números transfinitos, sob o título
Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltikeitslehre. Vilela escreve:
“Cantor admite ser conhecido o significado de potência de conjuntos quando inicia
o artigo de 1883, definindo o “infinito atual”, conceito que merece longas
discussões nesse texto. Ele define na primeira seção do artigo o infinito impróprio,
ou infinito atual, que significa considerar o infinito como um todo ao lado da noção
de infinito próprio, comumente aceita” (VILELA, 1995: 55).
A autora ainda escreve: “... a primeira forma se apresenta como um infinito variável [o
infinito potencial] e a segunda como um infinito absolutamente determinado [o infinito atual]
(Cantor, 1883, s 1 p. 70, apud VILELA, 1995: 55).
Felix Klein afirma o seguinte:
Teorema sobre a função exponencial
À primeira vista, parece natural considerar que a potência do conjunto dos números
naturais é menor do que a potência de todos os números racionais. Esta última, por
sua vez, parece ser menor do que a potência de todos os números algébricos. E, por
fim, a potência de todos os números algébricos parece ser menor do que a potência
de todos os números reais, pois, cada um desses conjuntos surge do anterior por
meio do acréscimo de novos elementos. Contudo, na realidade, esta conclusão é
falsa, embora, em se tratando de conjuntos finitos, qualquer conjunto tem potência
maior do que qualquer uma de suas partes, esta propriedade não se aplica a
conjuntos infinitos (KLEIN, 1987: 356).
Na equação e β = b, os números b e β não podem ser algébricos ao mesmo tempo, exceto o
caso trivial β = 0, b = 1. Em outras palavras, a função exponencial do número algébrico β e o
logaritmo natural do número algébrico b, exceção feita ao caso trivial supra mencionado, são
números transcendentais. Como caso particular, na equação e iπ = -1, π é um número
transcendental. Felix Klein comenta que incrível que o gráfico da função y = e x , no conjunto
(0 < x < ∞), apesar de representar uma curva contínua, não contenha sequer um número
algébrico.
Sétimo Problema de Hilbert (1900)
Para um número algérbrico a ≠0 e 1, b um número algébrico irracional, mostrar que o número
a b é transcendente. Este teorema foi demonstrado em 1934, pelo matemático soviético,
Aleksander Gelfond; e logo, em seguida, demonstrado também pelo matemático alemão
Schneider. Como todo número que seja raiz quadrada de um número primo é algébrico
irracional, e existem infinitos números primos,então a função y = a x , onde a a ≠0 e 1, x um
número irracional algébrico fornece um conjunto de infinitos números transcendentes.
Já dissemos como Galileu se preocupou com a questão do infinito, em cogitando sobre alguns
conjuntos numéricos. Outro aspecto do infinito presente nos trabalhos de Galileu, e em toda a
ciência clássica moderna foi notado por Boris Kouznetsov.

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Kouznetsov escreve que a própria concepção de lei natural representada por uma função
contínua faz corresponder de modo unívoco os elementos de um conjunto aos elementos de
outro conjunto. Por outro lado, com o surgimento da noção de limite e do infinitesimal como
quantidade variável, o infinito atual parecia ter desaparecido da matemática (KOUZNETSOV,
1973: 250).
Considerações Finais
Neste pequeno trabalho procurou-se ressaltar algumas vicissitudes da concepção de infinito,
seja o infinito visto como um processo (infinito potencial) ou com algo acabado (infinito
atual). Não resta dúvida que o infinito potencial, desde Aristóteles, é mais fácil de ser
concebido e aceito. No âmbito da realidade material é difícil imaginar algo infinito, existindo
como uma substância, no sentido metafísico ou como uma substância física mesmo. Como foi
visto neste texto, Bolzano esteve entre os primeiros a ressaltar a existência do infinito atual,
em diversos conjuntos de objetos abstratos, a começar pelo conjunto dos números naturais.
Cantor deu continuidade e aprofundamento, por meio de um maior rigor, à concepção de
infinito atual. Entretanto, os paradoxos do infinito estão por toda a parte. Resta dizer que um
dos aspectos da questão do infinito que não foi ressaltado neste texto, mas que talvez mereça
atenção é a conotação dialética que o infinito parece ter. A particularidade dos conjuntos
infinitos de possuírem propriedades inerentes, não compartilhadas pelos conjuntos finitos, a
grande descoberta que o todo pode não ser maior que suas partes, tudo isso assemelha muito
com uma das leis da dialética, a lei, segundo qual, a quantidade se converte qualidade. Novas
qualidades e novas propriedades emergem no processo de variação quantitativa de matéria ou
de movimento. Por que os aspectos contraditórios e às vezes paradoxais, inerentes aos grandes
números e ao processo de passagem ao infinito, não possam ser vistos como mudanças de
qualidades que acompanham as mudanças quantitativas?
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Acessado em 04/06/2012