José Lourenço Cindra - SBHC

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em 1873 que o número transcendental, portanto, irracional. A recíproca não é verdadeira.
Todo número transcendental é, ao mesmo tempo, irracional, mas nem todo número irracional
é transcendental. Por exemplo, √2 é um número irracional, mas não é transcendental, ele é
algébrico. A natureza não algébrica de π demorou mais um pouco a ser demonstrada. Em
1882, Ferdinand von Lindemann demonstrou que π é um transcendental. Tendo em vista que
π e e são números transcendentais, eles não podem ser raízes de uma equação algébrica do
tipo
ao +a1x 1 a2 x 2 + ...+ anx n = 0, ao≠ 0
quaisquer que sejam os coeficientes inteiros ao, ..., na e o índice n.
Assim como existem infinitos números inteiros, há também infinitas frações. Há, entretanto,
uma diferença fundamental entre estes dois conjuntos: o conjunto dos números inteiros é
discreto, por excelência. Diríamos então que o conjunto dos inteiros é quantizado na unidade,
ou seja, a diferença entre dois inteiros consecutivos é sempre igual a um. O mesmo não
acontece com os números fracionais, entre duas frações quaisquer, por próximas que sejam
uma da outra, sempre é possível encontrar outra fração entre elas. Por isso, dizemos que o
conjunto dos números fracionais é denso.
A primeira impressão que se tem é que este imenso conjunto dos números racionais,
incluindo os números inteiros e todas as frações possíveis é absolutamente denso. Entretanto
não é isso que acontece. Este conjunto, apesar de sua aparência densa, deixa gaps
vazios,“buracos” vazios, entre seus elementos: pontos que não correspondem a nenhum
número racional.
O inesperado em tudo isso é que esses intervalos vazios são tão numerosos que ultrapassam
em quantidade qualquer número por maior que ele seja. Este conjunto dos números irracionais
é infinito. Dedekind já havia demonstrado que os números irracionais formavam um conjunto
infinito. 1) Ainda mais: Cantor mostrou que o conjunto dos números irracionais não é
numerável. Ao contrário do conjunto dos números racionais que é numerável, o conjunto dos
números irracionais não é enumerável.
A descoberta dos números irracionais é atribuída aos pitagóricos, ou talvez ao próprio
Pitágoras de Samos. Em um quadrado de lados igual a um, sua diagonal é igual à raiz de dois:
√2. Este número é irracional. Na divisão áurea: Se um todo é dividido em duas partes
desiguais, tais que o todo está para a parte maior, assim como esta parte maior está para a
menor, então, dizemos que este todo foi dividido segundo a razão áurea: Seja x esta parte
maior, então 1/x = x/(1-x).
Resolvemos então a equação x 2 + x -1 = 0, escolhendo a solução com x > 0, temos
x = ½ (-1 + √5) ≈0,618, Ф = 1/x = 2/(√5 -1) ≈ 1,618
Ф é chamado de número fi. Como ocorre com √2, Ф também é um número irracional.
Definição de um conjunto infinito, segundo Dedekind.
Um sistema S é dito ser infinito quando ele é semelhante a uma de suas partes; caso contrário,
S é chamado de sistema finito.
No domínio dos números reais é possível estabelecer os seguintes conjuntos infinitos: