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1.Introdução<br />
ALGUMAS CONSIDERAÇÕES SOBRE O INFINITO<br />
* JOSÉ LOURENÇO CINDRA<br />
Neste trabalho, pretende-se tecer algumas considerações sobre o infinito e seus paradoxos<br />
aparentes, apresentando aspectos filosófico-metafísicos e matemáticos do problema. Desde os<br />
pré-socráticos até Cantor, na segunda metade do século XIX, as preocupações com o infinito,<br />
de modo intermitente, sempre chocaram e estimularam o pensamento ocidental.<br />
Considerações de ordem filosófica e matemática estimularam a curiosidade acerca do infinito<br />
e seus paradoxos. O apeiron de Anaximandro e os paradoxos de Zenão parecem ter sido as<br />
primeiras abordagens de algo que parecia infinito ou paradoxal. Os antigos atomistas gregos<br />
também tocaram na questão do infinito. Para eles, os átomos em número infinito, se moviam<br />
em um espaço vazio infinito. Aristóteles, por outro lado, muito mais sistemático e metódico,<br />
concebeu duas espécies de infinito: o infinito potencial e o infinito atual. Ele fez ver que<br />
somente o infinito potencial poderia ter existência real. O outro, o infinito atual, não poderia<br />
corresponder a nada, realmente, existente. Parece que os gregos tinham uma espécie de horror<br />
ao infinito atual, o infinito acabado. Mesmo nos Elementos de Euclides não se afirma que<br />
infinitos são os números primos, senão que os números primos são mais numerosos que toda<br />
quantidade que tenha sido posta de números primos.<br />
Transcorreu-se mais de um milênio e, então, na aurora da ciência clássica, Galileu Galilei,<br />
com toda a sua perspicácia, voltou a comentar sobre os paradoxos do infinito, inerentes ás<br />
sequências dos números inteiros, quando confrontada com a sequência dos números pares, a<br />
sequência dos números ímpares ou a sequência dos números inteiros quadrados. Se todas<br />
estas sequências são infinitas, parecia a Galileu que poderia pensar na existência de um<br />
infinito maior que outro, mas ele concluiu que talvez o conceito de algo maior ou algo menor,<br />
válido para as coleções finitas, não seria aplicável às coleções constituídas de infinitos<br />
elementos. No aspecto metafísico filosófico, os séculos transcorridos entre Nicolau de Cusa e<br />
Georg Wilhelm Hegel, passando por Giordano Bruno e Baruch Spinoza, todos se<br />
preocuparam com o infinito em todas as suas manifestações. Em seu sistema dialético, Hegel<br />
fez a distinção entre o que ele chamou de infinidade má ou espúria (schlechte Unendlichkeit)<br />
e infinidade verdadeira (wahre Unendlichkeit). O mau infinito é a progressão sucessiva<br />
abordada pelo intelecto e que a todo instante permanece finita. Já o infinito verdadeiro seria<br />
uma totalidade concebida pela razão dialética. Mas foi no âmbito da matemática,<br />
propriamente dita, que a questão do infinito iria poder dispor de uma abordagem operacional,<br />
capaz de superar as aporias do infinito atual. Parece que o estudo das sequências e séries<br />
infinitas que podiam ou não convergir para um limite finito foi o ponto de partida promissor<br />
para se chegar a conclusões satisfatórias acerca do infinito. Esta abordagem do problema iria<br />
culminar nas considerações de Bernhard Bolzano acerca dos conjuntos contendo infinitos<br />
elementos e as investigações de Karl Weierstrass e Georg Cantor. Este último teve o mérito<br />
de atingir o coroamento de tudo isso, demonstrando aquilo que para Galileu era uma simples<br />
conjectura.<br />
* UNESP – Universidade Estadual paulista – Campus de Guaratinguetá, Doutor em Física.
2<br />
Juntas se encontravam todas as coisas, infinitas tanto em quantidade como em<br />
pequenez – pois que também o pequeno era infinito. E quando juntas se encontravam<br />
todas as coisas, nenhuma delas era distinguível em razão de sua pequenez; pois o ar e<br />
o éter prevaleciam sobre todas as coisas, sendo ambos infinitos – pois em todas as<br />
coisas estes são os maiores, tanto em quantidade como em dimensão (Anaxagoras,<br />
apud BARNES, 1997: 268)<br />
There is no smallest among the small and no largest among the large; But always something<br />
still smaller and something still larger (ANAXAGORAS, apud E. Maor, 1991:.2).<br />
2.Os Paradoxos de Zenon<br />
Os paradoxos ou aporias de Zenon são as aporias da continuidade, aporias da divisão infinita<br />
de uma grandeza extensa, Tornaram-se conhecidas cinco aporias de Zenon: a aporia da<br />
medida, a da dicotomia, a de Aquiles e a tartaruga, a da flecha e a do estádio.<br />
A primeira aporia, a aporia da medida, indica a impossibilidade de ser formada uma grandeza<br />
extensa a partir de elementos inextensíveis. Se os elementos são inextensíveis então a soma<br />
desses elementos será nula. Por outro lado, se os elementos possuem extensão não nula, então<br />
a soma de um conjunto infinito desses elementos será também infinita.<br />
A segunda aporia, o paradoxo da dicotomia, afirma que um corpo em movimento, antes de<br />
percorrer uma distância, tem de percorrer a sua metade, antes disso, percorre 1/4 , antes ainda,<br />
percorre 1/8 daquela distância, etc. Parece que a soma da série dessas frações nunca será igual<br />
à unidade.“Procuramos a primeira parte elementar do caminho percorrido e não a<br />
encontramos” (KOUZNETSOV, 1974: 58).<br />
A terceira aporia é a que traz o nome de Aquiles e a tartaruga. A distância entre Aquiles e a<br />
tartaruga diminui, mas nunca será nula. É impossível alcançar o último ponto de um caminho<br />
contínuo.<br />
Além da ausência do primeiro e do último elemento do caminho, deparamos com<br />
outra particularidade do infinito atual. Em toda a extensão da competição de<br />
Aquiles com a tartaruga o número de segmentos elementares percorridos por<br />
Aquiles coincide com o número de segmentos percorridos pela tartaruga, pois a<br />
cada elemento do caminho percorrido por Aquiles corresponde um elemento do<br />
caminho percorrido pela tartaruga. Mas Aquiles percorre um caminho maior que<br />
aquele que percorre a tartaruga. Sendo assim, segmentos desiguais contêm o<br />
mesmo número de elementos (KOUZNETSOV, 1974: 58-59).<br />
A quarta aporia é a da flecha. Uma flecha em movimento ocupa um espaço que é o mesmo<br />
durante todo o tempo em que está em movimento, ou seja, em cada instante, ela se comporta<br />
como se estivesse em repouso. A soma desses instantes constitui o tempo de movimento da<br />
flecha. No decorrer de todo esse tempo, a flecha esteve em repouso.<br />
A quinta aporia ou paradoxo do estádio. Neste paradoxo, aparece uma noção velocidade<br />
relativa. O intervalo de tempo será divisível ou indivisível, dependendo do referencial em<br />
relação à qual, o movimento é considerado.<br />
Boris Kouznetsov argumenta que a aporia do estádio indica mais uma particularidade do<br />
infinito atual. A aporia de Aquiles e a tartaruga mostrou que o número infinito possui uma
3<br />
propriedade paradoxal: α±β = α! Agora, a aporia do “estádio” mostrou que 2α = α!<br />
(KOUZNETZOV, 1974: 60).<br />
Eli Maor ressalta a ausência de uma notação algébrica adequada e o desconhecimento da<br />
operação de passagem ao limite como obstáculos intransponíveis para os gregos antigos<br />
conceber adequadamente os processos que envolviam o infinito.<br />
Entretanto, sem um bom sistema de notação – uma álgebra no sentido moderno da<br />
palavra – os gregos ficaram privados de sua mais vantagem: a capacidade de<br />
exprimir de modo conciso as relações entre quantidades variáveis. E isso inclui o<br />
conceito de infinito. Por não ser um verdadeiro número, não podemos lidar com o<br />
infinito num sentido puramente numérico. Além disso, o processo de passagem ao<br />
limite, para encontrar o valor várias formas indeterminadas também exige<br />
manipulações algébricas (MAORI, 2004:67-8).<br />
3. As Considerações de Aristóteles e de Outros Pensadores sobre o Infinito<br />
Em Physics, III, iv, p. 217-9, Aristóteles escreve que os pitagóricos e Platão consideraram o<br />
ilimitado ou indeterminado com existência própria, não como um acidente de algo mais. E<br />
que os pitagóricos chegaram a considerar o infinito (ilimitado, indeterminado) cognoscível<br />
pelos sentidos, pois eles não separavam os números das coisas. Os pitagóricos consideravam<br />
que o ilimitado se encontra além do ceu. Platão, pelo contrário, asseverava que nenhum corpo<br />
material estaria além do ceu. No tocante aos números inteiros, os pitagóricos identificaram o<br />
“indeterminado” com os números pares e o “determinado” com os números ímpares. Pois, a<br />
série dos números ímpares, começando com a unidade e terminado em 2n – 1 é igual a n 2 .<br />
Enquanto a série dos números, começando com dois e terminando em 2n é indeterminada.<br />
Aristóteles escreveu em Physics, III, iv, 1993: 223), que tudo é determinado por algum<br />
princípio ou é o próprio princípio, e que o indeterminado não pode ser determinado, não<br />
podendo, portanto, depender de algo como princípio. Além disso, não pode ter começo ou fim<br />
em sua existência, pois tudo que surge deve ter um fim. Comentando sobre as concepções de<br />
alguns filósofos pré-socráticos sobre o infinito, Aristóteles escreve que a crença na existência<br />
de algo “ilimitado” parece se apoiar sobre cinco considerações: 1) O tempo, considerado<br />
como sendo desprovido de limite, 2) A divisibilidade infinita das magnitudes, 3) A gênese e o<br />
perecimento dos seres, 4) Tudo o que é limitado alcança seu limite em algo mais, não<br />
existindo, portanto, limite absoluto, 5) A imaginação pode sempre conceber um “além<br />
fronteira”, de modo que a série dos números inteiros parece não ter limite (ARISTOTLE,<br />
1993: 225).<br />
Em “Sobre os Céus”, Aristóteles volta a tecer considerações sobre o infinito e conclui que “ é<br />
claro que o corpo que gira em círculo não é infinito, ele tem um limite” (ARISTOTLE, 2006,<br />
I, v: 43). E mais adiante “Não pode existir um corpo infinito, e, além disso, não pode existir<br />
um peso infinito” (ARISTOTLE, ibid: 47).<br />
“O mundo como um todo não foi gerado e não pode ser destruído, como alguns alegam, mas é<br />
único e eterno, não tendo princípio ou fim, o tempo é infinito” (ARISTOLE, 2006, II, i:. 131).<br />
Considerações de Copérnico sobre a grandeza do Universo
4<br />
No Capítulo VI do Revolutionibus, Copérnico escreve: “O Céu é imenso em<br />
comparação com a Terra e dá a impressão de um tamanho infinito, enquanto segundo o<br />
testemunho dos sentidos, a Terra é em relação ao Céu o que um ponto é em relação ao corpo,<br />
o finito em relação ao infinito” (COPÉRNICO, 1984: 34).<br />
No Capítulo VIII, Copérnico lembra o “axioma da Física” de que o infinito não pode ser<br />
percorrido nem movido de forma alguma – conclui que o Céu terá necessariamente<br />
permanecer imóvel. E por fim, ele escreve: “Deixemos pois que os físicos disputem sobre se o<br />
mundo é finito ou infinito, tendo nós como certo que a Terra é limitada pelos seus pólos e por<br />
uma superfície esférica” (ibid, p. 40).<br />
As considerações de Giordano Bruno sobre o infinito são arrojadas e concernem ao infinito<br />
atual. Já no Primeiro Diálogo Acerca do Infinito, do Universo e dos Mundos, Filóteo, o portavoz<br />
do pensamento de Bruno, declara que “não há sentido que veja o infinito ou algum a que<br />
possa solicitar essa conclusão, pois o infinito não pode ser objeto dos sentidos” (BRUNO,<br />
2007: 32).<br />
Portanto, para Bruno, o infinito é objeto da razão. E de modo explícito, é afirmado o infinito<br />
atual: “Se o Universo é infinito, não é necessário procurar seu motor. Depois, que sendo<br />
infinitos os mundos que estão nele, como as terras, os fogos e outros tipos de corpos<br />
denominados astros, todos se movem pelo princípio interno que é a própria alma [do mundo],<br />
como em outra assertiva provamos” (ibid, p. 45).<br />
Spinoza é outro pensador que tratou de alguns aspectos do infinito e da eternidade, vistas do<br />
ponto de vista de sua filosofia monista e panteísta.<br />
Em Ética-I Definição 2, Spinoza escreve: Diz-e que uma coisa é finita no seu gênero quando<br />
pode ser limitada por outra coisa da mesma natureza. E a Proposição VIII diz que “toda<br />
substância é necessariamente infinita”.<br />
Três pilares nos quais sustentam a metafísica spinoziana: substância, atributos e modos.<br />
Enquanto os dois primeiros são o primado da eternidade e da permanência, os últimos são as<br />
mudanças e a transitoriedade das coisas corruptíveis. O mundo material é mutável, mas suas<br />
leis são imutáveis e devem ser consideradas, segundo Spinoza, “sub specie<br />
aeternitatis”(PONCZEK, 2009: 116).<br />
HEGEL faz a distinção entre a infinitude verdadeira e a má infinitude, quando escreve:<br />
Quando trata da infinitude em geral, é, sobretudo, no progresso quantitativo infinito<br />
que o entendimento reflexivo costuma deter-se. Ora, dessa forma do progresso<br />
infinito vale,, antes de tudo, o mesmo que antes se notou sobre o progresso<br />
qualitativo infinito: a saber, que não é a expressão da infinitude verdadeira, mas<br />
somente daquela má infinitude que não vai além do simples dever-ser, e assim, de<br />
fato, permanece no finito” (HEGEL, $ 104, Adendo 2 1995: 208).<br />
Em seguida, no mesmo Adendo 2, Hegel continua dizendo que no que concerne mais<br />
precisamente à forma quantitativa desse progresso infinito, que Espinosa com razão considera<br />
como uma infinitude simplesmente imaginada (infinitumimaginationis), também poetas se<br />
utilizaram não raramente dessa representação. E Hegel cita então o poema de Albrecht von<br />
Haller:
5<br />
“Eu amontôo números enormes e milhões de montanhas. Ponho tempos sobre<br />
tempos; e mundos e sobre mundos. E, quando, dessa altura, novamente-tomado de<br />
pavor e de vertigem –dirijo para Ti o meu olhar, todo o poder do número, ainda<br />
elevado à milésima potência, não forma uma só parte de Ti mesmo.Se os retiro,<br />
estás todo à minha frente” (HEGEL, 1995: 209).<br />
E Hegel conclui que estamos lidando com um “mandar-para-fora da quantidade, e mais<br />
precisamente do número, para além de si mesmo, que Kant caracteriza como arrepiante”. Mas<br />
Hegel escreve que arrepiante mesmo tinha de ser apenas a monotonia enfadonha de<br />
constantemente um limite ser posto e de novo suprassumido, e assim não se sair do lugar.<br />
Hegel vê significado apenas no último verso do poeta: “se os retiro, estás todo à minha<br />
frente”. O verdadeiro infinito, para Hegel, não pode ser considerado como um simples Além<br />
do finito. É para isso necessário renunciar ao “progressus ininfinitum”.<br />
4. Arquimedes e os grandes números<br />
No Arenário, Arquimedes escreveu: suponhamos que 10 mil grãos de areia cabem em uma<br />
pilha do tamanho de uma semente de papoula e que uma fileira de 40 sementes de papoula<br />
tenha a largura de um dedo. O volume ocupado por todas as sementes de papoulas em uma<br />
esfera com este diâmetro é da ordem de (40) 3 = 1.6 x 10 4 . Portanto, o número de grãos de<br />
areia contido neste volume é da ordem de 6,4x10 8 grãos. Podemos arredondar este número<br />
para 10 9 grãos de areia. Não precisamos preocupar com o exagero de todas as estimativas até<br />
agora feitas. O exagero faz parte do jogo de Arquimedes. Por outro lado, 10 4 larguras de um<br />
dedo formam um estádio (cerca 160 metros). Logo, uma esfera com o diâmetro igual a um<br />
estádio é aproximadamente igual a (10 4 ) 3 = 10 12 o volume de um dedo. Consequentemente, o<br />
número de grãos de areia contidos em uma esfera de diâmetro igual a um estádio é da ordem<br />
de 10 21 grãos.<br />
Em seguida, Arquimedes recorre ao trabalho do astrônomo Aristarco de Samos, que havia<br />
feito algumas considerações sobre a distância da Terra até o Sol. Seja E a esfera de raio igual<br />
à distância da Terra até o Sol. Arquimedes então supõe que o diâmetro T da Terra está para o<br />
diâmetro da esfera E assim como o diâmetro da esfera E está para o diâmetro do universo U.<br />
T/E = E/U<br />
Com estas estimativas, Arquimedes conclui que o diâmetro do universo é da ordem de 10 14<br />
estádios. Portanto, o volume da esfera cujo diâmetro engloba todo o universo é da ordem de<br />
(10 14 ) 3 = 10 42 vezes o volume de uma esfera de diâmetro igual a um estádio.<br />
Consequentemente, o número de grãos de areia capaz de encher todo o universo é 10 21 x10 42 =<br />
10 63 grãos de areia. Robert Kaplan escreve:<br />
Quando levamos em conta que na década de 1940 dois nova-iorquinos teimosos<br />
calcularam que o número de grãos de areia em Coney Island chegava a 10 20 , e que<br />
cálculos atuais do número total de partículas muito menores em nosso universo<br />
muito maior está entre 10 72 e 10 87 , temos de admitir que os cálculos de Arquimedes<br />
não eram tão ruins assim.Kaplan ainda acrescenta: “Esta é uma aplicação<br />
espetacular do insight grego de que o mundo lá fora pode ser compreendido em<br />
analogia ao mundo perto de nós. Ela é ainda mais espetacular quando percebemos<br />
que Arquimedes não possuía nossa conveniente notação de potência de dez, toda<br />
baseada no uso do zero”(KAPLAN, 2001: 41).
6<br />
Discorrendo oobre o método de exaustão de Eudoxo, Howard Eves (EVES, 2004: 418)<br />
comenta que, os gregos antigos sabiam que se pode construir um quadrado de área igual a de<br />
qualquer polígono. Seria então possível construir um quadrado de área igual à do círculo<br />
(quadratura do círculo. Antífon teria antecipado a ideia de que por sucessivas duplicações do<br />
número de lados de um polígono, seria então possível construir um quadrado de área igual à<br />
do círculo. A corajosa abordagem de Antífon continha o germe do famoso método de<br />
exaustão grega. Na realidade, o método de exaustão tinha por base o chamado axioma de<br />
Arquimedes: Dadas duas grandezas de mesma espécie, pode-se achar então um múltiplo da<br />
menor que supere a maior, demonstre a proposição básica do método de exaustão: se de uma<br />
grandeza qualquer subtrai-se uma parte não menor que a sua metade, e assim por diante, se<br />
chegará por fim a uma grandeza menor que qualquer outra predeterminada da mesma espécie.<br />
A Quarta Definição do Livro V dos Elementos de Euclides afirma: Magnitudes são ditas ter<br />
uma razão entre si, aquelas que multiplicadas podem exceder uma a outra. E no Livro X, a<br />
Primeira Definição afirma que Magnitudes são ditas comensuráveis as que são medidas pela<br />
mesma medida, e incomensuráveis, aquelas das quais nenhuma medida comum é possível<br />
produzir-se.<br />
Uma mudança radical ocorreu quando a discussão sobre o infinito atual entrou em cena no<br />
âmbito da matemática. Bolzano está formalmente na origem desta mudança, mesmo levando<br />
em conta que alguns pensadores já haviam expressado ideias que consideravam a existência<br />
do infinito atual. Leibniz foi um deles (WALDEGG, 2005: 563-564).<br />
Bolzano faz uma distinção entre agregado (Inbegriff), multidão (Vielheit) e conjunto (Menge).<br />
Bolzano chama de agregado uma coleção de objetos com determinada relação interna entre<br />
seus membros. Caso contrário, em se tratando de um grupo de objetos sem levar em conta<br />
qualquer relação entre eles, fala-se de conjunto (Menge, em alemão; insieme, em italiano). E,<br />
finalmente, quando os objetos de um agregado são vistos como indivíduos de uma dada<br />
espécie, Bolzano diz tratar-se de uma multidão (Vielheit, em alemão; moltitudine, em<br />
italiano). (ver Bolzano, § 4).Bolzano comenta (§ 10) fica a pergunta, se através de uma<br />
simples definição daquilo que é chamado multidão infinita, estaremos em condição de<br />
determinar o que é o infinito em si. Em seguida (§ 11) Bolzano escreve sobre Hegel e seus<br />
seguidores que chamam o infinito largamente utilizado pelos matemáticos como mau infinito<br />
(il cativo infinito), como grandeza crescente, mas que permanece finita em cada instante. Ao<br />
contrário, uma reta ilimitada em ambos os sentidos seria um verdadeiro infinito. No § 14<br />
Bolzano polemiza com aqueles que negam a existência de um conjunto infinito, porque seus<br />
elementos não podem ser reunidos e formar um todo, nem mesmo podem ser reunidos por<br />
meio do pensamento. Bolzano replica que isso não é verdade, pois, pode-se formar a ideia de<br />
um conjunto numeroso sem conhecimento de seus elementos individuas, como é o caso do<br />
conjunto dos habitantes de uma grande cidade, os habitantes da cidade de Praga, por exemplo.<br />
Este seria um exemplo de agregado, segundo Bolzano. Outra coisa que Bolzano refuta é a<br />
opinião de que um conjunto não existe, a menos que exista alguém para pensa-lo. Segundo<br />
Bolzano, existem conjuntos e totalidades sem a necessidade de alguém que as pensa<br />
(esistonoinsiemi e totalitáanchesenzache ci sai un essereche li pensi).
7<br />
Bolzano escreve: existe um infinito não apenas entre os objetos desprovidos de atualidade,<br />
mas também no domínio da atualidade mesma.<br />
Già il concetto di un calcolo dell´infinito há l´apparenza, lo ammetto, di contenere<br />
una contradizione. Infatti, voler calcolare qualcosa significa dopo tutto, tentare una<br />
determinazione di essa mediante numeri. Ma come si protrà tentare di determinare<br />
l´infinito mediante numeri – quell´infinito che, secondo la mostra própria<br />
definizione, deve essere un qualche cosa che possa essere riguardato come un<br />
insieme formato da infiniti membri, cioè un insieme che è più grande di un<br />
qualunque numero, e che quindi non pùo essere determinato mediante un semplice<br />
dato numerico? (BOLZANO, 2003: 65).<br />
Bolzano, em seguida, argumenta que, entretanto, uma determinação do infinito é possível.<br />
E no parágrafo 38 “Uma proprietà che manca in tutte le parti deve anche non appartenere al<br />
tuto? È piuttosto esattamente il contrario! Ogni tutto ha e deve avere molte proprietà che<br />
mancano nelle parti” (BOLZANO, 2003: 91).<br />
“Eine Beschaffenheit,die allenTeilen mangelt, soll auch dem ganzen nicht zu kommen<br />
dürfen? Gerade umgekehrt! Jedes Ganze hat und muss gar manche Eingenschaften haben,<br />
welche den Teilen mangelt” (BOLZANO, 1851).<br />
5.Números Primos, Sequências e Séries Infinitas<br />
Euclides no Livro I dos Elementos (ΣτοιχεΪα) entre os postulados apresentados está o de o<br />
todo é maior do que a parte. E no Livro IX, a Proposição 20 enuncia que “os números primos<br />
são maiores do que toda quantidade que tenha sido proposta de números primos”. Ele prova<br />
esta proposição. Mas Euclides não diz que os números primos são infinitos. Parece que ele<br />
está evitando o infinito atual, simplesmente declarando que os números primos são<br />
intermináveis (infinito potencial).<br />
Sobre os números primos, além da proposição de Euclides, há algumas conjecturas famosas,<br />
mas que ainda não foram provadas. Uma delas é a conjectura de Goldbach, proposta pelo<br />
matemático amador e amigo de Euler, Christian Goldbach em 1742. Ela sugere que todo<br />
número par maior que dois é a soma de dois primos. Buscas computacionais, concluídas até o<br />
ano 2000, confirmaram a conjectura de Goldbach para todos os números pares até 400 trilhões<br />
(4x10 14 ). A outra conjectura é a que pergunta se existem infinitos “pares de primos gêmeos –<br />
primos que distam 2 um do outro, tais como 5 e 7 ou 11 e 13. Com o emprego de<br />
computadores foram encontrados muitos exemplos destes pares. O maior par de primos<br />
descoberto até hoje são os números 4.648.619.711.502x2 60.000 ±1. Cada um destes dois primos<br />
tem 18.075 dígitos. Eles foram descobertos no ano 2000 com uso de um computador<br />
(DEVLIN, p. 46). A conjectura de Gauss, proposta em 1791 refere-se à densidade dos primos.<br />
Gauss percebeu que, para números mais baixos, a distribuição dos primos parece ser aleatória,<br />
mas que na medida em que os números naturais N crescem, a densidade dos números primos<br />
parece aproximar-se DN = P(N)/N é aproximadamente 1/ln(N). Gauss não conseguiu provar<br />
sua conjectura. Ela foi provada em 1896 por Jacques Hadamard, matemático francês, e pelo<br />
belga Charles de la Vallée Poussin, trabalhando independentemente. O resultado deles passou<br />
a ser chamado de Teorema dos Números Primos ((DEVLIN, 2004, p. 48).
8<br />
Antes de falar sobre sequências e séries, precisamos discutir um pouco sobre os conceitos de<br />
infinito e de passagem ao limite.<br />
Definição: Uma quantidade variável é dita aproximar-se do infinito se ela pode tornar-se<br />
maior do que qualquer número, não importado o quão grande ele possa ser. Como<br />
consequência disso, concluímos que o infinito não é um número, mas sim um conceito.<br />
Definição: Uma quantidade é o limite de outra, quando a segunda pode aproximar-se mais da<br />
primeira do que qualquer quantidade dada, quantidade tão pequena como se queira. Esta<br />
definição foi dada por Jean Le Rond D´Alembert (1717-1783) (MAOR, 1991:17).<br />
Expressões analíticas para o número π<br />
Fórmula de Viète (1540 – 1603)<br />
Este produto infinito foi descoberto por Viète em 1590. É a primeira vez que um processo<br />
infinito foi explicitamente expresso por uma fórmula.<br />
Série alternada: ∑ ∞<br />
n=1<br />
(- 1) n +1 = 1 – 1 + 1 -1 +1 ...<br />
Esta série diverge, visto que quando n tende ao infinito, a sequência corresponde não tem<br />
limite definido.<br />
Consideremos a sequência infinita do inverso dos números naturais N = {1,2,3,....}, ou seja, a<br />
sequência {an} = {1/1, 1/2 , 1/3, 1/4 , ...} e a série infinita ∑ ∞<br />
n=1<br />
1/n = 1/1 + 1/2 + 1/3 + ... Esta<br />
série é chamada de série harmônica. Embora, quandon →∞.a sequência tenha convergência<br />
para zero,ou seja, lim 1/n = 0, a série corresponde diverge, quando n →∞. Por outro lado, a<br />
série alternadado inverso dos números naturais:∑ ∞<br />
n=1<br />
(-1) n+1 1/n converge para ln2. Esta série<br />
só difere da série harmônica pela alternância de seus termos. Quando os termos são tomados<br />
em valores absolutos a série diverge. Por isso, ela é chamada de condicionalmente<br />
convergente.<br />
A série harmônica é notável. 1) Se removermos todos os termos cujos denominadores são<br />
números compostos, ainda assim a série dos inversos dos números restantes diverge.2) A série<br />
formada dos inversos dos números primos gêmeos converge.3) Se eliminarmos todos os<br />
números que contenham o dígito 9, tais como 9, 19, 92, 199, etc. a série resultante deve<br />
convergir para um número entre 22,4 e 23,4 (MAOR, 1991, p. 28).<br />
Outra série notável é a série geométrica da forma ∑ ∞<br />
para o limite S = a/1-q. Portanto, a série ∑ ∞<br />
n=0<br />
n=0<br />
aq n , onde q < 1. Esta série converge<br />
1/2 n = 1+ ½+ 1/4 + 1/8 + ...converge para 2
9<br />
Vejamos agora a sequência {an } = (1/1, 1/2 2 , 1/3 2 ...} para n →∞ converge para zero, e a<br />
série corresponde também converge, ou seja, ∑ ∞<br />
n=1<br />
1/n 2 , quando n →∞ , tende para π 2 /6. Em<br />
1736, Leonhard Euler (1707-1783) encontrou este valor para a convergência desta série. Um<br />
ponto importante é que Euler utilizou métodos incorretos do ponto de vista do rigor<br />
matemático. Outro dado relevante é a surpresa que a descoberta de Euler causou, ao deparar<br />
com o número π no limite de uma série envolvendo apenas números naturais (ver MAOR, p.<br />
35).<br />
Outra série convergente que se relaciona com o número π já era conhecida,trata-seda série<br />
alternada de Gregory, descoberta em 1671: ∑ ∞<br />
n=1<br />
(-1) n-1 1/2n-1 = 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 = π/4 .<br />
Sabe-se que todas as séries da família ∑ 1/n s converge para todos os valores de s maior que 1<br />
e diverge para todos os valores de s menor ou igual a um. Já vimos que, para n =1 temos a<br />
série harmônica, que é uma série divergente e para n =2 a série convergente cujo limite é π 2 /6.<br />
A série da forma ∑1/n s , quando considerada como função do expoentes, é chamada de função<br />
zeta, e, neste caso, é representada por ζ(s). Ela aparece em vários ramos da matemática, e,<br />
geralmente, de forma inesperada. Leonhard Euler descobriu em 1737 um notável produto<br />
infinito, relacionando esta função com os números primos (MAOR, 1995, p. 35), ou seja,<br />
onde p é um número primo.<br />
∑ ∞<br />
n=1<br />
1/n s = ∏1/(1 – 1/p s ) = ζ(s).<br />
Como ele conseguiu isso? Simplesmente, começando com a função ζ(s) e eliminando,<br />
camada após camada, todos os termos cujos inteiros no denominador são divisíveis por um<br />
primo. De modo que,<br />
(1 – 1/2 s )ζ(s) = 1+ 1/3 + 1/5 + 1/7 + ...<br />
(1 – 1/2 s ) (1- /3 s ) ζ(s) = 1 + 1/5 s + 1/7 s + 1/11 s + ...<br />
E assim sucessivamente, até obter o produto infinito, indicado acima. O resultado fornece<br />
uma prova evidente do fato já conhecido pelos gregos antigos de que o número de primos é<br />
infinito.<br />
Euler foi o matemático mais produtivo de todo o século XVIII e, talvez, um dos mais<br />
produtivos de todos os tempos.<br />
Uma descoberta fantástica de Euler foi a de estabelecer que todo número real não-nulo r tem<br />
uma infinidade de logaritmos (para uma dada base), todos imaginários se r 0 (ver EVES, 2004: 473)<br />
Dirichlet´stest .<br />
In mathematics, Dirichlet´s test is a method of testing for the convergence of a series,<br />
published by Johann Dirichlet in the Journal de Mathematiques Pures etAppliquées in 1662.
10<br />
The test states that if {an} is a sequence of real numbers and {bn} a sequence of complex<br />
numbers, satisfying<br />
Em matemática, o teste de Dirichlet demonstra a convergência de séries numéricas que<br />
podem ser escritas na forma:<br />
onde as duas propriedades são verificadas:<br />
1. para todo<br />
2.<br />
Teorema fundamental da aritmética<br />
Todo número natural é primo, ou possui uma única decomposição em números primos<br />
(exceto, possivelmente, pela ordenação)(DEVLIN, p. 34)<br />
Sobre a Hipótese de Riemann<br />
Riemann era um “intuitivo”. Durante sua carreira, Riemann trabalhou basicamente de forma<br />
intuitiva. “A abordagem conceitual e abstrata lançada por Dirichlet estava começando a<br />
substituir a antiga visão computacional-algorítmica. Pensar em conceitos” (Denken in<br />
Begriffen) era o lema da nova geração de matemáticos” (DEVLIN, 2004: 41).<br />
Na França, Augustin Cauchy desenvolveu suas famosas definições por episilons e delta. As<br />
contribuições de Cauchy indicavam, em particular, uma nova disposição dos matemáticos<br />
para se atracarem com o conceito de infinito..<br />
Aritigo de Riemann de 1859<br />
“On the number of primes less than a given magnitude” (Ueber die<br />
AnzahlderPrimzahlenuntereinergegebenenGrösse (B. Riemann, Nov. 1859 edition of the<br />
Monatsberichte des KöniglichPreuβischen Akademie der Wissenschaftenzu Berlin)”.<br />
Da função zeta de Euler à função zeta de Riemann.<br />
Riemann discute a relação entre ζ(s) e a distribuição dos números primos.<br />
6. Sobre os Números Transcendentais e os conjuntos infinitos<br />
Johann Heinrich Lambert (1725 – 1777) era dotado de imaginação extraordinária e esmeravase<br />
no aspecto do rigor ao estabelecer seus resultados. Lambert foi o primeiro a fazer uma<br />
demonstração rigorosa de que o número π é irracional. Ele, na realidade, mostrou que se x é<br />
racional e x = 0, então tgx não pode ser racional, e como tg π/4 = 1, logo π/4 não pode ser<br />
racional, ou seja, π é irracional. Lambert fez a conjectura de que π e também o número de<br />
Euler, o número e, seriam números transcendentais. Charles Hermite conseguiu demonstrar
11<br />
em 1873 que o número transcendental, portanto, irracional. A recíproca não é verdadeira.<br />
Todo número transcendental é, ao mesmo tempo, irracional, mas nem todo número irracional<br />
é transcendental. Por exemplo, √2 é um número irracional, mas não é transcendental, ele é<br />
algébrico. A natureza não algébrica de π demorou mais um pouco a ser demonstrada. Em<br />
1882, Ferdinand von Lindemann demonstrou que π é um transcendental. Tendo em vista que<br />
π e e são números transcendentais, eles não podem ser raízes de uma equação algébrica do<br />
tipo<br />
ao +a1x 1 a2 x 2 + ...+ anx n = 0, ao≠ 0<br />
quaisquer que sejam os coeficientes inteiros ao, ..., na e o índice n.<br />
Assim como existem infinitos números inteiros, há também infinitas frações. Há, entretanto,<br />
uma diferença fundamental entre estes dois conjuntos: o conjunto dos números inteiros é<br />
discreto, por excelência. Diríamos então que o conjunto dos inteiros é quantizado na unidade,<br />
ou seja, a diferença entre dois inteiros consecutivos é sempre igual a um. O mesmo não<br />
acontece com os números fracionais, entre duas frações quaisquer, por próximas que sejam<br />
uma da outra, sempre é possível encontrar outra fração entre elas. Por isso, dizemos que o<br />
conjunto dos números fracionais é denso.<br />
A primeira impressão que se tem é que este imenso conjunto dos números racionais,<br />
incluindo os números inteiros e todas as frações possíveis é absolutamente denso. Entretanto<br />
não é isso que acontece. Este conjunto, apesar de sua aparência densa, deixa gaps<br />
vazios,“buracos” vazios, entre seus elementos: pontos que não correspondem a nenhum<br />
número racional.<br />
O inesperado em tudo isso é que esses intervalos vazios são tão numerosos que ultrapassam<br />
em quantidade qualquer número por maior que ele seja. Este conjunto dos números irracionais<br />
é infinito. Dedekind já havia demonstrado que os números irracionais formavam um conjunto<br />
infinito. 1) Ainda mais: Cantor mostrou que o conjunto dos números irracionais não é<br />
numerável. Ao contrário do conjunto dos números racionais que é numerável, o conjunto dos<br />
números irracionais não é enumerável.<br />
A descoberta dos números irracionais é atribuída aos pitagóricos, ou talvez ao próprio<br />
Pitágoras de Samos. Em um quadrado de lados igual a um, sua diagonal é igual à raiz de dois:<br />
√2. Este número é irracional. Na divisão áurea: Se um todo é dividido em duas partes<br />
desiguais, tais que o todo está para a parte maior, assim como esta parte maior está para a<br />
menor, então, dizemos que este todo foi dividido segundo a razão áurea: Seja x esta parte<br />
maior, então 1/x = x/(1-x).<br />
Resolvemos então a equação x 2 + x -1 = 0, escolhendo a solução com x > 0, temos<br />
x = ½ (-1 + √5) ≈0,618, Ф = 1/x = 2/(√5 -1) ≈ 1,618<br />
Ф é chamado de número fi. Como ocorre com √2, Ф também é um número irracional.<br />
Definição de um conjunto infinito, segundo Dedekind.<br />
Um sistema S é dito ser infinito quando ele é semelhante a uma de suas partes; caso contrário,<br />
S é chamado de sistema finito.<br />
No domínio dos números reais é possível estabelecer os seguintes conjuntos infinitos:
12<br />
1.conjunto dos números inteiros positivos ou conjuntos dos números naturais,<br />
2. conjunto dos números racionais,<br />
3. conjunto dos números algébricos,<br />
4. conjuntos dos números reais.<br />
Todos esses conjuntos são infinitos. Entretanto, surge a questão que consiste em saber se é<br />
possível comparar a grandeza de cada um desses conjuntos. É possível fazer a pergunta se um<br />
desses conjuntos é maior, é menor ou é igual a outro dos conjuntos infinitos? Galileu já havia<br />
feito conjecturas sobre alguns conjuntos infinitos. Em Duas Novas Ciências, livro publicado<br />
em 1638, ele discute sobre algumas manifestações do infinito. Como temos certeza de<br />
encontrar linhas uma maior que a outra, contendo ambas infinitos pontos, ..., temos que<br />
admitir uma coisa maior que o infinito, argumenta Simplício. Ao que Salviati responde: Este<br />
tipo de dificuldade decorre do discurso que fazemos com nosso intelecto finito acerca do<br />
infinito, dando-lhes os mesmos atributos que damos às coisas finitas e limitadas. Infinitos são<br />
os números inteiros positivos, como também os números inteiros quadrados. Ele conclui que,<br />
embora ambos esses conjuntos tenham infinitos elementos, a impressão que se tem é que há<br />
menos números quadrados do que números inteiros, em geral. Para um conjunto finito desses<br />
números, não resta dúvida que o conjunto dos números inteiros quadrados é muito menor do<br />
que o conjunto dos números naturais no dado intervalo. Como exemplo, tomemos o conjunto<br />
dos números naturais entre 1 e 1000. O conjunto dos números que é quadrado de outro<br />
número entre 1 e 1000 é formado de apenas 31 elementos. Galileu, fazendo elucubrações<br />
sobre os conjuntos infinitos, teve a sagacidade de perceber que o que é válido para conjuntos<br />
finitos pode não ser válido para conjuntos infinitos. Sendo assim, ele escreveu que poderia ser<br />
que os atributos de igual, maior ou menor não se aplicassem aos conjuntos infinitos.<br />
Entretanto, passados mais de duzentos anos, Georg Cantor conseguiu fazer um estudo<br />
rigoroso dos conjuntos infinitos, e por meio de conceitos precisos, estabeleceu uma hierarquia<br />
desses conjuntos. Em outras palavras, segundo Cantor, há infinitos maiores do que outros. O<br />
que Cantor concluiu foi que os conjuntos dos números inteiros naturais, o conjunto dos<br />
inteiros quadrados, o conjunto dos números racionais, e até mesmo o conjunto dos números<br />
algébricos,todos são infinitos de mesma potência ou de mesma cardinalidade. Esses conjuntos<br />
são enumeráveis, são contáveis, é possível estabelecer uma correspondência biunívoca entre o<br />
conjunto dos números inteiros positivos e qualquer um desses conjuntos. Por outro lado, o<br />
conjunto dos números reais, o conjunto de pontos da reta numérica, tem uma cardinalidade<br />
maior do que a dos números reais. O conjunto dos números reais é conjunto do continuum. O<br />
inesperado em tudo isso é que existem muito mais números transcendentes que números<br />
algébricos. E é o conjunto dos números transcendentes que faz com que o conjunto dos<br />
números reais seja não enumerável.<br />
Em 1874,no artigo “Über eine Eigenschfat des Inbegriffes aller algebraischen<br />
Zahlen”, Cantor demonstrou que o conjunto dos números irracionais, tema que ocupava os<br />
matemáticos da época, especialmente Dedekind, não é enumerável. Está implícito neste<br />
resultado que existem conjuntos infinitos de “tamanhos” diferentes. A noção de potência<br />
{Mächtigkeit} foi introduzida para expressar o que intuitivamente seria chamado de
13<br />
“tamanhos” diferentes de conjuntos infinitos. A conclusão a que Cartor chegou foi que os<br />
conjuntos infinitos podem possuir potências diferentes. Em 1883, no mesmo ano em que<br />
morria Karl Marx, Cantor publicou a primeira versão dos números transfinitos, sob o título<br />
Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltikeitslehre. Vilela escreve:<br />
“Cantor admite ser conhecido o significado de potência de conjuntos quando inicia<br />
o artigo de 1883, definindo o “infinito atual”, conceito que merece longas<br />
discussões nesse texto. Ele define na primeira seção do artigo o infinito impróprio,<br />
ou infinito atual, que significa considerar o infinito como um todo ao lado da noção<br />
de infinito próprio, comumente aceita” (VILELA, 1995: 55).<br />
A autora ainda escreve: “... a primeira forma se apresenta como um infinito variável [o<br />
infinito potencial] e a segunda como um infinito absolutamente determinado [o infinito atual]<br />
(Cantor, 1883, s 1 p. 70, apud VILELA, 1995: 55).<br />
Felix Klein afirma o seguinte:<br />
Teorema sobre a função exponencial<br />
À primeira vista, parece natural considerar que a potência do conjunto dos números<br />
naturais é menor do que a potência de todos os números racionais. Esta última, por<br />
sua vez, parece ser menor do que a potência de todos os números algébricos. E, por<br />
fim, a potência de todos os números algébricos parece ser menor do que a potência<br />
de todos os números reais, pois, cada um desses conjuntos surge do anterior por<br />
meio do acréscimo de novos elementos. Contudo, na realidade, esta conclusão é<br />
falsa, embora, em se tratando de conjuntos finitos, qualquer conjunto tem potência<br />
maior do que qualquer uma de suas partes, esta propriedade não se aplica a<br />
conjuntos infinitos (KLEIN, 1987: 356).<br />
Na equação e β = b, os números b e β não podem ser algébricos ao mesmo tempo, exceto o<br />
caso trivial β = 0, b = 1. Em outras palavras, a função exponencial do número algébrico β e o<br />
logaritmo natural do número algébrico b, exceção feita ao caso trivial supra mencionado, são<br />
números transcendentais. Como caso particular, na equação e iπ = -1, π é um número<br />
transcendental. Felix Klein comenta que incrível que o gráfico da função y = e x , no conjunto<br />
(0 < x < ∞), apesar de representar uma curva contínua, não contenha sequer um número<br />
algébrico.<br />
Sétimo Problema de Hilbert (1900)<br />
Para um número algérbrico a ≠0 e 1, b um número algébrico irracional, mostrar que o número<br />
a b é transcendente. Este teorema foi demonstrado em 1934, pelo matemático soviético,<br />
Aleksander Gelfond; e logo, em seguida, demonstrado também pelo matemático alemão<br />
Schneider. Como todo número que seja raiz quadrada de um número primo é algébrico<br />
irracional, e existem infinitos números primos,então a função y = a x , onde a a ≠0 e 1, x um<br />
número irracional algébrico fornece um conjunto de infinitos números transcendentes.<br />
Já dissemos como Galileu se preocupou com a questão do infinito, em cogitando sobre alguns<br />
conjuntos numéricos. Outro aspecto do infinito presente nos trabalhos de Galileu, e em toda a<br />
ciência clássica moderna foi notado por Boris Kouznetsov.
14<br />
Kouznetsov escreve que a própria concepção de lei natural representada por uma função<br />
contínua faz corresponder de modo unívoco os elementos de um conjunto aos elementos de<br />
outro conjunto. Por outro lado, com o surgimento da noção de limite e do infinitesimal como<br />
quantidade variável, o infinito atual parecia ter desaparecido da matemática (KOUZNETSOV,<br />
1973: 250).<br />
Considerações Finais<br />
Neste pequeno trabalho procurou-se ressaltar algumas vicissitudes da concepção de infinito,<br />
seja o infinito visto como um processo (infinito potencial) ou com algo acabado (infinito<br />
atual). Não resta dúvida que o infinito potencial, desde Aristóteles, é mais fácil de ser<br />
concebido e aceito. No âmbito da realidade material é difícil imaginar algo infinito, existindo<br />
como uma substância, no sentido metafísico ou como uma substância física mesmo. Como foi<br />
visto neste texto, Bolzano esteve entre os primeiros a ressaltar a existência do infinito atual,<br />
em diversos conjuntos de objetos abstratos, a começar pelo conjunto dos números naturais.<br />
Cantor deu continuidade e aprofundamento, por meio de um maior rigor, à concepção de<br />
infinito atual. Entretanto, os paradoxos do infinito estão por toda a parte. Resta dizer que um<br />
dos aspectos da questão do infinito que não foi ressaltado neste texto, mas que talvez mereça<br />
atenção é a conotação dialética que o infinito parece ter. A particularidade dos conjuntos<br />
infinitos de possuírem propriedades inerentes, não compartilhadas pelos conjuntos finitos, a<br />
grande descoberta que o todo pode não ser maior que suas partes, tudo isso assemelha muito<br />
com uma das leis da dialética, a lei, segundo qual, a quantidade se converte qualidade. Novas<br />
qualidades e novas propriedades emergem no processo de variação quantitativa de matéria ou<br />
de movimento. Por que os aspectos contraditórios e às vezes paradoxais, inerentes aos grandes<br />
números e ao processo de passagem ao infinito, não possam ser vistos como mudanças de<br />
qualidades que acompanham as mudanças quantitativas?<br />
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Acessado em 04/06/2012