Notas em Matemática Aplicada Editores Cassio Machiaveli ... - sbmac

Exemplo 2.2.9. Seja {X} uma vetor aleatório de dimensão n, com suporte kn =
(0,+∞)×···×(0,+∞) ⊂ Rn e com vetor média conhecido E[{X}] = {µ X } ∈ kn,
ou seja:
⎡ ⎤
µ X1
⎢
E[{X}] = ⎣ .
µ Xn
49
⎥
⎦ . (2.2.94)
A função densidade de probabilidade de {X} construída pelo Princípio da Entropia
Máxima é:
p({x}) = pX1(x1)×···×pXn(xn), (2.2.95)
onde a densidade pXj da variável aleatória Xj é escrita como uma função exponencial
(2.2.51):
pXj(xj) = 1 (0,∞)(xj) 1
µ Xj
−xj µ Xj e , j = 1,··· ,n, (2.2.96)
mostrando que, pelo Princípio da Entropia Máxima, as n variáveis aleatórias
X1,··· ,Xn são independentes.
Exemplo 2.2.10. Seja {X} um vetor aleatório de dimensão n, com suporte kn =
R n , com vetor média conhecida E[{X}] = {µ X} = (µ X1 ···µ Xn ) T ∈ kn, onde
µ Xj = E[Xj] e com matriz de covariância [C] real simétrica positiva definida
conhecida.
A função densidade de probabilidade de {X} construída pelo Princípio da Entropia
Máxima é a densidade Gaussiana:
p {X}({x}) =
1
(2π) n det[C] ×
exp
− 1
2
2.2.4 Matrizes aleatórias
[C] −1
({x}−{µ X });({x}−{µ X })
Rn
.
(2.2.97)
Nas seções anteriores do trabalho foi mostrado como o Princípio da Entropia
Máxima (PEM) determina as funções densidades de probabilidade de varáveis e
vetores aleatórios (casos em que apenas algumas informações sobre essas variáveis
são conhecidas). Dessa forma, quando se faz uma abordagem estocástica paramétrica
de um sistema, o PEM pode ser utilizado para construir as densidades
de probabilidade dos parâmetros do sistema que são considerados aleatórios (e
portanto representados por variáveis/vetores aleatórios).