RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS IX - UFF

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Universidade Federal Fluminense Flávia Moll de S. Judice Mayra Soares P. L. Perlingeiro ________________________________________________________________________________________________ 3 – Tensões Planas As tensões uniaxiais e biaxiais são casos particulares da condição mais geral conhecida como tensões planas. Um elemento com tensões planas pode ter tensões normais e de cisalhamento nas faces x e y, conforme mostra a figura abaixo. A tensão de cisalhamento na face x será indicada por τ xy , o primeiro índice indicando a face em que ele atua e o segundo, a direção da tensão. Considerando o triângulo elementar da figura, podemos determinar as tensões normal σ θ e de cisalhamento τ θ nele atuantes a partir do equilíbrio de forças nas direções dessas tensões, chegando-se a: σ θ 2 2 cos y xy = σ ⋅ θ + σ ⋅ sen θ + 2 ⋅τ ⋅ senθ ⋅ cosθ (9a) x 2 2 ( σ −σ ) ⋅ senθ ⋅ cosθ + τ ⋅ ( sen θ − cos θ ) τθ = x y xy (9b) Usando as relações trigonométricas apropriadas, tem-se: σ θ τ θ ( σ + σ ) ( σ − σ ) x y x y = + ⋅ cos 2θ + τ xy ⋅ sen2θ (10a) 2 2 ( σ − σ ) x y = ⋅ sen2θ −τ xy ⋅ cos 2θ (10b) 2 Estas equações dão as tensões normal e de cisalhamento, em função das tensões σ x , σ y e τ xy , num plano qualquer. As tensões σ´ θ e τ´ θ num plano que faz um ângulo determinadas substituindo-se θ por θ + π , o que dá: 2 Notas de Aula Resistência dos Materiais <strong>IX</strong> 49 θ + π com o eixo x podem ser 2 σθ + σ´ θ = σ x + σ y (11a) ´ θ = τθ (11b) τ − σx Convenção de sinais: τxy τyx σy y σy τyx τxy x σx σx τxy τyx σy a) Todas as tensões normais de tração são positivas; b) A tensão de cisalhamento τ xy é positiva quando age no sentido positivo do eixo y; c) A tensão de cisalhamento τ θ é positiva quando atua no sentido horário. σθ τθ θ
Universidade Federal Fluminense Flávia Moll de S. Judice Mayra Soares P. L. Perlingeiro ________________________________________________________________________________________________ 4 – Círculo de Mohr para Tensões Planas As expressões (10) são equações paramétricas de uma circunferência. Se adotarmos um sistema de eixos coordenados e marcarmos os pontos M ( σ θ , τ θ ), para qualquer valor do parâmetro θ , vamos sempre obter um ponto que se encontra em uma circunferência. Para demonstrar essa propriedade, transpomos para o 1º membro da Eq. (10a) o ( σ x + σ y ) termo , elevando ao quadrado os dois membros da equação. Em seguida, 2 quadramos os dois membros da Eq. (10b), somando membro a membro as duas expressões, tal que: onde: 2 2 ( σ x σ y ) ⎤ 2 ⎡( σ x − σ y ) ⎤ 2 ⎡ + ⎢σθ − ⎥ + τθ = ⎢ ⎥ + τ xy (12) ⎣ 2 ⎦ ⎣ 2 ⎦ ⎧ ⎪ ( σ x + σ y ) ⎪σ med = ⎪ 2 ⎨ ⎪ 2 ⎪ ⎛σ x − σ y ⎞ ⎪ = ⎜ ⎟ 2 R ⎜ ⎟ + τ xy ⎪⎩ ⎝ 2 ⎠ Substituindo (12) em (11): 2 2 2 ( σ ) + τ = R σ θ − med θ (14) que é a equação de uma circunferência de raio R com centro C de abscissa σ med e ordenada zero. Circunferência: τ COMPRESSÃO τmax σmin=σII B σmed σθ Notas de Aula Resistência dos Materiais <strong>IX</strong> C D E σmax=σI R M τθ A TRAÇÃO σ (13) 50
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