José Lourenço Cindra - SBHC

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1.conjunto dos números inteiros positivos ou conjuntos dos números naturais,
2. conjunto dos números racionais,
3. conjunto dos números algébricos,
4. conjuntos dos números reais.
Todos esses conjuntos são infinitos. Entretanto, surge a questão que consiste em saber se é
possível comparar a grandeza de cada um desses conjuntos. É possível fazer a pergunta se um
desses conjuntos é maior, é menor ou é igual a outro dos conjuntos infinitos? Galileu já havia
feito conjecturas sobre alguns conjuntos infinitos. Em Duas Novas Ciências, livro publicado
em 1638, ele discute sobre algumas manifestações do infinito. Como temos certeza de
encontrar linhas uma maior que a outra, contendo ambas infinitos pontos, ..., temos que
admitir uma coisa maior que o infinito, argumenta Simplício. Ao que Salviati responde: Este
tipo de dificuldade decorre do discurso que fazemos com nosso intelecto finito acerca do
infinito, dando-lhes os mesmos atributos que damos às coisas finitas e limitadas. Infinitos são
os números inteiros positivos, como também os números inteiros quadrados. Ele conclui que,
embora ambos esses conjuntos tenham infinitos elementos, a impressão que se tem é que há
menos números quadrados do que números inteiros, em geral. Para um conjunto finito desses
números, não resta dúvida que o conjunto dos números inteiros quadrados é muito menor do
que o conjunto dos números naturais no dado intervalo. Como exemplo, tomemos o conjunto
dos números naturais entre 1 e 1000. O conjunto dos números que é quadrado de outro
número entre 1 e 1000 é formado de apenas 31 elementos. Galileu, fazendo elucubrações
sobre os conjuntos infinitos, teve a sagacidade de perceber que o que é válido para conjuntos
finitos pode não ser válido para conjuntos infinitos. Sendo assim, ele escreveu que poderia ser
que os atributos de igual, maior ou menor não se aplicassem aos conjuntos infinitos.
Entretanto, passados mais de duzentos anos, Georg Cantor conseguiu fazer um estudo
rigoroso dos conjuntos infinitos, e por meio de conceitos precisos, estabeleceu uma hierarquia
desses conjuntos. Em outras palavras, segundo Cantor, há infinitos maiores do que outros. O
que Cantor concluiu foi que os conjuntos dos números inteiros naturais, o conjunto dos
inteiros quadrados, o conjunto dos números racionais, e até mesmo o conjunto dos números
algébricos,todos são infinitos de mesma potência ou de mesma cardinalidade. Esses conjuntos
são enumeráveis, são contáveis, é possível estabelecer uma correspondência biunívoca entre o
conjunto dos números inteiros positivos e qualquer um desses conjuntos. Por outro lado, o
conjunto dos números reais, o conjunto de pontos da reta numérica, tem uma cardinalidade
maior do que a dos números reais. O conjunto dos números reais é conjunto do continuum. O
inesperado em tudo isso é que existem muito mais números transcendentes que números
algébricos. E é o conjunto dos números transcendentes que faz com que o conjunto dos
números reais seja não enumerável.
Em 1874,no artigo “Über eine Eigenschfat des Inbegriffes aller algebraischen
Zahlen”, Cantor demonstrou que o conjunto dos números irracionais, tema que ocupava os
matemáticos da época, especialmente Dedekind, não é enumerável. Está implícito neste
resultado que existem conjuntos infinitos de “tamanhos” diferentes. A noção de potência
{Mächtigkeit} foi introduzida para expressar o que intuitivamente seria chamado de