Notas em Matemática Aplicada Editores Cassio Machiaveli ... - sbmac

Variáveis aleatórias contínuas com suporte [0,∞):
Seja X uma variável aleatória contínua real com suporte [0,∞). Deseja-se
determinar a densidade de probabilidade p de X que maximiza a entropia S:
S(p) = −
∞
0
45
p(x)lnp(x) dx. (2.2.67)
tal que: ∞
p(x) dx = 1 e p(x) ≥ 0 , ∀x ∈ [0,∞). (2.2.68)
0
1. Caso nenhuma informação adicional sobre X seja conhecida, o problema de
otimização não possui solução.
2. Caso a média de X seja conhecida, E[X] = µ, a densidade de probabilidade
que maximiza a entropia de Shannon é a exponencial:
p(x) = 1 [0,∞)(x) 1
µ e −x
µ . (2.2.69)
3. Caso sejam conhecidos o valor esperado de X e o valor esperado de log(X),
ou seja, E[X] = µ e E[log(X)] = q, a densidade de probabilidade p que
maximiza a entropia de Shannon é a densidade Gamma:
p(x) = 1 [0,+∞)(x) 1
1
µ δ 2
1
δ2 1
Γ(1/δ 2 )
onde Γ é a função Gamma ( Γ(a) =
de dispersão adimensional.
∞
0
x
µ
1
δ2 −1
x
exp
δ 2
, (2.2.70)
µ
t a−1 exp(−t)dt) e δ = σ
µ um fator
4. Caso os valores de E[ln(X)] e E[ln(1−X)] sejam conhecidos e iguais a k1 e
k2 respectivamente, a densidade de probabilidade que maximiza a entropia
de Shannon é:
p(x) = 1 ]0,+∞)(x)
1
B(m,n) x(m−1) (1+x) −(n+m) , (2.2.71)
onde B é a função beta (2.2.64) e, os valores de m e n são determinados a
partir dos vínculos E[ln(X)] e E[ln(1−X)]. De forma que:
1
B(m,n)
∞
x
0
(m−1) (1+x) −(n+m) ln(x) dx = E[ln(X)] = k1, (2.2.72)