Notas em Matemática Aplicada Editores Cassio Machiaveli ... - sbmac

Exemplo 1.1.8. Seja {Xi} i∈N uma sequência de variáveis aleatórias discretas que
assumem os valores 1 e 2, cada uma delas com função densidade de probabilidade:
⎧
⎪⎨
1
, se x = 1
pXi(x) = i
⎪⎩ 1− 1
, se x = 2.
i
23
(1.1.38)
Verifica-se que {Xi} i∈N converge para a variável aleatória X constante igual a
2 em média quadrática, pois:
Assim:
Xi −X =
⎧
⎪⎨
(Xi −X)(w) =
⎪⎩
E
−1, com probabilidade 1
i
0, com probabilidade 1− 1
i .
(1.1.39)
(Xi −X) 2
= (−1) 21
i +(0)2
1− 1
1
= . (1.1.40)
i i
Logo, Xi −X −→ 0 quando i −→ +∞.
Exemplo 1.1.9. Seja {Xi} i∈N uma sequência de variáveis aleatórias discretas definida
por:
Xi(w) =
i, com probabilidade 1/n
−1, com probabilidade 1−1/n.
(1.1.41)
Verifica-se que {Xi} i∈N converge para a variável aleatória X constante igual a
−1 em probabilidade, pois:
⎧
⎪⎨
(Xi −X)(w) = (Xi +1)(w)
⎪⎩
Assim:
1
1
n+1 , com probabilidade
i
0, com probabilidade 1− 1
i .
(1.1.42)
∀ǫ > 0 , Pr(|Xi −X| ≥ ǫ) = Pr(|Xi +1| ≥ ǫ) = 1/i. (1.1.43)
Logo, ∀ǫ > 0 : Pr(|Xi −X| ≥ ǫ) −→ 0 quando i −→ +∞.