Notas em Matemática Aplicada Editores Cassio Machiaveli ... - sbmac

o extremo identificado é um máximo e assim, a densidade p que maximiza a entropia,
S, é a densidade uniforme no intervalo k = [a,b], ou seja:
p(x) = 1 [a,b](x)
41
1
. (2.2.39)
b−a
Frequentemente é comum trabalhar-se com problemas em que mais vínculos
sãoprescritos,comoporexemploamédiaemomentosdeordemsuperior. Suponha
que a variável aleatória X esteja submetida a m vínculos escritos na forma:
p(x)gr(x) dx = ar r = 1,··· ,m. (2.2.40)
k
Para essa variável aleatória, a Lagrangiana é escrita como:
L(p,λ0,··· ,λm) = S(p)−(λ0 −1) p(x) dx−1
−
m
r=1
λr
k
k
⎛ ⎞
⎝ p(x)gr(x) dx−ar ⎠ ,
(2.2.41)
onde λ0 − 1,λ1,··· ,λm são os m +1 multiplicadores de Lagrange. Reescreve-se
(2.2.41) como:
L(p,λ0) = u(λ0,··· ,λm)− h(p,λ0,··· ,λm) dx, (2.2.42)
com:
u(λ0,··· ,λm) = (λ0 −1)+
h(p,λ0,··· ,λm) = p(x)[lnp(x)+(λ0 −1)+
k
m
λrar, (2.2.43)
r=1
m
λrgr(x)] . (2.2.44)
Pelo cálculo variacional, os extremos de máximo e mínimo da Lagrangiana L
verificam:
∂
∂p(x) h(p,λ0) = 0. (2.2.45)
Dessa forma, obtém-se como extremo a densidade:
p(x) = 1 [a,b](x) exp(−λ0 −λ1g1(x)−λ2g2(x)−···−λmgm(x)). (2.2.46)
Osmultiplicadoresλ0−1,λ1,··· ,λm sãocalculadossubstituindo-seaexpressão
p (2.2.46) em (2.2.30) e (2.2.40).
r=1