José Lourenço Cindra - SBHC

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“tamanhos” diferentes de conjuntos infinitos. A conclusão a que Cartor chegou foi que os
conjuntos infinitos podem possuir potências diferentes. Em 1883, no mesmo ano em que
morria Karl Marx, Cantor publicou a primeira versão dos números transfinitos, sob o título
Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltikeitslehre. Vilela escreve:
“Cantor admite ser conhecido o significado de potência de conjuntos quando inicia
o artigo de 1883, definindo o “infinito atual”, conceito que merece longas
discussões nesse texto. Ele define na primeira seção do artigo o infinito impróprio,
ou infinito atual, que significa considerar o infinito como um todo ao lado da noção
de infinito próprio, comumente aceita” (VILELA, 1995: 55).
A autora ainda escreve: “... a primeira forma se apresenta como um infinito variável [o
infinito potencial] e a segunda como um infinito absolutamente determinado [o infinito atual]
(Cantor, 1883, s 1 p. 70, apud VILELA, 1995: 55).
Felix Klein afirma o seguinte:
Teorema sobre a função exponencial
À primeira vista, parece natural considerar que a potência do conjunto dos números
naturais é menor do que a potência de todos os números racionais. Esta última, por
sua vez, parece ser menor do que a potência de todos os números algébricos. E, por
fim, a potência de todos os números algébricos parece ser menor do que a potência
de todos os números reais, pois, cada um desses conjuntos surge do anterior por
meio do acréscimo de novos elementos. Contudo, na realidade, esta conclusão é
falsa, embora, em se tratando de conjuntos finitos, qualquer conjunto tem potência
maior do que qualquer uma de suas partes, esta propriedade não se aplica a
conjuntos infinitos (KLEIN, 1987: 356).
Na equação e β = b, os números b e β não podem ser algébricos ao mesmo tempo, exceto o
caso trivial β = 0, b = 1. Em outras palavras, a função exponencial do número algébrico β e o
logaritmo natural do número algébrico b, exceção feita ao caso trivial supra mencionado, são
números transcendentais. Como caso particular, na equação e iπ = -1, π é um número
transcendental. Felix Klein comenta que incrível que o gráfico da função y = e x , no conjunto
(0 < x < ∞), apesar de representar uma curva contínua, não contenha sequer um número
algébrico.
Sétimo Problema de Hilbert (1900)
Para um número algérbrico a ≠0 e 1, b um número algébrico irracional, mostrar que o número
a b é transcendente. Este teorema foi demonstrado em 1934, pelo matemático soviético,
Aleksander Gelfond; e logo, em seguida, demonstrado também pelo matemático alemão
Schneider. Como todo número que seja raiz quadrada de um número primo é algébrico
irracional, e existem infinitos números primos,então a função y = a x , onde a a ≠0 e 1, x um
número irracional algébrico fornece um conjunto de infinitos números transcendentes.
Já dissemos como Galileu se preocupou com a questão do infinito, em cogitando sobre alguns
conjuntos numéricos. Outro aspecto do infinito presente nos trabalhos de Galileu, e em toda a
ciência clássica moderna foi notado por Boris Kouznetsov.