RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS IX - UFF

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Universidade Federal Fluminense Flávia Moll de S. Judice Mayra Soares P. L. Perlingeiro ________________________________________________________________________________________________ Chamando de x a distância da extremidade A da coluna até o ponto Q de sua linha elástica e de y a deflexão desse ponto, observamos que o momento fletor em Q é: M = −P ⋅ y − M A = −P ⋅ y − P ⋅ e (10) Substituindo o valor de M na equação da elástica: 2 d y P ⋅ y P ⋅ e + = − (11) 2 dx E ⋅ I E ⋅ I que é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução dessa expressão resulta em: 2 ⋅ E ⋅ I Pcr = 2 L π que é a própria fórmula de Euler. A tensão máxima ocorre na seção da coluna em que atua o maior momento fletor e é obtida pela soma da tensão normal devida à força axial e da tensão normal devida ao momento fletor máximo: onde: ( y + e) P M max ⋅c P P ⋅ max ⋅c σ max = + = + (12) A I A I ⎡ ⎛ P L ⎞ ⎤ ymax = e⋅ ⎢sec⎜ ⎟ ⎜ ⋅ ⎟ −1⎥ (13) ⎢⎣ ⎝ E ⋅ I 2 ⎠ ⎥⎦ Na eq. (12), c é a distância da fibra mais afastada em relação ao centróide da seção transversal. Substituindo na expressão anterior o valor de y max e 2 = A r , chega-se a: I ⋅ P ⎡ e ⋅ c ⎛ 1 P L ⎞⎤ ⎢ ⎜ e σ max = ⋅ 1 + ⋅ sec ⎟ ⎜ ⋅ ⎟⎥ (14) A 2 ⎢⎣ r ⎝ 2 E ⋅ A r ⎠⎥⎦ onde o comprimento efetivo de flambagem é usado para tornar a fórmula aplicável para quaisquer condições de extremidade. NOTA: A tensão σ max não varia linearmente com a carga P, logo: a) Não se deve aplicar o princípio da superposição para a determinação das tensões provocadas por várias cargas aplicadas simultaneamente. Primeiro, calcula-se a resultante dos carregamentos, depois obtém-se σ max ; b) O coeficiente de segurança deve ser aplicado ao carregamento e não à tensão. Notas de Aula Resistência dos Materiais <strong>IX</strong> 67
Universidade Federal Fluminense Flávia Moll de S. Judice Mayra Soares P. L. Perlingeiro ________________________________________________________________________________________________ Escrevendo a equação anterior para a relação P , tem-se: A σ max P = A ⎡ e ⋅ c ⎛ 1 ⎢1 + ⋅ sec⎜ 2 ⎜ ⎢⎣ r ⎝ 2 P L ⋅ E ⋅ A r e ⎞⎤ ⎟ ⎥ ⎠⎥⎦ que é conhecida como fórmula da secante. OBS: a) O comprimento efetivo de flambagem é usado para tornar a fórmula aplicável para quaisquer condições de apoio; b) Uma vez que P aparece nos dois membros, a Eq. (15) deve ser resolvida de A forma interativa. Notas de Aula Resistência dos Materiais <strong>IX</strong> (15) 68
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