RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS IX - UFF

Universidade Federal Fluminense Flávia Moll de S. Judice
Mayra Soares P. L. Perlingeiro
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3 – Tensões Planas
As tensões uniaxiais e biaxiais são casos particulares da condição mais geral
conhecida como tensões planas. Um elemento com tensões planas pode ter tensões
normais e de cisalhamento nas faces x e y, conforme mostra a figura abaixo.
A tensão de cisalhamento na face x será indicada por τ xy , o primeiro índice
indicando a face em que ele atua e o segundo, a direção da tensão.
Considerando o triângulo elementar da figura, podemos determinar as tensões
normal σ θ e de cisalhamento τ θ nele atuantes a partir do equilíbrio de forças nas direções
dessas tensões, chegando-se a:
σ θ
2
2
cos y
xy
= σ ⋅ θ + σ ⋅ sen θ + 2 ⋅τ
⋅ senθ
⋅ cosθ
(9a)
x
2 2
( σ −σ
) ⋅ senθ ⋅ cosθ
+ τ ⋅ ( sen θ − cos θ )
τθ = x y
xy
(9b)
Usando as relações trigonométricas apropriadas, tem-se:
σ θ
τ θ
( σ + σ ) ( σ − σ )
x
y
x
y
= + ⋅ cos 2θ
+ τ xy ⋅ sen2θ
(10a)
2 2
( σ − σ )
x
y
= ⋅ sen2θ
−τ
xy ⋅ cos 2θ
(10b)
2
Estas equações dão as tensões normal e de cisalhamento, em função das tensões
σ x , σ y e τ xy , num plano qualquer.
As tensões σ´ θ e τ´ θ num plano que faz um ângulo
determinadas substituindo-se θ por
θ + π , o que dá:
2
Notas de Aula Resistência dos Materiais IX
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θ + π com o eixo x podem ser
2
σθ + σ´
θ = σ x + σ y
(11a)
´ θ = τθ
(11b)
τ −
σx
Convenção de sinais:
τxy
τyx
σy
y
σy
τyx
τxy
x
σx
σx
τxy
τyx
σy
a) Todas as tensões normais de tração são positivas;
b) A tensão de cisalhamento τ xy é positiva quando age no sentido positivo do eixo y;
c) A tensão de cisalhamento τ θ é positiva quando atua no sentido horário.
σθ
τθ
θ