Notas em Matemática Aplicada Editores Cassio Machiaveli ... - sbmac

Figura 1.2: Vetor aleatório (mapa de Ω para R 3 ).
O mapa representado em (1.2.48) é esquematizado na figura (1.2) para o caso
em que n = 3.
A função distribuição de probabilidade cumulativa associada a um vetor aleatório
{X} é a função:
P {X} : R n −→ [0,1]
{x} ↦−→ P {X}({x}) =
Pr({w ∈ Ω : X1(w) ≤ x1,··· ,Xn(w) ≤ xn}).
onde {x} ∈ R n é o vetor:
{x} =
⎡
⎢
⎣
x1
.
.
xn
⎤
25
(1.2.49)
⎥
⎦, (1.2.50)
cujo elemento de volume é definido por: d{x} = dx1···dxn. É usual utilizar a
notação simplificada:
P {X}({x}) = Pr(X1 ≤ x1, X2 ≤ x2,··· , Xn ≤ xn). (1.2.51)
Proposição 1.2.2. Seja P {X} a distribuição probabilidade cumulativa de {X}.
Então:
(i) 0 ≤ P {X}({x}) ≤ 1, ∀ {x} ∈ R n ;
P {X}({x}) = 1 e lim P {X}({x}) = 0 ;
x1 −→ +∞
xi −→ −∞
···
(i=1,···,n)
xn −→ +∞
(ii) lim
(iii) P {X} é uma função de variação limitada e sua variação total é igual a 1.