Pedro Ronalt Vieira - DPI - Inpe

MINISTÉRIO DA CIÊNCIA E TECNOLOGIA
INSTITUTO NACIONAL DE PESQUISAS ESPACIAIS
DESENVOLVIMENTO DE CLASSIFICADORES DE MÁXIMA
VEROSSIMILHANÇA E ICM PARA IMAGENS SAR
Pedro Ronalt Vieira
Dissertação de Mestrado em Sensoriamento Remoto,
orientada pela Dr a . Corina da Costa Freitas Yanasse
e pelo Dr. Alejandro César Frery Orgambide,
aprovada em 30 de agosto de 1996.
INPE
São José dos Campos
Agosto de 1996

Meus agradecimentos:
- ao Senhor, por esta gratificante oportunidade de
trabalho.
- aos Orientadores, exemplos de profissionalismo,
competência e dedicação, por sua amizade e orientação
segura, definida e dentro dos objetivos especificados para
o trabalho.
- aos Membros da Banca Examinadora pela sua
presença, avaliação e contribuições pertinentes para a
melhor qualidade da dissertação.
- ao filhote que, com a sua presença em constante
alegria, energia e encanto, proporcionou a mim o equilíbrio
necessário nas horas mais difíceis.
- aos Professores do IME e amigos da 5 a DL e DSG
pelo incentivo, indicação e apoio para a realização deste
trabalho.
- aos Professores do INPE, Mestres, Doutores e
funcionários, por sua contribuição no curso de mestrado.
- aos integrantes da Senzala, pela colaboração e
paciência nos momentos necessários.
- aos colegas da turma e de outras turmas
contemporâneas, por sua participação na construção de um
ambiente de amizade e camaradagem.
- aos integrantes do SERE e também aos amigos da
Meteorologia, Computação, Biblioteca e outros, solidários e
prestativos nos momentos em que precisei.
- aos que, embora não citados, contribuiram de
alguma forma para a realização deste trabalho.
v

vi
RESUMO
Este trabalho tem como objetivo implementar, testar
e aplicar um classificador de Máxima Verossimilhança Pontual
(Maxver) e um classificador contextual Markoviano amigável, que
utilizam as distribuições mais apropriadas para dados de radares
de abertura sintética (SAR). São apresentadas as principais
distribuições para os dados SAR e como várias dessas
distribuições surgem através do modelo multiplicativo. Para
atingir o objetivo proposto e possibilitar aplicações futuras da
metodologia desenvolvida, as implementações foram efetuadas na
forma de um Sistema Integrado para Processamento, Classificação
e Análise de Dados SAR, com uma estrutura que permite a
incorporação de outros modelos e técnicas. O sistema
desenvolvido baseia-se nas propriedades estatísticas dos dados
e, além das funções básicas necessárias para a classificação,
possibilita a determinação de estatísticas básicas das
radiometrias das classes, a realização do teste Qui-quadrado de
aderência para a escolha das distribuições que mais se ajustam a
essas radiometrias, a classificação propriamente dita e a
avaliação dos resultados com o coeficiente de concordância Kappa
para matrizes de confusão. O classificador contextual
implementado é o algoritmo das Modas Condicionais Iterativas
(ICM), cuja formulação para estimação do parâmetro foi
desenvolvida para as vizinhanças de oito e doze coordenadas.
Testes foram realizados na discriminação de três classes em
imagens SAR-580 e JERS-1 com diferentes números de visadas. A
análise dos resultados indica que o uso das distribuições que
mais se ajustam às classes leva a classificações de qualidade
superior, quando comparadas às obtidas com uso do método
clássico, que utiliza a distribuição Gaussiana para os dados.
Outra conclusão importante é que o algoritmo ICM apresenta, sob
qualquer hipótese para as radiometrias, resultados sempre
superiores aos obtidos com a classificação Maxver. As
classificações obtidas pelo primeiro são, em média, mais de duas
vezes melhores do que as obtidas pelo método pontual quando
comparadas através da estatística Kappa. O uso do algoritmo ICM
permite, portanto, obter bons resultados na discriminação de
classes como floresta primária, regeneração e desmatamento em
áreas de floresta tropical, como é o caso das imagens JERS-1
utilizadas. O sistema desenvolvido possui também algumas
operações auxiliares à tarefa de classificação de imagens em
geral (modificação e edição da tabela de cores, equalização do
histograma, gerenciamento de amostras, decorrelação de
observações, operações aritméticas, etc.) e de imagens SAR em
particular (filtros redutores de “speckle”, estimação do número
equivalente de visadas, seleção do tipo de imagem e de
modelagem, etc.).

DEVELOPMENT OF MAXIMUM LIKELIHOOD
AND ICM CLASSIFIERS FOR SAR IMAGES
ABSTRACT
The purpose of this study is to implement, test and
apply a Maximum Likelihood Classifier (MLC) and a user-friendly
contextual Markovian classifier, which use the distributions
most appropriate to the Synthethic Aperture Radar (SAR) data.
This study presents the main distributions to the SAR data and
how several of these distributions arise from the multiplicative
model. In order to achieve the proposed aim and to allow future
applications of the developed methodology, the implementations
have been done in a integrated system for SAR data processing,
classification and analysis, with a structure which allows the
addition of other models and techniques.The developed system is
based on the statistical properties of the data and, besides the
necessary functions for the classification, it also allows the
determination of the basic statistics of the classes'
radiometries, the Chi-Square goodness-of-fit test in order to
choose the most suitable distributions for these radiometries,
the classification itself, and the evaluation of the results
with the Kappa coefficient of agreement for the error matrices.
The implemented contextual classifier is the Iterated
Conditional Modes (ICM) algorithm. Its formulation for the
parameter estimation was done for 8- and 12-coordinate
neighborhoods. Tests have been done for the discrimination of
three classes in SAR-580 and JERS-1 images with different
numbers of looks. The analysis of the results indicates that a
more precise classification is achieved by using the
distributions which are the most suitable for the classes, when
compared to those obtained through the classic method that uses
Gaussian distributions.Another conclusion is that the ICM
algorithm presents results which are always superior to those
obtained through the MLC classification, whichever distributions
these radiometries may have.The classifications obtained from
the ICM have Kappa values that are usually twice than those
obtained with the MLC method. Therefore, when using the ICM
algorithm, it is possible to achieve good results in the
discrimination of classes such as primary forest, regeneration,
and deforestation in rainforest areas, as it is the case of the
JERS-1 images used in this study.The developed system has also
some operations which assist the classification of images in
general (color table modification and edition, histogram
equalization, sample manipulation, decorrelation of
observations, arithmetical operations, etc.), and other
operations specific for SAR images (speckle filtering,
equivalent number of looks estimation, selection of image type
and modelling, etc.).
vii

SUMÁRIO
LISTA DE FIGURAS ....................................
Pág.
xvii
LISTA DE TABELAS ................................... xxiii
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO ............................. 1
CAPÍTULO 2 - NOTAÇÕES, CONVENÇÕES E DEFINIÇÕES ...... 5
2.1 - Notação e Convenções .......................... 5
2.2 - Definições .................................... 6
2.2.1 - Função Indicadora de um Conjunto A .......... 6
2.2.2 - A Função Gamma de Euler ..................... 6
2.2.3 - A Função Digamma ............................ 7
2.2.4 - A Função Kv de Bessel de 3 o Tipo e Ordem v ... 7
2.2.5 - A Função de Distribuição Acumulada .......... 8
2.2.6 - Esperança ................................... 8
2.2.7 - Variância ................................... 9
2.2.8 - Covariância e Correlação .................... 10
2.2.9 - Momentos .................................... 11
2.2.10 - Autocovariância e Autocorrelação ........... 13
2.3 - Estimação dos Parâmetros ...................... 13
2.3.1 - Estimação pelo Método dos Momentos ..........
2.3.2 - Estimação pelo Método de Máxima Verossimi-
13
lhança ..................................... 14
CAPÍTULO 3 - PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES ............... 17
3.1 - Distribuição Normal Padrão .................... 17
3.2 - Distribuição Normal ........................... 17
3.3 - Distribuição Normal Multivariada .............. 18
3.4 - Distribuição Log-Normal ....................... 19
3.5 - Distribuição Constante ........................ 20
3.6 - Distribuição Uniforme ......................... 20
3.7 - Distribuição Exponencial Padrão ............... 21
viii

3.8 - Distribuição Exponencial ...................... 21
3.9 - Distribuição Rayleigh Padrão .................. 22
3.10 - Distribuição Rayleigh ........................ 22
3.11 - Distribuição Gama Padrão ..................... 23
3.12 - Distribuição Gama ............................ 24
3.13 - Distribuição Raiz de Gama Padrão ............. 25
3.14 - Distribuição Raiz de Gama .................... 25
3.15 - Distribuição Beta ............................ 27
3.16 - Distribuição Weibull ......................... 28
3.17 - Distribuição K-Intensidade Padrão ............ 29
3.18 - Distribuição K-Intensidade ................... 30
3.19 - Distribuição K-Amplitude Padrão .............. 32
3.20 - Distribuição K-Amplitude ..................... 33
3.21 - Distribuição Gaussiana Inversa Generalizada ..
3.22 - Distribuição Raiz de Gaussiana Inversa Genera-
34
lizada ....................................... 34
3.23 - Distribuição G-Intensidade ................... 35
3.24 - Distribuição G-Intensidade Zero .............. 36
3.25 - Distribuição G-Amplitude ..................... 36
3.26 - Distribuição G-Amplitude Zero ................ 37
CAPÍTULO 4 - MODELAGEM DOS DADOS SAR ................ 39
4.1 - O Modelo Multiplicativo ....................... 39
4.1.1 - Imagens Intensidade ......................... 40
4.1.2 - Imagens Amplitude ........................... 41
4.1.3 - Imagens Complexas ........................... 43
4.2 - As Distribuições Normais Restritas ............ 44
4.2.1 - Normal Restrita Intensidade ................. 44
4.2.2 - Normal Restrita Amplitude ................... 45
4.3 - Distribuições ad-hoc .......................... 45
CAPÍTULO 5 - A CLASSIFICAÇÃO MAXVER ................. 47
5.1 - Os Passos da Classificação por Máxima Verossimilhança
..................................... 47
ix

5.2 - A Implementação Maxver ........................ 48
5.2.1 - Partição da Imagem em classes ............... 48
5.2.2 - Associação da Distribuição .................. 49
5.2.3 - Amostragem ..................................
5.2.4 - Teste da Aderência das Distribuições Selecio-
49
nadas ...................................... 50
5.2.5 - Estimação dos Parâmetros das Distribuições .. 50
5.2.5.1 - O Número Equivalente de Visadas ........... 50
5.2.6 - Classificação ............................... 51
CAPÍTULO 6 - CLASSIFICADORES CONTEXTUAIS ............ 53
6.1 - Técnicas Markkovianas de Classificação ........ 53
6.2 - Modelo de Potts-Strauss ....................... 54
6.3 - Formulação Teórica ............................ 56
6.3.1 - O Modelo de Potts-Strauss Propriamente Dito .
6.4 - Estimação pela Equação de Máxima Pseudoverossi-
58
milhança ..................................... 59
6.4.1 - Estimação para Vizinhança Quatro ............ 62
6.4.2 - Estimação para Vizinhança Oito .............. 65
6.4.3 - Estimação para vizinhança Doze .............. 67
6.5 - O Algoritmo ICM ............................... 67
6.6 - Pseudocódigos do Algoritmo ICM ................ 74
6.6.1 - Pseudocódigo do Algoritmo de Classificação .. 74
6.6.2 - Pseudocódigo da Função para Estimação de β ..
6.6.3 - Pseudocódigo da Função que gera uma Segmenta-
75
ção ICM .................................... 76
CAPÍTULO 7 - O TESTE DA CLASSIFICAÇÃO ............... 77
7.1 - Coeficiente de Concordância Kappa .............
7.2 - Os Testes de Hipótese para Comparar Matrizes de
77
Confusão ..................................... 79
7.2.1 - Teste Bilateral ............................. 79
7.2.2 - Teste Unilateral ............................ 80
7.2.3 - Determinação do p-valor do Teste ............ 81
x

CAPÍTULO 8 - RESULTADOS OBTIDOS ..................... 83
8.1 - Resultados com a Imagem SAR-580 ............... 84
8.1.1 - Metodologia Utilizada ....................... 84
8.1.2 - Estimação do Número Equivalente de Visadas .. 90
8.1.3 - Partição, Modelagem, Inferência e Amostragem 90
8.1.3.1 - Decorrelação das Amostras ................. 91
8.1.3.2 - Teste Qui-quadrado de Ajuste .............. 91
8.1.4 - As Classificações Maxver e ICM .............. 97
8.1.5 - Matrizes de Confusão das Classificações .....
8.1.6 - Teste de Igualdade dos Coeficientes de Concor-
98
dância ..................................... 102
8.1.7 - Conclusões .................................. 106
8.2 - Resultados com a JERS-1 Original .............. 107
8.2.1 - Metodologia Utilizada .......................
8.2.2 - Obtenção da Imagem com a Resolução Espacial
107
Degradada .................................. 107
8.2.3 - Estimação do Número Equivalente de Visadas .. 108
8.2.4 - Partição, Modelagem, Inferência e Amostragem 108
8.2.4.1 - Decorrelação das Amostras ................. 109
8.2.4.2 - Teste Qui-quadrado ........................ 109
8.2.5 - As Classificações Maxver e ICM .............. 119
8.2.6 - Matrizes de Confusão das Classificações .....
8.2.7 - Teste de Igualdade dos Coeficientes de Concor-
127
dância ..................................... 128
8.2.8 - Conclusões .................................. 131
CAPÍTULO 9 - CONCLUSÕES E SUGESTÕES ................. 141
9.1 - Conclusões .................................... 141
9.2 - Sugestões ..................................... 143
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .......................... 145
APÊNDICE A - ESTIMAÇÃO DE β PARA VIZINHANÇA QUATRO .. 153
xi

APÊNDICE B - ESTIMAÇÃO DE β PARA VIZINHANÇA OITO .... 155
APÊNDICE C - ESTIMAÇÃO DE β PARA VIZINHANÇA DOZE .... 163
APÊNDICE D - ESTRUTURA DO SISTEMA E GUIA DE OPERAÇÃO 191
xii

LISTA DE FIGURAS
xiii
Pag.
1 - Densidades associadas à três classes e respectivos
pontos de intersecção ........................... 52
2 - Janela exemplo para análise ..................... 71
3 - Densidades para três classes .................... 71
4 - Classificação Maxver para a janela exemplo ...... 71
5 - Classificação ICM para a janela exemplo ......... 71
6 - Imagem SAR-580 .................................. 85
7 - Imagem JERS-1 de Tapajós ........................ 86
8 - Imagem TM, bandas 3(R), 4(G) e 5(B) ............. 87
9 - Imagem TM classificada ..........................
10 - Estimação do número equivalente de visadas da i-
88
magem SAR 580 .................................. 90
11 - Autocorrelação horizontal da classe Floresta ... 93
12 - Autocorrelação vertical da classe Floresta .....
13 - Ajuste da distribuição Raiz de Gama para Cultu-
94
ra 1 ........................................... 94
14 - Ajuste da distribuição Weibull para a Cultura 1 95
15 - Ajuste da distribuição K-Amplitude para Cultura 2 95
16 - Ajuste da distribuição GA0 para Floresta .......
17 - Funções densidade de probabilidade Normais para
96
as classes da SAR-580 ..........................
18 - Funções de densidade de probabilidade ajustadas
99
para as classes da SAR-580 .....................
19 - Classificação Maxver com o uso de distribuições
99
Normais para as classes ........................
20 - Classificação Maxver com o uso das distribuições
100
mais ajustadas para as classes .................
21 - Classificação ICM com o uso de distribuições Nor-
100
mais ........................................... 101

22 - Classificação ICM com o uso das distribuições
mais ajustadas ................................. 101
23 - Matriz de confusão da Maxver com o uso das distribuições
Normais ............................. 103
24 - Matriz de confusão da Maxver com o uso das distribuições
mais ajustadas ...................... 103
25 - Matriz de confusão da ICM com o uso de distribuições
Normais ................................... 104
26 - Matriz de confusão da ICM com o uso das distribuições
mais ajustadas ......................... 104
27 - Ajuste da GA0 para a classe Solo na imagem Original
............................................ 111
28 - Ajuste da GA0 para a classe Solo na imagem Degradada
........................................... 111
29 - Ajuste da GA0 para a classe Regeneração na JERS-1
Original ....................................... 114
30 - Ajuste da Log-Normal para a classe Regeneração
na JERS-1 Degradada ............................ 114
31 - Ajuste da GA0 para a classe Floresta na JERS-1
Original ....................................... 116
32 - Ajuste da Log-Normal para a classe Floresta na
JERS-1 Degradada ............................... 117
33 - Funções densidade de probabilidade Normais na imagem
JERS-1 Original .......................... 117
34 - Funções densidade de probabilidade GA0 na imagem
JERS-1 Original ................................ 117
35 - Funções densidade de probabilidade Normais na imagem
JERS-1 Degradada ......................... 118
36 - Funções densidade de probabilidade ajustadas na
imagem JERS-1 Degradada ........................ 118
37 - Classificação Maxver da imagem JERS-1 original,
com o uso das distribuições mais ajustadas às
classes ........................................ 121
38 - Classificação ICM da imagem JERS-1 original sob
xiv

a hipótese da normalidade para as classes ...... 122
39 - Classificação ICM da imagem JERS-1 original com
uso das distribuições mais ajustadas para as
classes ........................................ 123
40 - Classificação Maxver da imagem JERS-1 degradada
com o uso das distribuições mais ajustadas às
classes ........................................ 124
41 - Classificação ICM da imagem JERS-1 degradada sob
a hipótese da normalidade para as classes ...... 125
42 - Classificação ICM da imagem JERS-1 degradada, com
uso das distribuições mais ajustadas ........... 126
43 - Matriz de confusão da classificação Maxver-Normais
da JERS-1 original, obtida com o uso das
amostras ....................................... 132
44 - Matriz de confusão da classificação Maxver-Normais
da JERS-1 original, obtida com o uso da imagem
TM classificada .......................... 132
45 - Matriz de confusão da classificação Maxver-ajustadas
da JERS-1 original, obtida com o uso das
amostras ....................................... 133
46 - Matriz de confusão da classificação Maxver-ajustadas
da JERS-1 original, obtida com o uso da imagem
TM classificada .......................... 133
47 - Matriz de confusão da classificação ICM-Normais
da JERS-1 original, obtida com o uso das amostras 134
48 - Matriz de confusão da classificação ICM-Normais
da JERS-1 original, obtida com o uso da imagem
TM classificada ................................ 134
49 - Matriz de confusão da classificação ICM-ajustadas
da JERS-1 original, obtida com o uso das
amostras ....................................... 135
50 - Matriz de confusão da classificação ICM-ajustadas
da JERS-1 original, obtida com o uso da imagem
TM classificada ............................ 135
xv

51 - Matriz de confusão da classificação Maxver-Normais
da JERS-1 degradada, obtida com o uso das
amostras ....................................... 136
52 - Matriz de confusão da classificação Maxver-Normais
da JERS-1 degradada, obtida com o uso da
imagem TM classificada ......................... 136
53 - Matriz de confusão da classificação Maxver-ajustadas
da JERS-1 degradada, obtida com o uso das
amostras ....................................... 137
54 - Matriz de confusão da classificação Maxver-ajustadas
da JERS-1 degradada, obtida com o uso da
imagem TM classificada ......................... 137
55 - Matriz de confusão da classificação ICM-Normais
da JERS-1 degradada, obtida com o uso das amostras
........................................... 138
56 - Matriz de confusão da classificação ICM-Normais
da JERS-1 degradada, obtida com o uso da imagem
TM classificada ................................ 138
57 - Matriz de confusão da classificação ICM-ajustadas
da JERS-1 degradada, obtida com o uso das amostras
........................................ 139
58 - Matriz de confusão da classificação ICM-ajustadas
da JERS-1 degradada, obtida com o uso da imagem
TM classificada .......................... 139
59 - Estrutura do Sistema de Processamento e Análise
de Imagens SAR ................................. 191
60 - Interface para seleção de arquivo .............. 194
61 - Interface para inserção de dados da imagem ..... 194
62 - Interface para visualizar uma imagem ........... 195
63 - Interface para selecionar imagem a ser salva em
arquivo ........................................ 196
64 - Interface para selecionar uma imagem para ser fechada
.......................................... 196
65 - Interface para estimação do número equivalente de
visadas ........................................ 199
xvi

66 - Interface para definição de região de interesse
67 - Interface para eliminar uma amostra utilizada na
201
estimação do número equivalente de visadas .....
68 - Interface com a análise descritiva e resultado
do teste da amostra selecionada para estimar o
202
número equivalente de visadas ..................
69 - Interface para selecionar as imagens que serão
202
somadas ........................................
70 - Interface para aplicar operações matemáticas so-
203
bre uma imagem .................................
71 - Interface para efetuar a partição e modelagem da
203
imagem a ser classificada ...................... 207
72 - Interface para adicionar uma classe ............
73 - Interface para eliminar uma classe da partição e
209
modelagem ......................................
74 - Interface para editar os dados relativos a deter-
213
minada classe .................................. 213
75 - Interface para inferência e amostragem ......... 214
76 - Interface para adicionar uma amostra ........... 216
77 - Interface para editar os dados de uma amostra .. 216
78 - Interface para eliminar uma amostra ............ 218
79 - Interface para decorrelacionar as amostras .....
80 - Interface para aplicar o teste Qui-quadrado às
218
classes ........................................ 219
81 - Interface que mostra a análise descritiva das amostras
relativas à classe selecionada para teste 220
82 - Interface com o resultado do teste Qui-quadrado
relativo a dada classe, considerando a distribuição
selecionada ................................ 221
83 - Interface que apresenta as funções densidade de
probabilidade usadas na classificação .......... 222
84 - Interface para aplicação do ICM ................ 223
85 - Visualização de uma classificação Maxver de uma
imagem SAR-580 com quatro visadas .............. 224
xvii

86 - Visualização de uma classificação ICM de uma imagem
SAR 580 a quatro visadas ................... 224
87 - Interface para visualização da matriz de confusão
88 - Interface para edição de elementos gráficos na i-
224
magem .......................................... 225
89 - Interface para edição de paleta de cores ....... 226
90 - Interface para edição de tabela de cores ....... 227
xviii

LISTA DE TABELAS
xix
Pag.
1 - Retorno em intensidade para n visadas ........... 41
2 - Retorno em amplitude para n visadas ............. 43
3 - Retorno complexo ................................ 44
4 - Distribuições usadas com dados monoespectrais ... 49
5 - Número de termos de acordo com a vizinhaça ...... 61
6 - Exemplos de configurações para δ = 1 ............ 64
7 - Configurações para δ = 2 1/2 ...................... 65
8 - Resultados para a janela exemplo ................ 70
9 - Seqüência de visitas ao suporte S6x6 ............. 74
10 - Conceitos para Kappa ........................... 78
11 - Classes na imagem SAR-580 ...................... 91
12 - Teste Qui-quadrado da classe Cultura 1 ......... 92
13 - Teste Qui-quadrado da classe Cultura 2 ........ 93
14 - Teste Qui-quadrado da classe Floresta .......... 97
15 - LUT Maxver para as classes SAR-580 ............. 98
16 - Exatidão da classificação ...................... 102
17 - Estatísticas z e p-valores p dos testes bilaterais 102
18 - Estatísticas z e p-valores p dos testes unilaterais
........................................... 102
19 - Classes na imagem SAR - JERS-1 ................. 108
20 - Ajustes da classe Solo na JERS-1 original ...... 110
21 - Ajustes da classe Solo na JERS-1 degradada ..... 112
22 - Ajustes da Regeneração na imagem original ...... 113
23 - Ajustes da Regeneração na imagem degradada ..... 114
24 - Ajustes da Floresta na JERS-1 original ......... 115
25 - Ajustes da Floresta na JERS-1 degradada ........ 116
26 - Exatidão da classificação para JERS-1 original . 127
27 - Exatidão da classificação para JERS-1 degradada 128
28 - p-valores p dos testes na JERS-1 original ...... 129
29 - p-valores_p dos testes na JERS-1 degradada ..... 129
30 - Tabela de Coeficientes para vizinhança doze .... 163

31 - Distribuições para o caso monoespectral ........ 210
32 - Distribuições para o caso monoespectral ........ 210
33 - Distribuições para o caso multiespectral ....... 210
34 - Distribuições para o caso multiespectral ....... 211
35 - Distribuições para o caso multiespectral ....... 211
36 - Distribuições para o caso multiespectral ....... 211
xx

CAPITULO 1
INTRODUC» ~ AO
O avan»co do conhecimento cient³¯co na area de Sensoriamento Re-
moto tem possibilitado aos usuarios o acesso a um numero crescente de produtos,
oriundos de sistemas sensores ativos e passivos.
Entre os produtos de sensores passivos se encontram os dados
LANDSAT e SPOT que, apesar de amplamente conhecidos, tem a sua aplica»c~ao
severamente limitada pelas condi»c~oes atmosfericas.
Entre os produtos de sensores ativos encontram-se os dados Radar
que, operando na faixa de microondas, s~ao independentes da luz solar e de condi»c~oes
atmosfericas para obterem imagens da superf³cie terrestre.
O termo Radar e um acr^onimo das palavras \RAdio Detection and
Ranging", que caracterizam este tipo de sensor. Descoberto no come»co do seculo, e
com importantesaplica»c~oesmilitares desde 1938, so maisrecentemente e que o radar
passou a ser usado como uma ferramenta de Sensoriamento Remoto. Os radares de
Sensoriamento Remoto, tambem denominados radares imageadores, podem ser do
tipo \Side Looking Airborne Radar" (SLAR) ou do tipo \Synthetic Aperture Radar"
(SAR).
Os sensores SLAR s~ao transportados em aeronave e trabalham com
as dimens~oes efetivas da antena. A resolu»c~ao espacial em azimute (\along track")
e dependente das dimens~oes da antena: uma melhor resolu»c~ao implica em maior
dimens~ao da antena. A resolu»c~ao espacial transversal (\cross-track") e dependente
do ^angulo de incid^encia na superf³cie e da dura»c~ao do pulso (Kuplich, 1994).
Os sensores SAR utilizam o movimento da plataforma para
simular uma antena maior que o seu tamanho real (antena sintetica), melhorando

2
a resolu»c~ao espacial azimutal. A resolu»c~ao transversal e dependente da largura da
banda utilizada no pulsode freqÄu^encia modulada (\chirped pulse") (Kuplich, 1994).
Modelos para dados SAR v^em sendo estudados, e as possibilidades
levam em conta as combina»c~oes poss³veis considerando as caracter³sticas do sensor,
formato dos dados dispon³veis, grau de homogeneidade das fei»c~oes terrestres, etc
(Frery et al., 1995b). Devido a complexidade de fatores que interv^em na obten»c~ao
dos dados, os estudos na area de aplica»c~oes s~ao muitas vezes realizados utilizando-
se de modelos estat³sticos. A correta modelagem para o processamento das imagens
implica no conhecimentoprecisodaspropriedades estat³sticasdosdadosSAR (Fau et
al., 1993; Ulabye Dobson, 1989; Yanasse et al., 1994, 1995). Muitosestudosja foram
realizados no sentido de relacionar as diferentes fei»c~oes da superf³cie terrestre com
as propriedades estat³sticas dos dados SAR, quando foram consideradas algumas
hipoteses e distribui»c~oes (Beaudoin et al., 1990, 1992; Frery, 1993; Frery et al.,
1995b; Lopeset al., 1990; Zito et al., 1998; Yanasse, 1991; Yanasse et al., 1993; 1994;
1995). As propriedades estat³sticas dos dados de radar podem ser diferentes para
os diferentes alvos e para as diferentes imagens, uma vez que o retroespalhamento e
dependente de varios fatores, alguns deles relacionados ao sensor (comprimento de
onda, polariza»c~ao, ^angulodeincid^encia,etc),outrosdo alvo (tipo de alvo,rugosidade,
permissividade,etc) e outrosdo tipo de processamento dosdados(numerode visadas,
formato, etc). Considerando este motivo, o emprego do classi¯cador supervisionado
de Maxima Verossimilhan»ca Pontual (Maxver) de uso corrente, sob a hipotese de
que os dados de todas as classes s~ao normalmente distribu³dos, pode n~ao ser o mais
adequado para os dados SAR.
Nestetrabalhoser~ao apresentadosalgunsdosprincipaistopicos rela-
cionados µa classi¯ca»c~ao Maxver de imagens SAR, sob a hipotese de distribui»c~oes
adequadas aos dados SAR. A determina»c~ao das distribui»c~oes que mais se ajus-
tam ao dados e feita com o uso do teste Qui-quadrado de ajuste e de amostras
representativas das classes. O teste da classi¯ca»c~ao e realizado com o coe¯ciente de
concord^ancia Kappa para matrizes de confus~ao. Aplicada esta modelagem em uma

3
imagem SAR-580 de uma visada e em outra JERS-1 de tr^es visadas, os resultados
obtidos apresentaram coe¯cientes de concord^ancia Kappa em media 11% superiores,
quando comparados aos obtidos sob a hipotese da normalidade para as classes.
Considerando a maior import^ancia relativa dasinforma»c~oes de con-
texto na interpreta»c~ao de imagens SAR, apresenta-se tambem neste trabalho a
modelagem de um classi¯cador contextual Markoviano, denominado algoritmo das
Modas Condicionais Iterativas(ICM),cujo par^ametro e estimado sem a interfer^encia
do usuario. Aplicada esta modelagem sobre as imagens citadas no paragrafo an-
terior, os resultados obtidos apresentaram coe¯cientes de concord^ancia Kappa em
media 115% superiores, quando comparados µas respectivas classi¯ca»c~oes pontuais
Maxver.
Para facilitar o prosseguimento dos trabalhos de pesquisa relativas
aos dados SAR a implementa»c~ao do sistema foi feita na linguagem \Interactive De-
velopment Language" (IDL). Primeiramente implementado para dados monoespec-
trais em amplitude, o sistema possui uma estrutura que permite a incorpora»c~ao de
outras rotinas que sejam adequadas aos dados SAR.
Para apresentar os fundamentos teoricos, formula»c~oes conhecidas
utilizadase outrasdesenvolvidas,detalhesda implementa»c~aoe resultadosalcan»cados,
este trabalho possui a capitula»c~ao abaixo descrita.
No Cap³tulo 2 s~ao apresentadas asnota»c~oes, conven»c~oes e de¯ni»c~oes
basicas a serem utilizadas no decorrer da disserta»c~ao, incluindo-se os metodos dos
Momentos e de Maxima Verossimilhan»ca para estima»c~ao dos par^ametros das dis-
tribui»c~oes.
No Cap³tulo 3 s~ao apresentadas as formula»c~oes das principais dis-
tribui»c~oes aplicaveis aos dados SAR, incluindo-se as fun»c~oes densidade de probabi-
lidade,fun»c~oesde distribui»c~aoacumulada, fun»c~oesgeradorasde momentos,esperan»ca,
vari^ancia e estimadores pelos metodos dos Momentos e Maxver, quando existentes
em forma analiticamente tratavel e de facil solu»c~ao computacional.

4
No Cap³tulo 4 e apresentada a modelagem utilizada para os dados
SAR, as distribui»c~oes decorrentes do modelo multiplicativo e outras que s~ao comu-
mente utilizadas. Sob o modelo multiplicativo s~ao abordadas distribui»c~oes para as
imagens em amplitude, intensidade e complexas.
No Cap³tulo 5 e apresentada a classi¯ca»c~ao Maxver, seus passos
essenciais, a abordagem empregada para a implementa»c~ao e o conceito do numero
equivalente de visadas.
No Cap³tulo 6 e apresentada a fundamenta»c~ao teorica do modelo
de Potts-Strauss, a estima»c~ao pela equa»c~ao de maxima pseudoverossimilhan»ca, as
tecnicas Markovianas de segmenta»c~ao e o algoritmo ICM.
No Cap³tulo 7 e apresentada a teoria utilizada no teste da classi-
¯ca»c~ao, incluido o coe¯ciente de concord^ancia Kappa e os testes de hipoteses que
podem ser aplicados.
No Cap³tulo 8 s~ao apresentados os resultados obtidos com o sis-
tema. Para teste foram utilizadas imagens SAR-580 e JERS-1, nas quais buscou-se
discriminar tr^es classes visualmente distintas. S~ao apresentados todos os passos e
resultados parciais executados ate a obten»c~ao das imagens classi¯cadas por Maxver
e ICM. Foram adotadasas hipoteses da normalidade e da distribui»c~ao maisajustada
para cada classe. As matrizes de confus~ao obtidas s~ao comparadas pelo coe¯ciente
de concord^ancia Kappa e os resultados indicam a superioridade incontestavel da
classi¯ca»c~ao ICM quando comparada µa Maxver.
deste trabalho.
No Cap³tulo 9 s~aoapresentadasasconclus~oese sugest~oesresultantes
Nos Ap^endices A, B e C s~ao apresentas as formulas para estima»c~ao
dos par^ametros utilizados no algoritmo ICM.
No Ap^endice D e apresentado o sistema implementado, incluindo a
descri»c~ao dos menus e interfacesgra¯cas uteis no processamento e analise digitais.

CAPITULO 2
NOTAC» ~ OES, CONVENC» ~ OES E DEFINIC» ~ OES
Neste cap³tulo s~ao apresentadas as nota»c~oes, conven»c~oes e algumas
de¯ni»c~oes que ser~ao usadas no decorrer desta disserta»c~ao.
2.1 - Nota»c~ao e Conven»c~oes
ocorr^encias em minusculas.
As variaveis aleatoriasser~ao denotadas com letrasmaiusculase suas
Os vetores e matrizes ser~ao denotados em negrito.
A matriz identidade sera denotada por I:
A transposta de uma dada matriz A sera denotada por A t .
A inversa de uma dada matriz A sera denotada por A ¡1 .
O determinante de uma matriz A sera denotado por jAj:
O conjunto dos numeros reais, (¡1, +1); sera denotado por R.
O conjunto dos reais positivos, (0;+1); sera denotado por R +.
O conjunto dos numeros inteiros, f:::; ¡1;0;1;:::g, sera denotado por Z:
Conjunto dos numeros naturais, f1;2;3;:::g; sera denotado por N.
O conjunto amostral sera denotado por ­.
A probabilidade sera denotada por Pr.
A cardinalidade do conjunto A sera denotada por #A.

2.2 - De¯ni»c~oes
6
No decorrer deste trabalho somente ser~ao consideradas as variaveis
aleatorias reais do tipo absolutamente cont³nuas (Koroliuk, 1986).
2.2.1 - Fun»c~ao Indicadora de um Conjunto A
E a fun»c~ao 1I: A ! f0;1g dada por (James, 1981):
1I A(x) =
2.2.2 - A Fun»c~ao Gamma de Euler
8
><
>:
1, sex 2 A;
0, sex=2 A.
De¯nida para cadaº>¡1,e dada por(Abramowitz eStegun, 1964;
DeGroot, 1975; Gradshteyn e Ryzhik, 1965; James, 1981; Yanasse et al., 1995):
¡(º +1) =
Z
R+
t º exp(¡t)dt
1) Tambem e valida a rela»c~ao (DeGroot, 1975; James, 1981, Yanasse et al.,
1995):
º¡(º) =¡(º +1)
2) Seº 2 N, (DeGroot, 1975; James, 1981; Yanasse et al., 1995):
¡(º +1) =º!

2.2.3 - A Fun»c~ao Digamma
7
A fun»c~ao Digamma de¯ne-se como (Gradshteyn e Ryzhik, 1965):
ª(x) = d
dx ln(¡(x))
Assim sendo (Gradshteyn e Ryzhik, 1965; Spiegel, 1968):
onde
ª(x) =
=
d
dx ¡(x)
¡(x)
Z
R+
= ¡° +
à exp(¡t)
t
1X
n=1
µ 1
n ¡
1
=
x+n¡1
¡ exp(¡2t)
!
dt
1 ¡exp(¡t)
° = ¡¡ 0 Z 1
(1) = ¡ exp(¡x)ln(x)dx =
0
¼2
6
2.2.4 - A Fun»c~aoKº de Bessel de Terceiro Tipo e Ordemº
De¯nida por (Gradshteyn e Ryzhik, 1965):
Kº (z) =
Z
R +
exp(¡zcosh(t))cosh(ºt)dt
Uma forma util empregada nas densidades das distribui»c~oes
K-Amplitude e K-Intensidade e a seguinte (Gradshteyn e Ryzhik, 1965):
Kº
µ q
2 ¯° = 1
2
à ! º=2 Z
°
x
¯ R +
º¡1 Ã
exp ¡ ¯
x ¡°x
!
dx

2.2.5 - A Fun»c~ao de Distribui»c~ao Acumulada
8
A fun»c~ao de distribui»c~ao acumulada (fda) de uma variavel aleatoria
X, para cadax 2 R, e de¯nida por (James, 1981):
F X(x) = Prf! 2 ­ :X(!) ·xg
ondeX(!) denota uma ocorr^encia da variavel aleatoriaX:
por (James, 1981):
e vale que (James, 1981):
2.2.6 - Esperan»ca
A fun»c~ao densidade de probabilidade (fdp)f(x) se relaciona a fda
FX(x) =
Z 1
¡1
Z x
¡1 f(x)dx
f(x)dx =1
A esperan»ca de uma variavel aleatoria cont³nuaX cuja fdp ef(x);
e denotada porE(X) e de¯nida por (James, 1981):
desde que a integral acima exista.
E(X) =
Z 1
¡1
xf(x)dx;
1) Propriedades da esperan»ca (DeGroot, 1975):
a) SeY =aX +b; ondea ebs~ao constantes, ent~ao:
E(Y) =aE(X) +b

2.2.7 - Vari^ancia
9
b) Se existe uma constantea tal que Pr(X ¸a) = 1; ent~aoE(X) ¸a:
Se existe uma constantebtal que Pr(X ·b) = 1; ent~aoE(X) ·b:
c) SeX1;:::;XN s~ao variaveis aleatorias tais que cada esperan»caE(Xi);
i= 1;:::;N, existe ent~ao:
E(X1 +:::+XN) =E(X1) +:::+E(XN)
d) SeX1;:::;XN s~aoN variaveis aleatorias independentes tais que cada
esperan»caE(X i): parai=1;:::;N; existe ent~ao:
E
à NY
Xi
i=1
!
=
NY
i=1
E(Xi)
Suponha queX e uma variavel aleatoria com media¹=E(X). A
vari^ancia deX, denotada porVar(X); e de¯nida por (DeGroot, 1975):
Var(X) =E ³
(X ¡¹) 2´
Var(X) =
desde que a integral acima exista.
Z 1
¡1
(x ¡¹) 2 f (x)dx
1) Propriedades da vari^ancia (DeGroot, 1975):
a)Var(X) =0 se e somente se existe uma constantectal que:
Pr(X =c) =1

10
b) Para quaisquer constantesa eb;
Var(aX +b) =a 2 Var(X);
desde que a vari^ancia deX exista.
c) Para qualquer variavel aleatoriaX;
Var(X) =E ³
X 2´
¡E 2 (X)
d) SeX1;:::;XN s~aoN variaveis aleatorias independentes, ent~ao
Var(X1 §::: §XN) =Var(X1)+:::+Var(XN);
desde que as vari^ancias existam.
2.2.8 - Covari^ancia e Correla»c~ao
SejamX eY variaveis aleatorias com uma espec³¯ca distribui»c~ao
conjunta, eE(X) =¹X;E(Y ) =¹Y;Var(X) =¾2 X eVar(Y ) =¾2 Y :A covari^ancia
deX eY, denotada porCov(X;Y); e dada por (DeGroot, 1975):
Cov(X;Y) =E ((X ¡¹X)(Y ¡¹Y))
Se 0

1) Propriedades da covari^ancia e da correla»c~ao (DeGroot, 1975):
11
a)Para quaisquer variaveisaleatoriasX eY taisque¾ 2 X < 1 e¾2 Y
Cov(X;Y) =E(XY) ¡E(X)E(Y )
b) SeX eY s~ao variaveis aleatorias independentes com 0

E(X r ) =
12
Z
R xr f(x)dx
1) Coe¯ciente de assimetria (Yanasse et al., 1995):
° 1 =
E ³
(X ¡E(X)) 3´
Var 3 (X)
2) Coe¯ciente de curtose (Yanasse et al., 1995):
°2 =
E ³
(X ¡E(X)) 4´
Var 4 (X)
3) Coe¯ciente de varia»c~ao (Yanasse et al., 1995):
4) Quantidades amostrais
Cv = Var1=2 (X)
E (X)
Seja x = (x 1;:::;x N) um vetor de amostras, onde N > 1. O
momento amostral n~ao centrado de ordemrde x, paraN ¸r; denotado por cmr e
de¯nido por (Yanasse et al., 1993):
cmr = 1
N
NX
x
i=1
r i
Usando-se estas quantidades pode-se calcular os coe¯cientes amos-
trais de assimetria, de curtose e de varia»c~ao.
tado por c m r e de¯nido por:
O momento amostral centrado de ordemrdex, paraN¸r; deno-
cmr = 1
N
NX
(xi ¡ cm1)
i=1
r

13
2.2.10 - Autocovari^ancia e Autocorrela»c~ao
Sejam z =[zi;j] uma matriz retangular e a = z¡cm1; onde
1 ·i ·Nx e 1 ·j ·Ny e cm1 e a media amostral de z: Sejamsx;sy 2 N dist^ancias
consideradas nas linhas e colunas, respectivamente. A fun»c~ao de autocovari^ancia
espacial estimada e de¯nida por:
b°z(sx;sy) = 1
K x
X
Ky X
atx;tyatx+sx;ty+sy
NxNytx=kxty=ky
ondekx = max f1; 1 ¡sxg;ky = max f1; 1 ¡syg;Kx = minfNx;Nx ¡sxg e
K y =minfN y;N y ¡s yg:
A fun»c~ao de autocorrela»c~ao espacial estimada e de¯nida por:
2.3 - Estima»c~ao de Par^ametros
b½z(sx;sy) = b° z(s x;s y)
b°z(0; 0)
Nesta Se»c~ao ser~ao apresentados os metodos dos Momentos e de
Maxima Verossimilhan»ca para a obten»c~ao dos estimadores dos par^ametros das dis-
tribui»c~oes.
2.3.1 - Estima»c~ao pelo Metodo dos Momentos
Seja o vetor de observa»c~oes y =(y1;:::;yN), cujasNcomponentes
s~ao ocorr^enciasde variaveisaleatoriasindependentese identicamente distribu³das se-
gundo uma fun»c~ao de distribui»c~ao dada porF(yi;µ) para todo 1 ·i·N. Suponha-
se tambem que essa distribui»c~ao possui momentos ¯nitos de ate, pelo menos, ordem
r ¸ 1. Denotar-se-a:
mj(µ) =
Z
y j dF (y;µ)

14
oj-esimo momento de Y i, comj·r. Para todoj¸1oestimador dem j(µ) sera o
j-esimo momento amostral (Frery, 1993). Em Chung (1974) e poss³vel ver que, pela
Lei dos Grandes Numeros, cm j(µ) ¡!m j (µ) quase certamente quandoN ! 1.
ate ordemr, isto e:
Se a fun»c~ao que se quer estimar,q(µ), depende dos momentos de
q(µ) =h (d) (m 1(µ);:::;m r(µ));
h (d) cont³nua, ent~ao um estimador deq(µ) pelo metodo dos momentos e:
bq m(µ) =h (d) (cm 1(µ);:::; cm r(µ))
e, pelo mesmo argumento que anteriormente (Bickel e Doksum, 1977), vale que
bq m(µ) ¡!q(µ) quase certamente quandoN ! 1. O super-³ndice \(d)" indica
a possibilidade de formar mais de um estimador, para a mesma fun»c~aoq, com os
mesmosmomentosde ate ordemr. Paratodod, afun»c~ao bq m(µ)echamadaestimador
deq(µ) obtido pelo Metodo dos Momentos (EMO) (Frery, 1993).
2.3.2 - Estima»c~ao pelo Metodo de Maxima Verossimilhan»ca
Este metodo de¯ne, como estimador, aquele que maximiza a fun»c~ao
de verossimilhan»ca vetor de observa»c~oes y (Frery, 1993). O estimador de maxima
verossimilhan»ca deq(µ), que sera denotado bqv(µ), e de¯nido como:
bqv(µ) =q
Ã
¡1
sup fPrµ(y)g
µ2£
Estes estimadores, ou pequenas varia»c~oes deles, s~ao muito usados
devido µa relativa facilidade com que podem ser obtidos para uma classe muito larga
de problemas estat³sticos. Alem disso, eles possuem boas propriedades assintoticas
(e¯ci^encia, consist^encia e normalidade), o que assegura o sucesso desta tecnica de es-
tima»c~ao quando o tamanho da amostra cresce inde¯nidamente (Frery, 1993). Parti-
!
.

15
lham com os estimadores pelo metodo dos momentos a desvantagem de n~ao ser
simples a adi»c~ao de informa»c~ao previa ao experimento estat³stico. A fun»c~ao bq v(µ)
e chamada estimador para q(µ) obtido pelo Metodo de Maxima Verossimilhan»ca
(EMV) (Frery, 1993).

17
CAPITULO 3
PRINCIPAIS DISTRIBUIC» ~ OES
Neste cap³tulo ser~ao apresentadas as principais distribui»c~oes
aplicaveis aos dados SAR, suas respectivas fun»c~oes de densidade de probabilidade,
fun»c~oes de distribui»c~ao acumulada e fun»c~oesgeradoras de momentosque apresentam
forma expl³cita. Ser~ao apresentadas tambem as respectivas esperan»cas, vari^ancias
e estimadores pelos metodos dos Momentos e de Maxima Verossimilhan»ca, quando
existentes e de facil solu»c~ao computacional. Na determina»c~ao dos estimadores pelo
metodo dos momentos ser~ao considerados os momentos n~ao nulos de ordem mais
baixa poss³vel no conjunto dos numeros naturais, com exce»c~ao da distribui»c~ao
G-Amplitude com par^ametro¸= 0;ondeapareceraum momentodeordemracional.
3.1 - Distribui»c~ao Normal Padr~ao
Diz-se que uma variavel aleatoriaX tem uma distribui»c~ao Normal
com media¹=0 e vari^ancia¾ 2 = 1, denotada porX»N(0;1), se a sua densidade
e, para todox2 R, dada por (DeGroot, 1975):
3.2 - Distribui»c~ao Normal
fX(x;0;1) = 1
Ã
p exp ¡
2¼ x2
!
2
Diz-se que uma variavel aleatoriaX tem uma distribui»c~ao Normal
com media¹ 2 R e vari^ancia ¾ 2 2 R+, denotada por X » N(¹;¾ 2 ), se a sua
densidade e, para todox 2 R, dada por (DeGroot, 1975; Frery, 1993; Yanasse et al.,
1993, 1995):
fX(x;¹;¾) =
Ã
1
p exp ¡
2¼¾ (x ¡¹)2
2¾2 !

18
1) SeY » N(¹;¾ 2 ) ent~ao (DeGroot, 1975; Frery, 1993; Yanasse et al., 1993,
1995):
X =¾ ¡1 (Y ¡¹) » N(0;1)
2) Estimadores pelos Metodos de Maxima Verossimilhan»ca e dos Momentos
(DeGroot, 1975; Sant'Anna, 1995):
b¾ 2 = 1
N
b¹ = 1
N
NX
i=1
3.3 - Distribui»c~ao Normal Multivariada
NX
xi = cm1
i=1
(x i ¡ b¹) 2 = cm 2 ¡ cm 2 1
Sejam o vetor aleatorio Y = (Y1;:::;YN);N 2 N, constitu³do de
variaveis aleatorias independentes identicamente distribu³das tais queYi » N(0;1)
para todo 1 ·i·N; a matriz real n~ao-singularA NxN e © 2 R N :Diz-se que o vetor
aleatorioX = YA+© possui uma distribui»c~ao NormalN-variada com vetor media
© e matriz de covari^ancia § = A T A, denotado por X » N(©;§): A sua densidade,
para todo vetor x 2 R N , e dada por (James, 1981; Richards, 1986):
fX(x;©;§) = 1
p j§j
2¼ ¡1=2 µ
exp ¡ 1
2 [x ¡©] §¡1 [x ¡©] T
Os estimadores de Maxima Verossimilhan»ca s~ao (Frery, 1993):
b§v = 1
N
b©v = 1
N
NX
i=1
NX
xi = cm1
i=1
³
xi ¡ b © ´ T ³
xi ¡ b © ´

3.4 - Distribui»c~ao Log-Normal
19
SejaY » N(¹;¾ 2 ):Diz-se que a variavelaleatoriaX = exp(Y) pos-
sui uma distribui»c~ao Log-Normal com par^ametros ¹ e ¾ 2 ; denotada por
X » LN(¹;¾ 2 ). A sua densidade e, para todox 2 R, dada por (Frery, 1993;
Frery et al., 1995b; Yanasse et al., 1993):
1
fX(x;¹;¾) =
x¾ p 2¼ exp
0
@¡ 1
à ! 1
2
ln(x) ¡¹
A1IR+ (x)
2 ¾
1) Momento de ordemr2 R (Sant'Anna, 1995):
E(X r ) = exp
2) Esperan»ca (Sant'Anna, 1995):
Ã
E(X) =exp
3) Vari^ancia (Sant'Anna, 1995):
r¹+ (r¾)2
!
2
Ã
¹+ ¾2
2
Var(X) = ³
exp(¾ 2 ) ¡1 ´
exp ³
2¹+¾ 2´
4) Estimadoresde Maxima Verossimilhan»ca (Sant'Anna, 1995; Yanasse et al.,
1993):
b¾ 2 v
b¹v = 1
N
= 1
N
NX
i=1
NX
i=1
ln(xi)
!
(ln(x i) ¡ b¹) 2

5) Estimadores pelo Metodo dos Momentos (Sant'Anna, 1995):
3.5 - Distribui»c~ao Constante
b¹ m = ln
20
b¾ 2 m =ln
à !
cm 2
1 p
cm2
à !
cm2
cm 2 1
Diz-se que uma variavel aleatoriaXpossui uma distribui»c~ao dege-
nerada emk 2 R; ou Constante igual ao valork, denotada porX » C(k); se a sua
fda e dada, para todox 2 R; por (Yanasse et al., 1995):
3.6 - Distribui»c~ao Uniforme
FX(x) = 1I[k;1)(x)
Seja A ½ R N : Diz-se que o vetor aleatorio X possui distribui»c~ao
Uniforme no conjunto A se para todo B ½ A vale que:
Pr(X 2 B) =
R
B dx
R
A dx
Um caso particular de interesse e quando A = [a;b]: Neste caso
fX(x;a;b) = 1
b ¡a 1I[a;b](x)
e a sua fda, para todox2 R , e dada por:
FX(x;a;b) =
8
><
>:
0; sexb

21
3.7 - Distribui»c~ao Exponencial Padr~ao
Diz-se que uma variavelaleatoria tem uma distribui»c~ao Exponencial
Padr~ao com media unitaria, denotada porX » E(1); se a sua densidade, para todo
x 2 R, e dada por (Frery,1993; Yanasse et al., 1995):
3.8 - Distribui»c~ao Exponencial
f X(x;1) =exp(¡x)1I R+ (x)
SejamY » E(1) e¸ 2 R+. Diz-se que variavel aleatoriaX =¸ ¡1 Y
possui uma distribui»c~ao Exponencial com par^ametro¸; denotada porX » E(¸). A
sua densidade, para todox 2 R , e dada por (DeGroot, 1975; Frery, 1993; Koroliuk,
1986; Yanasse et al., 1995):
fX(x;¸) = (¸exp(¡¸x))1IR + (x)
1) A sua fda e dada por (Frery, 1993; Sant'Anna,1995;Yanasse et al., 1995):
FX(x;¸) =(1 ¡exp(¡¸x))1IR + (x)
2) O momento de ordemr 2 R e dado por (Frery, 1993; Koroliuk, 1986;
Sant'Anna, 1995; Yanasse et al., 1995):
E(X r ) =¸ ¡r ¡(r +1)
3) Esperan»ca (DeGroot, 1975; Frery, 1993; Sant'Anna, 1995):
E(X) =¸ ¡1

22
4)Vari^ancia(DeGroot,1975;Frery,1993;Koroliuk,1986;Sant'Anna, 1995):
Var(X) =¸ ¡2
5) Estimador pelos Metodos de Maxima Verossimilhan»ca e dos Momentos
(Frery, 1993; Sant'Anna, 1995):
b¸ =N
à NX
3.9 - Distribui»c~ao Rayleigh Padr~ao
xi
i=1
!¡1
= cm ¡1
1
SejaY » E(1). Diz-se que a variavel aleatoriaX =Y 1=2 possui
uma distribui»c~ao Rayleigh Padr~ao, denotada porX » R(1), cuja densidade, para
todox 2 R, e dada por (Yanasse et al., 1995):
3.10 - Distribui»c~ao Rayleigh
f X(x;1) =2xexp ³
¡x 2´
1I R+ (x)
SejamY » R(1) e¸2 R+. Diz-se que a variavel aleatoriaX =¸Y
possui uma distribui»c~ao Rayleigh com par^ametroµ=¸ ¡2 ; denotada porX » R(µ),
cuja densidade, para todox 2 R, e dada por (Frery, 1993; Yanasse et al., 1995):
f X(x;µ) = ³
2µxexp ³
¡µx 2´´
1I R+ (x)
1) A sua fda, para todox2R, e dada por (Frery, 1993; Sant'Anna, 1995;
Yanasse et al., 1995):
FX(x;µ) = ³
1 ¡exp ³
¡µx 2´´
1IR + (x)

23
2) O seu momento de ordemr 2 R e dado por (Frery, 1993; Sant'Anna, 1995;
Yanasse et al., 1995):
E(X r ) = 1
p ¡ (r=2 +1)
µ r
3) Esperan»ca (Frery, 1993; Sant'Anna, 1995):
E(X) = 1
r
¼
2 µ
4) Vari^ancia (Frery, 1993; Sant'Anna, 1995):
Var(X) =
4 ¡¼
4µ
5) Estimador pelo Metodo de Maxima Verossimilhan»ca (Sant'Anna, 1995):
bµv =N
Ã
NX
x
i=1
2 !¡1
i
6) Estimador pelo Metodo dos Momentos:
3.11 - Distribui»c~ao Gama Padr~ao
bµm = ¼
4cm 2 1
= cm ¡1
2
Sejamn 2 N e (Xi); 1

3.12 - Distribui»c~ao Gama
24
fX(x;n;1) = 1
¡(n) xn¡1 exp(¡x)1IR + (x)
Sejam Y » ¡(n;1) e ¸ 2 R +: Diz-se que a variavel aleatoria
X =¸ ¡1 Y possui uma distribui»c~ao Gama com par^ametrosn e¸2R +; denotada
porX» ¡(n;¸): A sua densidade, para todox2R, e dada por (DeGroot, 1975;
Frery, 1993; Frery et al., 1995a,b; Sant'Anna, 1995; Yanasse et al., 1993, 1995):
fX(x;n;¸) = ¸n
¡(n) xn¡1 exp(¡¸x)1IR + (x)
1) Momento de ordemr 2 R (Frery, 1993; Frery et al., 1995b; Sant'Anna,
1995; Yanasse et al., 1993; Yanasse et al., 1995):
E(X r ) = ¡(n+r)
¸ r ¡(n)
2) Esperan»ca (DeGroot, 1975; Frery, 1993; Sant'Anna, 1995; Yanasse et al.,
1993)
E(X) =n=¸
3) Vari^ancia (DeGroot, 1975; Frery, 1993; Sant'Anna, 1995; Yanasse et al.,
1993):
Var(X) =n¸ ¡2
4) Estimadores pelo Metodo dos Momentos (Frery, 1993; Sant'Anna, 1995;
Yanasse et al., 1995):

25
bn m = cm 2 1
cm 2 ¡ cm 2 1
b¸m = bn
cm1
(3.1)
(3.2)
5) Para imagens de radar, o par^ametron e denominado numero equivalente
de visadas (ver Subse»c~ao 5.2.5.1, p. 50). Este par^ametro e, em geral,
conhecido ou estimado separadamente para toda imagem. Nestes casos,
somente a Equa»c~ao 3.2 acima e utilizada na estima»c~ao do par^ametro¸:
3.13 - Distribui»c~ao Raiz de Gama Padr~ao
SejaY » ¡(®;1): A variavel aleatoriaX = Y 1=2 e dita possuir
uma distribui»c~ao Raiz de Gama Padr~ao com par^ametro®: Este caso e denotado por
X » ¡ 1=2 (®;1) e a sua densidade, para todox 2 R, e dada por (Yanasse et al.,
1995):
3.14 - Distribui»c~ao Raiz de Gama
fX(x;®;¸) = 2
¡(®) x2®¡1 exp ³
¡x 2´
1IR + (x)
SejamY » ¡ 1=2 (n;1) e¸ 2 R +: A variavel aleatoriaX =¸ ¡1=2 Y e
dita possuir uma distribui»c~ao Raiz de Gama com par^ametrosne¸ 2 R +; denotada
porX » ¡ 1=2 (n;¸): A sua densidade, para todox 2 R, e dada por (Frery, 1993;
Frery et al., 1995b,c; Yanasse et al., 1993, 1995):
fX(x;n;¸) = 2¸n
¡(n) x2n¡1 exp ³
¡¸x 2´
1IR+(x)
1) Momento de ordemr2 R (Frery, 1993; Frery et al., 1995b; Yanasse et al.,
1995):

26
E(X r ) = ¡(n+r=2)
¸ r=2 ¡(n)
2) Esperan»ca (Frery, 1993; Yanasse et al., 1993):
E(X) = ¡(n+1=2)
¸ 1=2 ¡(n)
3) Vari^ancia (Frery, 1993; Yanasse et al., 1993):
Var(X) = 1
0
@n ¡
¸
à ¡(n+1=2)
¡(n)
! 2 1
4) Estimadores pelo Metodo dos Momentos (Frery, 1993; Yanasse et al.,
1993):
a) bnm e obtido pela raiz da equa»c~ao:
0s
1
cm2
@ A
bnm
b) b ¸ m e obtido por:
¡ (bnm+1=2)
¡(bnm)
b¸ m = bnm
cm 2
A
¡ cm1 =0 (3.3)
(3.4)
5) Seonumero equivalente de visadasneconhecido,opar^ametro¸eestimado
pela Equa»c~ao 3.4.

3.15 - Distribui»c~ao Beta
27
Diz-se que uma variavel aleatoriaX possui uma distribui»c~ao Beta
com par^ametros®;¯ 2 R+, denotada porX » B(®;¯); se a sua densidade, para
todox 2 R, e dada por (DeGroot, 1975; Frery, 1993; Frery et al., 1995b; Koroliuk,
1986; Sant'Anna, 1995; Yanasse et al., 1993):
f X(x;®;¯) = ¡(®+¯)
¡(®)¡(¯) x®¡1 (1 ¡x) ¯¡1 1I [0;1](x)
1) Momento de ordemr2R, e dado por (DeGroot, 1975; Frery, 1993; Ko-
roliuk, 1986; Sant'Anna, 1995):
E(X r ) = ¡(®+r)¡(®+¯)
¡(®)¡(®+¯+r)
2) Esperan»ca (DeGroot, 1975; Frery, 1993; Sant'Anna, 1995; Yanasse et al.,
1993):
E(X) = ®
® +¯
3) Vari^ancia (DeGroot, 1975; Frery, 1993; Koroliuk, 1986; Sant'Anna, 1995;
Ya-nasse et al., 1993):
®¯
Var(X) =
(®+¯) 2 (®+¯+1)
4) Estimadores pelo Metodo dos Momentos (Frery, 1993; Sant'Anna, 1995;
Yanasse et al., 1993):
b® m = cm1(cm1 ¡ cm2)
cm 2 ¡ cm 2 1

28
b¯m = (cm1 ¡1)(cm2 ¡ cm1)
cm2 ¡ cm 2 1
5) Para o caso das imagens nas quais o dom³nio de varia»c~ao dos dados n~ao
pertence ao conjunto [0;1]; faz-se necessaria a convers~ao dos dados.
3.16 - Distribui»c~ao Weibull
Diz-se que uma variavelaleatoriaXpossuiuma distribui»c~aoWeibull
com par^ametros®;¯ 2 R+, denotada porX » W(®;¯); se a sua densidade, para
todox2 R, e dada por (DeGroot, 1975; Frery et al., 1995b):
fX(x;®;¯) =®¯ ® x ®¡1 exp(¡(¯x) ® )1IR + (x)
1) A sua fda e dada por (Frery, 1993; Sant'Anna,1995;Yanasse et al., 1993):
FX(x;®;¯) = 1 ¡exp(¡(¯x) ® )1IR+(x)
2) Momento de ordemr 2 R, e dado por(Frery, 1993; Sant'Anna, 1995;
Yanasse et al., 1993):
E(X r ) = ¡(r=®+1)
¯ r
3) Esperan»ca (Frery, 1993; Sant'Anna, 1995; Yanasse et al., 1993):
E(X) = ¡(® ¡1 +1)=¯
4) Vari^ancia (Frery, 1993; Sant'Anna, 1995):

29
Var(X) = ¡ (2=®+1) ¡(¡ (®¡1 +1)) 2
5) Os estimadores pelo Metodo dos Momentos s~ao obtidos pela solu»c~ao do
sistema (Frery, 1993; Sant'Anna, 1995; Yanasse et al., 1993):
8
><
>:
¡(2b® ¡1
m
b¯ m ¡¡ (b® ¡1
m
¯ 2
+1) ¡(¡ (b®¡1 m +1))2 cm 2cm ¡2
1 = 0
+1) cm¡1
1
= 0
6) Estimadorespelo Metododa Maxima Verossimilhan»ca(Sant'Anna, 1995):
b¯v =
Ã
Nb®v=
b®v e obtido resolvendo-se a equa»c~ao:
¡
Ã
N b® ¡1
v +
N b® v=
NX
i=1
NX
i=1
x b®v
i
NX
i=1
x b® v
i
!1=b® v
ln(xi) +N b® ¡1
Ã
v (1 ¡ b®)ln N b®=
!1=b®v NX
xi ¡
i=1
Ã
N b® v=
NX
i=1
x b®v
i
! NX
NX
x
i=1
b® !
i
+
x
i=1
b®v
i ln(xi) = 0
Pode-se veri¯car facilmente que a distribui»c~ao Weibull com® = 2 e
¯ = p µ se reduz µa distribui»c~ao Rayleigh, apresentada na Se»c~ao 3.10, p. 22.
3.17 - Distribui»c~ao K-Intensidade Padr~ao
Diz-se que uma variavelaleatoriaX possuidistribui»c~aoK-Intensida-
de com par^ametros®2 R +;¯ = 1;n 2 R +; denotada porX»KI(®;1;n); se a sua

30
densidade, para cadax 2 R, e dada por (Frery, 1993; Sant'Anna, 1995; Yanasse et
al., 1995):
f X(x;®;1;n) =
2n®
¡(®)¡(n) (®nx)(®+n¡2)=2 ³
K ®¡n 2 p ®nx ´
1IR+ (x)
ondeK º e a fun»c~ao de Bessel modi¯cada de terceiro tipo e ordemº, apresentada na
Subse»c~ao 2.2.4, p. 7.
3.18 - Distribui»c~ao K-Intensidade
SejamY » KI(®;1;n) e®;n 2 R +: Diz-se que a variavel aleatoria
X =¯Y possui distribui»c~ao K-Intensidade (KI) com par^ametros®; ¯; n 2 R+;
denotada porX » KI(®;¯;n); cuja densidade, para cadax 2 R, e dada por (Frery,
1993; Frery et al., 1995a,c; Yanasse et al., 1995):
fX(x;®;¯;n) =
2n®
¯¡(®)¡(n)
à ®nx
¯
! (®+n¡2)=2
K®¡n
Ã
s
®nx
2
¯
!
1IR + (x)
Pode-se demonstrar (Yanasse et al., 1995) que a variavel aleatoria
formada pelo produto de duas variaveis aleatorias independentes com distribui»c~oes
¡(®;¸) e ¡(n;n) possui uma distribui»c~ao KI(®;¯;n); onde¯ =®=¸: Este caso,
dada a sua import^ancia para dados radar, e tratado tambem na Subse»c~ao 4.1.1, p.
40.
1) Momento de ordemr2 R (Frery, 1993; Frery et al., 1995c; Yanasse et al.,
1993, 1995):
E(X r ) =
à ! r
¯ ¡(r +®)¡(r +n)
®n ¡(®)¡(n)
2) Esperan»ca (Frery, 1993; Yanasse et al., 1993, 1995):
E(X) =¯

31
3) Vari^ancia (Frery, 1993; Yanasse et al., 1993, 1995):
Var(X) = ®+n+1
¯
®n
2
4) Estimadorespelo Metodo dos Momentos(Frery, 1993; Yanasse et al., 1993,
1995):
onde:
b®m =
b¯m = cm1
cm 2 1 (bnm +1)
bn m(cm 2 ¡ cm 2 1 ) ¡ cm2 1
bn m = ¡b § p c
2a
a= 2cm 2 2 ¡ cm 2 1 cm2 ¡ cm1 cm3
b =4cm 2 2 ¡3cm2 1 cm2 ¡ cm1cm3
c = cm 4 1 cm2 2 ¡8cm2 1 cm3 2 ¡2cm3 1 cm2cm3 +16cm 4 2 ¡8cm1cm 2 2 cm3 + cm 2 1 cm2 3
5) Se o numero equivalente de visadasn e conhecido, os par^ametros® e¯
s~ao estimados por:
cm
b®m =
2 1 (n+1)
n(cm2 ¡ cm 2 1) ¡ cm 2 1
b¯ m = cm 1

8
><
>:
32
6) Estimadoresde Maxima Verossimilhan»ca de®ede¯para o casoparticular
n = 1; (Caves, 1993):
(b® v +1)
v
u
t b ¯v b® v
ln(ª(b®v))+ln
¡ 1
XN N i=1
à !
b¯v
b®v
0
B
Bp
B xi
@
¡ 1
XN N i=1
0
B
@
K b®v
Ã
2
@
Kb®v¡1 @b® v
K b®v¡1
s !
b®vxi
b¯v
K b®v¡1
às ! 1
b®vxi
2
b¯v
C
s ! C
b®vx C
i A
b¯v
+K b®v¡2
Ã
2
= 0
às ! 1
b®vxi
2
b¯
C
à v C
s ! C
b®vxi A ¡ PN i=1ln ³ p ´
xi
onde ª e fun»c~ao Di-Gamma apresentada na Subse»c~ao 2.2.3, p. 7.
3.19 - Distribui»c~ao K-Amplitude Padr~ao
2
b¯ v
= 0
SejamY » KI(®;1;n) e®;n 2 R+: Diz-se que a variavel aleatoria
X = p Y possui distribui»c~ao K-Amplitude (KA) com par^ametros ® 2 R+;
¯ = 1; n 2 R+; denotada porX » KA(®;1;n); e a sua densidade, para cada
x 2 R, e dada por (Frery, 1993; Sant'Anna, 1995; Yanasse et al., 1995):
fX(x;®;1;n) = 4®nx
q
(®nx
¡(®)¡(n)
2 ) (®+n¡2) ³
K ®¡n 2x p ®n ´
1IR+ (x);
ondeKº e a fun»c~ao de Bessel modi¯cada de terceiro tipo e ordemº, apresentada na
Subse»c~ao 2.2.4, p. 7.
3.20 - Distribui»c~ao K-Amplitude
SejamY » KA(®;1;n) e®;n 2 R+: Diz-se que a variavel aleatoria
X = p ¯Y possui distribui»c~ao KA com par^ametros ®;¯;n 2 R+; denotada por
X » KA(®;¯;n); cuja densidade, para cadax 2 R, e dada por (Frery, 1993; Frery
et al., 1995a,b,c; Yanasse et al., 1993, 1995):

4®nx
fX(x;®;¯;n) =
¯¡(®)¡(n)
v
u
t
33
à ®nx 2
¯
! (®+n¡2)
K®¡n
Ã
s
®n
2x
¯
!
1IR + (x)
Pode-se demonstrar (Yanasse et al., 1995) que a variavel aleatoria
formada pelo produto de duas variaveis aleatorias independentes com distribui»c~ao
¡ 1=2 (®;¸) e¡ 1=2 (n;n)possuiumadistribui»c~ao KA(®;¯;n);onde¯ =®=¸:Este caso,
dada a sua import^ancia para dados radar, e tratado tambem na Subse»c~ao 4.1.2, p.
41.
1) Momento de ordemr2 R (Frery, 1993; Frery et al., 1995c; Yanasse et al.,
1993, 1995):
E(X r ) =
v
u
t
Ã
¯
®n
! r¡(r=2+®)¡(r=2+n)
¡(®)¡(n)
2) Estimadores pelo Metodo dos Momentos (Frery, 1993; Frery et al., 1995c;
Yanasse et al., 1993, 1995):
b¯m = cm2
b® m e bn m s~ao obtidos pela solu»c~ao do sistema:
8
><
>:
s cm2
b®mn
v
uÃ
u cm2
t
¡(1=2+ b® m)¡(1=2+n)
¡(b®m)¡(n)
¡ cm1 = 0
! 3¡(3=2+
b®m)¡(3=2 +n)
¡ cm 3 = 0
b® mn ¡(b® m)¡(n)
3) Se o numero equivalente de visadasn e conhecido, os par^ametros® e¯
s~ao estimados por:

s cm2
b®mn
34
¡(1=2+ b®m)¡(1=2+n)
¡(b®m)¡(n)
b¯ m = cm 2
¡ cm1 =0
3.21 - Distribui»c~ao Gaussiana Inversa Generalizada
Diz-se que uma variavel aleatoriaX possui uma distribui»c~ao Gaus-
siana Inversa Generalizada,com par^ametros®;° e¸;denotada porX » N ¡1 (®;°;¸);
se a sua densidade, para cadax 2 R, e dada por (Frery et al., 1995a,b):
q
(¸=°)
fX(x;®;°;¸) =
®
³
2K® 2 p ¸° ´x ®¡1 µ
exp ¡ °
x ¡¸x
1IR + (x)
1) O dom³nio dos par^ametros e dado por (Frery et al., 1995a,b):
8
><
>:
°>0;¸ ¸ 0; se®< 0
°>0;¸>0; se® = 0
° ¸ 0;¸>0; se®> 0
2) Momento de ordemr2 R (Frery et al., 1995a,b):
E(Xr ) = K ®+r
³
K ®
³
2 p °¸ ´
2 p °¸ ´
s µ° r
3.22 - Distribui»c~ao Raiz de Gaussiana Inversa Generalizada
¸
(3.5)
SejaY » N ¡1 (®;°;¸): Diz-se que uma variavel aleatoriaX=Y 1=2
possui distribui»c~ao Raiz de Gaussiana Inversa Generalizada, com par^ametros®;° e

35
¸; denotada porX » N ¡1=2 (®;°;¸): A sua densidade, para cadax 2 R, e dada por
(Frery et al., 1995a,b,c):
fX(x;®;°;¸) = (¸=°)®=2
³
K ® 2 p ¸° ´x2®¡1exp µ
¡ °
¡¸x2
x2 1) Momento de ordemr2R(Frery et al., 1995a,b,c):
³
2 p °¸ ´
E(X r ) = K®+r=2
³
K ® 2 p °¸ ´
3.23 - Distribui»c~ao G-Intensidade
µ
° r=4
¸
1I R+ (x)
Sejam as variaveis aleatoriasX » N ¡1 (®;°;¸); cujo dom³nio dos
par^ametros e dado na Equa»c~ao 3.5, eY » ¡(n;n),n 2 R +. Diz-se que a variavel
aleatoriaZ =XY possuidistribui»c~aoG-Intensidade(GI),com par^ametros®;°;¸ en,
denotada porZ»GI(®;°;¸;n): A sua densidade, para cadax 2 R, e dada por
(Frery et al., 1995a):
n n (¸=°) ®=2
fZI (x;®;°;¸) = ³
¡ (n)K® 2 p ´x
n¡1
¸°
µ ° +nx
¸
(®¡n)=2 µ q
K®¡n 2 ¸(° +nx) 1IR + (x)
1) Convem observar que, quando° ! 0, a distribui»c~ao GI tende, em dis-
tribui»c~ao, para a distribui»c~ao KI. E se®,¸!1e a raz~ao®=¸ !¯1
(¯1 constante), a distribui»c~ao KI tende em distribui»c~ao para a distribui»c~ao
Gama, isto e:
GI(®;°;¸;n) D ¡! KI(®;
°#0
®;¸!1
®
¸ ;n) D ¡!
®;¸!1
®=¸!¯1 2) Momento de ordemr2R(Frery et al., 1995a,b):
E(Z r ) = K®+r
K®
³
2 p ¸° ´
¡(n+r)
³
2 p ¸° ´
¡(n)
¡(n;n=¯ 1)
µ r r
1 °
n ¸

36
3.24 - Distribui»c~ao G-Intensidade Zero
Este e um caso particular da GI de interesse e aplica»c~ao em
imagens SAR. Denominada GI0 e denotada por GI(®;°;0;n); e obtida supondo-
se¸ = 0;®< 0 e°>0na GI(®;°;¸;n). A sua densidade, para todox 2 R e dada
por:
f ZI (x;®;°;0;n) =
n n ¡ (n ¡®)x n¡1
° ® ¡ (n)¡ (¡®)(° +nx) n¡®1I R+
1) Convem observar que se ¡®,° ! 1 e a raz~ao ¡®=° !¯2 (¯2 constante),
a distribui»c~ao GI0 tende em distribui»c~ao para a distribui»c~ao Gama, isto
e:
GI(®;°;0;n) D ¡!
¡®;°!1
¡®=°!¯ 2
2) Momento de ordemr2R e dado por:
8
E (Zr ><
I ) =
>:
¡ (¡® ¡r)¡ (n+r)
¡ (¡®)¡ (n)
3.25 - Distribui»c~ao G-Amplitude
¡(n;n¯2)
µ
° r
; ser< ¡2®
n
1; em caso contrario
Sejam as variaveis aleatoriasX» N ¡1=2 (®;°;¸); cujo dom³nio dos
par^ametrose dado na Equa»c~ao 3.5, p. 34, eY » ¡ 1=2 (n;n),n2 R+. Ent~ao a variavel
aleatoriaZ =XY possui distribui»c~ao G-Amplitude (GA), com par^ametros®;°;¸
en, denotada porX » GA(®;°;¸;n); com densidade, para cadax2 R, dada por
(Frery et al., 1995a,b,c):
fZ(x;®;°;¸) =
¡(n)K®
2nn r ³¸° ´ ®
³
2 p ´x
2n¡1
°¸
à ° +nx 2
¸
!®¡n
2
K®¡n
µ q
2 ¸(° +nx2
) 1IR + (x)

37
1) Convem observar que, quando° ! 0 e®,¸>0, a distribui»c~ao GA tende,
em distribui»c~ao,para adistribui»c~ao KA.Ese®,¸ ! 1 earaz~ao®=¸ !¯ 1
(¯ 1 constante), a distribui»c~aoKAtendeem distribui»c~ao paraa distribui»c~ao
Raiz de Gama, isto e:
GA(®;°;¸;n) D ¡! KA(®;
®;¸!1
®=¸!¯1 ®
¸ ;n) D ¡!
®;¸!1
®=¸!¯1 2) Momento de ordemr2 R (Frery et al., 1995a,b,c):
E(Z r ) = K ®+r=2
³
K®
2 p ¸° ´
¡(n+r=2)
³
2 p ¸° ´
¡(n)
3.26 - Distribui»c~ao G-Amplitude Zero
¡ 1=2 (n;n=¯ 1)
µ
°
n2 r=4
¸
Este e um caso particular da GA de interesse e aplica»c~ao em
imagens SAR. Denominada GA0 e denotada por GA(®;°;0;n);e obtida supondo-se
¸ = 0;®< 0 e°> 0 na GA(®;°;¸;n). A sua densidade, para todox2Re dada
por (Frery et al., 1995c):
f ZA (x;®;°;0;n) =
2n n ¡ (n ¡®)x 2n¡1
° ® ¡ (n)¡ (¡®)(° +nx 2 ) n¡®1I R+
1) Convem observar que se ¡®, ° ! 1 e a raz~ao ¡®=° ! ¯2
(¯2 constante),adistribui»c~ao GA0tende emdistribui»c~aoparaadistribui»c~ao
Raiz de Gama, isto e:
GA(®;°;0;n) D ¡! ¡
¡®;°!1
®=°!¯2 1=2 (n;n¯2)
2) Momento de ordemr2R e dado por (Frery et al., 1995c):

8
E(Z r ><
A ) =
>:
38
¡ (¡® ¡r=2)¡ (n+r=2)
¡ (¡®)¡ (n)
µ
° r=2
n
ser

CAPITULO 4
MODELAGEM DOS DADOS SAR
Sera apresentado neste cap³tulo o modelo multiplicativo, muito uti-
lizado na modelagem de imagens SAR, e as distribui»c~oes dele decorrentes. Ser~ao
apresentadas tambem outras distribui»c~oes comumente utilizadas em imagens SAR,
mas que n~ao decorrem do modelo multiplicativo.
4.1 - O Modelo Multiplicativo
O modelo multiplicativo e comumente adotado na explica»c~ao do
comportamento estat³stico de dados obtidos com radia»c~ao coerente, como e o caso
das imagens SAR (Frery, 1993; Frery et al., 1995a; Yanasse, 1991; Yanasse et al.,
1995). Este modelo sup~oe que o valor observado em cada \pixel" e a ocorr^encia
de uma variavel aleatoriaZ =XY, ondeX representa a variavel aleatoria mode-
lando oretroespalhamento dopulso incidente na superf³cie terrestre(\backscatter") e
Y representa a variavel aleatoria modelando o ru³do apresentado, associado µa ra-
dia»c~ao coerente que incide sobre a cena (\speckle") (Yanasse et al., 1995).
Diferentes distribui»c~oes paraXeY produzem diferentes distribui-
»c~oes para os dados observadosZ. Ser~ao apresentados os casos determinados pelas
combina»c~oes obtidas considerando-se os tipos de regi~oes, o numero de visadas e
os tipos de detec»c~ao utilizados. Quanto aos tipos de regi~oes, ser~ao abordadas as
homog^eneas (p. ex.: areas de cultura agr³cola, pastagens, solo exposto, etc), as
heterog^eneas (°orestas primarias, p. ex.) e as extremamente heterog^eneas (areas
urbanas, p. ex.). Quanto aos tipos de detec»c~ao ser~ao abordadas a linear (imagem
amplitude),denotada com \A"subscrito,e a quadratica (imagem intensidade), deno-
tada com \I" subscrito. Tambem ser~ao abordadas as imagens complexas, denotadas
com \C" subscrito.

4.1.1 - Imagens Intensidade
40
A modelagem do \backscatter" para regi~oes homog^eneas parte da
hipotese basica de que o mesmo possui um valor constante, embora desconhecido.
Assim sup~oe-se que (Yanasse et al., 1995):
X I » C(¯)
A modelagem do \backscatter" para regi~oes heterog^eneas parte da
hipotese basica de que o mesmo n~ao possui um valor constante, mas que pode ser
modelado por uma distribui»c~ao apropriada. E muito comum supor-se que (Frery et
al., 1995b; Ulaby e Dobson, 1989; Yanasse et al., 1995):
XI » ¡(®;¸)
A modelagem do \backscatter" para regi~oes extremamente heterog^e-
neas parte da hipotese basica de que o \backscatter" possui uma distribui»c~ao Gaus-
siana Inversa Generalizada (Frery et al., 1995a), isto e:
e extremamente heterog^eneas.
XI » N ¡1 (®;°;¸)
Ser~ao consideradasn visadas em regi~oes homog^eneas, heterog^eneas
Paranvisadas , sup~oe-se que o ru³do \speckle" possuia distribui»c~ao
da media denvariaveis aleatorias Exponenciais Padr~oes independentes (Yanasse et
al., 1995) e, de acordo com a Se»c~ao 3.11, p. 23, tem-se que:
ou seja:
YI »n ¡1 ¡(n;1)
YI » ¡(n;n)

41
Assim os casos paran visadas podem ser resumidos na Tabela 1.
TABELA 1 - RETORNO EM INTENSIDADE PARAn VISADAS
Regi~oes \Backscatter" \Speckle" Retorno
XI YI ZI =XIYI
Homog^eneas C(¯) ¡(n;n) ¡(n;n¯ ¡1 )
Heterog^eneas ¡(®;¸) ¡(n;n) KI(®;¯;n)
Extremamente Heterog^eneas N ¡1 (®;°;¸) ¡(n;n) GI(®;°;¸;n)
Apesar da distribui»c~ao GI estar sendo proposta para areas extrema-
mente heterog^eneas, ela aplica-se tambem µas areasheterog^eneas e homog^eneas, uma
vez que as distribui»c~oes KI e a Gama s~ao casos particulares da GI, conforme Se»c~ao
3.23, p. 35.
Para os casos de uma visada, a distribui»c~ao Gama do retorno se
reduz a uma Exponencial com par^ametro¯ ¡1 :
4.1.2 - Imagens Amplitude
A modelagem para regi~oes homog^eneas parte da hipotese basica de
que o \backscatter"possuium valor constante,emboradesconhecido. Assim sup~oe-se
que (Yanasse et al., 1995):
q
XA » C( ¯)
A modelagem para regi~oes heterog^eneas parte da hipotese basica
de que o \backscatter" n~ao possui um valor constante, mas que pode ser modelado
por uma distribui»c~ao apropriada. E muito comum supor-se que (Frery et al., 1995b;
Ulaby e Dobson, 1989; Yanasse et al., 1995):
XA » ¡ 1=2 (®;¸)
A modelagem para regi~oes extremamente heterog^eneas parte da

42
hipotese basica de que o \backscatter" possui uma distribui»c~ao Raiz de Gaussiana
Inversa Generalizada (Frery et al., 1995a), isto e:
e extremamente heterog^eneas.
X A » N ¡1=2 (®;°;¸)
Ser~ao consideradasn visadas em regi~oes homog^eneas, heterog^eneas
Quanto ao ru³do \speckle" sup~oe-se que o mesmo possui a dis-
tribui»c~ao da media denvariaveisaleatoriasindependentesidenticamentedistribu³das,
isto e,Y A =n ¡1 P n i=1 Y i; comY i » R(1). A densidade desta variavel aleatoria n~ao
possui uma forma expl³cita paran> 2: Caso a imagem com mais de uma visada
de amplitude seja gerada formando-se a media das intensidades de uma visada e
extraindo-se a raiz quadrada tem-se que o \speckle" e dado por:
v
u
YA = tn ¡1
nX
Yi
i=1
ondeY I » E(1) e, de acordo com a Se»c~ao 3.12, p. 24 e Se»c~ao 3.13, p. 25:
isto e:
YA » 1
p n ¡ 1=2 (n;1);
YA » ¡ 1=2 (n;n):
Esta hipotese tambem e usada , como aproxima»c~ao tratavel, na modelagem da raiz
da media de imagens de uma visada em amplitude.
Assim os casos paran visadas podem ser resumidos na Tabela 2.

43
TABELA 2 - RETORNO EM AMPLITUDE PARAn VISADAS
Regi~oes \Backscatter" \Speckle" Retorno
XA YA ZA =XAYA
Homog^eneas C( p ¯) ¡ 1=2 (n;n) ¡ 1=2 (n;n¯ ¡1 )
Heterog^eneas ¡ 1=2 (®;¸) ¡ 1=2 (n;n) KA(®;¯;n)
Extremamente Heterog^eneas N ¡1=2 (®;°;¸) ¡ 1=2 (n;n) GA(®;°;¸;n)
Apesar dadistribui»c~ao GA estarsendopropostaparaareasextrema-
mente heterog^eneas, ela aplica-se tambem µas areasheterog^eneas e homog^eneas, uma
vez que asdistribui»c~oesKA e aRaiz de Gama s~aocasosparticularesda GA,conforme
Se»c~ao 3.25, p. 36.
Para os casos de uma visada,n=1; a distribui»c~ao Raiz de Gama
se reduz ao seu caso particular Rayleigh com par^ametro¯ ¡1 :
4.1.3 - Imagens Complexas
Sup~oe-se que o \speckle" complexo possui uma distribui»c~ao Normal
Bivariada, com as componentes real e imaginaria independentes e identicamente
distribu³das com media¹=0evari^ancia¾ 2 =1=2 , isto e (Frery et al., 1995a):
tambem denotada por N 2
Y C » N 2
³
00
BB
@
0; 1
2 I´ :
1
@ 0 C
A;
0
0
B
@
1=2 0
0 1=2
11
CC
A
Quanto ao modelos para o \backscatter", ser~ao utilizados os de am-
plitude apresentados na Subse»c~ao 4.1.2, p. 41.
Desta forma, os casos para os retornos das componentes real ou
imaginaria das imagens complexas podem ser resumidos na Tabela 3.
A:

44
TABELA 3 - RETORNO COMPLEXO
Regi~oes \Backscatter" \Speckle" Retorno
XA Yc ZC =XAYC
´
´
Homog^eneas C( p ¯) N ³
0; 1
Heterog^eneas ¡ 1=2 (®;¸) N ³
2
0; 1 ´
2
´
Extremamente Heterog^eneas N ¡1=2 (®;°;¸) N ³
0; 1
2
N ³
0; ¯
2
KC(®;¸)
GC(®;°;¸)
onde KC e a densidade das componentes real ou imaginaria deZC; denominada
K-Complexa e dada por (Frery et al., 1995a):
fZC (x) = 2
s
¸
¡(®)
®+1=2
¼
jxj ®¡1=2 K®¡1=2
³
2jxj p ¸ ´
; e
GCeadensidade dascomponentesrealouimaginariadeZ C;denominada G-Complexa
e dada por (Frery et al., 1995a):
f ZC (x) =
1
K®(2 p s
(¸=°)
¸°)
®
¼
à ° +x 2
4.2 - As distribui»c~oes Normais Restritas
¸
! (®¡1=2)=2 µ
K ®¡1=2 2 q
¸(° +x2
)
Em algunscasosespeciais, sob a hipotese do modelo multiplicativo,
as distribui»c~oes Normais podem ser usadaspara modelar os retornos em intensidade
e amplitude. As demonstra»c~oes podem ser vistas em Yanasse et al. ( 1995).
Estes casos ocorrem quando s~ao consideradas regi~oes homog^eneas e
um numero de visadas su¯cientemente grande,porem n~ao o bastante para supor que
o \speckle" esteja ausente.
4.2.1 - Normal Restrita Intensidade
Sup~oe-seque o\backscatter" possuidistribui»c~ao Constante(Subse»c~ao

4.1.1, p. 40), isto e,X I » C(¯):
45
Para um numero de visadasnsu¯cientemente grande sup~oe-se que
o \speckle" possui uma distribui»c~ao Normal com media¹=1 e vari^ancia¾ 2 = 1=n,
isto e,
YI » N(1;1=n):
Esta suposi»c~ao decorre do Teorema Central do Limite (Yanasse et al. 1995).
Aplicando-se o modelo multiplicativo decorre que:
4.2.2 - Normal Restrita Amplitude
ZI =XIYI » N(¯;¯ 2 =n)
Sup~oe-seque o\backscatter" possuidistribui»c~ao Constante(Subse»c~ao
4.1.2, p. 41), isto e, isto e,XA » C( p ¯).
Para um numero de visadasnsu¯cientemente grande sup~oe-se que
o \speckle" possui uma distribui»c~ao Normal (Yanasse et al., 1995):
ent~ao decorre que:
Y A » N
0
@
Z A =X AY A » N
¡ (n+1=2)
¡ (n) p 0
1
; @n ¡
n n
0s
@
4.3 - Distribui»c~oes ad-hoc
à ¡ (n+1=2)
¡ (n)
! 11
2
AA
¯¡
(n+1=2)
;
n ¡ (n)
¯
0 Ã
@n
¡ (n+1=2)
¡
n ¡ (n)
! 11
2
AA
Existem tambem outras distribui»c~oes que, embora n~ao decorrentes
do modelo multiplicativo, eventualmente se ajustam-se bem aos dados SAR. Cabe
ressaltar entretanto que n~ao se pode concluir acerca do grau de homogeneidade dos

46
dados com a mesma con¯abilidade das distribui»c~oes oriundas do modelo multiplica-
tivo. No decorrer deste trabalho, para efeito de classi¯ca»c~ao, foram consideradas e
implementadas as seguintes distribui»c~oes:
1) Normal, apresentada nas Se»c~oes 3.1, 3.2 e 3.3 (p. 17 e 18).
2) Log-Normal, apresentada na Se»c~ao 3.4 (p. 19).
3) Beta, apresentada na Se»c~ao 3.15 (p. 27).
4) Weibull, apresentada na Se»c~ao 3.16 (p. 28).

Maxver.
CAPITULO 5
A CLASSIFICAC» ~ AO MAXVER
Neste cap³tulo ser~ao apresentados os fundamentos da classi¯ca»c~ao
5.1 - Os Passos da Classi¯ca»c~ao por Maxima Verossimilhan»ca
A classi¯ca»c~ao por Maxima Verossimilhan»ca (Maxver) e uma das
tecnicas de classi¯ca»c~ao supervisionada comumente utilizada em dados de Sensoria-
mento Remoto (Richards, 1986).
Os passos essenciais s~ao:
1) Decidir, entre os poss³veis conjuntos de classes da cobertura terrestre,
aquele que sera utilizado para particionar a imagem a ser classi¯cada. Os
elementos desse conjunto, as classes, podem ser agua, cobertura vegetal,
solo exposto, area urbana, etc.
2) Associar uma distribui»c~ao a cada classe.
3) Selecionar regi~oes representativas de cada classe na imagem. Isto pode ser
feito atraves da consulta a outros documentos, fotointerpreta»c~ao, visitas µa
area em estudo, etc.
4) Efetuar a amostragem na imagem a ser classi¯cada para estimar os par^a-
metros das distribui»c~oes associadas a cada classe.
5) Opcionalmente pode-se testar o ajuste das distribui»c~oes associadas a cada
classe.
6) Classi¯car a imagem, que dependendo se o caso e univariado ou multivari-

48
ado, pode ser feito da seguinte maneira:
a) Para o casounivariado pode-se calcular, paracada \pixel" daimagem,
as verossimilhan»cas relativas a cada uma das distribui»c~oes associadas
µas classes e atribu³-lo µa classe com maior verossimilhan»ca calculada
ou, considerando os poss³veis valores encontrados na imagem, gerar
uma tabela (\Look Up Table" - LUT) e aplica-la µa imagem.
b) Para o caso multivariado pode-se calcular, para cada \pixel", uma
dist^ancia probabil³stica µa cada classe e atribu³-lo µaquela com menor
dist^ancia.
No decorrer deste trabalho, sera considerado apenas o caso univari-
ado, cuja implementa»c~ao foi feita usando-se uma LUT.
5.2 - A Implementa»c~ao Maxver
Nesta se»c~ao ser~ao apresentadas as considera»c~oes necessarias µa im-
plementa»c~ao da classi¯ca»c~ao Maxver.
5.2.1 - Parti»c~ao da Imagem em Classes
O numero de classes depende de alguns fatores que devem ser con-
sideradosa priori. Entre osprincipaisa considerar est~ao a ¯nalidade da classi¯ca»c~ao,
quais os dados dispon³veis e quais as classes que se deseja destacar. Deve-se consi-
derar ainda a exist^encia de cada classe na imagem e ser conhecida a localiza»c~ao de
pelo menos uma area representativa de cada classe, adequada para a amostragem.
Selecionadasas classes e os dadosSAR que ser~ao utilizados, deve-se
decidir tambema priori qualo tipo de informa»c~ao(monoespectralou multiespectral)
e quais os processamentos que se espera aplicar.

5.2.2 - Associa»c~ao da Distribui»c~ao
49
A associa»c~ao da distribui»c~ao depende do tipo de informa»c~ao sele-
cionado para os dados dispon³veis e do conhecimento a priori de alguns par^ametros
dasdistribui»c~oesassociadasµa classe obtidos ou testados emclassi¯ca»c~oesanteriores.
dados monoespectrais.
A Tabela 4 apresenta as distribui»c~oes comumente associadas aos
TABELA 4 - DISTRIBUIC» ~ OES USADAS COM DADOS MONOESPECTRAIS
Modelo multiplicativo Distribui»c~oes
Imagem Amplitude Imagem Intensidade ad-hoc
Normal Restrita Amplitude Normal Restrita Intensidade Normal
5.2.3 - Amostragem
Raiz de Gama Gama Log-Normal
K-Amplitude K-Intensidade Weibull
GA0 GI0 Beta
Para cada amostra de cada classe sera considerada a possibilidade
daquela ser, quanto ao emprego, de infer^encia, teste ou ambas.
Atravesda fun»c~ao de autocorrela»c~ao estimada e poss³vel determinar
a dist^ancia (\lag") a partir do qual os dados podem ser considerados n~ao correla-
cionados. Utilizando-se esses \lags" cada amostra e decorrelacionada 1 , com uma
reamostragem a intervalos em linhas e colunas com valores correspondentes as esses
1 Este termo e comumente utilizado para indicar que foi aplicada uma opera»c~ao com a ¯nalidade
de diminuir ou eliminar a correla»c~ao existente entre os dados.

50
\lags". Este procedimento e recomendavel para efetuar a estima»c~ao dos par^ametros
das distribui»c~oes e para a aplica»c~ao do teste Qui-quadrado de ader^encia, descrito a
seguir.
5.2.4 - Teste da Ader^encia das Distribui»c~oes Selecionadas
Uma vez coletadas as amostras para cada classe, pode-se testar
a hipotese de que as mesmas s~ao provenientes das distribui»c~oes a ela associadas.
Para tal e utilizado o teste do Qui-quadrado e fornecido o p-valor, o qual indica
o maximo n³vel de signi¯c^ancia para o qual podemos aceitar a hipotese (isto e, um
p-valor proximo de um indica uma boa ader^encia da distribui»c~ao aos dados). Para a
realiza»c~ao do teste as amostras devem estar decorrelacionadas.
5.2.5 - Estima»c~ao dos Par^ametros das Distribui»c~oes
Os par^ametros de cada distribui»c~ao s~ao calculados, considerando os
estimadores da distribui»c~ao mais ajustada e os dados amostrais. No sistema imple-
mentado s~ao utilizados, sempre que poss³vel, os estimadores de Maxima Verossimi-
lhan»ca ou os estimadores obtidos pelo metodo dos Momentos, quando os primeiros
n~aoestiveremdispon³veis. Est~aooperacionaisasrotinasde estima»c~aodospar^ametros
para o caso dos dados monoespectrais em amplitude.
5.2.5.1 - O Numero Equivalente de Visadas
O numero equivalente de visadas e um dos par^ametros utilizados
quando se usa o modelo multiplicativo (Se»c~ao 4.1, p. 39).
Para o caso dasimagensmonoespectrais em amplitude,e par^ametro
dasdistribui»c~oes Raiz de Gama (Se»c~ao 3.14 p. 25), K-Amplitude (Se»c~ao 3.20,p. 32),
G-Amplitude (Se»c~ao 3.25, p. 36) e Normal Restrita Amplitude (Subse»c~ao 4.2.2, p.
45).

51
Paraocaso dasimagensmonoespectraisem intensidade,epar^ametro
das distribui»c~oes Gama (Se»c~ao 3.12, p. 24), K-Intensidade (Se»c~ao 3.18, p. 30),
G-Intensidade (Se»c~ao 3.23, p. 35) e Normal Restrita Intensidade (Subse»c~ao 4.2.1, p.
44).
Este par^ametro e estimado uma unica vez para toda a imagem,
com o uso dos primeiro e segundo momentos estimados de amostras, selecionadas e
coletadas em regi~oes homog^eneas da imagem.
Os dados em amplitude provenientes de regi~oes homog^eneas, de
acordo com a Subse»c~ao 4.1.2, Tabela 2, p. 43, possuem distribui»c~ao Raiz de Gama,
sendo ent~ao o numero equivalente de visadas estimado com o uso da Equa»c~ao 3.3, p.
26.
Os dados em intensidade provenientes de regi~oes homog^eneas, de
acordo com a Subse»c~ao 4.1.1, Tabela 1, p. 41, possuem distribui»c~ao Gama, sendo
ent~ao o numero equivalente de visadas estimado com o uso da Equa»c~ao 3.1, p. 25.
5.2.6 - Classi¯ca»c~ao
Para a classi¯ca»c~ao da imagem sera utilizada uma LUT, cujo ele-
mento de³ndice igualao valor do \pixel" em analise, contem o valor numerico da cor
correspondente µa classe verossimilhante. Para o caso univariado, os pontos de mu-
dan»ca de classe para as radiometrias s~ao coincidentes com os pontos de intersec»c~ao
entre as distribui»c~oes, conforme pode ser observado na Figura 1. Estes pontos s~ao
denominados tambem como pontos de corte.
Na implementa»c~ao do sistema n~ao foi considerada a hipotese de
valores na imagem n~ao serem classi¯cados em alguma das classes existentes. O
caso da distribui»c~ao Beta n~ao esta operacional em virtude da necessidade da imple-
menta»c~ao de uma fun»c~ao de transfer^encia.

52
Figure 1: - Densidades associadas a tr^es classes e respectivos pontos de intersec»c~ao.

CAPITULO 6
CLASSIFICADORES CONTEXTUAIS
Nestecap³tuloser~aoapresentadasasprincipaistecnicasMarkovianas
de classi¯ca»c~ao, o algoritmo ICM e um metodo para estima»c~ao do seu principal
par^ametro.
6.1 - Tecnicas Markovianas de Classi¯ca»c~ao
Frery (1993) no Cap³tulo 2 cita algumas tecnicas para classi¯ca»c~ao
de imagens, sendo a mais popular a de Maxima Verossimilhan»ca, tambem apresen-
tada no Cap³tulo 5 deste trabalho.
Mais modernamente, e sempre dentro do conceito estat³stico, t^em
sidopropostosalguns modelosque incorporam a no»c~aode depend^encia espacial entre
classes e/ou observa»c~oes, dadas as classes (Frery, 1991, 1993; Frery e Mascarenhas,
1993; Erthal e Frery, 1993; Carnevalli et al., 1985; Derin et al., 1990; Kelly et al.,
1988). S~ao os campos aleatorios Markovianos popularizados dentro da comunidade
de processamento de imagens, entre outros, por Besag (1986, 1989) e pelos irm~aos
Geman (1984, 1988, 1990).
O uso espec³¯co destes modelos permite uma maior °exibilidade (a
segmenta»c~ao Maxver e um caso particular deles) ao custo, entretanto, de maior com-
plexidade computacional (Frery, 1993). Outra vantagem da modelagem Markoviana
e ainvari^ancia dosmodelosenvolvidos, talcomo citado por Frery(1993),noCap³tulo
3. Para aplica»c~oesespec³¯casde tecnicasMarkovianasaproblemasde processamento
de imagens e vis~ao computacional podem-se examinar os trabalhos de Chellappa e
Jain (1993), Torre~ao (1992) e as refer^encias neles indicadas. E importante frisar que
as tecnicas Markovianas n~ao formam uma ilha, isto e, n~ao est~ao isoladas de outros
metodos; em Yuille et al. (1991) mostra-se como algumas opera»c~oes da Morfologia

54
Matematica se relacionam com tecnicasbaseadas na modelagem Markoviana (Frery,
1993).
Frery(1993) apresenta no Cap³tulo 2 os principaisestimadores rela-
cionados µas tecnicas Markovianas, que s~ao o ICM (\Iterated Conditional Modes":
modas condicionais iterativas), o MAP (\Maximum A Posteriori": maximo a pos-
teriori) e o MPM (\Marginal Posteriori Mode": moda da marginal a posteriori). No
Cap³tulo 3 apresenta um quadro resumo dos estimadores com suas principais carac-
ter³sticas e resultados comparativos em termos de tempo de execu»c~ao, considerados
os processamentos de uma mesma imagem em uma mesma maquina.
O uso espec³¯co de tecnicas Markovianas em processamento de
imagens SAR, citado por Frery (1993), ja aparece no trabalho de Besag (1986) e,
nos ultimos anos, tem ganho muito espa»co na literatura Derin et al. (1990); Farag
e Delp (1992); Geman e Geman (1984); Geman et al. (1990); Kelly et al. (1988);
Rignot e Chellappa (1991) e Sperry e Parker (1991).
6.2 - O Modelo de Potts-Strauss
O modelo de Potts-Strauss e um caso particular de campo Marko-
viano e que vem sendo largamente empregado em varias areas.Um caso particular
dele e o modelo de Ising, citado por Frery (1993).
Este modelo visa descrever, em forma estat³stica, a depend^encia
espacial entre variaveis aleatorias. Por ser um modelo parametrico, tal depend^encia
e controlada por um numero ¯nito de par^ametros (Frery, 1993).
Oselementosbasicosdo modelo de Potts-Strauss, que e uma fun»c~ao
de¯nida sobre um dom³nio com valores em um contradom³nio e propriedades pro-
babil³sticas, s~ao (Frery, 1993):
1) O seu suporte ou dom³nio (tamanho e estrutura) sobre o qual e de¯nido
(por exemplo, as suas propriedades s~ao muito diferentes para suportes

55
¯nitos e in¯nitos; sabe-se bastante para o caso quando o suporte e Z 2 , e
muito pouco para outras dimens~oes);
2) O seu contradom³nio (no caso do modelo de Ising com suporte S, o con-
tradom³nio e o conjunto f¡1;+1g S );
3) Os par^ametros que descrevem a depend^encia.
A generalidade do modelo de Potts-Strauss e enorme, e a escolha
de um modelo em particular, depende fortemente da aplica»c~ao para a qual deseja-se
destina-lo. O interesse deste trabalho reside no processamento e analise de imagens;
por isto, empregar-se-a exclusivamente o modelo dado pelo suporte ¯nito S: um
subconjunto de Z 2 , e pelo contradom³nio de¯nido por ­ = f1;:::;Kg para todo
s 2 S. Desta forma pode estabelecer-se uma correspond^encia entre cada elemento de
S e a coordenada de cada \pixel" de uma imagem; da mesma maneira, os elementos
de ­corresponder~ao µasK classesposs³veisde cada\pixel" daimagem (Frery, 1993).
Este modelo e util para a formula»c~ao de tecnicas de processamento
de imagens pois e evidente que, na maioria delas, o fato de um \pixel" pertencer
a uma determinada classe e afetado pelo fato dos seus vizinhos mais proximos per-
tencerem a certas classes. Isto e, ao observar um aglomerado de \pixels" de °oresta,
na hora de decidir a respeito da classe µa qual pertence um \pixel" interior a esse
aglomerado, incorpora-se a informa»c~ao dos seus vizinhos: existira a tend^encia de
atribu³-lo µa classe °oresta (Frery, 1993).
Pelo mesmo racioc³nio, se o objetivo for simular uma imagem, sera
desejavel que \pixels" espacialmente proximos exibam a tend^encia de pertencerem
µas mesmas classes (Frery, 1993).
A no»c~ao de depend^encia espacial e util quando incorporada num
esquema Bayesiano de processamento de imagens, o que sera feito no decorrer deste
trabalho;istoe, omodelode Potts-Strausssera empregado comodistribui»c~aoa priori
para o desenvolvimento de algoritmos de classi¯ca»c~ao de imagens (Frery, 1993).

56
A import^ancia do uso de distribui»c~oesadequadaspara o tratamento
Bayesiano de imagens tem sido frisada por muitos autores. Por exemplo, em Besag
(1986, 1989) pode-se ver uma formula»c~ao muito geral dos problemas de restaura»c~ao
e segmenta»c~ao de imagens dentro do contexto Bayesiano. Citado por Frery (1993),
Ripley (1989) apresenta o uso de modelos espaciais para a deconvolu»c~ao de imagens
astron^omicas, segmenta»c~ao de imagens binarias e extra»c~ao de formas em objetos
contidos em imagens digitais. A literatura referente ao uso de modelos espaciais em
processamento de imagens e enorme, e cresce dia a dia (Frery, 1993).
6.3 - Formula»c~ao Teorica
OscamposMarkovianoss~aomodelosprobabil³sticosque incorporam
a no»c~ao de depend^encia espacialentre variaveisaleatorias. Uma dasareasonde estes
modelos t^em grande sucesso e a Mec^anica Estat³stica (Frery, 1993).
Seja Sum conjunto¯nito representandoascoordenadasdo processo.
Para cadas 2 S seja ¥s ½ R um conjunto ¯nito. De¯ne-se o contradom³nio (ou as
con¯gura»c~oes poss³veis) do campo como (Frery, 1993):
¥= Y
¥ s =
s2S
8
<
: x : S ! [
s2S
¥ s :x s 2 ¥ s8s 2 S.
Para cada A ½ S seja ¥A = ¦s2A¥s. Identi¯ca-se ¥S com ¥ e ¥s
com ¥fsg. Considera-se que ¥ e um espa»co mensuravel com a¾-algebra de todos os
seus subconjuntos (Frery, 1993).
Seja¼ uma probabilidade nunca nula sobre ¥, isto e,¼(x)>0 para
todo x 2 ¥. Para cadas2 S seja¼s a fun»c~ao de¯nida sobre ¥ por (Frery, 1993):
¼s(x) =¼(y 2 ¥ : fys =xsg j fy :yt =xtg;t 6=s)
A fam³lia de fun»c~oes f¼s :s 2 Sg sera chamada fam³lia de carac-
ter³sticas locais associadas a¼(Frery, 1993).
9
=
;

57
O seguinte resultado, cuja validade e garantida apenas para o caso
do suporte S ¯nito,assegura que a distribui»c~aoconjunta ¯ca unicamentedeterminada
pelas carater³sticas locais (Frery, 1993).
Proposi»c~ao 6.1. Sejam¼e¹duasprobabilidadessobre ¥com¼(x)>0 e¹(x)> 0
para todo x 2 ¥. Se¼ s e¹ s s~ao iguais para todos 2 S, ent~ao¼ coincide com¹
(Frery, 1993).
Para as provas das Proposi»c~oes apresentadas nesta Se»c~ao, e para
outras propriedades relevantes de campos Markovianos, uma refer^encia muito com-
pleta e Bustos (1993). Outras refer^encias interessantes s~ao Besag (1986); Dubes e
Jain (1989); Frery (1991); Geman (1988); Geman e Geman (1984); Georgii (1988);
Huang (1963); MÄuller (1988); Pickard (1987) e Sher (1991).
De¯ni»c~ao 6.1. Uma fam³lia V = fV s :s 2 Sg de subconjuntos de S e um sistema
de vizinhan»cas de S se (Frery, 1993):
1)s=2Vs;
2)s 2Vt implica quet 2Vs.
De¯ni»c~ao 6.2. Sejam G = (S; V) um grafo e¼ uma probabilidade nunca nula sobre
¥. Dir-se-a que¼e G-Markoviana se (Frery, 1993):
¼s(x) =¼(y 2¥ : fys =xsg j fy :yt =xtg;t 2Vs).
Para cadas2 S sejaV 0
s = S Âfsg. Ent~ao V0 = fV 0
s :s 2 Sg e um
sistema de vizinhan»cas de S, G =(S; V 0 ) e um grafo, e
¼s(x) =¼ ³
y 2¥ : fys =xsg j fy :yt =xtg;t 2V 0
qualquer que seja¼, probabilidade nunca nula sobre ¥. Isto e,¼ e G 0 -Markoviana
(Frery, 1993).
s
´
,

58
Sejam (­; A; Pr) um espa»co de probabilidade e X : ­ ! ¥ uma
fun»c~ao mensuravel, que sera chamada campo aleatorio. Supor-se-a que
Pr X(x) = Pr(X =x)> 0 para todo x 2¥ (Frery, 1993).
De¯ni»c~ao 6.3. Seja G = (S; V) um grafo. Dir-se-a que X e um campo aleatorio
G-Markoviano (e um G-CAM) se Pr X e G-Markoviana (Frery, 1993).
De¯ni»c~ao 6.4. Seja P (S) a cole»c~ao dos subconjuntos do conjunto S (as partes de
S); uma fun»c~aoV : ¥ £ P (S) ! R e um potencial se satisfaz µas propriedades dadas
por (Frery, 1993):
1)V(x;Â) = 0 para todo x 2¥,
2) Sex s =y s para todos2A, ent~aoV (x;A) =V (y;A).
Suponha-se agora que 0 2 ¥s para todos 2 S.
6.3.1 - O Modelo de Potts-Strauss Propriamente Dito
Especializando um pouco a teoria anteriormente apresentada, para
formular modelos de interesse para processamento de imagens, chega-se ao modelo
de Potts-Strauss (Frery, 1993). Para tanto, seja S ½ Z 2 o suporte (¯nito) do pro-
cesso. Sup~oe-se que e da forma S = S 1 £ S 2, com S i um intervalo ¯nito de Z para
i = 1;2; por exemplo, S = f1;:::;mg £ f1;:::;ng. µ As vezes sera conveniente escrever
S =fs 1;:::;s Ng. Sejam ¥ s conjuntoscom um numero ¯nito de elementos,iguais para
todos 2 S, seja ¥ = ¦s2S¥s, e seja o numero real¯ 2 R. Seja X : ­ ! ¥ uma
variavel aleatoria com distribui»c~ao dada por (Frery, 1993):
Pr X(x) = Pr(X = x) = 1
Z ¯
exp
0
@¯ X
s;t2S:0

59
tem-se um modelo repulsivo; quando¯> 0 tem-se um modelo atrativo; ¯nalmente,
quando¯ =0 tem-se um modelo de independ^encia.
dadas por (Frery, 1993):
Denota-se@s a vizinhan»ca da coordenadas: Estas vizinhan»cas s~ao
@s = ft 2 S : 0< ks ¡tk ·±g
e,@s denomina-se vizinhan»ca 4, vizinhan»ca 8 ou vizinhan»ca 12 se±=1;± = p 2 ou
± = 2; respectivamente.
segundo a De¯ni»c~ao 6.4.
Note que os somandos do expoente da Equa»c~ao 6.1 s~ao potenciais,
6.4 - Estima»c~ao pela Equa»c~ao de Maxima Pseudoverossimilhan»ca
O problema de estimar por maxima verossimilhan»ca o par^ametro
¯ dada uma ocorr^encia de X e, em geral, intratavel computacionalmente devido a
queZ¯ depende de¯ de uma forma muito complexa (Frery, 1993). Lan»ca-se m~ao
ent~ao, da solu»c~ao da equa»c~ao de pseudoverossimilhan»ca. Para detalhes a respeito
desta tecnica de infer^encia, pode ver-se o trabalho de Jensen e MÄuller (s.d.) e as
refer^encias a³ indicadas, e o Cap³tulo 4 de Bustos (1993).
Seja S ½ Z 2 um ret^angulo ¯nito, isto e, existemN1 eN2 inteiros
positivos tais que S = f(i;j) : 1 ·i·N 1;1 ·j·N 2g. Sejam ¥ s ½ R ¯nito para
cadas2 S e ¥ =¦ s2S¥ s. Seja £ ½ R k um subconjunto aberto (Frery, 1993).
Para cadaµ 2 £ sejapµ : ¥ ! (0;1) tal que P
x2¥pµ = 1, isto
e, p µ > 0 para todo x 2¥ e para todo µ 2 £. Seja (­; F; Pr) um espa»co de
probabilidade e a variavel aleatoria X : ­ ! ¥ uma fun»c~ao mensuravel. Suponha-se
que existe um unico valorµ 0 2 £ tal que Pr(X = x) =p µ0 (x) para todo x 2¥;
assim sendo, o par^ametro e identi¯cavel (Frery, 1993).
Para cadaµ 2 £ e cadas 2 S seja a fun»c~aop µ;s : ¥ ! (0;1)

60
de¯nida porp µ;s(x) = Pr µ(¾ s =x s j¾ t =x t;t 6=s),onde Pr µ e a probabilidade sobre
(¥; P (¥)) induzida porp µ, e P (¥) s~ao as partes do conjunto ¥ (Frery, 1993).
De¯ni»c~ao 6.5 . SejaT ½ S n~ao vazio; chama-se fun»c~ao de pseudoverossimilhan»ca
sobreT a PL T : £ £¥ ! (0;1) dada por (Frery, 1993):
PLT (µ;x) = Y
pµ;t(x) (6.2)
t2T
Existe um Teorema que prova a consist^encia assintotica do esti-
mador de maxima pseudoverossimilhan»ca na sua forma geral (Frery, 1993). Nas
aplica»c~oes de interesse para este trabalho, sera empregado o estimador do par^ametro
de atratividade do modelo de Potts-Strauss.
A seguir e desenvolvido o calculo do estimador de maxima pseu-
doverossimilhan»ca para o modelo de Potts-Strauss, de forma tal a se ter estimadores
computacionalmente trataveis para todos os casos deste modelo. Resultados s~ao
apresentados em Frery (1993).
Pode calcular-se b ¯ = b ¯(x), o estimador de maxima pseudoverossi-
milhan»ca do modelo de Potts-Strauss (de¯nido na Equa»c~ao 6.1, p. 58), como a
solu»c~ao da seguinte equa»c~ao (Frery, 1993):
2
X
s2S
4 vs(xs) ¡
P
y2¥ s vs(y)exp ³ b ¯vs(y) ´
P
y2¥s exp³ b ¯vs(y) ´
3
5 =0,
ondev s(t) = #fu 2@ s :x u =tg, e@ s e a vizinhan»ca do pontos2 S.
Este estimador possui boaspropriedades de consist^encia e e¯ci^encia
assintoticas, porem, nessa forma geral, e computacionalmente muito caro (Frery,
1993).
A primeira simpli¯ca»c~ao que pode ser introduzida consiste em se
supor que os conjuntos ¥s s~ao iguais para todos2 S (Frery, 1993). Assim, tem-se
que ¥ = (¥ s) S . Aindamais,por simplicidade notacionale sem perdade generalidade,

61
suponha-se que ¥ s e um subconjunto de inteiros, por exemplo, ¥ s = f0;:::;K ¡1g.
Outra simpli¯ca»c~ao de ordem computacional, considerando± = 1
ou± =2;consiste em se usar somente aquelascoordenadasde Sque tenham o mesmo
numero de vizinhos (Frery, 1993). Se S = f1;:::;mg £ f1;:::;ng e
@ s = ft 2 S : 0< ks ¡tk ·±g, de¯nem-seE = f(1;1);(1;m);(1;n);(m;n)g o con-
junto das esquinas, W = fs =(i;j) 2 S : 1

¨ s =
62
1
z ¯(v s(x s)) exp(¯v s(x s))
Aplicando logaritmo µa fun»c~ao de pseudoverossimilhan»ca, dada na
Equa»c~ao 6.2, p. 60, comPµ;t( x) = ¨s tem-se:
pl(¯;x) = X
s2W
ln(¨s) (6.3)
O valor de b ¯ que maximiza pl(¯; x) e obtido procurando numeri-
camente o zero termo µa direita da equa»c~ao abaixo:
b¯ PL =
(
¯ 2 R : d
d¯ plx (¯) = 0
)
(6.4)
Em todososcasosaseguir aproveita-sea forma peculiarde d
d¯ pl x(¯):
Esta fun»c~ao, para o modelo em quest~ao e da forma
d
d¯ pl x (¯) = X k²f²;
onde \²" denota o tipo de con¯gura»c~ao local de fx s; x @s g;k ² denota o numero
de con¯gura»c~oes do tipo \²" observadas em x ef: E uma fun»c~ao que depende
exclusivamente de¯ e do tipo de con¯gura»c~ao \²":
6.4.1 - Estima»c~ao para Vizinhan»ca Quatro
Para facilitar o tratamento computacional, os coe¯cientes de vizi-
nhan»cak tem uma denomina»c~ao que identi¯ca pelo ³ndice qual a con¯gura»c~ao da
vizinhan»ca de um dado \pixel". O primeiro numero do ³ndice indica a quantidade
de vizinhos iguais ao \pixel" considerado. Os demais numeros do ³ndice indicam a
quantidade de vizinhos diferentes, n~ao importando quaisas classes vizinhas. Se uma
dada con¯gura»c~ao for inexistente o valor do coe¯ciente sera nulo e o termo n~ao tera
in°u^encia na estima»c~ao do¯.
Oscoe¯cientesposs³veispara vizinhan»ca quatro s~ao listadosabaixo,
com exemplos no Tabela _6, p. 64:

63
² k 4 denota o contador das con¯gura»c~oes onde o valor do \pixel" central
coincide com o valor de todos os seus vizinhos.
²k31 denota o contador das con¯gura»c~oes onde o valor do \pixel" central
coincide com somente tr^es dos valores dos seus vizinhos.
²k22 denota o contador das con¯gura»c~oes onde o valor do \pixel" central
coincide com somente dois dos valores dos seus vizinhos, e onde os valores
dos outros dois vizinhos s~ao iguais.
²k211 denota o contador das con¯gura»c~oes onde o valor do \pixel" central
coincide com somente dois dos valores dos seus vizinhos, e onde os valores
dos outros dois vizinhos s~ao distintos entre si.
²k13 denota o contador das con¯gura»c~oes onde o valor do \pixel" central
coincide com somente um valor vizinho, e onde os valores dos outros tr^es
vizinhos s~ao iguais entre si.
²k121 denota o contador das con¯gura»c~oes onde o valor do \pixel" central
coincide com somente um valor vizinho, e onde somente dois dos valores
dos outros tr^es vizinhos s~ao iguais entre si.
²k1111 denota o contador das con¯gura»c~oes onde o valor do \pixel" central
coincide com somente um valor vizinho, e onde os valores dos outros tr^es
vizinhos s~ao distintos entre si.
²k04 denota o contador das con¯gura»c~oes onde o valor do \pixel" central e
diferente dos valores de todosos vizinhosque, por sua vez, s~ao iguais entre
si.
²k031 denota o contador das con¯gura»c~oes onde o valor do \pixel" central e
diferente dosvaloresde todos os vizinhos,dosquais somente tr^ess~ao iguais
entre si.
²k022 denota o contador das con¯gura»c~oes onde o valor do \pixel" central

64
e diferente dos valores de todos os vizinhos, e esses quatro valores est~ao
arranjados de maneira que ha dois iguais entre si e diferentes de outros
dois iguais entre si.
² k 0211 denota o contador onde o valor do \pixel" central e diferente dos
valores de todos os vizinhos, e esses quatro valores est~ao arranjados de
maneira que ha doisiguaisentre sie diferentesdosoutrosdoisque tambem
s~ao diferentes entre si.
²k 01111 denota o contador das con¯gura»c~oes onde os cinco valores considera-
dos s~ao diferentes entre si.
TABELA 6 - EXEMPLOS DE CONFIGURAC» ~ OES PARA±=1
k 4
|
| | |
|
k13
|
Ä | Ä
Ä
k031
¥
Ä | Ä
Ä
k 31
|
| | |
Ä
k121
|
Ä | Ä
¥
k022
¥
¥ | Ä
Ä
k 22
|
| | Ä
Ä
k1111
|
¥ | Ä
¨
k0211
N
N | ¥
Ä
k 211
|
| | ¥
Ä
k04
|
| N |
|
k01111
N
¥ | Ä
¨

65
Desenvolvendo a Equa»c~ao 6.3, p. 62, com± = 1, tem-se a fun»c~ao de
pseudoverossimilhan»ca para vizinhan»ca quatro, apresentada no Ap^endice A. E de-
senvolvendo a Equa»c~ao 6.4, p. 62 obt^em-se a solu»c~ao para b ¯ PL, tambem apresentada
no Ap^endice A.
6.4.2 - Estima»c~ao para Vizinhan»ca Oito
A fun»c~ao de pseudoverossimilhan»ca e a solu»c~ao para o valor de b ¯ PL
para vizinhan»ca oito s~ao apresentados no Ap^endice B e os desenvolvimentos e de-
nomina»c~ao dos³ndices seguem osmesmos padr~oesutilizados para vizinhan»ca quatro,
descritos na Subse»c~ao 6.4.1, p. 62.
Os termos poss³veis para a vizinhan»ca oito, com exemplos de con-
¯gura»c~oes, est~ao apresentados na Tabela 7.
k8
| | |
| | |
| | |
k5111
Ä | |
¥ | |
¨ | |
k35
N N N
N | |
N | |
TABELA 7 - CONFIGURAC» ~ OES PARA±= p 2
k71
| | Ä
| | |
| | |
k44
¨ ¨ ¨
¨ | |
| | |
k341
¥ ¥ ¥
¥ | |
N | |
k62
Ä Ä |
| | |
| | |
k431
¨ ¨ ¨
¥ | |
| | |
k332
¥ ¥ ¥
N | |
N N |
k611
Ä ¥ |
| | |
| | |
k422
Ä ¥ ¥
Ä | |
| | |
k3311
Ä Ä Ä
N | |
¥ | |
k53
Ä | |
Ä | |
Ä | |
k4211
Ä ¨ |
¥ | |
¥ | |
k3221
Ä N N
Ä | ¥
| | |
k521
¥ ¥ |
Ä | |
| | |
k41111
¨ N |
Ä | |
¥ | |
k32111
| | |
Ä | N
¨ ¨ ¥

k311111
Ä | |
¥ | |
z N ¨
k2321
¨ ¨ ¨
z | |
z N |
k 17
N N N
N | N
N | N
k 14111
z z z
| | z
N Ä ¨
k122111
Ä N N
Ä | J
| z ¥
k0611
¥ N N
z | N
N N N
k26
| | ¨
¨ | ¨
¨ ¨ ¨
k23111
z Ä ¥
| | ¨
| ¨ ¨
k 161
¨ | z
¨ | ¨
¨ ¨ ¨
k 1331
J z |
J | Ä
J Ä Ä
k1211111
| ¨ ¨
Ä | ¥
z J N
k053
J J ¨
J | ¨
¨ ¨ ¨
66
TABELA 7 - Continua»c~ao
k251
Ä Ä Ä
¨ | Ä
| | Ä
k2222
Ä Ä |
z | |
z ¨ ¨
k 152
¨ ¨ ¨
¨ | J
¨ J |
k 1322
N | ¥
N | ¥
J J ¥
k11111111
¨ z |
N | J
¥ Ä H
k0521
H ¨ ¨
H | z
H H H
k242
Ä Ä Ä
¨ | Ä
| | Ä
k22211
N ¥ z
N | Ä
| | Ä
k 1511
¨ ¨ ¨
¨ | ¨
J N |
k 13211
Ä Ä z
| | ¥
N N N
k08
H H H
H | H
H H H
k05111
z z z
¥ | z
N H z
k2411
| | ¥
¨ | ¥
z ¥ ¥
k221111
z | |
Ä | ¥
¨ N N
k 143
Ä Ä Ä
Ä | J
| J J
k 131111
J J J
¥ | |
N ¨ z
k071
Ä ¥ ¥
¥ | ¥
¥ ¥ ¥
k044
¥ ¥ ¥
z | ¥
z z z
k233
¨ ¨ ¨
z | |
z z |
k2111111
Ä z ¨
N | |
¥ J |
k 1421
¥ ¥ |
¥ | J
¥ ¨ ¨
k 12221
¨ ¨ Ä
J | Ä
| z z
k062
N N N
z | N
z N N
k0431
J J J
Ä | H
H H H

k0422
Ä Ä N
¥ | N
¥ N N
k032111
¥ Ä Ä
H | Ä
J N N
k011111111
z J ¨
¥ | N
Ä H I
k04211
¨ ¨ ¨
Ä | ¨
N z z
k0311111
¥ ¥ ¥
¨ | N
J z Ä
67
TABELA 7 - Conclus~ao
k041111
N ¨ z
¥ | z
Ä z z
k02222
H J J
H | z
Ä Ä z
6.4.3 - Estima»c~ao para Vizinhan»ca Doze
k0332
Ä Ä Ä
J | z
J J z
k022211
¨ z N
¨ | ¥
J J ¥
k03311
N ¥ H
N | H
N Ä H
k0221111
¥ J ¨
N | ¨
N z H
k03221
z J J
z | H
z ¨ H
k02111111
Ä Ä J
z | ¨
¥ N H
A denomina»c~ao dos³ndices e o desenvolvimento da fun»c~ao de pseu-
doverossimilhan»ca e solu»c~ao para o valor de b ¯PL para vizinhan»ca doze seguem o
mesmo padr~ao descrito na Subse»c~ao 6.4.1, p. 62, e s~ao apresentados no Ap^endice
C.
6.5 - O Algoritmo ICM
Frery (1993) cita no Cap³tulo 3 as vantagens do algoritmo ICM
para classi¯ca»c~ao de imagens em rela»c~ao aos estimadores MAP e MPM. Uma das
vantagens mais interessantes, alem do tempo de execu»c~ao, e o fato de permitir uma
implementa»c~ao amigavel para o usuario. Para aplica»c~ao o usuario n~ao precisa mais

68
conhecimentos do que os requeridos para utilizar o metodo de classi¯ca»c~ao Maxver
pontual, que e de uso corrente. Este algoritmo foioriginalmente proposto como uma
forma de se obter uma solu»c~ao MAP aproximada e, mais tarde, ganhou o \status"
de algoritmo com interesse proprio (Frery, 1993).
Oalgoritmo ICMe determin³stico,istoe,a unicidade de sua solu»c~ao
e garantida por de¯ni»c~ao (Erthal e Frery, 1993). Mostra-se tambem neste trabalho
a obten»c~ao de melhor qualidade na pos-classi¯ca»c~ao com o algoritmo ICM.
Oalgoritmoe descrito como do tipo \spin-°ip" (atualiza uma coor-
denada de cada vez) (Frery, 1993). O metodo consiste em procurar, iterativamente,
ate alcan»car uma con¯gura»c~ao de equil³brio, o valor bx s que maximiza
Pr ³
´
xs j y; xSnfsg e em substituirx s por bx s, para toda coordenadas: Tem a propriedade de parar
em um maximo (possivelmente local) da distribui»c~ao a posteriori (Erthal e Frery,
1993):
Pr(X j Y = y)
A sua implementa»c~ao em forma sequencial assegura uma seqÄu^encia
de estima»c~oes (bx(k)) k>0 tal que (Frery e Mascarenhas, 1993):
Pr(bx(0) j y) · Pr(bx(1) j y) · Pr(bx(2) j y) · ¢ ¢ ¢:
O algoritmo ICM pode ser implementado tambem em forma
paralela; porem a propriedade de assegurar uma seqÄu^encia de estima»c~oes com a
caracter³stica acima, so esta provada para implementa»c~oes sequenciais (Frery, 1993;
Frery e Mascarenhas, 1993). O sistema desenvolvido adotou uma implementa»c~ao
sequencial descrita em detalhes no ¯nal desta Se»c~ao.

69
Para detalhes de implementa»c~ao (a respeito de \pixels" visitados
fs;t;:::g; da estima»c~ao inicial bx(0) e dos poss³veis criterios de parada), para a
conex~ao do ICM com as tecnicas de relaxa»c~ao estocastica e para resultados experi-
mentais ver as refer^encias Besag (1986, 1989).
Sendo adotado o modelo apresentado na Equa»c~ao 6.1, p. 58, como
distribui»c~ao a priori para o algoritmo ICM, o metodo consiste em substituir, na
itera»c~ao t; bx s(t) pela classe» que maximiza o valor obtido do produto entre as
verossimilhan»cas Maxver e do modelo de Potts-Strauss nas classes:
max ¡1
»2f0;:::;K¡1g fP(y s j») P ¯(» jx @s )g (6.5)
As verossimilhan»casMaxver nasclassescorrespondem µasdensidades
calculadasparaysem cadauma dasdistribui»c~oesassociadasµasclassesnaclassi¯ca»c~ao
Maxver. As verossimilhan»cas para cada classe segundo o modelo de Potts-Strauss
(Equa»c~ao 6.1, p. 58), podem ser obtidas avaliando-se apenas a Equa»c~ao 6.6 abaixo,
ja que o termoZ ¯ e comum a todas elas:
exp
0
@ ¯ X
s;t2S:0

Verde, cujas densidades s~ao parcialmente apresentadas na Figura 3, p. 71.
70
1) Analise Maxver: Observando-se somente os valores de cada \pixel" tem-se
a classi¯ca»c~ao Maxver constante da Figura 4, p. 71. As verossimilhan»cas
para o \pixel" central, observando-se a Figura 4, p. 71, s~ao apresentadas
na terceira coluna da Tabela 8, onde observa-se tambem que o maior valor
obtido corresponde µa classe Azul.
2) Analise contextual: Considerando-se a classi¯ca»c~ao Maxver obtida, os
resultados da informa»c~ao contextual para o \pixel" central constam na
quarta coluna da Tabela 8. O maior valor obtido corresponde µa classe
Amarela e coincide tambem com a moda da janela em estudo.
3) Analise pelo algoritmo ICM: o algoritmo considera em cada classe o pro-
duto dos valoresobtidospara asanalisesMaxver e Contextual. Os resulta-
dos s~ao apresentados na ultima coluna da Tabela 8, onde pode-se observar
que o maior valor corresponde µa classe Verde.
TABELA 8 - RESULTADOS PARA A JANELA EXEMPLO
Analise
Classe Maxver Contextual ICM
Amarela 0.0031 exp(4¯) 0.023
{ Azul 0.0089 exp(1¯) 0.015
Verde 0.0077 exp(3¯) 0.035
Resultado Azul Amarela Verde
Frery (1993); Frery e Mascarenhas (1993) e Erthal e Frery (1993)
implementaram o algoritmo ICM com vizinhan»ca quatro (± =1): Nesta disserta»c~ao
abordam-se as formula»c~oes para vizinhan»ca quatro, oito e doze. Entretanto, em
continuidade ao trabalho de Frery e Mascarenhas (1993), a implementa»c~ao levada a
efeito refere-se somente µa vizinhan»ca oito ³
± = p 2 ´
:

71
Figure 2: - Janela exemplo para analise.
Figure 3: - Densidades para tr^es classes.
Figure 4: - Classi¯ca»c~ao Maxver para a janela exemplo.
Figure 5: Classi¯ca»c~ao ICM para a janela exemplo.

72
O estimador do par^ametro¯ e obtido a cada itera»c~ao pelo metodo
de pseudoverossimilhan»ca, baseado na ultima classi¯ca»c~ao completa obtida. O seu
valor e dado pela raiz da equa»c~ao de pseudoverossimilhan»ca para estima»c~ao de b ¯;
apresentada no Ap^endice B. A classi¯ca»c~ao inicial bx(0) para estima»c~ao de b ¯ e a
classi¯ca»c~ao Maxver pontual da imagem y.
Como o numero de con¯gura»c~oes da vizinhan»ca de cada \pixel" e
¯nito e, no caso da vizinhan»ca oito, s~ao poss³veis no maximo 67 con¯gura»c~oes (se a
parti»c~ao de classes da imagem tiver pelo menosK= 9 classes), foram consideradas
tr^es metodos para a implementa»c~ao da estima»c~ao de b ¯:
1) Visitar todos os \pixels" da imagem, contar o numero de ocorr^encias de
cada con¯gura»c~ao e estimar o b ¯;
2) Visitar os \pixels" da imagem em um processo iterativo crescente, usando
a tecnica do processamento piramidal do vertice para a base, e estimar o
b¯ ate que o mesmo estabilize em rela»c~ao µa itera»c~ao anterior a menos de
uma toler^ancia especi¯cada.
3) Visitar os \pixels" da imagem em um processo iterativo crescente, usando
a tecnica do processamento piramidal do vertice para a base, ate que as
propor»c~oes de ocorr^encia de cada con¯gura»c~ao de vizinhan»ca estabilizem
em rela»c~ao µa itera»c~ao anterior a menos de uma toler^ancia especi¯cada.
O processamento piramidal adotado e um metodo iterativo de estima»c~ao
onde o numero de amostras e incrementado em propor»c~ao crescente a cada
itera»c~ao.
Foram testados os tr^es metodos e registrados os tempos de con-
verg^encia para uma mesma imagem na mesma maquina. O primeiro metodo estima
o b ¯ mais preciso para a classi¯ca»c~ao considerada. Entretanto, por visitar toda
imagem, e o computacionalmente mais caro. O segundo metodo converge rapida-
mente,dependendoobviamente, da toler^ancia especi¯cada para o b ¯ e daclassi¯ca»c~ao

73
em uso. O terceiro metodo, com uma especi¯ca»c~ao de toler^ancia para propor»c~ao
equivalente µa especi¯cada para o b ¯; converge com o mesmo numero de itera»c~oes,
porem com maior custo devido µa maior complexidade computacional. Na imple-
menta»c~ao ¯nal optou-se pelo segundo metodo que, testado com uma imagem de
2400 x 1600 \pixels", apresenta um tempo medio na ordem de 30 vezes inferior ao
apresentado pelo primeiro metodo.
O criterio de parada para o algoritmo e o percentual de trocas, em
rela»c~ao a classi¯ca»c~ao anterior, ser inferior a um determinado valor especi¯cado pelo
usuario.
Para a aplica»c~ao do algoritmo ICM propriamente dito, o conjunto
suporte S = f1;:::;mg £ f1;:::;ng e particionado nos quatro subconjuntos Sp
descritos abaixo (o sub³ndice \p" usado e por parti»c~ao, ja que S = S 4 i=1 Sp e
T Sp =0):
S1 = f(i;j) 2 S :i= 1(2)m;j = 1(2)ng;
S 2 = f(i;j) 2 S :i= 2(2)m;j = 2(2)ng;
S3 = f(i;j) 2 S :i= 2(2)m;j = 1(2)ng;
S4 = f(i;j) 2 S :i= 1(2)m;j = 2(2)ng:
Autiliza»c~aodesta parti»c~ao evitaosefeitosindesejaveisque varreduras
sistematicas podem acarretar: o efeito diagonal citado por Frery (1993) e outros au-
tores. Este procedimentoe ilustradonaTabela 9, p. 74,onde cadanumerorepresenta
a ordem na qual a correspondente coordenada e visitada pelo algoritmo.

74
TABELA 9 - SEQ Ä U ^ ENCIA DE VISITAS AO SUPORTE S6£6
1 10 2 11 3 12
19 28 20 29 21 30
4 13 5 14 6 15
22 31 23 32 24 33
7 16 8 17 9 18
25 34 26 36 27 36
6.6 - Pseudocodigos do Algoritmo ICM
menta»c~ao do algoritmo ICM.
Ser~ao apresentados a seguir os pseudocodigos relativos µa imple-
6.6.1 - Pseudocodigo do Algoritmo de Classi¯ca»c~ao
In³cio
s à imagem SAR
v à matriz das verossimilhan»cas Maxver ff1;:::;max( s)g £Kg
lut à Indice Onde(maximo(col y( v)))
y Ãlut( s) : Gera Imagem Maxver
pareicm à Usuario especi¯ca o criterio de parada do ICM
trocas à 100
e ¯ Ã h
1;e ¯ ;e 2¯ ;e 3¯ ;e 4¯ ;e 5¯ ;e 6¯ ;e 7¯ ;e 8¯i
Enquanto (trocas ¸pareicm) executar

w à y
¯ Ã Estima Beta ( y)
y à Gera Imagem ICM ³
75
s;w; v;¯ ,e ¯
trocas à (Contagem Onde ( w 6=y)) ¤100= Numero de \pixels" ( y)
Fim enquanto
Retornar y
Fim
6.6.2 - Pseudocodigo da Fun»c~ao para Estima»c~ao de¯
In³cio
contadorescoeficientesk à 0
(dif ¯;¯ 0 Ã 1:) e (tol ¯ Ã 0:02)
step à m³nimo [nrcolunas( y) ¤ 0:05;nrlinhas( y) ¤ 0:05]
Enquanto (step> 1:0) e (dif¯>tol¯) executar
Parai=1;step;nrlinhas( y) ¡1 executar
Paraj = 1;step;nrcolunas( y) ¡1 executar
Fimj;i
Determinar a con¯gura»c~ao da vizinhan»ca do \pixels"y(j;i)
Incrementar o contador de coe¯ciente da con¯gura»c~ao.
step Ãstep=2
´

76
¯ ÃRaizdaequa»c~aodepseudoverossimilhan»ca (contadorescoeficientesk)
dif¯ à j¯ ¡¯0j
¯0 ï
Fim enquanto
Retornar¯
Fim
6.6.3 - Pseudocodigo da Fun»c~ao que Gera uma Classi¯ca»c~ao ICM
In³cio
Para parti»c~ao (p =1; 4) da imagem y executar
Fimp
Para caday2 y p executar
vizclasse à numero de vizinhos por classe
icm Ãe ¯( vizclasse) ¤ v( s) 2
y à Indice Onde (maximo ( icm))
Fim y p
Retornar y
Fim
2 E uma opera»c~ao de multiplica»c~ao entre os elementos dos vetores, considerados os mesmos
³ndices.

CAPITULO 7
O TESTE DA CLASSIFICAC» ~ AO
Comparando-se a imagem classi¯cada com amostras de teste es-
pec³¯cas ou com imagens verdade que estejam co-registradas, pode-se obter uma
matriz de confus~ao, onde s~ao apresentadas as quantidades e/ou percentagens de
\pixels" classi¯cados correta e incorretamente em cada classe.
Alguns metodos tem sido propostos para a determina»c~ao da
exatid~ao da classi¯ca»c~ao utilizando-se as matrizes de confus~ao (Bishop et al., 1975;
Congalton e Mead., 1983; Rosen¯eld e Fitzpatrick-Lins, 1986; Campbel, 1987; Hud-
son e Ramm, 1987; Ma e Redmond, 1995 e Brites et al., 1996).
Na analise dos resultados obtidos no decorrer deste trabalho sera
utilizado o Coe¯ciente de Concord^ancia Kappa, descrito abaixo, o qual foi imple-
mentado no sistema desenvolvido.
7.1 - Coe¯ciente de Concord^ancia Kappa
(Bishop et al., 1975):
O estimador do coe¯ciente de concord^ancia Kappa e obtido por
b· = N P r i=1 x ii ¡ P r i=1 (x i²x ²i)
N 2 ¡ P r i=1 (xi²x²i)
ondere o numero de linhas ou colunas da matriz de confus~ao,x ii e o numero de
observa»c~oes na linhaie colunai;x i² e a soma dos valores na linhai;x ²i e a soma
dos valores na colunai eN e o numero total de observa»c~oes.
A vari^ancia de b· e obtida por (Bishop et al., 1975):

onde:
78
b¾ 2 = 1
Ã
µ1(1 ¡µ 1)
N (1 ¡µ2) 2 + 2(1 ¡µ 1)(2µ 1µ 2 ¡µ 3)
(1 ¡µ2) 3 + (1 ¡µ2 1 )(µ 4 ¡4µ 2 2 )
(1 ¡µ2) 4
!
µ 1 = 1
N
µ2 = 1
N 2
µ3 = 1
N 2
µ 4 = 1
N 3
rX
i=1j=1
rX
i=1
rX
x ii
xi²x²i
i=1
rX
xii(xi²x²i)
i=1
rX
x ij(x j² +x ²i) 2
Landise Koch(1977) sugerem uma conceitua»c~ao para aclassi¯ca»c~ao
em fun»c~ao do Kappa obtido, apresentada na Tabela 10.
TABELA 10 - CONCEITOS PARA KAPPA
Kappa Conceito
< 0 Pessima
0

7.2 - Os Testes de Hipoteses para Comparar Matrizes de Confus~ao
79
Atraves da estat³stica Kappa e de sua vari^ancia e poss³vel testar a
igualdade de duasmatrizesde confus~ao, com coe¯cientespopulacionais·1 e·2:Ser~ao
apresentados e utilizados neste trabalho os testes bilateral e unilateral, descritos a
seguir.
7.2.1 - Teste Bilateral
O teste bilateral sera aplicado na compara»c~ao de matrizes de con-
fus~ao obtidas a partir de um mesmo metodo de classi¯ca»c~ao, ou seja, sera utilizado
nas compara»c~oes Maxver versus Maxver e ICM versus ICM.
dadas por:
SejamH 0 e H 1 as hipoteses nula e alternativa, respectivamente,
e seja a estat³sticaz de¯nida por:
8
><
>:
H0 :·1 =·2
H1 :·1 6=·2
z = b·1 ¡ b·2
q
b¾ 2 1 + b¾ 2 2
onde b· 1 e b· 2 s~ao os estimadores de· 1 e· 2 e b¾ 2 1 e b¾2 1 as vari^ancias de b· 1 e b· 2:
Como a estat³sticaz possui, assintoticamente, distribui»c~ao Normal,
pode-se a¯rmar que, paraN su¯cientemente grande, se jzj e maior 1:645; 1:96 ou
2:329, o mesmo pertence µa regi~ao cr³tica do teste, rejeitando-se portanto a hipotese
H0; com coe¯ciente de con¯an»ca de 90%; 95% e 99%, respectivamente. Como as
hipoteses s~ao excludentes, neste caso aceita-se a hipotese alternativaH1, ou seja, de
que as matrizes de classi¯ca»c~ao s~ao diferentes entre si.

7.2.2 - Teste Unilateral
80
A aplica»c~ao do teste unilateral e mais adequada quando se sabe a
priori que uma classi¯ca»c~ao e de qualidade superior a outra. Este e o caso nas
compara»c~oes das matrizes de confus~ao obtidas a partir de classi¯ca»c~ao por metodos
ICM e por Maxver. O uso deste teste diminui a possibilidade de se cometer o
Erro do Tipo II no teste de hipoteses (aceitar a hipotese nulaH0 quando a hipotese
alternativaH1 e averdadeira). Ajusti¯cativaparaaaplica»c~ao do testeunilateralesta
no fato dos melhores resultados da classi¯ca»c~ao ICM comparativamente µa Maxver,
pela propria modelagem da classi¯ca»c~ao ICM, que tem a Maxver como um caso
particular (quando¯ = 0, conforme Equa»c~ao 6.5, p. 69). O fato da estima»c~ao do
par^ametro¯ da modelagem ICM apresentar sempre valores positivos tambem entra
em considera»c~ao, uma vez que, a pior hipotese poss³vel e quando¯ = 0; ou seja, a
classi¯ca»c~ao ICM e igual a Maxver.
dadas por:
SejamH0 e H1 as hipoteses nula e alternativa, respectivamente,
e seja a estat³sticaz de¯nida por:
8
><
>:
H0 :·1 =·2
H1 :·1>·2
z = b·1 ¡ b·2
q
b¾ 2 1 + b¾ 2 2
Neste caso b· 1 e o coe¯ciente estimado para a matriz de confus~ao
da classi¯ca»c~ao ICM e b· 2 e o coe¯ciente estimado para a matriz de confus~ao da
classi¯ca»c~ao Maxver, e b¾ 2 1 e b¾2 2
suas respectivas vari^ancias.
Como a estat³sticaz possui, assintoticamente, distribui»c~ao Normal,
pode-se a¯rmar que, paraNsu¯cientemente grande, sez e maior 1:282; 1:645 ou

81
2:257, o mesmo pertence µa regi~ao cr³tica e, portanto, rejeita-se a hipoteseH 0; com
coe¯ciente de con¯an»ca de 90%; 95% e 99%, respectivamente. Como as hipoteses
s~ao excludentes, neste caso aceita-se a hipotese alternativaH 1, ou seja, de que o
coe¯ciente de concord^ancia da classi¯ca»c~ao ICM e maior do que o da Maxver.
7.2.3 - Determina»c~ao do p-valor do Teste
Uma vez obtida a estat³sticaz no teste bilateral ou unilateral, pode-
secalcular orespectivo p-valor com ouso da Tabeladafun»c~ao de distribui»c~aoNormal
Padr~ao. Entrando com a estat³sticazcomo argumento na Tabela obtem-se o valor
©(z), que corresponde µa area sob a curva da densidade Normal de ¡1 atez: O
p-valor e dado por:
p = 1 ¡©(z)
O p-valor e um indicador do maximo n³vel de signi¯c^ancia® para
o qual a hipotese nulaH 0 e aceita. Quanto maior for o p-valor, maior a seguran»ca
na aceita»c~ao da hipotese nula.
Se o n³vel de signi¯c^ancia®para o teste for previamente especi¯-
cado, a hipotese nulaH 0 sera aceita se o p-valor obtido for superior ao®:

83
CAPITULO 8
RESULTADOS OBTIDOS
Neste Cap³tulo ser~ao apresentados os resultados da classi¯ca»c~ao de
imagens SAR de dois sensores distintos, usando os classi¯cadores Maxver e ICM
implementados no sistema descrito no Ap^endice D.
E mostrado neste Cap³tulo que para as imagens utilizadas ha uma
melhora signi¯cativa na classi¯ca»c~ao quando se utiliza o classi¯cador Maxver com
as distribui»c~oes adequadas aos dados, quando comparada ao classi¯cador Maxver
classico que utiliza a distribui»c~ao Gaussiana. Mostra-se tambem que o classi¯cador
ICM sempre produz resultados melhores que o Maxver.
especi¯cadas:
Paraarealiza»c~ao dasclassi¯ca»c~oesforamutilizadasasimagensabaixo
1) Imagem SAR 580: Imagem obtida por sensor aerotransportado, em ampli-
tude, na banda L, com numero nominal de visadas igual a um, tamanho
de 512 x 512 \pixel", da regi~ao de Freiburg, Alemanha, utilizada tambem
por Frery (1993), Frery e Mascarenhas (1993), Erthal e Frery (1993),
Sant'Anna (1995), apresentada na Figura 6, p.85.
2) Imagens JERS-1
a)Imagemoriginal: Orbita/ponto D405/306, em amplitude,com numero
nominal de visadas igual a tr^es, espa»camento entre \pixels" de 12.5 x
12.5m,polariza»c~aohorizontal/horizontal(HH),de26Jun93,tamanho
de 1600 x 2400 \pixels", da regi~ao da Floresta Nacional de Tapajos,
Para, apresentada na Figura 7, p. 86, com as regi~oes de coleta de
amostras das classes demarcadas de acordo com a legenda.

84
b) Imagem com resolu»c~ao espacial degradada: Orbita/ponto D405/306,
em amplitude, obtida a partir da imagem original transformada para
intensidade, extraindo-se a raiz quadrada damedia de quatro \pixels",
com espa»camento entre \pixels" de 25 x 25 m, polariza»c~ao HH, de 26
Jun 93, tamanho de 800 x 1200 \pixels".
Para a realiza»c~ao dostestesde classi¯ca»c~ao dasimagens JERS-1 foi
utilizada uma imagem TM da mesma regi~ao (Figura 8, p. 87), orbita 227, ponto
62, bandas 3, 4 e 5 de 29 maio de 1993, classi¯cada usando algoritmo ISOSEG
implementado no SPRING(INPE,1995), apresentadana Figura 9,p. 88. A imagem
foi reamostrada e co-registrada em rela»c~ao µas imagens JERS-1 classi¯cadas. As
cores apresentadas na imagem TM classi¯cada s~ao correspondentes µas utilizadas na
classi¯ca»c~ao JERS-1, com uma classe adicional (nuvens, sombras e borda exterior),
apresentada na cor branca.
A utiliza»c~ao da imagem TM classi¯cada como imagem refer^encia
teve como objetivoveri¯cara possibilidade do uso de imagensSARem substitui»c~aoas
TMem classi¯ca»c~oesdo uso da terra. Isso se torna importante nosprojetosnosquais
se deseja medir areas desmatadas, como por exemplo o Projeto de Desmatamento
da Amaz^onia (PRODES).
8.1 - Resultados com a imagem SAR-580
SAR-580.
Ser~ao apresentados nesta Se»c~ao osresultadosobtidoscom a imagem
8.1.1 - Metodologia Utilizada
lizada a seguinte metodologia:
Para a aplica»c~ao das rotinas do sistema µa imagem SAR-580 foi uti-
1) Estima»c~ao do numero equivalente de visadas.

85
Figure 6: - Imagem SAR-580

86
Figure 7: - Imagem JERS-1 de Tapajos.

87
Figure 8: - Imagem TM, bandas 3 (R), 4 (G) e 5 (B).

88
Figure 9: - Imagem TM classi¯cada.

89
2) Sob a hipotese da normalidade para as classes, efetuar:
a) A parti»c~ao e modelagem,
b) A amostragem e infer^encia
c) A classi¯ca»c~ao Maxver
d) A classi¯ca»c~ao ICM
e) A obten»c~ao das matrizesde confus~ao com base nas amostras de teste.
3) Sob a hipotese das distribui»c~ao mais ajustada para cada classe, efetuar:
a) A parti»c~ao e modelagem
b) A amostragem e infer^encia
c) As classi¯ca»c~oes Maxver e ICM.
d) Aobten»c~ao dasmatrizesde confus~ao com base nasamostrasde teste.
4) Compara»c~ao entre asquatro classi¯ca»c~oes obtidas com o uso do coe¯ciente
de concord^ancia Kappa.

90
8.1.2 - Estima»c~ao do Numero Equivalente de Visadas
A imagem em quest~ao possui numero de visadas igual a um, valor
que foi utilizado no decorrer dos processamentos executados com a imagem SAR-
580. Paracomprovar a e¯ci^encia domoduloparaestima»c~ao do numero equivalente de
visadasforamcoletadasquatroamostrasemregi~oeshomog^eneas, conformemetodolo-
gia apresentada na Se»c~ao 5.2.5.1, p. 50. As amostras coletadas foram aprovadas no
teste Qui-quadrado de ajuste ao n³vel de signi¯c^ancia de 1% (um por cento), com
p-valores bem superiores ao m³nimo exigido, conforme apresentados na Figura 10.
O valor medio obtido para o numero equivalente de visadas para imagem, 1:00968,
esta coerente com o valor original fornecido.
Figure 10: - Estima»c~ao do numero equivalente de visadas da imagem SAR 580.
8.1.3 - Parti»c~ao, Modelagem, Infer^encia e Amostragem
Foram selecionadas tr^es classes distintasna imagem, µas quais foram
associadasasdistribui»c~oesmaisajustadas,cores,tipo etamanhooriginaldasamostras
constantes da Tabela 11, p. 91.

91
TABELA 11 - CLASSES NA IMAGEM SAR-580
Classe Cultura 1 Cultura 2 Floresta
Distribui»c~ao Raiz de Gama K-Amplitude GA0
Cor rosa verde claro amarela
Amostra Tipo Infer^encia e teste
Amostra Tamanho 21456 7312 21652
8.1.3.1 - Decorrela»c~ao das Amostras
Para a aplica»c~ao da rotina que estima osvalores das autocorrela»c~oes
horizontal e verticaldospixelsdas classes, foram selecionadasamostrasretangulares.
Exemplos de resultados relativos µa classe Floresta podem ser observados na Figura
11, p. 93 e Figura 12, p. 94. Para a sele»c~ao do fator de subamostragem foi adotado
o criterio de se utilizar o primeiro valor obtido que apresenta estima»c~ao da autocor-
rela»c~ao menor do que 0.2. Com este criterio todasas classes foram decorrelacionadas
com fator 2 na horizontal e 2 na vertical, ou seja, as amostras foram reduzidas a 1/4
do tamanho original.
8.1.3.2 - Teste Qui-quadrado de Ajuste
Uma vez efetuada a subamostragem das amostras, foi aplicado o
teste Qui-quadrado a cada uma das classes. Os resultados obtidos s~ao apresentados
a seguir.
1) Ajuste da classe Cultura 1
Aplicado o teste Qui-quadrado para veri¯car o ajuste das distribui-
»c~oesµa classe Cultura 1,foramobtidosospar^ametrose p-valores constantesda Tabela
12, p. 92. N~ao foram obtidos valores para a distribui»c~ao GA0 em virtude de proble-

92
mas de converg^encia na estima»c~ao dos par^ametros.
A distribui»c~ao Raiz de Gama, sob a hipotese do modelo multiplica-
tivo, foi a que apresentou melhor ajuste para a classe Cultura 1. O histograma das
amostras e fun»c~ao densidade de probabilidade da distribui»c~ao Raiz de Gama, com
os par^ametros estimados e p-valor resultantes do teste, podem ser observados na
Figura 13, p. 94. Cabe ressaltar que neste caso, por sern=1; a distribui»c~ao e
Rayleigh, caso particular da Raiz de Gama. Um p-valor muito proximo foi apresen-
tado tambem pela distribui»c~ao Weibull, conforme pode ser observado na Figura 14,
p. 95, o que era esperado, uma vez que a distribui»c~ao Raiz de Gama (e Rayleigh,
consequentemente) e um caso particular da Weibull (Se»c~ao 3.16, p.28).
TABELA 12 - TESTE QUI-QUADRADO DA CLASSE CULTURA 1
Distribui»c~ao Par^ametros p-valor
¡ 1=2 n= 1 ¸ = 5:14145e ¡4 { 0:1508
KA ® =37:94 ¯ =1944:98 n = 1 0:117
GA0 ® ° n = 1 {
N RA ¹ =39:084 ¾ 2 =417:4 { 2:0e ¡4
N ¹ =39:087 ¾ 2 =417:3 { 0
LN ¹ = 3:5 ¾ 2 =0:40066 { 0
W ® = 2:00073 ¯ = 0:0226755 { 0:1506
B ® =2:3 ¯ = 6:45 { 0:013
2) Ajuste da classe Cultura 2
Aplicado o teste Qui-quadrado para veri¯car o ajuste das distribui-
»c~oesµa classe Cultura 2,foramobtidosospar^ametrose p-valores constantesda Tabela
13, p. 93. N~ao foram obtidos valorespara asdistribui»c~oes GA0 e Weibull em virtude
de problemas de converg^encia na estima»c~ao dos par^ametros.

93
A distribui»c~ao K-Amplitude, sob a hipotese do modelo multiplica-
tivo, foi a que apresentou melhor ajuste para a classe Cultura 2. O histograma e
fun»c~ao densidade de probabilidade com os par^ametrosestimadose p-valor resultante
do teste podem ser observados na Figura 15, p. 95.
Figure 11: - Autocorrela»c~ao horizontal da classe Floresta.
TABELA 13 - TESTE QUI-QUADRADO DA CLASSE CULTURA 2
Distribui»c~ao Par^ametros p-valor
¡ 1=2 n= 1 ¸ = 1:34473e ¡4 { 0:52
KA ® = 31:400555 ¯ =7436:43 n = 1 0:80
GA0 ® ° n = 1 {
N RA ¹ =76:42 ¾ 2 =1595:87 n = 1 2:0e ¡4
N ¹ =76:67 ¾ 2 =1558:3 { 7:5e ¡5
LN ¹ =4:174 ¾ 2 =0:408948 { 0
W ® = ¡5:545 ¯ =0:00824 { {
B ® =2:0755 ¯ = 3:986 { 0:58

94
Figure 12: - Autocorrela»c~ao vertical da classe Floresta.
Figure 13: - Ajuste da distribui»c~ao Raiz de Gama para Cultura 1

95
Figure 14: - Ajuste da distribui»c~ao Weibull para a Cultura 1
Figure 15: - Ajuste da distribui»c~ao K-Amplitude para Cultura 2.

96
Figure 16: - Ajuste da distribui»c~ao GA0 para Floresta.
3) Ajuste da classe Floresta
Aplicado o teste Qui-quadrado para veri¯car o ajuste das distribui-
»c~oes µa classe Floresta, foram obtidos os par^ametros e p-valores constantes da Tabela
14, p. 97. N~ao foram obtidos valores para a distribui»c~ao K-amplitude em virtude de
problemas de converg^encia na estima»c~ao dos par^ametros.
A distribui»c~ao GA0, sob a hipotese do modelo multiplicativo, foi a
que apresentou melhor ajuste para a classe Floresta. O histograma e fun»c~ao den-
sidade de probabilidade com os par^ametros estimados e p-valor resultante do teste
podem ser observados na Figura 16, p. 96. A distribui»c~ao Raiz de Gama tambem se
ajustou bem µa classe Floresta, com um p-valor igual a 0.47.

97
TABELA 14 - TESTE QUI-QUADRADO DA CLASSE FLORESTA
Distribui»c~ao Par^ametros p-valor
¡ 1=2 n= 1 ¸ = 7:83627e ¡5 { 0:47
KA ® ¯ n= 1 {
GA0 ® = ¡32:3877 ° =404804 n= 1 0:53
NRA 100:113 ¾ 2 = 2738:57 { 0
N 100:244 ¾ 2 = 2713:23 { 0
LN 4:4328 ¾ 2 =0:4398 { 0
W ® =2:0133 ¯ = 8:84e ¡3 { 0:36
B ® =1:788 ¯ =2:8166 { 4:6e ¡6
8.1.4 - As Classi¯ca»c~oes Maxver e ICM
Ser~ao apresentadas as classi¯ca»c~oes Maxver e ICM, ambas obtidas
sob a hipotese da normalidade para as classes e sob a hipotese da distribui»c~ao mais
ajustada para cada classe.
Com base na hipotese da normalidade para as classes foi obtida a
classi¯ca»c~ao Maxver apresentada na Figura 19, p. 100, cujas densidades s~ao apre-
sentadas na Figura 17, p. 99, com as cores correspondentes µas selecionadas para as
classes. Com base na hipotese da distribui»c~ao mais ajustada para cada classe foi
obtida a classi¯ca»c~ao Maxver apresentada na Figura 20, p. 100, com as densidades
constantes da Figura 18, p. 99. Comparando-se visualmente as duas classi¯ca»c~oes
n~aos~ao signi¯cativamente diferentes. Ospontosde separa»c~ao dosn³veisdecinza (uti-
lizados nas LUTs) e o percentual de pixels da imagem em cada classe por hipotese
podem ser vistosnaTabela 15,p. 98. Nacoluna de \pixels" comunstem-se o numero
de \pixels" que receberam a mesma classi¯ca»c~ao considerando as duas hipoteses. A
soma dos \pixels" comuns, 240084; corresponde a 91:6% de concord^ancia entre as

98
duas classi¯ca»c~oes. Sob a hipotese de que a classi¯ca»c~ao com o uso das distribui»c~oes
maisajustadase a maiscorreta, neste caso, o uso da distribui»c~ao Normal apresenta
8:4 % de erro em rela»c~ao µaquela.
TABELA 15 - LUT MAXVER PARA AS CLASSES SAR-580
Hipotese para as classes
Classe Distr Normal Distr Mais Ajustada # pixels
Niv. cinza % Niv. cinza % comuns
Cultura 1 0 a 62 50.76 0 a 58 47.12 123534
Cultura 2 63 a 105 27.23 59 a 95 26.08 58837
Floresta 106 a 255 22.01 96 a 255 26.80 57713
Soma 240084 (91:6%)
Sobre as classi¯ca»c~oes Maxver obtidas foram aplicadas as classi-
¯ca»c~oes ICM, tendo sido estabelecido como criterio de parada o percentual de trocas
inferior a 0:1% em rela»c~ao µa classi¯ca»c~ao obtida na itera»c~ao anterior. Para atingir
esta toler^ancia foram efetuadas 17 itera»c~oes, com um b ¯ inicial igual a 0:397 e o ¯nal
igual a 1:835. A classi¯ca»c~ao ICM obtida sob a hipotese de distribui»c~oes Normais
para as classese apresentada na Figura 21, p. 101 e a ICM obtida sob a hipotese de
distribui»c~oes mais ajustadas para as classes e apresentada na Figura 22, p. 101.
8.1.5 - Matrizes de Confus~ao das Classi¯ca»c~oes
As matrizes de confus~ao da classi¯ca»c~oes, obtidasatravesdasamos-
tras de teste, podem ser vistas nas Figuras 23, 24, 25 e 26, p. 103 e 104. A Tabela
16, p. 102, apresenta os valores estimados para o coe¯ciente de concord^ancia Kappa
de cada matriz, as respectivas vari^ancias e conceitos obtidos segundo Landis e Koch
(1977).

99
Figure 17: - Fun»c~oes densidade de probabilidade Normais para as classes da SAR-
580.
Figure 18: - Fun»c~oes de densidade de probabilidade ajustadas para a SAR-580.

100
Figure 19: - Classi¯ca»c~ao Maxver com o uso de distribui»c~oes Normais.
Figure 20: - Classi¯ca»c~ao Maxver com o uso das distribui»c~oes mais ajustadas.

101
Figure 21: - Classi¯ca»c~ao ICM com o uso de distribui»c~oes Normais.
Figure 22: - Classi¯ca»c~ao ICM com o uso das distribui»c~oes mais ajustadas.

102
TABELA 16 - EXATID ~ AO DA CLASSIFICAC» ~ AO
Classi¯ca»c~ao b k b¾ 2 Conceito
Maxver Normais 0:385923 7:29603e ¡5 Razoavel
Maxver Ajustadas 0:406014 6:20625e ¡5 Boa
ICM Normais 0:722186 3:32097e ¡5 Muito Boa
ICM Ajustadas 0:768764 2:89532e ¡5 Muito Boa
8.1.6 - Teste de Igualdade dos Coe¯cientes de Concord^ancia
Usando os valores estimados para b· e b¾ 2 constantes da Tabela 16
foram aplicados os testes de hipoteses descritos na Se»c~ao 7.2, p. 77. Os resultados
dos testes bilaterais podem ser vistos na Tabela 17 e os dos testes unilaterais na
Tabela 18.
TABELA 17 - ESTAT ISTICASz E P-VALORESpDOS TESTES BILATERAIS
Classi¯ca»c~ao Teste Bilateral
z p
Maxver Normais x Maxver Ajustadas 1:729 0:042
ICM Normais x ICM Ajustadas 5:832 ¼ 0
TABELA 18 - ESTAT ISTICASz E P-VALORESpDOS TESTES UNILATERAIS
Classi¯ca»c~ao Teste Unilateral
z p
Maxver Normal x ICM Normal 32:64 ¼ 0
Maxver Normal x ICM Ajustada 37:86 ¼ 0
Maxver Ajustada x ICM Normal 32:39 ¼ 0
Maxver Ajustada x ICM Ajustada 37:96 ¼ 0

103
Figure 23: - Matriz de confus~ao da Maxver com o uso das distribui»c~oes Normais.
Figure 24: - Matriz de confus~ao da Maxver com o uso das distribui»c~oes mais ajus-
tadas.

104
Figure 25: - Matriz de confus~ao da ICM com o uso de distribui»c~oes Normais.
Figure 26: - Matriz de confus~ao da ICM com o uso das distribui»c~oes mais ajustadas.

105
1) Dos resultados obtidos com os testes bilaterais pode-se concluir que:
a) As matrizes de confus~ao das classi¯ca»c~oes Maxver com distribui»c~oes
Normais e Maxver com as distribui»c~oes mais ajustadas µas classes s~ao
diferentes, aos n³veis de signi¯c^ancia superiores a 4:2%: Pode-se a¯r-
mar que, para a imagem considerada, a classi¯ca»c~ao Maxver com o
uso das distribui»c~oes mais ajustadas µas classes, por possuir coe¯ciente
de concord^ancia· superior, apresenta um resultado de melhor quali-
dade, aos n³veis de signi¯c^ancia superioresa 4:2%; quando comparada
µaMaxver obtida com usode distribui»c~oesNormaisparaasclasses. Pe-
los resultados apresentados na Tabela 16, p. 102, e poss³vel veri¯car
que houve uma melhora de 5:2% para o b· da classi¯ca»c~ao Maxver ao
se utilizar as distribui»c~oes mais adequadas aos dados SAR.
b) As matrizes de confus~ao dasclassi¯ca»c~oesICM com distribui»c~oes Nor-
mais e ICM com as distribui»c~oes mais ajustadas µas classes s~ao difer-
entes para n³veis de signi¯c^ancia utilizados na pratica. Isto permite
a¯rmar que, para a imagem considerada, a classi¯ca»c~ao ICM com o
uso das distribui»c~oes mais ajustadas µas classes, por apresentar coe-
¯ciente de concord^ancia·superior, e de melhor qualidade quando
comparada µa classi¯ca»c~ao ICM com o uso de distribui»c~oes Normais
para as classes. Pelos resultados apresentados na Tabela 16 e poss³vel
veri¯car que houve uma melhora de 6:5% para o b· da classi¯ca»c~ao
ICM ao se utilizar as distribui»c~oes mais adequadas aos dados SAR.
2) Dos resultados obtidos com os testes unilaterais pode-se concluir que:
a) As classi¯ca»c~oesICM s~ao sempre diferentes das classi¯ca»c~oes Maxver,
n~aoimportandoahipotese consideradapara asdistribui»c~oesdasclasses,
a n³veis de signi¯c^ancia de ordem pratica. Isto permite a¯rmar que,

8.1.7 - Conclus~oes
106
para a imagem considerada, em quaisquer hipoteses, a classi¯ca»c~ao
ICM e superior µa classi¯ca»c~ao Maxver. Este resultado esta de acordo
com asconceitua»c~oesapresentadasna Tabela 16, onde asclassi¯ca»coes
ICMforam conceituadascomo MuitoBoas,e asduasclassi¯ca»c~oes por
maxima verossimilhan»ca como Razoavel e Boa. Pelosresultadosapre-
sentados e poss³vel veri¯car que houve uma melhora media de 88:2%
para o b· ao se utilizar a classi¯ca»c~ao ICM em substitui»c~ao µa Maxver.
Os resultados obtidos nos testes indicam que, para a imagem SAR-
580 utilizada, as classi¯ca»c~oes ICM s~ao sempre superiores µas classi¯ca»c~oes Maxver,
n~ao importando a hipotese utilizada para a distribui»c~ao das classes. Permitem con-
cluir ainda que, para classi¯ca»c~oes obtidas por um mesmo metodo, as que utilizam a
hipotese da distribui»c~ao mais ajustada para cada classe apresentam resultados supe-
riores. Pelosresultadosapresentados na Tabela 16 e poss³vel veri¯car que houve uma
melhora media de 5:9% para o b· da classi¯ca»c~ao ao se utilizar as distribui»c~oes mais
adequadas aos dados SAR e uma melhora media de 88:2% para o b· ao se utilizar a
classi¯ca»c~ao ICM em substitui»c~ao µa Maxver.

107
8.2 - Resultados com as Imagens JERS-1 Original
JERS-1 original.
Ser~ao apresentados nesta Se»c~ao osresultadosobtidoscom a imagem
8.2.1 - Metodologia Utilizada
Para a aplica»c~ao das rotinas do sistema µa imagem JERS-1 original
e analise dos resultados foi utilizada a seguinte metodologia:
1) Estima»c~ao do numero de visadas.
2) Sob a hipotese da normalidade e tambem sob a hipotese das distribui»c~oes
mais ajustadas para as classes, efetuar:
a) A parti»c~ao e modelagem,
b) A amostragem e infer^encia
c) A classi¯ca»c~ao Maxver
d) A classi¯ca»c~ao ICM
e) A obten»c~ao das matrizes de confus~ao com base nas amostras de teste
e na imagem TM classi¯cada.
3) Compara»c~ao entre asquatro classi¯ca»c~oes obtidas com o uso do coe¯ciente
de concord^ancia Kappa.
8.2.2 - Obten»c~ao da Imagem com a Resolu»c~ao Espacial Degradada
Com a ¯nalidade de testar o sistema com uma imagem com maior

108
numero de visadas, a imagem original foi degradada com fator dois na horizontal e
dois na vertical. Para simular a imagem degradada que seria recebida pelo usuario,
cada \pixel" da imagem degradada foi obtido extraindo-se a raiz quadrada da media
de quatro \pixels" da imagem intensidade gerada a partir da amplitude.
8.2.3 - Estima»c~ao do Numero Equivalente de Visadas
Aplicando-se a metodologia preconizada na Subse»c~ao 5.2.5.1, p. 50,
para determina»c~ao o numero equivalente de visadas da imagem, foi obtido o valor de
2:83522 para a imagem original. Tal valor, como esperado,e menor que o numero de
visadas originalmente fornecido em virtude da correla»c~ao existente entre os \pixels"
da imagem original.
igual a 5:0357:
Paraaimagem degradadafoiobtido onumero equivalente devisadas
8.2.4 - Parti»c~ao, Modelagem, Infer^encia e Amostragem
Foram selecionadastr^esclassesdistintasnasimagens,µasquaisforam
associadasasdistribui»c~oesmaisajustadas,cores,tipo etamanhooriginaldasamostras
constantes da Tabela 19.
TABELA 19 - CLASSES NA IMAGEM SAR - JERS-1
JERS-1 Original
Classe Solo Regenera»c~ao Floresta
Cor rosa verde claro verde
Tipo da Amostra Infer^encia e teste
Tamanho na Imagem Original 2636 13940 20740
Tamanho na Degradada 2432 6428 11148

8.2.4.1 - Decorrela»c~ao das Amostras
109
Para a aplica»c~ao da rotina que estima osvalores das autocorrela»c~oes
horizontal e verticaldasclasses, foram selecionadas amostras retangularesassociadas
µasclasses. Para sele»c~aodofatorde subamostragemfoiadotadoocriterio de se utilizar
o primeiro valor obtido que apresenta estima»c~ao da autocorrela»c~ao menor do que 0:2.
Com este criterio, todas as amostras das classes foram decorrelacionadas com fator
2 na horizontal e na vertical, ou seja, as amostrasforam reduzidas a 1=4 do tamanho
original.
8.2.4.2 - Teste Qui-quadrado
Uma vez efetuada a subamostragem das amostras, foi aplicado o
teste Qui-quadrado a cada uma das classes. Os resultados obtidos s~ao apresentados
a seguir.
1) Ajuste da classe Solo
a) Imagem Original: Aplicado o teste Qui-quadrado para veri¯car o
ajuste das distribui»c~oes µa classe Solo, foram obtidos os par^ametros e
p-valores constantes da Tabela 20, p. 110. A distribui»c~ao GA0, sob a
hipotese do modelo multiplicativo, foi a que apresentou melhor ajuste
para aclasse Solo,seguidadadistribui»c~ao K-Amplitude. Ohistograma
da amostra e o gra¯co da fun»c~ao densidade de probabilidade da dis-
tribui»c~ao GA0, com os par^ametrosestimadose o p-valor resultante do
teste, podem ser observados na Figura 27, p. 111.
b) Imagem Degradada: Aplicado o teste Qui-quadrado para veri¯car o
ajuste das distribui»c~oes µa classe Solo, foram obtidos os par^ametros e
p-valores constantes da Tabela 21, p. 112. N~ao foram obtidos valores
para a distribui»c~ao Weibull em virtude de problemas de converg^encia
na estima»c~ao dos par^ametros. A distribui»c~ao GA0, sob a hipotese

110
do modelo multiplicativo, foi a que apresentou melhor ajuste para
a classe Solo, seguida da distribui»c~ao K-Amplitude. O histograma
das amostras e os gra¯cos das fun»c~oes densidade de probabilidade da
distribui»c~oes GA0, com os par^ametros estimados, e p-valor resultante
do teste, podem ser observados na Figura 28, p. 111.
TABELA 20 - AJUSTES DA CLASSE SOLO NA JERS-1 ORIGINAL
Distribui»c~ao Par^ametros p-valor
¡ 1=2 n =2:83522 ¸ = 8:94267e ¡4 { 1:307e ¡2
KA ® = 13:32466 ¯ =3170:44 n =2:83522 0:3115
GA0 ® = ¡13:108548 ° = 38461:8 n =2:83522 0:3241
NRA ¹= 53:89 ¾ 2 =266:306 { 6:5e ¡4
N ¹ =53:387 ¾ 2 =320:76 { 7:55e ¡2
LN ¹ =3:91774 ¾ 2 =0:127644 { 7:84e ¡3
W ® =3:2834 ¯ = 1:68e ¡2 { 0
B ® =3:21 ¯ = 6:33 { 0
2) Ajuste da classe Regenera»c~ao
a)Imagemoriginal: Aplicado otesteQui-quadrado paraveri¯caro ajuste
das distribui»c~oes µa classe Regenera»c~ao, foram obtidos os par^ametros
e p-valores constantes da Tabela 22, p. 113. A distribui»c~ao GA0 foi
a que apresentou melhor ajuste para a classe Regenera»c~ao, seguida
da distribui»c~ao K-Amplitude. O histograma das amostras e o gra¯co
da fun»c~ao densidade de probabilidade da distribui»c~ao GA0, com os
par^ametros estimados e p-valor resultado do teste, podem ser obser-
vados na Figura 29, p. 114.

111
Figure 27: - Ajuste da GA0 para a classe Solo na imagem original.
Figure 28: - Ajuste da GA0 para a classe Solo na imagem degradada..

112
TABELA 21 - AJUSTES DO SOLO NA JERS-1 DEGRADADA
Distribui»c~ao Par^ametros p-valor
¡ 1=2 n =5:0357 ¸ =1:13338e ¡3 ¡ 2:64e ¡3
KA ® = 18:44 ¯ = 4443:06 n =5:0357 0:496
GA0 ® = ¡19:0477 ° =80211:1 n =5:0357 0:525
NRA ¹ =65:02 ¾ 2 = 214:85 ¡ 1:36e ¡5
N ¹ =64:586 ¾ 2 = 272:22 ¡ 5:68e ¡2
LN ¹ =4:1346 ¾ 2 =6:898e ¡2 ¡ 0:15
W ® ¯ ¡ ¡
B ® = 3:54 4:666 ¡ 0
b) Imagem degradada: Aplicado o teste Qui-quadrado para veri¯car
o ajuste das distribui»c~oes µa classe Regenera»c~ao, foram obtidos os
par^ametros e p-valores constantes da Tabela 23, p. 113. A dis-
tribui»c~ao Log-Normalfoi a que apresentou melhor ajuste para a classe
Regenera»c~ao, seguida da distribui»c~ao K-Amplitude, esta ultima sob
a hipotese do modelo multiplicativo. O histograma das amostras e
o gra¯co da fun»c~ao densidade de probabilidade da distribui»c~ao Log-
Normal, com os par^ametros estimados e p-valor resultante do teste,
podem ser observados na Figura 30, p. 114.

113
TABELA 22 - AJUSTES DA REGENERAC» ~ AO NA IMAGEM ORIGINAL
Distribui»c~ao Par^ametros p-valor
¡ 1=2 n = 2:83522 ¸ =5:0844e ¡4 { 0
KA ® = 13:285 ¯ = 5576:31 n = 2:83522 0:355
GA0 ® = ¡15:851 ° = 82649:9 n = 2:83522 0:418
NRA ¹ = 71:4697 ¾ 2 = 468:39 { 0
N ¹ =70:8 ¾ 2 = 563:81 { 0
LN ¹ =4:2 ¾ 2 = 0:119 { 5:44e ¡5
W ® = 3:282 ¯ = 1:27e ¡2 { 0
B ® = 3:41 ¯ = 7:18 { 0
TABELA 23 - AJUSTES DA REGENERAC» ~ AO NA IMAGEM DEGRADADA
Distribui»c~ao Par^ametros p-valor
¡ 1=2 n =5:0357 ¸ =8:56546e ¡4 { 2:56e ¡4
KA ® =28:73 ¯ = 5879:07 n = 5:0357 0:226
GA0 ® = ¡41:9835 ° = 240319 n = 5:0357 0:19
NRA ¹= 74:8 ¾ 2 = 284:29 { 0
N ¹= 74:47 ¾ 2 = 332:97 { 8:94e ¡7
LN ¹ =4:28139 ¾ 2 = 5:80293e ¡2 { 0:792
W ® =4:645 ¯ = 1:2227e ¡2 { 0
B ® =3:0333 ¯ = 7:417 { 0

114
Figure 29: - Ajuste da GA0 para a classe Regenera»c~ao na JERS-1 Original .
Figure 30: - Ajuste da Log-Normal para a classe Regenera»c~ao na JERS-1 degradada.

3) Ajuste da classe Floresta
115
a)Imagemoriginal: Aplicado otesteQui-quadrado paraveri¯caro ajuste
das distribui»c~oes µa classe Floresta, foram obtidos os par^ametros e p-
valores constantes da Tabela 24. A distribui»c~ao GA0, sob a hipotese
do modelo multiplicativo, foi a que apresentou melhor ajuste para a
classe Floresta, seguida da distribui»c~ao K-Amplitude. O histograma
das amostras e o gra¯co da fun»c~ao densidade de probabilidade da
distribui»c~ao GA0, com os par^ametros estimados e p-valor resultante
do teste, podem ser observados na Figura 31, p. 116.
TABELA 24 - AJUSTES DA FLORESTA NA JERS-1 ORIGINAL
Distribui»c~ao Par^ametros p-valor
¡ 1=2 n = 2:83522 ¸ =1:91539e ¡4 { 0
KA ® = 15:045 ¯ = 14802:3 n =2:83522 0:172
GA0 ® = ¡15:7025 ° = 217715 n =2:83522 0:272
NRA ¹ = 116:443 ¾ 2 = 1243:34 { 0
N ¹ = 115:48 ¾ 2 = 1467:47 { 0
LN ¹ =4:69 ¾ 2 = 0:1218 { 0
W ® = 3:323 ¯ =7:77e ¡3 { 0
B ® = 3:283 ¯ = 4:797 { 0
b) Imagem degradada: Aplicado o teste Qui-quadrado para veri¯car o
ajuste dasdistribui»c~oesµa classe Floresta, foram obtidos os par^ametros
e p-valores constantes da Tabela 25, p. 116. A distribui»c~ao Log-
Normal foi a que apresentou melhor ajuste para a classe Floresta,
seguida da distribui»c~ao GA0. O histograma das amostras e o gra¯co
da fun»c~ao densidade de probabilidade da distribui»c~ao Log-Normal,
com os par^ametros estimados e p-valor resultante do teste, podem ser

116
observados na Figura 32, p. 117.
TABELA 25 - AJUSTES DA FLORESTA NA JERS-1 DEGRADADA
Distribui»c~ao Par^ametros p-valor
¡ 1=2 n =5:0357 ¸ =3:67799e ¡4 { 0:051
KA ® =35:653 ¯ = 13691:5 n = 5:0357 0:313
GA0 ® = ¡75:458 ° =1:01784e6 n = 5:0357 0:296
NRA ¹ =114:15 ¾ 2 = 662:07 { 0
N ¹ =113:87 ¾ 2 = 726:66 { 8:35e ¡7
LN ¹ =4:70714 ¾ 2 = 5:64237e ¡2 { 0:683
W ® =4:8239 ¯ = 0:805e ¡3 { 0
B ® =4:352 ¯ = 7:373 { 0
Figure 31: - Ajuste da GA0 para a classe Floresta na JERS-1 Original.

117
Figure 32: - Ajuste da Log-Normal para a classe Floresta na JERS-1 degradada.
Figure 33: - Fun»c~oes densidade de probabilidade Normais na imagem JERS-1 origi-
nal.

118
Figure 34: - Fun»c~oes densidade de probabilidade GA0 na imagem JERS-1 original.
Figure 35: - Fun»c~oes densidade de probabilidade Normais na imagem JERS-1
degradada.
Figure 36: - Fun»c~oes densidade de probabilidade ajustadas na imagem JERS-1
degradada.

119
8.2.5 - As Classi¯ca»c~oes Maxver e ICM
Ser~ao apresentadas as classi¯ca»c~oes Maxver e ICM, ambas obtidas
sob a hipotese da normalidade para as classes e sob a hipotese da distribui»c~ao mais
ajustada para cada classe. O algoritmo ICM foi aplicado sobre as classi¯ca»c~oes
Maxver obtidas, tendo sido estabelecido como criterio de parada o percentual de
trocas inferior a 1% em rela»c~ao µa classi¯ca»c~ao obtida na itera»c~ao anterior.
1) Imagem original
a) Classi¯ca»c~oes Maxver: Com base na hipotese da normalidade para as
classesfoiobtida a classi¯ca»c~aoMaxver,cujas densidadess~ao apresen-
tadasna Figura33,p. 117. Com base na hipotese da distribui»c~ao mais
ajustada para cada classe foi obtida a classi¯ca»c~ao Maxver apresen-
tada na Figura 37,p. 121, com asdensidadesconstantesda Figura 34,
p. 117. As classi¯ca»c~oes Maxver n~ao apresentam diferen»cas vis³veis
entre si, raz~ao pela qual so e apresentada a imagem resultante de uma
delas.
b) Classi¯ca»c~oes ICM: Para atingir a toler^ancia de parada foram efe-
tuadas sete itera»c~oes, com um b ¯ inicial em torno de 0:35 e o ¯nal
em torno de 0:98. A classi¯ca»c~ao ICM obtida sob a hipotese de dis-
tribui»c~oes Normais para as classes e apresentada na Figura 38, 122, e
a ICM obtida sob a hipotese de distribui»c~oes mais ajustadas para as
classes e apresentada na Figura 39, p. 123.
2) Imagem degradada
a) Classi¯ca»c~oes Maxver: Com base na hipotese da normalidade para as

120
classes foi obtida a classi¯ca»c~ao Maxver, cujas densidades s~ao apre-
sentadas na Figura 35, p. 118. Com base na hipotese da distribui»c~ao
mais ajustada para cada classe foi obtida a classi¯ca»c~ao Maxver apre-
sentada na Figura 40, p. 124, com asdensidades constantesda Figura
36, p. 118.
b) Classi¯ca»c~oes ICM: Para atingir a toler^ancia de parada foram efe-
tuadas sete itera»c~oes no ICM, com um b ¯ inicial igual a 0:38 e o ¯nal
iguala 0:82. Aclassi¯ca»c~ao ICMobtida soba hipotese de distribui»c~oes
Normais para as classes e apresentada na Figura 41, p. 125, e a ICM
obtida sob a hipotese de distribui»c~oes mais ajustadas para as classes
e apresentada na Figura 42, p. 126.

121
Figure 37: - Classi¯ca»c~ao Maxver da imagem JERS-1 original, com o uso das dis-
tribui»c~oes mais ajustadas µas classes.

122
Figure 38: - Classi¯ca»c~ao ICM da imagem JERS-1 original sob a hipotese da nor-
malidade para as classes.

123
Figure 39: - Classi¯ca»c~ao ICM da imagem JERS-1 original com o uso das dis-
tribui»c~oes mais ajustadas para as classes.

124
Figure 40: - Classi¯ca»c~ao Maxver da imagem JERS-1 degradada, com o uso das
distribui»c~oes mais ajustadas µas classes.

125
Figure 41: - Classi¯ca»c~ao ICM da imagem JERS-1 degradada, sob a hipotese da
normalidade para as classes

126
Figure 42: - Classi¯ca»c~ao ICM da imagem JERS-1 degradada, com o uso das dis-
tribui»c~oes mais ajustadas.

127
8.2.6 - Matrizes de Confus~ao das Classi¯ca»c~oes
1) Imagem original: A Tabela 26, p. 127, apresenta os valoresestimados para
o coe¯ciente de concord^ancia Kappa, as respectivas vari^ancias e conceitos
obtidos segundo Landis e Koch (1977).
a) Uso das amostras de teste: As matrizes de confus~ao obtidas atraves
das amostras de teste podem ser vistas nas Figuras 43, 45, 47 e 49, p.
132 a 135.
b) Uso da imagem TM classi¯cada: As matrizes de confus~ao obtidas
atraves da imagem TM classi¯cada podem ser vistas nas Figuras 44,
46, 48 e 50, p. 132 a 135.
TABELA 26 - EXATID ~ AO DA CLASSIFICAC» ~ AO PARA JERS-1 ORIGINAL
Teste com
Classi¯ca»c~ao Amostras Imagem TM
b· b¾ 2 b· b¾ 2
Maxver 0:328303 1:02966e ¡4 0:107105 7:87481e ¡7
Normais Conceito Razoavel Ma
Maxver 0:372769 9:78906e ¡5 0:122291 8:41666e ¡6
Ajustadas Conceito Razoavel Ma
ICM 0:655896 8:71681e ¡5 0:319259 1:26331e ¡6
Normais Conceito Muito Boa Razoavel
ICM 0:738752 6:77915e ¡5 0:332008 1:64927e ¡6
Ajustadas Conceito Muito Boa Razoavel

128
2) Imagem degradada: Os valores e conceitos do coe¯ciente de concord^ancia
· para os casos da imagem degradada s~ao apresentados na Tabela 27, p.
128
TABELA 27 - EXATID ~ AO DA CLASSIFICAC» ~ AO DA JERS-1 DEGRADADA
Teste com
Classi¯ca»c~ao Amostras Imagem TM
b· b¾ 2 b· b¾ 2
Maxver 0:385609 1:681e ¡4 0:164227 3:4311e ¡6
Normais Conceito Razoavel Ma
Maxver 0:45224 1:69641e ¡4 0:207049 4:044e ¡6
Ajustadas Conceito Boa Razoavel
ICM 0:634602 1:649e ¡4 0:406223 7:4983e ¡6
Normais Conceito Muito Boa Boa
ICM 0:755474 1:1051e ¡4 0:438202 9:6071e ¡6
Ajustadas Conceito Muito Boa Boa
8.2.7 - Teste de Igualdade dos Coe¯cientes de Concord^ancia
descritos na Se»c~ao 7.2, p. 77.
Usandoestesvaloresestimadosforamaplicadosostestesdehipoteses
1) Imagem original: Os resultados dos testes bilaterais e unilaterais podem
ser vistos na Tabela 28.

129
TABELA 28 - P-VALORESp DOS TESTES NA JERS-1 ORIGINAL
p-valor do Teste com
Classi¯ca»c~ao Amostras TM
Maxver Normais x Maxver Ajustadas 8:8e ¡4 ¼ 0
ICM Normais x ICM Ajustadas ¼ 0 ¼ 0
Maxver Normal x ICM Normal ¼ 0 ¼ 0
Maxver Normal x ICM Ajustada ¼ 0 ¼ 0
Maxver Ajustada x ICM Normal ¼ 0 ¼ 0
Maxver Ajustada x ICM Ajustada ¼ 0 ¼ 0
2) Imagem degradada: Os resultadosdostestes bilaterais e unilateraispodem
ser vistos na Tabela 29.
TABELA 29 - P-VALORESp DOS TESTES NA JERS-1 DEGRADADA
p-valor do Teste com
Classi¯ca»c~ao Amostras TM
Maxver Normais x Maxver Ajustadas ¼ 0 ¼ 0
ICM Normais x ICM Ajustadas ¼ 0 ¼ 0
Maxver Normal x ICM Normal ¼ 0 ¼ 0
Maxver Normal x ICM Ajustada ¼ 0 ¼ 0
Maxver Ajustada x ICM Normal ¼ 0 ¼ 0
Maxver Ajustada x ICM Ajustada ¼ 0 ¼ 0

130
3) Dos resultados obtidos com os testes bilaterais e unilaterais pode-se con-
cluir que:
a) As matrizes de confus~ao das classi¯ca»c~oes Maxver com distribui»c~oes
Normais e Maxver com as distribui»c~oes mais ajustadas µas classes s~ao
diferentes, aos n³veis de signi¯c^ancia de ordem pratica, seja o teste
realizado com amostras ou com a imagem TM classi¯cada. Pode-se
a¯rmar que, para a imagem considerada, a classi¯ca»c~ao Maxver com o
uso das distribui»c~oes mais ajustadas µas classes, por possuir coe¯ciente
de concord^ancia b· superior, apresenta um resultado de melhor qual-
idade quando comparada µa Maxver obtida com uso de distribui»c~oes
Normais para as classes. Pelos resultados apresentados na Tabela 26,
p. 127, e Tabela 27, p. 128, e poss³vel veri¯car que houve uma mel-
hora media de 17:8% para o b· da classi¯ca»c~ao Maxver ao se utilizar
as distribui»c~oes mais ajustadas aos dados SAR.
b) As matrizes de confus~ao dasclassi¯ca»c~oesICM com distribui»c~oes Nor-
mais e ICM com as distribui»c~oes mais ajustadas µas classes s~ao difer-
entes para os n³veis de signi¯c^ancia de ordem pratica, seja o teste
realizado com amostras ou com a imagem TM classi¯cada. Isto per-
mite a¯rmar que, paraa imagem considerada, aclassi¯ca»c~ao ICMcom
o uso das distribui»c~oes mais ajustadas µas classes, por apresentar co-
e¯ciente de concord^ancia· superior, e de melhor qualidade quando
comparada µa classi¯ca»c~ao ICM com o uso de distribui»c~oes Normais
para as classes. Pelos resultados apresentados na Tabela 26, p. 127, e
Tabela 26, p. 128, e poss³vel veri¯car que houve uma melhora media
de 10:9% para o b· da classi¯ca»c~ao ICM ao se utilizar as distribui»c~oes
mais adequadas aos dados SAR.
c) As classi¯ca»c~oes ICM s~ao sempre diferentes das classi¯ca»c~oes Maxver
aosn³veisdesigni¯c^ancia de ordem pratica,n~ao importandoa hipotese

8.2.8 - Conclus~oes
131
consideradaparaasdistribui»c~oesdasclasses,seja oteste realizadocom
amostras ou com a imagem TM classi¯cada. Isto permite a¯rmar que,
para a imagem considerada, em qualquer situa»c~ao a classi¯ca»c~ao ICM
e superior µa classi¯ca»c~ao Maxver. Pelos resultados apresentados na
Tabela 26, p. 127, e Tabela 26, p. 128, e poss³vel veri¯car que houve
uma melhora media de 117:3% para o b· ao se utilizar a classi¯ca»c~ao
ICM em substitui»c~ao µa Maxver.
Os resultados obtidos nos testes indicam que, para a imagem
JERS-1 utilizada,asclassi¯ca»c~oesICMs~ao sempre superioresµasclassi¯ca»c~oesMaxver,
n~ao importando a hipotese para a distribui»c~ao das classes. Permitem concluir ainda
que, para classi¯ca»c~oes obtidas por um mesmo metodo, as que utilizam a hipotese da
distribui»c~ao mais ajustada para cada classe apresentam resultados superiores. Pelos
resultados apresentados e poss³vel veri¯car que houve uma melhora media de 14:3%
para o b· das classi¯ca»c~oes ao se utilizar as distribui»c~oes mais adequadas aos dados
SAR e uma melhora media de 117:3% para o b· ao se utilizar a classi¯ca»c~ao ICM em
substitui»c~ao µa Maxver.
Apesar das classi¯ca»c~oes ICM apresentarem valores para b· consi-
derados Muito Bons, com o uso de amostras de teste, o valor de b· e considerado
Razoavel para a imagem JERS-1 original e Bom para a degradada, quando a clas-
si¯ca»c~ao e comparada com a imagem TM classi¯cada. Uma das causas para esta
diferen»ca, alem da presen»ca do \speckle" na imagem SAR, e a presen»ca de erros na
classi¯ca»c~ao da imagem TM,que originalmente possui muitas nuvens. Maisestudos,
tendo-se a verdade terrestre obtida em campo, s~ao necessarios para se obter uma
efetiva compara»c~ao entre os dois sensores e identi¯ca»c~ao das causas das diferen»cas
ocorridas.

132
Figure 43: -Matriz de confus~ao da classi¯ca»c~ao Maxver-Normaisda JERS-1 original,
obtida com o uso das amostras.
Figure 44: -Matriz de confus~ao da classi¯ca»c~ao Maxver-Normaisda JERS-1 original,
obtida com o uso da imagem TM classi¯cada .

133
Figure 45: - Matriz de confus~ao da classi¯ca»c~ao Maxver-ajustadas da JERS-1 origi-
nal, obtida com o uso das amostras.
Figure 46: - Matriz de confus~ao da classi¯ca»c~ao Maxver-ajustadas da JERS-1 origi-
nal, obtida com o uso da imagem TM classi¯cada.

134
Figure 47: - Matriz de confus~ao da classi¯ca»c~ao ICM-Normais da JERS-1 original,
obtida com o uso das amostras.
Figure 48: - Matriz de confus~ao da classi¯ca»c~ao ICM-Normais da JERS-1 original,
obtida com o uso da imagem TM classi¯cada.

135
Figure 49: - Matriz de confus~ao da classi¯ca»c~ao ICM-ajustadas da JERS-1 original,
obtida com o uso das amostras.
Figure 50: - Matriz de confus~ao da classi¯ca»c~ao ICM-ajustadas da JERS-1 original,
obtida com o uso da imagem TM classi¯cada.

136
Figure 51: - Matriz de confus~ao da classi¯ca»c~ao Maxver-Normais da JERS-1
degradada, obtida com o uso das amostras.
Figure 52: - Matriz de confus~ao da classi¯ca»c~ao Maxver-Normais da JERS-1
degradada, obtida com o uso da imagem TM classi¯cada.

137
Figure 53: - Matriz de confus~ao da classi¯ca»c~ao Maxver-ajustadas da JERS-1
degradada, obtida com o uso das amostras.
Figure 54: - Matriz de confus~ao da classi¯ca»c~ao Maxver-ajustadas da JERS-1
degradada, obtida com o uso da imagem TM classi¯cada.

138
Figure 55: -Matriz de confus~ao da classi¯ca»c~ao ICM-Normaisda JERS-1 degradada,
obtida com o uso das amostras.
Figure 56: -Matriz de confus~ao da classi¯ca»c~ao ICM-Normaisda JERS-1 degradada,
obtida com o uso da imagem TM classi¯cada.

139
Figure 57: - Matriz de confus~ao da classi¯ca»c~ao ICM-ajustadas da JERS-1
degradada, obtida com o uso das amostras.
Figure 58: - Matriz de confus~ao da classi¯ca»c~ao ICM-ajustadas da JERS-1
degradada, obtida com o uso da imagem TM classi¯cada.

141
CAPITULO 9
CONCLUS ~ OES E SUGEST ~ OES
Este trabalho teve por objetivo implementar, testar e aplicar os
classi¯cadores Maxver e ICM em imagens SAR monoespectrais em amplitude, com
o uso das distribui»c~oes adequadas a dados SAR.
O algoritmo ICM e de facil aplica»c~ao, uma vez que foi implemen-
tada a fun»c~ao de estima»c~ao do seu par^ametro. A formula»c~ao necessaria para imple-
menta»c~ao do mesmo foi apresentada no Cap³tulo 6 e nos Ap^endices A, B e C.
Com a ¯nalidade de permitir a continuidade das pesquisase uso dos
algoritmos desenvolvidos,osclassi¯cadoresforam implementados na estrutura de um
sistema baseado em interfaces gra¯cas que, alem de possuir as opera»c~oes auxiliares
necessarias para se executar as tarefas de classi¯ca»c~ao, permite a incorpora»c~ao de
outros modelos. A descri»c~ao completa das op»c~oes do sistema, com exemplos das
interfaces gra¯cas, e apresentada no Ap^endice D.
Como contribui»c~ao importante este trabalho apresenta uma revis~ao
das principais distribui»c~oes aplicaveis aos dados SAR e como varias dessas dis-
tribui»c~oes surgem do Modelo Multiplicativo. Apresenta tambem como contribui»c~ao
importante o desenvolvimento da formula»c~ao do algoritmo ICM para as vizinhan»cas
oito e doze.
9.1 - Conclus~oes
No Cap³tulo 8 foram apresentados os resultados obtidos com o sis-
tema aplicado em imagens SAR-580 e JERS-1, cujas principais conclus~oes s~ao as
seguintes:

142
² Para asimagens SAR-580, JERS-1 original e JERS-1 degradada utilizadas,
os resultados obtidos nos testes indicam que as classi¯ca»c~oes ICM s~ao
sempre superiores µas classi¯ca»c~oes Maxver. Quando comparadas pela es-
tat³stica Kappa apresentada no Cap³tulo 7, a melhora media e de 115%.
² Para asimagens SAR-580, JERS-1 original e JERS-1 degradada utilizadas,
os resultados obtidos nos testes permitem concluir que o uso das dis-
tribui»c~oes mais ajustadas para os dados apresentam resultados de qual-
idade superior, quando comparados aos obtidos usando-se as distribui»c~oes
Gaussianas. Quando comparadas pela estat³stica Kappa esta melhora e,
em media, de 8%.
² Apesar das classi¯ca»c~oes ICM apresentarem valores para b· considerados
Muito Bons, com o uso de amostras de teste, o valor de b· foi considerado
de Razoavel para Bom quando a classi¯ca»c~ao e comparada com a imagem
TM classi¯cada. Uma das causas para esta diferen»ca e a presen»ca de erros
na classi¯ca»c~ao da imagem TM, que originalmente possui muitas nuvens.
² O uso de imagens com maior numero de visadas diminui o efeito do ru³do
\speckle", apresentando consequentemente, resultados ligeiramente supe-
riores aos das imagens originais.
²Maisestudos, tendo-se a verdade terrestre obtidaem campo,s~ao necessarios
para se obter uma efetiva compara»c~ao entre os sensores SAR e TM para
identi¯ca»c~ao das causas das diferen»cas entre as classi¯ca»c~oes.
² Os resultados obtidos permitem concluir que a classi¯ca»c~ao Maxver apre-
senta resultadosno maximo Razoaveis para a discrimina»c~ao de tr^es classes
(solo, regenera»c~ao e °oresta) em imagens SAR.
² O uso da informa»c~ao contextual, introduzida com a aplica»c~ao do algoritmo
ICM, permite a obten»c~ao de resultados ate Muito Bons, quando o coe¯-
ciente de concord^ancia Kappa e obtido com o uso de amostras de teste.

143
² Pode-se a¯rmar que a aplica»c~ao do algoritmo ICM na discrimina»c~ao de
ate tr^es classes (solo, regenera»c~ao e °oresta) distintas em areas de °oresta
tropical, como e o interesse do Projeto de Desmatamento da Amaz^onia,
produz resultados no m³nimo Razoaveis.
² A implementa»c~ao do sistema atingiu os objetivos da proposta inicial, apre-
sentando facilidade de uso, consist^encia na formula»c~ao e resultados satis-
fatorios para os dados SAR monoespectrais em amplitude.
² O sistema permite ilustrar didaticamente o uso de modelagem estat³stica
9.2 - Sugest~oes
na analise de imagens.
1) Implementar o sistema para os dados monoespectrais em intensidade e
complexos.
2) Implementar o sistema para os dados multiespectrais univariados e multi-
variados.
3) Implementar o algoritmo ICM com vizinhan»ca doze e comparar os seus
resultados com os ja obtidos para a vizinhan»ca oito.
4) Pesquisar e implementar metodos computacionais que diminuam o tempo
de processamento do algoritmo ICM.
5) Implementar as tecnicas temas principais desta disserta»c~ao em outros sis-
temas em uso no INPE.
6) Realizar os testes de classi¯ca»c~ao com imagens que possuam a verdade
terrestre obtida no campo.
7) Realizar testese compara»c~oescom produtos de outrossensores, com multi-
plas visadas.

144
8) Avaliar os resultados com a aplica»c~ao de ¯ltros redutores de \speckle".

145
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152

153
AP^ENDICE A
ESTIMAC» ~ AO DE¯ PARA VIZINHANC»A QUATRO
A.1 - Fun»c~ao de pseudoverossimilhan»ca para vizinhan»ca 4
de pseudoverossimilhan»ca:
Para±=1; desenvolvendo a Equa»c~ao 6.3, tem-se a seguinte fun»c~ao
pl(¯;x) =k4ln
+k22ln
+k13ln
Ã
Ã
e 4¯
e 4¯ +K ¡1
e 2¯
2e 2¯ +K ¡2
!
!
+k211
+k31ln
Ã
Ã
e 3¯
e 3¯ +e ¯ +K ¡2
e 2¯
e 2¯ +2e ¯ +K ¡3
Ã
e¯ e3¯ +e¯ ! Ã
e
+k121ln
+K ¡2
¯
e2¯ +2e¯ !
+K ¡3
Ã
e
+k1111ln
¯
4e¯ !
+K ¡4
µ
+k031ln
1
e 3¯ +e ¯ +K ¡2
µ
1
+k0211ln e2¯ +2e¯ +K ¡3
µ
1
+k04ln
e4¯ +K ¡1
µ
+k022ln
!
+
1
2e 2¯ +K ¡2
+
µ
1
+k01111ln 4e¯ +K ¡4
!
+
+
+

154
A.2 - Equa»c~ao para estima»c~ao de¯ para vizinhan»ca 4
solu»c~ao da seguinte equa»c~ao:
Para este caso, desenvolvendo a Equa»c~ao 6.4, b ¯PL e obtido pela
4k4
K ¡1
e 4¯ +K ¡1 +k31
2e¯ +3K ¡6
e3¯ +e¯ +K ¡2 +
K ¡2
+2k22 2e2¯ +K ¡2 +2k e
211
¯ +K ¡3
e2¯ +2e¯ +K ¡3 +
¡2e 3¯ +K ¡2
+k13
e3¯ +e¯ +K ¡2 +k121
¡e2¯ +K ¡3
e2¯ +2e¯ +K ¡3 +
K ¡4
+k1111 4e¯ +K¡4 ¡4k e
04
4¯
e4¯ +K ¡1 +
¡k031
3e3¯ +e¯ e3¯ +e¯ +K ¡2 ¡4k022
e2¯ 2e2¯ +K ¡2 +
e
¡2k0211
2¯ +e¯ e2¯ +2e¯ +K¡3 ¡4k01111
e¯ 4e¯ = 0
+K¡4

155
AP^ENDICE B
ESTIMAC» ~ AO DE¯ PARA VIZINHANC»A OITO
B.1 - Fun»c~ao de pseudoverossimilhan»ca para vizinhan»ca 8
de pseudoverossimilhan»ca:
Para± = p 2;desenvolvendoaEqua»c~ao6.3,tem-se aseguintefun»c~ao
pl(¯;x) =k 8ln
+k 62ln
+k 53ln
+k431ln
+k4211ln
+k35ln
Ã
Ã
+k 5111ln
Ã
Ã
Ã
e 8¯
e 8¯ +K ¡1
e 6¯
e 6¯ +e 2¯ +K ¡2
e 5¯
e 5¯ +e 3¯ +K ¡2
Ã
!
!
!
+k 71ln
+k 611ln
+k 521ln
e 5¯
e 5¯ +3e ¯ +K ¡4
e 4¯
e 4¯ +e 3¯ +e ¯ +K ¡3
e 4¯
e 4¯ +e 2¯ +2e ¯ +K ¡4
Ã
+k332ln
e 3¯
e 5¯ +e 3¯ +K ¡2
Ã
!
e 3¯
2e 3¯ +e 2¯ +K ¡3
!
!
!
+k341ln
!
Ã
Ã
Ã
+k 44ln
+k422ln
e 7¯
e 7¯ +e ¯ +K ¡2
e 6¯
e 6¯ +2e ¯ +K ¡3
!
!
e 5¯
e 5¯ +e 2¯ +e ¯ +K ¡3
Ã
Ã
+k41111ln
Ã
+k3311ln
e 4¯
2e 4¯ +K ¡2
!
+
+
+
!
e 4¯
e 4¯ +2e 2¯ +K ¡3
Ã
!
e 4¯
e 4¯ +4e ¯ +K ¡5
e 3¯
e 4¯ +e 3¯ +e ¯ +K ¡3
Ã
e 3¯
2e 3¯ +2e ¯ +K ¡4
!
!
+
+
!
+
+
+

+k3221ln
Ã
e 3¯
e 3¯ +2e 2¯ +e ¯ +K ¡4
+k311111ln
+k 251ln
+k2411ln
+k2321ln
Ã
Ã
Ã
Ã
!
e 3¯
e 3¯ +5e ¯ +K ¡6
e 2¯
e 5¯ +e 2¯ +e ¯ +K ¡3
156
+k32111ln
!
!
e 2¯
e 4¯ +e 2¯ +2e ¯ +K ¡4
e 2¯
e 3¯ +2e 2¯ +e ¯ +K ¡4
+k2222ln
+k 221111ln
+k 17ln
Ã
Ã
e 2¯
4e 2¯ +K ¡4
!
e 2¯
2e 2¯ +4e ¯ +K ¡6
!
Ã
e¯ e7¯ +e¯ +K ¡2
!
!
+k26ln
+k 242ln
Ã
Ã
+k233ln
+k23111ln
+k22211ln
!
Ã
e 3¯
e 3¯ +e 2¯ +3e ¯ +K ¡5
e 2¯
e 6¯ +e 2¯ +K ¡2
Ã
Ã
+k 2111111ln
+k 161ln
!
e 2¯
e 4¯ +2e 2¯ +K ¡3
Ã
+
!
e 2¯
2e 3¯ +e 2¯ +K ¡3
!
+
+
e 2¯
e 3¯ +e 2¯ +3e ¯ +K ¡5
e 2¯
3e 2¯ +2e ¯ +K ¡5
Ã
!
+
e 2¯
e 2¯ +6e ¯ +K ¡7
Ã
e¯ e6¯ +2e¯ +K ¡3
!
Ã
e
+k152ln
¯
e5¯ +e2¯ +e¯ ! Ã
e
+k1511ln
+K ¡3
¯
e5¯ +3e¯ !
+K ¡4
Ã
e
+k143ln
¯
e4¯ +e3¯ +e¯ ! Ã
e
+k1421ln
+K ¡3
¯
e4¯ +e2¯ +2e¯ !
+K ¡4
+
!
+
+
!
!
+
+
+

+k 1322ln
157
Ã
e
+k14111ln
¯
e4¯ +4e¯ ! Ã
e
+k1331ln
+K ¡5
¯
2e3¯ +2e¯ !
+K ¡4
Ã
e¯ e3¯ +2e2¯ +e¯ +K ¡4
!
+k 13211ln
+
Ã
e¯ e3¯ +e2¯ +3e¯ +K ¡5
!
Ã
e
+k131111ln
¯
e3¯ +5e¯ ! Ã
e
+k12221ln
+K ¡6
¯
3e2¯ +2e¯ !
+K ¡5
+k 122111ln
Ã
e¯ 2e2¯ +4e¯ +K ¡6
!
Ã
e
+k11111111ln
¯
8e¯ !
+K ¡8
+k 1211111ln
Ã
e¯ e2¯ +6e¯ +K ¡7
!
¡k08ln ³
e 8¯ +K ¡1 ´
+
¡k 071ln ³
e 7¯ +e ¯ +K ¡2 ´
¡k 062ln ³
e 6¯ +e 2¯ +K ¡2 ´
+
¡k0611ln ³
e 6¯ +2e ¯ +K ¡3 ´
¡k053ln ³
e 5¯ +e 3¯ +K ¡2 ´
+
¡k 0521ln ³
e 5¯ +e 2¯ +e ¯ +K ¡3 ´
¡k 05111ln ³
e 5¯ +3e ¯ +K ¡4 ´
+
¡k044ln ³
2e 4¯ +K ¡2 ´
¡k0431ln ³
e 4¯ +e 3¯ +e ¯ +K ¡3 ´
+
¡k 0422ln ³
e 4¯ +2e 2¯ +K ¡3 ´
¡k 04211ln ³
e 4¯ +e 2¯ +2e ¯ +K ¡4 ´
+
¡k041111ln ³
e 4¯ +4e ¯ +K ¡5 ´
¡k0332ln ³
2e 3¯ +e 2¯ +K ¡3 ´
+
+
+
+

158
¡k 03311ln ³
2e 3¯ +2e ¯ +K ¡4 ´
¡k 03221ln ³
e 3¯ +2e 2¯ +e ¯ +K ¡4 ´
+
¡k 032111ln ³
e 3¯ +e 2¯ +3e ¯ +K ¡5 ´
¡k 0311111ln ³
e 3¯ +5e ¯ +K ¡6 ´
+
¡k 02222ln ³
4e 2¯ +K ¡4 ´
¡k 022211ln ³
3e 2¯ +2e ¯ +K ¡5 ´
+
¡k0221111ln ³
2e 2¯ +4e ¯ +K ¡6 ´
¡k02111111ln ³
e 2¯ +6e ¯ +K ¡7 ´
+
¡k011111111ln ³
8e ¯ +K ¡8 ´

159
B.2 - Equa»c~ao para estima»c~ao de¯ para vizinhan»ca 8
Efetuando-se desenvolvimento para±= p 2;o valor de b ¯PL e obtido
pela solu»c~ao da seguinte equa»c~ao:
(K ¡1)
8k8 e8¯ +K ¡1 +k 6e
71
¯ +7K ¡14
e7¯ +e¯ +K ¡2 +2k 2e
62
2¯ +3K ¡6
e6¯ +e2¯ +K ¡2 +
5e
+2k611 ¯ +3K ¡9
e6¯ +2e¯ +K ¡3 +k 2e
53
3¯ +5K ¡10
e5¯ +e3¯ +K ¡2 +
3e 2¯ +4e ¯ +5K ¡15
+k521
e5¯ +e2¯ +e¯ +K ¡3 +k5111
4(K ¡2)
+k44
2e4¯ +K ¡2 +k431
e 2¯ +K ¡3
+4k422
e4¯ +2e 2¯ +K ¡3 +2k4211
3e ¯ +K ¡5
+4k41111
e4¯ +4e¯ +K ¡5 +k35
¡e 4¯ +2e ¯ +3K ¡9
+k341
e4¯ +e3¯ +e¯ +K ¡3 +k332
4e
+k3311 ¯ +3K ¡12
2e3¯ +2e¯ +K ¡4 +k3221 12e¯ +5K ¡20
e5¯ +3e¯ +K ¡4 +
e3¯ +3e¯ +4K ¡12
e4¯ +e3¯ +e¯ +K ¡3 +
e2¯ +3e¯ +2K ¡8
e4¯ +e2¯ +2e¯ +K ¡4 +
¡2e5¯ +3K ¡6
e5¯ +e3¯ +K ¡2 +
e2¯ +3K ¡9
2e3¯ +e2¯ +K ¡3 +
2e 2¯ +2e ¯ +3K ¡12
e 3¯ +2e 2¯ +e ¯ +K¡4 +
e
+k32111 2¯ +6e¯ +3K ¡15
e3¯ +e2¯ +3e¯ +K ¡5 +k 10e
311111
¯ +3K ¡18
e3¯ +5e¯ +K ¡6 +
¡2e
+2k26 6¯ +K ¡2
e6¯ +e2¯ +K ¡2 +k ¡3e
251
5¯ +e¯ +2K ¡6
e5¯ +e2¯ +e¯ +K ¡3 +

¡e 4¯ +K ¡3
160
+2k242
e4¯ +2e 2¯ +K ¡3 +2k2411
¡e 3¯ +K ¡3
¡e4¯ +e¯ +K ¡4
e4¯ +e2¯ +2e¯ +K ¡4 +
¡e 3¯ +e ¯ +2K ¡8
+2k233
2e3¯ +e2¯ +K ¡3 +k2321
e3¯ +2e2¯ +e¯ +K¡4 +
¡e 3¯ +3e ¯ +2K ¡10
+k23111
e3¯ +e2¯ +3e¯ +K ¡5 +k2222
e ¯ +K ¡5
+2k22211
3e2¯ +2e¯ +K ¡5 +2k221111
3e ¯ +K ¡7
+2k2111111
e2¯ +6e¯ +K ¡7 +k17
¡5e 6¯ +K ¡3
+k161
e6¯ +2e¯ +K ¡3 +k152
2(K ¡4)
4e2¯ +K ¡4 +
2e¯ +K ¡6
2e2¯ +4e¯ +K ¡6 +
¡6e7¯ +K ¡2
e7¯ +e¯ +K ¡2 +
¡4e5¯ ¡e2¯ +K ¡3
e5¯ +e2¯ +e¯ +K ¡3 +
¡4e
+k1511 5¯ +K ¡4
e5¯ +3e¯ +K ¡4 +k ¡3e
143
4¯ ¡2e 3¯ +K ¡3
e4¯ +e3¯ +e¯ +K ¡3 +
¡3e
+k1421 4¯ ¡e2¯ +K ¡4
e4¯ +e2¯ +2e¯ +K ¡4 +k ¡3e
14111
4¯ +K ¡5
e4¯ +4e¯ +K ¡5 +
¡4e
+k1331 3¯ +K ¡4
2e3¯ +2e¯ +K ¡4 +k1322 ¡2e 3¯ ¡2e 2¯ +K ¡4
e 3¯ +2e 2¯ +e ¯ +K¡4 +
¡2e
+k13211 3¯ ¡e2¯ +K ¡5
e3¯ +e2¯ +3e¯ +K ¡5 +k ¡2e
131111
3¯ +K ¡6
e3¯ +5e¯ +K ¡6 +
¡3e
+k12221 2¯ +K ¡5
3e2¯ +2e¯ +K ¡5 +k ¡2e
122111
2¯ +K ¡6
2e2¯ +4e¯ +K ¡6 +

¡e 2¯ +K ¡7
161
+k1211111
e2¯ +6e¯ +K ¡7 +k11111111
¡2k 062
¡k 053
¡k 0431
¡2k 04211
¡k03221
¡k08
K ¡8
8e¯ +K ¡8 +
8
e8¯ +K ¡1 e8¯ 7e
¡k071
7¯ +e¯ e7¯ +e¯ +K ¡2
3e 6¯ +e 2¯
3e 6¯ +e ¯
e6¯ +e2¯ +K ¡2 ¡2k0611 e6¯ +2e¯ +K ¡3 +
5e 5¯ +3e 3¯
5e 5¯ +2e 2¯ +e ¯
e5¯ +e3¯ +K ¡2 ¡k0521 e5¯ +e2¯ +e¯ +K ¡3 +
¡k 05111
¡2k 0332
5e5¯ +3e¯ e5¯ +3e¯ +K ¡4 ¡k 8
044
2e4¯ +K ¡2 e4¯ +
4e 4¯ +3e 3¯ +e ¯
e 4¯ +e 2¯
e4¯ +e3¯ +e¯ +K ¡3 ¡4k0422 e4¯ +2e2¯ +K ¡3 +
2e 4¯ +e 2¯ +e ¯
e 4¯ +e ¯
e4¯ +e2¯ +2e¯ +K ¡4 ¡4k 041111
e4¯ +4e¯ +K ¡5 +
3e 3¯ +e 2¯
3e 3¯ +e ¯
2e3¯ +e2¯ +K ¡3 ¡2k03311 2e3¯ +2e¯ +K ¡4 +
3e 3¯ +4e 2¯ +e ¯
3e 3¯ +2e 2¯ +3e ¯
e3¯ +2e 2¯ +e¯ +K ¡4 ¡k032111
e3¯ +e2¯ +3e¯ +K ¡5 +
¡k0311111
¡2k022211
3e3¯ +5e¯ e3¯ +5e¯ +K ¡6 ¡8k02222
e2¯ 4e2¯ +K ¡4 +
3e 2¯ +e ¯
e 2¯ +e ¯
3e2¯ +2e¯ +K ¡5 ¡4k0221111
2e2¯ +4e¯ +K ¡6 +
e
¡2k02111111
2¯ +3e¯ e2¯ +6e¯ +K¡7 ¡8k011111111
e¯ 8e¯ +K ¡8 =0

162

163
AP^ENDICE C
ESTIMAC» ~ AO DE¯ PARA VIZINHANC»A QUATRO
C.1 - Coe¯cientes e con¯gura»c~oes para vizinhan»ca 12
Para vizinhan»ca doze s~ao poss³veis os coe¯cientes na Tabela 30
abaixo, com exemplos de con¯gura»c~ao para os nove primeiros:
TABELA 30 - TABELA DE COEFICIENTES PARA VIZINHANC»A DOZE
k12
|
| | |
| | | | |
| | |
|
k102
|
| | |
| | | | |
| | z
Ä
k9111
|
| | |
| | | | Ä
| | ¨
z
k111
|
| | |
| | | | |
| | |
z
k93
|
| | |
| | | | z
| | z
z
k84
|
| | |
| | | | z
z | z
z
k102
|
| | |
| | | | |
| | z
z
k921
|
| | |
| | | | Ä
| | z
z
k831
|
| | |
| | | | z
¥ | z
z

164
TABELA 30 - Continua»c~ao
k822 k8211 k81111 k75 k741 k732 k7311
k7221 k72111 k711111 k66 k651 k642 k6411
k 633 k 6321 k 63111 k 6222 k 62211 k 621111 k 6111111
k57 k561 k552 k5511 k543 k5421 k54111
k 5331 k 5322 k 53211 k 531111 k 52221 k 522111 k 5211111
k51111111 k48 k471 k462 k4611 k453 k4521
k45111 k444 k4431 k4422 k44211 k441111 k4332
k43311 k43221 k432111 k4311111 k42222 k422211 k4221111
k42111111 k411111111 k39 k381 k372 k3711 k363
k 3621 k 36111 k 354 k 3531 k 3522 k 35211 k 351111
k3441 k3432 k34311 k34221 k3411111 k342111 k3333
k 33321 k 333111 k 33222 k 332211 k 3321111 k 33111111 k 322221
k3222111 k32211111 k321111111 k3111111111 k210 k291 k282
k2811 k273 k2721 k27111 k264 k2631 k2622
k 26211 k 261111 k 255 k 2541 k 2532 k 25311 k 25221
k252111 k2511111 k2442 k24411 k2433 k24321 k243111
k 24222 k 242211 k 2421111 k 24111111 k 23331 k 233211 k 2331111
k232221 k2322111 k23211111 k231111111 k222222 k2222211 k22221111
k 222111111 k 2211111111 k 21111111111 k 1B k 1C 1 k 192 k 1911
k183 k1821 k18111 k174 k1731 k1722 k17211
k171111 k165 k1641 k1632 k16311 k16221 k162111
k 1611111 k 1551 k 1542 k 15411 k 1533 k 15321 k 153111
k15222 k152211 k1521111 k15111111 k1443 k14421 k144111
k 14331 k 14322 k 143211 k 1431111 k 142221 k 1422111 k 14211111
k141111111 k13332 k133311 k133221 k1332111 k13311111 k132222
k 1322211 k 13221111 k 132111111 k 1311111111 k 1222221 k 12222111 k 122211111
k1221111111 k12111111111 k111111111111 k0C k0B1 k0A2 k0A11
k093 k0921 k09111 k084 k0831 k0822 k08211

165
TABELA 30 - Conclus~ao
k081111 k075 k0741 k0732 k07311 k07221
k 072111 k 0711111 k 066 k 0651 k 0642 k 06411
k0633 k06321 k063111 k06222 k062211 k0621111
k06111111 k0552 k05511 k0543 k05421 k054111
k 05331 k 05322 k 053211 k 0531111 k 052221 k 0522111
k05211111 k051111111 k0444 k04431 k04422 k044211
k 0441111 k 04332 k 043311 k 043221 k 0432111 k 04311111
k042222 k0422211 k04221111 k042111111 k0411111111 k03333
k 033321 k 0333111 k 033222 k 0332211 k 03321111 k 033111111
k0322221 k03222111 k032211111 k0321111111 k03111111111 k0222222
k02222211 k022221111 k0222111111 k02211111111 k021111111111 k0111111111111
C.2 - Fun»c~ao de pseudoverossimilhan»ca para vizinhan»ca 12
Para± = 2; desenvolvendo a Equa»c~ao 6.3, p. 62 tem-se a seguinte
fun»c~ao de pseudoverossimilhan»ca:
pl(¯;x) =kCln
+kA2ln
+k 93ln
Ã
+k9111ln
+k831ln
Ã
Ã
e 12¯
e 12¯ +K ¡1
!
+kB1ln
Ã
e10¯ e10¯ +e2¯ ! Ã
+kA11ln
+k¡2
e 9¯
e 9¯ +e 3¯ +K ¡2
Ã
!
e 9¯
e 9¯ +3e ¯ +K ¡4
e 8¯
e 8¯ +e 3¯ +e ¯ +K ¡3
+k 921ln
!
!
+k84ln
Ã
e11¯ e11¯ +e¯ +k¡2
!
e 10¯
e 10¯ +2e ¯ +K ¡3
!
Ã
e9¯ e9¯ +e2¯ +e¯ +k¡3
!
Ã
+k822ln
e 8¯
e 8¯ +e 4¯ +K ¡2
Ã
!
+
+
+
e 8¯
e 8¯ +2e 2¯ +K ¡3
+
!
+

+k 8211ln
+k 75ln
+k732ln
+k 7221ln
+k651ln
+k6321ln
Ã
Ã
Ã
e 8¯
e 8¯ +e 2¯ +2e ¯ +K ¡4
Ã
e 7¯
e 7¯ +e 5¯ +K ¡2
!
e 7¯
e 7¯ +e 3¯ +e 2¯ +K ¡3
e 7¯
e 7¯ +2e 2¯ +e ¯ +K ¡4
+k711111ln
Ã
+k 6411ln
Ã
+k6222ln
Ã
166
!
+k 741ln
!
!
e 7¯
e 7¯ +5e ¯ +K ¡6
e 6¯
e 6¯ +e 5¯ +e ¯ +K ¡3
Ã
!
e 6¯
e 6¯ +e 4¯ +2e ¯ +K ¡4
e 6¯
e 6¯ +e 3¯ +e 2¯ +e ¯ +K ¡4
Ã
+k 621111ln
+k57ln
e 6¯
e 6¯ +3e 2¯ +K ¡4
Ã
!
e 6¯
e 6¯ +e 2¯ +4e ¯ +K ¡6
Ã
e 5¯
e 7¯ +e 5¯ +K ¡2
!
+k 81111ln
Ã
+k7311ln
+k 72111ln
!
Ã
e 8¯
e 8¯ +4e ¯ +K ¡5
e 7¯
e 7¯ +e 4¯ +e ¯ +K ¡3
Ã
!
!
+
e 7¯
e 7¯ +e 3¯ +2e ¯ +K ¡4
Ã
+k66ln
+k642ln
!
!
+k62211ln
!
+k561ln
Ã
+k 633ln
+k63111ln
Ã
+
!
e 7¯
e 7¯ +e 2¯ +3e ¯ +K ¡5
Ã
e 6¯
2e 6¯ +K ¡2
!
+
e 6¯
e 6¯ +e 4¯ +e 2¯ +K ¡3
Ã
Ã
e 6¯
e 6¯ +2e 3¯ +K ¡3
!
!
+
!
+
+
e 6¯
e 6¯ +e 3¯ +3e ¯ +K ¡5
e 6¯
e 6¯ +2(e 2¯ +e ¯ )+K ¡5
+k 6111111ln
Ã
Ã
e 6¯
e 6¯ +6e ¯ +K ¡7
e 5¯
e 6¯ +e 5¯ +e ¯ +K ¡3
!
+
!
!
+
+
+
!
+

+k 543ln
+k 552ln
Ã
+k54111ln
+k 5322ln
Ã
+k531111ln
+k522111ln
Ã
e 5¯
2e 5¯ +e 2¯ +K ¡3
e 5¯
e 5¯ +e 4¯ +e 3¯ +K ¡3
Ã
!
!
e 5¯
e 5¯ +e 4¯ +3e ¯ +K ¡5
e 5¯
e 5¯ +e 3¯ +2e 2¯ +K ¡4
Ã
Ã
!
e 5¯
e 5¯ +e 3¯ +4e ¯ +K ¡6
e 5¯
e 5¯ +2e 2¯ +3e ¯ +K ¡6
+k 51111111ln
+k471ln
+k4611ln
+k 4521ln
Ã
Ã
Ã
Ã
167
+k 5511ln
+k 5421ln
!
Ã
+k5331ln
+k 53211ln
!
!
e 5¯
e 5¯ +7e ¯ +K ¡8
e 4¯
e 7¯ +e 4¯ +e ¯ +K ¡3
!
e 4¯
e 6¯ +e 4¯ +2e ¯ +K ¡4
!
e 4¯
e 5¯ +e 4¯ +e 2¯ +e ¯ +K ¡4
+k444ln
Ã
e 4¯
3e 4¯ +K ¡3
!
Ã
e5¯ 2(e5¯ +e2¯ ) +K¡4
!
+
e 5¯
e 5¯ +e 4¯ +e 2¯ +e ¯ +K ¡4
Ã
+k52221ln
Ã
e 5¯
e 5¯ +2e 3¯ +e ¯ +K ¡4
!
!
+
e 5¯
e 5¯ +e 3¯ +e 2¯ +2e ¯ +K ¡5
Ã
+k5211111ln
!
+k 48ln
+k462ln
+k453ln
!
+k4431ln
Ã
Ã
e 5¯
e 5¯ +3e 2¯ +e ¯ +K ¡5
Ã
!
e 5¯
e 5¯ +e 2¯ +5e ¯ +K ¡7
e 4¯
e 8¯ +e 4¯ +K ¡2
!
+
e 4¯
e 6¯ +e 4¯ +e 2¯ +K ¡3
Ã
+k 45111ln
Ã
e 4¯
e 5¯ +e 4¯ +e 3¯ +K ¡3
Ã
!
!
+
+
e 4¯
e 5¯ +e 4¯ +3e ¯ +K ¡5
e 4¯
2e 4¯ +e 3¯ +e ¯ +K ¡4
!
+
+
!
+
!
!
+
+
+

+k 4422ln
Ã
+k 441111ln
+k43311ln
+k 432111ln
Ã
e 4¯
2(e 4¯ +e 2¯ )+K ¡4
Ã
!
e 4¯
2(e 4¯ +2e ¯ ) +K ¡6
e 4¯
e 4¯ +2(e 3¯ +e ¯ )+K ¡5
Ã
+k42222ln
+k4221111ln
168
e 4¯
e 4¯ +e 3¯ +e 2¯ +3e ¯ +K ¡6
Ã
Ã
e 4¯
e 4¯ +4e 2¯ +K ¡5
!
+k 44211ln
!
!
e 4¯
e 4¯ +2(e 2¯ +2e ¯ )+K ¡7
+k 411111111ln
+k381ln
+k 3621ln
Ã
+k3711ln
Ã
+k354ln
Ã
Ã
+k 4332ln
+k43221ln
!
+k422211ln
!
e 4¯
e 4¯ +8e ¯ +K ¡9
e 3¯
e 8¯ +e 3¯ +e ¯ +K ¡3
Ã
!
e 3¯
e 7¯ +e 3¯ +2e ¯ +K ¡4
e 3¯
e 6¯ +e 3¯ +e 2¯ +e ¯ +K ¡4
Ã
e 3¯
e 5¯ +e 4¯ +e 3¯ +K ¡3
!
e 4¯
2(e 4¯ +e ¯ )+e 2¯ +K ¡5
Ã
Ã
+k 4311111ln
Ã
+k42111111ln
!
+k 39ln
+k372ln
!
!
Ã
+k363ln
e 4¯
e 4¯ +2e 3¯ +e 2¯ +K ¡4
!
!
+
+
e 4¯
e 4¯ +e 3¯ +2e 2¯ +e ¯ +K ¡5
Ã
e 4¯
e 4¯ +e 3¯ +5e ¯ +K ¡7
e 4¯
e 4¯ +3e 2¯ +2e ¯ +K ¡6
Ã
+k 36111ln
+k3531ln
Ã
!
+
e 4¯
e 4¯ +e 2¯ +6e ¯ +K ¡8
e 3¯
e 9¯ +e 3¯ +K ¡2
!
+
e 3¯
e 7¯ +e 3¯ +e 2¯ +K ¡3
Ã
Ã
Ã
e 3¯
e 6¯ +2e 3¯ +K ¡3
!
!
+
+
e 3¯
e 6¯ +e 3¯ +3e ¯ +K ¡5
e 3¯
e 5¯ +2e 3¯ +e ¯ +K ¡4
!
!
+
!
!
!
+
+
+
+

+k 3522ln
Ã
+k 351111ln
+k3432ln
+k 34221ln
e 3¯
e 5¯ +e 3¯ +2e 2¯ +K ¡4
Ã
Ã
Ã
+k342111ln
+k33321ln
+k 33222ln
+k3321111ln
+k322221ln
+k 32211111ln
!
e 3¯
e 5¯ +e 3¯ +4e ¯ +K ¡6
e 3¯
e 4¯ +2e 3¯ +e 2¯ +K ¡4
e 3¯
e 4¯ +e 3¯ +2e 2¯ +e ¯ +K ¡5
Ã
Ã
Ã
Ã
169
+k 35211ln
!
!
Ã
+k 3441ln
+k34311ln
e 3¯
e 4¯ +e 3¯ +e 2¯ +3e ¯ +K ¡6
e 3¯
3e 3¯ +e 2¯ +e ¯ +K ¡5
e 3¯
2e 3¯ +3e 2¯ +K ¡5
Ã
!
e 3¯
2e 3¯ +e 2¯ +4e ¯ +K ¡7
e 3¯
e 3¯ +4e 2¯ +e ¯ +K ¡6
!
!
e 3¯
e 5¯ +e 3¯ +e 2¯ +2e ¯ +K ¡5
Ã
Ã
+k 3411111ln
!
+k333111ln
+k 332211ln
!
Ã
e3¯ e3¯ +2e¯ +5e¯ +K ¡8
!
Ã
e
+k3111111111ln
3¯
e3¯ +9e¯ !
+K¡10
!
Ã
e 3¯
2e 4¯ +e 3¯ +e ¯ +K ¡4
e 3¯
e 4¯ +2(e 3¯ +e ¯ )+K ¡5
!
!
!
+
+
Ã
e3¯ e4¯ +e3¯ +5e¯ +K¡7
!
+k3333ln
Ã
+k33111111ln
+k3222111ln
Ã
e 3¯
4e 3¯ +K ¡4
!
e 3¯
3(e 3¯ +e ¯ )+K ¡6
e 3¯
2(e 3¯ +e 2¯ +e ¯ ) +K ¡6
Ã
+k 321111111ln
+k2Aln
Ã
!
+
e 3¯
2e 3¯ +6e ¯ +K ¡8
!
+
!
e 3¯
e 3¯ +3(e 2¯ +e ¯ ) +K ¡7
Ã
Ã
+
e 3¯
e 3¯ +e 2¯ +7e ¯ +K ¡9
e 2¯
e 10¯ +e 2¯ +K ¡2
!
+
+
!
!
+
+
+
+

+k 291ln
+k 2811ln
+k2721ln
+k 264ln
Ã
Ã
+k2622ln
+k 2541ln
+k25311ln
Ã
Ã
e 2¯
e 9¯ +e 2¯ +e ¯ +K ¡3
e 2¯
e 8¯ +e 2¯ +2e ¯ +K ¡4
e 2¯
e 7¯ +2e 2¯ +e ¯ +K ¡4
e 2¯
e 6¯ +e 4¯ +e 2¯ +K ¡3
Ã
+k261111ln
Ã
Ã
+k252111ln
+k 2442ln
+k2433ln
Ã
e 2¯
e 6¯ +3e 2¯ +K ¡4
Ã
!
!
!
170
!
!
+k 282ln
+k 273ln
+k27111ln
+k 2631ln
+k26211ln
e 2¯
e 6¯ +e 2¯ +4e ¯ +K ¡6
e 2¯
e 5¯ +e 4¯ +e 2¯ +e ¯ +K ¡4
e 2¯
e 5¯ +e 3¯ +e 2¯ +2e ¯ +K ¡5
Ã
e 2¯
e 5¯ +2e 2¯ +3e ¯ +K ¡6
Ã
e 2¯
2(e 4¯ +e 2¯ )+K ¡4
e 2¯
e 4¯ +e 2¯ +2e 3¯ +K ¡4
!
!
!
!
!
!
Ã
Ã
Ã
Ã
e 2¯
e 8¯ +2e 2¯ +K ¡3
!
+
e 2¯
e 7¯ +e 3¯ +e 2¯ +K ¡3
Ã
!
e 2¯
e 7¯ +e 2¯ +3e ¯ +K ¡5
!
e 2¯
e 6¯ +e 3¯ +e 2¯ +e ¯ +K ¡4
e 2¯
e 6¯ +2(e 2¯ +e ¯ )+K ¡5
+k255ln
+k 2532ln
Ã
+k25221ln
+k2511111ln
+k 24411ln
+k24321ln
Ã
Ã
Ã
e 2¯
2e 5¯ +e 2¯ +K ¡3
!
!
+
+
+
!
+
e 2¯
e 5¯ +e 3¯ +2e 2¯ +K ¡4
Ã
Ã
e 2¯
e 5¯ +3e 2¯ +e ¯ +K ¡5
e 2¯
e 5¯ +e 2¯ +5e ¯ +K ¡7
e 2¯
2(e 4¯ +e ¯ )+e 2¯ +K ¡5
!
!
!
+
e 2¯
e 4¯ +e 3¯ +2e 2¯ +e ¯ +K ¡5
+
!
+
+
!
+
+

+k24311ln
+k242211ln
Ã
Ã
+k 24111111ln
171
e 2¯
e 4¯ +e 3¯ +e 2¯ +2e ¯ +K ¡5
e 2¯
e 4¯ +3e 2¯ +2e ¯ +K ¡6
Ã
!
e 2¯
e 4¯ +e 2¯ +6e ¯ +K ¡8
!
+k2421111ln
!
+k24222ln
Ã
+k 23331ln
Ã
e
+k233211ln
2¯
2(e3¯ +e2¯ +e¯ ! Ã
+k2331111ln
) +K¡6
+k232221ln
+k 23211111ln
Ã
e 2¯
e 3¯ +4e 2¯ +e ¯ +K ¡6
Ã
!
e 2¯
e 3¯ +2e 2¯ +5e ¯ +K ¡8
+k222222ln
+k22221111ln
+k 2211111111ln
Ã
Ã
+k 1Bln
Ã
e 2¯
6e 2¯ +K ¡6
!
e 2¯
4(e 2¯ +e ¯ ) +K ¡8
+k2322111ln
!
Ã
Ã
e 2¯
e 4¯ +4e 2¯ +K ¡5
!
e 2¯
e 4¯ +2(e 2¯ +2e ¯ )+K ¡7
Ã
+k 231111111ln
+k2222211ln
!
e 2¯
2(e 2¯ +4e ¯ ) +K ¡10
Ã
e¯ e11¯ +e¯ +K ¡2
!
Ã
+k222111111ln
!
e 2¯
3e 3¯ +e 2¯ +e ¯ +K ¡5
!
+
e 2¯
2(e 3¯ +2e ¯ ) +e 2¯ +K ¡7
e 2¯
e 3¯ +3(e 2¯ +e ¯ ) +K ¡7
Ã
e 2¯
e 3¯ +e 2¯ +7e ¯ +K ¡9
e 2¯
5e 2¯ +2e ¯ +K ¡7
Ã
+k 21111111111ln
+k 1A1ln
Ã
!
+
e 2¯
3(e 2¯ +2e ¯ ) +K ¡9
Ã
!
e 2¯
e 2¯ +10e ¯ +K ¡11
e¯ e10¯ +2e¯ !
+K ¡3
Ã
e
+k192ln
¯
e9¯ +e2¯ +e¯ ! Ã
e
+k1911ln
+K ¡3
¯
e9¯ +3e¯ !
+K ¡4
+
+
!
!
+
!
+
!
!
+
+
+
+
+

172
Ã
e
+k183ln
¯
e8¯ +e3¯ +e¯ ! Ã
e
+k1821ln
+K ¡3
¯
e8¯ +e2¯ +2e¯ !
+K ¡4
Ã
e
+k18111ln
¯
e8¯ +4e¯ ! Ã
e
+k174ln
+K ¡5
¯
e7¯ +e4¯ +e¯ !
+K ¡3
+k 1731ln
Ã
e¯ e7¯ +e3¯ +2e¯ +K ¡4
!
+k 1722ln
+
Ã
e¯ e7¯ +2e2¯ +e¯ +K ¡4
!
Ã
e
+k17211ln
¯
e7¯ +e2¯ +3e¯ ! Ã
e
+k171111ln
+K ¡5
¯
e7¯ +5e¯ !
+K ¡6
Ã
e
+k165ln
¯
e6¯ +e5¯ +e¯ ! Ã
e
+k1641ln
+K ¡3
¯
e6¯ +e4¯ +2e¯ !
+K ¡4
Ã
e
+k1632ln
¯
e6¯ +e3¯ +e2¯ +e¯ ! Ã
e
+k16311ln
+K ¡4
¯
e6¯ +e3¯ +3e¯ !
+K ¡5
+k 16221ln
Ã
e¯ e6¯ +2(e2¯ +e¯ ) +K ¡5
!
+k 1611111ln
Ã
e¯ e6¯ +6e¯ !
+K ¡7
+k 162111ln
+k 1551ln
+
+
+
+
Ã
e¯ e6¯ +e2¯ +4e¯ +K ¡6
!
Ã
e¯ 2(e5¯ +e¯ )+K ¡4
!
Ã
e
+k1542ln
¯
e5¯ +e4¯ +e2¯ +e¯ ! Ã
e
+k15411ln
+K ¡4
¯
e5¯ +e4¯ +3e¯ !
+K ¡5
Ã
e
+k1533ln
¯
e5¯ +2e3¯ +e¯ ! Ã
e
+k15321ln
+K ¡4
¯
e5¯ +e3¯ +e2¯ +2e¯ !
+K ¡5
+
+
+
+
+

173
Ã
e
+k153111ln
¯
e5¯ +e3¯ +4e¯ ! Ã
e
+k15222ln
+K ¡6
¯
e5¯ +3e2¯ +e¯ !
+K ¡5
Ã
e
+k152211ln
¯
e5¯ +2e2¯ +3e¯ !
Ã
e
+k1521111ln
+K ¡6
¯
e5¯ +e2¯ +5e¯ !
+K ¡7
+k 15111111ln
Ã
e¯ e5¯ +7e¯ +K ¡8
!
+k 1443ln
Ã
e¯ 2e4¯ +e3¯ +e¯ +K ¡4
!
Ã
e
+k14421ln
¯
2e4¯ +e2¯ +2e¯ ! Ã
e
+k144111ln
+K ¡5
¯
2(e4¯ +2e¯ !
) +K ¡6
Ã
e
+k14331ln
¯
e4¯ +2(e3¯ +e¯ ! Ã
e
+k14322ln
)+K ¡5
¯
e4¯ +e3¯ +2e 2¯ +e¯ !
+K ¡5
Ã
e
+k143211ln
¯
e4¯ +e3¯ +e2¯ +3e¯ ! Ã
e
+k1431111ln
+K ¡6
¯
e4¯ +e3¯ +5e¯ !
+K ¡7
+k 142221ln
+k 14211111ln
Ã
e¯ e4¯ +3e2¯ +2e¯ +K ¡6
!
Ã
e¯ e4¯ +e2¯ +6e¯ +K ¡8
!
+k 1422111ln
+k 141111111ln
+
+
+
Ã
e¯ e4¯ +2(e2¯ +2e¯ )+K ¡7
!
Ã
e¯ e4¯ +8e¯ +K¡9
!
Ã
e
+k13332ln
¯
3e3¯ +e2¯ +e¯ ! Ã
e
+k133311ln
+K ¡5
¯
3(e3¯ +e¯ !
)+K ¡6
Ã
e
+k133221ln
¯
2(e3¯ +e2¯ +e¯ ! Ã
e
+k1332111ln
) +K¡6
¯
2(e3¯ +2e¯ ) +e2¯ !
+K ¡7
+
+
+
+
+
+
+

174
Ã
e
+k13311111ln
¯
2(e3¯ +3e¯ ! Ã
e
+k132222ln
)+K ¡8
¯
e3¯ +4e2¯ +e¯ !
+K ¡6
Ã
e
+k1322211ln
¯
e3¯ +3(e2¯ +e¯ ! Ã
e
+k13221111ln
)+K ¡7
¯
e3¯ +2e2¯ +5e¯ !
+K ¡8
+k 132111111ln
Ã
e¯ e3¯ +e2¯ +7e¯ +K ¡9
!
+k 1311111111ln
Ã
e¯ e3¯ +9e¯ +K ¡10
!
Ã
e
+k1222221ln
¯
5e2¯ +2e¯ !
Ã
e
+k12222111ln
+K ¡7
¯
4(e2¯ +e¯ !
) +K ¡8
Ã
e
+k122211111ln
¯
3(e2¯ +2e¯ !
Ã
e
+k1221111111ln
) +K ¡9
¯
2(e2¯ +4e¯ !
)+K ¡10
Ã
e
+k12111111111ln
¯
e2¯ +10e¯ !
Ã
e
+k111111111111ln
+K ¡11
¯
12e¯ !
+K ¡12
¡k 0Cln ³
e 12¯ +K ¡1 ´
+k 0B1ln ³
e 11¯ +e ¯ +k ¡2 ´
¡k 0A2ln ³
e 10¯ +e 2¯ +k ¡2 ´
+
¡k0A11ln ³
e 10¯ +2e ¯ +K ¡3 ´
¡k093ln ³
e 9¯ +e 3¯ +K ¡2 ´
+
¡k0921ln ³
e 9¯ +e 2¯ +e ¯ +k¡3 ´
¡k09111ln ³
e 9¯ +3e ¯ +K ¡4 ´
+
¡k084ln ³
e 8¯ +e 4¯ +K ¡2 ´
¡k0831ln ³
e 8¯ +e 3¯ +e ¯ +K ¡3 ´
+
¡k0822ln ³
e 8¯ +2e 2¯ +K ¡3 ´
¡k08211ln ³
e 8¯ +e 2¯ +2e ¯ +K ¡4 ´
+
+
+
+
+
+
+

175
¡k081111ln ³
e 8¯ +4e ¯ +K ¡5 ´
¡k075ln ³
e 7¯ +e 5¯ +K ¡2 ´
+
¡k 0741ln ³
e 7¯ +e 4¯ +e ¯ +K ¡3 ´
¡k 0732ln ³
e 7¯ +e 3¯ +e 2¯ +K ¡3 ´
+
¡k 07311ln ³
e 7¯ +e 3¯ +2e ¯ +K ¡4 ´
¡k 07221ln ³
e 7¯ +2e 2¯ +e ¯ +K ¡4 ´
+
¡k 072111ln ³
e 7¯ +e 2¯ +3e ¯ +K ¡5 ´
¡k 0711111ln ³
e 7¯ +5e ¯ +K ¡6 ´
+
¡k066ln ³
2e 6¯ +K ¡2 ´
¡k0651ln ³
e 6¯ +e 5¯ +e ¯ +K ¡3 ´
+
¡k0642ln ³
e 6¯ +e 4¯ +e 2¯ +K ¡3 ´
¡k06411ln ³
e 6¯ +e 4¯ +2e ¯ +K ¡4 ´
+
¡k0633ln ³
e 6¯ +2e 3¯ +K ¡3 ´
¡k06321ln ³
e 6¯ +e 3¯ +e 2¯ +e ¯ +K ¡4 ´
+
¡k063111ln ³
e 6¯ +e 3¯ +3e ¯ +K ¡5 ´
¡k06222ln ³
e 6¯ +3e 2¯ +K ¡4 ´
+
¡k 062211ln ³
e 6¯ +2 ³
e 2¯ +e ¯´
+K ¡5 ´
¡k 0621111ln ³
e 6¯ +e 2¯ +4e ¯ +K ¡6 ´
+
¡k 06111111ln ³
e 6¯ +6e ¯ +K ¡7 ´
¡k 0552ln ³
2e 5¯ +e 2¯ +K ¡3 ´
+
¡k 05511ln ³
2 ³
e 5¯ +e 2¯´
+K ¡4 ´
¡k 0543ln ³
e 5¯ +e 4¯ +e 3¯ +K ¡3 ´
+
¡k05421ln ³
e 5¯ +e 4¯ +e 2¯ +e ¯ +K ¡4 ´
¡k054111ln ³
e 5¯ +e 4¯ +3e ¯ +K ¡5 ´
+
¡k05331ln ³
e 5¯ +2e 3¯ +e ¯ +K ¡4 ´
¡k05322ln ³
e 5¯ +e 3¯ +2e 2¯ +K ¡4 ´
+

176
¡k053211ln ³
e 5¯ +e 3¯ +e 2¯ +2e ¯ +K ¡5 ´
¡k0531111ln ³
e 5¯ +e 3¯ +4e ¯ +K ¡6 ´
+
¡k 052221ln ³
e 5¯ +3e 2¯ +e ¯ +K ¡5 ´
¡k 0522111ln ³
e 5¯ +2e 2¯ +3e ¯ +K ¡6 ´
+
¡k 05211111ln ³
e 5¯ +e 2¯ +5e ¯ +K ¡7 ´
¡k 051111111ln ³
e 5¯ +7e ¯ +K ¡8 ´
+
¡k 0444ln ³
3e 4¯ +K¡3 ´
¡k 04431ln ³
2e 4¯ +e 3¯ +e ¯ +K ¡4 ´
+
¡k04422ln ³
2 ³
e 4¯ +e 2¯´
+K ¡4 ´
¡k044211ln ³
2 ³
e 4¯ +e ¯´
+e 2¯ +K ¡5 ´
+
¡k0441111ln ³
2 ³
e 4¯ +2e ¯´
+K ¡6 ´
¡k04332ln ³
e 4¯ +2e 3¯ +e 2¯ +K ¡4 ´
+
¡k043311ln ³
e 4¯ +2 ³
e 3¯ +e ¯´
+K ¡5 ´
¡k043221ln ³
e 4¯ +e 3¯ +2e 2¯ +e ¯ +K ¡5 ´
+
¡k0432111ln ³ 4¯ +e 3¯ +e 2¯ +3e ¯ +K ¡6 ´
¡k04311111ln ³
e 4¯ +e 3¯ +5e ¯ +K ¡7 ´
+
¡k 042222ln ³
e 4¯ +4e 2¯ +K ¡5 ´
¡k 0422211ln ³
e 4¯ +3e 2¯ +2e ¯ +K ¡6 ´
+
¡k 04221111ln ³
e 4¯ +2 ³
e 2¯ +2e ¯´
+K ¡7 ´
¡k 042111111ln ³
e 4¯ +e 2¯ +6e ¯ +K ¡8 ´
+
¡k 0411111111ln ³
e 4¯ +8e ¯ +K ¡9 ´
¡k 03333ln ³
4e 3¯ +K ¡4 ´
+
¡k033321ln ³
3e 3¯ +e 2¯ +e ¯ +K ¡5 ´
¡k0333111ln ³
3 ³
e 3¯ +e ¯´
+K ¡6 ´
+
¡k033222ln ³
2e 3¯ +3e 2¯ +K ¡5 ´
¡k0332211ln ³
2 ³
e 3¯ +e 2¯ +e ¯´
+K ¡6 ´
+

177
¡k 03321111ln ³
2e 3¯ +e 2¯ +4e ¯ +K ¡7 ´
¡k 033111111ln ³
2e 3¯ +6e ¯ +K ¡8 ´
+
¡k0322221ln ³
e 3¯ +4e 2¯ +e ¯ +K ¡6 ´
¡k03222111ln ³
e 3¯ +3 ³
e 2¯ +e ¯´
+K ¡7 ´
+
¡k032211111ln ³
e 3¯ +2e ¯ +5e ¯ +K ¡8 ´
¡k0321111111ln ³
e 3¯ +e 2¯ +7e ¯ +K ¡9 ´
+
¡k03111111111ln ³
e 3¯ +9e ¯ +K ¡10 ´
¡k0222222ln ³
6e 2¯ +K¡6 ´
+
¡k 02222211ln ³
5e 2¯ +2e ¯ +K ¡7 ´
¡k 022221111ln ³
4 ³
e 2¯ +e ¯´
+K ¡8 ´
+
¡k0222111111ln ³
3 ³
e 2¯ +2e ¯´
+K ¡9 ´
¡k02211111111ln ³
2 ³
e 2¯ +4e ¯´
+K ¡10 ´
+
¡k021111111111ln ³
e 2¯ +10e ¯ +K ¡11 ´
¡k0111111111111ln ³
12e ¯ +K ¡12 ´

178
C.3 - Equa»c~ao para estima»c~ao de¯ para vizinhan»ca 12
Efetuando-se desenvolvimento para±=2; o valor de b ¯PL e obtido
pela solu»c~ao da seguinte equa»c~ao:
12kCe 12¯ (K ¡1)
+2kA2
+3k93
4e 2¯ +5k ¡10
e ¡12¯
10e ¯ +11k ¡22
e12¯ +K ¡1 +kB1
e11¯ +e¯ +k¡2
e 10¯ +e 2¯ +k¡2 +2kA11
2e 3¯ +3K ¡6
9e¯ +5K ¡15
e10¯ +2e¯ +K ¡3 +
7e 2¯ +8e ¯ +9k ¡27
e9¯ +e3¯ +K ¡2 +k921
e9¯ +e2¯ +e¯ +k¡3 +
8e
+3k9111 ¯ +3K ¡12
e9¯ +3e¯ +K ¡4 +4k e
84
4¯ +2K ¡4
e8¯ +e4¯ +K ¡2 +
5e
+k831 3¯ +7e¯ +8K ¡24
e8¯ +e3¯ +e¯ +K ¡3 +4k 3e
822
2¯ +2K ¡6
e8¯ +2e2¯ +K ¡3 +
3e
+2k8211 2¯ +7e¯ +4K ¡16
e8¯ +e2¯ +2e¯ +K ¡4 +4k 7e
81111
¯ +2K ¡10
e8¯ +4e¯ +K ¡5 +
2e
+k75 5¯ +7K ¡14
e7¯ +e5¯ +K ¡2 +k 3e
741
4¯ +6e¯ +7K ¡21
e7¯ +e4¯ +e¯ +K ¡3 +
4e
+k732 3¯ +5e 2¯ +7K ¡21
e7¯ +e3¯ +e2¯ +K ¡3 +k 4e
7311
3¯ +12e¯ +7K ¡28
e 7¯ +e 3¯ +2e ¯ +K¡4 +
10e
+k7221 2¯ +6e¯ +7K ¡28
e7¯ +2e 2¯ +e¯ +K ¡4 +k 5e
72111
2¯ +18e¯ +7K ¡35
e7¯ +e2¯ +3e¯ +K ¡5 +
30e
+k711111 ¯ +7K ¡42
e7¯ +5e¯ +K ¡6 +6k K ¡2
66
2e6¯ +K ¡2 +

e 5¯ +5e ¯ +6K ¡18
179
+k651
e6¯ +e5¯ +e¯ +K ¡3 +2k642
e4¯ +2e2¯ +3K ¡9
e6¯ +e4¯ +e2¯ +K ¡3 +
e
+2k6411 4¯ +5e¯ +3K ¡12
e6¯ +e4¯ +2e¯ +K ¡4 +6k e
633
3¯ +K ¡3
e6¯ +2e3¯ +K ¡3 +
3e
+k6321
3¯ +4e2¯ +5e¯ +6K ¡24
e6¯ +e3¯ +e2¯ +e¯ +K ¡4 +3k63111
2e 2¯ +K ¡4
+6k6222
e6¯ +3e 2¯ +K ¡4 +2k62211
2e
+2k621111 2¯ +10e¯ +3K ¡18
e6¯ +e2¯ +4e¯ +K ¡6 +6k6111111 e3¯ +5e¯ +2K ¡10
e6¯ +e3¯ +3e¯ +K ¡5 +
4e2¯ +5e¯ +3K ¡15
e6¯ +2e2¯ +2e¯ +K ¡5 +
5e ¯ +K ¡7
e 6¯ +6e ¯ +K¡7 +
¡2e
+k57 7¯ +5K ¡10
e7¯ +e5¯ +K ¡2 +k ¡e
561
6¯ +4e¯ +5K ¡15
e6¯ +e5¯ +e¯ +K ¡3 +
3e 2¯ +5K ¡15
6e 2¯ +5K ¡20
+k552
2e5¯ +e2¯ +K ¡3 +k5511
2e5¯ +2e2¯ +K¡4 +
e 4¯ +2e 3¯ +5K ¡15
+k543
e5¯ +e4¯ +e3¯ +K ¡3 +k5421
e4¯ +3e2¯ +4e¯ +5K ¡20
e5¯ +e4¯ +e2¯ +e¯ +K ¡4 +
e
+k54111 4¯ +12e¯ +5K ¡25
e5¯ +e4¯ +3e¯ +K ¡5 +k 4e
5331
3¯ +4e¯ +5K ¡20
e5¯ +2e3¯ +e¯ +K ¡4 +
2e 3¯ +6e 2¯ +5K ¡20
+k5322
e5¯ +e3¯ +2e 2¯ +K ¡4 +k53211
2e 3¯ +16e ¯ +5K ¡30
+k531111
e5¯ +e3¯ +4e¯ +K ¡6 +k52221
2e3¯ +3e2¯ +8e¯ +5K ¡25
e5¯ +e3¯ +e2¯ +2e¯ +K ¡5
9e2¯ +4e¯ +5K ¡25
e5¯ +3e 2¯ +e¯ +K ¡5
6e
+k522111 2¯ +12e¯ +5K ¡30
e5¯ +2e 2¯ +3e¯ +K ¡6 +k 3e
5211111
2¯ +20e¯ +5K ¡35
e5¯ +e2¯ +5e¯ +K ¡7 +

+k51111111
180
28e¯ +5K ¡40
e5¯ +7e¯ +K ¡8 +4k48
¡e8¯ +K ¡2
e8¯ +e4¯ +K ¡2 +
¡3e
+k471 7¯ +3e¯ +4K ¡12
e7¯ +e4¯ +e¯ +K ¡3 +2k ¡e
462
6¯ +e2¯ +2K ¡6
e6¯ +e4¯ +e2¯ +K ¡3 +
¡e 6¯ +3e ¯ +2K ¡8
+2k4611
e6¯ +e4¯ +2e¯ +K ¡4 +k453
¡e
+k4521
5¯ +2e2¯ +3e¯ +4K ¡16
e5¯ +e4¯ +e2¯ +e¯ +K ¡4 +k45111
¡e5¯ +e3¯ +4K ¡12
e5¯ +e4¯ +e3¯ +K ¡3 +
¡e5¯ +9e¯ +4K ¡20
e5¯ +e4¯ +3e¯ +K ¡5 +
+4k444e4¯ e
(K ¡3)
¡4¯
3e4¯ +K ¡3 +k e
4431
3¯ +3e¯ +4K ¡16
2e4¯ +e3¯ +e¯ +K ¡4 +
e
+4k4422 2¯ +K ¡4
2e4¯ +2e 2¯ +K ¡4 +2k 3e
44211
¯ +e2¯ +2K ¡10
2e4¯ +2e¯ +e2¯ +K ¡5 +
3e ¯ +K ¡6
+4k441111
2e4¯ +4e¯ +K ¡6 +2k4332
e 3¯ +3e ¯ +2K ¡10
+2k43311
e4¯ +2e 3¯ +2e¯ +K ¡5 +k43221
e3¯ +e2¯ +2K ¡8
e4¯ +2e 3¯ +e2¯ +K ¡4 +
e3¯ +4e2¯ +3e¯ +4K ¡20
e4¯ +e3¯ +2e2¯ +e¯ +K ¡5 +
e
+k432111 3¯ +2e2¯ +9e¯ +4K ¡24
e4¯ +e3¯ +e2¯ +3e¯ +K ¡6 +k e
4311111
3¯ +15e¯ +4K ¡28
e4¯ +e3¯ +5e¯ +K ¡7 +
2e 2¯ +K ¡5
+4k42222
e4¯ +4e 2¯ +K ¡5 +2k422211
e 2¯ +3e ¯ +K ¡7
+4k4221111
e4¯ +2e 2¯ +4e¯ +K ¡7 +2k42111111
3e2¯ +3e¯ +2K ¡12
e4¯ +3e2¯ +2e¯ +K ¡6 +
e2¯ +9e¯ +2K ¡16
e4¯ +e2¯ +6e¯ +K ¡8 +
6e
+4k411111111 ¯ +K ¡9
e4¯ +8e¯ +K ¡9 +3k ¡2e
39
9¯ +K ¡2
e9¯ +e3¯ +K ¡2 +

¡5e 8¯ +2e ¯ +3K ¡9
181
+k381
e8¯ +e3¯ +e¯ +K ¡3 +k372
¡4e
+k3711 7¯ +4e¯ +3K ¡12
e7¯ +e3¯ +2e¯ +K ¡4 +3k363 ¡3e
+k3621
6¯ +e2¯ +2e¯ +3K ¡12
e6¯ +e3¯ +e2¯ +e¯ +K ¡4 +3k36111
¡2e 5¯ ¡e 4¯ +3K ¡9
¡4e7¯ +e2¯ +3K ¡9
e7¯ +e3¯ +e2¯ +K ¡3 +
¡e 6¯ +K ¡3
e 6¯ +2e 3¯ +K¡3 +
¡e6¯ +2e¯ +K ¡5
e6¯ +e3¯ +3e¯ +K ¡5 +
¡2e 5¯ +2e ¯ +3K ¡12
+k354
e5¯ +e4¯ +e3¯ +K ¡3 +k3531
e5¯ +2e3¯ +e¯ +K¡4 +
¡2e
+k3522 5¯ +2e2¯ +3K ¡12
e5¯ +e3¯ +2e 2¯ +K ¡4 +k ¡2e
35211
5¯ +e2¯ +4e¯ +3K ¡15
e5¯ +e3¯ +e2¯ +2e¯ +K ¡5 +
¡2e
+k351111 5¯ +8e¯ +3K ¡18
e5¯ +e3¯ +4e¯ +K ¡6 +k ¡2e
3441
4¯ +2e¯ +3K ¡12
2e4¯ +e3¯ +e¯ +K ¡4 +
¡e 4¯ +e 2¯ +3K ¡12
+k3432
e4¯ +2e3¯ +e2¯ +K ¡4 +k34311
¡e 4¯ +2e 2¯ +2e ¯ +3K ¡15
+k34221
e4¯ +e3¯ +2e 2¯ +e¯ +K ¡5 +k342111
¡e4¯ +4e¯ +3K ¡15
e4¯ +2e3¯ +2e¯ +K ¡5 +
¡e4¯ +e2¯ +6e¯ +3K ¡18
e4¯ +e3¯ +e2¯ +3e¯ +K ¡6 +
¡e
+k3411111 4¯ +10e¯ +3K ¡21
e4¯ +e3¯ +5e¯ +K ¡7 +3k K ¡4
3333
4e3¯ +K ¡4 +
e 2¯ +2e ¯ +3K ¡15
+k33321
3e3¯ +e2¯ +e¯ +K ¡5 +3k333111
e 2¯ +K ¡5
2e¯ +K ¡6
3e3¯ +3e¯ +K ¡6 +
2e 2¯ +4e ¯ +3K ¡18
+3k33222
2e3¯ +3e 2¯ +K ¡5 +k332211
2e3¯ +2e2¯ +2e¯ +K¡6 +
e
+k3321111 2¯ +8e¯ +3K ¡21
2e3¯ +e2¯ +4e¯ +K ¡7 +3k 4e
33111111
¯ +K ¡8
2e3¯ +6e¯ +K ¡8 +

4e 2¯ +2e ¯ +3K ¡18
182
+k322221
e3¯ +4e2¯ +e¯ +K ¡6 +3k3222111
e2¯ +2e¯ +K ¡7
e3¯ +3e2¯ +3e¯ +K ¡7 +
14e
+k32211111 ¯ +3K ¡24
e3¯ +7e¯ +K ¡8 +k e
321111111
2¯ +14e¯ +3K ¡27
e3¯ +e2¯ +7e¯ +K ¡9 +
+3k3111111111
6e¯ +K ¡10
e3¯ +9e¯ +K ¡10 +2k2A
¡4e10¯ +K ¡2
e10¯ +e2¯ +K ¡2 +
¡7e 9¯ +e ¯ +2K ¡6
+k291
e9¯ +e2¯ +e¯ +K ¡3 +2k282
¡3e8¯ +K ¡3
e8¯ +2e2¯ +K ¡3 +
¡3e
+2k2811 8¯ +e¯ +K ¡4
e8¯ +e2¯ +2e¯ +K ¡4 +k ¡5e
273
7¯ ¡e3¯ +2K ¡6
e7¯ +e3¯ +e2¯ +K ¡3 +
¡5e
+k2721 7¯ +e¯ +2K ¡8
e7¯ +2e 2¯ +e¯ +K ¡4 +k ¡5e
27111
7¯ +3e¯ +2K ¡10
e7¯ +e2¯ +3e¯ +K ¡5 +
¡2e 6¯ ¡e 4¯ +K ¡3
+2k264
e6¯ +e4¯ +e2¯ +K ¡3 +k2631
¡2e 6¯ +K ¡4
+2k2622
e6¯ +3e 2¯ +K ¡4 +2k26211
¡4e6¯ ¡e3¯ +e¯ +2K ¡8
e6¯ +e3¯ +e2¯ +e¯ +K ¡4 +
¡2e6¯ +e¯ +K ¡5
e6¯ +2e2¯ +2e¯ +K ¡5 +
¡2e
+2k261111 6¯ +2e¯ +K ¡6
e6¯ +e2¯ +4e¯ +K ¡6 +2k ¡3e
255
5¯ +K ¡3
2e5¯ +e2¯ +K ¡3 +
¡3e 5¯ ¡2e 4¯ +e ¯ +2K ¡8
+k2541
e5¯ +e4¯ +e2¯ +e¯ +K ¡4 +k2532
¡3e 5¯ ¡e 3¯ +2e ¯ +2K ¡10
+k25311
e5¯ +e3¯ +e2¯ +2e¯ +K ¡5 +k25221
¡3e5¯ ¡e3¯ +2K ¡8
e5¯ +e3¯ +2e2¯ +K ¡4 +
¡3e5¯ +e¯ +2K ¡10
e5¯ +3e2¯ +e¯ +K ¡5 +
¡3e
+k252111 5¯ +3e¯ +2K ¡12
e5¯ +2e 2¯ +3e¯ +K ¡6 +k ¡3e
2511111
5¯ +5e¯ +2K ¡14
e5¯ +e2¯ +5e¯ +K ¡7 +

¡2e 4¯ +K ¡4
183
+2k2442
2e4¯ +2e 2¯ +K ¡4 +2k24411
¡e 4¯ ¡e 3¯ +K¡4
+2k2433
e4¯ +2e3¯ +e2¯ +K ¡4 +k24321
¡2e 4¯ ¡e 3¯ +2e ¯ +2K ¡10
+k24311
e4¯ +e3¯ +e2¯ +2e¯ +K ¡5 +2k24222
¡2e4¯ +e¯ +K ¡5
2e4¯ +2e¯ +e2¯ +K ¡5 +
¡2e4¯ ¡e3¯ +e¯ +2K ¡10
e4¯ +e3¯ +2e2¯ +e¯ +K ¡5 +
¡e4¯ +K ¡5
e4¯ +4e2¯ +K ¡5 +
¡e
+2k242211 4¯ +e¯ +K ¡6
e4¯ +3e2¯ +2e¯ +K ¡6 +2k ¡e
2421111
4¯ +2e¯ +K ¡7
e4¯ +2e2¯ +4e¯ +K ¡7 +
¡e
+2k24111111 4¯ +3e¯ +K ¡8
e4¯ +e2¯ +6e¯ +K ¡8 +k ¡3e
23331
3¯ +e¯ +2K ¡10
3e3¯ +e2¯ +e¯ +K ¡5 +
¡e
+2k233211 3¯ +e¯ +K ¡6
2e3¯ +2e 2¯ +2e¯ +K ¡6 +2k ¡e
2331111
3¯ +2e¯ +K¡7
2e3¯ +e2¯ +4e¯ +K ¡7 +
¡e
+k232221 3¯ +e¯ +2K ¡12
e3¯ +4e 2¯ +e¯ +K ¡6 +k ¡e
2322111
3¯ +3e¯ +2K ¡14
e3¯ +3e2¯ +3e¯ +K ¡7 +
¡e
+k23211111 3¯ +5e¯ +2K ¡16
e3¯ +2e 2¯ +5e¯ +K ¡8 +k ¡e
231111111
3¯ +7e¯ +2K ¡18
e3¯ +e2¯ +7e¯ +K ¡9 +
K ¡6
+2k222222
6e2¯ +K ¡6 +2k2222211
2e ¯ +K ¡8
+2k22221111
4e2¯ +4e¯ +K ¡8 +2k222111111
4e ¯ +K ¡10
+2k2211111111
2e2¯ +8e¯ +K ¡10 +2k21111111111
e¯ +K ¡7
5e2¯ +2e¯ +K ¡7 +
3e¯ +K ¡9
3e2¯ +6e¯ +K ¡9 +
5e¯ +K ¡11
e2¯ +10e¯ +K ¡11 +
¡10e
+k1B 11¯ +K ¡2
e11¯ +e¯ +K ¡2 +k ¡9e
1A1
10¯ +K ¡3
e10¯ +2e¯ +K ¡3 +

¡8e 9¯ ¡e 2¯ +K ¡3
184
+k192
e9¯ +e2¯ +e¯ +K ¡3 +k1911
¡7e 8¯ ¡2e 3¯ +K ¡3
+k183
e8¯ +e3¯ +e¯ +K ¡3 +k1821
¡7e 8¯ +K ¡5
+k18111
e8¯ +4e¯ +K ¡5 +k174
¡6e 7¯ ¡2e 3¯ +K ¡4
+k1731
e7¯ +e3¯ +2e¯ +K ¡4 +k1722
¡6e 7¯ ¡e 2¯ +K ¡5
+k17211
e7¯ +e2¯ +3e¯ +K ¡5 +k171111
¡5e 6¯ ¡4e 5¯ +K ¡3
+k165
e6¯ +e5¯ +e¯ +K ¡3 +k1641
¡8e9¯ +K ¡4
e9¯ +3e¯ +K ¡4 +
¡7e8¯ ¡e2¯ +K ¡4
e8¯ +e2¯ +2e¯ +K ¡4 +
¡6e7¯ ¡3e4¯ +K ¡3
e7¯ +e4¯ +e¯ +K ¡3 +
¡6e7¯ ¡2e2¯ +K ¡4
e7¯ +2e2¯ +e¯ +K ¡4 +
¡6e7¯ +K ¡6
e7¯ +5e¯ +K ¡6 +
¡5e6¯ ¡3e4¯ +K ¡4
e6¯ +e4¯ +2e¯ +K ¡4 +
¡5e
+k1632 6¯ ¡2e3¯ ¡e2¯ +K ¡4
e6¯ +e3¯ +e2¯ +e¯ +K ¡4 +k ¡5e
16311
6¯ ¡2e3¯ +K ¡5
e6¯ +e3¯ +3e¯ +K ¡5 +
¡5e
+k16221 6¯ ¡2e2¯ +K ¡5
e6¯ +2e 2¯ +2e¯ +K ¡5 +k ¡5e
162111
6¯ ¡e2¯ +K ¡6
e6¯ +e2¯ +4e¯ +K ¡6 +
¡5e
+k1611111 6¯ +K ¡7
e6¯ +6e¯ +K ¡7 +k ¡8e
1551
5¯ +K ¡4
2e5¯ +2e¯ +K ¡4 +
¡4e
+k1542 5¯ ¡3e4¯ ¡e2¯ +K ¡4
e5¯ +e4¯ +e2¯ +e¯ +K ¡4 +k ¡4e
15411
5¯ ¡3e4¯ +K ¡5
e5¯ +e4¯ +3e¯ +K ¡5 +
¡4e
+k1533 5¯ ¡4e3¯ +K ¡4
e5¯ +2e3¯ +e¯ +K ¡4 +k ¡4e
15321
5¯ ¡2e3¯ ¡e2¯ +K ¡5
e5¯ +e3¯ +e2¯ +2e¯ +K ¡5 +

¡4e 5¯ ¡2e 3¯ +K ¡6
185
+k153111
e5¯ +e3¯ +4e¯ +K ¡6 +k15222
¡4e 5¯ ¡2e 2¯ +K ¡6
+k152211
e5¯ +2e 2¯ +3e¯ +K ¡6 +k1521111
¡4e 5¯ +K¡8
+k15111111
e5¯ +7e¯ +K ¡8 +k1443
¡6e 4¯ ¡e 2¯ +K ¡5
+k14421
2e4¯ +e2¯ +2e¯ +K ¡5 +k144111
¡3e 4¯ ¡4e 3¯ +K ¡5
+k14331
e4¯ +2e 3¯ +2e¯ +K ¡5 +k14322
¡3e 4¯ ¡2e 3¯ ¡e 2¯ +K ¡6
+k143211
e4¯ +e3¯ +e2¯ +3e¯ +K ¡6 +k1431111
¡4e5¯ ¡3e 2¯ +K ¡5
e5¯ +3e2¯ +e¯ +K ¡5 +
¡4e5¯ ¡e2¯ +K ¡7
e5¯ +e2¯ +5e¯ +K ¡7 +
¡6e4¯ ¡2e 3¯ +K ¡4
2e4¯ +e3¯ +e¯ +K ¡4 +
¡6e4¯ +K ¡6
2e4¯ +4e¯ +K ¡6 +
¡3e4¯ ¡2e3¯ ¡2e 2¯ +K ¡5
e4¯ +e3¯ +2e2¯ +e¯ +K ¡5 +
¡3e4¯ ¡2e3¯ +K ¡7
e4¯ +e3¯ +5e¯ +K ¡7 +
¡3e
+k142221 4¯ ¡3e2¯ +K ¡6
e4¯ +3e2¯ +2e¯ +K ¡6 +k ¡3e
1422111
4¯ ¡2e2¯ +K ¡7
e4¯ +2e2¯ +4e¯ +K ¡7 +
¡3e
+k14211111 4¯ ¡e2¯ +K ¡8
e4¯ +e2¯ +6e¯ +K ¡8 +k ¡3e
141111111
4¯ +K ¡9
e4¯ +8e¯ +K ¡9 +
¡6e
+k13332 3¯ ¡e2¯ +K ¡5
3e3¯ +e2¯ +e¯ +K ¡5 +k ¡6e
133311
3¯ +K ¡6
3e3¯ +3e¯ +K ¡6 +
¡4e
+k133221 3¯ ¡2e2¯ +K ¡6
2e3¯ +2e 2¯ +2e¯ +K ¡6 +k ¡4e
1332111
3¯ ¡e2¯ +K ¡7
2e3¯ +4e¯ +e2¯ +K ¡7 +
¡4e
+k13311111 3¯ +K ¡8
2e3¯ +6e¯ +K ¡8 +k ¡2e
132222
3¯ ¡4e2¯ +K ¡6
e3¯ +4e2¯ +e¯ +K ¡6 +

186
¡2e
+k1322211 3¯ ¡3e2¯ +K ¡7
e3¯ +3e2¯ +3e¯ +K ¡7 +k ¡2e
13221111
3¯ ¡2e2¯ +K ¡8
e3¯ +2e2¯ +5e¯ +K ¡8 +
¡2e 3¯ ¡e 2¯ +K ¡9
+k132111111
e3¯ +e2¯ +7e¯ +K ¡9 +k1311111111
¡5e 2¯ +K ¡7
+k1222221
5e2¯ +2e¯ +K ¡7 +k12222111
¡2e3¯ +K ¡10
e3¯ +9e¯ +K ¡10 +
¡4e2¯ +K ¡8
4e2¯ +4e¯ +K ¡8 +
¡3e
+k122211111 2¯ +K ¡9
3e2¯ +6e¯ +K ¡9 +k ¡2e
1221111111
2¯ +K ¡10
2e2¯ +8e¯ +K ¡10 +
¡e 2¯ +K ¡11
+k12111111111
e2¯ +10e¯ +K ¡11 +k111111111111e ¯ (K ¡12)
³
11e 11¯ +e ¯´
¡ 12k0C e12¯ +K ¡1 e12¯ + k0B1 e11¯ +e¯ +k¡2 ¡k 0A2
k0A11
¡
e10¯ +2e¯ +K ¡3
¡
k0921
e9¯ +e2¯ +e¯ +k¡3
k084 ¡
e8¯ +e4¯ +K ¡2
¡k 0822
¡k 081111
³
10e 10¯ +2e ¯´
¡
8e 8¯ +4e 2¯
³
9e 9¯ +2e 2¯ +e ¯´
³
8e 8¯ +4e 4¯´
e 8¯ +2e 2¯ +K ¡3 ¡k 08211
8e 8¯ +4e ¯
e 8¯ +4e ¯ +K ¡5 ¡
e ¡¯
12e ¯ +K ¡12 +
³
10e 10¯ +2e 2¯´
e 10¯ +e 2¯ +k¡2 +
k093
e9¯ +e3¯ ³
9e
+K ¡2
9¯ +3e3¯´ +
¡k0831
¡k09111
9e 9¯ +3e ¯
e 9¯ +3e ¯ +K ¡4 +
8e 8¯ +3e 3¯ +e ¯
e 8¯ +e 3¯ +e ¯ +K ¡3 +
8e8¯ +2e 2¯ +2e¯ e8¯ +e2¯ +2e¯ +K¡4 +
k075
e7¯ +e5¯ ³
7e
+K ¡2
7¯ +5e5¯´ +

¡k 0741
¡k07311
¡k 072111
187
7e7¯ +4e4¯ +e¯ e7¯ +e4¯ +e¯ +K ¡3 ¡k ³
7e
0732
7¯ +3e3¯ +2e2¯´ e7¯ +e3¯ +e2¯ +K ¡3 +
7e 7¯ +3e 3¯ +2e ¯
³
7e 7¯ +4e 2¯ +e ¯´
e7¯ +e3¯ +2e¯ +K ¡4 ¡k07221
e7¯ +2e2¯ +e¯ +K ¡4 +
7e 7¯ +2e 2¯ +3e ¯
e 7¯ +e 2¯ +3e ¯ +K ¡5 ¡
k066 ¡12
2e6¯ +K ¡2 e6¯ ¡
¡k0642
¡k0633
¡k063111
¡k 062211
6e 6¯ +4e 4¯ +2e 2¯
k0711111
e7¯ +5e¯ ³
7e
+K ¡6
7¯ +5e¯´ k0651 e6¯ +e5¯ +e¯ ³
6e
+K ¡3
6¯ +5e 5¯ +e ¯´
+
6e 6¯ +4e 4¯ +2e ¯
e6¯ +e4¯ +e2¯ +K ¡3 ¡k06411
e6¯ +e4¯ +2e¯ +K ¡4 +
6e 6¯ +6e 3¯
6e 6¯ +3e 3¯ +2e 2¯ +e ¯
e6¯ +2e 3¯ +K ¡3 ¡k06321
e6¯ +e3¯ +e2¯ +e¯ +K ¡4 +
6e 6¯ +3e 3¯ +3e ¯
6e 6¯ +6e 2¯
e6¯ +e3¯ +3e¯ +K ¡5 ¡k06222
e6¯ +3e2¯ +K ¡4 +
6e 6¯ +4e 2¯ +2e ¯
6e 6¯ +2e 2¯ +4e ¯
e6¯ +2e 2¯ +2e¯ +K ¡5 ¡k0621111 e6¯ +e2¯ +4e¯ +K ¡6 +
k06111111
¡
e6¯ +6e¯ +K ¡7
k05511
¡
2e5¯ +2e 2¯ +K ¡4
¡k05421
¡k 05331
³
6e 6¯ +6e ¯´
¡
³
10e 5¯ +4e 2¯´
5e 5¯ +4e 4¯ +2e 2¯ +e ¯
k0552
2e5¯ +e2¯ ³
10e
+K ¡3
5¯ +2e 2¯´
+
¡k 0543
5e 5¯ +4e 4¯ +3e 3¯
e 5¯ +e 4¯ +e 3¯ +K ¡3 +
5e 5¯ +4e 4¯ +3e ¯
e5¯ +e4¯ +e2¯ +e¯ +K ¡4 ¡k054111
e5¯ +e4¯ +3e¯ +K ¡5 +
5e 5¯ +6e 3¯ +e ¯
5e 5¯ +3e 3¯ +4e 2¯
e5¯ +2e 3¯ +e¯ +K ¡4 ¡k05322 e5¯ +e3¯ +2e2¯ +K ¡4 +

¡k053211
¡k 052221
5e 5¯ +3e 3¯ +2e 2¯ +2e ¯
188
5e 5¯ +3e 3¯ +4e ¯
e5¯ +e3¯ +e2¯ +2e¯ +K ¡5 ¡k0531111
e5¯ +e3¯ +4e¯ +K ¡6 +
¡k05211111
¡12k0444
5e 5¯ +6e 2¯ +e ¯
5e 5¯ +4e 2¯ +3e ¯
e5¯ +3e 2¯ +e¯ +K ¡5 ¡k0522111 e5¯ +2e2¯ +3e¯ +K ¡6 +
5e 5¯ +2e 2¯ +5e ¯
5e 5¯ +7e ¯
e5¯ +e2¯ +5e¯ +K ¡7 ¡k051111111
e5¯ +7e¯ +K ¡8 +
e4¯ 3e4¯ +K ¡3 ¡
k04431
2e4¯ +e3¯ +e¯ ³
8e
+K ¡4
4¯ +3e 3¯ +e ¯´
+
k04422
¡
2e4¯ +2e2¯ +K ¡4
k0441111 ¡
2e4¯ +4e¯ +K ¡6
¡k043311
¡k0432111
4e 4¯ +6e 3¯ +2e ¯
³
8e 4¯ +4e 2¯´
³
8e 4¯ +4e ¯´
¡k 044211
¡k 04332
8e 4¯ +2e ¯ +2e 2¯
2e 4¯ +2e ¯ +e 2¯ +K ¡5 +
4e 4¯ +6e 3¯ +2e 2¯
e 4¯ +2e 3¯ +e 2¯ +K ¡4 +
4e 4¯ +3e 3¯ +4e 2¯ +e ¯
e4¯ +2e 3¯ +2e¯ +K ¡5 ¡k043221
e4¯ +e3¯ +2e2¯ +e¯ +K ¡5 +
4e 4¯ +3e 3¯ +2e 2¯ +3e ¯
4e 4¯ +3e 3¯ +5e ¯
e4¯ +e3¯ +e2¯ +3e¯ +K ¡6 ¡k04311111
e4¯ +e3¯ +5e¯ +K ¡7 +
k042222
¡
e4¯ +4e2¯ +K ¡5
¡k04221111
³
4e 4¯ +8e 2¯´
4e 4¯ +4e 2¯ +4e ¯
¡k 0422211
4e 4¯ +6e 2¯ +2e ¯
e 4¯ +3e 2¯ +2e ¯ +K ¡6 +
4e 4¯ +2e 2¯ +6e ¯
e4¯ +2e 2¯ +4e¯ +K ¡7 ¡k042111111
e4¯ +e2¯ +6e¯ +K ¡8 +
k0411111111
¡
e4¯ +8e¯ +K ¡9
¡k 033321
9e 3¯ +2e 2¯ +e ¯
³
4e 4¯ +8e ¯´
k03333
¡12
4e3¯ +K ¡4 e3¯ +
9e 3¯ +3e ¯
3e3¯ +e2¯ +e¯ +K ¡5 ¡k0333111 3e3¯ +3e¯ +K ¡6 +

¡k 033222
¡k 03321111
¡k 0322221
6e 3¯ +6e 2¯
189
2e 3¯ +3e 2¯ +K ¡5 ¡k 0332211
6e 3¯ +2e 2¯ +4e ¯
2e 3¯ +e 2¯ +4e ¯ +K ¡7 ¡
3e 3¯ +8e 2¯ +e ¯
6e3¯ +4e2¯ +2e¯ 2e3¯ +2e2¯ +2e¯ +K¡6 +
k033111111
2e3¯ +6e¯ ³
6e
+K ¡8
3¯ +6e¯´ +
3e 3¯ +6e 2¯ +3e ¯
e3¯ +4e 2¯ +e¯ +K ¡6 ¡k03222111 e3¯ +3e2¯ +3e¯ +K ¡7 +
k032211111
¡
e3¯ +7e¯ +K ¡8
k03111111111
³
3e 3¯ +7e ¯´
¡
e3¯ +9e¯ +K ¡10
k02222211
¡
5e2¯ +2e¯ +K ¡7
k0222111111
¡
3e2¯ +6e¯ +K ¡9
k021111111111
¡
e2¯ +10e¯ +K ¡11
¡k 0321111111
³
3e 3¯ +9e ¯´
³
10e 2¯ +2e ¯´
¡
³
6e 2¯ +6e ¯´
¡
3e 3¯ +2e 2¯ +7e ¯
e 3¯ +e 2¯ +7e ¯ +K ¡9 +
k0222222
¡12
6e2¯ +K ¡6 e2¯ +
k022221111
4e2¯ +4e¯ ³
8e
+K ¡8
2¯ +4e¯´ +
k02211111111
2e2¯ +8e¯ ³
4e
+K ¡10
2¯ +8e¯´ +
³
2e 2¯ +10e ¯´
¡12 k0111111111111
12e ¯ +K ¡12 e¯ = 0

190

191
AP^ENDICE D
ESTRUTURA DO SISTEMA E GUIA DE OPERAC» ~ AO
D.1 - Estrutura do Sistema
Neste Ap^endice sera apresentada a estrutura e a descri»c~ao da uti-
liza»c~ao do sistema para processamento e analise de imagens SAR implementado com
o uso da linguagem \Interactive Development Language" (IDL).
A estrutura do sistema, apresentada na Figura 59, foi montada de
forma a possibilitar a incorpora»c~ao de rotinas que ainda ser~ao desenvolvidas para o
processamento, analise e classi¯ca»c~ao de imagens SAR.
Figure 59: - Estrutura do Sistema de Processamento e Analise de Imagens SAR.
D.1.1 - Nota»c~ao para este Ap^endice
As op»c~oes de menu utilizadas no programa ser~ao denotadas em
italico, assim como os termos em ingl^es que forem empregados.
A sigla GUI (\Graphical User Interface") sera utilizada para deno-
tar o uso de uma interface gra¯ca so¯sticada, que pode conter elementos gra¯cos

192
tais como imagens, bot~oes do tipo comum, exclusivo, n~ao-exclusivo e deslizantes,
\pull-down menus" (PDM), campos de texto editaveis ou n~ao e listas de elementos
textuais, todos com sele»c~ao atraves do teclado ou do \mouse".
De um modo geral as GUIs, que permitem a sele»c~ao de opera»c~oes
aplicaveis aos dados, possuem as op»c~oes:
D.2 - \File"
² \OK": bot~ao para ¯nalizar as opera»c~oes indicadas para execu»c~ao ou ja
executadas em memoria.
² \Cancel" ou \Exit": bot~ao para cancelar as opera»c~oes indicadas para ex-
ecu»c~ao ou ja executadas em memoria e fechar a GUI.
²\Help": bot~aoparafornecer aousuarioajudasobreaexecu»c~aodasopera»c~oes
da GUI.
² \Error Message": e uma GUI ativada no lugar da fun»c~ao (ou GUI solici-
D.2.1 - \Open"
tada), quando algum pre-requisito ainda n~ao atingido foi detectado para a
opera»c~ao selecionada. A GUI ativada indica os poss³veiserros e opera»c~oes
necessarias para corre»c~ao.
Ser~ao apresentadas nesta Se»c~ao as op»c~oes do PDM File.
Esta op»c~ao do PDM e utilizada realizar sele»c~ao, abertura e ar-
mazenamento em memoria dos dados do arquivo imagem.
A GUI apresentada na Figura 60, p. 194,e ativada com asop»c~oes:
² \Path": campo texto editavel, indicador do caminho onde esta o arquivo
na arvore de subdiretorios;
² \Search for": campo texto editavel, com o ¯ltro de caracteres para procura

193
de arquivos (*.i, *.mxv, *.tif, etc);
² \Subdirectories": lista os subdiretorios, com sele»c~ao via \mouse";
² \Files": lista de arquivos, com possibilidade de sele»c~ao via \mouse";
² \Selection": campo texto onde aparece o nome do arquivo selecionado com
o \mouse". Tambem permite a edi»c~ao do nome do arquivo via teclado.
Se a imagem possuir arquivo de informa»c~oes (com extens~ao *.hdx),
as informa»c~oes a³ presentes ser~ao usadas na abertura da imagem. Caso contrario,
sera ativada a GUI correspondente µa Figura 61, p. 194, com:
² \File Format": bot~ao tipo exclusivo para os formatos de armazenagem em
arquivo do tipo \raw" ou \ti®". A implementa»c~ao para leitura de arquivo
\ti®" ainda n~ao esta operacional;
²\NumericFormat": bot~ao tipoexclusivoparaosformatosnumericos\Byte",
\Integer", \Long Integer", \Float", \Double" e \Complex";
² \Rows": campo texto editavel para o numero de linhas;
² \Columns": campo texto editavel para o numero de colunas;
² \Bands": campo texto editavel para o numero de bandas da imagem.
² \Interleave": bot~ao do tipo exclusivo para sele»c~ao do modo de armazena-
mento de bandas intercaladas por \pixel" (BIP), bandas em seqÄu^encia
(BSQ) e bandas intercaladas por linhas (BIL). Esta op»c~ao ainda n~ao esta
implementada, uma vez que o sistema so esta operacional para dados mo-
noespectrais em amplitude.
Caso exista incompatibilidade entre asinforma»c~oesinseridasnaGUI
acima e o arquivo imagem, aGUI permanecera ativaate que seja cancelada ousejam
efetuadas as corre»c~oes nos dados de entrada.

194
Figure 60: - Interface para sele»c~ao de arquivo.
Figure 61: - Interface para inser»c~ao de dados da imagem.

195
Se a imagem for aberta a mesma sera mostrada em uma GUI cor-
respondente a da Figura 62, com bot~oes para deslocamento da imagem e pass³vel
apenas de minimiza»c~ao na tela de trabalho.
D.2.2 - \Save as"
Figure 62: - Interface para visualizar uma imagem.
Esta op»c~ao esta dispon³vel para salvar as imagens geradas em pro-
cessamentos ou para mudar o nome em arquivo.
Uma GUI, correspondente a apresentada na Figura 63, p. 196, e
ativada com a lista das imagens ativas e suas informa»c~oes principais.
Selecionada com o \mouse" uma imagem para ser salva, uma GUI
correspondente a da Figura 60, p. 194, e aberta, permitindo especi¯car novo nome
e subdiretorio para a imagem.
O arquivo de informa»c~oes em formato ASCII, com o nome principal
da imagen e extens~ao *.hdx, e gerado no subdiretorio corrente da imagem ao ¯nal
da opera»c~ao.

196
Figure 63: - Interface para selecionar imagem a ser salva em arquivo.
Figure 64: - Interface para selecionar uma imagem para ser fechada.

D.2.3 - \Close"
vas.
197
Esta op»c~ao e utilizada para fechar imagens da lista de imagens ati-
Uma GUI correspondente a da Figura 64 e ativada com a lista
das imagens ativas e suas informa»c~oes principais. Para fechar uma imagem basta
seleciona-la com o \mouse".
D.2.4 - \Exit"
Estaop»c~ao permitaa sa³dadosistema, com ofechamentodasjanelas
ativas e libera»c~ao dos dados da memoria principal.
D.3 - \Operations"
D.3.1 - \Convertions"
Ser~ao apresentadas nesta Se»c~ao as op»c~oes do PDM \Operations".
Esta op»c~ao do PDM e utilizada para efetuar a convers~ao entre
imagens amplitude, intensidade e complexa.
tude.
dade.
1) \Complex" ! \Amplitude"
Op»c~ao para converter uma imagem complexa em imagem ampli-
2) \Complex" ! \Intensity"
Op»c~ao para converter uma imagem complexa em imagem intensi-
3) \Complex" ! \Phase"
Op»c~ao para converter uma imagem complexa em imagem fase.

ginaria.
198
4) \Complex" ! \Real and Imaginary"
Op»c~ao para decompor uma imagem complexa nas partes reale ima-
5) \Amplitude" ! \Intensity"
Op»c~ao para converter uma imagem amplitude em intensidade.
6) \Intensity" ! \Amplitude"
D.3.2 - \Filters"
D.3.3 - \Nr Looks Estimation"
Op»c~ao para converter uma imagem intensidade em amplitude.
Esta op»c~ao permite a inser»c~ao de ¯ltros adequados aos dadosSAR.
Op»c~ao para estima»c~ao do numero equivalente de visadas da uma
imagem selecionada, de¯nido na Subse»c~ao 5.2.5.1, p. 50.
O numero equivalente de visadas e um dos par^ametros utilizados
quando se usa o modelo multiplicativo (Se»c~ao 4.1, p. 39). Para o caso das ima-
gens monoespectrais, e par^ametro das distribui»c~oes Raiz de Gama, K-Amplitude,
G-Amplitude, Normal Restrita Amplitude, Gama, K-Intensidade G-Intensidade e
Normal Restrita Intensidade, apresentadas no Cap³tulo 3.
Este par^ametro e estimado uma unica vez para toda a imagem,
com o uso dos primeiro e segundo momentos estimados de amostras selecionadas e
coletadas em regi~oes homog^eneas da imagem.
Usando os dados inseridos relativos ao tipo de informa»c~ao, a rotina
seleciona a op»c~ao correta para a estima»c~ao e teste de ader^encia da distribui»c~ao, caso
os dados sejam em amplitude ou em intensidade.

199
Na atualidade apenas o modulo para dados em amplitude esta tes-
tado. Oalgoritmo foi implementadosob a hipotese do modelo multiplicativo e de que
o sinal de retorno provem de uma regi~ao homog^enea. Sob esta hipotese o valor obser-
vado para cada\pixel" e a ocorr^enciade uma variavelaleatoriacom distribui»c~ao Raiz
de Gama. O estimador do numero equivalente de visadasn e obtido pela solu»c~ao da
seguinte equa»c~ao do Metodo dos Momentos, tambem apresentada na Se»c~ao 3.14, p.
25:
0s
1
cm2
@ A
bnv
¡ (bnv +1=2)
¡(bnv)
¡ cm1 =0
O modulo implementado permite a captura de varias amostras, as
quais s~ao testadas pelo teste do Qui-quadrado quanto ao ajuste µa uma distribui»c~ao
Raiz de Gama. As amostras com baixo p-valor podem ser rejeitadas e as amostras
remanescentes podem ser novamente testadas para um certo numero equivalente de
visadas medio ou inserido via teclado.
correspondente µa Figura 65 com:
A estima»c~ao do numero equivalente de visadas inicia com a GUI
Figure 65: - Interface para estima»c~ao do numero equivalente de visadas.

200
² \Signi¯cance level": bot~ao tipo exclusivo para o n³veis de signi¯c^ancia de
1%, 5% e 10%. O valor selecionado sera usado no teste de hipoteses que
determina se a amostra pertence ou n~ao µa distribui»c~ao em quest~ao. Ser~ao
aceitas as amostras cujo p-valor seja superior ao n³vel de signi¯c^ancia
selecionado.
² \Image Zoom": bot~ao tipo deslizante para sele»c~ao do fator de amplia»c~ao
na imagem da qual ser~ao coletadas as amostras.
² \Sampling": bot~ao para amostragem, que abre a GUI correspondente a
da Figura 62, p. 195, com bot~oes deslizantes para deslocar a imagem e
outra GUI correspondente a Figura 66, p. 201, para sele»c~ao das regi~oes
de interesse, com as seguintes op»c~oes:
± \New": bot~ao para iniciar a coleta de nova subamostra;
± \Delete": bot~ao para apagar o ultimo ponto da lista;
± \Delete All": bot~ao para apagar todas as subamostras coletadas;
± \Collect": bot~ao tipo exclusivo, com as op»c~oes \Polygon" e - \Point",
para coleta de subamostras por pol³gono ou por pontos;
± \Mode": bot~ao tipo exclusivo, com as op»c~oes \Add" e \Remove", para
sele»c~ao de modo de adi»c~ao ou remo»c~ao de pontos.
Um exemplode teste deamostra para a distribui»c~ao Raiz deGama pode ser
visto na Figura 68, p. 202, onde e apresentada tambem uma analise des-
critiva da amostra, o p-valor e o resultado do teste ao n³vel de signi¯c^ancia
considerado.
² \N Looks Est": campo texto editavel, onde e mostrada a media do numero
equivalente de visadas das amostras da lista;

201
² \List of samples": lista dasamostras ativas, com seus respectivostamanhos
em \pixels", numeros equivalente de visadas e p-valores obtidos;
² \Sample Discard": bot~ao que abre uma GUI correspondente a da Figura
67, p. 202, com a lista das amostras ativas, permitindo a elimina»c~ao de
amostras com o uso do \mouse";
² \P-Value Reestimate": bot~ao para recalcular os p-valores para todas as
amostras, considerando o valor existente no campo texto \N Looks Est".
² Oultimo valor estimado ou editado no campo\N LooksEst" para o numero
equivalente de visadas e o que sera armazenado no arquivo de informa»c~oes
da imagem, quando selecionada a op»c~ao de sa³da \OK".
Figure 66: - Interface para de¯ni»c~ao de regi~ao de interesse.

202
Figure 67: - Interface para eliminar uma amostra utilizada na estima»c~ao do numero
equivalente de visadas.
Figure 68: - Interface com a analise descritiva e resultado do teste da amostra sele-
cionada para estimar o numero equivalente de visadas.

203
Figure 69: - Interface para selecionar as imagens que ser~ao somadas.
Figure 70: - Interface para aplicar opera»c~oes matematicas sobre uma imagem.

D.3.4 - \Operations - Image Resample"
204
Op»c~ao para redimensionar o tamanho dos \pixels" e compatibilizar
dimens~oes entre imagens, com op»c~oes para escolha do vizinho mais proximo ou uso
dos metodos de interpola»c~ao bilinear ou convolu»c~ao cubica. Esta rotina ainda n~ao
esta incorporada ao sistema.
D.3.5 - \Operations - Image Extract"
Op»c~ao para extrair uma regi~ao retangular de uma imagem, gerando
o correspondente arquivo de informa»c~oes. Esta rotina ainda n~ao esta incorporada ao
sistema.
D.3.6 - \Operations - Image Addition"
Op»c~ao para realizar a adi»c~ao \pixel"-a-"pixel" entre imagens. As
imagens a serem adicionadas devem ser selecionadas da lista aprentada na GUI cor-
respondente a da Figura 69, p. 203. Uma vez determinada a execu»c~ao da opera»c~ao
a imagem sera gerada em formato numerico adequado aos dados de entrada e
visualizada em uma GUI.
D.3.7 - \Operations - Image Subtraction"
Op»c~ao para realizar a subtra»c~ao \pixel"-a-"pixel" entre imagens.
As imagens a serem usadas na opera»c~ao devem ser selecionadas da lista aprentada
na GUI similar a da Figura 69, p. 203. Uma vez determinada a execu»c~ao da
opera»c~ao a imagem sera gerada em formato numerico adequado aos dados de entrada
e visualizada em uma GUI.
D.3.8 - \Operations - Image Division"
Op»c~ao para realizar a divis~ao \pixel"-a-"pixel" entre imagens. As
imagens a serem usadas na opera»c~ao devem ser selecionadas da lista aprentada na
GUI correspondente a da Figura 69, p. 203. Uma vez determinada a execu»c~ao da

205
opera»c~ao a imagem sera gerada em formato \°oat" e visualizada em uma GUI.
D.3.9 - \Operations - Image Multiplication"
Op»c~ao pararealizar amultiplica»c~ao \pixel"-a-"pixel" entre imagens.
As imagens a serem usadas na opera»c~ao devem ser selecionadas da lista aprentada
na GUI correspondente a da Figura 69, p. 203. Uma vez determinada a execu»c~ao
da opera»c~ao a imagem sera gerada em formato \°oat" e visualizada em uma GUI.
D.3.10 - \Operations - Image Math Operations"
cionada.
Op»c~ao para realizar opera»c~oes sobre cada \pixel" da imagem sele-
Abre a GUI correspondente µa Figura 70, p. 203, e apresenta uma
lista com as imagens ativas e as seguintes op»c~oes:
² \Addition": campo texto editavel para digitar o escalar que sera somado a
cada \pixel". Dispensa o sinal algebrico e executa a opera»c~ao com a tecla
\Enter".
² \Subtraction": campo texto editavel para digitar o escalar que sera sub-
tra³do de cada pixel. Dispensa o sinal algebrico e executa a opera»c~ao com
a tecla \Enter".
² \Multiplication": campo texto editavel para digitar o escalar pelo qual cada
\pixel" sera multiplicado. Dispensa o sinal algebrico e executa a opera»c~ao
com a tecla Enter.
² \Division": campo texto editavel para digitar o escalar pelo qual cada
\pixel" sera dividido. Dispensa o sinal algebrico e executa a opera»c~ao com
a tecla \Enter".
² Log: bot~ao para aplicar o logaritmo natural a cada \pixel".
² Exp: bot~ao para aplicar a fun»c~ao exponencial a cada \pixel".

206
² \Sqroot": bot~ao para extrair a raiz quadrada de cada \pixel".
² \Sqr": bot~ao para elevar cada \pixel" ao quadrado.
²\Hist equal": bot~ao para gerar a imagemcom oseuhistogramaequalizada.
² \Ceil": bot~ao para efetuar o truncamento de dados \°oat" ou \double"
para o maior inteiro mais proximo.
² \Floor": bot~ao para efetuar o truncamento de dados \°oat" ou \double"
para o menor inteiro mais proximo.
² \Round": bot~ao para efetuar o truncamento de dados \°oat" ou \double"
para o inteiro mais proximo.
² Min (): op»c~ao para efetuar a transla»c~ao pelo valor m³nimo da imagem.
² / Max (): op»c~ao para efetuar a divis~ao pelo valor maximo da imagem.
²\Byte": Aplica-seesta opera»c~aoparafor»cardadosemoutroformatonumerico
para o formato \byte". Deve-se observar que os dados \byte" s~ao numeros
naturais entre 0 e 255.
²\Int": Aplica-seestaopera»c~ao para for»car dadosemoutroformatonumerico
para o formato \Integer". Deve-se observar que os dados \Integer" s~ao
numeros inteiros entre ¡32:768e32:767.
² \LongInt": Aplica-se esta opera»c~ao para for»car dados em outro formato
numerico para o formato \Long Integer". Deve-se observar que os dados
\Long Integer" s~ao numeros inteiros entre ¡2:0e9 e 2:0e9.
² \Float": Aplica-se esta opera»c~ao para for»car dados em outro formato
numerico para o formato \°oat".
² \Double": Aplica-se esta opera»c~ao para for»car dados em outro formato
numerico para o formato \double".

207
As opera»c~oes aplicadas na imagem aparecem em seqÄu^encia na lista
de opera»c~oes. Dependendo do tipo de opera»c~ao, ha a convers~ao a priori dos dados
para o formato numerico adequado, especi¯cado dentro dos par^enteses na linha da
opera»c~ao que foi aplicada.
D.3.11 - \Operations - Read Special"
formatos n~ao previstos no ENVI.
Op»c~ao para realizar a leitura de imagem em ¯ta ou CDROM, em
Figure 71: - Interface para efetuar a parti»c~ao e modelagem da imagem a ser classi¯-
cada.

D.4 - \Classi¯cation"
208
D.4.1 - \Classi¯cation - Partition and Modelling"
respectivos modelos estat³sticos.
Op»c~ao para determinar a parti»c~ao da imagem em classes e os
Uma GUI correspondente a da Figura 71 e ativada, com uma lista
para classes ativas e as seguintes op»c~oes:
² \Info Type": e um \pull-down menu" para selecionar ou alterar o tipo de
dado e processamento que sera aplicado. Conforme citado na introdu»c~ao
deste trabalho,apenasa implementa»c~aoreferente aosdadosmonoespectrais
em amplitude est~ao operacionais para a classi¯ca»c~ao. Possui as op»c~oes:
± \Monospectral"
¦ \Complex"
¦ \Amplitude"
¦ \Intensity"
± \Multispectral"
¦ \Univariate"
? \Amplitudes Ratio"
? \Intensities Ratio"
? \Phase Di®erence"
¦ \Multivariate"
? \N Amplitudes"

? \N Intensities"
209
? \Pair Amplitude - Phase Di®erence"
? \Pair Intensity - Phase Di®erence"
² \Classes Input File Selection": bot~ao para ativar a GUI correspondente a
da Figura 60, p. 194, que permite a abertura de uma arquivo de classes ja
existente.
² \Insert": bot~ao que ativa a GUI correspondente a da Figura 72, p. 209,
para inser»c~ao de uma nova classe em uma posi»c~ao selecionada na lista,com
as op»c~oes abaixo:
Figure 72: - Interface para adicionar uma classe.
± \Name": campo texto para edi»c~ao do nome;
± \Color": campo numerico para inser»c~ao do numero da cor desejada
para a classe, de acordo com a tabela de cores em uso.
± \Statistic Model": lista as distribui»c~oesde acordo com a sele»c~ao especi-
¯cada no PDM \Info Type", conforme as Tabelas 31, 32, 33, 34, 35 e
36.

210
\Monospectral Complex"
\Bivariate Normal"
\Bivariate Complex K"
\Bivariate Complex G0"
\Bivariate Complex G"
\Monospectral"
Amplitude "Intensity"
\Restrict Normal Amplitude" \Restrict Normal Intensity"
\Square Root of Gamma" \Gamma"
Amplitude K \Intensity K"
Amplitude G0 \Intensity G0"
Amplitude G \Intensity G"
Normal
Log-Normal
Weibull
Beta
\Multispectral Multivariate"
\Amplitude" \Intensity"
\N Sqrt Gammas" \N Gammas"
\N Amplitudes K" \N Intensities K"
\N Amplitudes G0" \N Intensities G0"
\Multispectral Multivariate"
\Pair Amplitude - Phase Di®erence" \Pair Intensity - Phase Di®erence"
\Sqrt Gamma", \Uniform Di®erence" \Gamma", \Uniform Di®erence"
\Amplitude K", \K Phase Di®erence" \Intensity K", \K Phase Di®erence"
\Amplitude G0", \G0 Phase Di®erence" \Intensity G0", \G0 Phase Di®erence"

211
\Multispectral Univariate Phase Di®erence"
\Uniform" { \Uniform"
\Phase K" { \Phase K"
\Phase G0" { \Phase G0"
\Uniform" { \Phase K"
\Uniform" { \Phase G0"
\Phase K" { \Phase G0"
\Multispectral Univariate"
Amplitude \Intensity"
\Sqrt Gamma" / \Sqrt Gamma" \Gamma" / \Gamma"
AmplitudeK / AmplitudeK \Intensity K" / \Intensity K"
Amplitude G0 / Amplitude G0 \Intensity G0" / \Intensity G0"
\Sqrt Gamma" / Amplitude K \Gamma" / \Intensity K"
\Sqrt Gamma" / Amplitude G0 \Gamma" / \Intensity G0"
Amplitude K / Amplitude G0 \Intensity K" / \Intensity G0"

212
² \Discard": bot~ao que abre a GUI correspondente a da Figura 73 com a
lista das classes ativas. O \mouse" e usado para selecionar a classe a ser
elimina da lista.
² \Change": bot~ao que abre a GUI correspondente a da Figura 74, p. 213,
com a lista das classes ativas. O uso do \mouse" sobre o nome da classe
permite a edi»c~ao donome no campo texto \name" e a troca dadistribui»c~ao
associada.
² \Classes Output File Selection": bot~ao que ativa a GUI correspondente a
da Figura 60, p. 194, para sele»c~ao do arquivo no qual ser~ao armazenados
os dados relativos µas classes. Oarquivo e escrito em formato ASCII e deve
possuir a extens~ao .cla.
² \Reset": bot~ao que apaga em memoria todas as classes da lista.
D.4.2 - \Classi¯cation - Sampling and Inference"
Op»c~ao para coletar, na imagem, amostras associadas a cada classe
e estimar os par^ametros em fun»c~ao da distribui»c~ao associada.
op»c~oes:
Uma GUI correspondente a da Figura 75, p. 214, e ativada com as
² \Input Sample File Selection": bot~ao que ativa a GUI correspondente a da
Figura 60, p. 194, para sele»c~ao de um arquivo de amostras existente. O
arquivo em formato ASCII e binario possui extens~ao *.amo.

213
Figure 73: - Interface para eliminar uma classe da parti»c~ao e modelagem.
Figure 74: - Interface para editar os dados relativos a determinada classe.

214
Figure 75: - Interface para infer^encia e amostragem.

215
± \Add": bot~ao que ativa a GUI correspondente a da Figura 76, p. 216,
para captura de uma amostra com:
± \Sample Name": campo texto editavel para o nome da amostra;
± \Type": bot~ao tipo exclusivo para sele»c~ao do tipo de amostra, com as
op»c~oes \Inference", \Test" e \Both".
± \Classes List": lista das classes, para associa»c~ao de uma classe µa
amostra que esta sendo adicionada.
± \Image Zoom": bot~ao deslizante para sele»c~ao do fator de amplia»c~ao na
imagem de captura das amostras.
± \Sample Capture": bot~ao para amostragem, que abre a GUI corre-
spondente a da Figura 62, p. 195, e outra GUI correspondente a da
Figura 66, p. 201, com as seguintes op»c~oes para sele»c~ao das regi~oes de
interesse:
¦ \New": bot~ao para iniciar a coleta de nova amostra;
¦ \Delete": bot~ao para apagar o ultimo ponto da lista;
¦ \Delete All": bot~ao para apagar todos os pontos coletados;
¦ \Collect": bot~ao tipo exclusivo, com asop»c~oes \Polygon" e \Point",
para coleta de amostras;
¦ \Mode": bot~ao tipo exclusivo, com as op»c~oes , \Add" e \Remove",
para sele»c~ao de modo de a»c~ao;
² \Change": bot~ao que ativa a GUI correspondente a da Figura 77, 216, que
permite trocar os par^ametros da amostra com:

216
Figure 76: - Interface para adicionar uma amostra.
Figure 77: - Interface para editar os dados de uma amostra.

217
± \Samples List": lista para sele»c~ao via \mouse" da amostra a ser edi-
tada;
± \SampleName": campotextoeditavelparatroca do nome da amostra;
± \Type": bot~ao para trocar o tipo da amostra (\Inference", \Test" e
\Both");
± \Classes List": lista de classes, para alterar a distribui»c~ao associada.
² \Discard": bot~ao para elimina»c~ao de amostras. A GUI correspondente a da
Figura 78 e ativada com a lista de amostras, cuja sele»c~ao para elimina»c~ao
e feita com o uso do \mouse".
² \Decorrelation of Samples"
Op»c~ao para efetuar a decorrela»c~ao das amostras coletadas. Abre a
GUI correspondente a da Figura 79, p. 218, com a lista das amostras coletadas e as
op»c~oes:
± \Lag Horizontal": campo texto para inser»c~ao do fator de reamostragem
na dire»c~ao horizontal (em colunas).
± \Lag Vertical": campo texto para inser»c~ao do fator de reamostragem
na dire»c~ao vertical (em linhas).
± \Apply Decorrelation": bot~ao para aplicar µa amostra selecionada da
lista osfatoresde decorrela»c~ao inseridos. Se nenhum valor for inserido
a amostra permanece inalterada.

218
Figure 78: - Interface para eliminar uma amostra.
Figure 79: Interface para decorrelacionar as amostras.

² \Chi-square goodness-of-¯t test"
219
Op»c~ao para veri¯car, em cada classe, se distribui»c~ao escolhida na
parti»c~ao e modelagem e o mais adequado. Para tal e aplicado o teste Qui-quadrado.
A GUI correspondente a da Figura 80, com a lista das classes a serem testadas e
ativada.
Figure 80: - Interface para aplicar o teste Qui-quadrado µas classes.
Selecionando-se com o \mouse" a classe a ser testada, a GUI
correspondente a da Figura 81, p. 220, e aberta, onde e apresentada a analise
descritiva do conjunto de amostras da classe selecionada. Outras GUIs correspon-
dentes a da Figura 82, p. 221, s~ao abertas quando selecionadas as distribui»c~oes a
serem testadas. Para cada teste s~ao mostrados o histograma das amostras da classe,
a fun»c~ao densidade de probabilidade e par^ametros estimados da distribui»c~ao esco-
lhida e o p-valor resultante do teste Qui-quadrado. Uma vez veri¯cada a escolha

220
incorreta da distribui»c~ao para uma dada classe, o usuario deve fazer a corre»c~ao do
modelo usando a op»c~ao \Classi¯cation - Partition and Modelling - Change". Para
esta corre»c~ao, obrigatoria antes de se estimar e salvar em arquivo os par^ametros das
classes, n~ao e necessario fechar as janela ativas.
Figure 81: - Interface que mostra a analise descritiva das amostras relativas µa classe
selecionada para teste.
² \Calculate and Save Parameter in File": bot~ao que ativa a rotina que cal-
cula ospar^ametrosda distribui»c~ao de cada classe. A GUI correspondente a
da Figura 60, p. 194, permite a sele»c~ao do arquivo (com a extens~ao *.cla)
no qual ser~ao salvos os par^ametros estimados e as de¯ni»c~oes das classes.
Estas informa»c~oes e que ser~ao utilizadas nas classi¯ca»c~oes Maxver.
² \Output Samples File Selection": bot~ao que ativa a GUI correspondente a
da Figura 60, p. 194, que permite a sele»c~ao do arquivo (com a extens~ao
*.amo), no qual as amostras ser~ao salvas.
D.4.3 - \Classi¯cation - Classify"
Op»c~ao para aplicar os par^ametros de classi¯ca»c~ao armazenados em
um arquivo e classi¯car a imagem.

221
Figure 82: - Interface com o resultado do teste Qui-quadrado relativo a dada classe,
considerando a distribui»c~ao selecionada.
E aberta uma GUI com a lista de imagens ativas na qual, com o
uso do \mouse", se faz a sele»c~ao da imagem a ser classi¯cada. Uma vez selecionada
uma imagem da lista, a GUI correspondente a da Figura 60, p. 194, e aberta para a
sele»c~ao do arquivo (com extens~ao *.cla) que contem as de¯ni»c~oes e par^ametros das
distribui»c~oes dasclasses. Oalgoritmo de Maxima Verossimilhan»ca faz a classi¯ca»c~ao
inicial da imagem. A GUI correspondente a da Figura 83 e ativada, na qual se
pode visualizar as fun»c~oes densidade de probabilidade das distribui»c~oes associadas
µas classes. A GUI apresentada na Figura 85, p. 224, e ativada para visualiza»c~ao da
imagem classi¯cada. As cores apresentadas na imagem s~ao as que foram escolhidas
na de¯ni»c~ao das classes.
Sobre a imagem gerada pelo algoritmo MaxVer e aplicado o algo-
ritmo \Iterated Conditional Modes" (ICM). A imagem obtida tambem e visualizada
em uma GUI correspondente a da Figura 86, p. 224.

222
Figure 83: - Interface que apresenta as fun»c~oes densidade de probabilidade usadas
na classi¯ca»c~ao.
D.4.4 - \Classi¯cation - Results"
Op»c~ao para avaliar o resultado da classi¯ca»c~ao, atraves da matriz
de confus~ao, calculada com o uso das amostras selecionadas para teste ou de uma
imagem verdade registrada em rela»c~ao µa imagem classi¯cada. A GUI correspondente
a da Figura 87, p. 224, e ativada com os bot~oes para se fazer a op»c~ao do teste. Se
selecionada a op»c~ao da imagem verdade para avalia»c~ao da classi¯ca»c~ao, a mesma
deve ser previamente inserida na lista de imagens ativas.
A matriz de confus~ao apresenta, por linhas, quanto cada classe foi
classi¯cada corretamente e erradamente nas outras classes.
D.5 - \Utilities"
D.5.1 - \Utilities - Image Default"
Esta op»c~ao e usada para selecionar a imagem sobre a qual ser~ao
executadas opera»c~oes, caso exista mais de uma imagem na lista. Uma GUI com a
lista dasimagensativase aberta,sobrea qualse faz a sele»c~aocom o uso do\mouse".

D.5.2 - \Utilities - Statistics"
223
Figure 84: - Interface para aplica»c~ao do ICM.
Esta op»c~ao permite para visualizar a analise descritiva de uma
imagem e tambem veri¯car quala distribui»c~aomaisaderente µa imagem. S~ao ativadas
as GUIs correspondentes as das Figuras 81 e 82, p. 220 e 221.
D.5.3 - \Utilities - Info Type"
E um \pull-down menu" para selecionar ou alterar o tipo de dado
de entrada e de processamento a ser aplicado na imagem SAR corrente.

224
Figure 85: -Visualiza»c~ao de uma classi¯ca»c~ao Maxver de uma imagem SAR-580 com
quatro visadas.
Figure 86: - Visualiza»c~ao de uma classi¯ca»c~ao ICM de uma imagem SAR 580 a
quatro visadas.
Figure 87: - Interface para visualiza»c~ao da matriz de confus~ao.

D.5.4 - \Utilities - Annotate"
225
Esta op»c~ao ativa a GUI apresentada na Figura 88. Esta fun»c~ao e
da biblioteca da linguagem IDL e possui op»c~oes para inserir interativamente textos,
linhas, setas, ret^angulos, c³rculos, el³pses e pol³gonos na imagem corrente. Podem
ser geradosarquivos com osdadosinseridos nos formatos TIFF, GIFou PostScript.
Figure 88: - Interface para edi»c~ao de elementos gra¯cos na imagem.

D.5.5 - \Utilities - Color Palette"
226
Esta op»c~ao ativa a GUI apresentada na Figura 89. Esta rotina e da
biblioteca do IDL e permite interativamente a cria»c~ao e modi¯ca»c~ao de tabelas de
cores usando ossistemasde cores RGB, CMY, HSV ou HLS. Mais informa»c~oessobre
o uso da rotina podem ser obtidas no Guia de Refer^encia da linguagem IDL.
Figure 89: - Interface para edi»c~ao de paleta de cores.

D.5.6 - \Utilities - Color Tables"
227
Esta op»c~ao mostra a tabela de cores em uso e tambem permite
selecionar uma dastabelas prede¯nidas na lista. Esta fun»c~ao tambem e da biblioteca
dalinguagemIDLe possibilitainterativamente alongar,efetuaracorre»c~aodoGamma
e aplicar fun»c~ao de transfer^encia de contraste na tabela em uso.
Figure 90: - Interface para edi»c~ao de tabela de cores.

Contents
228
INTRODUC» ~ AO.............................................................. 1
NOTAC» ~OES, CONVENC»~OES E DEFINIC»~OES ........................ 5
1 Nota»c~ao e Conven»c~oes..................................................... 5
2 De¯ni»c~oes ................................................................. 6
2.1 Fun»c~ao Indicadora de um Conjunto A............................... 6
2.2 A Fun»c~ao Gamma de Euler.......................................... 6
2.3 A Fun»c~ao Digamma ................................................. 7
2.4 A Fun»c~aoKº de Bessel de Terceiro Tipo e Ordemº ................ 7
2.5 A Fun»c~ao de Distribui»c~ao Acumulada ............................... 8
2.6 Esperan»ca ........................................................... 8
2.7 Vari^ancia ............................................................ 9
2.8 Covari^ancia e Correla»c~ao ........................................... 10
2.9 Momentos .......................................................... 11
2.10 Autocovari^ancia e Autocorrela»c~ao .................................. 13
3 Estima»c~ao de Par^ametros ................................................ 13
3.1 Estima»c~ao pelo Metodo dos Momentos ............................. 13
3.2 Estima»c~ao pelo Metodo de Maxima Verossimilhan»ca ............... 14
PRINCIPAIS DISTRIBUIC»~OES.........................................17
1 Distribui»c~ao Normal Padr~ao.............................................. 17

229
2 Distribui»c~ao Normal...................................................... 17
3 Distribui»c~ao Normal Multivariada........................................ 18
4 Distribui»c~ao Log-Normal................................................. 19
5 Distribui»c~ao Constante................................................... 20
6 Distribui»c~ao Uniforme.................................................... 20
7 Distribui»c~ao Exponencial Padr~ao......................................... 21
8 Distribui»c~ao Exponencial................................................. 21
9 Distribui»c~ao Rayleigh Padr~ao ............................................ 22
10 Distribui»c~ao Rayleigh .................................................... 22
11 Distribui»c~ao Gama Padr~ao ............................................... 23
12 Distribui»c~ao Gama ....................................................... 24
13 Distribui»c~ao Raiz de Gama Padr~ao....................................... 25
14 Distribui»c~ao Raiz de Gama............................................... 25
15 Distribui»c~ao Beta ........................................................ 27
16 Distribui»c~ao Weibull ..................................................... 28
17 Distribui»c~ao K-Intensidade Padr~ao....................................... 29
18 Distribui»c~ao K-Intensidade ............................................... 30
19 Distribui»c~ao K-Amplitude Padr~ao........................................ 32
20 Distribui»c~ao K-Amplitude................................................ 32
21 Distribui»c~ao Gaussiana Inversa Generalizada............................. 34
22 Distribui»c~ao Raiz de Gaussiana Inversa Generalizada .................... 34

230
23 Distribui»c~ao G-Intensidade ............................................... 35
24 Distribui»c~ao G-Intensidade Zero ......................................... 36
25 Distribui»c~ao G-Amplitude................................................ 36
26 Distribui»c~ao G-Amplitude Zero .......................................... 37
MODELAGEM DOS DADOS SAR......................................39
1 O Modelo Multiplicativo ................................................. 39
1.1 Imagens Intensidade................................................ 40
1.2 Imagens Amplitude................................................. 41
1.3 Imagens Complexas ................................................ 43
2 As distribui»c~oes Normais Restritas....................................... 44
2.1 Normal Restrita Intensidade........................................ 44
2.2 Normal Restrita Amplitude ........................................ 45
3 Distribui»c~oes ad-hoc...................................................... 45
A CLASSIFICAC» ~ AO MAXVER .........................................47
1 Os Passos da Classi¯ca»c~ao por Maxima Verossimilhan»ca................. 47
2 A Implementa»c~ao Maxver ................................................ 48
2.1 Parti»c~ao da Imagem em Classes .................................... 48
2.2 Associa»c~ao da Distribui»c~ao ......................................... 49
2.3 Amostragem ........................................................ 49
2.4 Teste da Ader^encia das Distribui»c~oes Selecionadas ................. 50
2.5 Estima»c~ao dos Par^ametros das Distribui»c~oes ....................... 50

231
2.5.1 O Numero Equivalente de Visadas............................ 50
2.6 Classi¯ca»c~ao ........................................................ 51
CLASSIFICADORES CONTEXTUAIS.................................53
1 Tecnicas Markovianas de Classi¯ca»c~ao ................................... 53
2 O Modelo de Potts-Strauss............................................... 54
3 Formula»c~ao Teorica ...................................................... 56
3.1 O Modelo de Potts-Strauss Propriamente Dito ..................... 58
4 Estima»c~ao pela Equa»c~ao de Maxima Pseudoverossimilhan»ca ............. 59
4.1 Estima»c~ao para Vizinhan»ca Quatro................................. 62
4.2 Estima»c~ao para Vizinhan»ca Oito ................................... 65
4.3 Estima»c~ao para Vizinhan»ca Doze................................... 67
5 O Algoritmo ICM ........................................................ 67
6 Pseudocodigos do Algoritmo ICM........................................ 74
6.1 Pseudocodigo do Algoritmo de Classi¯ca»c~ao........................ 74
6.2 Pseudocodigo da Fun»c~ao para Estima»c~ao de¯ ..................... 75
6.3 Pseudocodigo da Fun»c~ao que Gera uma Classi¯ca»c~ao ICM......... 76
O TESTE DA CLASSIFICAC» ~ AO........................................77
1 Coe¯ciente de Concord^ancia Kappa...................................... 77
2 Os Testes de Hipoteses para Comparar Matrizes de Confus~ao............ 79
2.1 Teste Bilateral...................................................... 79
2.2 Teste Unilateral .................................................... 80

232
2.3 Determina»c~ao do p-valor do Teste.................................. 81
RESULTADOS OBTIDOS ................................................83
1 Resultados com a imagem SAR-580...................................... 84
1.1 Metodologia Utilizada .............................................. 84
1.2 Estima»c~ao do Numero Equivalente de Visadas ..................... 90
1.3 Parti»c~ao, Modelagem, Infer^encia e Amostragem .................... 90
1.3.1 Decorrela»c~ao das Amostras ................................... 91
1.3.2 Teste Qui-quadrado de Ajuste ................................ 91
1.4 As Classi¯ca»c~oes Maxver e ICM.................................... 97
1.5 Matrizes de Confus~ao das Classi¯ca»c~oes............................ 98
1.6 Teste de Igualdade dos Coe¯cientes de Concord^ancia .............102
1.7 Conclus~oes.........................................................106
2 Resultados com as Imagens JERS-1 Original............................107
2.1 Metodologia Utilizada .............................................107
2.2 Obten»c~ao da Imagem com a Resolu»c~ao Espacial Degradada.......107
2.3 Estima»c~ao do Numero Equivalente de Visadas ....................108
2.4 Parti»c~ao, Modelagem, Infer^encia e Amostragem ...................108
2.4.1 Decorrela»c~ao das Amostras ..................................109
2.4.2 Teste Qui-quadrado..........................................109
2.5 As Classi¯ca»c~oes Maxver e ICM...................................119
2.6 Matrizes de Confus~ao das Classi¯ca»c~oes...........................127

233
2.7 Teste de Igualdade dos Coe¯cientes de Concord^ancia .............128
2.8 Conclus~oes.........................................................131
CONCLUS ~ OES E SUGEST ~ OES ....................................... 141
1 Conclus~oes ..............................................................141
2 Sugest~oes................................................................143