Notas em Matemática Aplicada Editores Cassio Machiaveli ... - sbmac

Dado uma função (mensurável) h : R → R e uma variável aleatória real
contínua, X, com função densidade de probabilidade pX, então o valor esperado
de h(X) pode ser calculado por:
E[h(X)] =
∞
−∞
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h(x)p(x) dx. (1.1.23)
Uma importante propriedade do operador média é a linearidade. Sejam X e
Y duas variáveis aleatórias reais contínuas e sejam α e β constantes reais, tem-se
que:
A variância de X, σ2 X , é calculada por:
E[αX +βY] = αE[X]+βE[Y]. (1.1.24)
σ 2 X = var(X) = E[(X −µ X )2 ] = E[X 2 ]−(E[X]) 2 . (1.1.25)
Sendo α e β duas constantes reais e X uma variável aleatória contínua, cuja
variância vale var(X), então:
var(αX +β) = α 2 var(X). (1.1.26)
O k-ésimo q-quantil de uma variável aleatória contínua X é um valor x ∈ R
tal que, para 0 < k < q, tem-se:
Pr(X ≤ x) = PX(x) = k
. (1.1.27)
q
Quando k = 1 e q = 2, o primeiro 2-quantil de X é um valor x ∈ R tal que
Pr(X ≤ x) = PX(x) = 1
, (1.1.28)
2
também chamado de mediana de X.
O k-ésimo q-quantil, x, associado a uma variável aleatória X estabelece um
intervalo (−∞,x) a partir da função distribuição de probabilidade cumulativa,
PX. Assim, a medida de probabilidade de X assumir um valor nesse intervalo é
k/q.
A noção de quantil induz ao conceito de histograma. Os histogramas representam
uma forma de se visualizar a função densidade de probabilidade de X através
de uma contagem de frequência de um número finito de amostras de X. Primeiramente
faz-se a divisão do suporte de X em intervalos iguais e posteriormente
conta-se quantas das amostras de X possuem um valor contido em cada um desses
intervalos. Quando o número de intervalos é suficientemente grande, fixada
uma certa precisão, o formato do histograma se aproxima da função densidade de
probabilidade de X, pX.