Notas em Matemática Aplicada Editores Cassio Machiaveli ... - sbmac

Além de (2.2.78), outros vínculos podem ser prescritos para o vetor aleatório
{X}. Suponha que m informações sobre {X} sejam conhecidas e estejam escritas
na forma:
p({x}){gr({x})} d{x} = {ar} ∈ R νr , r = 1,··· ,m. (2.2.79)
R n
onde os expoentes ν1,··· ,νm são m inteiros iguais ou superiores a um.
Seja Cad o espaço das funções {x} ↦−→ p({x}) do R n em R ≥0 , tendo todas
o mesmo suporte conhecido kn ⊂ R n (com a possibilidade de que kn = R n ) e,
atendendo aos vínculos definidos em (2.2.78) e (2.2.79).
Para descobrir qual a expressão da função p ∈ Cad que maximiza essa entropia
S (2.2.77), um problema de otimização (2.2.80) deve ser resolvido.
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max S(p) . (2.2.80)
p∈Cad
Pararesolveresteproblema,m+1multiplicadoresdeLagrangesãointroduzidos
(λ0 − 1) ∈ R, {λ1} ∈ Rν1 ,··· ,{λm} ∈ Rνm associados aos m + 1 vínculos. A
Lagrangiana, nesse caso, é:
L(p,λ0,{λ1}, ··· , {λm}) = S(p)−(λ0 −1)
Rn
p({x}) d{x}−1
−
m
< {λr} ,
r=1 Rn
p({x}){gr({x})} d{x}−ar >
Rνr (2.2.81)
onde < {u},{v} > R νr = u1v1+···+uνrvνr é o produto escalar euclidiano no R νr .
com:
e
Reescreve-se (2.2.81) como:
L(p,λ0,{λ1},··· ,{λm}) = u(λ0,{λ1},··· ,{λm})
u(λ0,{λ1},··· ,{λm}) = (λ0 −1)+
−
Rn h(p,λ0,{λ1},··· ,{λm}) d{x},
(2.2.82)
m
< {λr} , {ar} >, (2.2.83)
r=1
h(p,λ0,{λ1},··· ,{λm}) = p({x})[ lnp({x})+(λ0 −1)+
m
< {λr} , {gr({x})} > Rνr ] .
r=1
(2.2.84)