RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS IX - UFF

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Universidade Federal Fluminense Flávia Moll de S. Judice Mayra Soares P. L. Perlingeiro ________________________________________________________________________________________________ Integrando novamente, chega-se a: 3 4 3 q ⋅ L ⋅ x q ⋅ x q ⋅ L ⋅ x E ⋅ I ⋅ y = − + + + C2 (11) 12 24 24 Sabendo que y = 0 quando x = 0 , tem-se: C2 = 0 (12) Logo, a expressão da deflexão em qualquer seção da viga é: 3 2 3 ( L − 2 ⋅ L ⋅ x x ) q ⋅ x y = ⋅ + (13) 24 ⋅ E ⋅ I A flecha máxima ocorre no meio do vão e é igual a: y max 4 5⋅ q ⋅ L = (14) 384 ⋅ E ⋅ I A rotação máxima ocorre nas extremidades da viga e é igual a: 3 dy q ⋅ L θ A = = (15) dx 24 ⋅ E ⋅ I Consideremos a viga simplesmente apoiada com carga concentrada P, cuja posição é definida pelas distâncias a e b das extremidades. P a b Pb/L Pa/L Q M θ y θΑ θB ymax Existem duas expressões para o momento fletor: uma para a parte à esquerda da carga e outra para a parte à direita. Assim, pode-se escrever a equação diferencial de 2 a ordem da linha elástica para cada parte da viga, tal que: Notas de Aula Resistência dos Materiais <strong>IX</strong> 57
Universidade Federal Fluminense Flávia Moll de S. Judice Mayra Soares P. L. Perlingeiro ________________________________________________________________________________________________ 2 d y P ⋅b ⋅ x para 0 ≤ x ≤ a → E ⋅ I ⋅ = − 2 dx L (16) 2 d y P ⋅ b ⋅ x para a ≤ x ≤ L → E ⋅ I ⋅ = − + P ⋅( x − a ) 2 dx L (17) Integrando duas vezes as duas expressões, os resultados incluirão quatro constantes arbitrárias que serão determinadas a partir das condições de contorno: a) em x = a , as inclinações das duas partes da viga são iguais; b) em x = a , as flechas das duas partes são iguais; c) em x = 0 , a flecha é nula; d) em x = L , a flecha é nula. As expressões da linha elástica para as partes da viga à esquerda e à direita da carga P são: para 0 ≤ x ≤ a : 2 2 2 ( L − b x ) P ⋅ b ⋅ x E ⋅ I ⋅ y = ⋅ − (18) 6 ⋅ L para a ≤ x ≤ L : 2 2 2 P ⋅ ( ) ( x − a) L − b − x + P ⋅ b ⋅ x E ⋅ I ⋅ y = ⋅ (19) 6 ⋅ L 6 As rotações das duas partes da viga são: para 0 ≤ x ≤ a : 2 2 2 ( L − b 3x ) dy P ⋅ b E ⋅ I ⋅ = ⋅ − (20) dx 6 ⋅ L para a ≤ x ≤ L : 2 2 2 P ⋅ ( ) ( x − a) L − b − 3x + dy P ⋅ b E ⋅ I ⋅ = ⋅ (21) dx 6 ⋅ L 2 As rotações nas extremidades da viga são: 2 P ⋅ a ⋅ b ⋅ ( ) ( L + b) L − b = P ⋅ b 2 θ A = ⋅ (22) 6 ⋅ L ⋅ E ⋅ I 6 ⋅ L ⋅ E ⋅ I ( L + a) P ⋅ a ⋅ b ⋅ θ B = (23) 6 ⋅ L ⋅ E ⋅ I A flecha máxima é: Notas de Aula Resistência dos Materiais <strong>IX</strong> 3 2 58
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