José Lourenço Cindra - SBHC

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Discorrendo oobre o método de exaustão de Eudoxo, Howard Eves (EVES, 2004: 418)
comenta que, os gregos antigos sabiam que se pode construir um quadrado de área igual a de
qualquer polígono. Seria então possível construir um quadrado de área igual à do círculo
(quadratura do círculo. Antífon teria antecipado a ideia de que por sucessivas duplicações do
número de lados de um polígono, seria então possível construir um quadrado de área igual à
do círculo. A corajosa abordagem de Antífon continha o germe do famoso método de
exaustão grega. Na realidade, o método de exaustão tinha por base o chamado axioma de
Arquimedes: Dadas duas grandezas de mesma espécie, pode-se achar então um múltiplo da
menor que supere a maior, demonstre a proposição básica do método de exaustão: se de uma
grandeza qualquer subtrai-se uma parte não menor que a sua metade, e assim por diante, se
chegará por fim a uma grandeza menor que qualquer outra predeterminada da mesma espécie.
A Quarta Definição do Livro V dos Elementos de Euclides afirma: Magnitudes são ditas ter
uma razão entre si, aquelas que multiplicadas podem exceder uma a outra. E no Livro X, a
Primeira Definição afirma que Magnitudes são ditas comensuráveis as que são medidas pela
mesma medida, e incomensuráveis, aquelas das quais nenhuma medida comum é possível
produzir-se.
Uma mudança radical ocorreu quando a discussão sobre o infinito atual entrou em cena no
âmbito da matemática. Bolzano está formalmente na origem desta mudança, mesmo levando
em conta que alguns pensadores já haviam expressado ideias que consideravam a existência
do infinito atual. Leibniz foi um deles (WALDEGG, 2005: 563-564).
Bolzano faz uma distinção entre agregado (Inbegriff), multidão (Vielheit) e conjunto (Menge).
Bolzano chama de agregado uma coleção de objetos com determinada relação interna entre
seus membros. Caso contrário, em se tratando de um grupo de objetos sem levar em conta
qualquer relação entre eles, fala-se de conjunto (Menge, em alemão; insieme, em italiano). E,
finalmente, quando os objetos de um agregado são vistos como indivíduos de uma dada
espécie, Bolzano diz tratar-se de uma multidão (Vielheit, em alemão; moltitudine, em
italiano). (ver Bolzano, § 4).Bolzano comenta (§ 10) fica a pergunta, se através de uma
simples definição daquilo que é chamado multidão infinita, estaremos em condição de
determinar o que é o infinito em si. Em seguida (§ 11) Bolzano escreve sobre Hegel e seus
seguidores que chamam o infinito largamente utilizado pelos matemáticos como mau infinito
(il cativo infinito), como grandeza crescente, mas que permanece finita em cada instante. Ao
contrário, uma reta ilimitada em ambos os sentidos seria um verdadeiro infinito. No § 14
Bolzano polemiza com aqueles que negam a existência de um conjunto infinito, porque seus
elementos não podem ser reunidos e formar um todo, nem mesmo podem ser reunidos por
meio do pensamento. Bolzano replica que isso não é verdade, pois, pode-se formar a ideia de
um conjunto numeroso sem conhecimento de seus elementos individuas, como é o caso do
conjunto dos habitantes de uma grande cidade, os habitantes da cidade de Praga, por exemplo.
Este seria um exemplo de agregado, segundo Bolzano. Outra coisa que Bolzano refuta é a
opinião de que um conjunto não existe, a menos que exista alguém para pensa-lo. Segundo
Bolzano, existem conjuntos e totalidades sem a necessidade de alguém que as pensa
(esistonoinsiemi e totalitáanchesenzache ci sai un essereche li pensi).