Notas em Matemática Aplicada Editores Cassio Machiaveli ... - sbmac

Estafunçãodensidadedeprobabilidadedesconhecidapodeserconstruídaatravés
do PEM utilizando somente as informações conhecidas.
Suponha que essas informações conhecidas sobre [An] sejam:
1. [An] ∈ M +
n(R) e p [An]([An]) ˜ dAn = 1;
M + n(R)
2. o valor esperado de [An] é conhecido, ou seja:
3.
M + n(R)
E([An]) =
M + n(R)
[An]p [An]([An]) ˜ dAn = [A n ] .
lndet[An]p [An]([An]) ˜ dAn = v, com |v| < +∞.
A entropia relacionada a p [An] é dada por:
S(p [An]) = −
M + p [An]([An])lnp [An]([An])
n(R)
˜ dAn. (2.2.103)
Seja Cad o espaço das funções [An] ↦−→ p [An] do M + n (R) em R+ = [0,+∞)
atendendo aos vínculos definidos acima.
Para descobrir qual a expressão da função p [An] ∈ Cad que maximiza essa
entropia S (2.2.77), um problema de otimização (2.2.104) deve ser resolvido:
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max S(p). (2.2.104)
p∈Cad
Para simplificar o problema, são feitas algumas manipulações algébricas. A
matriz positiva-definida [A n ] pode ser decompostausando a decomposiçãode Cholesky:
[A n] = [L An ] T [L An ], (2.2.105)
sendo[L An ]umamatriztriangularsuperior. Consequentemente,amatrizaleatória
[An] pode ser escrita como:
[An] = [L An ] T [Gn][L An ], (2.2.106)
onde [Gn] é uma matriz aleatória com valores em M + n (R) tais que:
[G n] = E([Gn]) = [In]. (2.2.107)
A distribuição cumulativa de probabilidade P [Gn] = p [Gn]([Gn]) ˜ dGn possui
uma densidade de probabilidade com respeito ao elemento de volume: ˜ dGn =