Notas em Matemática Aplicada Editores Cassio Machiaveli ... - sbmac

• δ = σ
µ é um fator de dispersão adimensional.
Exemplo 2.2.7. Seja X uma variável aleatória contínua com suporte (−∞,∞) e
com valores para média e segundo momento prescritos: E[X] = µ e E[X 2 ] = α 2 .
Deseja-se determinar a densidade de probabilidade p de X que maximiza a entropia
S (2.2.29), tal que:
∞
−∞
p(x) dx = 1,
∞
−∞
p(x) x dx = µ,
Pela expressão (2.2.46), tem-se que:
43
∞
p(x) x
−∞
2 dx = α 2 . (2.2.53)
p(x) = exp(−λ0 −λ1x−λ2x 2 ) = aexp(−b(x−c) 2 ), (2.2.54)
onde a, b e c devem ser determinados por:
a
∞
−∞
exp[(−b(x−c) 2 )] dx = 1,
∞
a x exp[(−b(x−c)
−∞
2 )] dx = µ,
∞
a x
−∞
2 exp[(−b(x−c) 2 )] dx = α2 .
Usando o seguinte resultado (Cf. [15]):
verifica-se que:
∞
−∞
exp[(−b(x−c) 2 )] dx =
(2.2.55)
π
, para b > 0, (2.2.56)
b
a = 1
√ , b =
2πσ 1
, c = µ, (2.2.57)
2σ2 onde a variância σ 2 = α 2 −µ 2 .
Assim, a função densidade de probabilidade que maximiza a entropia de Shan-
non é a Gaussiana:
p(x) = 1
√ exp −
2πσ 1
2
(x−µ) 2
σ 2
. (2.2.58)
A seguir é mostrado um resumo da construção de modelos probabilísticos para
variáveis aleatórias contínuas através do Princípio da Entropia Máxima.