RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS IX - UFF

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Universidade Federal Fluminense Flávia Moll de S. Judice Mayra Soares P. L. Perlingeiro ________________________________________________________________________________________________ 1 – Tensões em Planos Inclinados VIII – ANÁLISE DE TENSÕES Quando uma barra prismática está sujeita à tração simples, as tensões numa seção transversal mn, normal ao seu eixo, são uniformemente distribuídas e iguais a P . A Consideremos as tensões no plano pq que corta a barra formando um ângulo θ com a seção transversal mn. As forças que representam a ação do lado direito sobre o lado esquerdo da barra são uniformemente distribuídas sobre a seção inclinada pq, conforme mostra a figura abaixo. Uma vez que a parte esquerda está em equilíbrio sob a ação dessas forças e da carga externa P, conclui-se que a resultante das forças distribuídas sobre a seção inclinada é igual a P. Decompondo-se a resultante R em duas componentes N e V, que são normal e tangente, respectivamente, ao plano inclinado, obtém-se: são: N = P ⋅ cosθ V = P ⋅ senθ Como a área A ´ da seção inclinada é σ θ τ θ P P P A , as tensões correspondentes a N e V cosθ N P 2 2 = = ⋅ cos θ = σ x ⋅ cos θ (1a) A´ A V P = = ⋅ senθ ⋅ cosθ = σ x ⋅ senθ ⋅ cosθ (1b) A´ A onde σ P x = é a tensão normal à seção transversal da barra. A p n m θ q σθ τ Nas equações anteriores, σ θ e τ θ são, respectivamente, as tensões normal e de cisalhamento no plano pq, cuja orientação é definida pelo ângulo θ. Notas de Aula Resistência dos Materiais <strong>IX</strong> V θ N R P θ 45
Universidade Federal Fluminense Flávia Moll de S. Judice Mayra Soares P. L. Perlingeiro ________________________________________________________________________________________________ A Eq. (1a) mostra como a tensão normal σ θ varia em função do ângulo θ. Quando θ = 0 , o plano pq coincide com mn, acarretando σθ = σ x . Se o ângulo θ aumentar, a tensão σ θ diminuirá até que, em π 2 θ = , anula-se. Assim, σ max = σ x . A Eq. (1b) mostra que a tensão de cisalhamento τ é nula quando θ = 0 e atingindo o valor máximo quando Convenção de sinais: θ = π . Este máximo é 4 x max σ τ = . 2 Notas de Aula Resistência dos Materiais <strong>IX</strong> 46 θ = π , 2 a) Tensões normais positivas σ θ são aquelas que agem afastando-se da superfície do material, independentemente da orientação desta; b) Tensões de cisalhamento τ θ são positivas quando agem no sentido horário em relação à superfície do material. Uma representação conveniente das tensões num ponto da barra é feita pelo isolamento de uma parte elementar do material, com as tensões indicadas em todos os lados do elemento. A figura 2 mostra dois elementos A e B cortados de uma barra tracionada. O elemento A está orientado de modo que θ = 0 e, assim, a única tensão que age sobre ele é σ P x = . A O segundo elemento sofreu um giro definido por θ e, portanto, as tensões no lado bd são σ θ e τ θ . A normal do lado ab do elemento é orientada pelo ângulo θ + π em relação 2 ao eixo x, sendo possível determinar as tensões nesse plano substituindo θ por θ + π na 2 Eq. (1), chegando-se a: σ θ 2 ( π 2 θ + ) = σ sen θ ´ = σ x ⋅ cos 2 x ⋅ (2a) τ θ P σx y x A B P σ´θ A σx τθ B σθ τ´θ ( θ + π ) ⋅ cos( θ + π ) = −σ ⋅ senθ ⋅ cosθ a c ´ = σ x ⋅ sen 2 2 x (2b) b d σ´θ τ´θ σθ τθ θ
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