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9<br />
Vejamos agora a sequência {an } = (1/1, 1/2 2 , 1/3 2 ...} para n →∞ converge para zero, e a<br />
série corresponde também converge, ou seja, ∑ ∞<br />
n=1<br />
1/n 2 , quando n →∞ , tende para π 2 /6. Em<br />
1736, Leonhard Euler (1707-1783) encontrou este valor para a convergência desta série. Um<br />
ponto importante é que Euler utilizou métodos incorretos do ponto de vista do rigor<br />
matemático. Outro dado relevante é a surpresa que a descoberta de Euler causou, ao deparar<br />
com o número π no limite de uma série envolvendo apenas números naturais (ver MAOR, p.<br />
35).<br />
Outra série convergente que se relaciona com o número π já era conhecida,trata-seda série<br />
alternada de Gregory, descoberta em 1671: ∑ ∞<br />
n=1<br />
(-1) n-1 1/2n-1 = 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 = π/4 .<br />
Sabe-se que todas as séries da família ∑ 1/n s converge para todos os valores de s maior que 1<br />
e diverge para todos os valores de s menor ou igual a um. Já vimos que, para n =1 temos a<br />
série harmônica, que é uma série divergente e para n =2 a série convergente cujo limite é π 2 /6.<br />
A série da forma ∑1/n s , quando considerada como função do expoentes, é chamada de função<br />
zeta, e, neste caso, é representada por ζ(s). Ela aparece em vários ramos da matemática, e,<br />
geralmente, de forma inesperada. Leonhard Euler descobriu em 1737 um notável produto<br />
infinito, relacionando esta função com os números primos (MAOR, 1995, p. 35), ou seja,<br />
onde p é um número primo.<br />
∑ ∞<br />
n=1<br />
1/n s = ∏1/(1 – 1/p s ) = ζ(s).<br />
Como ele conseguiu isso? Simplesmente, começando com a função ζ(s) e eliminando,<br />
camada após camada, todos os termos cujos inteiros no denominador são divisíveis por um<br />
primo. De modo que,<br />
(1 – 1/2 s )ζ(s) = 1+ 1/3 + 1/5 + 1/7 + ...<br />
(1 – 1/2 s ) (1- /3 s ) ζ(s) = 1 + 1/5 s + 1/7 s + 1/11 s + ...<br />
E assim sucessivamente, até obter o produto infinito, indicado acima. O resultado fornece<br />
uma prova evidente do fato já conhecido pelos gregos antigos de que o número de primos é<br />
infinito.<br />
Euler foi o matemático mais produtivo de todo o século XVIII e, talvez, um dos mais<br />
produtivos de todos os tempos.<br />
Uma descoberta fantástica de Euler foi a de estabelecer que todo número real não-nulo r tem<br />
uma infinidade de logaritmos (para uma dada base), todos imaginários se r 0 (ver EVES, 2004: 473)<br />
Dirichlet´stest .<br />
In mathematics, Dirichlet´s test is a method of testing for the convergence of a series,<br />
published by Johann Dirichlet in the Journal de Mathematiques Pures etAppliquées in 1662.
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