Notas em Matemática Aplicada Editores Cassio Machiaveli ... - sbmac

(i) pX(x) = 0, ∀ x /∈ X(Ω);
(ii)
⎛
pX(x) = Pr ⎝
x∈X(Ω)
x∈X(Ω)
⎞
{w ∈ Ω : X(w) = x} ⎠ = Pr(Ω) = 1.
Assim, sendo X uma variável aleatória real discreta que assume n valores
distintos x1, ··· , xn com probabilidades p1, ··· , pn, tem-se que:
15
pi ≥ 0 i = 1, ··· , n, (1.1.4)
n
pi = 1. (1.1.5)
i=1
Quando trabalha-se com uma variável aleatória discreta X, uma questão de
interesse é determinar a probabilidade de X assumir um valor menor ou igual a
x ∈ R. Ou seja, a probabilidade de X assumir um valor na semi-reta ( − ∞,x ]
para algum x ∈ R fixo.
Lembrando da definição de variável aleatória, essa probabilidade existe se e
somente se X −1 ((−∞,x ]) = {w ∈ Ω : X(w) ≤ x} pertence ao espaço de eventos
F. Porém, observa-se que:
X−1 (( −∞,x ]) = {w ∈ Ω : X(w) ≤ x}
=
{w ∈ Ω : X(w) = y}. (1.1.6)
y∈X(Ω)
y≤x
Ou seja, X −1 (( −∞,x ]) é uma união contável de eventos em F e, dessa forma
pertence a F, ∀x ∈ R.
A probabilidade de X assumir um valor menor ou igual a x ∈ R pode ser
calculada través da função distribuição de probabilidade cumulativa de X, PX:
PX : R −→ [0,1]
x ↦−→ PX(x) = Pr({w ∈ Ω : X(w) ≤ x}).
É usual utilizar a notação simplificada:
(1.1.7)
PX(x) = Pr(X ≤ x). (1.1.8)
Proposição 1.1.3. Seja PX a distribuição de probabilidade cumulativa de X.
Então:
(i) 0 ≤ PX(x) ≤ 1, ∀ x ∈ R;