José Lourenço Cindra - SBHC

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Antes de falar sobre sequências e séries, precisamos discutir um pouco sobre os conceitos de
infinito e de passagem ao limite.
Definição: Uma quantidade variável é dita aproximar-se do infinito se ela pode tornar-se
maior do que qualquer número, não importado o quão grande ele possa ser. Como
consequência disso, concluímos que o infinito não é um número, mas sim um conceito.
Definição: Uma quantidade é o limite de outra, quando a segunda pode aproximar-se mais da
primeira do que qualquer quantidade dada, quantidade tão pequena como se queira. Esta
definição foi dada por Jean Le Rond D´Alembert (1717-1783) (MAOR, 1991:17).
Expressões analíticas para o número π
Fórmula de Viète (1540 – 1603)
Este produto infinito foi descoberto por Viète em 1590. É a primeira vez que um processo
infinito foi explicitamente expresso por uma fórmula.
Série alternada: ∑ ∞
n=1
(- 1) n +1 = 1 – 1 + 1 -1 +1 ...
Esta série diverge, visto que quando n tende ao infinito, a sequência corresponde não tem
limite definido.
Consideremos a sequência infinita do inverso dos números naturais N = {1,2,3,....}, ou seja, a
sequência {an} = {1/1, 1/2 , 1/3, 1/4 , ...} e a série infinita ∑ ∞
n=1
1/n = 1/1 + 1/2 + 1/3 + ... Esta
série é chamada de série harmônica. Embora, quandon →∞.a sequência tenha convergência
para zero,ou seja, lim 1/n = 0, a série corresponde diverge, quando n →∞. Por outro lado, a
série alternadado inverso dos números naturais:∑ ∞
n=1
(-1) n+1 1/n converge para ln2. Esta série
só difere da série harmônica pela alternância de seus termos. Quando os termos são tomados
em valores absolutos a série diverge. Por isso, ela é chamada de condicionalmente
convergente.
A série harmônica é notável. 1) Se removermos todos os termos cujos denominadores são
números compostos, ainda assim a série dos inversos dos números restantes diverge.2) A série
formada dos inversos dos números primos gêmeos converge.3) Se eliminarmos todos os
números que contenham o dígito 9, tais como 9, 19, 92, 199, etc. a série resultante deve
convergir para um número entre 22,4 e 23,4 (MAOR, 1991, p. 28).
Outra série notável é a série geométrica da forma ∑ ∞
para o limite S = a/1-q. Portanto, a série ∑ ∞
n=0
n=0
aq n , onde q < 1. Esta série converge
1/2 n = 1+ ½+ 1/4 + 1/8 + ...converge para 2