RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS IX - UFF

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Universidade Federal Fluminense Flávia Moll de S. Judice Mayra Soares P. L. Perlingeiro ________________________________________________________________________________________________ Nota-se que, sob a ação do momento fletor, as seções S0 e S1 giraram, uma em relação à outra, de tal forma que as fibras inferiores alongaram-se e as superiores encurtaram, indicando a existência de uma região tracionada e outra comprimida. Em algum ponto entre as regiões de tração e compressão, haverá uma superfície em que as fibras não sofrem variação de comprimento, denominada superfície neutra. Sua interseção com qualquer seção transversal da viga corresponde à linha neutra da seção. O centro de curvatura do eixo longitudinal da viga, após sua deformação, é representado na figura pelo ponto O. Chamando de d θ ao ângulo entre os planos S0 e S1, e ρ ao raio de curvatura, obtém-se: 1 dθ k ρ dx = = onde k é a curvatura. O alongamento (variação do comprimento) da fibra ab, distante y da superfície neutra, é assim determinado: + • Comprimento inicial da fibra ab: dx • Comprimento total da fibra ab: ( ρ y) ⋅ dθ ρ θ • Alongamento: ( + y) ⋅ d − dx = ( + y) ⋅ − dx = ⋅ dx A deformação correspondente é: ε y x = = k ⋅ y ρ E as tensões normais são: σ = k ⋅ E ⋅ y x ρ Portanto, as tensões variam linearmente com a distância y da linha neutra. Na viga em estudo, há tensões de tração abaixo da linha neutra e de compressão acima da linha neutra, conforme mostra a figura abaixo. A força longitudinal em dA é: dF = σ x ⋅ dA = k ⋅ E ⋅ y ⋅ dA σ− σ+ Como não há força normal resultante atuando na seção, a integral de σ x ⋅ dA sobre a área da seção é nula: Notas de Aula Resistência dos Materiais <strong>IX</strong> dx ρ Μ Μ y z dA y ρ y 33
Universidade Federal Fluminense Flávia Moll de S. Judice Mayra Soares P. L. Perlingeiro ________________________________________________________________________________________________ F = ∫ x ⋅ dA = ∫ k ⋅ E ⋅ y ⋅ dA = 0 σ A onde k e E são constantes. Logo: A ∫ y ⋅ dA = 0 → momento estático nulo. A Assim, a linha neutra passa pelo centróide da seção transversal. O momento fletor da força em relação à linha neutra é: z = ∫ x ⋅ y ⋅ dA = ∫ A A σ M k ⋅ E ⋅ y ⋅ dA = k ⋅ E ⋅ I Daí: M k = z E ⋅ I z Substituindo, obtém-se: M σ x = I z z ⋅ y Analogamente: M y σ x = − ⋅ z I y Exercício: Qual F max , se x 50 MPa ≤ σ ? 2F/3 1,0 m 2,0 m F/3 +2F/3 F +2/3.10 3 F 2 - F/3 DEC (N) Notas de Aula Resistência dos Materiais <strong>IX</strong> z DMF (N.mm) 85 25 85 y z 25 mm 180 mm 34
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