José Lourenço Cindra - SBHC

More documents

Recommendations

Info

10 The test states that if {an} is a sequence of real numbers and {bn} a sequence of complex numbers, satisfying Em matemática, o teste de Dirichlet demonstra a convergência de séries numéricas que podem ser escritas na forma: onde as duas propriedades são verificadas: 1. para todo 2. Teorema fundamental da aritmética Todo número natural é primo, ou possui uma única decomposição em números primos (exceto, possivelmente, pela ordenação)(DEVLIN, p. 34) Sobre a Hipótese de Riemann Riemann era um “intuitivo”. Durante sua carreira, Riemann trabalhou basicamente de forma intuitiva. “A abordagem conceitual e abstrata lançada por Dirichlet estava começando a substituir a antiga visão computacional-algorítmica. Pensar em conceitos” (Denken in Begriffen) era o lema da nova geração de matemáticos” (DEVLIN, 2004: 41). Na França, Augustin Cauchy desenvolveu suas famosas definições por episilons e delta. As contribuições de Cauchy indicavam, em particular, uma nova disposição dos matemáticos para se atracarem com o conceito de infinito.. Aritigo de Riemann de 1859 “On the number of primes less than a given magnitude” (Ueber die AnzahlderPrimzahlenuntereinergegebenenGrösse (B. Riemann, Nov. 1859 edition of the Monatsberichte des KöniglichPreuβischen Akademie der Wissenschaftenzu Berlin)”. Da função zeta de Euler à função zeta de Riemann. Riemann discute a relação entre ζ(s) e a distribuição dos números primos. 6. Sobre os Números Transcendentais e os conjuntos infinitos Johann Heinrich Lambert (1725 – 1777) era dotado de imaginação extraordinária e esmeravase no aspecto do rigor ao estabelecer seus resultados. Lambert foi o primeiro a fazer uma demonstração rigorosa de que o número π é irracional. Ele, na realidade, mostrou que se x é racional e x = 0, então tgx não pode ser racional, e como tg π/4 = 1, logo π/4 não pode ser racional, ou seja, π é irracional. Lambert fez a conjectura de que π e também o número de Euler, o número e, seriam números transcendentais. Charles Hermite conseguiu demonstrar
11 em 1873 que o número transcendental, portanto, irracional. A recíproca não é verdadeira. Todo número transcendental é, ao mesmo tempo, irracional, mas nem todo número irracional é transcendental. Por exemplo, √2 é um número irracional, mas não é transcendental, ele é algébrico. A natureza não algébrica de π demorou mais um pouco a ser demonstrada. Em 1882, Ferdinand von Lindemann demonstrou que π é um transcendental. Tendo em vista que π e e são números transcendentais, eles não podem ser raízes de uma equação algébrica do tipo ao +a1x 1 a2 x 2 + ...+ anx n = 0, ao≠ 0 quaisquer que sejam os coeficientes inteiros ao, ..., na e o índice n. Assim como existem infinitos números inteiros, há também infinitas frações. Há, entretanto, uma diferença fundamental entre estes dois conjuntos: o conjunto dos números inteiros é discreto, por excelência. Diríamos então que o conjunto dos inteiros é quantizado na unidade, ou seja, a diferença entre dois inteiros consecutivos é sempre igual a um. O mesmo não acontece com os números fracionais, entre duas frações quaisquer, por próximas que sejam uma da outra, sempre é possível encontrar outra fração entre elas. Por isso, dizemos que o conjunto dos números fracionais é denso. A primeira impressão que se tem é que este imenso conjunto dos números racionais, incluindo os números inteiros e todas as frações possíveis é absolutamente denso. Entretanto não é isso que acontece. Este conjunto, apesar de sua aparência densa, deixa gaps vazios,“buracos” vazios, entre seus elementos: pontos que não correspondem a nenhum número racional. O inesperado em tudo isso é que esses intervalos vazios são tão numerosos que ultrapassam em quantidade qualquer número por maior que ele seja. Este conjunto dos números irracionais é infinito. Dedekind já havia demonstrado que os números irracionais formavam um conjunto infinito. 1) Ainda mais: Cantor mostrou que o conjunto dos números irracionais não é numerável. Ao contrário do conjunto dos números racionais que é numerável, o conjunto dos números irracionais não é enumerável. A descoberta dos números irracionais é atribuída aos pitagóricos, ou talvez ao próprio Pitágoras de Samos. Em um quadrado de lados igual a um, sua diagonal é igual à raiz de dois: √2. Este número é irracional. Na divisão áurea: Se um todo é dividido em duas partes desiguais, tais que o todo está para a parte maior, assim como esta parte maior está para a menor, então, dizemos que este todo foi dividido segundo a razão áurea: Seja x esta parte maior, então 1/x = x/(1-x). Resolvemos então a equação x 2 + x -1 = 0, escolhendo a solução com x > 0, temos x = ½ (-1 + √5) ≈0,618, Ф = 1/x = 2/(√5 -1) ≈ 1,618 Ф é chamado de número fi. Como ocorre com √2, Ф também é um número irracional. Definição de um conjunto infinito, segundo Dedekind. Um sistema S é dito ser infinito quando ele é semelhante a uma de suas partes; caso contrário, S é chamado de sistema finito. No domínio dos números reais é possível estabelecer os seguintes conjuntos infinitos:
Page 1 and 2: 1.Introdução ALGUMAS CONSIDERAÇ
Page 3 and 4: 3 propriedade paradoxal: α±β =
Page 5 and 6: 5 “Eu amontôo números enormes e
Page 7 and 8: 7 Bolzano escreve: existe um infini
Page 9: 9 Vejamos agora a sequência {an }
Page 13 and 14: 13 “tamanhos” diferentes de con
Page 15: 15 DEVLIN, KEITH, Os Problemas do M

José Lourenço Cindra - SBHC

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?