RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS IX - UFF

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE 

CENTRO TECNOLÓGICO 

ESCOLA DE ENGENHARIA 

Departamento de Engenharia Civil 

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS IX 

Flávia Moll de Souza Judice 

Mayra Soares Pereira Lima Perlingeiro 

2005

Universidade Federal Fluminense Flávia Moll de S. Judice 

Mayra Soares P. L. Perlingeiro 

________________________________________________________________________________________________ 

SUMÁRIO 

I – Introdução.................................................................................................................... 2 

II – Isostática..................................................................................................................... 4 

III – Tração e Compressão ............................................................................................... 17 

IV – Cisalhamento Puro.................................................................................................... 26 

V – Torção ........................................................................................................................ 28 

VI – Tensões em Vigas..................................................................................................... 32 

VII – Flexão Composta ..................................................................................................... 40 

VIII – Análise de Tensões................................................................................................. 45 

IX – Deformação em Vigas............................................................................................... 54 

X – Flambagem ................................................................................................................ 62 

Bibliografia........................................................................................................................ 69 

Notas de Aula Resistência dos Materiais IX 

1



________________________________________________________________________________________________ 

I – INTRODUÇÃO 

A Resistência dos Materiais, também conhecida como Mecânica dos Sólidos ou 

Mecânica dos Corpos Deformáveis, tem por objetivo prover métodos simples para a análise 

dos elementos mais comuns em estruturas. 

O desenvolvimento histórico da Resistência dos Materiais é uma combinação de 

teoria e experiência. Homens famosos, como Leonardo da Vinci (1452-1519) e Galileu 

Galilei (1564-1642) fizeram experiências para determinar a resistência de fios, barras e 

vigas, sem que tivessem desenvolvido teorias adequadas (pelos padrões de hoje) para 

explicar os resultados atingidos. Outros, como Leonhard Euler (1707-1783), desenvolveram 

teorias matemáticas muito antes de qualquer experiência que evidenciasse a importância do 

seu achado. 

O curso aqui apresentado inicia com a discussão de alguns conceitos fundamentais, 

tais como tensões e deformações, para em seguida, investigar o comportamento de 

elementos estruturais simples sujeitos à tração, à compressão e ao cisalhamento. 

Sistema Internacional de Unidades (SI): 

Quantidade Símbolo 

Unidade 

Dimensional 

Básica 

Comprimento L metro (m) 

Tempo T segundo (s) 

Massa M quilograma (kg) 

Força F Newton (N) 

A força é derivada das unidades básicas pela segunda lei de Newton. Por definição, 

um Newton é a força que fornece a um quilograma massa a aceleração de um metro por 

2 

segundo ao quadrado. A equivalência entre unidades é 1 N = 1 kg ⋅1 

m/s . 

Outras unidades derivadas do SI: 

Quantidade Unidade Básica 

Área metro quadrado (m 2 ) 

Tensão Newton por metro quadrado (N/m 2 ) 

ou Pascal (Pa) 

Prefixos de Unidades: 

Prefixo Símbolo Fator 

Giga G 10 9 

Mega M 10 6 

Quilo k 10 3 

Deci d 10 -1 

Centi c 10 -2 

Mili m 10 -3 

Micro µ 10 -6 

Nano n 10 -9 


2



________________________________________________________________________________________________ 

Na prática, muitas vezes prefere-se usar o quilonewton (kN), o quilopascal (kPa), o 

megapascal (MPa) ou o gigapascal (GPa). 

1 N 

1 MPa 

−1 

≈ 10 

kgf 

10 kN ≈ 1tf 

2 3 2 

2 

= 1 N/mm = 10 kN / m ≈ 1 kgf / cm 


3



________________________________________________________________________________________________ 

1 – Grandezas Fundamentais 

1.1 – Força 

II – ISOSTÁTICA 

As forças são grandezas vetoriais caracterizadas por direção, sentido e intensidade. 

1.2 – Momento 

O momento representa a tendência de giro (rotação) em torno de um ponto 

provocada por uma força. 

2 – Condições de Equilíbrio 

Um corpo qualquer submetido a um sistema de forças está em equilíbrio estático 

caso não haja qualquer tendência à translação ou à rotação. 

As equações universais da Estática que regem o equilíbrio de um sistema de forças 

no espaço são: 

⎧ 

⎪ 

⎨ 

⎪ 

⎩ 

∑ 

∑ 

∑ 

F 

F 

F 

x 

y 

z 

= 0 

= 0 

= 0 

F1 

O 

di 

F1 

M2 

F2 

⎧ 

⎪ 

⎨ 

⎪ 

⎩ 

. 

∑ 

∑ 

∑ 

M 

M 

M 

x 

y 

z 

= 0 

= 0 

= 0 

Fi 

F3 

F3 


..... 

M1 

F2 

i 

Fn 

M = F ⋅ d 

i 

i 

4



________________________________________________________________________________________________ 

3 – Graus de Liberdade 

Uma estrutura espacial possui seis graus de liberdade: três translações e três 

rotações segundo três eixos ortogonais. 

A fim de evitar a tendência de movimento da estrutura, estes graus de liberdade 

precisam ser restringidos. 

Esta restrição é dada pelos apoios (vínculos), que são dispositivos mecânicos que, 

por meio de esforços reativos, impedem certos deslocamentos da estrutura. Estes esforços 

reativos (reações), juntamente com as ações (cargas aplicadas à estrutura) formam um 

sistema em equilíbrio estático. 

3.1 – Tipos de Apoio 

Classificam-se em três categorias: 

a) Apoio móvel ou do 1º gênero – é capaz de impedir o movimento do ponto 

vinculado do corpo numa direção pré-determinada; 

APOIO 

MÓVEL SÍMBOLO 

A representação esquemática indica a reação de apoio R na direção do único 

movimento impedido (deslocamento na vertical). 

b) Apoio fixo ou do 2º gênero ou rótula – é capaz de impedir qualquer movimento do 

ponto vinculado do corpo em todas as direções, permanecendo livre apenas a 

rotação; 

APOIO 

FIXO 

Pino deslizante 

rolete R 

rótula 

SÍMBOLO 


H 

V 

5



________________________________________________________________________________________________ 

c) Engaste ou apoio do 3º gênero – é capaz de impedir qualquer movimento do ponto 

vinculado do corpo e o movimento de rotação do corpo em relação a esse ponto. 

3.2 – Estaticidade e Estabilidade 

a) Estruturas isostáticas 

Quando o número de movimentos impedidos é igual ao estritamente necessário para 

impedir o movimento de corpo rígido da estrutura, diz-se que a estrutura é isostática, 

ocorrendo uma situação de equilíbrio estável. 

N 

b) Estruturas hipostáticas 

o 

reações = N 

o 

equações de equilíbrio 

Quando o número de movimentos impedidos é menor que o necessário para impedir 

o movimento de corpo rígido da estrutura, diz-se que a estrutura é hipostática, ocorrendo 

uma situação indesejável de equilíbrio instável. 

c) Estruturas hiperestáticas 

HA 

E 

N 

G 

A 

S 

T 

E 

A B 

VA 

VB 

A B 

VA 

A B 

VA 

VB 

VB 

HB 

HB 

M 

V 

SÍMBOLO 


H 

C 

HC 

HC 

HC 

VC 

C 

MC 

VC 

C 

MC 

VC 

D 

HD 

6



________________________________________________________________________________________________ 

Quando o número de movimentos impedidos é maior que o necessário para impedir 

o movimento de corpo rígido da estrutura, diz-se que a estrutura é hiperestática, ocorrendo 

uma situação indesejável de equilíbrio estável. 

Nesse caso, as equações universais da Estática não são suficientes para a 

determinação das reações de apoio, sendo necessárias equações adicionais de 

compatibilidade de deformações. 

4 – Classificação das Estruturas 

a) Vigas – são elementos estruturais geralmente compostos por barras de eixos 

retilíneos que estão contidas no plano em que é aplicado o carregamento. 

viga apoiada viga em balanço 

b) Pórticos (ou Quadros) – são elementos compostos por barras de eixos retilíneos 

dispostas em mais de uma direção submetidos a cargas contidas no seu plano. 

Apresentam apenas três esforços internos: normal, cortante, momento fletor. 

pórtico plano 

c) Treliças – são sistemas reticulados cujas barras têm todas as extremidades rotuladas 

(as barras podem girar independentemente das ligações) e cujas cargas são 

aplicadas em seus nós. Apresentam apenas esforços internos axiais. 

d) Grelhas – são estruturas planas com cargas na direção perpendicular ao plano, 

incluindo momentos em torno de eixos do plano. Apresentam três esforços internos: 

esforço cortante, momento fletor, momento torsor. 


7



________________________________________________________________________________________________ 

5 – Tipos de Carregamento 

a) Cargas concentradas – são uma forma aproximada de tratar cargas distribuídas 

segundo áreas muito reduzidas (em presença das dimensões da estrutura). São 

representadas por cargas aplicadas pontualmente; 

b) Cargas distribuídas – são cargas distribuídas continuamente. Os tipos mais usuais 

são as cargas uniformemente distribuídas e as cargas triangulares (casos de 

empuxos de terra ou água). 

c) Cargas-momento – são cargas do tipo momento fletor (ou torsor) aplicadas em um 

ponto qualquer da estrutura. 

6 – Esforços Simples 

Consideremos o corpo da figura submetido ao conjunto de forças em equilíbrio 

indicadas. Seccionemos o corpo por um plano P que o intercepta segundo uma seção S, 

dividindo-o nas duas partes E e D. 

E 

F 

q q 

S 

m 

R 

M 

R 

m 

Para ser possível esta divisão, preservando o equilíbrio destas duas partes, basta 

que apliquemos, na seção S da parte E, um sistema estático equivalente ao das forças que 

ficaram na parte da direita e, analogamente, na seção S da parte D, um sistema estático 

equivalente ao das forças situadas na parte da esquerda. Esses esquemas estáticos 

equivalentes são obtidos reduzindo as forças à esquerda e à direita da seção S ao centróide 

desta seção. 

Resumindo: a resultante R r que atua na parte da esquerda é obtida pelas forças da direita 

e vice-versa. O momento resultante m r que atua na parte da esquerda foi obtido pelas 

forças da direita e vice-versa. 


S 

D 

8



________________________________________________________________________________________________ 

Uma seção S de um corpo em equilíbrio está, em equilíbrio, submetida a um par de 

forças R r e (- R r ) e a um par de momentos m r e (- m r ) aplicados no seu centróide e 

resultantes da redução, a este centróide, das forças atuantes, respectivamente, à esquerda 

e à direita da seção S. 

Decompondo os vetores R r e m r em duas componentes, uma perpendicular à seção 

S e outra situada no próprio plano da seção S, obtemos as forças N r (perpendicular a S) e 

Q r (pertencente a S) e os momentos T r (perpendicular a S) e M r (pertencente a S), aos 

quais chamamos esforços simples atuantes na seção S. 

OBS: É indiferente calcular os esforços simples atuantes numa seção entrando com as 

forças da parte à esquerda ou da parte à direita da seção na prática. Usaremos as forças do 

lado que nos conduzir ao menor trabalho de cálculo. 

a) Esforço normal N r – tende a promover variação da distância que separa as seções, 

permanecendo as mesmas paralelas uma à outra. 

O esforço normal será positivo quando de tração, ou seja, quando tender a afastar 

duas seções infinitamente próximas, e negativo quando de compressão. 

N 

C 

Q 

R 

m 

N 

R 

S C 

C 

x 

b) Esforço cortante Q r – tende a promover o deslizamento relativo de uma seção em 

relação à outra (tendência de corte). 

Dizemos que o esforço cortante Q r é positivo quando, calculado pelas forças 

situadas do lado esquerdo da seção, tiver o sentido positivo do eixo y e quando calculado 

pelas forças situadas do lado direito da seção, tiver o sentido oposto ao sentido positivo do 

eixo y. 


m 

R 

ds 

C 

N N N 

⊕ 

M 

T 

m 

x 

9



________________________________________________________________________________________________ 

Q 

c) Momento torsor T r 

– tende a promover uma rotação relativa entre duas seções 

infinitamente próximas em torno de um eixo que lhes é perpendicular, passando pelo 

seu centro de gravidade (tendência de torcer a peça). 

O momento torsor é positivo quando o vetor de seta dupla que o representa estiver 

como que tracionando a seção. 

d) Momento fletor M r – tende a provocar uma rotação da seção em torno de um eixo 

situado em seu próprio plano. 

Como um momento pode ser substituído por um binário, o efeito de M r pode ser 

assimilado ao binário da figura, que provoca uma tendência de alongamento em uma das 

partes da seção e uma tendência de encurtamento na outra parte, deixando a peça fletida. 

M 

T 

ds 

Q 

M 

ds 

⊕ 

Para o momento fletor, desejamos conhecer que fibras estão tracionadas e que 

fibras estão comprimidas (para, no caso das vigas de concreto armado, por exemplo, 

sabermos de que lado devemos colocar as barras de aço, que são o elemento resistente à 

tração). 

A figura mostra a convenção de sinais adotada. 

Compressão 

Tração 

⊕ 


Q 

T 

ds 

⊕ 

Q 

10



________________________________________________________________________________________________ 

7 – Determinação da Resultante de um Carregamento Distribuído 

Uma carga distribuída pode ser tratada como uma soma infinita de cargas 

concentradas infinitesimais, q ⋅ ds , cuja resultante é: 

∫ ⋅ = 

B 

R q ds 

A 

(1) 

A Eq. (1) indica que a resultante do carregamento distribuído é igual à área Ω 

limitada entre a curva que define a lei de variação do carregamento e o eixo da estrutura. 

Para obtermos a posição desta resultante, aplicamos o Teorema de Varignon ⇒ o 

momento de um sistema de forças em equilíbrio é igual ao momento da resultante das 

forças. 

Chamando s a distância da resultante a um ponto genérico O, temos: 

B 

Momento da resultante: R ⋅ s = s ⋅ ∫ q ⋅ ds 

A 

B 

Soma dos momentos das componentes: ( q ⋅ds) 

⋅ s 

Igualando: 

s 

B 

∫ 

= A 

B 

q ⋅ s ⋅ds 

∫ 

A 

q ⋅ds 

O 

z 

s 

s 

q.ds 

que é a razão entre o momento estático da área Ω em relação ao eixo z e o valor Ω dessa 

área. Isto indica que s é a distância do centróide da área Ω ao eixo z. 

Finalmente, a resultante de um carregamento distribuído é igual à área 

compreendida entre a linha que define este carregamento e o eixo da barra sobre a qual 

está aplicado, sendo seu ponto de aplicação o centróide da área referida. 


R 

∫ 

A 

Ω 

A B 

ds 

11



________________________________________________________________________________________________ 

8 – As Equações Fundamentais da Estática. Diagramas de Esforços 

As equações fundamentais da Estática, deduzidas para uma viga com carga vertical 

uniformemente distribuída, são: 

dM s = Qs 

ds 

(2) 

dQs = −q( 

s ) 

ds 

(3) 

Essas expressões permitem obter os esforços solicitantes nas diversas seções da 

viga em função do carregamento q(x) atuante. 

A representação gráfica dos esforços nas seções ao longo de todo o elemento é feita 

a partir dos diagrama de esforços (linhas de estado). 

Com base na Eq. (2), temos que o coeficiente angular da tangente ao diagrama de 

momentos fletores numa seção S é igual ao esforço cortante nela atuante. 

A partir da Eq. (3), temos que o coeficiente angular da tangente ao diagrama de 

esforços cortantes numa seção S é igual ao valor da taxa de carga atuante nesta seção com 

o sinal trocado. 

8.1 – Caso de Vigas Biapoiadas Sujeitas à Carga Concentrada 

VA 

P 

A B 

a b 

∑ Fx = 0 ⇒ H B = 0 

∑ Fy = 0 ⇒ VA 

+ VB 

= P 

P ⋅a 

P ⋅b 

∑ M A = 0 ⇒ VB 

⋅l 

− P ⋅a 

= 0 ⇒ VB 

= ⇒ VA 

= 

l 

l 

P ⋅ 

b 

l 

l 

⊕ 

P ⋅ a ⋅ b 

l 


VB 

P ⋅ a 

l 

HB 

DMF 

⊕ DEC 

12



________________________________________________________________________________________________ 

Pelas Eq. (2) e (3), sabemos que, num trecho descarregado ( q = 0 ), o DEC será 

⎛ dQ ⎞ 

⎛ dM 

⎞ 

uma reta horizontal ⎜ = −q 

= 0⎟ 

e o DMF será uma reta ⎜ = Q = constante⎟ 

. 

⎝ ds ⎠ 

⎝ ds 

⎠ 

OBS: 

⎛ dM ⎞ 

a) O DMF possui um ponto anguloso em S, pois temos ⎜ ⎟ = Qs 

esq 

⎝ ds ⎠s 

esq 

⎛ dM ⎞ 

⎜ ⎟ = Qs 

dir e, no caso, Qs esq ≠ Qs 

dir ; 

⎝ ds ⎠s 

dir 

b) Na seção S, não se define o esforço cortante; ele é definido à esquerda e à direita da 

seção, sofrendo nela uma descontinuidade igual a P. 

Conclusão: Sob uma carga concentrada, o DMF apresenta um ponto anguloso e o DEC 

apresenta uma descontinuidade igual ao valor dessa carga. 

8.2 – Caso de Vigas Biapoiadas Sujeitas à Carga Uniformemente Distribuída 

∑ Fx = 0 ⇒ H B = 0 

∑ Fy = 0 ⇒ VA 

+ VB 

= q ⋅l 

l 

q ⋅l 

q ⋅l 

∑ M A = 0 ⇒ VB 

⋅l 

− q ⋅l 

⋅ = 0 ⇒ VB 

= ⇒ VA 

= 

2 

2 2 

Numa seção genérica S, temos: 

M 

s 

q ⋅ l x 

= ⋅ x − q ⋅ x ⋅ 

2 2 

q ⋅ l 

Qs = − q ⋅ x 

2 

A B 

VA 

q ⋅ 

x 

x 

2 

l ⎛ 

⎜ x x 

= q ⋅ ⋅ − 

2 ⎜ 

⎝ 

l l 

l 

q 


2 

2 

⎞ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

VB 

HB 

13 

e



________________________________________________________________________________________________ 

O DEC será uma linha reta que fica determinada pelos seus valores extremos 

correspondentes a x = 0 e x = l , que são: 

Q A 

Q B 

q ⋅l 

= 

2 

q ⋅l 

= − 

2 

q ⋅ l 

2 

⊕ 

2 

M max = q ⋅l 

8 

⊕ DEC 

q ⋅ l 

2 

DMF 

O DMF será uma parábola de 2º grau, passando por zero em A e B e por um máximo 

2 

2 

em x = l 

dM 

q ⋅l 

⎛ 1 1 ⎞ q ⋅l 

(seção onde Q = = 0 ), de valor M 

2 

max = ⋅⎜ 

− ⎟ = . 

dx 

2 ⎝ 2 4 ⎠ 8 

Conclusão: Sob carga uniformemente distribuída, o DMF é parabólico do 2º grau e o DEC é 

retilíneo. 

* Construção Geométrica do DMF 

2 

q ⋅l 

a) Sendo MM1 

= , marcamos M 1M 

2 = MM1 

8 

b) Dividimos os segmentos AM 2 e BM 2 em partes iguais (por exemplo: oito), obtendo 

os pontos I a VII e I´ a VII´ que, ligados alternadamente, nos dão tangentes externas 

à parábola que é, então, facilmente obtida. 

A 

I 

II 

III 

IV 

V 

VI 

VII 

M 

M1 

I´ 

II´ 

III´ 

IV´ 

V´ 

VI´ 

VII´ 

M2 


B 

q ⋅ l 

q ⋅ 

l 

2 

2 

8 

8 

14



________________________________________________________________________________________________ 

8.3 – Caso de Vigas Biapoiadas Sujeitas à Carga-Momento 

∑ Fx = 0 ⇒ H B = 0 

∑ Fy = 0 ⇒ VA 

+ VB 

= 0 

M 

∑ M A = 0 ⇒ VB 

⋅l 

− M = 0 ⇒ VB 

= ⇒ VA 

= − 

l 

Conclusão: O DMF, na seção de aplicação da carga-momento, sofre uma descontinuidade 

igual ao momento aplicado. 


M 

l 

Roteiro para traçado dos diagramas de esforços 

a) Cálculo das reações de apoio a partir das equações da Estática; 

b) Determinação dos esforços seccionais em todos os pontos de aplicação ou transição 

de carga. 

Normas: 

VA 

M 

A B 

M ⋅ b 

l 

a) Os valores dos esforços seccionais serão marcados em escala, em retas 

perpendiculares ao eixo da peça, nos pontos onde estão atuando; 

b) Valores positivos de esforço normal e esforço cortante serão marcados para cima 

nas barras horizontais e para fora nas verticais (ou inclinadas); 

⊕ 

a b 

M ⋅a 

l 

⊕ 

l 

M 

l 

N 

Q 

DEC 

VB 

DMF 

⊕ 

HB 

15



________________________________________________________________________________________________ 

c) Valores positivos de momento fletor serão marcados para baixo nas barras 

horizontais ou para dentro nas verticais (ou inclinadas); 

⊕ 

d) Sob a ação de uma carga concentrada, o diagrama de momento fletor apresenta um 

ponto anguloso e o diagrama de esforço cortante uma descontinuidade de 

intensidade igual ao da carga atuante; 

DMF 

e) Sob a ação de uma carga-momento, o diagrama de momento fletor apresenta uma 

descontinuidade de intensidade igual ao da carga-momento; 

f) Num trecho descarregado, o diagrama de esforço cortante apresenta uma linha 

paralela em relação ao eixo da peça; 

g) Sob a ação de uma carga uniformemente distribuída, o diagrama de esforço cortante 

apresenta uma linha inclinada em relação ao eixo da peça. Já o diagrama de 

momento fletor apresenta uma curva de grau duas vezes superior ao da ordenada de 

carga no trecho. 

DMF 

M 


⊕ 

DEC 

DMF 

DEC 

16



________________________________________________________________________________________________ 

III – TRAÇÃO E COMPRESSÃO 

1 – Tensões e deformações em barras carregadas axialmente 

Seja a barra com seção transversal constante e comprimento L, submetida às forças 

axiais P que produzem tração, conforme mostra a figura. 

A tensão, uniformemente distribuída na seção transversal da barra, devida à ação da 

força P, é: 

σ = 

P 

A 

O alongamento total da barra é designado pela letra δ. O alongamento específico ou 

alongamento relativo ou deformação (alongamento por unidade de comprimento) é dado 

por: 

δ 

ε = 

L 

P 

2 – Propriedades Mecânicas 

2.1 – Teste de tração. Diagrama Tensão-Deformação 

L 

δ 

A relação entre as tensões e as deformações, para um determinado material, é 

encontrada por meio de um teste de tração. 

Um corpo-de-prova, em geral uma barra de seção circular, é colocado na máquina 

de testar e sujeito à tração. 

A força atuante e os alongamentos resultantes são medidos à proporção que a carga 

aumenta. 

As tensões são obtidas dividindo-se as forças pela área da seção transversal da 

barra e a deformação específica dividindo-se o alongamento pelo comprimento ao longo do 

qual ocorre a deformação. 

A figura seguinte mostra, esquematicamente, o ensaio na máquina universal de 

tração e compressão. 


P 

17



________________________________________________________________________________________________ 

3 4 

6 

A forma típica do diagrama tensão-deformação do aço é mostrada na figura seguinte. 

Nesse diagrama, as deformações axiais encontram-se representadas no eixo horizontal e as 

tensões correspondentes no eixo das ordenadas. 

σ 

(MPa) 

350 

300 

250 

200 

150 

100 

50 

O 

1 

1 – cilindro e êmbolo 

2 – bomba hidráulica (medidor de vazão) 

3 – mesa (chassi) móvel 

4 – corpo de prova para tração 

5 – corpo de prova para compressão 

6 – mesa (chassi) fixo 

7 – manômetro (medidor de pressão) 

8 – fluido hidráulico 

A 

B 

C 

1 2 3 4 5 6 7 x10 −4 F 

(ε) 

No trecho de 0 a A, as tensões são diretamente proporcionais às deformações e o 

diagrama é linear. Além desse ponto, a proporcionalidade já não existe mais e o ponto A é 

chamado de limite de proporcionalidade. 


D 

5 

8 

7 

x 

E 

* 

E 

x 

2 

18



________________________________________________________________________________________________ 

Com o aumento da carga, as deformações crescem mais rapidamente do que as 

tensões, passando a aparecer uma deformação considerável sem que haja aumento 

apreciável da força de tração. Esse fenômeno é conhecido como escoamento do material e 

a tensão no ponto B é denominada tensão de escoamento. 

Na região BC, diz-se que o material tornou-se plástico e a barra pode deformar-se 

plasticamente, da ordem de 10 a 15 vezes o alongamento ocorrido até o limite de 

proporcionalidade. 

No ponto C, o material começa a oferecer resistência adicional ao aumento da carga, 

acarretando acréscimo de tensão para um aumento de deformação, atingindo o valor 

máximo ou tensão máxima (tensão de ruptura) no ponto D. Além desse ponto, maior 

deformação é acompanhada por uma redução da carga, ocorrendo, finalmente, a ruptura do 

corpo-de-prova no ponto E do diagrama. 

Durante o alongamento da barra, há contração lateral, que resulta na diminuição da 

área da seção transversal. Isto não tem nenhum efeito no diagrama tensão-deformação até 

o ponto C. Porém, deste ponto em diante, a redução da área faz com que a tensão 

verdadeira seja sempre crescente (como indicado na linha pontilhada até E´). 

É a favor da segurança adotar-se como valor das tensões limites aquelas calculadas 

como se a área se mantivesse com seu tamanho original, obtendo-se valores para a tensão 

ligeiramente menores do que os reais. 

Alguns materiais não apresentam claramente no diagrama tensão-deformação todos 

os pontos anteriormente citados. Para que se possa determinar o ponto de escoamento 

desses materiais, convencionou-se adotar uma deformação residual de 0,2%. A partir dessa 

deformação, traça-se uma reta paralela ao trecho linear AO, até atingir a curva tensãodeformação. 

A presença de um ponto de escoamento pronunciado, seguido de grande 

deformação plástica, é uma das características do aço. 

σ 

0 

ε 

a) diagrama σ x ε típico de b) diagrama σ x ε típico de 

material dúctil material frágil 

Tanto os aços quanto as ligas de alumínio podem sofrer grandes deformações antes 

da ruptura, sendo classificados como dúcteis. Por outro lado, materiais frágeis ou 

quebradiços quebram com valores relativamente baixos das deformações. 

As cerâmicas, o ferro fundido, o concreto, certas ligas metálicas e o vidro são 

exemplos desses materiais. 

É possível traçar diagramas análogos aos de tração, para vários materiais sob 

compressão, estabelecendo-se tensões características, tais como limite de 

proporcionalidade, escoamento e tensão máxima. 

Para o aço, verificou-se que as tensões do limite de proporcionalidade e do 

escoamento são, aproximadamente, as mesmas na tração e na compressão. 

Para muitos materiais quebradiços, as tensões características em compressão são 

muito maiores que as de tração. 


σ 

0 

ε 

19



________________________________________________________________________________________________ 

3 – Elasticidade 

Os diagramas tensão-deformação ilustram o comportamento dos materiais, quando 

carregados por tração (ou compressão). 

Quando um corpo-de-prova do material é descarregado, isto é, a carga é 

gradualmente reduzida até zero, a deformação sofrida durante o carregamento 

desaparecerá parcial ou completamente. Esta propriedade do material, pela qual ele tende a 

retornar à forma original, é denominada elasticidade. 

Quando o material volta completamente à forma original, diz-se que é perfeitamente 

elástico. Se o retorno não for total, diz-se que é parcialmente elástico. Nesse caso, a 

deformação que permanece depois da retirada da carga é denominada deformação 

permanente. 

O processo de carregamento e descarregamento do material pode ser repetido 

sucessivamente, para valores cada vez mais altos de tração. À tensão cujo 

descarregamento acarrete uma deformação residual permanente, chama-se limite elástico. 

Para os aços e alguns outros materiais, os limites elástico e de proporcionalidade 

são aproximadamente coincidentes. Materiais semelhantes à borracha possuem uma 

propriedade – a elasticidade – que pode continuar muito além do limite de 

proporcionalidade. 

3.1 – Lei de Hooke 

Os diagramas tensão-deformação da maioria dos materiais apresentam uma região 

inicial de comportamento elástico e linear. 

A relação linear entre a tensão e a deformação, no caso de uma barra em tração, 

pode ser expressa por: 

σ = E ⋅ε 

onde E é uma constante de proporcionalidade conhecida como módulo de elasticidade do 

material. 

Este é o coeficiente angular da parte linear do diagrama tensão-deformação e é 

diferente para cada material. O módulo de elasticidade é também conhecido como módulo 

de Young e a equação anterior é chamada de Lei de Hooke. 

P 

Quando uma barra é carregada por tração simples, a tensão axial é σ = e a 

δ 

deformação específica é ε = . 

L 

Combinando estas expressões com a lei de Hooke, tem-se que o alongamento da 

P ⋅ L 

barra é δ = . 

E ⋅ A 

Esta equação mostra que o alongamento de uma barra linearmente elástica é 

diretamente proporcional à carga e ao seu comprimento e inversamente proporcional ao 

módulo de elasticidade e à área da seção transversal. 

O produto E ⋅ A é conhecido como rigidez axial da barra. 

A flexibilidade da barra é definida como a deformação decorrente de uma carga 

unitária. Da equação anterior, vemos que a flexibilidade é L . 

E ⋅ A 

De modo análogo, a rijeza da barra é definida como a força necessária para produzir 

uma deformação unitária. Então, a rijeza é igual a E ⋅ A , que é o inverso da flexibilidade. 

L 


A 

20



________________________________________________________________________________________________ 

Vários casos que envolvem barras com carregamento axial podem ser solucionados 

P ⋅ L 

aplicando-se a expressão: δ = . 

E ⋅ A 

A figura mostra uma barra carregada axialmente. O procedimento para determinação 

da deformação da barra consiste em obter a força axial em cada parte da barra (AB, BC e 

CD) e, em seguida, calcular separadamente o alongamento (ou encurtamento) de cada 

parte. 

A soma algébrica dessas variações de comprimento dará a variação total de 

comprimento da barra, tal que: 

δ = 

n 

∑ 

i= 

1 

Pi 

⋅ Li 

Ei 

⋅ Ai 

A 

B 

C 

D 

P 

2P 

2P 

L1 

L2 

L3 

O mesmo método pode ser usado quando a barra é formada por partes com 

diferentes seções transversais. 

3.2 – Coeficiente de Poisson. Variação volumétrica 

Conforme foi dito anteriormente, quando uma barra é tracionada, o alongamento 

axial é acompanhado por uma contração lateral, isto é, a largura torna-se menor e seu 

comprimento cresce. 

P P 

L 

δa A relação entre as deformações transversal e longitudinal é constante, dentro da 

região elástica, e é conhecida como relação ou coeficiente de Poisson; dada por: 

deformação lateral 

ν = (0 ≤ν 

≤ 0,5) 

deformação axial 

Para os materiais que têm as mesmas propriedades elásticas em todas as direções, 

denominados isotrópicos, Poisson achou ν = 0,25. 


δl 

P 

P 

a 

b 

21



________________________________________________________________________________________________ 

Para fins práticos, o valor numérico de ν é o mesmo, independentemente do material 

estar sob tração ou compressão. 

Conhecendo-se o coeficiente de Poisson e o módulo de elasticidade do material, 

pode-se calcular a variação do volume da barra tracionada. Tal variação é mostrada na 

figura seguinte. 

Inicialmente, o cubo que tinha dimensões unitárias, sofre alongamento na direção da 

força P e encurtamento das arestas na direção transversal. Assim, a área da seção 

transversal do cubo passa a ser ( ) 2 

1− ν ⋅ε 

e o volume passa a ser ( ) ( ) 2 

1+ ε ⋅ 1−ν 

⋅ε 

. 

Desenvolvendo a expressão, chega-se a: 

V' 

V' 

V' 

= 

= 

= 

( 1 + ε ) ⋅ ( 1 −ν 

⋅ε 

) 

2 

2 2 

( 1 + ε ) ⋅ ( 1 − 2 ⋅ν 

⋅ε 

+ ν ⋅ε 

) 

2 2 

2 2 3 

( 1 − 2 ⋅ν 

⋅ε 

+ ν ⋅ε 

+ ε − 2 ⋅ν 

⋅ε 

+ ν ⋅ε 

) 

Desprezando-se os termos de ordem superior, obtém-se: 

V ' 

( 1+ 

ε − ⋅ν 

⋅ε 

) 

= 2 

A variação do volume é dada pela diferença entre os volumes final e inicial: 

( 1+ 

ε − 2 ⋅ν 

⋅ε 

) − 1 = ε ⋅( 

1− 

ν ) 

V '−V 

= ∆V = 

2 ⋅ 

A variação do volume unitário é expressa por: 

∆V 

= ε ⋅ 2 

V 

( 1− 

⋅ν 

) 

P 

1 

ν.ε 

ν.ε 

1 

A equação anterior pode ser usada para calcular a variação do volume de uma barra 

tracionada, desde que se conheçam a deformação ε e o coeficiente de Poisson ν. 

Como não é razoável admitir-se que um material diminua de volume quando 

tracionado, pode-se concluir que ν é sempre menor do que 0,5. 


1 

ε 

P 

22



________________________________________________________________________________________________ 

4 – Tensão Admissível ou Tensão-Limite 

Para permitir sobrecargas acidentais, bem como para levar em conta certas 

imprecisões na construção e possíveis desconhecimentos de algumas variáveis na análise 

da estrutura, normalmente emprega-se um coeficiente de segurança. 

σ y 

Para os materiais dúcteis, tem-se . 

γ > 1 

σ 

Para os materiais frágeis, tem-se 

u 

. 

γ > 1 

No concreto armado, aço 1, 

15 = γ e 4 , 1 γ conc = . 

5 – Estruturas Estaticamente Indeterminadas 

Haverá casos em que as equações de equilíbrio não são suficientes para se chegar 

às solicitações da estrutura. As equações a mais, necessárias para solucionar o problema, 

são encontradas nas condições de deformação. 

Um exemplo de estrutura estaticamente indeterminada é mostrado na figura 

seguinte. 

R 

A 

A barra AB tem as extremidades presas a suportes rígidos e está carregada com 

uma força F em um ponto intermediário C. 

As reações RA e RB aparecem nas extremidades da barra, porém suas intensidades 

não podem ser calculadas apenas pela Estática. A única equação fornecida pelo equilíbrio 

é: 

RA + RB 

= F 

L1 

C 

Sabe-se, porém, que a variação de comprimento da barra é nula; logo: 

∆L = 0 ∴ ∆L1 

+ ∆L2 

= 0 

( R − F ) 

RA ⋅ L1 

A ⋅ L 

+ 

2 = 0 

E ⋅ A E ⋅ A 

RA ⋅ L1 

+ RA 

⋅ L2 

− F ⋅ L2 

= 0 

( L1 

+ L2 

) = F L2 

RA ⋅ 

⋅ 

L2 

F 

B 

R 

DEN 


RA 

+ 

+ 

RA-F 

23



________________________________________________________________________________________________ 

R 

R 

A 

B 

= 

F ⋅ L 

2 

2 

L 

= F ⋅ 

2 

( L + L ) L 

1 

L L 

= F − F ⋅ 2 = F ⋅ 1 

L L 

O diagrama real do esforço normal é: 

L 

F ⋅ 

2 

L 

6 – Tensões Térmicas 

Como é sabido, as dimensões dos corpos sofrem alterações em função da variação 

de temperatura. 

Quando a estrutura é estaticamente determinada, a variação uniforme da 

temperatura não acarreta nenhuma tensão, já que a estrutura é capaz de se expandir ou se 

contrair livremente. 

Por outro lado, a variação de temperatura em estruturas estaticamente 

indeterminadas produz tensões nos elementos, denominadas tensões térmicas. 

A propriedade física que estabelece a relação de proporcionalidade entre a variação 

da dimensão longitudinal de uma peça e a variação de temperatura correspondente é 

denominada coeficiente de dilatação térmica α. 

Seja a barra da figura restringida pelos apoios A e B. 

Com a variação de temperatura, a barra tende a se deformar. Porém, os apoios 

impedem essa deformação e surgem reações nos apoios iguais a R. 

O diagrama de esforço normal é: 

+ 

A 

B 

- 

L 

F ⋅ 

1 

L 

DEN 


R 

R 

L 

24



________________________________________________________________________________________________ 

Como a variação de comprimento da barra é nula, tem-se: 

∆LN + ∆L∆ 

T = 0 

R ⋅ L 

- + α ⋅ L ⋅ ∆T = 0 

E ⋅ A 

R = α ⋅ ∆T ⋅ E ⋅ A 

− R 

σ x = = −α 

⋅ ∆T ⋅ E 

A 

- 

R 

DEN 


25



________________________________________________________________________________________________ 

IV – CISALHAMENTO PURO 

Vimos que as forças axiais provocam tensões normais nos elementos estruturais. 

No entanto, pode ocorrer que as forças atuantes no elemento estejam inclinadas com 

relação à sua seção transversal. Nesse caso, essas forças podem ser decompostas em 

componentes paralelas e perpendiculares ao plano de corte considerado. A componente 

normal N à seção transversal do elemento irá provocar tensão normal σ (sigma) e a 

componente vertical V irá provocar tensão de cisalhamento τ (tau). 

Conclusão: as tensões normais resultam de esforços perpendiculares ao plano de corte, 

enquanto as tensões de cisalhamento resultam de esforços paralelos a esse mesmo plano. 

Consideremos duas chapas A e B ligadas pelo rebite CD. 

F 

A 

onde a área da seção transversal do rebite é denominada por A. 

Sob a ação da força F, surgem esforços cortantes (tangenciais) à seção transversal 

F 

do rebite e, portanto, tensões de cisalhamento τ cuja intensidade média é τ med = . 

A 

A fim de visualizar as deformações produzidas por uma tensão de cisalhamento, 

consideremos o cubo elementar (elemento infinitesimal) submetido à tensão de 

cisalhamento τ na sua face superior. 

τ 

τ 

C 

D 

τ 

τ 

Como não há tensões normais agindo sobre o elemento, seu equilíbrio na direção 

horizontal só é possível se, na face inferior, existir tensão de cisalhamento igual e em 

sentido contrario à da face superior. Além disso, essas tensões de cisalhamento irão 

produzir momento que deve ser equilibrado por outro momento originado pelas tensões que 

atuam nas faces verticais. Portanto, essas tensões de cisalhamento devem ser também 

iguais a τ para que o elemento permaneça em equilíbrio. 

Um elemento sujeito apenas às tensões de cisalhamento mostradas na figura 

anterior é dito em cisalhamento puro. 

Conclusão: 

a) as tensões de cisalhamento que agem em um elemento ocorrem aos pares, iguais e 

opostos; 

b) as tensões de cisalhamento existem sempre em planos perpendiculares entre si. 

Tais tensões são iguais em intensidade e têm sentidos opostos que se “aproximam” 

ou se “afastam” da linha de interseção dos planos. 


B 

F 

26



________________________________________________________________________________________________ 

A deformação do elemento infinitesimal está representada na figura abaixo, que 

mostra a face frontal do cubo submetido a cisalhamento puro. Como não há tensões 

normais agindo no elemento, os comprimentos das arestas ab, bc, cd e ac não variam, 

porém o quadrado de lado abcd transforma-se no paralelogramo representado em tracejado. 

O ângulo no vértice c, que media π antes da deformação, fica reduzido a π −γ 

. 

2 

2 

Ao mesmo tempo, o ângulo no vértice a ficará aumentado para π + γ . O ângulo γ é a 

2 

medida da distorção do elemento provocada pelo cisalhamento, e é denominado 

deformação de cisalhamento. Pela figura, nota-se que a deformação de cisalhamento γ é 

igual ao deslizamento horizontal da aresta superior em relação à aresta inferior, dividido pela 

distância entre essas duas arestas (altura do elemento). 

A determinação das tensões de cisalhamento τ em função das deformações de 

cisalhamento γ pode ser feita a partir de um teste de cisalhamento puro, obtendo-se o 

diagrama tensão-deformação de cisalhamento do material, cujo aspecto é muito semelhante 

ao diagrama tensão-deformação obtido do ensaio de tração. 

Assim, se o material tiver uma região elástica-linear, o diagrama tensão-deformação 

de cisalhamento será uma reta e as tensões de cisalhamento serão proporcionais às 

deformações de cisalhamento: 

τ = G ⋅γ 

onde G é o módulo de elasticidade ao cisalhamento do material, também conhecido como 

módulo de elasticidade transversal. 

O módulo de elasticidade transversal relaciona-se com o módulo de elasticidade 

longitudinal do material de acordo com a seguinte expressão: 

E 

G = 

2 ⋅ 

( 1 + ν ) 

τ 

a 

c 

γ 

τ 

τ 

d 

b 

τ 

γ 


27



________________________________________________________________________________________________ 

V – TORÇÃO 

1 – Torção em Barras de Seção Circular 

Seja a barra de seção transversal circular submetida ao momento torsor T em suas 

extremidades. 

T 

n 

τ 

x 

dx 

L 

τ 

n 

R 

φ 

n´ 

Durante a torção, haverá rotação em torno do eixo longitudinal, de uma extremidade 

da barra em relação à outra. 

Considerando-se fixa a extremidade esquerda da barra, a da direita gira num ângulo 

φ (em radianos) em relação à primeira. Ao mesmo tempo, uma linha longitudinal na 

superfície da barra, tal como nn, gira num pequeno ângulo para a posição nn´. 

c 

a 

γ 

dx 

b 

b´ 

dφ 

d R 

d´ 

Analisando um elemento retangular abcd de largura dx na superfície da barra, notase 

que, sob a ação da torção, este elemento sofre distorção e os pontos b e d movem-se 

para b´ e d´, respectivamente. Os comprimentos dos lados do elemento não variam durante 

esta rotação, porém os ângulos dos vértices não continuam retos. 

Tem-se, então, que o elemento encontra-se em estado de cisalhamento puro e que 

bb´ 

a deformação de cisalhamento γ é igual a: γ = . 

ab 

Chamando de dφ o ângulo de rotação de uma seção transversal em relação à outra, 

chega-se a bb´ = R ⋅dφ 

. 

R ⋅dφ 

Sabendo que a distância ab é igual a dx, então: γ = . 

Quando uma barra de seção circular (eixo) está sujeita a torção pura, a taxa de 

variação dφ do ângulo de torção é constante ao longo do comprimento dx da barra. Esta 

constante é o ângulo de torção por unidade de comprimento, designado porθ . 

Assim, tem-se: 


dx 

T 

28



________________________________________________________________________________________________ 

φ 

γ = R ⋅θ 

= R ⋅ 

L 

As tensões de cisalhamento τ que agem nas faces laterais do elemento têm os 

sentidos mostrados na figura anterior. 

A intensidade da tensão de cisalhamento é obtida pela Lei de Hooke: 

τ = G ⋅γ 

= G ⋅ R ⋅θ 

onde G é o módulo de elasticidade transversal do material, igual a 

E 

2 ⋅ 1 

( + ν ) 

O estado de tensão no interior de um eixo pode ser determinado de modo análogo, 

bastando substituir R por r, tal que a deformação de cisalhamento é: 

γ = r ⋅θ 

e a tensão de cisalhamento é: 

τ = G ⋅ r ⋅θ 

Essas equações mostram que a deformação e a tensão de cisalhamento variam 

linearmente com o raio r, tendo seus valores máximos na superfície do eixo. 

τ 

R 

é: 

O momento torsor de todas as forças em relação ao centróide da seção transversal 

2 

2 

T = ∫τ 

⋅r 

⋅dA 

= ∫G 

⋅r 

⋅θ 

⋅dA 

= G ⋅θ 

∫ r ⋅dA 

= G ⋅θ 

⋅ J 

A A 

A 

2 

onde J é o momento de inércia polar da seção transversal, igual a ∫ r ⋅ dA . 

A 

Para uma seção circular, o momento de inércia polar com relação aos eixos que 

passam pelo centróide é: 

4 

⋅ d 

J = 

32 

π 

onde d é o diâmetro da seção transversal. 

Tem-se, então: 

T 

= = 

L G ⋅ J 

φ 

θ 

r 


d 

. 

29



________________________________________________________________________________________________ 

A expressão anterior mostra que o ângulo de torção por unidade de comprimento é 

diretamente proporcional ao momento torsor e inversamente proporcional ao produto G ⋅ J , 

conhecido como módulo de rigidez à torção do eixo. 

Substituindo θ na equação da tensão de cisalhamento, tem-se: 

T ⋅ r 

τ = 

J 

Logo, a tensão máxima de cisalhamento é: 

τ 

max 

T ⋅ R 

= 

J 

2 – Torção em Barras de Seção Circular Vazada 

Conforme visto anteriormente, a tensão de cisalhamento numa barra de seção 

circular é máxima na superfície e nula no centro. Conseqüentemente, grande parte do 

material trabalha com tensões bem inferiores à admissível. Se a redução de peso e a 

economia de material forem fatores importantes, é preferível usar eixos vazados. 

A análise da torção de barras de seção circular vazada assemelha-se à de barras de 

seção circular cheia. Assim, a tensão de cisalhamento em um ponto qualquer da seção 

transversal é: 

T ⋅ r 

τ = , com r1 ≤ r ≤ r2 

J 

4 4 ( d d ) 

onde: 

e i − ⋅ 

J 

= π 

32 

3 – Eixos Estaticamente Indeterminados 

r2 

r1 

Quando as equações da estática são insuficientes para a determinação dos esforços 

internos de torção, é preciso levar em conta as condições de deformação da estrutura. 

Exemplo: Um eixo AB bi-engastado de seção transversal circular tem 250 mm de 

comprimento e 20 mm de diâmetro. No trecho de 125 mm a partir da extremidade B, o eixo 

tem seção vazada com diâmetro interno de 16 mm. Pede-se determinar o momento torsor 

em cada apoio quando um torque de 120 Nm é aplicado no ponto médio de AB. 


r2 

r1 

τ 

30



________________________________________________________________________________________________ 

A barra é estaticamente indeterminada, porque existem dois momentos torsores 

desconhecidos, T A e T B , e apenas uma equação de equilíbrio: 

TA + TB 

= 120 

Devido aos engastes, o ângulo de torção φ total é nulo e, para equilibrar o momento 

torsor aplicado, os trechos AC e BC do eixo giram em sentidos opostos, tal que φ 1 = φ2 

. 

Tem-se, então: 

TA 

⋅ L 

G ⋅ J 

1 

1 

TB 

⋅ L 

= 

G ⋅ J 

2 

2 

4 4 ( 20 −16 

) 

π 

J 

⋅ 

T 2 

B = ⋅TA 

= 32 

⋅T 

4 A = 0, 

59 ⋅T 

J1 

π ⋅20 

32 

Logo: 

T 

T 

T 

A 

A 

B 

44, 

5 

A 

= 75, 

5 Nm 

= 

Nm 

A 

+ 0, 

59 ⋅T 

= 120 

125 mm 

C 

120 N.m 

125 mm 


A 

B 

31



________________________________________________________________________________________________ 

VI – TENSÕES EM VIGAS 

1 – Tensões Normais Devidas ao Momento Fletor 

Seja a viga biapoiada sujeita às cargas P. 

P P 

a 

a 

P L P 

Os diagramas de esforços solicitantes são: 

P 

Q = 0 

P.a 

- P 

DEC 

DMF 

Na parte central, a viga está sujeita apenas ao momento fletor, caracterizando a 

flexão pura. 

A ação do momento fletor faz com que a viga se curve, conforme mostra a figura. 

M 

S0 

ρ 

dθ 

dx 

y 

a b 

S0 

O 

S1 

dx x z 

S1 

M 


y 

32



________________________________________________________________________________________________ 

Nota-se que, sob a ação do momento fletor, as seções S0 e S1 giraram, uma em 

relação à outra, de tal forma que as fibras inferiores alongaram-se e as superiores 

encurtaram, indicando a existência de uma região tracionada e outra comprimida. 

Em algum ponto entre as regiões de tração e compressão, haverá uma superfície em 

que as fibras não sofrem variação de comprimento, denominada superfície neutra. Sua 

interseção com qualquer seção transversal da viga corresponde à linha neutra da seção. 

O centro de curvatura do eixo longitudinal da viga, após sua deformação, é 

representado na figura pelo ponto O. Chamando de d θ ao ângulo entre os planos S0 e S1, e 

ρ ao raio de curvatura, obtém-se: 

1 dθ 

k 

ρ dx 

= = 

onde k é a curvatura. 

O alongamento (variação do comprimento) da fibra ab, distante y da superfície 

neutra, é assim determinado: 

+ 

• Comprimento inicial da fibra ab: dx 

• Comprimento total da fibra ab: ( ρ y) ⋅ dθ 

ρ 

θ 

• Alongamento: ( + y) ⋅ d − dx = ( + y) 

⋅ − dx = ⋅ dx 

A deformação correspondente é: 

ε 

y 

x = = k ⋅ y 

ρ 

E as tensões normais são: 

σ = k ⋅ E ⋅ y 

x 

ρ 

Portanto, as tensões variam linearmente com a distância y da linha neutra. Na viga 

em estudo, há tensões de tração abaixo da linha neutra e de compressão acima da linha 

neutra, conforme mostra a figura abaixo. 

A força longitudinal em dA é: 

dF = σ x ⋅ dA = k ⋅ E ⋅ y ⋅ dA 

σ− 

σ+ 

Como não há força normal resultante atuando na seção, a integral de σ x ⋅ dA sobre 

a área da seção é nula: 


dx 

ρ 

Μ Μ 

y 

z 

dA 

y 

ρ 

y 

33



________________________________________________________________________________________________ 

F = ∫ x ⋅ dA = ∫ k ⋅ E ⋅ y ⋅ dA = 0 

σ 

A 

onde k e E são constantes. 

Logo: 

A 

∫ y ⋅ dA = 0 → momento estático nulo. 

A 

Assim, a linha neutra passa pelo centróide da seção transversal. 

O momento fletor da força em relação à linha neutra é: 

z = ∫ x ⋅ y ⋅ dA = ∫ 

A 

A 

σ 

M k ⋅ E ⋅ y ⋅ dA = k ⋅ E ⋅ I 

Daí: 

M 

k = z 

E ⋅ I z 

Substituindo, obtém-se: 

M 

σ x = 

I 

z 

z 

⋅ y 

Analogamente: 

M y 

σ x = − ⋅ z 

I y 

Exercício: Qual F max , se x 50 MPa ≤ σ ? 

2F/3 1,0 m 2,0 m F/3 

+2F/3 

F 

+2/3.10 3 F 

2 

- F/3 

DEC (N) 


z 

DMF (N.mm) 

85 25 85 

y 

z 

25 mm 

180 mm 

34



________________________________________________________________________________________________ 

y = 

∑ 

∑ 

yi 

⋅ A 

A 

i 

i 

3 

= 

12, 

5 

⋅ 4875 + 115 ⋅ 4500 

= 617, 

4875 + 4500 


3 

mm 

195 ⋅ 25 

2 25 ⋅180 

2 

Iz = + 4875 ⋅ 49, 

2 + + 4500 ⋅ 53, 

3 = 37, 

⋅10 

12 

12 

σ 

x 

2 

3 

3 7, 

M 

= 

I 

z 

z 

⋅ y ≤ 50 

3 

⋅ F ⋅ 10 

⋅ 143, 

3 ≤ 50 

7 

⋅ 10 

F ≤ 19. 

359 

N 

Fmax = 

19, 

4 kN 

7 

mm 

4 

35



________________________________________________________________________________________________ 

2 – Tensões Cisalhantes Devidas ao Esforço Cortante 

Consideremos uma viga com seção transversal retangular, de largura b e altura h , 

sujeita à carga distribuída q , conforme mostra a figura abaixo. 

h 

b 

m 

C 

q 

y 

V 

Sob a ação do carregamento distribuído, surgem esforços cortantes e momentos 

fletores nas seções transversais e, conseqüentemente, tensões normais e tensões 

cisalhantes. 

Cortando-se um elemento mn por meio de duas seções transversais adjacentes e de 

dois planos paralelos à superfície neutra, nota-se que, devido à presença do esforço 

cortante, haverá distribuição uniforme das tensões de cisalhamento verticais ao longo da 

largura mn do elemento. 

Uma vez que o elemento encontra-se em equilíbrio, conclui-se que as tensões de 

cisalhamento verticais são acompanhadas por tensões de cisalhamento horizontais de 

mesma intensidade (na face perpendicular). 

A existência de tensões de cisalhamento horizontais em vigas pode ser demonstrada 

experimentalmente. 

A figura mostra uma pilha de tábuas sobrepostas submetida à carga concentrada P 

no meio do vão. Verifica-se que, se não houver atrito entre as tábuas, a flexão de uma será 

diferente da outra: cada uma sofrerá compressão nas fibras longitudinais superiores e tração 

nas inferiores. 

Caso as tábuas fossem coladas, umas às outras, impedindo este escorregamento, 

surgiriam tensões tangenciais na cola, indicando que, em vigas com seção transversal 

inteira, submetida ao mesmo carregamento P, ocorrerão tensões de cisalhamento τ ao 

longo dos planos longitudinais com intensidade capaz de impedir o deslizamento ocorrido no 

caso anterior. 

P 

A determinação da tensão de cisalhamento horizontal pode ser calculada pela 

condição de equilíbrio de um elemento pnn1p1, cortado da viga por duas seções transversais 

adjacentes, mn e m1n1, à distância dx uma da outra. 


n 

x 

z 

m 

τ 

n 

36



________________________________________________________________________________________________ 

A face da base deste elemento é a superfície inferior da viga e está livre de tensões. 

Sua face superior é paralela à superfície neutra e afasta-se dela a uma distância y1. Nesta 

face, atua a tensão de cisalhamento horizontal τ que existe neste nível da viga. 

Sobre as faces mn e m1n1 atuam as tensões normais σ x produzidas pelos 

momentos fletores e as tensões de cisalhamento verticais (que não interferem na equação 

de equilíbrio horizontal do elemento na direção horizontal). 

Se os momentos fletores nas seções mn e m1n1 forem iguais (flexão pura), as 

tensões normais σ x nos lados np e m1p1 também serão iguais, o que colocará o elemento 

em equilíbrio e anulará a tensão de cisalhamento τ . 

No caso de momento fletor variável, a força normal que atua na área elementar dA 

da face esquerda do elemento será: 

M z ⋅ y 

dF = σ x ⋅ dA = ⋅ dA 

I z 

A soma de todas essas forças distribuídas sobre a face pn será: 

h 2 

Re = ∫σ 

x ⋅ dA = ∫ σ ⋅ ⋅ = ⋅ 

y x b dy b 

1 

A 

∫ 

h 2 M z 

⋅ y ⋅ dy 

y1 

I z 

De maneira análoga, a soma das forças normais que atuam na face direita, p1n1, é: 

h 2 ⎛ M 

⎞ 

∫ ⎜ z dM z 

R d = b ⋅ + ⋅ dx ⎟ ⋅ y ⋅ dy 

y1 

⎝ I z I z ⋅ dx ⎠ 

A diferença entre as forças à direita e à esquerda fornece: 

h 2 ⎛ dM ⎞ 

∫ ⎜ z 

dM 

⎟ 

z h 2 

R d − Re 

= b ⋅ 

⋅ dx ⋅ y ⋅ dy = ⋅ dx ⋅ ∫ ⋅ y ⋅ dA 

y1 

⎝ I ⋅ ⎠ 

⋅ y1 

z dx 

I z dx 

Sabendo-se que o elemento encontra-se em equilíbrio, haverá uma força de 

cisalhamento horizontal no plano pp1, de mesma intensidade e com sentido contrário a 

Rd − Re 

, que somada à primeira, anula a resultante de forças na direção x. 

A força de cisalhamento horizontal é dada por: 

τ ⋅ b ⋅ dx 

M 

m m1 

p p1 

n n1 

dx 

M+d 


h/2 

h/2 

b 

C 

y 

dA 

y 

y1 

z 

37



________________________________________________________________________________________________ 

Igualando a força de cisalhamento horizontal à diferença entre as forças á direita e à 

esquerda do elemento, chega-se a: 

dM h 2 

τ ⋅ b ⋅ dx = 

z 

⋅ dx ⋅ ∫ ⋅ y ⋅ dA 

I ⋅ y1 

z dx 

Q h 2 

τ ⋅ b = ⋅ ∫ ⋅ y ⋅ dA 

I y1 

z 

τ = 

Q ⋅ mz 

I z ⋅ b 

que é a expressão da tensão de cisalhamento. 

Na expressão anterior, tem-se que: 

m z é o momento estático da área da seção transversal abaixo (ou acima) do plano 

em que se deseja determinar τ ; 

b é a largura da seção transversal na altura do plano em que se deseja determinar 

τ ; 

I z é o momento de inércia em relação ao centróide da seção; 

Q é o esforço cortante na seção transversal em estudo. 

Exercício: Calcular as tensões cisalhantes no ponto P . 

Aplicando a expressão da tensão cisalhante, tem-se: 

τ = 

Q ⋅ 

Q ⋅ mz 

= 

I z ⋅ b 

( h − y) 

Desenvolvendo, chega-se a: 

τ = 

h/2 

h/2 

2 

2 2 ( h − 4 ⋅ y ) 

3 ⋅ Q ⋅ 

3 

2 ⋅ b ⋅ h 

b 

P 

y 

y 

⋅ 

y 

⎜ 

⎛ y + h − 

4 2 

⎟ 

⎞ 

⎝ 

⎠ 

3 

b ⋅ h 

12 

z 

que é a expressão geral da tensão de cisalhamento para seções transversais retangulares. 


38



________________________________________________________________________________________________ 

Quando: 

h 

y = − ⇒ τ = 0 

2 

3 ⋅ Q 

y = 0 ⇒ τ = = 1, 

5 ⋅ 

2 ⋅ b ⋅ h 

h 

y = ⇒ τ = 0 

2 

Q 

A 

A variação das tensões cisalhantes é parabólica: 

h 

4.3 – Tensões Normais e Cisalhantes em Seções I e T 

A otimização da escolha do formato da seção das vigas, objetivando minimizar o 

valor das tensões normais decorrentes do momento fletor, leva à utilização de seções “I” e 

“T”, com mesas (abas) largas e almas (nervuras) estreitas. 

Como conseqüência, surgem tensões tangenciais elevadas na alma, na altura da 

linha neutra, devido ao fato da largura b da alma aparecer no denominador da expressão da 

tensão cisalhante. 

Assim, nos pontos da viga onde a tensão normal é máxima (arestas superior e 

inferior), a tensão tangencial é nula, enquanto na linha neutra, onde a tensão normal é nula, 

a tensão tangencial atinge seu valor máximo. 

A descontinuidade do valor da tensão de cisalhamento na transição entre a mesa e a 

alma decorre da descontinuidade da largura b da seção nesses locais. 

h 

b 

b 

ta 

tm 


τmax 

τ σ 

39



________________________________________________________________________________________________ 

1 – Flexão e Carga Axial 

VII – FLEXÃO COMPOSTA 

Os elementos de uma estrutura estão, algumas vezes, sujeitos à ação simultânea de 

cargas de flexão e axiais. 

A figura mostra um exemplo desta situação. 

As tensões resultantes em qualquer seção transversal da viga são obtidas pela 

superposição das tensões axiais devidas a N e M e podem ser calculadas pela equação: 

σ 

x 

= 

N 

A 

M 

+ 

I 

z 

z 

M 

⋅ y − 

I 

y 

y 

⋅ z 

O diagrama final de tensões é: 

O princípio da superposição dos efeitos poderá ser aplicado, desde que se garanta 

a linearidade da distribuição das deformações longitudinais e das tensões normais em todos 

os pontos da seção transversal do elemento. 

Quando o momento fletor for conseqüência de uma excentricidade e da carga N em 

relação ao centróide da seção, podemos escrever: 

M = N ⋅ e 

N 

M 

LN LN 

A figura ilustra a situação. 

σx (N) 

y 

e 

= 

N 

M = N.e 


y 

M 

N 

N 

σx (M) 

y 

z 

x 

40



________________________________________________________________________________________________ 

Exercício: Calcular as tensões normais máximas no pilar de seção transversal quadrada 

submetido à força normal excêntrica, sabendo que N=4000 kN. Adotar: e = 20 cm ; 

e = 13, 

3 cm ; e = 10 cm . 

Os esforços solicitantes são: 

6 

N = −4 

⋅ 10 N 

6 

M z = −4 

⋅10 

⋅e 

Nmm 

As características geométricas da seção são: 

5 2 

A = 800 ⋅ 800 = 6, 

4 ⋅ 10 mm 

3 

800 ⋅ 800 

10 4 

I z = = 3, 

4 ⋅ 10 mm 

12 

As máximas tensões normais, para e = 200 mm , são: 

σ 

σ 

x 

= 

x = 

6 

− 4, 

0 ⋅10 

5 

6, 

4 ⋅10 

6 

− 4, 

0 ⋅ 10 

5 

6, 

4 ⋅10 

+ 

+ 

O diagrama de tensões é: 

6 ( − 4, 

0 ⋅10 

⋅ 200) 

⋅ 400 

= −15, 

6MPa 

10 

3, 

4 ⋅10 

6 ( − 4, 

0 ⋅ 10 ⋅ 200) 

⋅ ( − 400) 

3, 

4 

10 

⋅ 10 

= 3, 

1MPa 

As máximas tensões normais, para e = 133 mm , são: 

σ 

x = 

3,1 MPa 

6 

− 4, 

0 ⋅10 

5 

6, 

4 ⋅10 

+ 

x 

e 

N 

6 ( − 4, 

0 ⋅10 

⋅133) 

⋅ 400 

= −12, 

5MPa 

10 

3, 

4 ⋅10 

-15,6 MPa 

80 y 

80 cm 


z 

y 

z 

41



________________________________________________________________________________________________ 

σ 

x = 

6 

− 4, 

0 ⋅10 

5 

6, 

4 ⋅10 

+ 


6 ( − 4, 

0 ⋅10 

⋅133) 

⋅( 

− 400) 

= 0 

10 

3, 

4 ⋅10 

As máximas tensões normais, para e = 100 mm, 

são: 

σ 

σ 

x = 

x = 

6 

− 4, 

0 ⋅10 

5 

6, 

4 ⋅10 

6 

− 4, 

0 ⋅10 

5 

6, 

4 ⋅10 

+ 

+ 


-1,6 MPa 

6 ( − 4, 

0 ⋅10 

⋅100) 

⋅400 

= −10, 

9 MPa 

10 

3, 

4 ⋅10 

6 ( − 4, 

0 ⋅10 

⋅100) 

⋅( 

− 400) 

10 

3, 

4 ⋅10 

−1, 

6 

MPa 

Haverá casos em que será importante garantir que, em um pilar comprimido pela 

ação de forças normais excêntricas, não haja inversão do sinal de tensão (como no caso do 

concreto, que é praticamente incapaz de suportar tensões de tração). Nesses casos, será 

necessário limitar uma região da seção, chamada núcleo central, onde as forças de 

compressão nela aplicadas produzirão apenas compressão sobre todas as seções 

transversais. 

O exemplo mostra um pilar de seção retangular submetido à carga concentrada F 

com excentricidade e em relação ao eixo z. 

x 

z 

F 

e 

-12,5 MPa 


= 

-10,9 MPa 

y 

42



________________________________________________________________________________________________ 

Os esforços solicitantes são: 

N = −F 

M z = −F 

⋅ e 

Para que ocorram apenas tensões normais de compressão: 

( − F ⋅e) 

− F ⋅ y 

σ x = + ≤ 0 

b ⋅ h ⎛ 3 

b h ⎞ 

⎜ ⋅ 

12⎟ 

⎝ ⎠ 

( ) ( h 

− F − F ⋅ e ⋅ − ) 

+ 

2 ≤ 0 

b ⋅ h ⎛ 3 

b h ⎞ 

⎜ ⋅ 

12⎟ 

⎝ ⎠ 

h 

e ≤ 

6 

h 

emax = 

6 

Analogamente, se a força F estivesse aplicada com excentricidade e em relação ao 

eixo y, o máximo valor de e seria b . 

6 

A figura mostra o núcleo central da seção. 

No caso de um pilar com seção circular, de diâmetro d, o núcleo central tem área 

também circular de raio igual à máxima excentricidade admissível, tal que: 

− F 

⎛ 2 

d ⎞ 

⎜π 

⋅ 

4 ⎟ 

⎝ ⎠ 

d 

e ≤ 

8 

d 

emax = 

8 

+ 

h/6 

( − F ⋅ e) 

⋅ ( − d ) 2 ≤ 0 

⎛ 4 

d ⎞ 

⎜π 

⋅ 

64⎟ 

⎝ ⎠ 

y 

b/6 


z 

43



________________________________________________________________________________________________ 

2 – Flexão e Torção 

d/4 

d 

x 

e 

F 

Tal como vimos anteriormente, os elementos de uma estrutura podem também estar 

solicitados simultaneamente por cargas de flexão e de torção. Sob tais condições, a 

determinação das tensões em um ponto qualquer da seção transversal será feita utilizando 

o princípio da superposição dos efeitos, somando-se algebricamente as tensões devidas 

a cada um dos esforços, isoladamente. 


z 

y 

44



________________________________________________________________________________________________ 

1 – Tensões em Planos Inclinados 

VIII – ANÁLISE DE TENSÕES 

Quando uma barra prismática está sujeita à tração simples, as tensões numa seção 

transversal mn, normal ao seu eixo, são uniformemente distribuídas e iguais a P . 

A 

Consideremos as tensões no plano pq que corta a barra formando um ângulo θ com 

a seção transversal mn. As forças que representam a ação do lado direito sobre o lado 

esquerdo da barra são uniformemente distribuídas sobre a seção inclinada pq, conforme 

mostra a figura abaixo. 

Uma vez que a parte esquerda está em equilíbrio sob a ação dessas forças e da 

carga externa P, conclui-se que a resultante das forças distribuídas sobre a seção inclinada 

é igual a P. 

Decompondo-se a resultante R em duas componentes N e V, que são normal e 

tangente, respectivamente, ao plano inclinado, obtém-se: 

são: 

N = P ⋅ cosθ 

V = P ⋅ senθ 

Como a área A ´ da seção inclinada é 

σ θ 

τ θ 

P 

P 

P 

A , as tensões correspondentes a N e V 

cosθ 

N P 2 

2 

= = ⋅ cos θ = σ x ⋅ cos θ 

(1a) 

A´ 

A 

V P 

= = ⋅ senθ 

⋅ cosθ 

= σ x ⋅ senθ 

⋅ cosθ 

(1b) 

A´ 

A 

onde σ P 

x = é a tensão normal à seção transversal da barra. 

A 

p 

n 

m 

θ 

q 

σθ 

τ 

Nas equações anteriores, σ θ e τ θ são, respectivamente, as tensões normal e de 

cisalhamento no plano pq, cuja orientação é definida pelo ângulo θ. 


V 

θ 

N 

R 

P 

θ 

45



________________________________________________________________________________________________ 

A Eq. (1a) mostra como a tensão normal σ θ varia em função do ângulo θ. Quando 

θ = 0 , o plano pq coincide com mn, acarretando σθ = σ x . Se o ângulo θ aumentar, a 

tensão σ θ diminuirá até que, em 

π 

2 

θ = , anula-se. Assim, σ max = σ x . 

A Eq. (1b) mostra que a tensão de cisalhamento τ é nula quando θ = 0 e 

atingindo o valor máximo quando 

Convenção de sinais: 

θ = π . Este máximo é 

4 

x 

max σ 

τ = . 

2 


46 

θ = π , 

2 

a) Tensões normais positivas σ θ são aquelas que agem afastando-se da superfície do 

material, independentemente da orientação desta; 

b) Tensões de cisalhamento τ θ são positivas quando agem no sentido horário em 

relação à superfície do material. 

Uma representação conveniente das tensões num ponto da barra é feita pelo 

isolamento de uma parte elementar do material, com as tensões indicadas em todos os 

lados do elemento. 

A figura 2 mostra dois elementos A e B cortados de uma barra tracionada. 

O elemento A está orientado de modo que θ = 0 e, assim, a única tensão que age 

sobre ele é σ P 

x = . 

A 

O segundo elemento sofreu um giro definido por θ e, portanto, as tensões no lado bd 

são σ θ e τ θ . A normal do lado ab do elemento é orientada pelo ângulo θ + π em relação 

2 

ao eixo x, sendo possível determinar as tensões nesse plano substituindo θ por θ + π na 

2 

Eq. (1), chegando-se a: 

σ θ 

2 

( π 

2 

θ + ) = σ sen θ 

´ = σ x ⋅ cos 

2 x ⋅ 

(2a) 

τ θ 

P 

σx 

y 

x 

A B P 

σ´θ 

A σx τθ B 

σθ 

τ´θ 

( θ + π ) ⋅ cos( 

θ + π ) = −σ 

⋅ senθ 

⋅ cosθ 

a 

c 

´ = σ x ⋅ sen 

2 2 x 

(2b) 

b 

d 

σ´θ 

τ´θ 

σθ 

τθ 

θ



________________________________________________________________________________________________ 

Como σ x é positivo, vê-se na figura que a tensão normal σ´ θ é também positiva. A 

tensão de cisalhamento τ´ θ .no lado ab do elemento é negativa, indicando que age em 

sentido anti-horário em relação à superfície do elemento. 

Comparando-se as Eq. (1) e (2), tem-se: 

σθ + σ´ 

θ = σ x 

(3a) 

τ − 

´ θ = τθ 

(3b) 

Conclusão: A Eq. (3a) mostra que, para uma barra tracionada, a soma das tensões normais 

em dois planos perpendiculares é constante e igual a σ x . A Eq. (3b) mostra que as tensões 

de cisalhamento, em planos ortogonais, são iguais em valor absoluto, porém têm sinais 

opostos. 

Para calcular as tensões nos outros dois lados do elemento, basta substituir θ por 

θ + π (lado ac) ou θ + 3π (lado cd). Vê-se, assim, que as tensões normal e de 

2 

cisalhamento, no lado ac, são as mesmas que atuam no lado bd e que as tensões, no lado 

cd, são idênticas às do lado ab. 

2 – Tensões Biaxiais 

Consideremos um estado de tensões mais geral, em que as tensões normais em um 

elemento agem nas direções x e y, mostrada na figura abaixo. Tal situação é conhecida 

como tensões biaxiais, para distinguí-la da tensão em uma direção, ou uniaxial, 

considerada anteriormente. 

Para determinar as tensões σ θ e τ θ , consideremos o equilíbrio do triângulo 

elementar. Chamando de A a área da face sobre a qual atua a tensão σ x , a área da face y 

(sobre a qual atua a tensão σ y ) será A ⋅ tgθ 

e a área da face inclinada será A ⋅ secθ 

. 

As forças nas faces x e y serão, respectivamente, σ x ⋅ A e σ y ⋅ A ⋅ tgθ 

. Cada uma 

dessas forças pode ser decomposta em duas componentes ortogonais, uma agindo na 

direção da normal ao plano inclinado e a outra em direção paralela ao plano. 

Assim, somando-se as forças nessas direções, obtêm-se duas equações para o 

equilíbrio do triângulo elementar, que são: 

σ θ 

τ θ 

σx 

p 

σy 

y 

x 

σy 

q 

θ 

σx 

σx 

⋅ ⋅ secθ 

= σ ⋅ A ⋅ cosθ 

+ σ ⋅ A ⋅ tgθ 

⋅ senθ 

(4a) 

A x 

y 

⋅ ⋅ secθ 

= σ ⋅ A ⋅ senθ 

− σ ⋅ A ⋅ tgθ 

⋅ cosθ 

(4b) 

A x 

y 

σy 

σθ 

τθ 


θ 

τ´θ 

τθ 

σθ 

σ´θ 

σθ 

σ´θ 

τθ 

τ´θ 

θ 

47



________________________________________________________________________________________________ 

Desenvolvendo as expressões anteriores, chega-se a: 

σ θ 

2 

2 

= σ ⋅ cos θ + σ ⋅ sen θ 

(5a) 

x 

( σ −σ 

) ⋅ senθ 

⋅ cosθ 

y 

τθ = x y 

(5b) 

As Eq. (5) dão os valores algébricos das tensões normal e de cisalhamento, em 

qualquer plano inclinado, em função das tensões normais σ x e σ y que agem nas direções x 

e y, respectivamente. 

Usando as relações trigonométricas abaixo: 

sen2θ 

senθ 

⋅ cosθ 

= 

2 

cos 2 

sen 2 

1 + cos 2θ 

θ = 

2 

1 − cos 2θ 

θ = 

2 

Pode-se reescrever as equações anteriores de outra forma: 

σ θ 

τ θ 

( σ + σ ) ( σ − σ ) 

x 

y 

x 

y 

= + ⋅ cos 2θ 

(6a) 

2 2 

( σ −σ 

) 

x 

y 

= ⋅ sen2θ 

(6b) 

2 

Substituindo θ por ( π ) 

θ + nas Eq. (6), são obtidas as expressões das tensões 

2 

σ´ θ e τ´ θ que atuam no plano ortogonal ao plano inclinado: 

σ´ θ 

τ´ θ 

( σ + σ ) ( σ −σ 

) 

x 

y 

x 

y 

= − ⋅ cos 2θ 

(7a) 

2 2 

( σ −σ 

) 

x 

y 

= − ⋅ sen2θ 

(7b) 

2 

Somando as Eq. (6a) e (7a), chega-se a: 

σθ + σ´ 

θ = σ x + σ y 

(8) 

Conclusão: A soma das tensões normais, em dois planos quaisquer perpendiculares entre 

si, é constante. 

Comparando-se as Eq. (6b) e (7b), nota-se, outra vez, que as tensões de 

cisalhamento em planos perpendiculares, são iguais em intensidade, porém têm sentidos 

opostos. 


48



________________________________________________________________________________________________ 

3 – Tensões Planas 

As tensões uniaxiais e biaxiais são casos particulares da condição mais geral 

conhecida como tensões planas. Um elemento com tensões planas pode ter tensões 

normais e de cisalhamento nas faces x e y, conforme mostra a figura abaixo. 

A tensão de cisalhamento na face x será indicada por τ xy , o primeiro índice 

indicando a face em que ele atua e o segundo, a direção da tensão. 

Considerando o triângulo elementar da figura, podemos determinar as tensões 

normal σ θ e de cisalhamento τ θ nele atuantes a partir do equilíbrio de forças nas direções 

dessas tensões, chegando-se a: 

σ θ 

2 

2 

cos y 

xy 

= σ ⋅ θ + σ ⋅ sen θ + 2 ⋅τ 

⋅ senθ 

⋅ cosθ 

(9a) 

x 

2 2 

( σ −σ 

) ⋅ senθ ⋅ cosθ 

+ τ ⋅ ( sen θ − cos θ ) 

τθ = x y 

xy 

(9b) 

Usando as relações trigonométricas apropriadas, tem-se: 

σ θ 

τ θ 

( σ + σ ) ( σ − σ ) 

x 

y 

x 

y 

= + ⋅ cos 2θ 

+ τ xy ⋅ sen2θ 

(10a) 

2 2 

( σ − σ ) 

x 

y 

= ⋅ sen2θ 

−τ 

xy ⋅ cos 2θ 

(10b) 

2 

Estas equações dão as tensões normal e de cisalhamento, em função das tensões 

σ x , σ y e τ xy , num plano qualquer. 

As tensões σ´ θ e τ´ θ num plano que faz um ângulo 

determinadas substituindo-se θ por 

θ + π , o que dá: 

2 


49 

θ + π com o eixo x podem ser 

2 

σθ + σ´ 

θ = σ x + σ y 

(11a) 

´ θ = τθ 

(11b) 

τ − 

σx 

Convenção de sinais: 

τxy 

τyx 

σy 

y 

σy 

τyx 

τxy 

x 

σx 

σx 

τxy 

τyx 

σy 

a) Todas as tensões normais de tração são positivas; 

b) A tensão de cisalhamento τ xy é positiva quando age no sentido positivo do eixo y; 

c) A tensão de cisalhamento τ θ é positiva quando atua no sentido horário. 

σθ 

τθ 

θ



________________________________________________________________________________________________ 

4 – Círculo de Mohr para Tensões Planas 

As expressões (10) são equações paramétricas de uma circunferência. 

Se adotarmos um sistema de eixos coordenados e marcarmos os pontos M 

( σ θ , τ θ ), para qualquer valor do parâmetro θ , vamos sempre obter um ponto que se 

encontra em uma circunferência. 

Para demonstrar essa propriedade, transpomos para o 1º membro da Eq. (10a) o 

( σ x + σ y ) 

termo , elevando ao quadrado os dois membros da equação. Em seguida, 

2 

quadramos os dois membros da Eq. (10b), somando membro a membro as duas 

expressões, tal que: 

onde: 

2 

2 

( σ x σ y ) ⎤ 2 ⎡( σ x − σ y ) ⎤ 2 

⎡ + 

⎢σθ 

− ⎥ + τθ 

= ⎢ ⎥ + τ xy 

(12) 

⎣ 2 ⎦ ⎣ 2 ⎦ 

⎧ 

⎪ ( σ x + σ y ) 

⎪σ 

med = 

⎪ 

2 

⎨ 

⎪ 

2 

⎪ ⎛σ x − σ y ⎞ 

⎪ = ⎜ ⎟ 2 

R 

⎜ ⎟ 

+ τ xy 

⎪⎩ 

⎝ 2 ⎠ 

Substituindo (12) em (11): 

2 2 2 

( σ ) + τ = R 

σ θ − med θ 

(14) 

que é a equação de uma circunferência de raio R com centro C de abscissa σ med e 

ordenada zero. 

Circunferência: 

τ 

COMPRESSÃO 

τmax 

σmin=σII 

B 

σmed 

σθ 


C 

D 

E 

σmax=σI 

R 

M 

τθ 

A 

TRAÇÃO 

σ 

(13) 

50



________________________________________________________________________________________________ 

Os pontos A e B em que a circunferência intercepta o eixo horizontal têm interesse 

especial: 

• Ponto A: corresponde a σ máx = σ I 

• Ponto B: corresponde a σ min = σ II 

Estes pontos correspondem a um valor nulo de tensão de cisalhamento τ θ . Desse 

modo, o valor do ângulo θ p correspondente aos pontos A e B pode ser obtido da Eq. (10b), 

fazendo τ θ = 0 . 

tg2θ 

2 ⋅τ 

xy 

p = (15) 

σ x − σ y 

As faces do cubo elementar obtido dessa maneira definem os planos chamados 

planos principais. As tensões normais que agem nesses planos são chamadas tensões 

principais. 

Nos planos principais : τ θ = 0 . 

σ 

σ 

max 

min 

= σ 

= σ 

med 

med 

+ R 

− R 

As tensões principais são: 

2 

σ x + σ y ⎛σ x − σ y ⎞ 2 

max, min = σ I , II = ± ⎜ ⎟ τ xy 

(16) 

2 ⎜ 2 ⎟ 

⎝ ⎠ 

σ + 

6 – Tensão de Cisalhamento Máxima 

σ 

Do círculo, vemos que τ é máximo nos pontos D e E, cuja abscissa é 

σ x + σ y 

med = . 

2 

Fazendo σθ = σ med na Eq. (10a), obtemos: 

tg2θ 

σx 

τxy 

τyx 

( σ − σ ) 

σy 

σy 

τyx 

τxy 

σx 

σI 

x y 

c = − 

(17) 

2 ⋅τ 

xy 


σII 

θ 

τθ=0 

51



________________________________________________________________________________________________ 

O máximo valor da tensão cisalhante é igual ao raio da circunferência: 

2 

⎛σ x − σ y ⎞ 2 

max = ⎜ ⎟ 

⎜ 

τ xy 

(18) 

2 ⎟ 

⎝ ⎠ 

τ + 

E a tensão normal no plano de tensão máxima de cisalhamento é: 

σ x + σ y 

σθ = σ med = 

(19) 

2 

Comparando-se as Eq. (15) e (17), vemos que: 

1 

tg2θ 

p = − 

tg2θ 

c 

Isto significa que: 

2 θ − 2θ 

= 90 ⇒θ 

−θ 

= 45 

c 

p 

o 

c 

p 

o 

Conclusão: Os planos de máximas tensões cisalhantes formam ângulos de 45º com os 

planos principais. 

σx 

τxy 

τyx 

σy 

τyx 

Roteiro para o traçado do Círculo de Mohr: 

σy 

τxy 

σx 

σI 

θc 

a) Escolhemos um sistema de eixos cartesianos com abscissa σ e ordenada τ ; 

b) Marcamos os pontos X ( σ x ; − τ xy ) e Y ( y xy ) ;τ σ ; 

c) Unindo os pontos X e Y por uma linha reta, definimos o ponto C, que é a interseção 

da linha XY com o eixo σ ; 

d) Traçamos um círculo de centro C e diâmetro XY. 


σII 

σmed 

θp 

τmax 

τmax 

σmed 

52



________________________________________________________________________________________________ 

τ 

τmax 

σII 

B 

Y(σy; τxy) 

σmed 

R 


σI 

C 

2θp 

X(σx; -τxy) 

A 

σ 

53



________________________________________________________________________________________________ 

1 – Método da Dupla Integração 

IX – DEFORMAÇÕES EM VIGAS 

As cargas transversais que atuam nas vigas causam deformações, curvando seu 

eixo longitudinal que passa a tomar o formato da chamada linha elástica. 

Consideremos a viga simplesmente apoiada AB mostrada na figura abaixo. Antes da 

aplicação da carga P, o eixo longitudinal da viga é reto, tornando-se curvo após a flexão. 

Supondo-se que xy seja um plano de simetria e que todas as cargas estejam nesse 

plano, a curva ABC, denominada linha elástica, situa-se também nesse plano. 

m1 

A 

y 

Para deduzir a equação diferencial da linha elástica, utiliza-se a relação entre a 

curvatura k e o momento fletor M. 

A convenção de sinais para a curvatura da viga fletida relaciona-se com o sentido 

dado aos eixos coordenados. Supondo-se que o eixo x é positivo para a direita e que o eixo 

y é positivo para baixo, admite-se que a curvatura da viga é positiva quando sua 

concavidade estiver voltada para baixo. Assim, a viga representada na figura anterior tem 

curvatura negativa. 

Sabendo-se que momento fletor positivo produz compressão na fibra superior e 

tração na fibra inferior, conclui-se que M positivo produz curvatura negativa na superfície 

neutra da viga. Então: 

1 M( 

x ) 

k = = − 

ρ EI 

y 

m1 

θ 

ρ 

x dx 

d 

d 

m2 

O 

m2 

d 

P 

C 


θ - 

B 

(a) 

(b) 

x 

(1) 

54



________________________________________________________________________________________________ 

onde : 

M(x) é o momento fletor numa seção transversal distante x da extremidade esquerda 

da viga; 

E é o módulo de elasticidade longitudinal do material; 

I é o momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo que passa pelo 

centróide da seção; 

ρ é o raio de curvatura. 

A expressão anterior é válida somente para materiais no regime elástico e E ⋅ I é 

chamado de produto de rigidez. 

Para estabelecer a relação entre a curvatura k e a equação da elástica, consideramse 

dois pontos, m1 e m2, distantes ds um do outro, conforme mostra a figura. Em cada um 

desses pontos, traça-se uma normal à tangente da curva que irão se encontrar no centro de 

curvatura O. 

Admitindo-se que a tangente à linha elástica no ponto m1 faça um ângulo θ com o 

eixo x, então no ponto m2 o ângulo correspondente será θ − dθ 

, onde d θ é o ângulo entre 

as normais Om1 e Om2. 

A figura mostra que ds = ρ ⋅dθ 

e que 1 = dθ 

. Então, a curvatura k é igual à 

ρ ds 

taxa de variação do ângulo θ em relação à distância s, medida ao longo da linha elástica: 

1 dθ 

k 

ρ ds 

= = (2) 

Na maioria das aplicações práticas ocorrem apenas pequenas deflexões nas vigas. 

Assim, tanto o ângulo θ quanto a inclinação da curva são valores muito pequenos, 

podendo-se admitir: 

ds ≈ dx 

(3) 

dy 

θ ≈ tg θ = 

dx 

(4) 

onde y é a deflexão da viga a partir de sua posição inicial. 

Substituindo na equação da elástica, chega-se a: 

2 

d y M 

k = = − 

(5) 

2 

dx E ⋅ I 

que é a equação diferencial de 2 a ordem que rege o comportamento da linha elástica de 

uma viga. Essa equação deve ser integrada em cada caso particular para se ter a deflexão 

y. 

1.1 – Vigas Simplesmente Apoiadas 

Seja a viga bi-apoiada com comprimento L, seção com momento de inércia I e 

material com módulo de elasticidade E, submetida a um carregamento uniformemente 

distribuído q. 

q 

A x 

L 


B 

55



________________________________________________________________________________________________ 

Os diagramas de esforços solicitantes, rotações e deflexões são: 

O momento fletor na seção distante x do apoio A é: 

2 

q ⋅ L ⋅ x q ⋅ x 

M = − 

(6) 

2 2 

A equação da linha elástica é: 

2 

2 

d y q ⋅ L ⋅ x q ⋅ x 

E ⋅ I ⋅ = − + 

(7) 

2 

dx 2 2 

Integrando, obtém-se: 

2 3 

dy q ⋅ L⋅ 

x q ⋅ x 

⋅ I ⋅ = − + C1 

(8) 

E + 

dx 4 6 

onde C 1 é uma constante de integração. 

Pela simetria, a inclinação da curva elástica no meio do vão é nula. Tem-se, então, a 

condição: 

dy 

θ = = 0 , quando 

dx 

x = L . 

2 

Entrando com esta condição na Eq. (8), chega-se a: 

C 

1 

3 

Q 

M 

θ 

y 

θ0 

ymax 

q ⋅ L 

= (9) 

24 

Substituindo C 1 na Eq. (8), obtém-se: 

2 3 3 

dy q ⋅ L ⋅ x q ⋅ x q ⋅ L 

E ⋅ I ⋅ = − + + 

(10) 

dx 4 6 24 


56



________________________________________________________________________________________________ 

Integrando novamente, chega-se a: 

3 4 3 

q ⋅ L ⋅ x q ⋅ x q ⋅ L ⋅ x 

E ⋅ I ⋅ y = − + + + C2 

(11) 

12 24 24 

Sabendo que y = 0 quando x = 0 , tem-se: 

C2 = 0 

(12) 

Logo, a expressão da deflexão em qualquer seção da viga é: 

3 2 3 

( L − 2 ⋅ L ⋅ x x ) 

q ⋅ x 

y = ⋅ 

+ 

(13) 

24 ⋅ E ⋅ I 

A flecha máxima ocorre no meio do vão e é igual a: 

y 

max 

4 

5⋅ 

q ⋅ L 

= (14) 

384 ⋅ E ⋅ I 

A rotação máxima ocorre nas extremidades da viga e é igual a: 

3 

dy q ⋅ L 

θ A = = 

(15) 

dx 24 ⋅ E ⋅ I 

Consideremos a viga simplesmente apoiada com carga concentrada P, cuja posição 

é definida pelas distâncias a e b das extremidades. 

P 

a b 

Pb/L Pa/L 

Q 

M 

θ 

y 

θΑ θB 

ymax 

Existem duas expressões para o momento fletor: uma para a parte à esquerda da 

carga e outra para a parte à direita. 

Assim, pode-se escrever a equação diferencial de 2 a ordem da linha elástica para 

cada parte da viga, tal que: 


57



________________________________________________________________________________________________ 

2 

d y P ⋅b 

⋅ x 

para 0 ≤ x ≤ a → E ⋅ I ⋅ = − 

2 

dx L 

(16) 

2 

d y P ⋅ b ⋅ x 

para a ≤ x ≤ L → E ⋅ I ⋅ = − + P ⋅( 

x − a ) 

2 

dx L 

(17) 

Integrando duas vezes as duas expressões, os resultados incluirão quatro 

constantes arbitrárias que serão determinadas a partir das condições de contorno: 

a) em x = a , as inclinações das duas partes da viga são iguais; 

b) em x = a , as flechas das duas partes são iguais; 

c) em x = 0 , a flecha é nula; 

d) em x = L , a flecha é nula. 

As expressões da linha elástica para as partes da viga à esquerda e à direita da 

carga P são: 

para 0 ≤ x ≤ a : 

2 2 2 

( L − b x ) 

P ⋅ b ⋅ x 

E ⋅ I ⋅ y = ⋅ − 

(18) 

6 ⋅ L 

para a ≤ x ≤ L : 

2 2 2 P ⋅ 

( ) ( x − a) 

L − b − x + 

P ⋅ b ⋅ x 

E ⋅ I ⋅ y = ⋅ 

(19) 

6 ⋅ L 

6 

As rotações das duas partes da viga são: 

para 0 ≤ x ≤ a : 

2 2 2 

( L − b 3x 

) 

dy P ⋅ b 

E ⋅ I ⋅ = ⋅ − 

(20) 

dx 6 ⋅ L 

para a ≤ x ≤ L : 

2 2 2 P ⋅ 

( ) ( x − a) 

L − b − 3x 

+ 

dy P ⋅ b 

E ⋅ I ⋅ = ⋅ 

(21) 

dx 6 ⋅ L 

2 

As rotações nas extremidades da viga são: 

2 P ⋅ a ⋅ b ⋅ 

( ) ( L + b) 

L − b = 

P ⋅ b 

2 

θ A = ⋅ 

(22) 

6 ⋅ L ⋅ E ⋅ I 

6 ⋅ L ⋅ E ⋅ I 

( L + a) 

P ⋅ a ⋅ b ⋅ 

θ B = 

(23) 

6 ⋅ L ⋅ E ⋅ I 

A flecha máxima é: 


3 

2 

58



________________________________________________________________________________________________ 

2 2 3 ( L − b ) 

3 ⋅ L ⋅ E ⋅ I 

2 

P ⋅b 

⋅ 

ymax 

= (24) 

9 ⋅ 

A simetria de uma viga biapoiada com carga concentrada no meio do vão permite 

evitar que se enfrente a dificuldade de se ter duas equações para M(x). Assim, pode-se 

escrever a equação diferencial de 2 a ordem da linha elástica para cada parte da viga, tal 

que: 

2 

d y P⋅ 

x 

E ⋅ I ⋅ = − 

(25) 

2 

dx 2 

Integrando, obtém-se: 

2 

dy P ⋅ x 

⋅ I ⋅ = − C1 

(26) 

E + 

dx 4 

Levando-se em conta que em 

C 

1 

2 

x = L , a rotação é nula: 

2 

P⋅ 

L 

= (27) 

16 

Integrando novamente a expressão, obtém-se: 

3 2 

P ⋅ x P ⋅ L ⋅ x 

⋅ I ⋅ y = − + C2 

(28) 

E + 

12 16 

Como a flecha é nula em x = 0 , a constante C 2 é nula. 

As equações que definem a rotação e a flecha numa seção distante x da 

extremidade da viga são: 

2 2 

P ⋅ x P ⋅ L 

θ = − + 

(29) 

4 ⋅ E ⋅ I 16 ⋅ E ⋅ I 

3 

2 

P ⋅ x P ⋅ L ⋅ x 

y = − + 

(30) 

12 ⋅ E ⋅ I 16 ⋅ E ⋅ I 

A rotação no apoio é: 

⋅ L 

θ = 

(31) 

16 ⋅ E ⋅ I 

P 2 

A flecha máxima no meio do vão é: 

y 

max 

3 

P ⋅ L 

= (32) 

48 ⋅ E ⋅ I 


59



________________________________________________________________________________________________ 

1.2 – Vigas em balanço 

A figura mostra uma viga em balanço com carregamento uniforme de intensidade q. 

x 

q 

A equação diferencial de 2 a ordem da linha elástica é: 

( L − x) 

2 

2 

d y q ⋅ 

E ⋅ I ⋅ = 

(33) 

2 

dx 2 

A primeira integração desta equação fornece: 

( L − x) 

3 

dy q ⋅ 

⋅ I ⋅ = − 

C1 

(34) 

E + 

dx 6 

No apoio A (engaste), a rotação da viga é nula, então: 

C 

1 

3 

q ⋅ L 

= (35) 

6 

A expressão da rotação em uma seção distante x do apoio é: 

2 

2 

( 3 ⋅ L − 3 ⋅ L ⋅ x + x ) 

q ⋅ x 

θ = ⋅ 

(36) 

6 ⋅ E ⋅ I 

Integrando novamente a expressão anterior, obtém-se: 

2 

2 

( 6 ⋅ L − 4 ⋅ L ⋅ x + x ) C2 

2 

q ⋅ x 

= ⋅ 

(37) 

y + 

24 ⋅ E ⋅ I 

Q 

M 

θ 

Como a flecha no apoio é nula, então C2 = 0 . Logo: 

2 

2 

( 6 ⋅ L − 4 ⋅ L ⋅ x x ) 

2 

q ⋅ x 

= ⋅ 

(38) 

y + 

24 ⋅ E ⋅ I 

y 

L 


θL 

yL 

θL 

60



________________________________________________________________________________________________ 

O ângulo de rotação e a flecha na extremidade livre da viga são: 

3 

q ⋅ L 

θ = 

(39) 

6 ⋅ E ⋅ I 

4 

q ⋅ L 

y = (40) 

8 ⋅ E ⋅ I 

2 – Método da Superposição 

A linearidade da relação entre esforços e deformações nas estruturas que trabalham 

na fase elástica permite aplicar o princípio da superposição dos efeitos, computando-se o 

valor global da deformação para um carregamento complexo como sendo o resultado da 

soma algébrica das deformações causadas pelas cargas, como se tivessem sido aplicadas 

isoladamente. 

NOTA: o método da superposição é especialmente útil quando o carregamento puder ser 

subdividido em condições de carregamento parciais, dos quais já se conhecem as 

deflexões. 

A tabela mostra as equações da elástica, as rotações e as deflexões em vigas 

isostáticas com diferentes carregamentos e condições de contorno. 


61



________________________________________________________________________________________________ 

1 – Introdução 

X – FLAMBAGEM 

No dimensionamento dos elementos estruturais submetidos a esforços normais, 

vínhamos impondo duas condições: 

N 

a) Resistência da estrutura: σ x = ≤ σadm 

A 

N ⋅ L 

b) Controle de deformação: ∆L = ≤ ∆Ladm 

E ⋅ A 

A partir de agora, vamos impor também a condição de estabilidade, que é a 

capacidade para suportar uma dada carga sem sofrer uma mudança brusca em sua 

configuração. 

2 – Estabilidade x Instabilidade 

(a) (b) (c) 

Tipos de Equilíbrio: (a) estável; (b) indiferente; (c) instável 

Consideremos o modelo simplificado que consiste em duas barras rígidas, AC e BC, 

ligadas em C por um pino e uma mola de constante k. 

Se as duas barras e as duas forças P e P´ estão perfeitamente alinhadas, o sistema 

permanece em equilíbrio enquanto não ocorrerem perturbações. 

P P 

A 

C 

B 

P´ 

k 

a b 


P´ 

∆θ 

A 

B 

C 

62



________________________________________________________________________________________________ 

Mas, suponhamos que movemos o ponto C ligeiramente para a direita, de tal forma 

que cada barra forme com a vertical um pequeno ângulo ∆ θ . O sistema, nessas condições, 

pode voltar à sua condição de equilíbrio ou continuar se movendo para fora dessa posição. 

No primeiro caso, o sistema é chamado de estável e no segundo caso, de instável. 

O valor da carga que equilibra o sistema é chamado de carga crítica e é designada por Pcr. 

3 – Fórmula de Euler para Colunas com Extremidades Articuladas 

A 

x 

B 

P 

P´ 

Q 

y 

L 

Queremos determinar o valor crítico da carga P para o qual o sistema deixa de ser 

estável. Se cr P P > , o menor desalinhamento ou perturbação provoca flambagem da 

coluna, que assume a configuração da figura. 

Chamando de x a distância da extremidade A da coluna até o ponto Q de sua linha 

elástica e de y a deflexão desse ponto, observamos que o momento fletor em Q é: 

ou: 

M = −P 

⋅ y 

(1) 

Substituindo na equação da elástica: 

2 

d y M P ⋅ y 

= = − 

(2) 

2 

dx E ⋅ I E ⋅ I 

2 

d y P⋅ 

y 

+ = 0 

(3) 

2 

dx E ⋅ I 

Essa é uma equação diferencial de segunda ordem, homogênea, com coeficientes 

constantes. 

A solução dessa expressão resulta na equação da carga crítica ou fórmula de Euler, 

dada por: 


y 

63



________________________________________________________________________________________________ 

2 

⋅ E ⋅ I 

Pcr 

= 

2 

L 

π 

(4) 

Nota-se que o valor da carga crítica depende apenas das dimensões da coluna e do 

módulo de elasticidade do material. 

4 – Fórmula de Euler para Colunas com Outras Condições de Contorno 

No caso de uma coluna com uma extremidade livre A, onde se aplica a carga P, e a 

outra extremidade B engastada, observamos que a coluna se comporta como parte de uma 

coluna com extremidades articuladas. 

P 

A carga crítica para a coluna com extremidade livre da figura (a) é a mesma da 

coluna bi-articulada da figura (b) e é obtida da fórmula de Euler, usando comprimento da 

coluna igual ao dobro do comprimento L real. 

Dizemos que o comprimento efetivo de flambagem Le da coluna com extremidade 

livre é igual a 2L, que substituída na fórmula de Euler fornece: 

P 

cr 

2 

⋅ E ⋅ I 

= π 

( ) 2 

2L 

A fórmula de Euler, aplicável a diversas condições de contorno, pode ser reescrita na 

forma: 

2 

⋅ E ⋅ I 

Pcr 

= 

2 

Le 

π 

A 

B 

P 

a 

L 

onde Le é o comprimento efetivo de flambagem (distância entre duas seções da coluna onde 

o momento fletor é nulo). 

A figura apresenta alguns exemplos comuns de condições de extremidades para 

pilares de comprimento L e os correspondentes comprimentos efetivos de flambagem Le 

para aplicação na fórmula de Euler. 


A 

B 

b 

Le=2L 

(5) 

(6) 

64



________________________________________________________________________________________________ 

5 – Índice de Esbeltez 

A fórmula de Euler pode ser reescrita utilizando o conceito de raio de giração r da 

seção, tal que: 

2 

= A r 

(7) 

I ⋅ 

onde A é a área da seção e r é o raio de giração (distância hipotética em que estaria 

concentrada toda a área). 

Substituindo na fórmula de Euler, chega-se a: 

P 

cr 

2 

π ⋅ E ⋅ A⋅ 

r 

= 

L 

A relação 

2 

e 

2 

2 

π ⋅ E ⋅ A 

= 

2 

⎛ Le 

⎞ 

⎜ r ⎟ 

⎝ ⎠ 

Le é chamada índice de esbeltez da coluna. 

r 

O valor da tensão que corresponde à carga crítica é chamado tensão crítica e 

designado por σ cr , tal que: 

P 2 

cr π ⋅ E 

σ cr = = 

(9) 

A 

2 

⎛ Le 

⎞ 

⎜ 

⎝ 

r 

⎟ 

⎠ 

A expressão anterior mostra que a tensão crítica é proporcional ao módulo de 

elasticidade do material e inversamente proporcional ao quadrado do índice de esbeltez da 

coluna. 

O gráfico de σ cr em função de 

E = 200 GPa e σ 250 MPa . 

L 

y = 

Le = L Le = 2L Le = 0,5L Le = 0,7L 


(8) 

Le foi feito para o aço estrutural, com 

r 

65



________________________________________________________________________________________________ 

σcr (MPa) 

300 

200 

100 

σy 

Aço estrutural 

curta intermediária longa 

Fórmula de Euler 

100 200 

A figura mostra que, para colunas longas e delgadas (com índice de esbeltez 

elevado), a tensão considerada crítica para o dimensionamento é aquela dada pela fórmula 

de Euler, enquanto que para colunas curtas e robustas, a tensão crítica será a de 

escoamento do material. 

Para colunas com esbeltez intermediária, várias fórmulas empíricas são propostas na 

bibliografia especializada, objetivando a determinação da carga crítica de ruína para cada 

tipo de material. 

6 – Carga excêntrica. Fórmula da Secante. 

figura. 

Chamemos de e à excentricidade da carga P aplicada à coluna bi-articulada da 

ymáx 

Q 

y 

e 

P 

P 

Substituindo a carga excêntrica por uma carga concentrada P e um momento fletor 

conjugado MA igual a P ⋅ e , fica claro que, por menor que sejam a carga P e a 

excentricidade e, o momento MA sempre irá provocar alguma flexão na coluna. 

Se a carga excêntrica aumentar, aumentam também a carga centrada P e o 

conjugado MA, o que provoca majoração da flexão na coluna. Assim, o problema da 

flambagem não é mais uma questão de se determinar até que ponto uma coluna se mantém 

reta e estável sob a ação de uma carga crescente, mas uma questão de se determinar até 

que ponto pode-se permitir a majoração da flexão pelo aumento da carga, sem exceder a 

tensão admissível ou a deflexão máxima permitida y max . 


L 

2 

L 

Le/r 

66



________________________________________________________________________________________________ 

Chamando de x a distância da extremidade A da coluna até o ponto Q de sua linha 

elástica e de y a deflexão desse ponto, observamos que o momento fletor em Q é: 

M = −P 

⋅ y − M A = −P 

⋅ y − P ⋅ e 

(10) 

Substituindo o valor de M na equação da elástica: 

2 

d y P ⋅ y P ⋅ e 

+ = − 

(11) 

2 

dx E ⋅ I E ⋅ I 

que é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes. 

A solução dessa expressão resulta em: 

2 

⋅ E ⋅ I 

Pcr 

= 

2 

L 

π 

que é a própria fórmula de Euler. 

A tensão máxima ocorre na seção da coluna em que atua o maior momento fletor e é 

obtida pela soma da tensão normal devida à força axial e da tensão normal devida ao 

momento fletor máximo: 

onde: 

( y + e) 

P M max ⋅c 

P P ⋅ max ⋅c 

σ max = + = + 

(12) 

A I A I 

⎡ ⎛ P L ⎞ ⎤ 

ymax = e⋅ 

⎢sec⎜ 

⎟ 

⎜ 

⋅ 

⎟ 

−1⎥ 

(13) 

⎢⎣ 

⎝ E ⋅ I 2 ⎠ ⎥⎦ 

Na eq. (12), c é a distância da fibra mais afastada em relação ao centróide da seção 

transversal. 

Substituindo na expressão anterior o valor de y max e 

2 

= A r , chega-se a: 

I ⋅ 

P ⎡ e ⋅ c ⎛ 1 P L ⎞⎤ 

⎢ 

⎜ 

e 

σ max = ⋅ 1 + ⋅ sec 

⎟ 

⎜ 

⋅ 

⎟⎥ 

(14) 

A 2 

⎢⎣ 

r ⎝ 2 E ⋅ A r ⎠⎥⎦ 

onde o comprimento efetivo de flambagem é usado para tornar a fórmula aplicável para 

quaisquer condições de extremidade. 

NOTA: A tensão σ max não varia linearmente com a carga P, logo: 

a) Não se deve aplicar o princípio da superposição para a determinação das tensões 

provocadas por várias cargas aplicadas simultaneamente. Primeiro, calcula-se a 

resultante dos carregamentos, depois obtém-se σ max ; 

b) O coeficiente de segurança deve ser aplicado ao carregamento e não à tensão. 


67



________________________________________________________________________________________________ 

Escrevendo a equação anterior para a relação P , tem-se: 

A 

σ max 

P 

= 

A ⎡ e ⋅ c ⎛ 1 

⎢1 

+ ⋅ sec⎜ 

2 ⎜ 

⎢⎣ 

r ⎝ 2 

P L 

⋅ 

E ⋅ A r 

e 

⎞⎤ 

⎟ 

⎥ 

⎠⎥⎦ 

que é conhecida como fórmula da secante. 

OBS: 

a) O comprimento efetivo de flambagem é usado para tornar a fórmula aplicável para 

quaisquer condições de apoio; 

b) Uma vez que P aparece nos dois membros, a Eq. (15) deve ser resolvida de 

A 

forma interativa. 


(15) 

68



________________________________________________________________________________________________ 

Bibliografia 

Beer, F. P., Johnston Jr, E. R., Resistência dos Materiais, Makron Books, 3 ed, 1996. 

Notas de aula de Resistência dos Materiais I e II, UFF. 

Pamplona, C. F. M., Barbosa, P., Resistência dos Materiais X, www.uff.br/teleresmat. 

Sussekind, J. C., Curso de Análise Estrutural, v. 1, Editora Globo. 

Timoshenko, S. P., Gere, J. E., Mecânica dos Sólidos, v. 1, Livros Técnicos e Científicos, 

1984. 

Timoshenko, S. P., Gere, J. E., Mecânica dos Sólidos, v. 2, Livros Técnicos e Científicos, 

1984. 


69

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS IX - UFF

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