fundamentos de fÃsica iii fundamentos de fÃsica iii - Departamento de ...
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Wagner Corradi Rodrigo Dias Társia<br />
Leonardo Fonseca Maria Carolina Nemes<br />
Wan<strong>de</strong>rson Silva <strong>de</strong> Oliveira Karla Balzuweit<br />
FUNDAMENTOS DE FÍSICA III<br />
FUNDAMENTOS DE FÍSICA III<br />
Belo Horizonte<br />
Editora UFMG<br />
2011<br />
© Todos os direitos reservados. <strong>Departamento</strong> <strong>de</strong> Física - UFMG Página 0<br />
© Todos os direitos reservados. <strong>Departamento</strong> <strong>de</strong> Física - UFMG Página 1
© 2011, Wagner Corradi; Rodrigo Dias Társia; Leonardo Fonseca; Maria Carolina Nemes; Wan<strong>de</strong>rson Silva<br />
<strong>de</strong> Oliveira; Karla Balzuweit<br />
© 2011, Editora UFMG<br />
Este livro ou parte <strong>de</strong>le não po<strong>de</strong> ser reproduzido por qualquer meio sem a autorização escrita do Editor.<br />
Fundamentos <strong>de</strong> Física I / Wagner Corradi ...[et al.]<br />
- Belo Horizonte ; Editora UFMG, 2011<br />
p. – Il (Educação a Distância)<br />
Inclui referências.<br />
ISBN:<br />
www.editora.ufmg.br editora@ufmg.br<br />
educacaoadistancia@ufmg.br<br />
1. Física. 2. Eletricida<strong>de</strong>. 3. Eletromagnetismo<br />
I. Corradi, Wagner II. Série.<br />
CDD:<br />
CDU:<br />
Elaborada pela DITTI – Setor <strong>de</strong> Tratamento da Informação<br />
Biblioteca Universitária da UFMG<br />
Este livro recebeu o apoio financeiro da Secretaria <strong>de</strong> Educação a Distância do MEC.<br />
ASSISTÊNCIA EDITORIAL Eliane Sousa e Euclídia Macedo<br />
EDITORAÇÃO DE TEXTO Maria do Carmo Leite Ribeiro<br />
PREPARAÇÃO DE TEXTO Michel Gannam<br />
REVISÃO DE PROVAS<br />
FORMATAÇÃO<br />
PROJETO GRÁFICO E CAPA Eduardo Ferreira<br />
PRODUÇÃO GRÁFICA Warren Marilac<br />
EDITORA UFMG<br />
Av. Antônio Carlos, 6627 – Ala direita da Biblioteca Central<br />
– Térreo<br />
Campus Pampulha – 31270-901 – Belo Horizonte/MG<br />
Tel.: +55 31 3409-4650 Fax: +55 31 3409-4768<br />
PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO<br />
Av. Antônio Carlos, 6.627 – Reitoria – 6º andar<br />
Campus Pampulha – 31270-901 – Belo Horizonte/MG<br />
Tel.: + 55 31 3409-4054 Fax: + 55 31 3409-4060<br />
www..ufmg.br info@prograd.ufmg.br<br />
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INFORMAÇÕES GERAIS<br />
Sumário<br />
1. FUNDAMENTOS DE FÍSICA III NA MODALIDADE DE ENSINO A DISTÂNCIA 11<br />
UNIDADE 1 – CARGAS ELÉTRICAS E LEI DE COULOMB 13<br />
AULA 1 – CARGAS ELÉTRICAS<br />
A1.1 ELETRIZAÇÃO POR ATRITO 15<br />
A1.2 CARGAS ELÉTRICAS 18<br />
A1.3 ISOLANTES, CONDUTORES E A LOCALIZAÇÃO DA CARGA ELÉTRICA 22<br />
A1.4 ELETRIZAÇÃO POR INDUÇÃO E POLARIZAÇÃO 26<br />
A1.5 ELETROSCÓPIOS 28<br />
A1.6 APLICAÇÃO TECNOLÓGICA DO FENÔMENO ELETRIZAÇÃO 32<br />
PENSE E RESPONDA 36<br />
AULA 2 – LEI DE COULOMB 38<br />
A2.1 LEI DE COULOMB 38<br />
A2.2 FORÇA DE UM CONJUNTO DE CARGAS 43<br />
A2.3 A LEI DE COULOMB EM UM DIELÉTRICO 47<br />
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO E PROBLEMAS DA UNIDADE 52<br />
UNIDADE 2 – CAMPO ELÉTRICO 54<br />
AULA 3 – CAMPO ELÉTRICO<br />
A3.1 DEFINIÇÃO E DISCUSSÃO FÍSICA DO CAMPO ELETROSTÁTICO 56<br />
A3.2 DISTRIBUIÇÃO DE CARGAS ELÉTRICAS 59<br />
A3.3 O DIPOLO ELÉTRICO 61<br />
A3.4 LINHAS DE FORÇÁ 64<br />
A3.5 CARGAS ELÉTRICAS EM UM CAMPO ELÉTRICO UNIFORME 66<br />
PENSE E RESPONDA E EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 72<br />
AULA 4 – CÁLCULO DO CAMPO ELÉTRICO PARA DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS<br />
DE CARGA EM UMA DIMENSÃO<br />
A4.1 COLOCAÇÃO DO PROBLEMA GERAL 74<br />
A4.2 CÁLCULO DO CAMPO ELÉTRICO EM DISTRIBUIÇÕES UNIDIMENSIONAIS DE CARGA 77<br />
PENSE E RESPONDA 87<br />
AULA 5 – CÁLCULO DO CAMPO ELÉTRICO PARA DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS<br />
DE CARGA EM DUAS E TRÊS DIMENSÕES<br />
A5.1 ELEMENTOS DE SUPERFÍCIE E DE VOLUME 88<br />
A5.2 CÁLCULO DO CAMPO ELÉTRICO PARA DISTRIBUIÇÕES DE CARGA EM DUAS<br />
89<br />
DIMENSÕES<br />
A5.3 CÁLCULO DO CAMPO ELÉTRICO PARA DISTRIBUIÇÕES DE CARGA EM TRÊS DIMENSÕES 95<br />
PROBLEMAS DA UNIDADE 104<br />
UNIDADE 3 – LEI DE GAUSS E SUAS APLICAÇÕES 106<br />
AULA 6 – LEI DE GAUSS 108<br />
A6.1 FLUXO DO CAMPO ELÉTRICO 108<br />
© Todos os direitos reservados. <strong>Departamento</strong> <strong>de</strong> Física - UFMG Página 4<br />
74<br />
88<br />
A6.2 A LEI DE GAUSS 113<br />
A6.3 FERRAMENTAS MATEMÁTICAS: CÁLCULO DA INTEGRAL DE SUPERFÍCIE NA LEI DE 114<br />
GAUSS<br />
PENSE E RESPONDA 119<br />
AULA 7 – APLICAÇÕES DA LEI DE GAUSS 120<br />
A7.1 COMO USAR A LEI DE GAUSS 120<br />
A7.2 APLICAÇÕES DA LEI DE GAUSS 123<br />
A7.3 CARGAS E CAMPO ELÉTRICOS NA SUPERFÍCIE DE CONDUTORES 135<br />
PENSE E RESPONDA 143<br />
AULA 8 – APLICAÇÕES DA ELETROSTÁTICA 144<br />
A8.1 ATIVIDADES COM APLICAÇÕES DA ELETROSTÁTICA 144<br />
UNIDADE 4 – ENERGIA POTENCIAL ELÉTRICA E POTENCIAL ELÉTRICO 154<br />
AULA 9 – TRABALHO, ENERGIA POTENCIAL ELÉTRICA E POTENCIAL ELÉTRICO 156<br />
A9.1 TRABALHO E ENERGIA POTENCIAL ELÉTRICA 156<br />
A9.2 ENERGIA POTENCIAL ELÉTRICA DE DUAS CARGAS PONTUAIS 161<br />
A9.3 DIPOLO ELÉTRICO EM UM CAMPO ELÉTRICO 164<br />
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 168<br />
AULA 10 – POTENCIAL ELÉTRICO 170<br />
A10.1 O POTENCIAL ELÉTRICO 170<br />
A10.2 POTENCIAL ELÉTRICO DE UMA CARGA PUNTIFORME 171<br />
A10.3 POTENCIAL ELÉTRICO DE VÁRIAS CARGAS 171<br />
A10.4 SUPERFÍCIES EQUIPOTENCIAIS 176<br />
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 180<br />
AULA 11 – POTENCIAL ELÉTRICO DE DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGA<br />
ELÉTRICA<br />
A11.1 POTENCIAL ELÉTRICO DE DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGA 181<br />
A11.2 POTENCIAL ELÉTRICO DE DISTRIBUIÇÕES LINEARES DE CARGA 182<br />
A11.3 POTENCIAL ELÉTRICO DE DISTRIBUIÇÕES SUPERFICIAIS DE CARGA 186<br />
A11.4 POTENCIAL ELÉTRICO DE DISTRIBUIÇÕES VOLUMÉTRICAS DE CARGA 188<br />
PENSE E RESPONDA, EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 194<br />
AULA 12 – RELAÇÃO ENTRE CAMPO E POTENCIAL ELÉTRICO 196<br />
A12.1 OBTENDO O POTENCIAL A PARTIR DO CAMPO ELÉTRICO 196<br />
A12.2 OBTENDO O CAMPO ELÉTRICO A PARTIR DO POTENCIAL 199<br />
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 207<br />
UNIDADE 5 – CAPACITORES 208<br />
AULA 13 – CAPACITORES 210<br />
A13.1 CAPACITÂNCIA 210<br />
A13.2 CAPACITORES 210<br />
A13.3 ENERGIA EM UM CAPACITOR 217<br />
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 221<br />
AULA 14 – ASSOCIAÇÃO DE CAPACITORES 222<br />
A14.1 ASSOCIAÇÃO EM SÉRIE DE CAPACITORES 222<br />
A14.2 ASSOCIAÇÃO EM PARALELO DE CAPACITORES 224<br />
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 232<br />
AULA 15 – CAPACITORES COM DIELÉTRICOS 233<br />
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181
A15.1 INFLUÊNCIA DO DIELÉTRICO 233<br />
A15.2 RIGIDEZ DIELÉTRICA 238<br />
A15.3 A LEI DE GAUSS E OS DIELÉTRICOS 239<br />
PENSE E RESPONDA, EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 247<br />
AULA 16 – VETORES DESLOCAMENTO ELÉTRICO E POLARIZAÇÃO ELÉTRICA 249<br />
A16.1 OS VETORES POLARIZAÇÃO E DESLOCAMENTO ELÉTRICO 249<br />
PENSE E RESPONDA 254<br />
AULA 17 – TRABALHO E ENERGIA DE DISTRIBUIÇÕES DE CARGA 255<br />
A17.1 TRABALHO E ENERGIA DE UMA DISTRIBUIÇÃO DISCRETA DE CARGAS 255<br />
A17.2 TRABALHO E ENERGIA DE UMA DISTRIBUIÇÃO DISCRETA DE CARGAS 259<br />
A17.3 DENSIDADE DE ENERGIA 261<br />
A17.4 UMA APARENTE INCONSISTÊNCIA NA DESCRIÇÃO DA ENERGIA 263<br />
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO E PROBLEMAS DA UNIDADE 266<br />
UNIDADE 6 – FORÇA ELETROMOTRIZ, CORRENTE E RESISTÊNCIA 270<br />
AULA 18 – FORÇA ELETROMOTRIZ, CORRENTE E DENSIDADE DE CORRENTE 272<br />
A18.1 FORÇA ELETROMOTRIZ 272<br />
A18.2 GERADORES DE CORRENTE E FORÇA ELETROMOTRIZ 274<br />
A18.3 CORRENTE ELÉTRICA 279<br />
A18.4 DENSIDADE DE CORRENTE ELÉTRICA 284<br />
PENSE E RESPONDA E EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 289<br />
AULA 19 – RESISTÊNCIA ELÉTRICA E RESISTIVIDADE E LEI DE OHM 290<br />
A19.1 RESISTÊNCIA ELÉTRICA 290<br />
A19.2 LEI DE OHM 291<br />
A19.3 RESISTIVIDADE E CONDUTIVIDADE 295<br />
PENSE E RESPONDA E EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 297<br />
AULA 20 –RESISTIVIDADE DOS MATERIAIS E POTÊNCIA ELÉTRICA 300<br />
A20.1 RESISTIVIDADE E EFEITO DA TEMPERATURA 300<br />
A20.2 POTÊNCIA EM CIRCUITOS ELÉTRICOS 302<br />
PENSE E RESPONDA E EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 307<br />
AULA 21 – CONDUTORES, DIELÉTRICOS E SEMICONDUTORES 308<br />
A21.1 VISÃO MICROSCÓPICA DA CONDUÇÃO ELÉTRICA 308<br />
PENSE E RESPONDA E PROBLEMAS DA UNIDADE 312<br />
UNIDADE 7 – CIRCUITOS DE CORRENTE CONTÍNUA 314<br />
AULA 22 – LEIS DE KIRCHOFF 316<br />
A22.1 LEI DAS MALHAS 316<br />
A22.2 LEI DOS NÓS 319<br />
PENSE E RESPONDA E EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 330<br />
AULA 23 –CIRCUITOS DE MAIS DE UMA MALHA 332<br />
A23.1 CIRCUITOS ELÉTRICOS 332<br />
PENSE E RESPONDA E EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 338<br />
© Todos os direitos reservados. <strong>Departamento</strong> <strong>de</strong> Física - UFMG Página 6<br />
AULA 24 –APARELHOS DE MEDIDA I 340<br />
A24.1 GALVANÔMETRO 340<br />
A24.2 AMPERÍMETRO 343<br />
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 345<br />
AULA 25 – APARELHOS DE MEDIDA II 347<br />
A25.1 VOLTÍMETRO 347<br />
A25.2 OHMÍMETRO 348<br />
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 352<br />
AULA 26 – CIRCUITO RC 353<br />
A26.1 ANÁLISE DE UM CIRCUITO RC 353<br />
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO E PROBLEMAS DA UNIDADE 363<br />
UNIDADE 8 – CAMPO MAGNÉTICO 366<br />
AULA 27 CAMPO MAGNÉTICO E FORÇA MAGNÉTICA 368<br />
A27.1 UM POUCO DE HISTÓRIA 368<br />
A27.2 CAMPO MAGNÉTICO 369<br />
A27.3 INDUÇÃO MAGNÉTICA E FORÇA MAGNÉTICA 370<br />
A27.4 CONFINAMENTO DE PARTÍCULAS USANDO O CAMPO MAGNÉTICO 377<br />
A27.5 APLICAÇÕES TECNOLÓGICAS DO USO DE UM CAMPO MAGNÉTICO 379<br />
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 379<br />
AULA 28 FORÇA MAGNÉTICA SOBRE CORRENTE ELÉTRICA 389<br />
A28.1 FORÇA MAGNÉTICA SOBRE UM FIO CONDUZINDO CORRENTE ELÉTRICA 390<br />
A28.2 O EFEITO HALL 397<br />
A28.3 TORQUE EM CIRCUITOS ELÉTRICOS 400<br />
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO E PROBLEMAS DA UNIDADE 407<br />
UNIDADE 9 – FONTES DE CAMPO MAGNÉTICO E A LEI DE AMPÈRE 409<br />
AULA 29 A LEI DE BIOT-SAVART 411<br />
A29.1 A LEI DE BIOT-SAVART 411<br />
A29.2 FORÇA ENTRE FIOS PARALELOS 418<br />
A29.3 CAMPO MAGNÉTICO GERADO POR CARGA EM MOVIMENTO 419<br />
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 424<br />
AULA 30 CAMPO MAGNÉTICO EM SOLENÓIDES 426<br />
A30.1 CAMPO MAGNÉTICO GERADO POR UMA ESPIRA 426<br />
A30.2 DESCRIÇÃO DO CAMPO MAGNÉTICO GERADO POR UM SOLENÓIDE 436<br />
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO E PROBLEMAS DA UNIDADE 440<br />
AULA 31 LEI DE AMPÈRE 442<br />
A31.1 A LEI DE AMPÈRE<br />
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO E PROBLEMAS DA UNIDADE 457<br />
UNIDADE 10 – LEIS DE FARADAY E DE LENZ E A INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA 458<br />
AULA 32 LEI DE FARADAY E LEI DE LENZ 460<br />
A32.1 O FLUXO DA INDUÇÃO MAGNÉTICA 460<br />
A32.2 A LEI DE FARADAY 461<br />
A32.3 A LEI DE LENZ 464<br />
A32.4 ESTUDO QUANTITATIVO DA LEI DE FARADAY<br />
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A32.5 FORÇA ELETROMOTRIZ E CORRENTE INDUZIDA 478<br />
A32.6 GERADORES E MOTORES 481<br />
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 486<br />
AULA 33 CAMPO ELÉTRICO VARIÁVEL COM O TEMPO 488<br />
A33.1 O CAMPO ELÉTRICO INDUZIDO 488<br />
A33.2 CORRENTES DE FOUCAULT 495<br />
A33.3 A INDUÇÃO E O MOVIMENTO RELATIVO 496<br />
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO E PROBLEMAS DA UNIDADE 503<br />
UNIDADE 11 – INDUTÂNCIA 506<br />
AULA 34 INDUTORES E INDUTÂNCIA 508<br />
A34.1 INDUTORES E INDUTÂNCIA 508<br />
A34.2 DIFERENÇAS DE POTENCIAL E ENERGIA EM INDUTORES E DENSIDADE DE ENERGIA NO 512<br />
CAMPO MAGNÉTICO<br />
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 515<br />
AULA 35 ASSOCIAÇÃO DE INDUTORES, AUTO INDUTÂNCIA E INDUTÂNCIA<br />
MÚTUA<br />
A35.1 ASSOCIAÇÕES DE INDUTORES 516<br />
A35.2 CIRCUITO RL 518<br />
A35.3 AUTO INDUTÂNCIA E INDUTÂNCIA MÚTUA 522<br />
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO E PROBLEMAS DA UNIDADE 531<br />
UNIDADE 12 – OSCILAÇÕES ELETROMAGNÉTICAS E CIRCUITOS DE CORRENTE<br />
ALTERNADA<br />
AULA 36 OSCILAÇÕES EM CIRCUITOS ELÉTRICOS I 536<br />
A36.1 O CIRCUITO LC 536<br />
A36.2 ENERGIA NO CIRCUITO LC 544<br />
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 550<br />
516<br />
534<br />
UNIDADE 13 – EQUAÇÕES DE MAXWELL 606<br />
AULA 41 PROPRIEDADES MAGNÉTICAS DA MATÉRIA 608<br />
A41.1 MOMENTOS MAGNÉTICOS ATÔMICOS 608<br />
A41.2 VETORES MAGNETIZAÇÃO E INTENSIDADE DO CAMPO MAGNÉTICO 611<br />
A41.3 MATERIAIS MAGNÉTICOS 613<br />
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 623<br />
AULA 42 EQUAÇÕES DE MAXWELL 624<br />
A42.1 CONSERVAÇÃO DA CARGA ELÉTRICA 626<br />
A42.2 LEI DE AMPÈRE-MAXWELL 627<br />
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO<br />
AULA 43 FORMA DIFERENCIAL DAS EQUAÇÕES DE MAXWELL 634<br />
A43.1 FLUXO E DIVERGÊNCIA DE UM VETOR 634<br />
A43.2 ROTACIONAL E CIRCULAÇÃO DE UM VETOR 638<br />
A43.3 AS EQUAÇÕES DE MAXWELL NA FORMA DIFERENCIAL 640<br />
A43.4 DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA DE GAUSS E DO TEOREMA DE STOKES 643<br />
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO E PROBLEMAS DA UNIDADE 649<br />
APÊNDICES 650<br />
A DEFINIÇÕES DO SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES 651<br />
B CONSTANTES NUMÉRICAS 653<br />
C FATORES DE CONVERSÃO DE UNIDADES 655<br />
D RELAÇÕES MATEMÁTICAS 656<br />
E TABELA PERIÓDICA 660<br />
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 661<br />
AULA 37 OSCILAÇÕES EM CIRCUITOS ELÉTRICOS II 553<br />
A37.1 CIRCUITO RLC 553<br />
A37.2 ANALOGIA COM AS OSCILAÇÕES MECÂNICAS 560<br />
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 563<br />
AULA 38 CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA 565<br />
A38.1 FORÇA ELETROMOTRIZ E CORRENTES ALTERNADAS 565<br />
A38.2 OS MAIS SIMPLES CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA 566<br />
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 574<br />
AULA 39 CIRCUITO RLC COM GERADOR 576<br />
A39.1 O CIRCUITO RLC 576<br />
A39.2 FASORES 582<br />
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 587<br />
AULA 40 VALOR EFICAZ E TRANSFORMADORES 589<br />
A40.1 VALOR EFICAZ E FATOR DE POTÊNCIA 589<br />
A40.2 O TRANSFORMADOR 592<br />
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO E PROBLEMAS DA UNIDADE 603<br />
© Todos os direitos reservados. <strong>Departamento</strong> <strong>de</strong> Física - UFMG Página 8<br />
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Prefácio<br />
A elaboração <strong>de</strong>ste livro nasceu da necessida<strong>de</strong> <strong>de</strong> se produzir um material<br />
didático a<strong>de</strong>quado ao Ensino a Distância (EAD) das disciplinas <strong>de</strong> Física Básica na<br />
Universida<strong>de</strong> Fe<strong>de</strong>ral <strong>de</strong> Minas Gerais (UFMG). Ele foi construído a partir <strong>de</strong> um<br />
conjunto <strong>de</strong> textos que vêm sendo utilizados e aprimorados durante vários anos no<br />
projeto-piloto <strong>de</strong> EAD do <strong>Departamento</strong> <strong>de</strong> Física da UFMG.<br />
Acreditamos que para se fazer EAD não basta disponibilizar o material na<br />
internet, em um sítio muito colorido e com várias animações. É preciso que se tenha<br />
um material impresso <strong>de</strong> boa qualida<strong>de</strong>, com uma organização a<strong>de</strong>quada,<br />
concatenação e seqüência lógica das idéias, numa linguagem coerente e acessível ao<br />
estudante. Sem isso, é quase impossível apren<strong>de</strong>r física estudando <strong>de</strong> maneira<br />
autônoma.<br />
Durante o <strong>de</strong>senvolvimento das equações básicas todos os passos são mostrados, e a<br />
matemática é introduzida à medida que se faz necessária.<br />
O trabalho <strong>de</strong> elaboração, a<strong>de</strong>quação e preparação dos manuscritos e figuras<br />
que <strong>de</strong>ram origem a este livro é <strong>de</strong> responsabilida<strong>de</strong> dos autores da presente obra.<br />
Gran<strong>de</strong> parte <strong>de</strong>ste esforço contou com a colaboração imprescindível dos estudantes<br />
<strong>de</strong> Graduação e Pós-Graduação do DF/UFMG, em particular Ulisses Moreira, Alexandre<br />
Ferreira <strong>de</strong> Freitas Lages e Gustavo Henrique Reis <strong>de</strong> Araújo Lima. Um agra<strong>de</strong>cimento<br />
especial para Hugo José da Silva Barbosa que <strong>de</strong>senhou várias figuras do livro.<br />
Agra<strong>de</strong>cemos ainda o suporte <strong>de</strong> nossos familiares, dos vários colegas do DF/UFMG e<br />
da Editora UFMG.<br />
Os Autores<br />
Há ainda a necessida<strong>de</strong> <strong>de</strong> se fornecer acesso ao material didático in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nte<br />
da disponibilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> um computador, já que nem sempre o acesso aos recursos<br />
computacionais é possível. Mesmo quando há essa disponibilida<strong>de</strong>, é difícil apren<strong>de</strong>r<br />
física na frente do computador apenas lendo os textos durante horas e clicando nos<br />
links disponíveis.<br />
A utilização <strong>de</strong> um livro voltado para o ensino presencial requer um professor<br />
que pon<strong>de</strong>re a linguagem do material, acrescente toda a sua experiência, e mo<strong>de</strong>re o<br />
ritmo <strong>de</strong> estudo em sala <strong>de</strong> aula. Sem essa intervenção você não teria como saber, <strong>de</strong><br />
antemão, qual ritmo <strong>de</strong> estudos <strong>de</strong>veria seguir em cada capítulo ou seção do livro. Já<br />
no EAD, o livro <strong>de</strong>ve suprir a falta do professor, agindo como um roteiro <strong>de</strong> estudo.<br />
Para tanto, ele <strong>de</strong>ve ser dividido em aulas, que contenham uma maior sub-divisão do<br />
conteúdo. No fundo, uma tentativa <strong>de</strong> se colocar no papel o que o professor faria na<br />
sala <strong>de</strong> aula.<br />
Mas, lembre-se: esse livro não <strong>de</strong>ve ser a sua única referência bibliográfica. O<br />
material já consagrado no ensino presencial é uma fonte imprescindível para o<br />
completo aprendizado <strong>de</strong> física básica, mesmo porque, é inegável a forte influência<br />
<strong>de</strong>stes textos na estrutura e organização <strong>de</strong>sta obra.<br />
Os tópicos aqui apresentados seguem a forma histórica. A física mo<strong>de</strong>rna é<br />
introduzida ao longo do texto sempre que possível ou conveniente. O nível matemático<br />
leva em conta que o aluno já fez ou está fazendo um curso introdutório <strong>de</strong> cálculo.<br />
© Todos os direitos reservados. <strong>Departamento</strong> <strong>de</strong> Física - UFMG Página 10<br />
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Informações Gerais<br />
1. FUNDAMENTOS DE FÍSICA III NA MODALIDADE DE ENSINO A<br />
DISTÂNCIA<br />
Nesta disciplina as ativida<strong>de</strong>s são propostas em várias unida<strong>de</strong>s, divididas em<br />
aulas, conforme mostra a tabela abaixo. No início <strong>de</strong> toda aula você encontrará os<br />
objetivos. Eles querem dizer: “Ao final <strong>de</strong>sta aula você <strong>de</strong>verá ser capaz <strong>de</strong>...”.<br />
Certifique-se <strong>de</strong> ter atingido todos eles antes <strong>de</strong> passar para a próxima aula.<br />
importante resolver os problemas propostos. Neles você aplicará o que apren<strong>de</strong>u em<br />
situações mais elaboradas que exigirão uma estratégia a<strong>de</strong>quada para sua solução. Os<br />
itens “Pense e Responda”, propositalmente, não tem resposta. Eles têm a intenção <strong>de</strong><br />
fazer você pensar um pouco mais sobre o assunto.<br />
Lembre-se que o estudo autônomo exige maior perseverança e tanta <strong>de</strong>dicação<br />
quanto em um curso presencial. Siga o cronograma da forma mais fiel possível, para<br />
evitar atropelos. Não ler as aulas e não fazer as ativida<strong>de</strong>s propostas é enganar a si<br />
mesmo.<br />
Descubra seu ritmo <strong>de</strong> estudo e faça apenas o número <strong>de</strong> disciplinas que lhe<br />
permita ter bom rendimento. Lembre-se que a Universida<strong>de</strong> permite um tempo <strong>de</strong><br />
integralização curricular bem maior que os tradicionais quatro anos, caso seja<br />
necessário.<br />
As ativida<strong>de</strong>s ao longo do livro <strong>de</strong>vem ser resolvidas no espaço em branco<br />
disponível ao lado do texto. As soluções <strong>de</strong> quase todas as ativida<strong>de</strong>s propostas estão<br />
no final <strong>de</strong> cada aula. Evite pular diretamente para as soluções, ou estará fadado ao<br />
insucesso. Há também um conjunto <strong>de</strong> questões teóricas, uma lista <strong>de</strong> exercícios <strong>de</strong><br />
fixação e uma lista <strong>de</strong> problemas.<br />
UNIDADES<br />
1. Cargas Elétricas e Lei <strong>de</strong> Coulomb 8. Campo Magnético<br />
2. Campo Elétrico 9. Campo Magnético <strong>de</strong>vido à<br />
correntes e a Lei <strong>de</strong> Ampère<br />
3. Lei <strong>de</strong> Gauss e suas aplicações 10. Lei <strong>de</strong> Faraday e Lei <strong>de</strong> Lenz e<br />
a Indução Eletromagnética<br />
4. Energia Potencial Elétrica e<br />
Potencial Elétrico<br />
11. Indutância<br />
5. Capacitores 12. Oscilações Eletromagnéticas e<br />
Circuitos <strong>de</strong> Corrente Alternada<br />
6. Força Eletromotriz, Corrente e<br />
Resistência<br />
7. Circuitos <strong>de</strong> Corrente Contínua<br />
13. Equações <strong>de</strong> Maxwell<br />
Ao longo dos vários anos <strong>de</strong> prática <strong>de</strong> ensino, curiosamente, chegamos à três<br />
ensinamentos que sintetizam bem as situações vividas pela maioria dos professores e<br />
estudantes <strong>de</strong> física. São eles:<br />
1. Ninguém ensina o que não sabe;<br />
2. Só se apren<strong>de</strong> o que se quer;<br />
3. Roda <strong>de</strong> carro apertada é que canta.<br />
Sem saber o conteúdo não é possível ensinar a ninguém, no máximo, repassar<br />
o conhecimento. Depois, <strong>de</strong> nada adianta ter um ótimo professor se não houver<br />
interesse e vonta<strong>de</strong> <strong>de</strong> apren<strong>de</strong>r por parte do estudante. Por último, mas não menos<br />
importante, cada um sabe <strong>de</strong> seus problemas e <strong>de</strong> suas dificulda<strong>de</strong>s, mas não há<br />
conquistas sem esforço.<br />
Sucesso!!!<br />
Os exercícios <strong>de</strong> fixação são consi<strong>de</strong>rados apenas a primeira parte do<br />
aprendizado, pois, você <strong>de</strong>ve enten<strong>de</strong>r bem os conceitos e princípios básicos antes <strong>de</strong><br />
passar para a resolução dos problemas. Para obter sucesso nas avaliações é<br />
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UNIDADE 1<br />
CARGA ELÉTRICA E LEI DE COULOMB<br />
Nossa socieda<strong>de</strong> não vive hoje sem utilizar a energia elétrica e todos os<br />
dispositivos eletro-eletrônicos à sua disposição. É, portanto, crucial enten<strong>de</strong>r os<br />
fenômenos do eletromagnetismo em sua plenitu<strong>de</strong>. Para atingir esse objetivo<br />
começaremos revisando os aspectos históricos e os primeiros experimentos que<br />
levaram à <strong>de</strong>scoberta das cargas elétricas. Em particular, nesta primeira aula,<br />
serão discutidos os fenômenos <strong>de</strong> eletrização por atrito, contato e polarização e<br />
suas aplicações tecnológicas. Na segunda aula é discutida a Lei <strong>de</strong> Coulomb, que<br />
expressa a relação <strong>de</strong> força fundamental entre cargas elétricas. Pense nessa<br />
curiosida<strong>de</strong> para motivá-lo em seu estudo do eletromagnetismo que aqui se inicia:<br />
Se o espaço entre os átomos é essencialmente vazio porque então você não afunda<br />
através do chão?<br />
13<br />
14
AULA 1 : CARGAS ELÉTRICAS<br />
OBJETIVOS<br />
• DISCUTIR A NATUREZA DOS FENOMENOS ELÉTRICOS<br />
• DESCREVER OS VÁRIOS ASPECTOS DA CARGA ELÉTRICA, INCLUINDO SEU CARÁTER<br />
DISCRETO E QUANTIZADO<br />
• DESCREVER O FENÔMENO DE ELETRIZAÇÃO POR ATRITO, INDUÇÃO E POLARIZAÇÃO<br />
• RECONHECER A DIFERENÇA ENTRE ISOLANTES E CONDUTORES<br />
1.1 ELETRIZAÇÃO POR ATRITO<br />
Os primeiros registros dos quais se tem notícia, relacionados com<br />
fenômenos elétricos, foram feitos pelos gregos. O filósofo e matemático Thales <strong>de</strong><br />
Mileto (séc. VI a.C.) observou que um pedaço <strong>de</strong> âmbar (pedra amarelada gerada<br />
pela fossilização <strong>de</strong> folhas e seiva <strong>de</strong> árvores ao longo do tempo), após atritada<br />
com a pele <strong>de</strong> um animal, adquiria a proprieda<strong>de</strong> <strong>de</strong> atrair corpos leves como<br />
pedaços <strong>de</strong> palha e sementes <strong>de</strong> grama.<br />
Cerca <strong>de</strong> 2000 anos mais tar<strong>de</strong> o médico inglês William Gilbert (1544 --<br />
1603) fez observações sistemáticas <strong>de</strong> alguns fenômenos elétricos, que resultaram<br />
nas seguintes constatações:<br />
(a) vários outros corpos, ao serem atritados por contato com outros corpos,<br />
comportavam-se como o âmbar;<br />
(b) a atração exercida por eles se manifestava sobre qualquer outro corpo.<br />
Gilbert introduziu os termos "eletrizado", "eletrização" e "eletricida<strong>de</strong>",<br />
nomes <strong>de</strong>rivados da palavra grega para âmbar: elektron, visando <strong>de</strong>screver tais<br />
fenômenos.<br />
1.1.1 QUAL A NATUREZA DA ELETRICIDADE?<br />
O cientista francês François du Fay (1698--1739) procurou dar uma<br />
explicação à esse fenômeno da eletrização. Observando que um corpo era repelido<br />
após entrar em contato com um outro corpo eletrizado, concluiu que dois corpos<br />
eletrizados sempre se repelem. Entretanto esta idéia teve <strong>de</strong> ser modificada <strong>de</strong>vido<br />
à novas observações experimentais que a contradiziam. O próprio du Fay observou<br />
15<br />
que um pedaço <strong>de</strong> vidro atritado com seda atraía um pedaço <strong>de</strong> âmbar que tivesse<br />
sido previamente atritado com pele; isto é, a experiência mostrou que dois corpos<br />
eletrizados po<strong>de</strong>riam se atrair.<br />
Baseando-se num gran<strong>de</strong> número <strong>de</strong> experiências, lançou, então, em 1733,<br />
as bases <strong>de</strong> uma nova hipótese que teve gran<strong>de</strong> aceitação durante todo o século<br />
XVIII. Segundo ele, existiam dois tipos <strong>de</strong> eletricida<strong>de</strong>: eletricida<strong>de</strong> vítrea<br />
(aquela que aparece no vidro após ele ser atritado com seda) e eletricida<strong>de</strong><br />
resinosa (aquela que aparece no âmbar atritado com pele). Todos os corpos que<br />
possuíssem eletricida<strong>de</strong> <strong>de</strong> mesmo nome (vítrea ou resinosa) repeliriam-se uns aos<br />
outros. Por outro lado, corpos com eletricida<strong>de</strong> <strong>de</strong> nomes contrários, atrairiam-se<br />
mutuamente.<br />
Sua teoria ficou conhecida como a teoria dos dois fluidos elétricos (o<br />
vítreo e o resinoso), a i<strong>de</strong>ia sendo que em um corpo normal esses fluidos se<br />
apresentariam na mesma quantida<strong>de</strong>. Portanto, <strong>de</strong> acordo com essas i<strong>de</strong>ias, a<br />
eletricida<strong>de</strong> não era criada quando um corpo era atritado, os fluidos elétricos já<br />
existiam nos corpos e o que acontecia após os corpos serem atritados era uma<br />
redistribuição <strong>de</strong>stes fluidos.<br />
ATIVIDADE 1.1<br />
Você po<strong>de</strong> verificar as primeiras observações dos fenômenos elétricos com um<br />
pequeno e simples experimento. Corte pequenos pedaços <strong>de</strong> linha <strong>de</strong> costura, por<br />
exemplo, com aproximadamente 2 cm <strong>de</strong> comprimento. Alternativamente você<br />
Você po<strong>de</strong> também cortar um pedaço <strong>de</strong> papel em vários pedacinhos. Atrite bem a<br />
extremida<strong>de</strong> <strong>de</strong> uma caneta com um pedaço <strong>de</strong> flanela ou pano <strong>de</strong> algodão ou<br />
ainda outro material sintético como, por exemplo, o poliéster. Aproxime a<br />
extremida<strong>de</strong> que foi atritada da caneta <strong>de</strong>sses pedacinhos <strong>de</strong> linha (ou <strong>de</strong> papel).<br />
Descreva o que ocorre.<br />
Como frequentemente acontece em Física, apareceu uma outra explicação<br />
com base nos mesmos fenômenos. Vamos à segunda teoria: o cientista americano<br />
Benjamin Franklin (1701--1790), interessado no assunto, também realizou um<br />
gran<strong>de</strong> número <strong>de</strong> experimentos que contribuiram <strong>de</strong> forma <strong>de</strong>cisiva para a<br />
compreensão da natureza da eletricida<strong>de</strong>.<br />
Foram duas as suas contribuições fundamentais: primeiro formulou a<br />
hipótese <strong>de</strong> um fluido único. De acordo com sua teoria os corpos não eletrizados<br />
16
possuem uma quantida<strong>de</strong> natural <strong>de</strong> um certo fluido elétrico. Quando um corpo é<br />
atritado com outro, um <strong>de</strong>les per<strong>de</strong> parte do seu fluido, essa parte sendo<br />
transferida ao outro corpo. Franklin dizia que um corpo --- como o vidro --- que<br />
recebia o fluido elétrico ficava eletrizado positivamente e o que o perdia ---<br />
como o âmbar ---, ficava eletrizado negativamente. Essa terminologia é usada<br />
até hoje e correspon<strong>de</strong> aos termos eletricida<strong>de</strong> vítrea e resinosa <strong>de</strong> du Fay.<br />
A segunda gran<strong>de</strong> contribuição <strong>de</strong> Franklin foi a hipótese <strong>de</strong> que o fluido<br />
elétrico é conservado: ele já existe nos corpos e se redistribui quando os corpos são<br />
atritados.<br />
nêutrons situam-se no núcleo dos átomos, enquanto que os elétrons, ocupam uma<br />
região em torno <strong>de</strong>ste núcleo.<br />
A massa do elétron é 1836 vezes menor que a do próton, cuja massa é<br />
muito próxima da massa do nêutron, conforme mostra a Tabela 1.1.<br />
Tabela 1.1: Massa e carga elétrica do elétron, próton e nêutron.<br />
Partícula Massa (kg) Carga elétrica<br />
Elétron<br />
Próton<br />
9,109<br />
1,672<br />
−31<br />
× 10<br />
- e<br />
−27<br />
× 10<br />
+ e<br />
ATIVIDADE 1.2<br />
Nêutron<br />
1,675<br />
−27<br />
× 10<br />
0<br />
Duas folhas <strong>de</strong> um mesmo tipo <strong>de</strong> papel são atritadas entre si. Elas ficarão<br />
eletrizadas? Por quê?<br />
Saiba Mais<br />
Você consegue perceber como funcionou o "método científico" proposto por Galileu<br />
com relação a este fenômeno?<br />
O método é baseado na experiência. A partir <strong>de</strong>la é que se fazem hipóteses para<br />
explicar a experiência. O atrito entre dois corpos <strong>de</strong> materiais diferentes mostrou a<br />
existência <strong>de</strong> um fenômeno (o da eletrização) e o comportamento <strong>de</strong> materiais<br />
diferentes (atração e repulsão, <strong>de</strong> acordo com a natureza <strong>de</strong>les) com relação à<br />
eletrização. Além disso, a experiência mostra em quais condições físicas ocorre o<br />
fenômeno estudado, o que nos permite saber mais sobre a natureza <strong>de</strong>le.<br />
Os prótons e os elétrons apresentam proprieda<strong>de</strong>s elétricas e a essas<br />
proprieda<strong>de</strong>s associamos uma gran<strong>de</strong>za fundamental, que <strong>de</strong>nominamos carga<br />
elétrica. A cargas das partículas está indicada na Tabela 1.1.<br />
1.2 CARGAS ELÉTRICAS<br />
O conceito <strong>de</strong> carga elétrica é, na realida<strong>de</strong>, um conceito tão básico e<br />
fundamental que, no atual nível <strong>de</strong> nosso conhecimento, não po<strong>de</strong> ser reduzido a<br />
nenhum outro conceito mais simples e mais elementar.<br />
A carga elétrica é a gran<strong>de</strong>za física que <strong>de</strong>termina a intensida<strong>de</strong> das<br />
interações eletromagnéticas, da mesma forma que a massa <strong>de</strong>termina a<br />
intensida<strong>de</strong> das forças gravitacionais.<br />
1.2.1 ASPECTOS FENOMENOLÓGICOS E ORDENS DE GRANDEZA<br />
Como <strong>de</strong>cidir entre as duas teorias? Essa é também uma situação muito<br />
frequente na Física. Na época, com os dados disponíveis não era possível distinguir<br />
entre as duas. Qual foi então o ingrediente novo que resolveu a dúvida? Foi o<br />
estabelecimento da teoria atômica da matéria, em bases razoavelmente firmes, no<br />
primeiro quarto do século XX.<br />
A teoria atômica trouxe uma nova perspectiva para explicar os fenômenos<br />
<strong>de</strong> eletrização. De acordo com ela, todos os corpos (sejam eles sólidos, líquidos ou<br />
gasosos) são formados por átomos. Estes, por sua vez, são constituídos por três<br />
partículas elementares: os prótons, os nêutrons e os elétrons. Os prótons e os<br />
resumiam:<br />
O estudo dos fenômenos elétricos levou a algumas leis empíricas que os<br />
1) Existem dois tipos <strong>de</strong> cargas elétricas: positivas e negativas. As<br />
cargas elétricas <strong>de</strong> mesmo sinal se repelem, as <strong>de</strong> sinais contrários se<br />
atraem.<br />
por<br />
Atribuímos à carga do elétron o nome <strong>de</strong> carga negativa e a representamos<br />
− e . Já a carga do próton é <strong>de</strong>nominada carga positiva, sendo <strong>de</strong>scrita por<br />
+ e , ver Tabela 1.1. O nome positivo ou negativo é apenas uma convenção para<br />
17<br />
18
indicar o comportamento do corpo ao ser eletrizado, como foi sugerido por<br />
Benjamin Franklin.<br />
O núcleo do átomo tem carga positiva e representa o número <strong>de</strong> prótons<br />
nele existente. Em um átomo neutro, a quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong> prótons e elétrons são<br />
iguais. Da igualda<strong>de</strong> numérica entre prótons e elétrons, <strong>de</strong>corre que a carga<br />
elétrica total do átomo em seu estado natural é nula (o átomo em seu estado<br />
natural é neutro).<br />
A transferência <strong>de</strong> elétrons <strong>de</strong> um corpo para outro explica o aparecimento<br />
<strong>de</strong> carga elétrica em corpos <strong>de</strong>pois <strong>de</strong> serem atritados. Quando dois corpos são<br />
atritados, um <strong>de</strong>les per<strong>de</strong> elétrons para o outro; o primeiro torna-se, então,<br />
eletricamente positivo, enquanto que o outro, torna-se eletricamente negativo. A<br />
experiência mostra que a capacida<strong>de</strong> <strong>de</strong> ganhar ou <strong>de</strong> per<strong>de</strong>r elétrons <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> da<br />
natureza dos materiais.<br />
2) Carga elementar : existe uma carga mínima. Até hoje nunca foi<br />
observado experimentalmente um corpo que tenha carga elétrica menor<br />
que a do elétron, representada por e . Somente foram observados corpos<br />
com cargas que são múltiplos inteiros <strong>de</strong> e .<br />
O caráter discreto da carga elétrica se manifesta principalmente em<br />
sistemas cuja carga total correspon<strong>de</strong> a poucas unida<strong>de</strong>s da carga elementar. O<br />
fato <strong>de</strong> nenhum experimento ter revelado a existência <strong>de</strong> um corpo que tenha<br />
carga elétrica menor que a <strong>de</strong> um elétron, permite dizer que a carga elétrica é<br />
quantizada, isto é, existe em quanta (quantum, em grego, significa pedaço).<br />
Por isso, no eletromagnetismo clássico, é difícil perceber este aspecto da carga<br />
elementar. Mas é fácil enten<strong>de</strong>r porque. A resposta tem a ver com outro aspecto<br />
fundamental da compreensão dos fenômenos físicos: as or<strong>de</strong>ns <strong>de</strong> gran<strong>de</strong>za.<br />
existência do elétron. Somente no século XX, com a <strong>de</strong>scoberta <strong>de</strong>ssa partícula<br />
elementar e a medida <strong>de</strong> sua carga, é que foi possível calcular a equivalência entre<br />
a carga do elétron e e o Coulomb, C .<br />
18<br />
Um Coulomb correspon<strong>de</strong> a 6 ,25× 10 elétrons em excesso (se a carga for<br />
negativa) ou em falta (se for positiva). Na eletrostática geralmente lidamos com<br />
cargas elétricas muito menores do que um Coulomb. Vamos ver com frequência as<br />
−<br />
unida<strong>de</strong>s milicoulomb -- mC(10 3 C)<br />
-- ou o microcoulomb -- µ C(10 −6<br />
C)<br />
. Mesmo<br />
assim elas ainda representam um número enorme <strong>de</strong> cargas elementares. A carga<br />
do elétron, medida em Coulomb, é:<br />
−19<br />
e = 1,60× 10 C .<br />
EXEMPLO 1.1<br />
Quantos elétrons há em uma gota <strong>de</strong> água <strong>de</strong> massa 0,03g?<br />
Solução:<br />
Uma molécula <strong>de</strong> água ( H<br />
20)<br />
tem uma massa<br />
elétrons. Uma gota <strong>de</strong> água contém n = m/<br />
m moléculas, ou:<br />
Logo, a gota terá<br />
22<br />
10 elétrons.<br />
n =<br />
m<br />
m<br />
o<br />
o<br />
21<br />
= 10<br />
moléculas<br />
1.2.2 CONSERVAÇÃO E QUANTIZAÇÃO DA CARGA ELÉTRICA<br />
−23<br />
mo<br />
= 3×<br />
10 g e contém 10<br />
Se um corpo está carregado eletricamente, positiva ou negativamente, o<br />
valor <strong>de</strong> sua carga Q será um múltiplo inteiro da carga <strong>de</strong> um elétron<br />
Q = n e,<br />
n = 0 , ± 1, ± 2, ± 3 ...<br />
Por isso faz sentido tratar distribuições <strong>de</strong> cargas macroscópicas como se fossem<br />
contínuas, como faremos nas aulas seguintes. Vamos firmar esse idéia com um<br />
exemplo.<br />
Os átomos que constituem os corpos são normalmente neutros, ou seja, o<br />
número <strong>de</strong> cargas positivas é igual ao número <strong>de</strong> cargas negativas. Entretanto, por<br />
algum processo, os corpos po<strong>de</strong>m adquirir ou per<strong>de</strong>r carga elétrica, como por<br />
exemplo, atritando um bastão <strong>de</strong> plástico com um pedaço <strong>de</strong> flanela. Entretanto,<br />
quando ocorre uma interação elétrica entre dois corpos, a carga total <strong>de</strong>les se<br />
mantém constante. Além disso, em todos os casos, a carga elétrica <strong>de</strong> um<br />
sistema isolado é sempre constante.<br />
No Sistema Internacional (SI) a unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> carga eletrica é 1<br />
Coulomb. Quando essa unida<strong>de</strong> foi <strong>de</strong>finida, no século XVIII, não se conhecia a<br />
19<br />
Se o bastão ficar carregado positivamente é porque ele per<strong>de</strong>u elétrons.<br />
Para que isso ocorra, a flanela <strong>de</strong>ve ter recebido os elétrons do bastão. Observe<br />
20
então que houve apenas uma transferência <strong>de</strong> cargas elétricas <strong>de</strong> um corpo para o<br />
outro. Nenhuma carga foi criada ou <strong>de</strong>struída. Esse fato é conhecido como o<br />
Principio da Conservação da Carga Elétrica.<br />
Corpos líquidos e gasosos também po<strong>de</strong>m ser eletrizados por atrito: a<br />
eletrização das nuvens <strong>de</strong> chuva se dá pelo atrito entre as gotículas do ar e da<br />
água, na nuvem.<br />
Saiba Mais<br />
Os prótons e os nêutrons são fortemente ligados entre si por uma força<br />
<strong>de</strong>nominada força nuclear forte, que é muito intensa mas que age apenas em uma<br />
região do espaço da or<strong>de</strong>m do tamanho do núcleo. Ela não afeta os elétrons, que se<br />
mantêm presos ao átomo <strong>de</strong>vido à uma força <strong>de</strong>nominada força elétrica.<br />
Os prótons e nêutrons são compostos por partículas ainda menores,<br />
<strong>de</strong>nominadas quarks. Os quarks foram previstos pelo físico teórico Murray Gell-<br />
Mann em 1963 e <strong>de</strong>tectados mais tar<strong>de</strong> (em 1973) por bombar<strong>de</strong>amento do núcleo<br />
<strong>de</strong> átomos com feixes <strong>de</strong> elétrons altamente energéticos.<br />
Tanto prótons quanto nêutrons são formados por três quarks <strong>de</strong> dois tipos:<br />
up e down. Um próton é formado por dois quarks do tipo up e um do tipo down.<br />
Um nêutron é formado por um quark do tipo up e dois do tipo down. Vale a pena<br />
ressaltar que nenhum quark livre ‘foi observado até hoje.<br />
1.3 ISOLANTES, CONDUTORES E A LOCALIZAÇÃO DA CARGA<br />
ELÉTRICA<br />
Na Natureza encontramos dois <strong>de</strong> tipos <strong>de</strong> material que se comportam <strong>de</strong><br />
modo diferente com relação à eletricida<strong>de</strong>: os condutores e os isolantes.<br />
A principal questão envolvida na <strong>de</strong>finição do que é um material condutor ou<br />
isolante tem muito a ver com a estrutura microscópica do material. No caso dos<br />
condutores metálicos, por exemplo, os materiais são formados por uma estrutura<br />
mais ou menos rígida <strong>de</strong> íons positivos, embebido num gás <strong>de</strong> elétrons, como<br />
ilustra a figura 1.1. Esses elétrons, por não estarem presos a átomos <strong>de</strong>terminados,<br />
têm liberda<strong>de</strong> <strong>de</strong> movimento, e o transporte <strong>de</strong>les <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> um metal ocorre com<br />
relativa facilida<strong>de</strong>.<br />
Com a teoria atômica, a eletrização por contato pô<strong>de</strong> ser explicada como<br />
será discutido nas próximas aulas. Entretanto, uma <strong>de</strong>scrição teórica precisa da<br />
eletrização por atrito em termos microscópicos é muito difícil. Costuma-se<br />
colecionar os resultados experimentais e compilá-los em tabelas. Por exemplo,<br />
po<strong>de</strong>mos colocar corpos em uma lista tal que atritando um corpo com outro da<br />
lista, fica carregado positivamente aquele que aparece antes nessa lista. Uma lista<br />
<strong>de</strong>sse tipo ficaria:<br />
- Pêlo <strong>de</strong> gato, vidro, marfim, seda, cristal <strong>de</strong> rocha, mão, ma<strong>de</strong>ira, enxofre,<br />
flanela, algodão, gomalaca, borracha, resinas, metais...<br />
ATIVIDADE 1.3<br />
Figura 1.1: Representação esquemática <strong>de</strong> um condutor.<br />
Ao contrário dos condutores, existem sólidos nos quais os eletrons estão<br />
firmemente ligados aos respectivos átomos e os elétrons não são livres, isto é, não<br />
têm mobilida<strong>de</strong>, como no caso dos condutores. A figura 1.2 representa um esboço<br />
<strong>de</strong> um isolante. Nestes materiais, chamados <strong>de</strong> dielétricos ou isolantes, não será<br />
possível o <strong>de</strong>slocamento da carga elétrica. Exemplos importantes <strong>de</strong> isolantes são:<br />
a borracha, o vidro, a ma<strong>de</strong>ira, o plástico, o papel.<br />
Quando se atrita enxofre com algodão, que carga terá cada material?<br />
Além da eletrização por atrito existem diversos métodos para eletrizar<br />
corpos materiais: por incidência <strong>de</strong> luz em metais, por bombar<strong>de</strong>amento <strong>de</strong><br />
substâncias, por radiação nuclear e outros<br />
Figura 1.2: Representação esquemática <strong>de</strong> um isolante.<br />
21<br />
22
As condições ambientais também po<strong>de</strong>m influir na capacida<strong>de</strong> <strong>de</strong> uma<br />
substância conduzir ou isolar eletricida<strong>de</strong>. De maneira geral, em climas úmidos, um<br />
corpo eletrizado, mesmo apoiado por isolantes, acaba se <strong>de</strong>scarregando <strong>de</strong>pois <strong>de</strong><br />
um certo tempo. Embora o ar atmosférico seja isolante, a presença <strong>de</strong> umida<strong>de</strong> faz<br />
com que ele se torne condutor. Além disto, temos também a influência da<br />
temperatura. O aumento da temperatura <strong>de</strong> um corpo metálico correspon<strong>de</strong> ao<br />
aumento da velocida<strong>de</strong> média dos íons e elétrons que os constituem, tornando mais<br />
difícil o movimento <strong>de</strong> elétrons no seu interior.<br />
Com relação aos isolantes, a umida<strong>de</strong> e condições <strong>de</strong> "pureza" <strong>de</strong> sua<br />
superfície (se existem corpúsculos estranhos ao material que a<strong>de</strong>riram a ela) são<br />
fatores importantes. A razão disto é que a umida<strong>de</strong> po<strong>de</strong> dissolver sais existentes<br />
na superfície do corpo recobrindo-o com uma solução salina, boa condutora <strong>de</strong><br />
eletricida<strong>de</strong>.<br />
ATIVIDADE 1.4<br />
Metais como o alumínio e o cobre, <strong>de</strong> modo geral, são bons condutores <strong>de</strong><br />
eletricida<strong>de</strong> e também são bons condutores <strong>de</strong> calor. Você acha que existe alguma<br />
relação entre as condutivida<strong>de</strong>s elétricas e térmicas <strong>de</strong>sses materiais? Por quê?<br />
EXEMPLO 1.2<br />
A figura 1.3 mostra um aparato simples que po<strong>de</strong> ser reproduzido em casa.<br />
lata. As linhas <strong>de</strong>vem estar em contato com a lata. Coloque a lata sobre um tecido<br />
ou um pedaço <strong>de</strong> isopor. Atrite o tubo da caneta <strong>de</strong> plástico com o pano e toque a<br />
superfície da lata.<br />
a) Descreva o que foi observado com as linhas que estão nas superfícies<br />
interna e externa da lata quando você a toca com o tubo eletrizado.<br />
b) Crie hipóteses para explicar o que ocorre e discuta com os seus colegas.<br />
c) O comportamento observado <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> do sinal da carga da caneta?<br />
Resolução<br />
a) Quando a caneta é atritada com o pano ela fica carregada eletricamente. A<br />
caneta recebe ou ce<strong>de</strong> elétrons para o pano. Colocando-a em contato com a<br />
lata apenas as linhas que estão na superfície externa se elevam. Nada<br />
acontece com as linhas que estão no interior da lata.<br />
b) A lata <strong>de</strong> refrigerante é feita com alumínio que é um material <strong>de</strong> boa<br />
condutivida<strong>de</strong> elétrica. Quando você toca a sua superfície com a caneta<br />
carregada haverá movimento <strong>de</strong> elétrons da lata para a caneta ou da caneta<br />
para a lata, <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ndo do sinal da carga elétrica do tubo da caneta. Isso<br />
significa que a lata também ficará carregada eletricamente, ou seja, ela<br />
ficará com falta (ou excesso) <strong>de</strong> elétrons. As cargas em excesso se<br />
movimentam sobre toda a lata. As linhas que estão em contato com a lata<br />
também recebem parte <strong>de</strong>ssa carga elétrica em excesso e por isso se<br />
repelem (Figura 1.3b). O fato que apenas linhas que estão na superfície<br />
externa se repelem evi<strong>de</strong>ncia que a carga elétrica em excesso <strong>de</strong> um<br />
condutor se distribui apenas sobre a sua superfície externa. Não há cargas<br />
elétricas em excesso no interior <strong>de</strong> um condutor.<br />
Materiais Utilizados:<br />
• Latinha <strong>de</strong> refrigerante<br />
• Pequenos pedaços (<strong>de</strong> 5 a 10 centímetros<br />
aproximadamente) <strong>de</strong> linha <strong>de</strong> costura ou<br />
similar<br />
• Um tubo <strong>de</strong> caneta <strong>de</strong> plástico.<br />
• Pano <strong>de</strong> algodão ou <strong>de</strong> material sintético<br />
como o poliéster (preferível)<br />
Figura 1.3a Latinha com<br />
• Fita a<strong>de</strong>siva<br />
linhas <strong>de</strong> costura<br />
Fixe os pedaços <strong>de</strong> linha, com fita a<strong>de</strong>siva, nas superfícies interna e externa da<br />
Figura 1.3b Linhas <strong>de</strong> costuram se repelem<br />
c) As linhas que estão na superfície externa da lata irão se repelir<br />
in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nte do sinal da carga da caneta. Se o tubo da caneta estiver<br />
carregado positivamente, elétrons da lata (inicialmente neutra) migrarão<br />
para a caneta <strong>de</strong> modo que a lata ficará carregada positivamente. Caso a<br />
caneta esteja carregada negativamente, quando ela toca a lata, parte <strong>de</strong><br />
23<br />
24
seus elétrons em excesso migrarão para a lata <strong>de</strong>ixando-a carregada<br />
negativamente. Também, nesse caso, as linhas que estão na superfície<br />
externa da lata irão se repelir.<br />
ATIVIDADE EXPERIMENTAL<br />
Tente reproduzir em casa o exemplo discutido acima. Deu certo? Se não, faça<br />
hipóteses para explicar o que po<strong>de</strong> estar ocorrendo e discuta com seus colegas.<br />
1.3.1 DISTRIBUIÇÃO DE CARGAS ELÉTRICAS ADICIONADAS A ISOLANTES<br />
OU CONDUTORES<br />
É um fato experimental que quando adicionamos carga a um<br />
condutor, ela se distribui integralmente sobre a sua superfície externa. A<br />
razão disto é que cargas <strong>de</strong> mesmo sinal se repelem e cada carga ten<strong>de</strong> a<br />
ficar o mais longe possível das outras. Então, mesmo que as cargas sejam<br />
colocadas <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> um condutor maciço ou oco, elas ten<strong>de</strong>rão a migrar<br />
para a superfície externa.<br />
ATIVIDADE 1.5<br />
a) Suponha que uma esfera metálica esteja inicialmente neutra e você a toque<br />
com uma régua carregada negativamente em <strong>de</strong>terminado ponto. Dê<br />
argumentos para explicar por que, <strong>de</strong>pois <strong>de</strong> certo tempo, a carga elétrica<br />
se distribuirá uniformemente sobre a superfície da esfera.<br />
b) Consi<strong>de</strong>re um material condutor que tenha uma superfície pontiaguda como,<br />
por exemplo, um para-raio. Em um material <strong>de</strong>sse tipo a carga elétrica se<br />
distribuirá <strong>de</strong> maneira uniforme? Crie hipóteses e discuta com seus colegas.<br />
Atrite bem uma caneta com um pano e aproxime-o <strong>de</strong> um filete estreito <strong>de</strong><br />
água da torneira. A água é eletricamente neutra.<br />
a) Explique o fenômeno observado.<br />
b) O que foi observado <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> do sinal da carga da caneta? Explique.<br />
No caso dos dielétricos, cargas po<strong>de</strong>m existir em qualquer ponto do<br />
material, tanto no interior como na superfície. A concentração <strong>de</strong> cargas em um<br />
dielétrico é mais difícil <strong>de</strong> ser medida, e po<strong>de</strong> ser inferida a partir <strong>de</strong> certas técnicas<br />
que serão vistas mais adiante.<br />
ATIVIDADE 1.7<br />
Retire 4 pedaços <strong>de</strong> fita a<strong>de</strong>siva (2 pedaços <strong>de</strong> cada vez) e em seguida junte dois<br />
pedaços (<strong>de</strong> aproximadamente 10 cm) lado a lado da seguinte maneira:<br />
a) lado com cola/lado sem cola. b) lado com cola/lado com cola.<br />
Depois <strong>de</strong> juntos, separe-os, aproxime-os e observe o que ocorre. Peça a ajuda <strong>de</strong><br />
um colega se tiver dificulda<strong>de</strong>s para unir ou separar os pedaços. Explique o que foi<br />
observado.<br />
1.4 ELETRIZAÇÃO POR INDUÇÃO E POLARIZAÇÃO<br />
Quando aproximamos um bastão <strong>de</strong> vidro, atritado com seda, <strong>de</strong> um<br />
condutor neutro, provoca-se uma separação das cargas do corpo, embora o<br />
condutor como um todo continue eletricamente neutro, como mostra a figura 1.4a.<br />
Esta separação <strong>de</strong> cargas é <strong>de</strong>nominada indução eletrostática.<br />
Outro fato experimental é que a quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong> carga por unida<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
área na superfície <strong>de</strong> um condutor em equilíbrio eletrostático não é, em<br />
geral, uniforme. Verifica-se que, on<strong>de</strong> o raio <strong>de</strong> curvatura do condutor é<br />
menor, ou seja, on<strong>de</strong> ele é mais pontudo, há maior concentração <strong>de</strong><br />
cargas. Em contrapartida, quanto maior o raio <strong>de</strong> curvatura, menor a<br />
concentração <strong>de</strong> cargas.<br />
ATIVIDADE 1.6<br />
Figura 1.4: (a) corpo carregado próximo a um condutor, (b) condutor ligado à<br />
Terra e (c) condutor eletrizado.<br />
25<br />
26
Ao contrário da eletrização por atrito, a eletrização por indução ocorre sem<br />
haver contato entre os corpos, por isso, é uma ação a (curta) distância.<br />
É possível eletrizar um material condutor por indução: basta conectar o<br />
condutor na figura 1.4b (em presença do bastão), por meio <strong>de</strong> um fio metálico, à<br />
Terra. Essa ligação fará com que os elétrons livres passem do condutor à Terra,<br />
<strong>de</strong>ixando o condutor carregado.<br />
Figura 1.6: Dielétrico polarizado.<br />
Esse efeito é <strong>de</strong>nominado polarização. Ele faz aparecer cargas elétricas <strong>de</strong><br />
sinais contrários nas extremida<strong>de</strong>s do dielétrico, como no caso mostrado na figura<br />
1.7.<br />
Se o bastão for mantido próximo ao condutor, a distribuição <strong>de</strong> cargas é<br />
como na figura 1.4b. Se for retirado, as cargas se redistribuem mais<br />
uniformemente, <strong>de</strong> maneira a minimizar a repulsão entre elas, como ilustra a figura<br />
1.4c.<br />
Nos isolantes, observamos uma separação <strong>de</strong> cargas análoga à dos<br />
condutores, embora não seja possível carregá-los pelo mecanismo acima.<br />
Os dielétricos são constituídos por moléculas cuja distribuição interna <strong>de</strong><br />
cargas po<strong>de</strong> ser <strong>de</strong> dois tipos: o centro das cargas positivas e negativas<br />
coinci<strong>de</strong>m (moléculas apolares) ou não (moléculas polares). A água é um<br />
exemplo bem conhecido <strong>de</strong>ste último tipo. Se um dielétrico polar não estiver<br />
eletrizado, as moléculas estarão distribuídas ao acaso como mostra a figura 1.5.<br />
Figura 1.7: Cargas contrárias nas extremida<strong>de</strong>s do dielétrico.<br />
Se as moléculas forem apolares, elas inicialmente polarizar-se-ão <strong>de</strong><br />
maneira análoga àquela em que houvesse indução eletrostática enquanto o corpo<br />
carregado estiver próximo do dielétrico. Quando o corpo for afastado, o dielétrico<br />
voltará a ser neutro.<br />
1.5 ELETROSCÓPIOS<br />
Um eletroscópio é um dispositivo que nos permite verificar se um corpo está<br />
eletrizado. Um tipo comum <strong>de</strong> eletroscópio é o eletroscópio <strong>de</strong> folhas. Ele consiste<br />
em uma haste condutora tendo em sua extremida<strong>de</strong> superior uma esfera metálica e<br />
na extremida<strong>de</strong> inferior, duas folhas metálicas leves, sustentadas <strong>de</strong> modo que<br />
possam se abrir e se fechar livremente, como po<strong>de</strong> ser visto na figura 1.8.<br />
Figura 1.5: Dielétrico não polarizado.<br />
Ao aproximarmos <strong>de</strong>sse dielétrico um corpo carregado, ocorrerá um<br />
alinhamento nas moléculas do isolante, como ilustrado na figura 1.6.<br />
Figura 1.8: Eletroscópio <strong>de</strong> folhas.<br />
Se um corpo eletrizado positivamente for aproximado do eletroscópio (sem<br />
tocá-lo), vai haver indução eletrostática e os elétrons livres serão atraídos para a<br />
27<br />
28
esfera. Dado que a carga total é conservada, um excesso <strong>de</strong> cargas positivas vai<br />
aparecer nas folhas, que ten<strong>de</strong>rão a se repelir. Por isso, as duas folhas ten<strong>de</strong>rão a<br />
se separar.<br />
O que aconteceria se o corpo que se aproxima do eletroscópio estivesse<br />
eletrizado negativamente? É fácil chegar à conclusão <strong>de</strong> que aconteceria<br />
exatamente a mesma coisa, porém as cargas negativas se localizariam nas folhas e<br />
as cargas positivas na esfera.<br />
Um resultado importante <strong>de</strong>sses fatos é que em ambos os casos ocorre a<br />
abertura das folhas. Então não é possível <strong>de</strong>terminar o sinal da carga do corpo<br />
carregado que se aproximou, apenas se ele está ou não carregado.<br />
Suponhamos um eletroscópio carregado positivamente, como na figura 1.9.<br />
Se aproximarmos um corpo eletrizado <strong>de</strong>sse sistema, observamos que as folhas do<br />
eletroscópio, que estavam abertas, se aproximam ou se afastam. De fato, se o<br />
objeto estiver carregado negativamente, elétrons livres da esfera serão repelidos e<br />
se <strong>de</strong>slocarão para as folhas. Esses elétrons neutralizarão parte da carga positiva aí<br />
existente e por isso o afastamento entre as folhas diminui. Analogamente, po<strong>de</strong>mos<br />
concluir que, se o afastamento das folhas for aumentado pela aproximação do<br />
corpo, o sinal da carga nesse corpo será positivo.<br />
Figura 1.10: Esfera metálica montada sobre um suporte <strong>de</strong> material isolante.<br />
a) Como é possível carregá-las com cargas <strong>de</strong> sinal contrário utilizando um<br />
bastão <strong>de</strong> vidro atritado com seda?<br />
b) Se uma das esferas fosse maior, elas ficariam com a mesma quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
carga após o processo escolhido por você no item a?<br />
Solução<br />
Em primeiro lugar, do que vimos da eletrização por atrito, sabemos que um<br />
bastão <strong>de</strong> vidro atritado com seda vai ficar carregado positivamente. Se<br />
aproximarmos esse bastão <strong>de</strong> uma das esferas condutoras, teremos a situação da<br />
figura 1.4a.<br />
Não po<strong>de</strong>mos tocar as esferas com o bastão. Mas, que tal aproximarmos as<br />
esferas até que elas se toquem?<br />
Elétrons da esfera à esquerda vão migrar para a esfera da direita, figura<br />
1.11a, anulando as cargas positivas. Haverá, então, um excesso <strong>de</strong> cargas positivas<br />
na esfera da esquerda.<br />
Afastando-se as esferas e também o bastão, a esfera da direita estará<br />
carregada negativamente e a da esquerda, positivamente. A situação final está<br />
esquematizada na figura 1.11b. Fica claro que o tamanho das esferas não tem<br />
papel algum no processo.<br />
Figura 1.9: Eletroscópio <strong>de</strong> folhas carregado positivamente.<br />
EXEMPLO 1.3<br />
Consi<strong>de</strong>re duas esferas metálicas como as da figura 1.10.<br />
Figura 1.11: (a) transferência <strong>de</strong> elétrons entre as duas esferas e (b) configuração<br />
final <strong>de</strong> cargas.<br />
29<br />
30
ATIVIDADE 1.8<br />
Consi<strong>de</strong>re novamente as duas esferas metálicas da figura 1.11. Determine uma<br />
maneira <strong>de</strong> carregá-las eletricamente, com cargas elétricas <strong>de</strong> mesmo sinal,<br />
utilizando um bastão carregado.<br />
ATIVIDADE 1.9<br />
ATIVIDADE 1.11<br />
(a) Os caminhões transportadores <strong>de</strong> combustível costumam andar com uma<br />
corrente metálica que arrasta no chão. Explique.<br />
(b) Porque os materiais usados nas indústrias <strong>de</strong> tecido e papel precisam ficar<br />
em ambientes ume<strong>de</strong>cidos?<br />
O fato <strong>de</strong> que não é possível <strong>de</strong>terminar o sinal da carga nessas condições não<br />
significa que não seja possível fazer isso modificando o experimento. Qual seria<br />
essa modificação? Pense um pouco antes <strong>de</strong> consultar a resposta!<br />
ATIVIDADE 1.10<br />
Sabe-se que o corpo humano é capaz <strong>de</strong> conduzir eletricida<strong>de</strong>. Explique então<br />
porque uma pessoa segurando uma barra metálica em suas mãos não consegue<br />
eletrizá-la por atrito?<br />
EXEMPLO 1.4<br />
Um ônibus em movimento adquire carga eletrica em virtu<strong>de</strong> do atrito com o ar.<br />
a) Se o clima estiver seco, o ônibus permanecerá eletrizado? Explique.<br />
b) Ao segurar nesse ônibus para subir, uma pessoa tomará um choque.<br />
Por quê?<br />
c) Esse fato não é comum no Brasil. Por quê?<br />
1.6 APLICAÇÃO TECNOLÓGICA DO FENÔMENO ELETRIZAÇÃO<br />
A eletrização <strong>de</strong> corpos por atrito é utilizado nos dispositivos <strong>de</strong> obtenção <strong>de</strong><br />
fotocópias (xerox, etc). Por exemplo, o pó negro resinoso é misturado com<br />
minúsculas esferas <strong>de</strong> vidro. Durante esse processo, as esferas adquirem cargas<br />
positivas e os grãos <strong>de</strong> pó, cargas negativas. Devido à força <strong>de</strong> atração, os grãos <strong>de</strong><br />
pó cobrem a superfície das esferas, formando um camada fina.<br />
O texto ou <strong>de</strong>senho a ser copiado é projetado sobre uma placa fina <strong>de</strong><br />
selênio, cuja superfície está carregada positivamente. Essa placa dispõe-se sobre<br />
uma superfície metálica carregada negativamente. Sob a ação da luz, a placa<br />
<strong>de</strong>scarrega e a carga positiva fica apenas nos setores que correspon<strong>de</strong>m aos locais<br />
escuros da imagem. Depois disso, a placa é revestida por uma fina camada <strong>de</strong><br />
esferas <strong>de</strong> vidro. A atração <strong>de</strong> cargas <strong>de</strong> sinais contrários faz com que o pó resinoso<br />
se <strong>de</strong>posite na placa com cargas negativas. Em seguida, as esferas <strong>de</strong> vidro<br />
retiram-se por meio <strong>de</strong> uma sacudi<strong>de</strong>la. Apertando com força a folha <strong>de</strong> papel<br />
contra a placa, po<strong>de</strong>-se obter uma boa impressão. Fixa-se, finalmente, esta última<br />
por meio <strong>de</strong> aquecimento.<br />
Solução:<br />
a) Sim, pois os pneus são feitos <strong>de</strong> borracha, que é um isolante, e impe<strong>de</strong>m<br />
que o ônibus seja <strong>de</strong>scarregado para a Terra.<br />
b) O choque elétrico será causado pelo fato <strong>de</strong> que nossa mão é um<br />
condutor e haverá troca <strong>de</strong> cargas entre o ônibus e a mão da pessoa.<br />
c) A umida<strong>de</strong> do nosso clima traz à discussão um novo elemento: a água.<br />
Como você sabe a água pura não é um bom condutor. Contudo, é muito difícil<br />
encontrar água pura e a presença <strong>de</strong> sais, normalmente dissociado em íons,<br />
transforma a água em excelente condutora <strong>de</strong> eletricida<strong>de</strong>. Devido a isso, os ônibus<br />
num clima muito úmido nunca chegam a reter uma carga apreciável.<br />
ATIVIDADE 1.12<br />
Pesquise sobre as diferenças das impressoras a laser e a jato <strong>de</strong> tinta. Como<br />
são geradas as imagens dos caracteres nesses dois tipos <strong>de</strong> impressoras?<br />
31<br />
32
RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS<br />
ATIVIDADE 1.1<br />
Somente <strong>de</strong>pois <strong>de</strong> atritado, o papel ou a linha são atraídos pela caneta.<br />
ATIVIDADE 1.2<br />
Figura 1.12 (a) a régua<br />
polariza a esfera condutora.<br />
(b) eletrização por contato<br />
entre a régua e a esfera.<br />
(c) equilíbrio eletrostático<br />
após o contato ser <strong>de</strong>sfeito.<br />
Se os corpos são compostos da mesma substância, ao serem atritados não<br />
haverá transferência <strong>de</strong> elétrons <strong>de</strong> um corpo para outro e eles permanecerão<br />
como estão.<br />
ATIVIDADE 1.3<br />
b) Em materiais condutores com pontas, a carga elétrica não fica distribuída<br />
uniformemente sobre a sua superfície. Devido à repulsão entre os elétrons, boa<br />
parte <strong>de</strong>les se dirige para as regiões com ponta até que se estabeleça a condição <strong>de</strong><br />
equilíbrio. Veja a figura 1.13.<br />
Na lista acima, que relata os materiais <strong>de</strong> acordo com a facilida<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
adquirirem cargas positivas, o enxofre vem antes do algodão. Portanto, quando o<br />
algodão atrita o enxofre, ele adquire carga negativa. O enxofre, obviamente,<br />
adquire carga positiva.<br />
ATIVIDADE 1.4<br />
As condutivida<strong>de</strong>s térmicas e elétricas estão diretamente relacionadas aos<br />
elétrons livres presentes no material. Condutores possuem elétrons livres na sua<br />
estrutura por isso são bons condutores <strong>de</strong> eletricida<strong>de</strong> e <strong>de</strong> calor.<br />
ATIVIDADE 1.6<br />
Figura 1.13 po<strong>de</strong>r das pontas<br />
ATIVIDADE 1.5<br />
a) Cargas elétricas <strong>de</strong> mesmo sinal se repelem, enquanto que cargas <strong>de</strong><br />
sinais opostos se atraem (figura 1.12a). Se você toca uma esfera com uma régua<br />
carregada, a esfera também ficará carregada, pois haverá movimento <strong>de</strong> elétrons<br />
<strong>de</strong> uma para a outra (figura 1.12b). Devido à repulsão dos elétrons, que possuem<br />
mobilida<strong>de</strong> <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> um condutor, eles se movem por toda a superfície da esfera<br />
até atingirem uma situação <strong>de</strong> equilíbrio, chamado equilíbrio eletrostático. Nessa<br />
situação a distribuição <strong>de</strong> cargas na esfera é uniforme (figura 1.12c).<br />
a) Quando a caneta eletrizada é aproximada do filete <strong>de</strong> água, este é atraído<br />
<strong>de</strong>vido à POLARIZAÇÃO. A água é uma molécula polar. Embora ela seja<br />
eletricamente neutra, ocorre um ligeiro <strong>de</strong>slocamento <strong>de</strong> cargas, <strong>de</strong> modo que a<br />
extremida<strong>de</strong> ocupada pelo átomo <strong>de</strong> oxigênio fica com uma carga liquida<br />
negativa e a extremida<strong>de</strong> ocupada pelos átomos <strong>de</strong> hidrogênio fica com uma<br />
carga liquida positiva. Desse modo, quando a caneta negativamente carregada<br />
é aproximada do filete as moléculas <strong>de</strong> água sofrem um pequeno <strong>de</strong>slocamento<br />
conforme a figura 1.14a. Ocorre então atração entre a carga positiva da<br />
molécula <strong>de</strong> água e a carga negativa da régua. Ocorre também repulsão entre a<br />
carga negativa da molécula <strong>de</strong> água (extremida<strong>de</strong> ocupada pelo átomo <strong>de</strong><br />
oxigênio) e a carga negativa da caneta, mas essa interação é menos intensa<br />
que a atração, pelo fato <strong>de</strong>ssas cargas estarem a uma distância maior – isso<br />
será bem estudado com a lei <strong>de</strong> Coulomb, que relaciona a intensida<strong>de</strong> da força<br />
33<br />
34
elétrica entre cargas e a distancia entre elas; quanto maior a distância entre<br />
duas cargas elétricas menor é a intensida<strong>de</strong> da força elétrica entre elas.<br />
b) Haverá atração entre o filete <strong>de</strong> água e a caneta eletrizada in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nte do<br />
sinal da carga da caneta. Se, por exemplo, a caneta estivesse carregada<br />
positivamente as moléculas <strong>de</strong> água também sofreriam um ligeiro<br />
<strong>de</strong>slocamento, ficando a extremida<strong>de</strong> negativa mais próxima da régua,<br />
conforme a figura 1.14b.<br />
Figura 1.15 (a) junção das<br />
fitas com cola em apenas um<br />
lado.<br />
(b) junção das fitas com cola<br />
dos dois lados<br />
ATIVIDADE 1.8<br />
Figura 1.14 (a) atração do<br />
filete <strong>de</strong> água pela caneta<br />
eletrizada<br />
ATIVIDADE 1.7<br />
(b) atração do filete <strong>de</strong> água<br />
pela caneta eletrizada<br />
in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong> do sinal da carga.<br />
A aproximação do bastão carregado provoca uma separação <strong>de</strong> cargas que<br />
po<strong>de</strong> ser vista na figura 1.4a. Se na extremida<strong>de</strong> oposta ao bastão for conectado<br />
um fio terra, elétrons da Terra migrarão para essa extremida<strong>de</strong>, atraídos pela carga<br />
positiva em excesso <strong>de</strong>ste lado. Depois <strong>de</strong> retirado o fio terra e afastado o bastão,<br />
a esfera ficará com cargas elétricas negativas em excesso, em outras palavras, fica<br />
carregada negativamente, veja a figura 1.4c. Agora basta colocar as duas esferas<br />
em contato para que as duas fiquem carregadas com o mesmo sinal.<br />
a) Juntando os lados com cola/sem cola <strong>de</strong> dois pedaços <strong>de</strong> fita a<strong>de</strong>siva,<br />
separando-os e em seguida aproximando-os, você po<strong>de</strong>rá observar que eles se<br />
atraem. Isso por que ao separá-los, o pedaço sem cola per<strong>de</strong> elétrons para o<br />
pedaço da fita a<strong>de</strong>siva com cola. Veja a figura 1.15a.<br />
b) É possível que juntando os dois lados com cola você não tenha observado<br />
nenhuma interação entre os dois pedaços <strong>de</strong> fita a<strong>de</strong>siva. Isso por que a cola é<br />
um isolante e estará presente nos dois pedaços <strong>de</strong> fita. Então não há perda ou<br />
ganho <strong>de</strong> cargas para que os pedaços <strong>de</strong> fita a<strong>de</strong>siva fiquem carregados<br />
eletricamente. Veja a figura 1.15b.<br />
ATIVIDADE 1.9<br />
Figura 1.16: Esferas carregadas com o mesmo sinal.<br />
Seria necessário, em primeiro lugar, eletrizar o eletroscópio. Isto po<strong>de</strong> ser<br />
feito ou por atrito ou por indução usando os métodos das seções anteriores. Se o<br />
sinal da carga do eletroscópio for conhecido, po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>scobrir o sinal da carga <strong>de</strong><br />
um corpo eletrizado que se aproxima. Suponhamos um eletroscópio carregado<br />
positivamente, como na figura 1.17. Se aproximarmos um corpo eletrizado <strong>de</strong>sse<br />
sistema, observaremo que as folhas do eletroscópio, que estavam abertar, se<br />
35<br />
36
aproximam ou se afastam. De fato, se o objeto estiver carregado negativamente,<br />
elétrons livres da esfera serão repelidos e se <strong>de</strong>slocarão para as folhas. Esses<br />
elétrons neutralizarão parte da carga positiva aí existente e por isso o afastamento<br />
das folhas diminui. Analogamente, po<strong>de</strong>mos concluir que, se o afastamento das<br />
folhas for aumentado pela aproximação do corpo, o sinal da carga nesse corpo será<br />
positivo.<br />
PR1.3) Os astronomos que utilizam os telescópios do Cerro Tololo InterAmerican<br />
Observatory (CTIO) localizado no <strong>de</strong>serto <strong>de</strong> Atacama, Chile são obrigados a<br />
trabalhar aterrados o tempo todo. Você consegue explicar o por quê?<br />
PR1.4) Duas cargas q 1 e q 2 atraem-se mutuamente. Uma carga q 3 repele a carga<br />
q 2. As cargas q 1 e q 3 , quando colocadas próximas uma da outra, serão atraídas,<br />
repelidas ou nada acontecerá?<br />
PR1.5) Você consegue imaginar um experimento para mostrar que a água pura não<br />
é boa condutora <strong>de</strong> eletricida<strong>de</strong>?<br />
Figure 1.17 Descobrindo o sinal da carga <strong>de</strong> teste em um eletroscópio <strong>de</strong><br />
folhas.<br />
ATIVIDADE 1.10<br />
O corpo humano funciona como um fio terra.<br />
ATIVIDADE 1.11<br />
(a) O fato da corrente ser condutora permite o estabelecimento <strong>de</strong> um<br />
contato direto com a Terra. Isso então impe<strong>de</strong> que o caminhão adquira quantida<strong>de</strong>s<br />
<strong>de</strong> cargas capazes <strong>de</strong> provocar centelhas.<br />
(b) A eletricida<strong>de</strong> <strong>de</strong>sses materiais vai se transferir para as gotículas <strong>de</strong><br />
água, que conduzirão para a Terra a carga elérica que se forma por atrito.<br />
PENSE E RESPONDA<br />
PR1.1) Em dias úmidos as <strong>de</strong>monstrações <strong>de</strong> eletrostática não funcionam muito<br />
bem. Você consegue explicar o por quê?<br />
PR1.2) Um operador da central <strong>de</strong> processamento <strong>de</strong> dados da Usiminas reclamava<br />
que seu computador <strong>de</strong>sligava misteriosamente toda vez que ele tocava no teclado.<br />
Seu chefe então or<strong>de</strong>nou que retirassem as rodinhas da ca<strong>de</strong>ira do operador, que<br />
ficava em cima <strong>de</strong> um carpete. Você acha que o problema foi resolvido?<br />
37<br />
38
AULA 2 LEI DE COULOMB<br />
Clássica;<br />
OBJETIVOS<br />
(c) a força <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> do meio em que as cargas elétricas estão situadas.<br />
• ENUNCIAR AS CARACTERÍSTICAS DA FORÇA ELÉTRICA<br />
• APLICAR A LEI DE COULOMB EM SITUAÇÕES SIMPLES<br />
• EXPLICAR O SIGNIFICADO DA CONSTANTE DE PERMISSIVIDADE DO VÁCUO<br />
Tendo em vista essas informações, po<strong>de</strong>mos escrever que o vetor força<br />
elétrica que atua entre duas cargas elétricas pontuais po<strong>de</strong> ser escrito como:<br />
2.1 A LEI DE COULOMB<br />
Em 1785, Charles Augustin <strong>de</strong> Coulomb (1736 - 1806) realizou uma série <strong>de</strong><br />
medidas cuidadosas das forças entre duas cargas usando uma balança <strong>de</strong> torção,<br />
semelhante à que Cavendish usou para comprovar a teoria da Gravitação. Através<br />
<strong>de</strong>ssas medidas, Coulomb mostrou que, tanto para a atração como para a repulsão <strong>de</strong><br />
cargas elétricas pontuais:<br />
em que<br />
r Q1Q<br />
2<br />
F = K<br />
e<br />
rˆ<br />
2<br />
r<br />
(2.1)<br />
K<br />
e<br />
é uma constante <strong>de</strong> proporcionalida<strong>de</strong> e rˆ é o vetor unitário na direção<br />
que passa pelas cargas elétricas (na Figura 2.1, ele tem o sentido <strong>de</strong> Q<br />
1 para Q<br />
2 ). A<br />
equação 2.1 é a expressão matemática da Lei <strong>de</strong> Coulomb.<br />
(a) o módulo da força <strong>de</strong> interação F entre duas cargas pontuais é proporcional ao<br />
produto <strong>de</strong>ssas cargas, ou seja:<br />
F ∝ Q 1<br />
Q 2<br />
(b) o módulo da força <strong>de</strong> atração ou repulsão entre duas cargas pontuais é<br />
inversamente proporcional ao quadrado da distância r entre elas.<br />
1<br />
F ∝<br />
2<br />
r<br />
A força F que atua entre as cargas é <strong>de</strong>nominada força elétrica ou força<br />
eletrostática.<br />
Figura 2.1: (a) e (b) duas cargas <strong>de</strong> mesmo sinal se repelem. (c) cargas <strong>de</strong> sinais<br />
opostos se atraem. Estão indicados também os vetores força elétrica F r 12 da carga Q<br />
1<br />
sobre Q<br />
2 e F r 12 da carga Q<br />
2 sobre Q<br />
1 bem como o vetor unitário rˆ . Pela 3ª. Lei <strong>de</strong><br />
r r<br />
Newton temos que F 12<br />
= −F 21<br />
.<br />
A experiência nos mostra também que a força elétrica tem as seguintes<br />
características:<br />
(a) é uma força <strong>de</strong> ação e reação; sua direção é a da linha que une as duas cargas e o<br />
seu sentido <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> do sinal relativo das cargas, como se vê na figura 2.1;<br />
(b) a força entre duas cargas elétricas é sempre instantânea, <strong>de</strong> acordo com a Física<br />
38<br />
A <strong>de</strong>pendência da força elétrica com o meio é levada em conta na constante<br />
. Para o vácuo, Ke<br />
é escrita na forma:<br />
1<br />
4π ε<br />
em que ε<br />
0 é uma outra constante <strong>de</strong>nominada permissivida<strong>de</strong> do vácuo.<br />
Se medirmos a carga elétrica em Coulomb, o valor <strong>de</strong>ssa constante no SI é:<br />
K<br />
e<br />
=<br />
0<br />
Ke<br />
39
O valor numérico <strong>de</strong><br />
ε = C<br />
−12<br />
−1<br />
−2<br />
0<br />
8,854 × 10 N . m .<br />
K<br />
e e sua unida<strong>de</strong> são, então:<br />
2<br />
(2) A outra maneira consiste em <strong>de</strong>finir a unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> carga in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntemente da lei<br />
<strong>de</strong> Coulomb e <strong>de</strong>terminar o valor da constante<br />
K<br />
e experimentalmente, a partir da<br />
unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> carga. O inconveniente <strong>de</strong>sse modo é que, toda vez que uma medida da<br />
constante muda seu valor, a unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> carga elétrica tem que ser modificada.<br />
K e<br />
= 8,9874<br />
9 2 −2<br />
× 10 N.<br />
m . C<br />
O valor da permissivida<strong>de</strong> do ar é muito próximo do valor da permissivida<strong>de</strong> do<br />
vácuo. Assim vamos supor que elas são iguais. Dessa forma, a lei <strong>de</strong> Coulomb po<strong>de</strong><br />
ser escrita como:<br />
r<br />
F<br />
1 Q1Q<br />
4π ε 0<br />
r<br />
2<br />
=<br />
2<br />
SAIBA MAIS<br />
O SISTEMA DE UNIDADES NA ELETROSTÁTICA<br />
rˆ<br />
(2.2)<br />
Na equação 2.1 conhecemos as unida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> força e <strong>de</strong> distância; falta então<br />
<strong>de</strong>finir as unida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> carga elétrica e da constante<br />
maneiras:<br />
K<br />
e . Isso po<strong>de</strong> ser feito <strong>de</strong> duas<br />
(1) po<strong>de</strong>mos atribuir à constante K<br />
e um valor arbitrário ( K<br />
e<br />
= 1, para facilitar) e<br />
<strong>de</strong>terminar a unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> carga <strong>de</strong> modo tal que a força elétrica que atue entre duas<br />
cargas unitárias, situadas à distância unitária uma da outra, seja também unitária.<br />
Essa foi a maneira adotada para o sistema CGS <strong>de</strong> unida<strong>de</strong>s (o sistema CGS tem como<br />
unida<strong>de</strong>s fundamentais o centímetro, o grama e o segundo). Nele, escreve-se o<br />
módulo da lei <strong>de</strong> Coulomb para o vácuo como:<br />
Q Q<br />
F = r<br />
1 2<br />
2<br />
A unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> carga é chamada <strong>de</strong> statcoulomb. Duas cargas <strong>de</strong> 1 statcoulomb,<br />
situadas a um centímetro <strong>de</strong> distância uma da outra no vácuo, exercem uma força<br />
5<br />
mútua <strong>de</strong> 1 dyna ( 10 − N). Temos que 1 statcoulomb = 3,336 x 10 −10<br />
C.<br />
O Coulomb foi <strong>de</strong>finido através do conceito <strong>de</strong> corrente elétrica, sendo portanto,<br />
in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nte da lei <strong>de</strong> Coulomb. Ele é a unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> carga elétrica adotada no sistema<br />
MKS (que tem como unida<strong>de</strong>s fundamentais o metro, o quilograma e o segundo), e a<br />
constante<br />
K<br />
e , nesse sistema, é <strong>de</strong>terminada experimentalmente.<br />
Em 1901, Giovanni Giorgi (1871 -- 1950) mostrou que o sistema <strong>de</strong> unida<strong>de</strong>s<br />
do eletromagnetismo po<strong>de</strong>ria ser incorporado ao sistema MKS, admitindo que a carga<br />
elétrica é a quarta gran<strong>de</strong>za fundamental <strong>de</strong>ste sistema, além do comprimento, tempo<br />
e massa (fato que, inclusive, foi a origem do Sistema Internacional). Para isso, bastava<br />
modificar algumas equações do eletromagnetismo. Uma <strong>de</strong>ssa modificações implicou<br />
em escrever a constante<br />
K<br />
e na forma:<br />
K<br />
e<br />
1<br />
=<br />
4π ε<br />
em que a nova constante ε<br />
0 , <strong>de</strong>nominada permissivida<strong>de</strong> do vácuo, tem como valor:<br />
1<br />
−12<br />
−1<br />
−2<br />
ε<br />
0<br />
= = 8,854 × 10 N . m . C<br />
− 7 2<br />
4π<br />
.10 c<br />
Em 1960, na 11ª Conferência Geral <strong>de</strong> Pesos e Medidas, <strong>de</strong>cidiu-se adotar um<br />
valor fixo para a constante<br />
adotou-se o valor:<br />
em que c é a velocida<strong>de</strong> da luz no vácuo.<br />
Com esse valor <strong>de</strong><br />
0<br />
K<br />
e no vácuo e <strong>de</strong>finir o Coulomb a partir <strong>de</strong>le. Assim,<br />
7 2<br />
K = 10<br />
−<br />
e<br />
c = 8,9874 ×<br />
10<br />
K<br />
e , a unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> carga --- o Coulomb --- passou a ser<br />
<strong>de</strong>finida como a carga que, colocada no vácuo, a um metro <strong>de</strong> uma carga igual, a<br />
repeliria com uma força <strong>de</strong><br />
9<br />
8,9874 × 10 N. A unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> K<br />
e no SI é N.m 2 /C 2 .<br />
9<br />
2<br />
40<br />
41
EXEMPLO 2.1<br />
Qual a magnitu<strong>de</strong> da força eletrostática repulsiva entre dois prótons separados em<br />
−15<br />
média <strong>de</strong> 4,2 × 10 m em um núcleo <strong>de</strong> Ferro?<br />
Solução: Escrevemos imediatamente:<br />
ou:<br />
1<br />
F =<br />
4πε<br />
−19<br />
2<br />
9 2 2<br />
−19<br />
2<br />
1 (1,60×<br />
10 C)<br />
(8,988×<br />
10 N m / C )(1,60×<br />
10 C)<br />
F = =<br />
= 13, 03 N<br />
−15<br />
2<br />
−15<br />
2<br />
4π ε (4,2×<br />
10 m)<br />
(4,2×<br />
10 m)<br />
0<br />
ATIVIDADE 2.1<br />
Compare a magnitu<strong>de</strong> da força gravitacional entre esses dois prótons com a magnitu<strong>de</strong><br />
da força elétrica calculada no exemplo 2.1?<br />
0<br />
2<br />
Q<br />
2<br />
r<br />
2.2 FORÇA DE UM CONJUNTO DE CARGAS<br />
Como acontece com a força gravitacional, as forças eletrostáticas também<br />
obe<strong>de</strong>cem ao Princípio <strong>de</strong> Superposição. Quando um conjunto <strong>de</strong> várias cargas<br />
exercem forças (<strong>de</strong> atração ou repulsão) sobre uma dada carga q<br />
0 , a força total sobre<br />
esta carga é a soma vetorial das forças que cada uma das outras cargas exercem<br />
sobre ela:<br />
em que<br />
e<br />
ˆ<br />
r<br />
F =<br />
r<br />
q<br />
N<br />
N<br />
0<br />
i<br />
∑Fi<br />
= ∑ r r rˆ<br />
− rˆ<br />
i<br />
=<br />
2 0<br />
i= 1 4πε<br />
0 i=1<br />
0<br />
−<br />
4<br />
i<br />
q<br />
i é a i-ésima carga do conjunto,<br />
q<br />
r r −<br />
q0<br />
πε<br />
N<br />
∑<br />
0 i=1<br />
q<br />
r<br />
−<br />
0<br />
i<br />
r 2<br />
i<br />
r r<br />
0<br />
−<br />
i<br />
r r<br />
−<br />
0<br />
i<br />
(2.3)<br />
0<br />
ri<br />
é a distância entre q<br />
0 e a carga<br />
rˆ0 − ri<br />
é o vetor unitário da direção que une a carga q<br />
0 à carga<br />
sentido é o <strong>de</strong> q<br />
0 para<br />
q<br />
i<br />
q<br />
i , cujo<br />
q<br />
i . Ou seja, cada carga interage com uma dada carga q<br />
0<br />
in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntemente das outras, e a força resultante sobre q0<br />
é a soma vetorial <strong>de</strong><br />
cada uma <strong>de</strong>ssas forças.<br />
EXEMPLO 2.2<br />
Duas bolinhas pintadas com tinta metálica estão carregadas. Quando estão afastadas<br />
2<br />
<strong>de</strong> 4 ,0 × 10 m atraem-se com uma força <strong>de</strong><br />
5<br />
27× 10 N. Encosta-se uma na outra sem<br />
2<br />
tocar-lhes com a mão. Afastando-as novamente até a distância <strong>de</strong> 4 ,0× 10 m elas se<br />
repelem com a força <strong>de</strong><br />
repulsiva.<br />
5<br />
9× 10 N. Explique porque a força mudou <strong>de</strong> atrativa para<br />
Solução: Vamos começar pensando nos princípios gerais <strong>de</strong> Física que envolvem<br />
cargas: lei <strong>de</strong> Coulomb e conservação da carga. A lei <strong>de</strong> Coulomb nos diz que as<br />
cargas vão se atrair porque as suas cargas são opostas. A conservação da carga nos<br />
diz que a carga total se conserva no processo po<strong>de</strong>ndo apenas se redistribuir. Então,<br />
ao serem postas em contato, as bolinhas vão sofrer uma redistribuição <strong>de</strong> carga graças<br />
às forças <strong>de</strong> atração. Como quantida<strong>de</strong>s iguais <strong>de</strong> cargas <strong>de</strong> sinais contrários se<br />
cancelam, temos, no final, uma carga líquida <strong>de</strong> mesmo sinal em ambas as bolinhas,<br />
causando portanto uma força repulsiva entre elas.<br />
42<br />
EXEMPLO 2.3<br />
Três cargas Q = 1,5 mC, Q = 0,5 mC e Q<br />
3<br />
= 0,2 mC estão dispostas como na<br />
1<br />
+<br />
Figura 2.2 (1 mC =<br />
2<br />
−<br />
3<br />
10 − C). A distância entre as cargas Q<br />
1<br />
e Q<br />
3 vale 1,2m e a<br />
distância entre as cargas Q<br />
2<br />
e Q<br />
3 vale 0,5 m. Calcular a força resultante sobre a<br />
carga Q3<br />
Solução: Seja um sistema <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas com origem na carga Q<br />
3 , e eixos dirigidos<br />
como mostrado na Figura 2.2.<br />
43
Figura 2.2 – Disposição das cargas elétricas do Exemplo 2.3<br />
e:<br />
A força <strong>de</strong> Q<br />
1 sobre Q<br />
3 é repulsiva pois ambas as cargas são positivas; a força<br />
<strong>de</strong> Q<br />
2<br />
sobre Q<br />
3 é atrativa pois as cargas possuem sinais diferentes, Assim, temos<br />
que:<br />
−3<br />
−3<br />
1 Q1<br />
Q3<br />
9 2 2 (1,5×<br />
10 C)(0,2×<br />
10 C)<br />
= = 9,0×<br />
10 N m / C<br />
= 1,88×<br />
10<br />
2<br />
2 2<br />
4πε<br />
r<br />
(1,2) m<br />
F x<br />
3<br />
0<br />
13<br />
−3<br />
−3<br />
1 Q2<br />
Q3<br />
9 2 2 (0,5×<br />
10 C)(0,2×<br />
10 C)<br />
= = 9,0 × 10 N m / C<br />
= 3,60×<br />
10<br />
2<br />
2 2<br />
4πε<br />
r<br />
0,5 m<br />
F y<br />
3<br />
0<br />
23<br />
N<br />
N<br />
Figura 2.3: Diagrama das componentes do vetor força, F r .<br />
EXEMPLO 2.4<br />
Uma carga Q é colocada em cada um <strong>de</strong> dois vértices da diagonal <strong>de</strong> um quadrado.<br />
Outra carga q é fixada nos vértices da outra diagonal, conforme mostra a Figura 2.4 .<br />
Para que a carga Q do vértice inferior esteja sujeita à uma força eletrostática<br />
resultante nula, como <strong>de</strong>vem estar relacionadas as cargas Q e q ?<br />
Note que as equações acima nos dão o módulo das componentes da força total.<br />
Portanto, nelas, as cargas entram sempre com sinal positivo. A direção e sentido das<br />
forças componentes são <strong>de</strong>terminadas com um diagrama, ver figura2.3. O módulo da<br />
força resultante F é:<br />
F =<br />
2 2<br />
Fx + Fy<br />
= 4,06 × 10<br />
Como a força elétrica é um vetor, temos que especificar sua direção e sentido. Se θ é<br />
o ângulo que o vetor F r faz com o eixo Ox, temos:<br />
F<br />
g θ =<br />
F<br />
3,60×<br />
10<br />
=<br />
1,88×<br />
10<br />
3<br />
y<br />
t<br />
3<br />
x<br />
3<br />
N.<br />
o<br />
= 1,91 ⇒ θ = 62 ,4.<br />
Figura 2.4 – Disposição das cargas elétricas do exemplo 2.4.<br />
Solução: Uma inspeção na figura nos mostra que as cargas Q e q <strong>de</strong>vem ter sinais<br />
opostos, para que não não haja força sobre Q . As forças eletrostáticas que atuam na<br />
carga Q do vértice inferior do quadrado são mostradas na Figura 2.4. Temos que:<br />
∑F x<br />
= −FQQ<br />
cosα<br />
+ FqQ<br />
= 0<br />
∑<br />
F +<br />
y<br />
= −FQQ<br />
senα<br />
FqQ<br />
= 0<br />
em que α é o ângulo que<br />
F<br />
QQ<br />
faz com o eixo Ox. Mas:<br />
44<br />
45
cos α = a/<br />
a 2 = 1/<br />
2,<br />
e<br />
1 Q<br />
4 πε<br />
0<br />
2a<br />
F QQ<br />
=<br />
2<br />
2<br />
,<br />
1 Qq<br />
.<br />
4 πε<br />
F qQ<br />
=<br />
2<br />
0<br />
a<br />
Com esses valores, a condição <strong>de</strong> equilíbrio fica:<br />
2<br />
1 ⎛ Q 1 ⎞ 1 Qq<br />
−<br />
= 0<br />
2<br />
2<br />
4πε<br />
⎜ +<br />
0 2a<br />
2<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ 4πε<br />
0 a<br />
⎛ Q<br />
−<br />
⎜<br />
⎝ 2a<br />
2<br />
2<br />
1 ⎞ Qq<br />
+ = 0<br />
2<br />
2<br />
⎟<br />
⎠ a<br />
⎛ Q ⎞<br />
− ⎜ ⎟ + q = 0<br />
⎝ 2 2 ⎠<br />
Figura 2.5: Esferas condutoras suspensas.<br />
ATIVIDADE 2.3<br />
Suponha que o gráfico da figura 2.6 corresponda a duas bolas <strong>de</strong> beisebol com massas<br />
0,142 kg e cargas positivas iguais. Para cada bola <strong>de</strong>termine o número <strong>de</strong> elétrons que<br />
faltam e estime a fração <strong>de</strong>stes elétrons faltantes em relação ao número <strong>de</strong> cargas<br />
positivas.<br />
Q = q<br />
2 2<br />
Finalmente, levando em conta que as cargas tem sinais opostos, temos:<br />
Q = − 2 2q<br />
(o sinal negativo indica cargas <strong>de</strong> sinal contrário).<br />
ATIVIDADE 2.2<br />
Duas esferas condutoras <strong>de</strong> massa m estão suspensas por fios <strong>de</strong> seda <strong>de</strong><br />
Figura 2.6- Gráfico <strong>de</strong> F F versus r .<br />
comprimento L e possuem a mesma carga q , como é mostrado na Figura 2.5.:<br />
(a) Consi<strong>de</strong>rando que o ângulo θ é pequeno, calcule a a distância x entre as<br />
esferas, no equilíbrio, em função <strong>de</strong> q , m , L , ε<br />
0 e g .<br />
(b) Sendo L = 80 cm; m = 5,0 g e x = 10,0 cm, calcule o valor <strong>de</strong> q para<br />
essa situação. Verifique se, com esses dados, a hipótese <strong>de</strong> que tg<br />
≈ sen<br />
é válida.<br />
θ<br />
θ<br />
2.3 A LEI DE COULOMB EM UM DIELÉTRICO<br />
Suponhamos agora, que duas cargas Q<br />
1 e Q<br />
2 fossem colocadas no interior <strong>de</strong><br />
um material dielétrico qualquer. A experiência nos mostra que, nesse caso, a interação<br />
entre as cargas sofre uma redução, cuja intensida<strong>de</strong> <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> do meio.<br />
meio. Assim:<br />
O fator <strong>de</strong> redução é <strong>de</strong>notado por k<br />
é chamado <strong>de</strong> constante dielétrica do<br />
46<br />
47
F<br />
1<br />
4π<br />
k ε<br />
Q Q<br />
1 2<br />
=<br />
2<br />
0<br />
r<br />
rˆ.<br />
(2.4)<br />
Uma maneira <strong>de</strong> compreen<strong>de</strong>r esse fato é consi<strong>de</strong>rando uma situação simples.<br />
Sejam duas placas condutoras situadas no vácuo, carregadas eletricamente com<br />
cargas iguais mas <strong>de</strong> sinais contrários, conforme mostra a figura 2.7.<br />
Figura 2.7: Carga entre placas condutoras.<br />
TABELA 2.1: CONSTANTE DIELÉTRICA PARA ALGUNS MATERIAIS<br />
Material Constante<br />
dielétrica (K)<br />
Vácuo 1,0000<br />
Ar<br />
1,0005<br />
Benzeno 2,3<br />
Âmbar 2,7<br />
Vidro 4,5<br />
Óleo 4,6<br />
Mica 5,4<br />
Glicerina 43<br />
Água 81<br />
Colocando-se uma carga q entre as placas, uma força F r atua sobre essa carga<br />
<strong>de</strong>vido às cargas nas placas.<br />
Se essas placas forem preenchidas por um dielétrico, já sabemos que o<br />
dielétrico ficará polarizado, como discutimos anteriormente: as cargas que<br />
aparecem na superfície do dielétrico são <strong>de</strong>nominadas cargas <strong>de</strong> polarização.<br />
Figura 2.8: Polarização <strong>de</strong> um dielétrico entre placas carregadas<br />
Na Figura 2.8 é fácil perceber que o efeito líquido <strong>de</strong>ssa polarização será<br />
neutralizar parcialmente as cargas das duas placas e portanto a força original (no<br />
vácuo)<br />
F<br />
o vai diminuir. O grau <strong>de</strong> polarização do meio vai nos dizer quantitativamente<br />
o tamanho <strong>de</strong>ssa diminução. A Tabela 2.1 mostra os valores da constante dielétrica <strong>de</strong><br />
alguns materiais.<br />
48<br />
49
RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS<br />
ATIVIDADE 2.1<br />
Usamos a lei <strong>de</strong> Newton <strong>de</strong> gravitação:<br />
Com os valores dados, temos que:<br />
F g<br />
(6,67 × 10<br />
=<br />
−11<br />
m<br />
F = G<br />
r<br />
2<br />
p<br />
2<br />
2 2<br />
N m / kg )(1,67 × 10<br />
−15<br />
2<br />
(4,2×<br />
10 m )<br />
−27<br />
Kg)<br />
2<br />
= 1,05×<br />
10<br />
A força gravitacional é cerca <strong>de</strong> 10 36 vezes menor que a força elétrica. Esse resultado<br />
nos diz que a força gravitacional é muito pequena para equilibrar a força eletrostática<br />
existente entre os prótons no núcleo dos átomos. É por isso que temos que invocar a<br />
existência <strong>de</strong> uma terceira força, a força forte, que age entre os prótons e os nêutrons<br />
quando estão no núcleo. A força forte é uma força atrativa.<br />
ATIVIDADE 2.2<br />
(a) Vamos estudar as forças que agem nas esferas:<br />
−35<br />
N.<br />
Matematicamente, essas condições se expressam da seguinte maneira:<br />
e:<br />
Tsenθ<br />
= F<br />
C<br />
=<br />
1<br />
4π ε<br />
T cosθ = mg<br />
Agora, a melhor estratégia para eliminar a incógnita T é dividir as duas equações.<br />
Teremos:<br />
θ ≈ θ (ver figura) então:<br />
Se tg sen = x/2L<br />
Portanto:<br />
e<br />
(b) Temos:<br />
2<br />
q<br />
t θ =<br />
4πε<br />
x mg<br />
g<br />
2<br />
0<br />
0<br />
q<br />
x<br />
2<br />
2<br />
x q<br />
3 q 2L<br />
=<br />
⇒ x =<br />
2<br />
2L<br />
4π ε x mg 4π<br />
ε mg<br />
x<br />
3<br />
⎛ 4π ε<br />
0<br />
mgx ⎞<br />
q = ± ⎜ ⎟<br />
2L<br />
⎝ ⎠<br />
0<br />
1/3<br />
2<br />
= ⎛ q L<br />
2 ⎟ ⎞<br />
⎜<br />
⎝ πε<br />
0<br />
mg ⎠<br />
1/2<br />
x 0,10<br />
senθ<br />
= = = 0,06<br />
2L<br />
2 × 0,80<br />
cosθ<br />
=<br />
1−<br />
(0,06)<br />
2 ≅<br />
0,9964<br />
≈<br />
3,47 × 10<br />
2<br />
2<br />
−15<br />
0<br />
= 5,9 × 10<br />
−8<br />
C<br />
Portanto a hipótese é verificada.<br />
ATIVIDADE 2.3<br />
2<br />
r F<br />
Vamos começar calculando a carga q , igual em ambas as bolas: q = .<br />
1/ 4πε<br />
0<br />
Figura 2.9: Forças que agem nas eferas<br />
Note da Figura 2.9 que a ação da força peso é anulada pela componente vertical da<br />
tensão na corda T<br />
y<br />
e a força elétrica, pela sua componente horizontal.<br />
50<br />
Po<strong>de</strong>mos escolher qualquer ponto na curva para calcular<br />
= 9,0×<br />
10<br />
−6<br />
F N e r = 4,0 m, o que dá:<br />
q . Por exemplo,<br />
51
2<br />
−6<br />
9 2 2<br />
−7<br />
q = 4,0 m × 9,0×<br />
10 N×<br />
9,0×<br />
10 N m / C == 1,3 × 10 C = 0,13 µ C.<br />
Seja n o número <strong>de</strong> elétrons que faltam em cada bola:<br />
−7<br />
q 1,3×<br />
10 C<br />
n = =<br />
= 7,9×<br />
10<br />
−19<br />
e 1,6×<br />
10 C<br />
11<br />
eletrons.<br />
E2.3) Uma carga positiva Q= 2,0 μC é colocada em repouso e no vácuo, a uma<br />
distância <strong>de</strong> 1,0 m <strong>de</strong> outra carga igual. Ela então é solta. Calcule:<br />
a) a aceleração da carga Q. Ela é igual à da outra?<br />
b) a velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong>la <strong>de</strong>pois <strong>de</strong> percorrer uma distância <strong>de</strong> 5,0 m<br />
E2.4) Na Ativida<strong>de</strong> 2.2, qual é o ângulo entre linhas que suportam as cargas elétricas,<br />
se uma carga vale o dobro da outra? Qual é a distância entre elas agora?<br />
Num objeto neutro, o número <strong>de</strong> elétrons é igual ao número <strong>de</strong> prótons. A fração dos<br />
elétrons que falta é<br />
n/ N<br />
p<br />
, on<strong>de</strong> N<br />
P é o número <strong>de</strong> prótons.<br />
Consi<strong>de</strong>rando que uma bola <strong>de</strong> beisebol tem massa <strong>de</strong> 0,142 kg e que meta<strong>de</strong><br />
<strong>de</strong>ssa massa é atribuída aos prótons e meta<strong>de</strong> aos neutrons. Dividindo então a massa<br />
<strong>de</strong> uma bola <strong>de</strong> beisebol pela massa <strong>de</strong> um par próton-neutron, obtemos uma<br />
estimativa <strong>de</strong><br />
N<br />
P :<br />
N<br />
M<br />
=<br />
m + m<br />
0,142kg<br />
=<br />
25<br />
=<br />
4,25 10 prótons.<br />
−27 2(1,67×<br />
10 kg)<br />
×<br />
P p n<br />
PROBLEMAS DA UNIDADE<br />
P1.1) Três cargas q1=-6,0 µC, q2=+2,0 µC e q3=+4,0 µC são colocadas em linha<br />
reta. A distância entre q1 e q2 é <strong>de</strong> 2,0 m e a distância entre q2 e q3 é <strong>de</strong> 3,5 m.<br />
Calcule a força elétrica que atua em cada uma das cargas.<br />
P1.2) Quatro cargas iguais Q, duas positivas e duas negativas, são dispostas sobre um<br />
quadrado <strong>de</strong> lado a=1,0 m, <strong>de</strong> modo que cargas <strong>de</strong> mesmo sinal ocupam vértices<br />
opostos. Uma carga Q/2 positiva é colocada no centro do quadrado. Qual a força<br />
resultante que atua sobre ela?<br />
E a fração <strong>de</strong> elétrons ausentes, então, é dado por:<br />
n<br />
N<br />
P<br />
11<br />
7,9 × 10 elétrons<br />
que faltam<br />
=<br />
= 1,86 × 10<br />
25<br />
5×<br />
10 prótons<br />
13<br />
−14<br />
O que quer dizer esse resultado? Significa que um em cada 5 ,4× 10 ou 1/(1,9 × 10 )<br />
elétrons está ausente em cada bola.<br />
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO<br />
E2.1) A que distância <strong>de</strong> uma carga elétrica Q=+3,50 mC <strong>de</strong>ve ser colocada outra<br />
carga q=2,70 mC, no vácuo, para que a força elétrica entre elas seja <strong>de</strong> 5 ,64× 10<br />
9 N ?<br />
.<br />
−14<br />
P1.3) No problema P1.2, qual <strong>de</strong>ve ser a carga Q’ do centro do quadrado para que a<br />
força resultante no centro do quadrado seja nula?<br />
P1.4) Uma carga Q é dividida em duas: q e Q-q. Qual <strong>de</strong>ve ser a relação entre Q e q se<br />
as duas partes, quando separadas a uma distância <strong>de</strong>terminada sofrem uma força <strong>de</strong><br />
repulsão máxima?<br />
P1.5) Duas pequenas esferas carregadas positivamente possuem uma carga<br />
combinada <strong>de</strong> 50 µC. Se elas se repelem com uma força <strong>de</strong> 1,0 N quando separadas<br />
<strong>de</strong> 2,0 m, qual é a carga em cada uma <strong>de</strong>las?<br />
P1.6) Um cubo <strong>de</strong> lado a tem uma carga positiva em cada um <strong>de</strong> seus vértices. Qual é<br />
o módulo da força resultante que atua em uma <strong>de</strong>ssas cargas?<br />
E2.2) Se as cargas do exercício E2.1 estiverem na glicerina, qual seria a resposta?<br />
52<br />
53
UNIDADE 2<br />
CAMPO ELÉTRICO<br />
Se uma corpo carregado se afastasse <strong>de</strong> você nesse exato momento você acredita<br />
que sentiria instantaneamente os efeitos <strong>de</strong> diminuição da força elétrica, como<br />
requer lei <strong>de</strong> Coulomb, ou como estabalece a lei <strong>de</strong> ação e reação na Mecânica<br />
Newtoniana? Certamente não, porque as interações eletromagnéticas se propagam<br />
no espaço com uma velocida<strong>de</strong> finita. Para remover essa dificulda<strong>de</strong> da ação à<br />
distância, será introduzido nesta unida<strong>de</strong> o conceito <strong>de</strong> campo elétric. Assim, a<br />
interação entre as cargas acontece através da interação com o campo criado pelas<br />
outras cargas, e não diretamente pelas força das cargas entre si.<br />
54<br />
55
AULA 3 CAMPO ELÉTRICO<br />
agente físico, com existência in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nte da presença <strong>de</strong> outra carga com a qual<br />
a carga original vai interagir, é o campo elétrico.<br />
OBJETIVOS<br />
• DEFINIR O VETOR CAMPO ELÉTRICO E ESTABELECER SUAS PROPRIEDADES<br />
• CALCULAR O CAMPO ELÉTRICO PARA UMA DISTRIBUIÇÃO DE CARGAS<br />
PUNTIFORMES E PARA UM DIPOLO EÉTRICO<br />
• UTILIZAR OS CONCEITOS DE LINHA DE FORÇA<br />
Com a introdução do conceito <strong>de</strong> campo elétrico, po<strong>de</strong>mos visualizar a<br />
interação entre as cargas A e B <strong>de</strong> uma maneira diferente da força <strong>de</strong> Coulomb,<br />
que é o resultado da interação direta entre cargas (o que exigiria uma velocida<strong>de</strong><br />
infinita <strong>de</strong> propagação). Dizemos, então, que uma carga ou uma distribuição <strong>de</strong><br />
cargas cria um campo elétrico nos pontos do espaço em torno <strong>de</strong>la e que este<br />
campo elétrico é responsável pelo aparecimento da força elétrica que atua sobre<br />
uma carga elétrica <strong>de</strong> prova colocada em qualquer <strong>de</strong>sses pontos.<br />
3.1 DEFINIÇÃO E DISCUSSÃO FÍSICA DO CAMPO ELETROSTÁTICO<br />
As interações eletromagnéticas se propagam no espaço com uma velocida<strong>de</strong><br />
finita. Isto significa que, quando uma carga elétrica, como por exemplo a da Figura<br />
3.1, se <strong>de</strong>sloca no espaço, a força elétrica que ela exerce sobre outra carga B varia,<br />
mas não instantaneamente como requer a lei <strong>de</strong> Coulomb, ou como estabalece a lei<br />
<strong>de</strong> ação e reação na Mecânica Newtoniana. O processo <strong>de</strong> transmissão da<br />
informação (no caso o <strong>de</strong>slocamento da carga A) requer um certo intervalo <strong>de</strong><br />
tempo, igual a ∆ t = d/<br />
c para se propagar, em que d é a distância entre as cargas<br />
A e B e c é a velocida<strong>de</strong> da luz.<br />
As teorias mais avançadas da Física mostram que o campo elétrico é uma<br />
forma especial <strong>de</strong> matéria, diferente das outras que conhecemos, sendo composto<br />
<strong>de</strong> fótons (partículas com carga elétrica nula que carregam energia e momentum).<br />
Não po<strong>de</strong>mos perceber o campo elétrico diretamente apenas usando nossos<br />
sentidos; só é possível quantificá-lo através <strong>de</strong> sua interação com cargas elétricas.<br />
Então para verificar se existe um campo elétrico em um ponto P do espaço,<br />
utilizamos uma carga <strong>de</strong> prova positiva q<br />
0<br />
, colocada nesse ponto; se houver um<br />
campo elétrico nele, a carga <strong>de</strong> prova vai reagir como se estivesse sob a ação <strong>de</strong><br />
uma força <strong>de</strong> origem elétrica. A carga <strong>de</strong> prova (sempre positiva) <strong>de</strong>ve ser<br />
suficientemente pequena para não alterar o campo neste ponto.<br />
A gran<strong>de</strong>za que me<strong>de</strong> o campo elétrico em um ponto P do espaço é o vetor<br />
campo elétrico , <strong>de</strong>finido da seguinte forma (Figura 3.2):<br />
Figura 3.1: Posição relativa <strong>de</strong> A e B em diferentes instantes.<br />
r<br />
E<br />
P<br />
r<br />
F<br />
= q<br />
P<br />
0<br />
(3.1)<br />
Na eletrostática, a posição relativa, e consequentemente a distância entre as<br />
cargas, é sempre constante; por isso, é razoável supor uma hipótese <strong>de</strong> ação<br />
instantânea entre essas cargas em repouso. Mas, no caso <strong>de</strong> cargas em<br />
movimento, temos que achar uma forma <strong>de</strong> resolver o problema da ação a<br />
distância.<br />
Se a força elétrica <strong>de</strong>ixa <strong>de</strong> ser uma ação direta entre as cargas, torna-se<br />
necessária a existência <strong>de</strong> um agente físico responsável pela transmissão da<br />
informação (isto é, da força) entre uma carga e outra (no caso, <strong>de</strong> A para B). Esse<br />
Figura 3.2: Campo elétrico em um ponto P, gerado por uma carga q.<br />
56<br />
57
on<strong>de</strong> q<br />
0<br />
é uma carga positiva colocada em P. A direção do vetor é a linha que une<br />
o ponto P à carga que gera o campo e o sentido é o mesmo que o da força elétrica,<br />
F r P , que atua sobre a carga q<br />
0 , e o sentido, o da força<br />
F r P . Note que o campo<br />
elétrico em um ponto P do espaço é a força por unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> carga que atua neste<br />
ponto. Ele <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>, portanto do meio em que as cargas que geram o campo estão<br />
colocadas.<br />
ATIVIDADE 3.1<br />
Qual é a expressão do vetor campo elétrico gerado por uma carga elétrica negativa<br />
no ponto P do Exemplo 3.1?<br />
3.2 DISTRIBUIÇÃO DE CARGAS ELÉTRICAS<br />
A unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> campo elétrico é obtida das unida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> força e <strong>de</strong> carga<br />
elétrica. No SI, ela é o Newton por Coulomb (N/C).<br />
3.3:<br />
Consi<strong>de</strong>remos agora uma distribuição <strong>de</strong> cargas puntiformes como na figura<br />
O campo elétrico é uma gran<strong>de</strong>za vetorial, que <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> do ponto no<br />
espaço on<strong>de</strong> se encontra. Na Física existem outros tipos <strong>de</strong> campos, como, por<br />
exemplo, o campo <strong>de</strong> pressão <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> uma flauta que está sendo tocada. Uma<br />
diferença importante é que o campo <strong>de</strong> pressão p ( x,<br />
y,<br />
z,<br />
t)<br />
, embora também<br />
<strong>de</strong>penda do ponto no espaço e do tempo, é um campo escalar, isto é, à ele não<br />
estão associados direção e sentido naquele ponto, como no caso do campo elétrico.<br />
EXEMPLO 3.1<br />
Calcular o campo elétrico gerado por uma carga positiva Q em um ponto P situado à<br />
distância r <strong>de</strong>la.<br />
Figura 3.3: Distribuição <strong>de</strong> cargas puntiformes.<br />
Solução: Como a força elétrica exercida por uma carga Q sobre uma carga <strong>de</strong> prova<br />
positiva q<br />
0 , situada no ponto P, à distância r <strong>de</strong> Q, é:<br />
r<br />
F<br />
1<br />
Qq<br />
rˆ<br />
0<br />
P<br />
=<br />
2<br />
4π ε 0 rP<br />
Da equação (3.1), temos, no ponto P da figura 3.2:<br />
r<br />
E<br />
r<br />
F<br />
1<br />
P<br />
Qq<br />
Q<br />
rˆ<br />
P<br />
P<br />
= =<br />
0 . rP<br />
=<br />
2<br />
2<br />
q0 4π ε<br />
0 rP<br />
q0<br />
4π<br />
ε<br />
0 rP<br />
1<br />
ˆ<br />
1<br />
P<br />
Devido ao Princípio da Superposição o campo elétrico sobre a carga <strong>de</strong> prova<br />
q<br />
0<br />
no ponto P é dado pela soma dos campos elétricos das cargas individuais, como<br />
se as outras não existissem:<br />
on<strong>de</strong><br />
r<br />
E<br />
1<br />
4πε<br />
qi<br />
1<br />
rˆ<br />
2 i<br />
=<br />
− r ) 4π<br />
ε<br />
r<br />
q<br />
i p<br />
r<br />
− r ) |<br />
r<br />
−<br />
i<br />
r<br />
−<br />
|<br />
n<br />
n<br />
= ∑<br />
∑<br />
2<br />
0 i=1<br />
( rp<br />
i<br />
0 i=1<br />
( rp<br />
i p i<br />
rˆ<br />
i é o vetor unitário da direção que une as cargas q<br />
0 e<br />
sentido da carga que gera o campo para a carga <strong>de</strong> prova, e é dado por:<br />
(3.2)<br />
q<br />
i , com<br />
Note que a equação acima nos dá o módulo do vetor. A direção é a da reta que une P a<br />
Q .Como Q é positiva (e q<br />
0<br />
, por <strong>de</strong>finição é positiva), o campo tem sentido <strong>de</strong> Q<br />
para P.<br />
rˆ<br />
i<br />
=<br />
|<br />
r r<br />
p<br />
−<br />
i<br />
r r<br />
−<br />
|<br />
p<br />
i<br />
(3.3)<br />
Um erro muito comum ao resolver problemas envolvendo distribuições <strong>de</strong><br />
58<br />
59
carga é usar<br />
rr P<br />
(ou r i ) no lugar <strong>de</strong><br />
r r<br />
p − . A lei <strong>de</strong> Coulomb nos diz que a<br />
distância que <strong>de</strong>ve ser colocada nesse <strong>de</strong>nominador é a distância entre as duas<br />
cargas cuja interação está sendo consi<strong>de</strong>rada. E essa distância não é rr P<br />
i<br />
ou r i<br />
mas<br />
a diferença <strong>de</strong>sses vetores. Por isso, em todo problema <strong>de</strong> eletrostática é muito<br />
importante escolher um sistema <strong>de</strong> referência arbitrário e <strong>de</strong>finir todas as<br />
distâncias envolvidas no problema <strong>de</strong> forma consistente com essa escolha.<br />
Preste muita atenção na <strong>de</strong>finição do vetor que localiza o ponto P (<strong>de</strong><br />
observação, on<strong>de</strong> colocaremos a carga <strong>de</strong> prova), no ponto referente à carga que<br />
gera esse r i<br />
e na distância entre as cargas, que você vai usar na lei <strong>de</strong> Coulomb.<br />
Isto também vai ser igualmente importante quando estivermos calculando campos<br />
<strong>de</strong> distribuições contínuas <strong>de</strong> carga.<br />
Dadas duas cargas<br />
EXEMPLO 3.2<br />
−6<br />
Q = 2,0×<br />
10 C e<br />
−6<br />
q = 1,0×<br />
10 C, separadas pela distância<br />
L = 1,0 m. Determine o campo elétrico em um ponto P situado a uma distância<br />
x = 0,50 m <strong>de</strong> Q .<br />
r r<br />
p<br />
− i x − L<br />
r r = iˆ<br />
= −iˆ<br />
|<br />
−<br />
| | x − L |<br />
p<br />
Temos, para os campos elétricos gerados por cada uma das cargas:<br />
r Q<br />
q<br />
E = 1<br />
r<br />
iˆ<br />
1<br />
Q<br />
e Eq<br />
= −<br />
iˆ<br />
2<br />
4πε<br />
x<br />
4 ( x L)<br />
2<br />
0<br />
πε<br />
0 −<br />
em que x = 0, 50 m é a distância <strong>de</strong> P à carga Q .<br />
i<br />
Como as cargas são positivas, elas repelirão uma carga <strong>de</strong> prova. Então, o<br />
campo gerado pela carga Q está dirigido para a direita na figura 3.4, enquanto que<br />
o gerado pela carga q , está dirigido para a esquerda. Assim, temos, para o módulo<br />
do campo resultante em P:<br />
r<br />
E<br />
⎡ 1 Q 1 q<br />
⎢ −<br />
2<br />
⎣4πε<br />
0 x 4πε<br />
0 ( x − L)<br />
= 2<br />
em que os termos entre colchete correspon<strong>de</strong>m ao módulo do campo elétrico.<br />
Po<strong>de</strong>mos obter uma outra solução com o <strong>de</strong>senho dos vetores campo elétrico e do<br />
eixo <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas. O campo da carga Q está dirigido no mesmo sentido que o<br />
unitário i do eixo, enquanto que o campo da carga q, tem o sentido oposto, <strong>de</strong><br />
modo que:<br />
⎤<br />
⎥i<br />
ˆ<br />
⎦<br />
Figura 3.4: Configuração <strong>de</strong> cargas para o exercício.<br />
2 2<br />
1 ⎡ Q q ⎤ 1 ⎡Q(<br />
L − x)<br />
− qx ⎤<br />
E = ⎢ −<br />
2<br />
2 ⎥ = ⎢ 2 2 ⎥<br />
4πε<br />
0 ⎣ x ( x − L)<br />
⎦ 4πε<br />
0 ⎣ x ( x − L)<br />
⎦<br />
Desenvolvendo o colchete, obtemos:<br />
SOLUÇÃO: Consi<strong>de</strong>remos um eixo <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas ao longo da linha Qq , com<br />
origem na carga Q e dirigido para a carga q . Seja î o unitário do eixo (dirigido<br />
portanto para a direita na figura 3.4). Os vetores-posição das cargas Q e q, e do<br />
ponto P são, respectivamente:<br />
Então:<br />
r<br />
= x iˆ<br />
r P<br />
r<br />
= 0 iˆ<br />
r Q<br />
r<br />
= L iˆ<br />
r r − = x iˆ<br />
e r − r = ( x −L) i ˆ<br />
P<br />
Q<br />
r q<br />
P<br />
q<br />
2<br />
2<br />
1 ⎡(<br />
Q − q)<br />
x − 2QLx<br />
+ QL ⎤<br />
E = ⎢<br />
2 2<br />
4<br />
⎥<br />
πε<br />
0 ⎣ x ( x − L)<br />
⎦<br />
4<br />
Colocando os valores numéricos vem: E = 3,6×<br />
10 N/<br />
C.<br />
ATIVIDADE 3.2<br />
Suponha agora que a carga q no exemplo 3.2 seja negativa. Qual a intensida<strong>de</strong> do<br />
campo no ponto P?<br />
Note que, como<br />
r<br />
x < L , o vetor r P q<br />
r − é negativo e o seu unitário vale: 61<br />
60
ATIVIDADE 3.3<br />
No Exemplo 3.2, calcule o ponto em que o campo elétrico é nulo.<br />
3.3 O DIPOLO ELÉTRICO<br />
Um dipolo elétrico é constituido por duas cargas elétricas iguais e <strong>de</strong> sinais<br />
contrários, separadas por uma distância pequena em relação às outras distâncias<br />
relevantes ao problema.<br />
Determinemos uma expressão para a intensida<strong>de</strong> do campo elétrico no<br />
plano bissetor perpendicular <strong>de</strong> um dipolo (Figura 3.5). Para isso, vamos começar a<br />
calcular o vetor E r<br />
em um ponto P neste plano bissetor. Antes <strong>de</strong> mais nada,<br />
conforme discutimos, vamos escolher um sistema <strong>de</strong> referência, localizar<br />
vetorialmente as cargas que geram o campo, localizar o ponto <strong>de</strong> observação e a<br />
distância que <strong>de</strong>ve ser usada na lei <strong>de</strong> Coulomb, para cada carga.<br />
e<br />
e<br />
r<br />
E<br />
r<br />
E<br />
1<br />
q<br />
ˆ<br />
+<br />
= r<br />
2 +<br />
4π ε 0 r+<br />
1<br />
q<br />
rˆ<br />
−<br />
=<br />
2<br />
4π ε 0 r−<br />
−<br />
(3.4)<br />
(3.5)<br />
Em termos dos dados do problema, temos que:<br />
2 2<br />
r ≡ r = y +<br />
+ − P<br />
a<br />
(3.6)<br />
Vetorialmente, po<strong>de</strong>mos escrever que:<br />
r = y ˆj<br />
− a kˆ<br />
+<br />
P<br />
r<br />
= ˆ<br />
−<br />
y<br />
P<br />
j + a kˆ,<br />
r<br />
ˆ ˆ<br />
+<br />
yP<br />
j − a k<br />
rˆ<br />
+<br />
= =<br />
+<br />
r<br />
2 2<br />
y + a<br />
r<br />
−<br />
rˆ<br />
−<br />
=<br />
r<br />
−<br />
P<br />
y ˆ ˆ<br />
P<br />
j + a k<br />
=<br />
2<br />
y + a<br />
2<br />
P<br />
(3.7)<br />
(3.8)<br />
Substituindo essas expressões na expressão do campo resultante, obtemos:<br />
r<br />
aq<br />
E = r r 1 2<br />
E E<br />
kˆ<br />
+<br />
+ −<br />
= −<br />
(3.9)<br />
2 2<br />
4 π ε ( y a )<br />
3/2<br />
0 P<br />
+<br />
De fato, só haverá componente do campo na direção kˆ , como havíamos<br />
discutido.<br />
Figura 3.5: O dipolo elétrico e seu campo elétrico no ponto P.<br />
É muito importante <strong>de</strong>senhar os vetores campo elétrico no ponto e verificar<br />
(como é o caso aquí) se existe alguma simetria que possa facilitar o cálculo. No<br />
caso do dipolo elétrico, é fácil perceber que não haverá componente <strong>de</strong> campo<br />
resultante no eixo y, apenas na direção z , pois os módulos do campo gerado pela<br />
carga positiva ( E r +<br />
) e pela carga negativa ( E r<br />
−<br />
) são idênticos e suas projeções<br />
sobre o eixo y são iguais e <strong>de</strong> sentidos opostos (o eixo x é bissetriz do eixo do<br />
dipolo elétrico). Vamos escrevê-los:<br />
62<br />
Note que esta é a intensida<strong>de</strong> do campo elétrico no ponto P à distância<br />
do eixo do dipolo elétrico. O sinal negativo indica que o campo gerado pelas cargas<br />
tem sentido oposto ao eixo Oz.<br />
Dado o módulo das cargas q e a distância entre elas,<br />
y<br />
P<br />
2 a , o que significa<br />
dizer "distâncias do ponto P ao dipolo ( y ) muito maiores do que a separação entre<br />
as duas cargas (2a)<br />
"?<br />
P<br />
Esse tipo <strong>de</strong> limite é muito comum e importante em Física. No caso, isso<br />
po<strong>de</strong> ser dito matematicamente em termos <strong>de</strong> uma <strong>de</strong>sigualda<strong>de</strong>:<br />
a<br />
y P<br />
Neste caso, a expressão anterior po<strong>de</strong> ser escrita como:<br />
r<br />
E<br />
−<br />
1<br />
2a<br />
q<br />
=<br />
3<br />
3/2<br />
4π ε y<br />
2<br />
0 P<br />
1<br />
⎛ a ⎞<br />
1+<br />
⎜<br />
2<br />
y<br />
⎟<br />
⎝ P ⎠<br />
kˆ<br />
(3.11)<br />
ATIVIDADE 3.4<br />
Verifique se o ponto y P<br />
= 1, 0m<br />
po<strong>de</strong> realmente ser consi<strong>de</strong>rado distante do dipólo?<br />
3.4 LINHAS DE FORÇA<br />
ou, com a condição acima temos que:<br />
(3.12)<br />
r<br />
E<br />
≅ −<br />
1 2aq<br />
kˆ<br />
3<br />
4π ε 0 y<br />
P<br />
Isto é, o campo do dipólo elétrico é inversamente proporcional ao cubo da<br />
O conceito <strong>de</strong> linhas <strong>de</strong> força foi introduzido por Michael Faraday (1791 –<br />
1867) como uma maneira <strong>de</strong> visualizar o campo elétrico.<br />
Como sabemos, uma carga puntual Q que, cria um campo radial no espaço<br />
à sua volta. Em cada ponto do espaço temos um vetor campo elétrico E r , cujo<br />
módulo diminui à medida que nos afastamos da carga, conforme mostra a figura<br />
3.6.<br />
distância<br />
y<br />
P<br />
. Observe que esse mesmo resultado po<strong>de</strong>ria ser obtido através da<br />
expansão binomial para ( 1± x) −n<br />
válida para x 2
mostra as linhas <strong>de</strong> força geradas por duas cargas puntiformes, na região do<br />
espaço próxima a elas.<br />
r r<br />
r F QE<br />
a = =<br />
(3.14)<br />
m m<br />
Note que a aceleração da carga tem a mesma direção do campo e, que,<br />
portanto, é constante em módulo e direção. O sentido da aceleração <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> da<br />
carga ser positiva ou negativa. No primeiro caso, a aceleração tem o mesmo<br />
sentido que o campo elétrico; no segundo, tem o sentido contrário.<br />
Figura 3.7: Linhas <strong>de</strong> força <strong>de</strong> um campo elétrico gerado por cargas <strong>de</strong> mesmo<br />
sinal (positivas; lado esquerdo) e cargas <strong>de</strong> sinais contrários (lado direito).<br />
Além <strong>de</strong> nos fornecer a direção e o sentido do campo elétrico, a <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong><br />
<strong>de</strong> linhas <strong>de</strong> força, isto é, o número <strong>de</strong> linhas <strong>de</strong> força por unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> área<br />
dão informação sobre a intensida<strong>de</strong> do campo elétrico sobre uma certa<br />
superfície. No caso da carga puntiforme, como vemos na figura 3.6, se tomarmos<br />
uma superfície esférica <strong>de</strong> área<br />
será<br />
2<br />
4π<br />
R , a <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> <strong>de</strong> linhas sobre essa superfície<br />
2<br />
N/4π<br />
R , on<strong>de</strong> N é o número <strong>de</strong> linhas <strong>de</strong> força que atravessa a superfície.<br />
ATIVIDADE 3.5<br />
Desenhe o vetor campo elétrico para vários pontos da figura 3.7. Existe algum<br />
lugar que o campo seja nulo? Qual seria a mudança nas linhas <strong>de</strong> força caso as<br />
cargas no lado esquerdo da figura 3.7 fossem negativas?<br />
Uma maneira <strong>de</strong> produzirmos um campo elétrico uniforme consiste em<br />
colocarmos duas placas planas e paralelas, carregadas com cargas elétricas <strong>de</strong><br />
sinais opostos, uma próxima da outra, mas separadas <strong>de</strong> uma distância menor que<br />
as dimensões das placas. Por simetria, po<strong>de</strong>mos ver que, na região entre as placas,<br />
o campo estará sempre dirigido da placa positiva para a negativa. Observe o<br />
Exemplo 3.4.<br />
EXEMPLO 3.4<br />
Uma carga elétrica positiva Q=2,0μC e massa <strong>de</strong> 0,50g é atirada horizontalmente<br />
em uma região entre duas placas planas e paralelas horizontais, com a placa<br />
positiva abaixo da negativa (Figura 3.8). A separação das placas vale d = 1,0 cm e<br />
a carga entra na região das placas a uma altura <strong>de</strong> d/2 da placa inferior. Se a<br />
velocida<strong>de</strong> da carga for na horizontal e <strong>de</strong> módulo 1,40 m/s e o campo elétrico<br />
entre as placas 2,40 x 10 N/C, qual a velocida<strong>de</strong> da carga elétrica quando ela se<br />
chocar com a placa negativa?<br />
3.5 CARGAS ELÉTRICAS EM UM CAMPO ELÉTRICO UNIFORME<br />
Um campo elétrico é uniforme em uma região do espaço quando em<br />
qualquer ponto <strong>de</strong>ssa região o vetor campo elétrico é constante (em módulo,<br />
direção e sentido). Nesse caso, as linhas <strong>de</strong> força do campo na região consi<strong>de</strong>rada<br />
são linhas retas e paralelas entre si.<br />
Quando uma carga elétrica Q entra em um campo elétrico uniforme, ela<br />
sofre ação <strong>de</strong> uma força elétrica constante, cujo módulo é dado pela lei <strong>de</strong><br />
Coulomb. Portanto, seu movimento é um movimento acelerado, com um vetor<br />
aceleração dado pela segunda lei <strong>de</strong> Newton:<br />
Figura 3.8: Carga lançada em um campo elétrico uniforme.<br />
Solução: Seja um sistema <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas com origem na posição em que a carga<br />
elétrica entra na região entre as placas, com eixo Oy vertical e com sentido para<br />
cima (da placa positiva para a negativa); e eixo Ox perpendicular a Oy como<br />
mostra a figura 3.8. O campo elétrico está dirigido <strong>de</strong> baixo para cima, <strong>de</strong> modo<br />
que o vetor campo elétrico é:<br />
66<br />
67
= 0 ̂ + 2,40 10 ̂.<br />
O vetor velocida<strong>de</strong> da carga ao se chocar com a placa negativa é:<br />
Então a aceleração da carga está dirigida para cima (a carga é positiva) e vale:<br />
v<br />
r = v iˆ<br />
+ v<br />
ˆj<br />
= (1,40ˆ i<br />
x y<br />
+<br />
0,69 ˆ) j m/s.<br />
−6<br />
4<br />
r QE<br />
ˆ<br />
2,0×<br />
10 C × 2,40×<br />
10 N / C<br />
= ˆ<br />
m<br />
a j =<br />
j = 96,0 ˆ. j<br />
2<br />
m<br />
0,50kg<br />
s<br />
O seu módulo é:<br />
2 2 2<br />
v [ v + ]<br />
1/<br />
x<br />
v = 1,56 m/s.<br />
=<br />
y<br />
O movimento da carga elétrica é idêntico ao <strong>de</strong> um projétil. O vetor velocida<strong>de</strong><br />
inicial da carga é:<br />
r<br />
v<br />
( v ) iˆ<br />
+ ( v ) ˆj<br />
m<br />
1,40 ˆ.<br />
s<br />
0<br />
=<br />
0 x 0 y<br />
= i<br />
Como a aceleração é vertical, o movimento da carga ao longo <strong>de</strong> Ox é retilíneo e<br />
uniforme; ao longo <strong>de</strong> Oy ele é uniformemente acelerado no sentido positivo <strong>de</strong><br />
Oy. Então, para um dado instante t <strong>de</strong>pois da entrada no campo elétrico, temos:<br />
vx<br />
QE<br />
= ( v 0<br />
)<br />
x<br />
= 1,40 m/s v y<br />
= at = = 96,0 t m/s<br />
m<br />
O ângulo que a velocida<strong>de</strong> faz com o eixo Ox é:<br />
vy<br />
v = tgθ = = 0,493,<br />
v<br />
x<br />
o que dá θ=26°,2.<br />
ATIVIDADE 3.6<br />
No Exemplo 3.4, qual a distância horizontal percorrida pela carga até se chocar<br />
com a placa?<br />
Integrando cada equação <strong>de</strong> 0 até t po<strong>de</strong> se obter x(t) e y(t). Ou seja,<br />
x = ( v 0<br />
)<br />
x<br />
t = 1, 40t<br />
m<br />
1 1<br />
y ×<br />
2 2<br />
2<br />
2<br />
= at = 96,0 t m<br />
Para <strong>de</strong>terminar a velocida<strong>de</strong> quando a carga se choca contra a placa negativa,<br />
temos que calcular o intervalo <strong>de</strong> tempo entre o instante em que a carga entra no<br />
campo (t=0) e o instante em que ela se choca (t). Para isso, basta observar que,<br />
quando a carga se choca com a placa negativa, ela percorreu uma distância<br />
vertical y=d/2. Levando esse valor na expressão <strong>de</strong> y(t) e resolvendo a equação<br />
para t, obtemos:<br />
ATIVIDADE 3.7<br />
O Exemplo 3.4 sugere um método para separar cargas positivas e negativas <strong>de</strong> um<br />
feixe <strong>de</strong> cargas que contém uma mistura <strong>de</strong>las. Suponha que o feixe seja<br />
constituído por prótons e elétrons. Se as partículas tiverem a mesma velocida<strong>de</strong><br />
inicial ao entrar na região entre as placas, on<strong>de</strong> o campo elétrico é uniforme, qual<br />
<strong>de</strong>les percorrerá maior distância <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong>ste campo até se chocar com a placa?<br />
t = 2y<br />
/ a = 2d<br />
/ 2a<br />
= d / a.<br />
Com este valor <strong>de</strong> y na expressão da componente<br />
v<br />
y da velocida<strong>de</strong>, obtemos:<br />
v y<br />
= a d / a = ad =<br />
96,0 × 0,50 × 10<br />
−2<br />
= 0,69 m/s.<br />
68<br />
69
RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS<br />
ATIVIDADE 3.1<br />
O módulo do campo é calculado exatamente da mesma forma que no Exemplo 3.1,<br />
pois a carga Q , embora seja negativa agora, entra na fórmula em módulo. O que<br />
se modifica agora é que a força F é atrativa e, portanto, como o sentido do campo é<br />
o mesmo da força, o vetor campo elétrico passa a ter sentido <strong>de</strong> P para a carga Q .<br />
Então:<br />
ATIVIDADE 3.2:<br />
Nesse caso, temos:<br />
r<br />
E<br />
1 Q<br />
− rˆ.<br />
4π ε r<br />
=<br />
2<br />
0<br />
E<br />
1 Q 1 q<br />
+<br />
2<br />
4πε<br />
0<br />
x 4πε<br />
0<br />
( L − x)<br />
=<br />
2<br />
pois a carga q irá atrair a carga <strong>de</strong> prova q<br />
0 colocada em P. Então:<br />
Desenvolvendo o colchete, obtemos:<br />
Com os valores numéricos, temos:<br />
ATIVIDADE 3.3<br />
E<br />
2 2<br />
1 ⎡ Q q ⎤ 1 ⎡Q(<br />
L − x)<br />
+ qx ⎤<br />
=<br />
.<br />
2<br />
2<br />
2<br />
4<br />
⎢ +<br />
0<br />
( )<br />
⎥<br />
4<br />
⎢<br />
0<br />
( )<br />
⎥<br />
πε ⎣ x L − x ⎦ πε ⎣ x L − x ⎦<br />
= 2<br />
E<br />
2<br />
2<br />
1 ⎡(<br />
Q + q)<br />
x − 2QLx<br />
+ QL ⎤<br />
.<br />
2<br />
4<br />
⎢<br />
0<br />
( )<br />
⎥<br />
πε ⎣ x L − x ⎦<br />
=<br />
2<br />
E = 4,3×<br />
10<br />
5<br />
N/<br />
C.<br />
Como as cargas têm o mesmo sinal, o ponto em que a intensida<strong>de</strong> do campo<br />
elétrico é nula <strong>de</strong>ve estar situado entre as cargas. Seja z a distância <strong>de</strong>ste ponto à<br />
carga Q . Então, como no Exemplo 3.2:<br />
ou ainda:<br />
E<br />
E<br />
1 Q 1 q<br />
−<br />
2<br />
4πε<br />
0<br />
x 4πε<br />
0<br />
( L − x)<br />
=<br />
2<br />
,<br />
= 0,<br />
2<br />
2<br />
1 ⎡(<br />
Q + q)<br />
x − 2QLx<br />
+ QL ⎤<br />
⎢<br />
= 0.<br />
2<br />
⎥<br />
4πε<br />
0 ⎣ x ( L − x)<br />
⎦<br />
=<br />
2<br />
Para que E = 0 , basta que o numerador seja nulo. Assim:<br />
70<br />
2<br />
2<br />
( Q + q)<br />
x − 2QLx<br />
+ QL = 0<br />
que, <strong>de</strong>senvolvido e com os valores numéricos, dá:<br />
2<br />
z − 4,0z<br />
+ 2,0 = 0<br />
O <strong>de</strong>terminante <strong>de</strong>ssa equação <strong>de</strong> segundo grau é ∆ = 16 − 8 = 8 e as soluções são:<br />
z<br />
4 + 8<br />
= 3,4<br />
2<br />
1<br />
= e z2<br />
4 − 8<br />
= = 0,59.<br />
2<br />
Como z é a distância à carga Q , sua unida<strong>de</strong> é metro. A primeira raiz da equação<br />
não satisfaz ao problema porque o ponto com esta coor<strong>de</strong>nada não está entre Q e<br />
q . Logo, a solução procurada é z = 0,59 m.<br />
ATIVIDADE 3.4<br />
Para verificar se o ponto<br />
y P<br />
= 1, 0m<br />
po<strong>de</strong> realmente ser consi<strong>de</strong>rado distante do<br />
a<br />
dipólo temos <strong>de</strong> verificar se a razão
No caso do dipolo no lado direito da figura 3.7 não há ponto on<strong>de</strong> o campo seja<br />
nulo. Observe que à medida que se afasta das cargas o campo do dipólo é pequeno<br />
e direcionado no sentido da carga positiva para a negativa (novamente observe o<br />
a<strong>de</strong>nsamento das linhas <strong>de</strong> força entre as cargas e sua diminuição longe <strong>de</strong>las).<br />
Se as cargas fossem negativas no lado esquerdo da figura 3.7 o sentido das setas<br />
ficaria invertido.<br />
ATIVIDADE 3.6<br />
Conhecido o intervalo <strong>de</strong> tempo t que a carga Q levou para se chocar contra a placa<br />
negativa, a distância horizontal percorrida por ela, do instante inicial t=0 até o<br />
instante t é:<br />
ATIVIDADE 3.7<br />
x = ( v0)<br />
t = ( v ) d / a = 1,40 × 0,0050/96,0 = 1,01×<br />
10<br />
−2<br />
x 0 x<br />
m.<br />
PR4.3) Do que se trata o “Experimento da gota <strong>de</strong> óleo <strong>de</strong> Milikan”. Busque<br />
informações na literatura e compartilhe com seus colegas no fórum.<br />
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO<br />
E3.1) Duas cargas, Q e 2Q são separadas por uma distância R. Qual é o campo<br />
elétrico gerado no ponto em que se localiza cada carga?<br />
E3.2) Consi<strong>de</strong>rando o raio orbital do elétron em torno do núcleo <strong>de</strong> Hidrogênio<br />
como r = 5,29 × 10<br />
−9<br />
cm qual seria o momento <strong>de</strong> dipolo do átomo <strong>de</strong> Hidrogênio se<br />
o elétron ficasse parado na sua órbita?<br />
E3.3) No Exemplo 3.3, se o campo elétrico for dado por:<br />
r<br />
4<br />
E<br />
iˆ<br />
4<br />
= 3,25 × 10 + 2,40 × 10 ˆj<br />
. Qual será a velocida<strong>de</strong> da carga elétrica ao se chocar<br />
com a placa?<br />
A aceleração da carga é<br />
a = QE<br />
m ; portanto, diretamente proporcional ao valor da<br />
carga e inversamente proporcional à sua massa. As cargas do próton e do elétron<br />
são iguais, mas a massa do próton é cerca <strong>de</strong> 1800 vezes maior que a do elétron.<br />
Portanto, a aceleração do próton é menor que a do elétron e ele <strong>de</strong>ve levar mais<br />
tempo para chegar à placa que o elétron. Como o movimento horizontal das duas<br />
cargas é o mesmo (retilíneo e uniforme), o próton <strong>de</strong>ve se chocar contra a placa<br />
negativa mais longe que o elétron.<br />
PENSE E RESPONDA<br />
PR4.1) A Lua po<strong>de</strong>ria ser usada como uma carga <strong>de</strong> prova para testar o campo<br />
gravitacional da Terra? Se não, por quê?<br />
PR4.2) As linhas <strong>de</strong> campo elétrico po<strong>de</strong>m se cruzar? Explique!<br />
PR4.3) Duas cargas q 1 e q 2 <strong>de</strong> mesmo módulo estão separadas por uma distância<br />
<strong>de</strong> 10m. O campo elétrico ao longo da linha que as une é nulo em um certo ponto<br />
entre elas. O que você po<strong>de</strong> dizer sobre essas cargas? É possível ter campo elétrico<br />
nulo para algum outro ponto, exceto é claro, no infinito.<br />
72<br />
73
AULA 4: CÁLCULO DO CAMPO ELÉTRICO PARA<br />
DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGA EM UMA DIMENSÃO<br />
OBJETIVOS<br />
• CALCULAR O CAMPO ELÉTRICO PARA DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGA EM UMA<br />
DIMENSÃO<br />
4.1 COLOCAÇÃO DO PROBLEMA GERAL<br />
Apesar da carga elétrica ser quantizada, po<strong>de</strong>mos falar em distribuição contínua<br />
<strong>de</strong> cargas porque o número <strong>de</strong> cargas em um corpo é muito gran<strong>de</strong>. Vamos discutir<br />
agora como calcular o campo <strong>de</strong> uma distribuição contínua <strong>de</strong> cargas no caso<br />
unidimensional. Embora muitos livros textos dêem a i<strong>de</strong>ia <strong>de</strong> que a força <strong>de</strong> Coulomb,<br />
o campo eletrostático e a lei <strong>de</strong> Gauss (a ser discutida mais tar<strong>de</strong>) são coisas<br />
completamente in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntes, isso não é verda<strong>de</strong>; é sempre a lei <strong>de</strong> Coulomb que<br />
está fundamentando os três tópicos. A diferença agora é que não estaremos mais<br />
falando <strong>de</strong> cargas puntiformes, mas aplicando a lei <strong>de</strong> Coulomb a elementos<br />
infinitesimais da distribuição, integrando sobre todos eles <strong>de</strong>pois. Nesta etapa, o<br />
conceito fundamental é o Princípio da Superposição.<br />
Figura 4.1: Problema geral do cálculo do campo elétrico<br />
Vamos escrever o campo elementar<br />
em um ponto P do espaço:<br />
r<br />
dE<br />
dE<br />
r<br />
dq<br />
1 dq<br />
r r rˆ.<br />
4π ε |<br />
−<br />
'|<br />
dq<br />
=<br />
2<br />
0 P<br />
gerado pelo elemento <strong>de</strong> carga dq<br />
(4.1)<br />
r r<br />
Note bem que<br />
P − ' é um vetor <strong>de</strong> origem no elemento <strong>de</strong> carga dq e<br />
extremida<strong>de</strong> no ponto P cuja posição é dada pelo vetor r P . A direção e sentido<br />
do vetor dE<br />
r<br />
dq<br />
são dadas pelo vetor unitário:<br />
Outra vez vamos proce<strong>de</strong>r da mesma maneira que fizemos no caso <strong>de</strong> cargas<br />
puntiformes: escolher um sistema <strong>de</strong> referência que será um elemento infinitesimal <strong>de</strong><br />
carga dq arbitrariamente localizado (não use pontos estratégicos; esse elemento<br />
r r<br />
P<br />
−<br />
'<br />
rˆ<br />
= r r .<br />
|<br />
−<br />
'|<br />
P<br />
(4.2)<br />
<strong>de</strong> carga <strong>de</strong>ve estar arbitrariamente localizado, <strong>de</strong> acordo com o sistema <strong>de</strong> referência<br />
que você escolheu). I<strong>de</strong>ntifique as três distâncias: r P , a localização do ponto <strong>de</strong><br />
observação, r′ , a localização do elemento arbitrário <strong>de</strong> carga e a distância<br />
entre dq e o seu ponto <strong>de</strong> observação. A figura 4.1 ilustra essa situação.<br />
Para conhecer o campo resultante <strong>de</strong>vemos integrar sobre todos os<br />
elementos <strong>de</strong> carga (aqui entra o Princípio da Superposição):<br />
r<br />
E<br />
r 1<br />
P<br />
) =<br />
4π ε<br />
R<br />
(<br />
2<br />
0 P<br />
∫<br />
dq<br />
r r rˆ.<br />
(4.3)<br />
(|<br />
−<br />
'|)<br />
Se a distribuição <strong>de</strong> cargas não for homogênea, o elemento <strong>de</strong> carga po<strong>de</strong><br />
<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>r do ponto r′ . Em geral, po<strong>de</strong>mos escrever:<br />
74<br />
75
(4.4)<br />
r<br />
dq = ρ (<br />
') dV ′<br />
on<strong>de</strong> ρ (r r ')<br />
é a <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> volumétrica <strong>de</strong> cargas (número <strong>de</strong> cargas por unida<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
volume) no ponto <strong>de</strong> vetor-posição<br />
r ' e d V ′ é o elemento <strong>de</strong> volume (você vai<br />
integrar sobre as variáveis <strong>de</strong>ntro da distribuição <strong>de</strong> cargas, não sobre um<br />
volume arbitrário).<br />
Com isso, a expressão mais geral para o campo eletrostático gerado por uma<br />
distribuição <strong>de</strong> cargas contínuas em um ponto cuja posição é especificada pelo vetor<br />
r P é:<br />
r r 1 (<br />
r ') dV ′ r<br />
E( P<br />
) = r r (<br />
3<br />
4<br />
∫ ρ<br />
πε (|<br />
−<br />
'|)<br />
0<br />
P<br />
P<br />
r<br />
−<br />
').<br />
(4.5)<br />
b<br />
x = ,<br />
(4.7)<br />
a<br />
reescreva sua resposta em termos <strong>de</strong> x e faça a expansão. Algumas expressões<br />
po<strong>de</strong>m ser encontradas no Apêndice D.<br />
4.2 CÁLCULO DO CAMPO ELÉTRICO EM DISTRIBUIÇÕES<br />
UNIDIMENSIONAIS DE CARGA<br />
Vamos começar com um exemplo simples que tem como objetivo ressaltar a<br />
importância <strong>de</strong> formular corretamente a lei <strong>de</strong> Coulomb no referencial escolhido. Além<br />
disso, vamos mostrar explicitamente que a sua resposta obviamente não po<strong>de</strong><br />
<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>r da escolha do referencial que você fizer. No entanto, é fundamental formular<br />
o problema <strong>de</strong> forma consistente com sua escolha.<br />
EXEMPLO 4.1<br />
Uma barra isolante <strong>de</strong> comprimento L uniformemente carregada com <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong><br />
4.1.2 FERRAMENTAS MATEMÁTICAS IMPORTANTES<br />
<strong>de</strong> carga linear λ . Calcule o campo elétrico a uma distância<br />
extremida<strong>de</strong>s da barra, na direção da mesma.<br />
x<br />
P <strong>de</strong> uma das<br />
Além dos pontos que já enfatizamos no que se refere a montar o problema,<br />
para resolver problemas que envolvem o cálculo do campo elétrico <strong>de</strong> distribuições<br />
contínuas <strong>de</strong> carga, é importante ter familiarida<strong>de</strong> com os vários elementos <strong>de</strong> volume<br />
d V ′ que po<strong>de</strong>m aparecer. No caso unidimensional, on<strong>de</strong> temos uma distribuição<br />
linear <strong>de</strong> cargas, o elemento <strong>de</strong> volume<br />
d V ′ se transforma em elemento <strong>de</strong><br />
comprimento dx’ ; a <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> volumétrica <strong>de</strong> cargas se reduz à <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> linear λ<br />
(número <strong>de</strong> cargas por unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> comprimento).<br />
RESOLUÇÃO: Vamos começar formulando o problema em um referencial com origem<br />
O na extremida<strong>de</strong> esquerda da barra e eixo Ox com sentido para a direita, ilustrado na<br />
figura 4.2. Seja î o unitário da direção do eixo.<br />
Outra ferramenta matemática importante é a expansão em série <strong>de</strong> Taylor.<br />
Uma das muitas utilizadas é:<br />
1<br />
= 1−<br />
x + x<br />
1+<br />
x 2<br />
1 2<br />
−L se x
As distâncias relevantes ao problema são:<br />
a) A distância x′ que localiza dq no referencial em questão;<br />
b) A distância x P<br />
+ L que localiza o ponto <strong>de</strong> observação;<br />
c) A distância "da lei <strong>de</strong> Coulomb" x P<br />
+ L − x′<br />
, distância entre dq e o ponto <strong>de</strong><br />
Vamos agora resolver o mesmo problema com a origem do referencial no<br />
ponto meio da barra, mostrado na figura 4.3.<br />
observação.<br />
A direção do campo está <strong>de</strong>senhada na figura 4.2. nnão se esqueça <strong>de</strong> sempre<br />
<strong>de</strong>senhar o campo - frequentemente haverá simetrias que po<strong>de</strong>m simplificar seus<br />
cálculos. O elemento diferencial do campo gerado por dq é:<br />
Então:<br />
r<br />
dE<br />
r<br />
E<br />
1<br />
4πε<br />
( x<br />
dq<br />
iˆ.<br />
+ L − x′<br />
)<br />
dq<br />
=<br />
2<br />
0 P<br />
1<br />
4π ε<br />
dq<br />
iˆ.<br />
+ L − x′<br />
)<br />
L<br />
= ∫0<br />
2<br />
0<br />
( xP<br />
Mas dq = λdx′<br />
. Para integrar, fazemos a transformação <strong>de</strong> variáveis u = xP + L − x′<br />
, o<br />
que dá:<br />
du = −dx′<br />
. Os limites <strong>de</strong> integração tem <strong>de</strong> ser mudadas. Para x′ = 0 ,<br />
<strong>de</strong>vemos ter u = xP + L ; para x ′ = L , u = xP<br />
. A integral fica:<br />
λ x<br />
P − du λ −1<br />
x λ ⎡ 1 1 ⎤<br />
P<br />
= + | =<br />
.<br />
2<br />
+ ⎢ − ⎥<br />
4<br />
∫<br />
u<br />
+<br />
x L<br />
πε x<br />
0 P<br />
L<br />
u 4π ε<br />
P<br />
0<br />
4π<br />
ε<br />
0 ⎣ xP<br />
xP<br />
+ L⎦<br />
r λ L<br />
Finalmente: E =<br />
iˆ<br />
.<br />
4π ε x ( x L)<br />
0<br />
P P<br />
+<br />
Agora vamos fazer um limite cuja resposta conhecemos, para testar o resultado<br />
obtido: sabemos que quando estamos muito longe da barra ( x P<br />
>>> L)<br />
<strong>de</strong>vemos obter<br />
o resultado da carga puntiforme, pois o tamanho da barra fica irrelevante. De longe<br />
vamos ver uma carga Q = λL<br />
na origem. Note que:<br />
r 1 λL<br />
ˆ<br />
Q<br />
E ≅ i =<br />
2<br />
4πε<br />
x 4π<br />
ε x<br />
0<br />
P<br />
2<br />
0 P<br />
iˆ<br />
( x<br />
P<br />
>> L).<br />
78<br />
da barra.<br />
Figura 4.3: Campo elétrico criado por uma barra. Origem do referencial no meio<br />
Da mesma forma que antes, temos:<br />
<strong>de</strong> observação.<br />
a) A distância x′ que localiza dq no referencial em questão;<br />
b) A distância x P<br />
+ L/2<br />
que localiza o ponto <strong>de</strong> observação;<br />
(c) A distância "da lei <strong>de</strong> Coulomb"<br />
Então:<br />
r<br />
dE<br />
x P<br />
+ L/2 − x′<br />
, distância entre dq e o ponto<br />
1 dq<br />
4π ε ( x + L/2<br />
− x )<br />
dq<br />
=<br />
2<br />
′<br />
0 P<br />
r 1 L/2<br />
dq<br />
e: E = iˆ<br />
.<br />
2<br />
4<br />
∫ + πε<br />
−L /2<br />
( x + L/2<br />
− x′<br />
)<br />
0<br />
A mudança <strong>de</strong> variável é agora: u = xP + L/2 − x′<br />
, com os limites <strong>de</strong> integração: para<br />
x′ = −l/2<br />
, u = xP + L ; para x ′ = + L/2<br />
, u = xP<br />
. A integral fica:<br />
+ L/2<br />
P<br />
x<br />
P<br />
∫ dx′<br />
= −<br />
−L/2<br />
∫x<br />
+<br />
P<br />
L<br />
du,<br />
r λ L<br />
dando: E =<br />
iˆ<br />
,<br />
4π ε x ( x L)<br />
0<br />
P P<br />
+<br />
que é o mesmo resultado que antes. Isto significa que o resultado é in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nte da<br />
escolha do referencial. A próxima ativida<strong>de</strong> usa o conhecimento que você já <strong>de</strong>ve ter<br />
adquirido no problema, incluindo agora um ingrediente novo.<br />
iˆ<br />
79
ATIVIDADE 4.1<br />
Consi<strong>de</strong>re que cada meta<strong>de</strong> da barra isolante do Exemplo 4.1 está carregada com<br />
diferentes <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> <strong>de</strong> carga linear λ<br />
1 e λ<br />
2 . Calcule o campo elétrico a uma distância<br />
x<br />
P<br />
<strong>de</strong> uma das extremida<strong>de</strong>s da barra, na direção da mesma.<br />
No exemplo 4.2 vamos calcular o campo elétrico para pontos sobre o<br />
eixo vertical da barra.<br />
EXEMPLO 4.2<br />
Consi<strong>de</strong>re um fio <strong>de</strong> comprimento L com <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> superficial <strong>de</strong> carga λ<br />
uniformemente distribuída, como mostra a figura 4.4. Determine o campo elétrico<br />
no ponto P x P<br />
, y ) .<br />
(<br />
P<br />
= 1 λdx′<br />
dE<br />
[( x x′<br />
) ˆ<br />
dq<br />
i y<br />
2 2<br />
4 [( x x ) y ]<br />
3/2 P<br />
− +<br />
π ε − ′ +<br />
Note que neste caso o vetor unitário que dá a direção <strong>de</strong><br />
daí o fator<br />
então:<br />
[( x ′ +<br />
P<br />
0<br />
P<br />
( x<br />
e =<br />
[( x<br />
P<br />
− x′<br />
) iˆ<br />
+ y ˆ<br />
P<br />
j<br />
,<br />
2 2<br />
− x′<br />
) + y ]<br />
ˆ P<br />
1/2<br />
P<br />
P<br />
dE<br />
r dq<br />
é:<br />
2 2 3/2<br />
P<br />
− x ) y ] no <strong>de</strong>nominador. A intensida<strong>de</strong> do campo elétrico é,<br />
r<br />
E<br />
Geral<br />
P<br />
ˆ]. j<br />
( ⎡ λ x<br />
0<br />
L ( xP<br />
− x′<br />
) dx′<br />
⎤<br />
xP<br />
, yP<br />
) = ⎢<br />
iˆ<br />
4<br />
∫ +<br />
x<br />
2 2<br />
0 [( xP<br />
x ) yP<br />
]<br />
3/2 ⎥<br />
⎣ π ε<br />
0 − ′ + ⎦<br />
⎡ λ x<br />
0<br />
+ ⎢ yP<br />
4<br />
∫ +<br />
x<br />
⎣ π ε<br />
0 0<br />
L<br />
[( x<br />
P<br />
dx′<br />
2<br />
− x′<br />
) + y<br />
]<br />
2 3/2<br />
P<br />
⎤<br />
⎥<br />
ˆ. j<br />
⎦<br />
A segunda integral é mais simples. Vamos começar por ela:<br />
I<br />
dx′<br />
2<br />
− x′<br />
) + y<br />
=<br />
x<br />
0<br />
L<br />
2 ∫ +<br />
x<br />
2<br />
0 [( x<br />
]<br />
3/2<br />
P<br />
P<br />
.<br />
Figura 4.4: Campo elétrico gerado por um fio uniforme.<br />
RESOLUÇÃO: Este é o caso mais geral que po<strong>de</strong>mos construir. Note a posição<br />
genérica do sistema <strong>de</strong> referência e do ponto <strong>de</strong> observação.<br />
a) Localização do ponto P : x iˆ<br />
+ y ˆj<br />
b) Localização <strong>de</strong> dq : x′<br />
iˆ<br />
P<br />
c) Localização do vetor distância entre dq e P : ( x − x′<br />
) iˆ<br />
+ y ˆj<br />
Temos:<br />
P<br />
P<br />
P<br />
A integral po<strong>de</strong> ser calculada fazendo a transformação <strong>de</strong> variáveis: u = xP − x′<br />
tal que<br />
′<br />
0<br />
du = −dx′<br />
. O limite <strong>de</strong> integração para x′ = x0<br />
fica u0 = xP − x0<br />
; e para x = x + L fica<br />
u1 = xP − x0<br />
+ L . Então, a integral fica:<br />
− du<br />
2<br />
+ y )<br />
u<br />
1<br />
u 2<br />
0 ( u<br />
P<br />
Uma nova substituição <strong>de</strong> variáveis: u = yP tg<br />
on<strong>de</strong><br />
∫<br />
θ = arctg<br />
θ<br />
u<br />
y P<br />
3/2<br />
.<br />
tal que du y sec 2<br />
= θ d<br />
P<br />
θ<br />
u0<br />
u1<br />
nos dá os seguintes limites <strong>de</strong> integração: θ<br />
1<br />
= arctg , θ<br />
2<br />
= arctg<br />
y<br />
P<br />
u P<br />
80<br />
81
Assim:<br />
2<br />
2<br />
u<br />
1 − du<br />
θ<br />
2 − y θ θ θ<br />
P<br />
sec d<br />
2 − yP<br />
sec θ dθ<br />
=<br />
=<br />
u 2 2 3/2<br />
2 2 2 3/2<br />
3 2<br />
0 ( u + y )<br />
∫θ<br />
1 ( t θ + )<br />
∫θ<br />
y g y<br />
1 y (tg<br />
θ + 1)<br />
∫<br />
P<br />
2<br />
2<br />
Lembrando que t g θ +1 = sec θ temos que:<br />
1 θ<br />
2 − dθ<br />
1 θ<br />
2<br />
1<br />
θ<br />
2<br />
= = cosθ<br />
dθ<br />
senθ<br />
| .<br />
2<br />
2<br />
2 θ<br />
y<br />
∫θ<br />
1<br />
1 secθ<br />
y<br />
∫ − =<br />
θ<br />
1<br />
y<br />
P<br />
2 2<br />
Como tg θ = u/<br />
yP<br />
, sabemos que sen θ = u/<br />
u + yP<br />
. Assim:<br />
senθ<br />
=<br />
Assim obtemos:<br />
I<br />
2<br />
=<br />
∫<br />
1<br />
x<br />
0<br />
+ L<br />
x<br />
0<br />
1<br />
I<br />
2<br />
=<br />
2<br />
y<br />
P<br />
( x<br />
P<br />
P<br />
x − x<br />
P<br />
− x )<br />
0<br />
2<br />
0<br />
+ y<br />
dx′<br />
[( x<br />
2<br />
− x′<br />
) + y ]<br />
[ senθ<br />
− senθ<br />
]<br />
2<br />
1<br />
2<br />
P<br />
2 3/2<br />
P<br />
=<br />
1<br />
⎡<br />
= ⎢<br />
2<br />
y<br />
P ⎢<br />
⎣<br />
u<br />
2<br />
∫<br />
u<br />
1<br />
P<br />
P<br />
e<br />
− du<br />
2<br />
( u + y )<br />
P<br />
2 3/2<br />
P<br />
+ L)<br />
[ x − ( x + L)<br />
]<br />
P<br />
x − ( x<br />
A integral que aparece na expressão <strong>de</strong><br />
transformação <strong>de</strong> variáveis:<br />
P<br />
P<br />
0<br />
0<br />
2<br />
2<br />
P<br />
senθ<br />
=<br />
1<br />
=<br />
y<br />
2<br />
P<br />
+ y<br />
2<br />
P<br />
u<br />
P<br />
2<br />
u + y<br />
−<br />
( x<br />
2 2<br />
[ x − ( x + L)<br />
] + y<br />
P<br />
P<br />
2<br />
P<br />
x − ( x<br />
P<br />
0<br />
0<br />
x<br />
P<br />
− x<br />
0<br />
+ L<br />
x<br />
P<br />
− x<br />
0<br />
x − x<br />
P<br />
0<br />
0<br />
2<br />
− x ) + y<br />
+ L)<br />
2<br />
P<br />
⎤<br />
⎥.<br />
⎥<br />
⎦<br />
E<br />
x po<strong>de</strong> ser calculada fazendo a<br />
u = x′<br />
− x tal que du = dx′<br />
. Ou seja, o limite <strong>de</strong><br />
′<br />
0<br />
integração para x′ = x0<br />
fica u1 = x0<br />
− xP<br />
; e para x = x + L fica u = ( x 0<br />
+ L)<br />
− xP<br />
Então, a primeira integral fica:<br />
x<br />
0<br />
L ( x )<br />
u<br />
P<br />
− x′<br />
dx′<br />
2 − u du 1<br />
I<br />
1 ∫ +<br />
=<br />
= cosθ<br />
|<br />
x<br />
2 2 3/2<br />
2 2 3/2<br />
0 [( x − x′<br />
) + y ]<br />
∫u<br />
1 ( u + y ) y<br />
θ<br />
2<br />
=<br />
θ<br />
1<br />
P<br />
P<br />
P<br />
P<br />
2 .<br />
,<br />
P<br />
2<br />
Uma nova substituição <strong>de</strong> variáveis: u = yP tgθ<br />
tal que du = yP<br />
sec θ dθ<br />
on<strong>de</strong><br />
θ = arctg<br />
u0<br />
nos dá os seguintes limites <strong>de</strong> integração: θ = arctg , θ<br />
2<br />
y<br />
Assim a integral fica:<br />
− u du<br />
u<br />
y P<br />
1<br />
1<br />
= arctg<br />
P<br />
u P<br />
− y<br />
− y<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
u<br />
2<br />
θ<br />
2<br />
θ<br />
P<br />
2 P<br />
=<br />
=<br />
u 2 2 3/2<br />
2 2 2 3/2<br />
3 2 3/2<br />
1 ( u + y )<br />
∫θ<br />
1 ( t θ + )<br />
∫θ<br />
P yP<br />
g yP<br />
1 y<br />
P<br />
(tg<br />
θ + 1)<br />
∫<br />
tgθ<br />
sec θ dθ<br />
u<br />
tgθ<br />
sec θ dθ<br />
2<br />
2<br />
Lembrando que t g θ +1 = sec θ temos que:<br />
2<br />
1 θ<br />
2 − tgθ<br />
sec θ dθ<br />
1 θ<br />
2 − tgθ<br />
dθ<br />
1 θ<br />
2<br />
1<br />
θ<br />
2<br />
= =<br />
= senθ<br />
dθ<br />
cosθ<br />
| .<br />
θ<br />
3<br />
θ<br />
y<br />
∫<br />
1 sec θ y<br />
∫<br />
− =<br />
θ<br />
1 secθ<br />
y<br />
∫θ<br />
1<br />
y<br />
1<br />
P<br />
2 2<br />
Como tg θ = u/<br />
yP<br />
, sabemos que cosθ = y<br />
P/<br />
u + yP<br />
. Assim:<br />
cosθ<br />
=<br />
1<br />
( x<br />
0<br />
y<br />
− x<br />
P<br />
P<br />
)<br />
2<br />
+ y<br />
O resultado da integral fica, portanto:<br />
1<br />
I1<br />
=<br />
y<br />
P<br />
2<br />
P<br />
e<br />
P<br />
cosθ<br />
=<br />
2<br />
[(<br />
x + L)<br />
− x ]<br />
0<br />
y<br />
P<br />
P<br />
2<br />
P<br />
x<br />
0<br />
L ( x )<br />
u<br />
P<br />
− x′<br />
dx′<br />
2 − u du 1<br />
I<br />
1 ∫ +<br />
==<br />
= cosθ<br />
|<br />
x<br />
2 2 3/2<br />
2 2 3/2<br />
0 [( x − x′<br />
) + y ]<br />
∫u<br />
1 ( u + y ) y<br />
P<br />
θ<br />
2<br />
=<br />
θ<br />
1<br />
P<br />
P<br />
P<br />
P<br />
[ cosθ<br />
− cosθ<br />
]<br />
2<br />
1<br />
⎡<br />
= ⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
1<br />
[(<br />
x + L)<br />
− x ]<br />
0<br />
2<br />
P<br />
+ y<br />
2<br />
P<br />
1<br />
−<br />
( x − x )<br />
0<br />
P<br />
2<br />
+ y<br />
,<br />
+ y<br />
Então o resultado final para as componentes do campo elétrico nos dá:<br />
2<br />
P<br />
2<br />
P<br />
.<br />
⎤<br />
⎥.<br />
⎥<br />
⎦<br />
Essa integral po<strong>de</strong> ser calculada com uma tabela <strong>de</strong> integrais ou seguindo os passos<br />
indicados a seguir.<br />
82<br />
83
e:<br />
Ex<br />
=<br />
4<br />
λ<br />
πε<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
Finalmente, o campo elétrico é:<br />
E<br />
Geral<br />
1<br />
[ ] ⎥ ⎥ 2 2<br />
2 2<br />
( x + − + (<br />
0<br />
− +<br />
0<br />
L)<br />
xP<br />
y x x<br />
P<br />
P<br />
yP<br />
⎦<br />
0 )<br />
λ<br />
⎡<br />
x (<br />
0<br />
)<br />
0<br />
=<br />
.<br />
4<br />
2 2<br />
2 2<br />
0 [ ( )]<br />
(<br />
0<br />
) ⎥ ⎥ ⎤<br />
⎢<br />
P<br />
− x + L<br />
x − xP<br />
E<br />
y<br />
−<br />
π ε yP<br />
⎢<br />
⎣ x −<br />
− +<br />
P<br />
x0<br />
+ L + y x x<br />
P<br />
P<br />
y<br />
P ⎦<br />
⎡<br />
1<br />
1<br />
( xP<br />
, y<br />
P<br />
) =<br />
iˆ<br />
4<br />
2 2<br />
2 2<br />
0 [(<br />
x L)<br />
x ] y ( x xP<br />
) y ⎥ ⎥ ⎤<br />
⎢ λ<br />
⎛<br />
⎞<br />
⎜<br />
−<br />
⎟<br />
⎢ π ε ⎜<br />
⎟<br />
⎣ ⎝ 0<br />
+ −<br />
P<br />
+<br />
P<br />
0<br />
− +<br />
P ⎠⎦<br />
⎡<br />
+ ⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
λ<br />
π ε<br />
⎛<br />
⎜<br />
x − ( x<br />
+ L)<br />
P 0<br />
0 P<br />
4 2 2<br />
2 2<br />
0<br />
y ⎜<br />
P [ x ( x )]<br />
( x0<br />
x ) y<br />
P<br />
−<br />
0<br />
+ L + y −<br />
P<br />
P<br />
+<br />
P<br />
⎝<br />
ATIVIDADE 4.2<br />
−<br />
−<br />
1<br />
x − x<br />
Calcular o campo <strong>de</strong> um fio semi-infinito que se esten<strong>de</strong> <strong>de</strong> x<br />
0 até ∞ .<br />
ATIVIDADE 4.3<br />
Calcular o campo gerado por um fio infinito em um ponto P ( x P<br />
, yP<br />
) .<br />
⎤<br />
⎞<br />
ˆ. j<br />
⎥ ⎥ ⎤<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠⎦<br />
RESPOSTA COMENTADA DAS ATIVIDADES PROPOSTAS<br />
ATIVIDADE 4.1<br />
O elemento diferencial <strong>de</strong> campo gerada pelas duas meta<strong>de</strong>s é:<br />
e<br />
r<br />
dE<br />
r<br />
dE<br />
1 λ1dx'<br />
4π ε ( x − x′<br />
)<br />
dq<br />
=<br />
2<br />
0 P<br />
1 λ2dx'<br />
4π ε ( x − x′<br />
)<br />
dq<br />
=<br />
2<br />
0 P<br />
Integrando sobre toda a barra temos:<br />
r<br />
E<br />
1<br />
iˆ<br />
iˆ<br />
λ dx′<br />
1<br />
( x − x′<br />
)<br />
0 ≤x≤<br />
L/2<br />
L/2<br />
≤x≤L/2.<br />
iˆ<br />
1<br />
+<br />
4π ε<br />
λ dx′<br />
2<br />
( x − x )<br />
L/2<br />
L<br />
=<br />
2<br />
4<br />
L/2<br />
2<br />
π ε ∫0<br />
∫<br />
0 P<br />
0<br />
′<br />
P<br />
A integral que aparece na expressão po<strong>de</strong> ser calculada fazendo a transformação <strong>de</strong><br />
variáveis:<br />
integral fica:<br />
ou:<br />
u = xP − x′<br />
tal que du = −dx′<br />
. Recalculando os limites <strong>de</strong> integração a<br />
λ1 −1<br />
u2<br />
= x<br />
P<br />
−L/2<br />
2<br />
= | ˆ<br />
λ2<br />
−1<br />
u = x<br />
P<br />
−L<br />
u<br />
u<br />
i u | ˆ,<br />
1 = x<br />
+<br />
u1<br />
x L/2<br />
i<br />
4<br />
P<br />
=<br />
4<br />
P<br />
−<br />
π ε<br />
π ε<br />
0<br />
r λ1<br />
E =<br />
4π ε x<br />
0<br />
P<br />
L/2<br />
ˆ<br />
λ2<br />
i +<br />
( x − L/2)<br />
4π<br />
ε ( x<br />
P<br />
0<br />
0<br />
P<br />
L/2<br />
− L/2)(<br />
x<br />
P<br />
iˆ<br />
iˆ.<br />
− L)<br />
Po<strong>de</strong>mos reescrever a resposta em termos das cargas totais Q λ /2 e Q λ /2 :<br />
Note que se<br />
r<br />
E =<br />
1<br />
4π ε<br />
x P<br />
>> L , então teremos:<br />
0<br />
Q1<br />
ˆ<br />
1<br />
i +<br />
x ( x − L/2)<br />
4π<br />
ε ( x<br />
P<br />
P<br />
r 1 Q1<br />
+ Q<br />
E →<br />
2<br />
4 π ε x<br />
0<br />
0<br />
P<br />
2<br />
P<br />
Q2<br />
− L/2)(<br />
x<br />
iˆ.<br />
1<br />
= 1<br />
L<br />
P<br />
iˆ.<br />
− L)<br />
2<br />
= 2<br />
L<br />
Se as cargas forem opostas, para pontos muito distantes da barra o campo será nulo.<br />
Isso não acontece fora <strong>de</strong>sse limite, pois o tamanho da barra vai ter o papel <strong>de</strong><br />
"<strong>de</strong>sbalancear" as contribuições positiva e negativa, uma vez que uma <strong>de</strong>las estará<br />
mais distante <strong>de</strong><br />
x<br />
P<br />
.<br />
84<br />
85
ATIVIDADE 4.2<br />
Para obtermos o campo em um ponto P ( x P<br />
, y<br />
p<br />
) basta tomar, na expressão geral do<br />
exemplo 4.2:<br />
E = lim E<br />
L→∞<br />
Da componente x sobra apenas o segundo termo entre parênteses, o primeiro ten<strong>de</strong> a<br />
zero. Então:<br />
Para calcular<br />
0<br />
Geral<br />
λ 1<br />
E<br />
ˆ<br />
x<br />
= i ( L → ∞).<br />
4π ε<br />
2 2<br />
0 ( x − x ) + y<br />
E<br />
y<br />
neste limite, notemos que:<br />
P<br />
P<br />
Aqui precisamos ter cuidado: como x<br />
0 é um número negativo, vemos que:<br />
lim<br />
x<br />
0<br />
→−∞<br />
( x − x<br />
0<br />
0<br />
( x − x<br />
P<br />
)<br />
P<br />
2<br />
)<br />
+ y<br />
2<br />
P<br />
=<br />
lim<br />
x<br />
0<br />
→−∞<br />
( x − x )<br />
0<br />
( x − x )<br />
0<br />
⎛<br />
1+<br />
⎜<br />
⎝<br />
pois o <strong>de</strong>nominador será positivo nesse limite. Portanto:<br />
P<br />
λ<br />
E<br />
y<br />
=<br />
4π ε y<br />
P<br />
2<br />
=<br />
lim<br />
x<br />
0<br />
→−∞<br />
⎛<br />
1+<br />
⎜<br />
⎝<br />
( x − x ) ⎟<br />
⎜ ( x − x )<br />
0<br />
y<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
λ<br />
[1−<br />
( −1)]<br />
= 2<br />
4πε<br />
y<br />
P<br />
P<br />
λ<br />
=<br />
2π ε y<br />
0 P<br />
0 P<br />
0 P<br />
.<br />
1<br />
0<br />
y<br />
P<br />
P<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
= 1,<br />
lim<br />
L→∞<br />
[(<br />
x0<br />
+ L)<br />
− xP<br />
]<br />
2<br />
[(<br />
x + L)<br />
− x ] +<br />
0<br />
P<br />
= lim<br />
L→∞<br />
y<br />
2<br />
P<br />
[(<br />
x + L)<br />
− x ]<br />
0<br />
[(<br />
x + L)<br />
− x ]<br />
P<br />
0<br />
⎧<br />
1+<br />
⎨<br />
⎩<br />
[(<br />
x + L)<br />
− x ]<br />
0<br />
P<br />
y<br />
P<br />
P<br />
2<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭<br />
= 1.<br />
PENSE E RESPONDA<br />
PR4.1) O que é um quadrupolo elétrico? Faça um <strong>de</strong>senho da configuração das cargas.<br />
Assim, o campo elétrico na direção y para um fio semi-infinito fica<br />
E<br />
λ<br />
⎡<br />
= ⎢<br />
4π ε<br />
0 ⎢<br />
⎣<br />
1<br />
⎛<br />
iˆ<br />
+ ⎜1−<br />
⎜<br />
⎝<br />
( x − x )<br />
0 P<br />
fio semi−inf<br />
.<br />
L<br />
2 2<br />
2 2<br />
( x0<br />
− xP<br />
) + yP<br />
( x0<br />
− xP<br />
) + yP<br />
⎞⎤<br />
ˆj<br />
⎟⎥<br />
⎟⎥<br />
⎠⎦<br />
r 1<br />
PR4.2) O campo elétrico <strong>de</strong> um dipolo elétrico varia com Edipolo<br />
∝ . Você espera que<br />
3<br />
r<br />
o campo <strong>de</strong> um quadrupolo varie com potências mais altas <strong>de</strong> r ?<br />
P<br />
ATIVIDADE 4.3<br />
Para obter este resultado <strong>de</strong>vemos fazer, no resultado da Ativida<strong>de</strong> 4.2 o limite <strong>de</strong><br />
x<br />
0<br />
→ −∞ . Pela simetria envolvida agora no problema (faça um <strong>de</strong>senho, se não<br />
conseguir perceber isto!) a componente<br />
E<br />
x,<br />
∞<br />
λ<br />
= lim<br />
x →0<br />
4πε<br />
0<br />
E<br />
y<br />
do campo se anula, pois:<br />
0<br />
1<br />
( x − x )<br />
0<br />
2<br />
P<br />
+ y<br />
2<br />
P<br />
= 0<br />
E<br />
y,<br />
∞<br />
= lim<br />
4<br />
x<br />
0<br />
→∞<br />
λ<br />
π ε<br />
0<br />
⎡<br />
⎢1<br />
−<br />
yP<br />
⎢⎣<br />
( x<br />
( x<br />
0<br />
0<br />
− x )<br />
− x )<br />
P<br />
2<br />
P<br />
+ y<br />
2<br />
P<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
86<br />
87
AULA 5: CÁLCULO DO CAMPO ELÉTRICO PARA<br />
DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGA EM DUAS E TRÊS<br />
DIMENSÕES<br />
A <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> volumétrica <strong>de</strong> cargas se reduz à <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> superficial σ<br />
(número <strong>de</strong> cargas por unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> área).<br />
(c) Distribuição volumétrica <strong>de</strong> cargas: o elemento <strong>de</strong> volume<br />
ser expresso das seguintes por<br />
d V ′ po<strong>de</strong><br />
OBJETIVOS<br />
• CALCULAR O CAMPO ELÉTRICO PARA QUALQUER DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA DE CARGA<br />
• d V ′ = dx dy dz para coor<strong>de</strong>nadas cartesianas, figura 5.2a;<br />
• dV<br />
′ = ρ dρ<br />
dφ<br />
dz para coor<strong>de</strong>nadas cilíndricas, figura 5.2b;<br />
• IDENTIFICAR E EXPRESSAR OS ELEMENTOS DE SUPERFÍCIE E DE VOLUME<br />
2<br />
• dV ′ = r sinθ<br />
dr dφ<br />
dθ<br />
para coor<strong>de</strong>nadas esféricas, figura 5.2c.<br />
5.1 ELEMENTOS DE SUPERFÍCIE E DE VOLUME<br />
Para resolver problemas que envolvem o cálculo do campo elétrico <strong>de</strong><br />
distribuições contínuas <strong>de</strong> carga em duas e três dimensões, é importante conhecer os<br />
elementos <strong>de</strong> volume<br />
d V ′ . Ou seja:<br />
A <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> volumétrica <strong>de</strong> cargas, chamada <strong>de</strong> ρ, indica o número <strong>de</strong><br />
cargas por unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> volume.<br />
(a) Distribuição superficial <strong>de</strong> cargas: aqui o elemento <strong>de</strong> volume<br />
reduz ao elemento <strong>de</strong> área:<br />
d V ′ se<br />
• d A′ = dx dy para coor<strong>de</strong>nadas cartesianas em uma superfície plana,<br />
como ilustra a figura 4.2a;<br />
• d A′ = rdr dθ<br />
para coor<strong>de</strong>nadas polares (por exemplo, em um disco,<br />
figura 5.1b.<br />
Figura 5.2: Elementos <strong>de</strong> volume: (a) coor<strong>de</strong>nadas cartesianas, (b) cilíndricas e (c)<br />
esféricas.<br />
5.2 CÁLCULO DO CAMPO ELÉTRICO PARA DISTRIBUIÇÕES DE CARGA<br />
EM DUAS DIMENSÕES<br />
Figura 5.1: Elementos <strong>de</strong> área no plano: (a) coor<strong>de</strong>nadas cartesianas e (b) polares.<br />
88<br />
Antes <strong>de</strong> prosseguir é importante relembrar a discussão do item 4.1 sobre os<br />
problemas que envolvem o cálculo do campo elétrico <strong>de</strong> distribuições contínuas <strong>de</strong><br />
carga, tendo em mente que os passos a seguir são os mesmos. Vamos então começar<br />
com o exemplo 5.1 da espira metálica.<br />
89
EXEMPLO 5.1<br />
Consi<strong>de</strong>re uma espira metálica <strong>de</strong> raio R carregada com uma carga total Q<br />
positiva, como mostra a figura 5.1. Calcule o campo elétrico no eixo que passa pelo<br />
centro da espira.<br />
r<br />
dE<br />
λ Rdθ<br />
′<br />
cosφ<br />
kˆ.<br />
2 2<br />
4π ε ( R + z )<br />
= dq<br />
2<br />
0<br />
P<br />
r<br />
Tal que ( r λ 2π<br />
Rdθ<br />
′<br />
E ) = =<br />
cos kˆ<br />
anel<br />
z<br />
P ∫ dEdq<br />
φ .<br />
2 2<br />
4π ε<br />
∫0<br />
( R + z )<br />
2<br />
0<br />
P<br />
r<br />
2 2<br />
Como cosφ = z<br />
P/<br />
R + zP<br />
vem: = λ R 2π<br />
z<br />
P ˆ<br />
∫ dEdq<br />
d<br />
k.<br />
2 2<br />
4<br />
∫ θ ′<br />
π ε<br />
0<br />
( R + z )<br />
3/2<br />
0<br />
P<br />
Repare que o integrando não <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> θ′. Fica então, muito fácil:<br />
r<br />
E<br />
λ2π<br />
Rz<br />
P ˆ Q z<br />
P<br />
) =<br />
k =<br />
2 2 3/2<br />
2<br />
4π ε ( R + z ) 4π<br />
ε ( R + z<br />
( anel<br />
z<br />
P<br />
2<br />
)<br />
3/2<br />
0<br />
P<br />
0<br />
P<br />
kˆ.<br />
(5.1)<br />
Note que o campo na origem z<br />
P<br />
= 0 é nulo, como seria <strong>de</strong> se esperar por simetria.<br />
Outra vez, se<br />
z P<br />
>> R , <strong>de</strong>vemos obter o campo <strong>de</strong> uma carga puntiforme. O<br />
Figura 5.1: Espira carregada com uma carga Q.<br />
SOLUÇÃO: Da figura, vemos que:<br />
a) Para qualquer dq no aro, a distância que o localiza a partir do centro é<br />
sempre r ′ = R .<br />
r<br />
b) A localização do ponto <strong>de</strong> observação é = z kˆ<br />
.<br />
c) A distância entre dq e P é<br />
2 2<br />
R + z P .<br />
Simetria: Vemos que, pela simetria do problema, o campo gerado por qualquer<br />
elemento <strong>de</strong> carga dq , terá um correspon<strong>de</strong>nte simétrico com relação à origem, cujo<br />
campo terá uma componente horizontal idêntica e na vertical <strong>de</strong> mesmo módulo e<br />
sentido. A carga total na espira Q = (2π R)<br />
λ tal que dq = λRdθ.<br />
P<br />
P<br />
parâmetro adimensional que caracteriza essa condição é:<br />
Reescrevendo:<br />
( R<br />
2<br />
z<br />
+<br />
P<br />
2<br />
z<br />
P<br />
x =<br />
)<br />
3/2<br />
R<br />
z P<br />
=<br />
z<br />
EXEMPLO 5.2<br />
Consi<strong>de</strong>remos um aro uniformemente carregado, com <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> superficial <strong>de</strong><br />
carga λ > 0 , e calcule o campo elétrico na origem do sistema <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas da figura<br />
5.2.<br />
Ativida<strong>de</strong> 5.2<br />
Qual é a força exercida sobre uma carga q=10,0 μC colocada à distância <strong>de</strong> 1,0 m do<br />
anel do Exemplo 5.2, supondo esta carga <strong>de</strong> 6,0 μC?<br />
EXEMPLO 5.3<br />
Consi<strong>de</strong>re um disco <strong>de</strong> raio R com <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> superficial uniforme <strong>de</strong> carga σ<br />
em sua face superior. Calcule o campo elétrico gerado por ele no ponto P situado<br />
sobre seu eixo.<br />
Figura 5.2: Aro uniformemente carregado.<br />
SOLUÇÃO: Aqui novamente por simetria, o campo na direção x se anulará, visto que<br />
haverá um elemento que gera um campo na direção <strong>de</strong> y negativo. Devemos calcular<br />
então:<br />
ou:<br />
r<br />
E(<br />
x<br />
P<br />
= 0, y<br />
p<br />
r<br />
E<br />
λ<br />
4π ε<br />
Rλ<br />
= 0) = +<br />
4πε<br />
R<br />
r<br />
E(<br />
x<br />
∫<br />
λ R dθ<br />
′<br />
|= −<br />
,<br />
4π ε<br />
| dE dq<br />
2<br />
0<br />
R<br />
R dθ<br />
′ cosθ<br />
′ λR<br />
⋅ ( −iˆ)<br />
=<br />
2<br />
R<br />
4π ε R<br />
= 2<br />
0<br />
0<br />
p<br />
0<br />
2<br />
= 0, y<br />
p<br />
senθ<br />
′<br />
+ π/3<br />
−π/3<br />
λ<br />
( −iˆ)<br />
= +<br />
4πε<br />
R<br />
λ 3 1,73λ<br />
= 0) = ( −iˆ)<br />
= ( −iˆ).<br />
4πε<br />
R 4πε<br />
R<br />
0<br />
0<br />
∫<br />
cosθ<br />
′ dθ<br />
′ ( −iˆ)<br />
[ sen(<br />
π/3)<br />
− sen(<br />
−π/3)<br />
](<br />
−iˆ),<br />
,<br />
0<br />
(5.3)<br />
Figura 5.3: Campo elétrico gerado por um disco carregado.<br />
SOLUÇÃO: Tendo i<strong>de</strong>ntificado todos os elementos essenciais ao nosso cálculo na<br />
figura, notemos ainda que, outra vez, por simetria, teremos apenas resultado não nulo<br />
para o campo na direção ẑ . A carga total no disco é Q = πR<br />
2 σ tal que dq = σ r′ dr′<br />
dθ<br />
′.<br />
O elemento infinitesimal <strong>de</strong> campo é:<br />
σ r′<br />
dr′<br />
dθ<br />
′<br />
|=<br />
2 2<br />
4π ε ( r′<br />
+ z )<br />
| dEdq<br />
2<br />
0 P<br />
.<br />
92<br />
93
Tal que o campo é dado por ( σ r′<br />
dr′<br />
cosφ<br />
dθ<br />
′<br />
E z ) =<br />
zˆ<br />
P ∫<br />
.<br />
2 2<br />
4π<br />
ε ( r′<br />
+ z )<br />
2<br />
0<br />
P<br />
r<br />
φ ( σ 2π<br />
R r′<br />
dr′<br />
E z<br />
P<br />
) = d<br />
zˆ<br />
.<br />
2 2<br />
4<br />
∫ θ ′<br />
π ε<br />
0 ∫0<br />
( r′<br />
+ z )<br />
3/2<br />
2 2<br />
E como cos = y<br />
P/<br />
r′<br />
+ z P<br />
:<br />
0<br />
P<br />
A integração em θ′ po<strong>de</strong> ser feita imediatamente e dá um fator<br />
simples:<br />
2 2<br />
u = r′ + z<br />
P<br />
→ du = 2 r′<br />
dr′<br />
2 π . A integral é<br />
Figura 5.4: Disco plano com distribuição superficial <strong>de</strong> carga homogênea.<br />
Então, o campo elétrico no ponto situado à distâcia z do centro do anel é:<br />
′<br />
( r′<br />
R<br />
∫0<br />
′<br />
2 2<br />
r dr 1 R + z<br />
2 2<br />
P du 1/2 R + z<br />
P<br />
=<br />
= −u<br />
|<br />
2 2 3/2 2 3/2<br />
2<br />
+ z ) 2<br />
∫z<br />
z<br />
P<br />
P u<br />
P<br />
E(<br />
z<br />
P<br />
1 dq 2πσ<br />
r dr<br />
) = ∫ dE =<br />
2<br />
2 2<br />
4<br />
∫ =<br />
π ε r 4πε<br />
∫<br />
( r + z )<br />
0<br />
R<br />
0 0<br />
.<br />
3 / 2<br />
P<br />
Finalmente, substituindo na expressão para o campo. Vem:<br />
Esta integral foi feita no Exemplo 4.3. O resultado então é:<br />
r<br />
E(<br />
z<br />
P<br />
σ ⎡<br />
) = ⎢1<br />
−<br />
2ε<br />
0 ⎢<br />
⎣<br />
z<br />
P<br />
2<br />
R + z<br />
2<br />
P<br />
⎤<br />
⎥ zˆ.<br />
⎥<br />
⎦<br />
(5.4)<br />
r<br />
E(<br />
z<br />
P<br />
σ ⎡<br />
) = ⎢1<br />
−<br />
2ε<br />
0 ⎢<br />
⎣<br />
z ⎤<br />
P<br />
⎥ zˆ.<br />
2 2<br />
R + z ⎥<br />
P ⎦<br />
(5.5)<br />
Ativida<strong>de</strong> 5.3<br />
Calcule o campo elétrico para pontos muito distantes do disco do exemplo 5.3<br />
Ativida<strong>de</strong> 5.4<br />
Qual seria o valor do campo elétrico caso<br />
consi<strong>de</strong>rar o disco como um plano infinito <strong>de</strong> cargas?<br />
R >> z<br />
P ? Nesse caso você po<strong>de</strong>ria<br />
EXEMPLO 5.4<br />
SOLUÇÃO ALTERNATIVA PARA O PROBLEMA DO DISCO CARREGADO<br />
Ao invés <strong>de</strong> resolvermos o problema com a integração direta do campo como acima,<br />
po<strong>de</strong>mos resolver o problema dividindo o disco em elementos <strong>de</strong> área dσ, constituidos<br />
por anéis <strong>de</strong> raio r e espessura dr como mostrado na Figura 5.4.<br />
O elemento <strong>de</strong> área do anel é: da = (2π<br />
r)<br />
dr<br />
5.3 CÁLCULO DO CAMPO ELÉTRICO EM DISTRIBUIÇÕES DE CARGA EM<br />
TRÊS DIMENSÕES<br />
O exemplo 5.5 mostra a dificulda<strong>de</strong> <strong>de</strong> calcularmos o campo elétrico <strong>de</strong><br />
distribuições contínuas <strong>de</strong> carga, por causa das integrais (no caso mais geral, triplas)<br />
que aparecem durante o cálculo e exigem muito trabalho. É possível evitar ter que<br />
efetuar essas integrais e resolver o mesmo problema em algumas linhas efetuando no<br />
máximo uma integral unidimensional. O que nos proporciona isso é a lei <strong>de</strong> Gauss, que<br />
veremos na próxima unida<strong>de</strong>.<br />
94<br />
95
Então, até como motivação para apren<strong>de</strong>r a lei <strong>de</strong> Gauss, vamos antes disso<br />
mostrar como resolver o problema da esfera uniformemente carregada pelos métodos<br />
que já apren<strong>de</strong>mos. Depois vamos ver como a lei <strong>de</strong> Gauss simplifica tudo.<br />
vem:<br />
r − r = −r<br />
senθ<br />
cosφ<br />
iˆ<br />
− r senθ<br />
senφ<br />
ˆj<br />
+ ( r − rcosθ<br />
) kˆ.<br />
P<br />
P<br />
EXEMPLO 5.5<br />
Utilizando a Lei <strong>de</strong> Coulomb, encontre o campo elétrico em pontos internos e externos<br />
a uma esfera uniformemente carregada com <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> volumétrica <strong>de</strong> carga ρ .<br />
SOLUÇÃO: O procedimento é idêntico ao que adotamos anteriormente. Temos que:<br />
1) escolher um referencial conveniente;<br />
2) escolher um elemento <strong>de</strong> carga arbitrário dq;<br />
3) <strong>de</strong>senhar o campo por ele gerado;<br />
4) <strong>de</strong>finir a posição r do elemento <strong>de</strong> carga dq , relativa ao referencial<br />
escolhido;<br />
5) <strong>de</strong>finir a posição do ponto <strong>de</strong> observação;<br />
6) <strong>de</strong>finir a distância entre esses dois pontos, que é o que nos pe<strong>de</strong> a lei <strong>de</strong><br />
Coulomb.<br />
Se fizermos isso cuidadosamente, o problema estará essencialmente resolvido e se<br />
resumirá a resolver integrais complicadas. Vamos escolher então o referencial. Como<br />
essa escolha é arbitrária, po<strong>de</strong>mos colocar o ponto <strong>de</strong> integração sobre o eixo z. A lei<br />
<strong>de</strong> Coulomb nos fornece:<br />
O módulo do vetor<br />
r<br />
dE<br />
r r<br />
1 dq<br />
P<br />
−<br />
r r r r .<br />
4π ε<br />
0 |<br />
−<br />
| |<br />
−<br />
|<br />
dq<br />
=<br />
2<br />
P<br />
P<br />
(5.6)<br />
r r − po<strong>de</strong> ser escrito em termos das cor<strong>de</strong>nadas esféricas. A<br />
r P<br />
figura 5.6 ilustra o sistema <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas utilizado. Como:<br />
r<br />
= rsenθ cosφiˆ<br />
− rsenθsenφ<br />
ˆj<br />
+ rcosθ<br />
kˆ.<br />
e<br />
r<br />
= r kˆ<br />
P<br />
P<br />
Figura 5.5: Escolha do referencial: coor<strong>de</strong>nadas esféricas.<br />
Assim, <strong>de</strong> acordo com a equação (5.6) o elemento <strong>de</strong> campo elétrico gerado por<br />
d q<br />
on<strong>de</strong>:<br />
= ρdV<br />
fica:<br />
r<br />
dE<br />
2<br />
1 ρr<br />
dr senθ<br />
dθ<br />
dφ<br />
2 2<br />
4πε<br />
[ r + r − 2r<br />
rcosθ<br />
]<br />
= dq<br />
3/2<br />
0 p<br />
P<br />
r − r<br />
P<br />
r<br />
(<br />
2 2<br />
1/2<br />
= [ rp<br />
+ r − 2 rP<br />
r cosθ<br />
]<br />
2<br />
e: dV = r dr senθ<br />
dθ<br />
dφ<br />
P<br />
r<br />
−<br />
),<br />
é o elemento <strong>de</strong> volume em coor<strong>de</strong>nadas esféricas. Po<strong>de</strong>mos agora verificar<br />
explicitamente que os campos nas direções x e y se anulam. Para isso, escreva a<br />
componente do elemento dE<br />
r<br />
dq<br />
na direção x e o integre sobre o volume da esfera:<br />
96<br />
97
π<br />
ρ θ<br />
θ<br />
π<br />
r sen<br />
E = r<br />
2<br />
R<br />
2<br />
dE iˆ<br />
1<br />
x ∫ • dq<br />
= ∫ dr d<br />
[ r senθ<br />
cosφ]<br />
dφ<br />
0 ∫ ∫<br />
−<br />
0 0<br />
2 2<br />
4π ε [ r + r − 2 r r cosθ<br />
]<br />
3/2<br />
A integral sobre φ só envolve o<br />
0<br />
p<br />
P<br />
cos φ que, integrado no intervalo <strong>de</strong> 0 a 2 π se<br />
anula. Um argumento completamente análogo vai levar você a concluir que:<br />
E x<br />
= E y<br />
= 0.<br />
Depois <strong>de</strong> usar a equação 5.7 no <strong>de</strong>nominador:<br />
2<br />
r senθ<br />
( rP<br />
− r cosθ<br />
)<br />
2 2<br />
[ r + r − 2 r r cosθ<br />
]<br />
p<br />
2<br />
r senθ<br />
( rP<br />
− r cosθ<br />
)<br />
2 2<br />
[ r + r − 2 r r cosθ<br />
]<br />
p<br />
P<br />
P<br />
3/2<br />
3/2<br />
dθ<br />
=<br />
[ r<br />
2<br />
r ( r rp<br />
senθ<br />
dθ<br />
− r senθ<br />
cosθ<br />
dθ<br />
)<br />
dθ<br />
= =<br />
2 2 3/2<br />
[ r + r + t]<br />
2<br />
p<br />
r<br />
2<br />
+ r + t]<br />
3/2<br />
2 r r<br />
[<br />
p<br />
p<br />
senθ<br />
dθ<br />
2r rp<br />
cosθ<br />
2r rp<br />
senθ<br />
dθ<br />
+ ( −<br />
)]<br />
2<br />
2r<br />
2r<br />
p<br />
p<br />
Então, o que nos resta é calcular<br />
trabalhoso, como você verá a seguir.<br />
A integral<br />
E<br />
z que <strong>de</strong>sejamos é:<br />
E<br />
z . Entretanto, o cálculo <strong>de</strong>sta integral é muito<br />
2<br />
r senθ<br />
( rP<br />
− r cosθ<br />
)<br />
2 2<br />
[ r + r − 2 r r cosθ<br />
]<br />
p<br />
P<br />
3/2<br />
dθ<br />
=<br />
[ r<br />
r<br />
2<br />
+ r + t]<br />
dt t dt r<br />
[ + ] =<br />
2 2 2<br />
2 4r<br />
[ r + r + t]<br />
[ +<br />
2 3/2<br />
3/2<br />
p<br />
p p<br />
2<br />
1<br />
t<br />
] dt<br />
2<br />
4r<br />
p<br />
E<br />
r<br />
ˆ ρ R<br />
• k = − dr<br />
2ε<br />
∫0<br />
∫0<br />
2<br />
r senθ<br />
( rP<br />
− r cosθ<br />
)<br />
2 2<br />
[ r + r − 2 r r cosθ<br />
]<br />
=<br />
π<br />
z ∫ dEdq<br />
3/2<br />
0<br />
p<br />
P<br />
dθ.<br />
2<br />
r senθ<br />
( rP<br />
− r cosθ<br />
)<br />
2 2<br />
[ r + r − 2 r r cosθ<br />
]<br />
p<br />
P<br />
3/2<br />
2<br />
r 2rp<br />
+ t<br />
dθ<br />
=<br />
dt.<br />
2 2 3/2 2<br />
[ r + r + t]<br />
4r<br />
p<br />
p<br />
A integração sobre a variável θ po<strong>de</strong> ser efetuada fazendo a seguinte transformação<br />
<strong>de</strong> variáveis:<br />
t = − 2 r r cosθ<br />
→ dt = 2 r r senθ<br />
dθ.<br />
(5.7)<br />
P<br />
+<br />
Esta transformação afeta apenas a integral em θ , vamos escrevê-la como:<br />
2<br />
( π r senθ<br />
( rP<br />
− rcosθ<br />
)<br />
I r)<br />
= ∫0<br />
2 2<br />
[ r + r − 2 r r cosθ<br />
]<br />
3/2<br />
p<br />
P<br />
dθ.<br />
O integrando po<strong>de</strong> ser preparado para integração da seguinte forma:<br />
2<br />
r senθ<br />
( rP<br />
− r cosθ<br />
)<br />
2 2<br />
[ r + r − 2 r r cosθ<br />
]<br />
p<br />
P<br />
3/2<br />
2<br />
3<br />
( r rp<br />
senθ<br />
− r senθ<br />
cosθ<br />
)<br />
dθ<br />
= dθ<br />
=<br />
2 2<br />
3/2<br />
[ r + r − 2 r r cosθ<br />
]<br />
p<br />
P<br />
P<br />
Assim, ficamos com:<br />
em que:<br />
2<br />
= ρ R + 2r r<br />
P r (2r<br />
t)<br />
R<br />
P<br />
+ ρ r<br />
Ez<br />
dr<br />
dt = I ( r)<br />
dr,<br />
2 2 2 3/2<br />
2<br />
2ε<br />
∫ 0 ∫−<br />
2r r<br />
P 4r<br />
[ r + r + t]<br />
ε ∫0<br />
4r<br />
1<br />
0<br />
2<br />
( 2r r<br />
P (2rP<br />
+ t)<br />
I1 r)<br />
≡ ∫ + dt.<br />
−2<br />
r r 2 2<br />
P [ r + r + t]<br />
3/2<br />
p<br />
P<br />
p<br />
2 2<br />
Fazendo uma nova transformação <strong>de</strong> variáveis: u = r + rP + t,<br />
po<strong>de</strong>mos notar que<br />
2 2 2<br />
u − r + rP = 2rP<br />
+ t,<br />
d o que nos permite reescrever a integral acima como:<br />
I ( r)<br />
≡<br />
1<br />
2<br />
(2rP<br />
+ t)<br />
2 2<br />
[ r + r + t]<br />
2 2<br />
( r+<br />
r<br />
P<br />
) ( u − r + r<br />
dt = . ∫ 2<br />
( r−r<br />
P<br />
) [ u]<br />
+ 2r r<br />
P<br />
∫−<br />
2r r<br />
3/2<br />
3/2<br />
P p<br />
0<br />
P<br />
2<br />
P<br />
)<br />
du<br />
98<br />
99
Tal que<br />
I ( r)<br />
=<br />
1<br />
( r+<br />
r )<br />
2<br />
P<br />
( r−r<br />
)<br />
2<br />
P<br />
∫<br />
⎡(<br />
r − r<br />
⎢<br />
⎣ u<br />
2 2<br />
P<br />
3/2<br />
2 2<br />
) 1 ⎤ ⎡(<br />
rP<br />
− r ) 1 ⎤<br />
+ du<br />
1/2 ⎥ = ⎢ +<br />
3/2 1/2 ⎥<br />
u ⎦ ⎣ u u ⎦<br />
2 2<br />
2 2<br />
⎡ ( rP<br />
− r ) ( rP<br />
− r )<br />
= 2⎢−<br />
+ ( r + rP<br />
) + − | r<br />
⎣ ( r + rP<br />
)<br />
| rP<br />
− r |<br />
P<br />
⎤<br />
− r | ⎥,<br />
⎦<br />
2<br />
( r+<br />
rP<br />
)<br />
2<br />
( r−rP<br />
)<br />
2<br />
on<strong>de</strong> | rP<br />
− r |= ( rP<br />
− r)<br />
. É preciso ter muito cuidado com as duas raízes. Portanto é<br />
E vemos portanto que o campo elétrico cresce para pontos <strong>de</strong>ntro da esfera à<br />
medida que a carga interna à superfície esférica on<strong>de</strong> se encontra<br />
crescendo.<br />
r<br />
P<br />
vai<br />
Um gráfico do campo elétrico obtido, como função da distância a partir da origem é<br />
mostrado na Figura 5.6. Note que o campo elétrico é contínuo para<br />
r P<br />
= R , conforme<br />
po<strong>de</strong> ser testado das duas expressões obtidas para ele, <strong>de</strong>ntro e fora da esfera.<br />
necessário usar o módulo e avaliar as duas opções ao fazer as contas. Enfim,<br />
agrupando os termos ficamos com:<br />
⎡ r − r ⎤ ⎧8r<br />
se rP<br />
> r<br />
P<br />
I1 ( r)<br />
= 4r<br />
⎢1<br />
+ ⎥ = ⎨<br />
(5.7)<br />
⎣ | rP<br />
− r | ⎦ ⎩0<br />
se rP<br />
< r<br />
Isto mostra que vamos obter expressões diferentes para o campo se o<br />
calcularmos em pontos <strong>de</strong>ntro ou fora da esfera.<br />
Para os pontos externos,<br />
r P<br />
> r ,logo:<br />
Figura 5.6: Gráfico do campo elétrico em função <strong>de</strong> r.<br />
ou,<br />
3<br />
se q = ρ 4πR<br />
/3.<br />
ρ R r<br />
Ez<br />
=<br />
2ε<br />
∫ 0<br />
4r<br />
0<br />
0 P<br />
2<br />
P<br />
[8r]<br />
dr =<br />
ρ<br />
ε<br />
0<br />
4R<br />
12<br />
3<br />
1<br />
r<br />
2<br />
P<br />
q<br />
Ez<br />
= ,<br />
(5.8)<br />
2<br />
4πε<br />
r<br />
Mostre que o campo elétrico é contínuo em<br />
ATIVIDADE 5.5<br />
r P<br />
= R .<br />
Para pontos internos, temos que<br />
r<br />
P<br />
está entre zero e R ; portanto <strong>de</strong>vemos<br />
dividir a integral em duas partes e notar que a contribuição para<br />
enquanto que para 0 < r < R , I ( r)<br />
= 8r<br />
. Portanto:<br />
r > rP<br />
é nula,<br />
ρ<br />
Ez<br />
=<br />
ε<br />
r<br />
ρ<br />
ρ r<br />
r<br />
P<br />
R<br />
P<br />
p<br />
∫ [8r]<br />
dr + 0 dr = .<br />
0 2<br />
3<br />
0 4r<br />
r<br />
P<br />
ε ∫<br />
=<br />
(5.9)<br />
0 P 3ε<br />
0<br />
4πε<br />
0 R<br />
q<br />
r<br />
100<br />
101
RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS<br />
Ativida<strong>de</strong> 5.1<br />
A direção da força é radial e o sentido, do meio do aro para o centro (note o sinal<br />
negativo na fórmula do campo elétrico e como o vetor unitário i está dirigido).<br />
Ativida<strong>de</strong> 5.3<br />
A força sobre a carga q =10,0 μC é:<br />
r r r<br />
F = qE = E<br />
qQ<br />
) =<br />
4π ε z<br />
( z<br />
P<br />
2<br />
0 P<br />
Ativida<strong>de</strong> 5.2<br />
A força exercida pela carga no arco é:<br />
kˆ<br />
.<br />
Para calcular o campo elétrico para pontos muito distantes do disco utilize a equação<br />
5.4 fazendo o limite para para z P<br />
>> R . O parâmetro adimensional que caracteriza<br />
essa condição é:<br />
x =<br />
R<br />
z P<br />
z<br />
P<br />
2<br />
P<br />
z ⎤<br />
P σ<br />
⎥ zˆ<br />
=<br />
2 2<br />
R + z ⎥ 2ε<br />
P<br />
0<br />
⎦<br />
⎤ σ ⎡ 1<br />
⎥zˆ.<br />
= 1<br />
2<br />
2<br />
⎢ −<br />
⎥ ε<br />
0 ⎣ (1+<br />
x )<br />
⎦<br />
o campo elétrico será<br />
σ<br />
2<br />
[ 1−<br />
0] zˆ<br />
= zˆ<br />
0<br />
ε<br />
0<br />
1/2<br />
2<br />
⎤ σ ⎡ x ⎤<br />
⎥zˆ<br />
= ⎢1<br />
− (1 − ) ⎥zˆ<br />
= 0<br />
⎦ 2ε<br />
0 ⎣ 2 ⎦<br />
A <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> linear <strong>de</strong> cargas é:<br />
q 6,00µ<br />
C<br />
λ = = = 2,8µ<br />
C / m.<br />
L 2,1m<br />
Como veremos mais adiante, esse é o valor do campo elétrico <strong>de</strong> um plano infinito <strong>de</strong><br />
cargas.<br />
Então:<br />
9<br />
−6<br />
9,0<br />
× 10 × 1,73 × 2,8 × 10 Nm<br />
4<br />
F =<br />
= 4,4 × 10 N.<br />
1,0<br />
m<br />
Ativida<strong>de</strong> 5.5<br />
Você não encontrará resposta para essa ativida<strong>de</strong>.<br />
102<br />
103
PROBLEMAS<br />
P2.8) Um elétron com velocida<strong>de</strong><br />
8<br />
v = 5,0×<br />
10 m/s é lançado paralelamente a um<br />
P2.1) Duas cargas elétricas iguais e <strong>de</strong> sinais contrários valendo q=50 μC são<br />
separadas <strong>de</strong> 20 cm. Qual o campo elétrico no ponto médio da linha que une as<br />
cargas?<br />
P2.2) Duas cargas elétricas iguais <strong>de</strong> 10 μC são alinhadas e separadas por uma<br />
distância <strong>de</strong> 10 cm. Calcule o campo elétrico gerado no ponto P da mediatriz da reta<br />
que une as argas, à distância <strong>de</strong> 15 cm <strong>de</strong>la.<br />
campo elétrico uniforme E = 1,0 × 10<br />
3<br />
N/C que o freia.<br />
(a) Qual a distância que o elétron percorre até parar?<br />
(b) Quanto tempo ele leva para parar?<br />
c) Se o campo elétrico se esten<strong>de</strong> por uma região <strong>de</strong> 0,80 cm <strong>de</strong> comprimento, que<br />
fração <strong>de</strong> energia cinética inicial o elétron per<strong>de</strong> ao atravessar o campo?<br />
P2.9) Um elétron é lançado em um campo elétrico uniforme compreendido entre duas<br />
placas como mostrado na figura abaixo.<br />
P2.3) Qual <strong>de</strong>ve ser o valor da carga elétrica se o campo gerado por ela vale 4,0 N/C à<br />
distância <strong>de</strong> 70 cm <strong>de</strong>la?<br />
P2.4) Uma carga elétrica -5q é colocada à distância a <strong>de</strong> outra +2q. Em que ponto ou<br />
pontos da linha reta que passa pelas cargas o campo elétrico é nulo?<br />
P2.5) A figura 3.9 representa um quadrupólo elétrico. Ele é composto por dois dipólos<br />
com momentos opostos.<br />
Figura 3.10 – Elétron no campo uniforme entre duas placas<br />
6<br />
A velocida<strong>de</strong> inicial do elétron é v = 6,0×<br />
10 m/s e o ângulo <strong>de</strong> lançamento é θ = 45°.<br />
3<br />
Se E = 2,0×<br />
10 N/C, L =10,0 cm e d =2,0 cm, (a) o elétron se choca contra alguma<br />
das placas? (b) se sim, qual e a que distância do lançamento ele se choca?<br />
Figura 3.9 – O quadrupólo elétrico<br />
Calcule o campo elétrico do quadrupólo no ponto P, situado à distância r>>a.<br />
P2.6) Duas pequenas esferas possuem uma carga total +140 μC. (a) Se elas se<br />
repeliriam com uma força <strong>de</strong> 60 N quando separadas <strong>de</strong> 0,60 m, quais são as cargas<br />
das esferas? (b) se elas se atraem com uma força <strong>de</strong> 60 N, quais as cargas em cada<br />
uma <strong>de</strong>las?<br />
P2.7) Uma carga <strong>de</strong> +6,0 μC é colocada no ponto P <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas (2,5;-3,0) m. Uma<br />
outra carga <strong>de</strong> -5,5 μC é colocada no ponto Q <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas (-2,0;2,0) m. Determine<br />
o vetor campo elétrico gerado por elas no ponto R <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas (3,0;1,5) m.<br />
104<br />
105
UNIDADE 3<br />
LEI DE GAUSS E SUAS APLICAÇÕES<br />
A lei <strong>de</strong> Gauss representa um método alternativo extremamente útil para<br />
calcular o campo eletrostático gerado por uma distribuição <strong>de</strong> cargas, e simplifica<br />
espantosamente os cálculos, sempre que simetrias estejam envolvidas, como é, por<br />
exemplo no do campo eletrostático gerado por uma esfera uniformemente carregada.<br />
Além disso, a lei <strong>de</strong> Gauss evi<strong>de</strong>ncia a relação entre a carga elétrica e o campo elétrico<br />
gerado por ela, ao contrário do que ocorre na lei e Coulomb que pressupõe uma<br />
interação à distância entre as cargas. Portanto a lei <strong>de</strong> Gauss é consi<strong>de</strong>rada um dos<br />
pilares dos eletromagnetismo.<br />
106<br />
107
AULA 6: LEI DE GAUSS<br />
OBJETIVOS<br />
• ENUNCIAR A LEI DE GAUSS<br />
• DEFINIR FLUXO ELÉTRICO E RELACIONÁ-LO COM A DENSIDADE DE LINHAS DE FORÇA<br />
• MOSTRAR QUE CARGAS ELÉTRICAS EXTERNAS À SUPERFÍCIE DA GAUSS NÃO<br />
CONTRIBUEM PARA O CAMPO ELÉTRICO<br />
6.1 FLUXO DO CAMPO ELÉTRICO<br />
Vamos começar com uma abordagem intuitiva. O caso mais simples possível é<br />
o <strong>de</strong> uma carga puntiforme q situada na origem <strong>de</strong> um referencial. O campo por ela<br />
gerado a uma distância r é dado por:<br />
r<br />
E<br />
1 q<br />
rˆ.<br />
4π ε r<br />
=<br />
2<br />
0<br />
Na figura 6.1 estão representados alguns vetores da intensida<strong>de</strong> do campo elétrico em<br />
alguns pontos gerado pela carga + q .<br />
Devido ao fato do campo <strong>de</strong>cair com<br />
2<br />
1/r , os vetores ficam menores quando<br />
nos afastamos da origem; mas eles sempre apontam para fora, no caso <strong>de</strong> q ser uma<br />
carga positiva. As linhas <strong>de</strong> força nada mais são do que as linhas contínuas que dão<br />
suporte a esses vetores. Po<strong>de</strong>mos pensar <strong>de</strong> imediato que a informação sobre o campo<br />
elétrico foi perdida ao usarmos as linhas contínuas. Mas não foi. A magnitu<strong>de</strong> do<br />
campo, como já discutimos, estará contida na <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> <strong>de</strong> linhas <strong>de</strong> força: ela é<br />
maior mais perto da carga e diminui quando nos afastamos <strong>de</strong>la, pois a <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
linhas <strong>de</strong> força diminui com<br />
mesmo para qualquer superfície lembre-se que<br />
esfera.<br />
2<br />
N/4π<br />
R , on<strong>de</strong> N é o número <strong>de</strong> linhas <strong>de</strong> força, que é o<br />
A<br />
π<br />
2<br />
= 4 R é a área da superfície da<br />
Em outras palavras: duas superfícies esféricas com centros na carga, uma com<br />
raio R<br />
1 e outra com raio R<br />
2, ( R1<br />
< R2<br />
) são atravessadas pelas mesmas linhas <strong>de</strong> força.<br />
No entanto, a <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> <strong>de</strong> linhas <strong>de</strong> força, <strong>de</strong>finida como o número <strong>de</strong> linhas por<br />
unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> área, é maior sobre as esferas menores. Como a área cresce com o<br />
quadrado do raio, o campo <strong>de</strong>cresce da mesma forma, isto é, com o quadrado da<br />
2<br />
2<br />
distância à fonte. Ou seja, se R<br />
1<br />
< R2<br />
temos que ( N/4π R1 ) > ( N/4πR<br />
2<br />
) e como<br />
E<br />
E > .<br />
2<br />
∝ N/4π<br />
R , concluimos que<br />
1<br />
E2<br />
Neste ponto, cabe uma observação conceitual importante: a<br />
discussão acima mostra que a <strong>de</strong>pendência do campo elétrico com o inverso<br />
do quadrado da distância é consequência da maneira <strong>de</strong> como ele se propaga<br />
no espaço livre.<br />
Como po<strong>de</strong>mos quantificar essa idéia, que parece importante e nos diz "quantas<br />
linhas <strong>de</strong> força" atravessam uma dada superfície S? As aspas referem-se ao fato <strong>de</strong><br />
que, obviamente o número <strong>de</strong> linhas <strong>de</strong> força é infinito, mas sua <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong>, isto é, o<br />
número <strong>de</strong> linhas <strong>de</strong> força por unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> área, é finito.<br />
A quantida<strong>de</strong> procurada, é <strong>de</strong>nominada fluxo do vetor E r<br />
superfície A e <strong>de</strong>finida como:<br />
através da<br />
Φ = ∫ E<br />
r • nda ˆ<br />
(6.1)<br />
E<br />
S<br />
Figura 6.1: Vetores campo elétrico.<br />
Em que o vetor nˆ é um vetor unitário normal à área da . O fluxo é proporcional ao<br />
número <strong>de</strong> linhas que atravessam a área infinitesimal da , figura 6.2.<br />
108<br />
109
em primeiro lugar, ele não é paralelo a nenhum dos eixos <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas; em<br />
segundo lugar, ele varia <strong>de</strong> ponto a ponto no espaço e seu valor <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> da<br />
coor<strong>de</strong>nada y do ponto consi<strong>de</strong>rado.<br />
O fluxo através do cubo é obtido da seguinte maneira:<br />
a - dividimos a área o cubo em 6 áreas, cada uma correspon<strong>de</strong>ndo a uma <strong>de</strong> suas<br />
faces;<br />
b – calculamos o fluxo em cada uma <strong>de</strong>las;<br />
Figura 6.2: Orientações relativas do campo elétrico E e da normal à superfície.<br />
Note que, na expressão 6.1, o produto escalar leva em conta apenas a<br />
componente <strong>de</strong> dE<br />
r<br />
perpendicular ao elemento <strong>de</strong> área da ; em outras palavras, é<br />
apenas a área no plano perpendicular a E r<br />
que levamos em conta quando<br />
falamos da <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> <strong>de</strong> linhas <strong>de</strong> força.<br />
c - somamos os resultados para obter o fluxo total.<br />
Seja a face AEFC, que é perpendicular ao eixo Oy. Para ela, nˆ<br />
= − ˆj<br />
e o fluxo é:<br />
Φ<br />
1<br />
=<br />
∫<br />
r<br />
E ⋅ nˆ<br />
da =<br />
S<br />
∫<br />
(3,0 iˆ<br />
+ 2,0y<br />
ˆj<br />
+ 2,0 kˆ)<br />
• ( − ˆ) j da =<br />
∫<br />
− 2,0 y da = −2,0<br />
y<br />
∫∫<br />
dx dz<br />
em que os últimos termos foram obtidos efetuando o produto escalar no integrando.<br />
Sobre a face AEFC a coor<strong>de</strong>nada y não varia e tem o valor y=2,0m. Então:<br />
EXEMPLO 6.2<br />
CÁLCULO DO FLUXO DO CAMPO ELÉTRICO<br />
r<br />
Calcule o fluxo do campo elétrico, dado por E = 3,0ˆ i + 2,0 yj ˆ + 2,0kˆ<br />
N/Cm através <strong>de</strong><br />
um cubo <strong>de</strong> lado a=2,0m, figura 6.5, tal que sua face seja paralela ao plano xz e<br />
situada à distância <strong>de</strong> 2,0 m <strong>de</strong>ste plano.<br />
Φ ∫∫<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1<br />
= −2,0<br />
( N / Cm)<br />
× 2,0 m dx dz = −4,0<br />
a ( N / C)<br />
m = −16,0(<br />
N / C)<br />
m .<br />
Seja agora a face BDGH, que também é perpendicular ao eixo Oy. Para ela,<br />
fluxo é:<br />
Φ<br />
2<br />
=<br />
∫ E ⋅ nda ˆ = ∫ (3,0ˆ i + 2,0 yj ˆ + 2,0kˆ)<br />
• ( ˆ) j da = ∫ 2,0 y da =<br />
S<br />
r<br />
2,0 y<br />
∫∫<br />
dx dz<br />
nˆ = ˆj<br />
e o<br />
Sobre a face BDGH a coor<strong>de</strong>nada y não varia e tem o valor y=4,0m. Então:<br />
Φ ∫∫<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
= 2,0 ( N / Cm)<br />
× 4,0 m dx dz = 8,0 a ( N / C)<br />
m = 32,0( N / C)<br />
m .<br />
Na face ABEH temos nˆ = iˆ<br />
. Então:<br />
Figura 6.5: Cubo atravessado por campo elétrico.<br />
Φ<br />
∫<br />
( 3,0ˆ ˆ<br />
m<br />
2<br />
3<br />
= i + 2,0yj<br />
+ 2,0kˆ)<br />
• (ˆ) i da = 3,0 ( N / C)<br />
dy dz = 3,0 ( N / C)<br />
a = 12,0 ( N / C)<br />
∫∫<br />
2<br />
Solução: Antes <strong>de</strong> resolver o problema, notemos algumas proprieda<strong>de</strong>s do campo:<br />
110<br />
111
Na face FGDC temos nˆ<br />
= −iˆ<br />
. Então:<br />
Φ<br />
∫<br />
( 3,0ˆ ˆ ˆ)<br />
m<br />
4<br />
= i + 2,0yj<br />
+ 2,0kˆ)<br />
• ( −i<br />
da = −3,0 ( N / C)<br />
dy dz = −12,0 ( N / C)<br />
∫∫<br />
2<br />
ATIVIDADE 6.2<br />
Determine qual é o fluxo do campo elétrico através das três superfícies da figura 6.5.<br />
Na face ABCD temos nˆ<br />
= −kˆ<br />
. Então:<br />
ˆ<br />
2<br />
2<br />
Φ<br />
5<br />
= (3,0ˆ i + 2,0 yj + 2,0kˆ)<br />
• ( −kˆ)<br />
da = −2,0 ( N / C)<br />
dy dx = −2,0 ( N / C)<br />
a = −8,0(<br />
N / C)<br />
m ,<br />
∫<br />
Finalmente, na face EFGH nˆ = kˆ<br />
. Então:<br />
∫∫<br />
Φ<br />
∫<br />
( 3,0ˆ ˆ ˆ)<br />
m<br />
2<br />
5<br />
= i + 2,0 yj + 2,0kˆ)<br />
• ( k da = 2,0 ( N / C)<br />
dy dx = 2,0 ( N / C)<br />
a = 8,0( N / C)<br />
∫∫<br />
2<br />
O fluxo total é:<br />
2<br />
Φ = Φ1 + Φ<br />
2<br />
+ Φ<br />
3<br />
+ Φ<br />
4<br />
+ Φ<br />
5<br />
+ Φ<br />
6<br />
= ( −16,0<br />
+ 32,0 + 12,0 −12,0<br />
− 8,0 + 8,0) ( N / C)<br />
m ,<br />
2<br />
Φ = 16,0( N / C)<br />
m .<br />
ATIVIDADE 6.1<br />
Figura 6.5 Três superfícies Gaussianas<br />
Seja o vetor<br />
r<br />
E = 3,0ˆ i + 2,0 ˆj<br />
N/C atravessando um paralelepípedo da figura 6.4, <strong>de</strong><br />
lados a=3,0 cm, b=2,0 cm e c=2,5 cm. Calcule o fluxo do campo elétrico através do<br />
paralelepípedo.<br />
6.2 A LEI DE GAUSS<br />
Figura 6.4 : Paralelepípedo atravessado por campo elétrico.<br />
Vimos que as linhas <strong>de</strong> campo que se originam numa carga positiva, precisam<br />
atravessar uma superfície ou morrer numa carga negativa <strong>de</strong>ntro da superfície. Por<br />
outro lado, a quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong> carga fora da superfície não vai contribuir em nada para o<br />
fluxo total, uma vez que as linhas entram por um lado e saem por outro. Essa<br />
argumentação claramente sugere que o fluxo através <strong>de</strong> qualquer superfície<br />
fechada seja proporcional à CARGA TOTAL <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong>ssa superfície. Esta é a<br />
essência da lei <strong>de</strong> Gauss.<br />
112<br />
113
Vamos torná-la quantitativa, então:<br />
1<br />
∫ E<br />
r • nˆ<br />
da = Q,<br />
(6.4)<br />
S<br />
ε<br />
em que Q é a carga líquida <strong>de</strong>ntro da superfície. Essa é a lei <strong>de</strong> Gauss, que é<br />
válida para qualquer superfície fechada.<br />
6.3 FERRAMENTAS MATEMÁTICAS: CÁLCULO DA INTEGRAL DE<br />
SUPERFÍCIE NA LEI DE GAUSS<br />
O que é preciso saber <strong>de</strong> matemática para usar a lei <strong>de</strong> Gauss corretamente?<br />
Antes <strong>de</strong> mais nada, é preciso saber calcular o fluxo do campo elétrico<br />
∫ E<br />
r<br />
• nˆ<br />
da<br />
sobre uma superfície fechada. Assim:<br />
0<br />
1 - Escolhemos uma superfície compatível com a simetria do problema,<br />
que passa pelo ponto P, on<strong>de</strong> <strong>de</strong>sejamos calcular a intensida<strong>de</strong> do<br />
S<br />
no caso da carga puntiforme: o módulo do campo elétrico é constante e normal à<br />
qualquer superfície esférica concêntrica com a carga q .<br />
Se não houver simetria essa integral po<strong>de</strong> ser bastante complicada e até inútil,<br />
pois para resolvê-la teríamos que conhecer o vetor E r (módulo, direção e sentido) em<br />
todos os pontos da superfície e o objetivo agora é usar a lei <strong>de</strong> Gauss para simplificar<br />
os cálculos do campo elétrico. A importância da lei <strong>de</strong> Gauss fica mais clara quando o<br />
problema tratado possui alguma simetria espacial.<br />
EXEMPLO 6.3<br />
Verifique a lei <strong>de</strong> Gauss para o caso <strong>de</strong> uma carga puntiforme positiva q .<br />
SOLUÇÃO: Comecemos seguindo os passos indicados no início <strong>de</strong>ssa seção.<br />
1) De acordo com o que vimos anteriormente, as linhas <strong>de</strong> força do campo<br />
gerado por uma carga q são radiais com origem na carga. Portanto, se escolhermos<br />
uma superfície esférica <strong>de</strong> raio r (distância da carga ao ponto on<strong>de</strong> queremos calcular<br />
o campo), a normal a esta superfície terá também direção radial em qualquer ponto;<br />
campo elétrico;<br />
2 - Definimos o elemento <strong>de</strong> área relevante;<br />
3 - Definimos o vetor unitário normal à essa área;<br />
2) o elemento <strong>de</strong> área é da e nˆ<br />
da = rˆ<br />
da , sendo da o elemento <strong>de</strong> área <strong>de</strong><br />
uma esfera, como ilustra a figura 6.6. Não vamos precisar <strong>de</strong> sua forma diferencial.<br />
4 - Fazemos o produto escalar entre E r e nˆ<br />
5 – Calculamos o fluxo da campo elétrico:<br />
r<br />
Φ = ∫ E • nˆ<br />
da =<br />
S<br />
∫<br />
E cos θ da,<br />
S<br />
(6.5)<br />
on<strong>de</strong> cosθ = Eˆ<br />
⋅nˆ<br />
.<br />
Figura 6.6: Elemento <strong>de</strong> área <strong>de</strong> uma superfície esférica.<br />
A que simetria nos referimos acima? Aquelas, por exemplo, como a que vimos<br />
Assim: n ˆ da = rˆ<br />
( r senθ<br />
dφ)<br />
dθ,<br />
114<br />
115
e o campo elétrico para uma carga puntiforme é:<br />
Então:<br />
r<br />
E<br />
1 q<br />
4π ε 0<br />
r<br />
=<br />
2<br />
rˆ<br />
r<br />
E • nˆ<br />
da =<br />
1<br />
4π ε<br />
0<br />
q<br />
2<br />
r<br />
(6-6)<br />
rˆ<br />
• n da,<br />
Ativida<strong>de</strong> 6.3<br />
Verifique a lei <strong>de</strong> Gauss para o caso <strong>de</strong> uma carga puntiforme negativa q .<br />
Ativida<strong>de</strong> 6.4<br />
No exemplo 6.2, qual <strong>de</strong>ve ser a condição para que o fluxo elétrico através do cubo<br />
seja nulo?<br />
como r é constante sobre a superfície, temos:<br />
r 1 q<br />
∫ E • nˆ<br />
da =<br />
2<br />
4π ε r<br />
0<br />
∫<br />
da.<br />
Então, vemos que tudo que necessitaremos é a área da esfera, assim teremos:<br />
1 q<br />
∫E<br />
r<br />
• nˆ<br />
da = ⋅ 4π<br />
r<br />
2<br />
4π ε r<br />
=<br />
0<br />
ε<br />
0<br />
Inversamente, po<strong>de</strong>ríamos ter <strong>de</strong>scoberto o campo elétrico, sabendo apenas que, por<br />
simetria ele <strong>de</strong>ve ser constante sobre superfícies esféricas concêntricas com q . Vamos<br />
ver como funciona:<br />
∫<br />
sup.<br />
<strong>de</strong><br />
raio r<br />
r<br />
E • n da = E<br />
∫<br />
2<br />
ˆ<br />
i<strong>de</strong>m<br />
2<br />
q<br />
da =| E | 4π<br />
r .<br />
Usando a lei <strong>de</strong> Gauss, sabemos que o fluxo calculado tem que ser igual à carga total<br />
2<br />
<strong>de</strong>ntro da esfera, q dividida por ε<br />
0 . Então E ⋅ 4π<br />
r = q/<br />
ε<br />
0<br />
, finalmente:<br />
1 q<br />
E =<br />
2<br />
4π ε r<br />
0<br />
.<br />
No caso <strong>de</strong> uma carga puntiforme, o campo elétrico por ela gerado é:<br />
r<br />
E<br />
1 q<br />
4π ε 0<br />
r<br />
=<br />
2<br />
A força elétrica que atua sobre uma carga <strong>de</strong> prova q0<br />
colocada em um ponto P, é<br />
dada por:<br />
r r<br />
F = q E<br />
0<br />
rˆ<br />
1 qq<br />
4π ε r<br />
0<br />
=<br />
2<br />
0<br />
que é exatamente a expressão para a lei <strong>de</strong> Coulomb.<br />
A Lei <strong>de</strong> Gauss nos <strong>de</strong>screve a relação entre a carga elétrica e o campo<br />
elétrico gerado por ela. Segundo a lei <strong>de</strong> Gauss, o fluxo do campo elétrico em<br />
uma região finita do espaço é gerado por uma carga ou uma distribuição <strong>de</strong><br />
cargas elétricas. Ela está portanto, diretamente ligada ao conceito <strong>de</strong> campo<br />
elétrico. Isso não ocorre com a lei <strong>de</strong> Coulomb, on<strong>de</strong> a interação entre as<br />
cargas é feita sem nenhum agente intermediário.<br />
rˆ<br />
Note que, <strong>de</strong>vido ao produto escalar, a lei <strong>de</strong> Gauss não nos diz nada sobre a<br />
direção do campo, apenas sobre o seu módulo. Mas nos casos em que é<br />
interessante usar a lei <strong>de</strong> Gauss, como neste, sabemos por simetria, a direção do<br />
campo. Por exemplo, no caso <strong>de</strong> distribuições esféricas, a direção será radial.<br />
Encontramos um caso semelhante na Mecânica, on<strong>de</strong> a lei <strong>de</strong> gravitação<br />
<strong>de</strong>screve a interação gravitacional direta entre duas massas, enquanto que o campo<br />
gravitacional gerado por uma massa ou distribuição <strong>de</strong> massas é relacionado com<br />
estas massas pelo fluxo do vetor campo gravitacional g v que nada mais é que o fluxo<br />
do vetor aceleração da gravida<strong>de</strong>.<br />
116<br />
117
RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS<br />
ATIVIDADE 6.1<br />
Você po<strong>de</strong> calcular os fluxos sobre cada uma das faces do paralelepípedo e somá-los<br />
para obter o fluxo total. Entretanto, o trabalho po<strong>de</strong> ser simplificado pois o campo é<br />
paralelo ao plano xy. Assim, o fluxo sobre as faces perpendiculares ao eixo Oz será<br />
nulo porque a normal a estas faces é perpendicular ao campo. Da mesma forma, o<br />
fluxo sobre as faces perpendiculares ao eixo Ou também será nulo. Sobram apenas as<br />
faces perpendiculares ao eixo Ox. Como as normais a estas faces são <strong>de</strong> sentidos<br />
opostos, os produtos escalares do campo pelas normais terão sinais opostos. Além<br />
disso, o campo elétrico em cada uma <strong>de</strong>las é o mesmo (mesmo módulo, direção e<br />
sentido). Portanto, a soma dos fluxos nestas duas superfícies dará o resultado nulo.<br />
PENSE E RESPONDA<br />
PR6.1) Uma esfera condutora oca tem uma carga positiva +q localizada em seu<br />
centro. Se a esfera tiver carga resultante nula o que você po<strong>de</strong> dizer acerca da carga<br />
na superfície interior e exterior <strong>de</strong>ssa esfera?<br />
PR6.2) Qual é o fluxo elétrico em um ponto <strong>de</strong>ntro da esfera condutora e fora da<br />
esfera condutora da questão anterior?<br />
PR6.3) Qual seria o fluxo elétrico através <strong>de</strong> uma superfície envolvendo um dipolo<br />
elétrico?<br />
ATIVIDADE 6.2<br />
No caso do campo gerado por uma carga negativa, nˆ<br />
= −rˆ<br />
. A equação 6-4 fica:<br />
r<br />
E<br />
1 q<br />
− rˆ.<br />
4π ε r<br />
=<br />
2<br />
0<br />
A partir daí, todas as equações se repetem com o sinal negativo, indicando que o<br />
sentido do campo é para <strong>de</strong>ntro da superfície <strong>de</strong> Gauss. Então o fluxo é negativo. Mas<br />
a expressão do módulo do campo elétrico não tem sinal negativo!<br />
ATIVIDADE 6.3<br />
O fluxo não é nulo por causa da componente y do campo elétrico; ela cresce com a<br />
distância ao plano xz. Portanto, para que o fluxo seja nulo, é preciso que, ou a<br />
componente y do campo seja nula. Ou que ela seja in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nte da distância ao plano<br />
xz.<br />
ATIVIDADE 6.4<br />
Você não encontrará resposta para essa ativida<strong>de</strong>.<br />
118<br />
119
AULA 7: APLICAÇÕES DA LEI DE GAUSS<br />
OBJETIVOS<br />
• APLICAR A LEI DE GAUSS PARA O CÁLCULO DO CAMPO ELÉTRICO<br />
∫ E<br />
r ⋅nda<br />
ˆ = E ⋅ 4π<br />
R<br />
S<br />
Vamos calcular a quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong> carga interna a essa superfície:<br />
4 3<br />
q = ρ ⋅ π R .<br />
3<br />
2<br />
P<br />
.<br />
7.1 COMO USAR A LEI DE GAUSS<br />
A dificulda<strong>de</strong> mais comum na aplicação da lei <strong>de</strong> Gauss está na<br />
capacida<strong>de</strong> <strong>de</strong> se distinguir claramente a superfície <strong>de</strong> Gauss, que é arbitrária,<br />
da superfície que envolve o volume das cargas em questão. Suponha que<br />
queiramos calcular o campo elétrico gerado pela esfera dielétrica <strong>de</strong> raio R,<br />
uniformemente carregada com uma <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> <strong>de</strong> cargas uniforme ρ, para pontos<br />
<strong>de</strong>ntro e fora da mesma, agora usando a lei <strong>de</strong> Gauss.<br />
Para evitar a confusão que costuma acontecer vamos sempre i<strong>de</strong>ntificar a área<br />
relativa à lei <strong>de</strong> Gauss com o índice P como fizemos anteriormente, P sendo o<br />
"ponto <strong>de</strong> observação".<br />
Usando a lei <strong>de</strong> Gauss:<br />
temos que:<br />
ρ<br />
π<br />
3<br />
como q = (4/3) R , vem:<br />
q<br />
∫ E<br />
r<br />
⋅ nda ˆ =<br />
S<br />
ε<br />
2 ρ 4 3<br />
E ⋅ 4π<br />
Rp = ⋅ π R ,<br />
ε 3<br />
E<br />
0<br />
0<br />
1 q<br />
. .<br />
4πε<br />
R<br />
=<br />
2<br />
0 P<br />
Primeiramente vamos calcular o campo elétrico para pontos exteriores à esfera.<br />
A figura 7.1 ilustra a superfície <strong>de</strong> Gauss escolhida.<br />
Note que R , o raio da distribuição <strong>de</strong> cargas NÃO COINCIDE com o raio<br />
da superfície <strong>de</strong> Gauss. O erro comum é o uso <strong>de</strong> uma única letra R para<br />
todos os raios envolvidos no problema (nunca faça isso com as leis da<br />
Física!). Tente perceber o que elas <strong>de</strong> fato são e <strong>de</strong>pois em como expressar esse<br />
conteúdo matematicamente).<br />
Vamos agora calcular o campo elétrico para pontos no interior da esfera. É o<br />
caso mais crítico. Vejamos como é a superfície <strong>de</strong> Gauss. Desenhe-a e escolha o seu<br />
Figura 7.1: Pontos exteriores à esfera dielétrica <strong>de</strong> raio R uniformemente carregada.<br />
raio<br />
R<br />
P , distinguindo bem<br />
figura 7.2.<br />
R<br />
P do raio da esfera em questão, como indicado na<br />
O campo será radial e seu módulo será constante sobre superfícies esféricas<br />
concêntricas com a distribuição. Então, po<strong>de</strong>mos escrever:<br />
120<br />
121
7.2 APLICAÇÕES DA LEI DE GAUSS<br />
Vejamos agora como aplicar a Lei <strong>de</strong> Gauss para diferentes situações que<br />
envolvem uma distribuição <strong>de</strong> cargas com simetria.<br />
EXEMPLO 7.1<br />
Figura 7.2: Superfície <strong>de</strong> Gauss interior à esfera dielétrica <strong>de</strong> raio R.<br />
Campo gerado por uma esfera metálica carregada<br />
Consi<strong>de</strong>re agora uma esfera metálica <strong>de</strong> raio R com carga total Q . Calcule o campo<br />
elétrico para pontos exteriores e interiores a essa esfera.<br />
O fluxo do campo elétrico é:<br />
A carga total <strong>de</strong>ntro da superfície é:<br />
2<br />
∫ E<br />
r<br />
⋅ nda ˆ = E ⋅ 4π<br />
RP<br />
.<br />
S<br />
4 3<br />
q = ρ ⋅ π R P<br />
.<br />
3<br />
Note que, neste caso, o raio que <strong>de</strong>limita a quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong> carga que vai contribuir,<br />
COINCIDE com R<br />
P . Ou seja, a carga que contribui para o fluxo é q ( RP<br />
).<br />
SOLUÇÃO:<br />
A primeira questão a consi<strong>de</strong>rar antes <strong>de</strong> pensar em qualquer fórmula é o tipo<br />
<strong>de</strong> material do qual estamos falando. No caso anterior tratava-se <strong>de</strong> uma esfera<br />
dielétrica. Como sabemos, as cargas não têm mobilida<strong>de</strong> em dielétricos e portanto elas<br />
po<strong>de</strong>m estar uniformemente distribuídas nele. Agora estamos falando <strong>de</strong> uma<br />
esfera condutora, isto significa imediatamente que para pontos internos a essa<br />
esfera:<br />
E = 0.<br />
int.<br />
Desenvolvendo a lei <strong>de</strong> Gauss fica:<br />
ou:<br />
q(<br />
R<br />
∫ E r<br />
⋅ nda ˆ =<br />
S ε<br />
0<br />
p<br />
)<br />
Como vimos anteriormente, em materiais condutores as cargas se concentram na<br />
superfície dos mesmos; então não temos cargas no interior da esfera.<br />
2 ρ 4 3<br />
E ⋅ 4π<br />
R P<br />
= ⋅ π R P<br />
.<br />
ε 3<br />
0<br />
Finalmente:<br />
ρ<br />
E =<br />
3ε<br />
O mesmo resultado que obtivemos laboriosamente fazendo uma integral<br />
tridimensional.<br />
0<br />
R P<br />
.<br />
Figura 7.3: Superfície <strong>de</strong> Gauss para uma esfera metálica.<br />
E os pontos exteriores? Escolhemos como superfície <strong>de</strong> Gauss uma superfície esférica<br />
122<br />
123
arbitrária <strong>de</strong> raio<br />
ou:<br />
R<br />
P . Então (Figura 7.3):<br />
E ⋅ 4π<br />
R<br />
E<br />
2<br />
P<br />
Q<br />
= ,<br />
ε<br />
0<br />
1 Q<br />
.<br />
4πε<br />
R<br />
=<br />
2<br />
0 P<br />
cada elemento infinitesimal <strong>de</strong> volume do fio que escolhermos, tem um simétrico em<br />
relação a P; <strong>de</strong>ssa forma, a componente do campo elétrico paralela ao fio se anula,<br />
restando apenas a componente perpendicular ao fio.<br />
Para pontos fora do fio, a superfície <strong>de</strong> Gauss será um cilindro concêntrico ao fio,<br />
como mostra a figura 7.5:<br />
ATIVIDADE 7.1<br />
Resolva o exemplo 7.1 para uma esfera com carga negativa. Use a Lei <strong>de</strong> Gauss para<br />
mostrar que o campo no interior da esfera é nulo.<br />
Figura 7.5: Superfície <strong>de</strong> Gauss para um fio infinito.<br />
EXEMPLO 7.2<br />
CAMPO GERADO POR FIO RETILÍNEO INFINITO<br />
Consi<strong>de</strong>re agora um fio retilíneo <strong>de</strong> comprimento infinito, raio R e <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong><br />
volumétrica <strong>de</strong> cargas ρ como na figura 7.4. Usando a lei <strong>de</strong> Gauss calcule o campo<br />
elétrico para pontos no interior e no exterior do fio.<br />
Note que a simetria existe porque o fio é infinito; para um fio finito, as suas<br />
extremida<strong>de</strong>s impe<strong>de</strong>m a existência sempre <strong>de</strong> um simétrico a qualquer<br />
elemento <strong>de</strong> volume do fio. Perto <strong>de</strong>ssas extremida<strong>de</strong>s, portanto, o campo<br />
não é mais uniforme e dirigido perpendicularmente ao fio.<br />
Uma vez escolhida a superfície <strong>de</strong> Gauss, calculamos a carga interior a ela:<br />
q = ρ ⋅π R 2 ⋅ L.<br />
Em que L é a altura do cilindro <strong>de</strong> Gauss e R, o raio <strong>de</strong> suas bases.<br />
Figura 7.4: Fio infinito <strong>de</strong> raio R e <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> volumétrica <strong>de</strong> cargas ρ .<br />
SOLUÇÃO: Para calcular o campo em um ponto P fora do fio, vamos utilizar o<br />
resultado <strong>de</strong> que o campo elétrico, por razões <strong>de</strong> simetria, é uniforme e<br />
dirigido radialmente para fora do fio. A razão disso é que, como o fio é infinito,<br />
124<br />
Como as normais às bases do cilindro <strong>de</strong> Gauss são perpendiculares ao campo<br />
elétrico, o produte escalar <strong>de</strong>las pelo vetor campo elétrico é nulo. Basta então,<br />
calcular o fluxo através da superfície restante, paralela ao eixo do cilindro. Neste caso,<br />
a normal a esta superfície é coinci<strong>de</strong>nte com o vetor campo elétrico.<br />
Po<strong>de</strong>mos escrever, então, que o fluxo nessa superfície para<br />
E ⋅ 2π<br />
R<br />
P<br />
ρπ R<br />
L =<br />
ε<br />
0<br />
2<br />
L<br />
.<br />
R p<br />
> R é dado por:<br />
125
Note que<br />
R P<br />
≠ R . Resolvendo a equação acima para o campo:<br />
ρ R<br />
E =<br />
2ε<br />
2<br />
0<br />
R P<br />
.<br />
se negativamente carregada. Qual é o raio <strong>de</strong>ssa coluna <strong>de</strong> ar se as moléculas que a<br />
compõem são capazer <strong>de</strong> suportar um campo elétrico até<br />
ionização?<br />
6<br />
4 × 10 N/C sem sofrer<br />
Para ponto internos do fio ( R p<br />
< R ),<br />
e<br />
2<br />
p<br />
q(<br />
R ) = π R Lρ<br />
p<br />
SOLUÇÃO: Vejamos a Física envolvida no problema. A idéia importante para fazer a<br />
mo<strong>de</strong>lagem é consi<strong>de</strong>rar que, embora a coluna não seja infinitamente longa, po<strong>de</strong>mos,<br />
obter sua or<strong>de</strong>m <strong>de</strong> gran<strong>de</strong>za, ao aproximá-la por uma linha <strong>de</strong> cargas como ilustra a<br />
figura 7.7.<br />
E ⋅ 2π<br />
R<br />
p<br />
ρ<br />
E = ε<br />
0<br />
L = π R<br />
R p<br />
2<br />
p<br />
L<br />
ρ<br />
ε<br />
0<br />
Note que as duas expressões coinci<strong>de</strong>m quando<br />
R p<br />
= R . A Figura 7.6 mostra o<br />
gráfico do campo elétrico em pontos no interior e exterior do fio.<br />
Figura 7.7: Superfície <strong>de</strong> Gauss para um linha <strong>de</strong> cargas.<br />
Como a linha está negativamente carregada, o campo elétrico estará apontando<br />
para <strong>de</strong>ntro da superfície gaussiana. A carga total é Q = λL<br />
.<br />
Figura 7.6: Gráfico do campo elétrico gerado pelo fio.<br />
ATIVIDADE 7.2<br />
Mostre que, para R P<br />
= R , os campos interno e externo são iguais.<br />
EXEMPLO 7.3<br />
Que tal agora um pouco mais <strong>de</strong> física?<br />
−3<br />
Uma coluna <strong>de</strong> ar <strong>de</strong> comprimento L e <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> linear λ = −1,2<br />
× 10 C/m encontra-<br />
126<br />
A segunda hipótese fundamental é a <strong>de</strong> que a superfície da coluna carregada<br />
negativamente <strong>de</strong>va estar no raio r<br />
P<br />
on<strong>de</strong> a intensida<strong>de</strong> do campo elétrico é<br />
6<br />
4 × 10<br />
N/C, pois as moléculas do ar <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong>sse raio serão ionizadas. Lembre-se que o<br />
campo fica cada vez maior a partir daí na direção horizontal e no sentido <strong>de</strong> fora para<br />
<strong>de</strong>ntro da coluna. Portanto a área pela qual teremos fluxo será A = π r P<br />
L .<br />
L<br />
A Lei <strong>de</strong> Gauss nos dá: E ⋅ 2 r L = ,<br />
ou: E = ,<br />
2 r<br />
Portanto, para obter o raio da coluna temos:<br />
π<br />
P<br />
P<br />
λ<br />
ε 0<br />
λ<br />
πε<br />
0 P<br />
2<br />
P<br />
127
−3<br />
= λ<br />
1,2 × 10 C/<br />
m<br />
r P<br />
=<br />
= 5,4 m.<br />
−12<br />
2 2<br />
2π ε E (2π<br />
)(8,85 × 10 C / Nm )(4×<br />
10<br />
6 N/<br />
C)<br />
0<br />
e<br />
r<br />
E ⋅ ˆn = 0<br />
(na superfície).<br />
EXEMPLO 7.4<br />
PLANO NÃO CONDUTOR INFINITO DE CARGAS<br />
Calcular o campo elétrico <strong>de</strong> um plano não condutor infinito <strong>de</strong> cargas <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong><br />
superficial σ.<br />
Portanto, somando todas as contribuições a lei <strong>de</strong> Gauss nos fornecerá<br />
E(2A)<br />
= σ A<br />
ε<br />
σ<br />
E =<br />
2 ε<br />
0<br />
0<br />
SOLUÇÃO: Se o plano é infinito, a simetria nesse caso é uma simetria linear e o<br />
campo <strong>de</strong>ve estar orientado perpendicular ao plano. Não há como produzir<br />
componentes paralelas ao plano, elas vão se cancelar sempre.<br />
(na direção perpendicular à tampa do cilindro). Vemos que esse campo é uniforme.<br />
Uma observação sobre fios e superfícies infinitas. É óbvio que tais<br />
sistemas não po<strong>de</strong>m existir fisicamente. Entretanto, os resultados obtidos<br />
com eles ainda são aplicáveis na prática. Para isso, basta consi<strong>de</strong>rarmos o<br />
campo em pontos suficientemente próximos do fio ou da superfície, para que<br />
as dimensões <strong>de</strong>les sejam consi<strong>de</strong>radas muito maiores que a distância do<br />
ponto em que se calcula o campo até eles.<br />
EXEMPLO 7.5<br />
ESFERAS CARREGADAS CONCÊNTRICAS<br />
comprimento<br />
Figura 7.8: Superfície <strong>de</strong> Gauss<br />
A superfície <strong>de</strong> Gauss será o cilindro indicado na Figura 7.8, <strong>de</strong> raio<br />
L<br />
P<br />
. A carga <strong>de</strong>ntro do cilindro consi<strong>de</strong>rado é:<br />
correspon<strong>de</strong>nte à base do cilindro.<br />
por isso:<br />
R<br />
P<br />
e<br />
q = σ A , sendo A a área<br />
O campo elétrico é perpendicular às bases e paralelo à superfície do cilindro,<br />
r<br />
E ⋅nˆ<br />
= E (nas bases)<br />
A figura 7.9 mostra uma carga<br />
+ q uniformemente distribuída sobre uma esfera não<br />
condutora <strong>de</strong> raio a que está localizada no centro <strong>de</strong> uma casca esférica condutora <strong>de</strong><br />
raio interno b e raio externo c. A casca externa possui uma carga<br />
E (r) :<br />
a) No interior da esfera ( r < a)<br />
;<br />
b) Entre a esfera e a casca ( a < r < b)<br />
;<br />
c) Dentro da casca ( b < r < c)<br />
;<br />
d) Fora da casca ( r > c)<br />
;<br />
− q . Determine<br />
128<br />
129
e) Que cargas surgem sobre as superfícies interna e externa da casca?<br />
ou:<br />
q R<br />
E =<br />
4π ε a<br />
0<br />
P<br />
3<br />
( 0 < r < a)<br />
Para a < r < b , a carga no interior <strong>de</strong> qualquer superfície gaussiana esférica será igual<br />
a q . Pela lei <strong>de</strong> Gauss, temos:<br />
E ⋅ 4π<br />
R<br />
2<br />
P<br />
q<br />
= .<br />
ε<br />
0<br />
Figura 7.9: Esferas carregadas concêntricas.<br />
Ou:<br />
q<br />
E =<br />
4πε<br />
2<br />
0<br />
R P<br />
( a < r < b)<br />
SOLUÇÃO: A casca externa é condutora e a interna é isolante. Sabemos como se<br />
comportam cargas adicionadas a esses materiais.<br />
Vamos começar com a esfera dielétrica; como a lei <strong>de</strong> Gauss nos garante que apenas<br />
as cargas internas à superfície gaussiana influenciam no campo, po<strong>de</strong>mos escrever<br />
rapidamente esta resposta:<br />
Para b < r < c , estaremos <strong>de</strong>ntro da casca condutora. Sabemos que o campo <strong>de</strong>ntro<br />
<strong>de</strong>ssa casca tem que ser nulo. As cargas vão se distribuir nas superfícies interna e<br />
externa <strong>de</strong> maneira a garantir isto.<br />
Portanto, para b < r < c temos E = 0 .<br />
Mas sabemos que para E = 0,<br />
<strong>de</strong>ve haver uma superposição do campo gerado pela<br />
esfera interior com o campo <strong>de</strong>vido à parte interna da casca condutora. Seja<br />
da superfície gaussiana e seja q′ a carga gerada em<br />
R<br />
P o raio<br />
r = b . A lei <strong>de</strong> Gauss nos<br />
Para<br />
Figura 7.10: Superfície <strong>de</strong> Gauss para a esfera dielétrica.<br />
r < a a carga contida <strong>de</strong>ntro da superfície <strong>de</strong>senhada é:<br />
3<br />
3<br />
( Volume <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> RP<br />
4π<br />
RP/3<br />
RP<br />
q RP<br />
) ×<br />
= q = q .<br />
3<br />
Volume total 4π<br />
a /3 a<br />
3<br />
A lei <strong>de</strong> Gauss sobre a superfície <strong>de</strong>senhada (Figura 7.10) nos fornece:<br />
q R<br />
E ⋅ 4π R =<br />
ε a<br />
2 q(<br />
RP<br />
)<br />
p<br />
=<br />
ε<br />
0<br />
0<br />
3<br />
P<br />
3<br />
fornece:<br />
Como E = 0 , <strong>de</strong>scobrimos que q′ = −q<br />
.<br />
2 q + q′<br />
E ⋅ 4π<br />
RP<br />
= . ( b < r < c)<br />
ε<br />
Se existe uma carga − q em r = b , e sabemos que esta é a carga sobre o condutor,<br />
toda ela vai se mover para a superfície interna da casca condutora. Então, o campo<br />
elétrico para pontos fora do conjunto, isto é<br />
cargas no seu interior é zero. Então:<br />
E = 0<br />
( r > c)<br />
0<br />
r > c , será nulo, uma vez que a soma das<br />
130<br />
131
ATIVIDADE 7.3<br />
Consi<strong>de</strong>re a mesma configuração do exemplo 7.5, porém consi<strong>de</strong>re que o condutor<br />
esteja <strong>de</strong>scarregado.<br />
1 q<br />
Φ =<br />
38ε<br />
0<br />
ATIVIDADE 7.4<br />
EXEMPLO 7.6<br />
CARGA NO VÉRTICE DE UM CUBO<br />
Uma carga puntiforme q está localizada no centro <strong>de</strong> um cubo <strong>de</strong> aresta d (Figura<br />
7.11).<br />
a) Qual é o valor <strong>de</strong><br />
∫E r<br />
⋅ nˆ<br />
dA estendida a uma face do cubo?<br />
b) A carga q é <strong>de</strong>slocada até um vértice do cubo da figura 7.11. Qual é agora o valor<br />
do fluxo <strong>de</strong> campo elétrico através <strong>de</strong> cada uma das faces do cubo?<br />
Sobre cada vértice <strong>de</strong> um cubo há uma carga +q. Qual é agora o valor do fluxo <strong>de</strong><br />
campo elétrico através <strong>de</strong> cada uma das faces do cubo?<br />
EXEMPLO 7.7<br />
CAMPO EM CAVIDADES ESFÉRICAS<br />
Um condutor esférico A contém duas cavida<strong>de</strong>s esféricas (figura 7.12). A carga total<br />
do condutor é nula. No entanto, há uma carga puntiforme<br />
cavida<strong>de</strong> e<br />
q<br />
c no centro da outra. A uma gran<strong>de</strong> distância r está outra<br />
força que age em cada um dos quatro corpos<br />
A ,<br />
q<br />
b no centro <strong>de</strong> uma<br />
q<br />
d . Qual a<br />
, q q b c e q<br />
d ? Quais <strong>de</strong>ssas respostas,<br />
se há alguma, são apenas aproximadas e <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>m <strong>de</strong> r ser relativamente gran<strong>de</strong>?<br />
Figura 7.11: Superfície cúbica<br />
Solução:<br />
(a) O fluxo total é q /ε<br />
0 . O fluxo através das faces em que ele não é nulo tem que ser o<br />
mesmo em todas elas, por simetria. Portanto, através <strong>de</strong> cada uma das seis faces:<br />
∫<br />
face<br />
r<br />
E ⋅ ndA ˆ =<br />
(b) Como o campo <strong>de</strong> q é paralelo à superfície das faces<br />
q<br />
ε<br />
0<br />
A, B e C , (as linhas <strong>de</strong><br />
força s!ao tangentes às faces) o fluxo através das faces que formam o vértice tem que<br />
ser nulo!<br />
O total do fluxo sobre as outras três faces precisa ser q /(8 0<br />
) porque esse cubo<br />
é um dos oito cubos que cirundam q . Essas três faces estão simetricamente dispostas<br />
em relação a q <strong>de</strong> modo que o fluxo através <strong>de</strong> cada uma <strong>de</strong>las é:<br />
ε<br />
SOLUÇÃO: A força sobre<br />
Figura 7.12: Condutor esférico com cavida<strong>de</strong>s.<br />
q<br />
b<br />
é zero. O campo <strong>de</strong>ntro da cavida<strong>de</strong> esférica é<br />
in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nte <strong>de</strong> qualquer coisa fora <strong>de</strong>la. Uma carga<br />
distribuída sobre a superfície condutora. O mesmo vale para<br />
− qb<br />
fica uniformemente<br />
q<br />
c . Como a carga total no<br />
condutor A é zero, uma carga q<br />
b<br />
+ qc<br />
fica distribuída sobre sua superfície externa. Se<br />
q<br />
d não existisse o campo fora <strong>de</strong> A seria simétrico e radial:<br />
132<br />
133
E =<br />
1<br />
4πε<br />
0<br />
( q<br />
q<br />
c<br />
)<br />
,<br />
2<br />
r<br />
que é o mesmo campo <strong>de</strong> uma carga puntual situada no centro da esfera.<br />
A influência <strong>de</strong><br />
b +<br />
.<br />
q<br />
d alterará ligeiramente a distribuição <strong>de</strong> carga em A , mas sem<br />
afetar a carga total. Portanto para r gran<strong>de</strong>, a força sobre<br />
1 q<br />
F =<br />
4 πε<br />
0<br />
d<br />
( qb<br />
+<br />
c<br />
2<br />
r<br />
q )<br />
q<br />
d será aproximadamente:<br />
Figura 7.13: Cavida<strong>de</strong> esférica no interior <strong>de</strong> uma esfera uniformemente carregada.<br />
Usando o conceito <strong>de</strong> superposição mostre que o campo elétrico, em todos os pontos<br />
no interior da cavida<strong>de</strong> é uniforme e vale:<br />
r<br />
r<br />
ρa<br />
E = ,<br />
3<br />
on<strong>de</strong> a r é o vetor que vai do centro da esfera ao centro da cavida<strong>de</strong>. Note que ambos<br />
os resultados são in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntes dos raios da esfera e da cavida<strong>de</strong>.<br />
ε 0<br />
A força em A precisa ser exatamente igual e oposta à força em<br />
q<br />
d .<br />
O valor exato da força em<br />
força que agiria em<br />
q<br />
d é a soma da força aproximada <strong>de</strong> A sobre<br />
q<br />
d mais a<br />
q<br />
d se a carga total sobre e <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> A fosse zero, que<br />
correspon<strong>de</strong> à atração <strong>de</strong>vido a indução <strong>de</strong> cargas sobre a superfície da esfera.<br />
ATIVIDADE 7.5<br />
ESFERA UNIFORMEMENTE CARREGADA DE DENSIDADE VOLUMÉTRICA ρ<br />
Uma região esférica está uniformemente carregada com uma <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> volumétrica <strong>de</strong><br />
carga ρ . Seja r o vetor que vai do centro da esfera a um ponto genérico P no<br />
interior da esfera.<br />
a) Mostre que o campo elétrico no ponto P é dado por:<br />
r ρr<br />
E = rˆ<br />
3<br />
ε 0<br />
7.3 CARGAS E CAMPO ELÉTRICOS NA SUPERFÍCIE DE CONDUTORES<br />
No Exemplo 7.1 vimos que as cargas elétricas em um condutor se distribuem<br />
em sua superfície. Em geral, a <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> superficial <strong>de</strong> cargas na superfície é variável.<br />
Para pontos próximos à superfície, o campo elétrico é perpendicular à superfície; se<br />
isso não ocorresse, haveria uma componente <strong>de</strong>ste campo paralela à superfície, que<br />
produziria movimento <strong>de</strong> cargas até que a nova distribuição <strong>de</strong>las anulasse esta<br />
componente.<br />
Po<strong>de</strong>mos calcular facilmente o valor do campo elétrico nos pontos próximos à<br />
superfície do condutor usando a lei <strong>de</strong> Gauss. A Figura 7.14 mostra um condutor <strong>de</strong><br />
forma qualquer e um ponto P próximo a ele, on<strong>de</strong> vamos <strong>de</strong>terminar o campo.<br />
Como P está muito próximo à superfície do condutor, po<strong>de</strong>mos escolher uma<br />
superfície <strong>de</strong> Gauss na forma <strong>de</strong> uma caixa cilíndrica com uma base na superfície E<br />
outra, passando por P.<br />
b) Uma cavida<strong>de</strong> esférica é aberta na esfera, como nos mostra a figura 7.13.<br />
Figura 7.14 : Superfície <strong>de</strong> Gauss para uma região na superfície <strong>de</strong> um condutor<br />
134<br />
135
No interior do condutor, o campo elétrico é nulo; assim, a única contribuição<br />
ao fluxo do campo elétrico é dada pela superfície que contém P. Seja A a sua área, a<br />
lei <strong>de</strong> Gaus nos fornece:<br />
σA<br />
∫ E r<br />
⋅ ndA ˆ = EA = .<br />
ε 0<br />
De on<strong>de</strong> vem:<br />
σ<br />
E = .<br />
ε 0<br />
(7.1)<br />
O fato das cargas elétricas em condutores se colocarem na superfície externa<br />
<strong>de</strong>les tem gran<strong>de</strong> importância prática pois está na origem da chamada gaiola <strong>de</strong><br />
Figura 7.15 Experiência com interferência e blindagem eletrostática<br />
Faraday, usada por ele para <strong>de</strong>monstrar este fato. A gaiola <strong>de</strong> Faraday nada mais é<br />
que uma gaiola metálica que, se carregada, não oferece perigo algum para pessoas<br />
que se colocarem <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong>la, pois, ao tocarem a gaiola por <strong>de</strong>ntro, não ficam em<br />
contato com as cargas elétricas e não correm risco <strong>de</strong> choques eletricos. A gaiola <strong>de</strong><br />
Faraday é usada em ativida<strong>de</strong>s que envolvem altas correntes elétricas.<br />
SOLUÇÃO:<br />
Sem afastar o aparelho elétrico do dispositivo, Ricardo <strong>de</strong>veria ter envolvido o<br />
aparelho com a cúpula metálica, e não o dispositivo.<br />
Da mesma forma, um condutor oco po<strong>de</strong> ser usada para produzir blindagem<br />
eletrostática. Quando queremos proteger um aparelho <strong>de</strong> qualquer outra influência<br />
elétrica, nós envolvemos esse aparelho com uma capa metálica. Nestas condições<br />
dizemos que o aparelho está blindado, pois nenhum fenômeno elétrico externo po<strong>de</strong>rá<br />
aferá-lo.<br />
Se você observar o interior <strong>de</strong> uma TV po<strong>de</strong>rá notar que alguns dispositivos se<br />
apresentam envolvidos por capas metálicas, estando portanto, blindados por esses<br />
EXEMPLO 7.7: MÉTODO DA CARGA IMAGEM<br />
Consi<strong>de</strong>re uma carga q a uma distância h acima <strong>de</strong> um plano condutor, que<br />
tomaremos como infinito. Seja q > 0 . a) Desenhe as linhas <strong>de</strong> campo elétrico; b) Em<br />
que ponto da superfície do condutor se encontra uma linha que nasce na carga<br />
puntiforme e sai <strong>de</strong>la horizontalmente, isto é, paralelamente ao plano?<br />
condutores.<br />
EXEMPLO 7.6<br />
BLINDAGEM ELETROSTÁTICA<br />
Ricardo verificou que a presença <strong>de</strong> uma dispositivo carregado estava perturbando o<br />
funcionamento <strong>de</strong> um aparelho elétrico, colocado próximo à ele. Para resolver o<br />
problema <strong>de</strong> interferência o estudante envolveu o dispositivo com uma cúpula<br />
metálica, como mostra a figura 7.15. Contudo ele não foi bem sucedido. Como<br />
Ricardo <strong>de</strong>veria ter agido, sem afastar o dispositivo do aparelho elétrico?<br />
Figura 7.16: Linhas <strong>de</strong> campo Figura 7.17: Visão em close up<br />
136<br />
137
Solução: Vamos chamar <strong>de</strong> z o eixo perpendicular ao plano que passa pela carga q .<br />
Esperamos que a carga positiva q atraia carga negativa do plano. Claro que a carga<br />
negativa não se acumulará numa concentração infinitamente <strong>de</strong>nsa no pé da<br />
perpendicular que passa por q .<br />
Também lembremos que o campo elétrico é sempre perpendicular à superfície do<br />
condutor, nos pontos da superfície. Muito próximo à carga q , por outro lado, a<br />
presença do plano condutor só po<strong>de</strong> fazer uma pequena diferença.<br />
Po<strong>de</strong>mos usar um artifício. Procuramos um problema facilmente solúvel cuja solução<br />
(ou parte <strong>de</strong>la) po<strong>de</strong> ser ajustada ao problema em questão.<br />
Consi<strong>de</strong>re duas cargas iguais e opostas, puntiformes, separadas pela distância 2h.<br />
Figura 7.19: Ângulo do campo<br />
Assim o campo elétrico aí é dado por:<br />
2kq<br />
− θ<br />
2kq<br />
E = cos = −<br />
z 2 2<br />
2 2 2<br />
( r + h ) ( r + h ) ( r +<br />
h<br />
h )<br />
2 1/2<br />
2kqh<br />
= −<br />
2<br />
( r + h )<br />
2 3/2<br />
Figura 7.18: Artifício da carga imagem.<br />
A <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> superficial <strong>de</strong> carga no plano condutor, po<strong>de</strong> ser calculada usando a lei <strong>de</strong><br />
Gauss. Não há fluxo através so "fundo" da caixa. Logo, pela lei <strong>de</strong> Gauss:<br />
No plano bissetor da reta que une as cargas (reta AA) o campo elétrico é em todos os<br />
pontos perpendicular ao plano.<br />
A meta<strong>de</strong> superior do <strong>de</strong>senho acima satisfaz a todos os requisitos do problema da<br />
carga e do plano infinito.<br />
Po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>ssa forma calcular a intensida<strong>de</strong> e a direção do campo sobre o plano<br />
condutor em qualquer ponto.<br />
Consi<strong>de</strong>re um ponto na superfície a uma distância r da origem.<br />
A componente z do campo <strong>de</strong> q neste ponto é<br />
A "carga imagem",<br />
E = kq<br />
− cosθ<br />
z 2<br />
( r + h<br />
2 )<br />
− q , sob o plano, contribui com uma componente z igual.<br />
ou:<br />
on<strong>de</strong><br />
∫E r<br />
• ndA ˆ =<br />
q<br />
E A = ⇒<br />
n<br />
E n<br />
ε<br />
0<br />
q<br />
ε<br />
=<br />
0<br />
σ<br />
ε<br />
E<br />
n é a componente normal do campo. Portanto<br />
σ =<br />
−<br />
1<br />
2qh<br />
=<br />
E z<br />
ε<br />
0<br />
=<br />
ε<br />
2 2 3/2 0<br />
ε<br />
2 2 3/2 0<br />
2<br />
4π ε<br />
0 ( r + h ) 4π ε<br />
0<br />
( r + h ) 2π<br />
( r +<br />
0<br />
2qh<br />
Apenas para verificação, a carga superficial total <strong>de</strong>ve igualar a<br />
On<strong>de</strong> usamos:<br />
Q<br />
total<br />
= ∫ ∞ σ 2π<br />
rdr<br />
o<br />
= −<br />
qh<br />
h<br />
2<br />
)<br />
3/2<br />
− q . De fato, ela é:<br />
138<br />
139
∫<br />
∞<br />
∫<br />
∞<br />
dxdy<br />
=<br />
∫<br />
2π<br />
∞<br />
∫<br />
−∞<br />
−∞<br />
0 0<br />
rdrdθ<br />
− hrdr<br />
q ∫ ∞ −q<br />
( r + h )<br />
=<br />
0 2 2<br />
= 3/2<br />
Este e o chamado método das imagens! Voltando à solução do nosso problema, nós<br />
<strong>de</strong>terminaremos R , a distância a partir da origem que a linha <strong>de</strong> campo que parte<br />
horizontalmente <strong>de</strong> q , atinge o plano como sendo a distância que <strong>de</strong>termina a<br />
meta<strong>de</strong> da carga induzida no plano (isto é, − q/2<br />
), confinada num círculo <strong>de</strong> raio R .<br />
RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS<br />
ATIVIDADE 7.1<br />
A solução é semelhante à do exemplo 7.1. A diferença está no sinal do produto escalar<br />
r<br />
E ⋅ nˆ<br />
, que, agora é negativo, pois o campo elétrico aponta <strong>de</strong> fora para <strong>de</strong>ntro da<br />
superfície. Daqui em diante o sinal negativo aparece, indicando apenas o sentido do<br />
vetor campo elétrico (lembre-se que o módulo é sempre positivo).<br />
ou:<br />
Ou, ainda:<br />
1<br />
=<br />
2<br />
∫<br />
0<br />
R<br />
hrdr<br />
2 2<br />
( R + h )<br />
q<br />
− =<br />
3/2<br />
2 2<br />
h + R<br />
2<br />
∫ ∞<br />
0<br />
= [ −<br />
= 4h<br />
σ 2π rdr<br />
h<br />
]<br />
2<br />
h + R<br />
2<br />
R<br />
2<br />
0<br />
⇒ R =<br />
=<br />
3h.<br />
h<br />
2 2<br />
h + R<br />
1<br />
=<br />
2<br />
ATIVIDADE 7.2<br />
Você não encontrará resposta para essa ativida<strong>de</strong>.<br />
ATIVIDADE 7.3<br />
Neste caso o problema<br />
superfície b tem que ser<br />
r = b é idêntico ao anterior. Vimos que a carga sobre a<br />
− q para que não haja campo elétrico entre b e c. Mas<br />
agora, como não há cargas "extras" sobre o condutor, os elétrons vão migrar para a<br />
superfície interna <strong>de</strong>ixando necessariamente um excesso <strong>de</strong> carga positiva<br />
superfície exterior à casca. Neste caso o campo na região externa será:<br />
ATIVIDADE 7.4<br />
E<br />
q rˆ<br />
.<br />
4π ε r<br />
=<br />
2<br />
0 P<br />
+ q na<br />
Pelos mesmos argumentos <strong>de</strong> simetria, qualquer carga q numa das faces do cubo terá<br />
campo paralelo àquela face, tal que o fluxo nessa face será zero. Portanto, por essa<br />
mesma face só passará o fluxo criado pelas outras quatro cargas na face oposta do<br />
cubo. O fluxo total sobre essa face será equivalente à quatro vezes o fluxo que uma<br />
carga q cria através <strong>de</strong> uma face, calculado no exemplo. Assim, o fluxo total por uma<br />
4 q<br />
face será Φ = .<br />
3 8ε<br />
ATIVIDADE 7.5<br />
0<br />
140<br />
141
a) Desenhando a superfície <strong>de</strong> Gauss, ilustrado na figura 7.20, e tomando um ponto<br />
genérico sobre ele, teremos, usando a lei <strong>de</strong> Gauss:<br />
E ⋅ 4π<br />
r<br />
2<br />
P<br />
4π<br />
r<br />
= ρ<br />
3ε<br />
r ρ<br />
ou: E = r rˆ<br />
P<br />
.<br />
3ε<br />
0<br />
3<br />
P<br />
0<br />
consi<strong>de</strong>ramos esse problema somado com o problema <strong>de</strong> uma distribuição uniforme,<br />
r r r<br />
com carga oposta localizada em â :<br />
= a +<br />
. O fluxo do campo elétrico que atravessa<br />
a superficie <strong>de</strong> Gauss é:<br />
P<br />
2 ρ 4π<br />
r<br />
E2<br />
⋅4π rP<br />
= − ×<br />
ε 3<br />
0<br />
ρ r p<br />
E2⋅<br />
= − .<br />
3ε<br />
r<br />
r<br />
ρrP<br />
ρ rP<br />
P<br />
ρ r<br />
Tal que: E = rˆ<br />
= = (<br />
).<br />
2<br />
3 3 r 3<br />
a r<br />
−<br />
P<br />
− − −<br />
ε ε ε<br />
0<br />
0<br />
P<br />
0<br />
3<br />
P<br />
0<br />
O campo total é dado por E<br />
1<br />
( a)<br />
+ E2<br />
:<br />
Figura 7.20: Superfície <strong>de</strong> Gauss.<br />
r ρ r ρ r r<br />
E =<br />
− (<br />
− a)<br />
=<br />
3ε<br />
3ε<br />
3<br />
0<br />
0<br />
ρ<br />
ε<br />
0<br />
r<br />
a.<br />
b) A maneira <strong>de</strong> calcular o campo <strong>de</strong>ntro da cavida<strong>de</strong> é usar o princípio da<br />
superposição. Se a <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> volumétrica <strong>de</strong> carga também preenchesse a cavida<strong>de</strong><br />
teríamos que o campo num ponto <strong>de</strong>ntro da cavida<strong>de</strong> rˆ (ver figura 7.21):<br />
r r ρ<br />
E (<br />
) = rrˆ<br />
1<br />
3ε<br />
0<br />
PENSE E RESPONDA<br />
PR7.1) Como você po<strong>de</strong> explicar o fato do campo <strong>de</strong>vido a uma placa <strong>de</strong> carga infinita<br />
ser uniforme, tendo a mesma intensida<strong>de</strong> em todos os pontos, não importando a sua<br />
distância até a superfície carregada?<br />
PR7.2) Por que o campo elétrico <strong>de</strong> uma haste infinita carregada não é infinito se a<br />
carga também é infinita? A lei <strong>de</strong> Coulomb estaria sendo violada?<br />
Figura 7.21: Superfície <strong>de</strong> Gauss.<br />
Para incluir o efeito da cavida<strong>de</strong>, usamos o princípio da superposição, isto é,<br />
142<br />
143
AULA 8: APLICAÇÕES DA ELETROSTÁTICA<br />
ATIVIDADE 8.3<br />
OBJETIVOS<br />
• UTILIZAR OS CONCEITOS DE FORÇA ELÉTRICA, CAMPO ELÉTRICO, LEI DE COULOUM E<br />
LEI DE GAUSS PARA RESOLVER PROBLEMAS MAIS ELABORADOS DA ELETROSTÁTICA<br />
NÃO PASSE PARA A PRÓXIMA AULA SEM RESOLVER AS ATIVIDADES DESSA AULA!<br />
A figura 8.3 mostra uma seção <strong>de</strong> um tubo longo <strong>de</strong> metal. Ele possui um raio<br />
R=3,00 cm e está carregado com uma <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> superficial <strong>de</strong> carga<br />
−8<br />
λ = 2,00.10 C m.<br />
Determine o módulo do campo elétrico E a uma distância radial<br />
(a) r = R 2 e (b) r = 2R<br />
. (c) Faça um gráfico <strong>de</strong> E em função <strong>de</strong> r no intervalo<br />
0 ≤ r ≤ 2R .<br />
8.1 ATIVIDADES COM APLICAÇÕES DA ELETROSTÁTICA<br />
ATIVIDADE 8.1<br />
Na figura 8.1, as linhas <strong>de</strong> campo elétrico do lado direito têm separação duas vezes<br />
menor do que no lado esquerdo. No ponto A, o campo elétrico vale 40N/C. (a) Qual<br />
é o módulo da força sobre um próton colocado em A? (b) Qual é o módulo do<br />
campo elétrico no ponto B?<br />
Figura 8.3: Seção reta <strong>de</strong> um tubo longo <strong>de</strong> metal carregado.<br />
ATIVIDADE 8.4<br />
Figura 8.1: Linhas <strong>de</strong> campo elétrico.<br />
ATIVIDADE 8.2<br />
Três partículas são mantidas fixas nos vértices <strong>de</strong> um triângulo eqüilátero, como<br />
ilustra a figura 8.2. As cargas valem q 1<br />
= q 2<br />
= + e e q3 = + 2e<br />
. A distância a=6,00<br />
µm. Determine (a) o módulo e (b) a direção do campo elétrico no ponto P.<br />
A figura 8.4 mostra dois cilindros concêntricos <strong>de</strong> raios a e b. Ambos possuem a<br />
mesma <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> linear <strong>de</strong> carga λ. Calcule o campo elétrico no ponto P situado à<br />
distância r do eixo dos cilindros, tal que:<br />
a) r
ATIVIDADE 8.7<br />
ATIVIDADE 8.5<br />
Consi<strong>de</strong>re um disco circular <strong>de</strong> plástico <strong>de</strong> raio R carregado uma <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong><br />
superficial <strong>de</strong> cargas positivas σ , figura 8.6. Qual é o campo elétrico no ponto P,<br />
situado no eixo central a uma distância z do disco?<br />
Em uma placa fina, infinita, não-condutora com uma <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> superficial <strong>de</strong><br />
carga σ , foi aberto um pequeno furo circular <strong>de</strong> raio R. O eixo z é perpendicular à<br />
placa e está no centro do furo. Determine o campo elétrico no ponto P que está a<br />
um distância z da placa. Dica: Utilize o princípio da superposição.<br />
Figura 8.7: Furo circular numa placa.<br />
ATIVIDADE 8.8<br />
Uma pequena esfera não-condutora <strong>de</strong> massa m e carga q está pendurada em fio<br />
Figura 8.5: Disco carregado com uma <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> superficial <strong>de</strong> cargas positivas σ .<br />
ATIVIDADE 8.6<br />
não-condutor que faz um ângulo θ com uma placa vertical, não-condutora,<br />
uniformemente carregada, figura 8.7 Consi<strong>de</strong>rando a força gravitacional a que a<br />
esfera está submetida e supondo que a placa possui uma gran<strong>de</strong> extensão, calcule<br />
a <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> superficial <strong>de</strong> cargas σ da placa.<br />
Dois discos muito gran<strong>de</strong>s com a mesma <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> <strong>de</strong> carga, mas com cargas <strong>de</strong><br />
sinais contrários são colocados face a face como na figura 8.6. Calcule o campo<br />
elétrico na região entre eles<br />
Figura 8.7: Ilustração da ativida<strong>de</strong> 8.8.<br />
Figura 8.6: Campo elétrico entre discos carregados<br />
146<br />
147
ATIVIDADE 8.9<br />
A figura 8.9 mostra duas esferas maciças <strong>de</strong> raio R, com distribuições uniformes <strong>de</strong><br />
cargas. O ponto P está sobre a reta que liga os centros da esferas, a uma distância<br />
R 2 do centro da esfera 1. O campo elétrico no ponto P é nulo, qual a razão entre<br />
a carga da esfera 2 e da esfera 1?<br />
Figura 8.9: Esferas maciças da ativida<strong>de</strong> 8.9<br />
RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS<br />
Ativida<strong>de</strong> 8.1<br />
(a) Através da figura vemos que o campo elétrico aponta da direita para a<br />
esquerda. A força elétrica é dada por:<br />
r<br />
F = 1,6 × 10<br />
×<br />
( − 40) iˆ<br />
= 6,4 × 10 iˆ<br />
−19 −18<br />
(b) Como discutido anteriormente, o módulo da campo elétrico é proporcional à<br />
<strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> <strong>de</strong> linhas <strong>de</strong> campo elétrico, então o campo elétrico no ponto B vale 20<br />
N/C.<br />
.<br />
Ativida<strong>de</strong> 8.2<br />
(a) Note que as cargas q1<br />
e q2<br />
tem o mesmo módulo, por simetria po<strong>de</strong>mos concluir<br />
que sua contribuições se anulam no ponto P. A magnitu<strong>de</strong> do campo no ponto P<br />
será:<br />
r 1 2e<br />
E = =<br />
2<br />
4πε<br />
r<br />
0<br />
p<br />
1<br />
4πε<br />
0<br />
2e<br />
( a 2 )<br />
2<br />
= 160 N C .<br />
(b) O campo tem o mesmo sentido da linha que une a carga 3 ao ponto P.<br />
Ativida<strong>de</strong> 8.3<br />
Consi<strong>de</strong>re uma superfície cilíndrica <strong>de</strong> área A e e raio<br />
cilindro. Fazendo uso da lei <strong>de</strong> Gauss po<strong>de</strong>mos escrever:<br />
r<br />
q<br />
∫ E • nˆ<br />
da = 2 π rp<br />
E = .<br />
A<br />
ε<br />
r<br />
p , concêntrico ao eixo do<br />
(a) No interior do cilindro o campo elétrico é nulo, pois não há cargas no interior da<br />
superfície gaussiana.<br />
(b) Para r p<br />
> R temos que = λ.<br />
<strong>de</strong> λ e r<br />
p<br />
temos:<br />
q Então ( r)<br />
enc<br />
0<br />
λ<br />
E = . Substituindo os valores<br />
2π<br />
r p<br />
ε 0<br />
3<br />
E = 5.99 × 10 N<br />
C.<br />
(c) O gráfico <strong>de</strong> E versus r é mostrado abaixo:<br />
148<br />
149
ada por ela é nula, o campo fora dos cilindros também será nulo.<br />
Ativida<strong>de</strong> 8.5<br />
Vamos dividir o disco em anéis concêntricos e calcular o campo elétrico no ponto P<br />
integrando sobre todos os anéis. Na figura 8.6 estão representados esses anéis. A<br />
carga do anel é dada por:<br />
dq = σ dA = σ 2π<br />
r dr,<br />
Figura 8.12: Gráfico <strong>de</strong> E versus r .<br />
O valor máximo para o campo elétrico é dado para r = 0, 030m<br />
e vale:<br />
Ativida<strong>de</strong> 8.4<br />
λ<br />
4<br />
E<br />
max<br />
= = 1,2 × 10 N C.<br />
2π<br />
rε<br />
Pela figura 8.4, po<strong>de</strong>mos ver que o campo elétrico tem direção radial.<br />
(a) Consi<strong>de</strong>remos uma superfície <strong>de</strong> Gauss cilíndrica <strong>de</strong> comprimento L e raio<br />
r p<br />
< a . Aplicando a lei <strong>de</strong> Gauss para ela, temos:<br />
r<br />
qenc<br />
∫ E • nˆ<br />
da = E (2π<br />
rp<br />
L)<br />
= = 0<br />
A<br />
porque não há carga elétrica nas regiões em que rb. Como a carga total encer<br />
Em que os índices positivo e negativo indicam as placas. A expressão do módulo do<br />
campo elétrico <strong>de</strong> cada placa é dada pela equação final da Ativida<strong>de</strong> 8.5. Nela, a<br />
coor<strong>de</strong>nada z <strong>de</strong>ve ser substituida por x, posto que o eixo paralelo ao campo agora<br />
150<br />
151
é o eixo Ox. Fazendo a conta para o campo em um ponto <strong>de</strong>ntro da região das<br />
placas, com coor<strong>de</strong>nada x, obtemos:<br />
Ativida<strong>de</strong> 8.7<br />
σ ˆ<br />
− σ σ<br />
E = i − ( −iˆ)<br />
=<br />
2ε<br />
2ε<br />
ε<br />
0<br />
A distribuição <strong>de</strong> carga neste problema é equivalente a uma placa carregada com<br />
uma <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> superficial <strong>de</strong> carga σ mais um disco circular com raio R carregado<br />
com uma <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> superficial <strong>de</strong> carga − σ . O campo produziso pela placa<br />
chamaremos <strong>de</strong> E r placa<br />
e o campo produzido pelo disco <strong>de</strong> E r<br />
disco , utilizando o<br />
princípio da superposição po<strong>de</strong>mos escrever:<br />
r<br />
E<br />
total<br />
r r<br />
= E + E .<br />
placa<br />
Utilizando os resultados obtidos em ativida<strong>de</strong>s anteriores, o campo será dado por:<br />
Ativida<strong>de</strong> 8.8<br />
( − σ )<br />
0<br />
disco<br />
E<br />
r ⎛ σ ⎞<br />
ˆ<br />
⎛ z ⎞<br />
1<br />
ˆ σ z<br />
= k ⎜<br />
⎟ k<br />
total ⎜<br />
⎟ +<br />
=<br />
2<br />
−<br />
2 2<br />
2<br />
⎝ ε<br />
0 ⎠ ε<br />
0 ⎝ z + R ⎠ 2ε<br />
z + R<br />
2 2<br />
0<br />
A esfera faz um ângulo θ com a placa. Estando em equilíbrio, as forças sobre a<br />
esfera <strong>de</strong>vem se anular. A figura 8.13 ilustra as forças que atuam na esfera.<br />
0<br />
kˆ.<br />
E =<br />
σ<br />
ε<br />
2 0<br />
Dividindo 8.2 por 8.1 e substituindo o valor <strong>de</strong> E temos:<br />
Ativida<strong>de</strong> 8.9<br />
.<br />
qσ<br />
2ε<br />
0mg<br />
tanθ<br />
= mg tanθ<br />
→ σ =<br />
.<br />
2ε<br />
q<br />
0<br />
O campo eletrico no interior e exterior <strong>de</strong> uma esfera carregada já foi calculado nas<br />
aulas anteriores. O campo <strong>de</strong>vido à esfera 1 é:<br />
E o campo da esfera 2 é:<br />
q1<br />
E1<br />
=<br />
3<br />
4πε<br />
R<br />
A razão entre as cargas será:<br />
1<br />
0<br />
q1<br />
r1<br />
=<br />
4πε<br />
R<br />
2<br />
2<br />
=<br />
2<br />
4πε<br />
0r<br />
4πε<br />
0<br />
R<br />
0<br />
3<br />
⎛ R ⎞ q1<br />
⎜ ⎟ =<br />
⎝ 2 ⎠ 8πε<br />
R<br />
q q<br />
E = .<br />
( 1,5 ) 2<br />
q2<br />
9<br />
= = 1,125.<br />
q 8<br />
1<br />
0<br />
2<br />
.<br />
Figura 8.13: Diagrama <strong>de</strong> forças que atuma na esfera.<br />
Po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>compor a tensão na corda e aplicar a condição <strong>de</strong> equilíbrio, ∑ F r = 0 .<br />
Assim teremos:<br />
e<br />
T cos θ = mg<br />
(8.1)<br />
Tsen θ = qE.<br />
(8.2)<br />
O campo criado por uma placa já é conhecido e tem módulo:<br />
152<br />
153
UNIDADE 4<br />
ENERGIA POTENCIAL ELÉTRICA E POTENCIAL ELÉTRICO<br />
Nas unida<strong>de</strong>s anteriores estudamos o campo elétrico gerado por diversas<br />
distribuições <strong>de</strong> carga. No entanto, <strong>de</strong>vido à sua natureza vetorial, o cálculo <strong>de</strong><br />
torna-se complicado. Nesta unida<strong>de</strong> começaremos o estudo <strong>de</strong> uma gran<strong>de</strong>za<br />
escalar: o potencial elétrico, que permitirá calcular o campo elétrico <strong>de</strong> forma mais<br />
simples. Antes <strong>de</strong> discutir o conceito <strong>de</strong> Potencial faremos uma análise do trabalho<br />
realizado pela força elétrica no <strong>de</strong>slocamento das cargas e da energia potencial<br />
elétrica associada com a configuração <strong>de</strong> cargas em sistemas discretos ou<br />
contínuos. Por último, apren<strong>de</strong>remos a relação entre o campo elétrico e o potencial<br />
e discutiremos uma generalização da noção <strong>de</strong> energia eletrostática.<br />
→<br />
E<br />
154<br />
155
AULA 9: ENERGIA POTENCIAL ELÉTRICA<br />
Portanto, o trabalho realizado por<br />
campo gerado pela carga Q é:<br />
→<br />
F no <strong>de</strong>slocamento da carga<br />
e<br />
q<br />
o<br />
através do<br />
OBJETIVOS<br />
• DEFINIR A ENERGIA POTENCIAL ELÉTRICA<br />
• CALCULAR A ENERGIA POTENCIAL ELÉTRICA PARA DISTRIBUIÇÕES SIMPLES DE<br />
CARGAS ELÉTRICAS<br />
9.1 TRABALHO E ENERGIA POTENCIAL ELÉTRICA<br />
Consi<strong>de</strong>re uma carga Q situada em um ponto do espaço cujo vetor-posição<br />
relativo a um dado referencial O seja r Q<br />
. Esta carga cria um campo elétrico<br />
→<br />
E em<br />
outro ponto P do espaço, <strong>de</strong> vetor-posição r P<br />
. Uma carga q<br />
0<br />
, situada em P, sofrerá<br />
uma força elétrica<br />
F r e<br />
exercida pelo campo elétrico <strong>de</strong> Q sobre ela. A Figura 9.1<br />
mostra o referencial O, os vetores-posição r Q<br />
ao referencial, assim como o vetor-posição (<br />
carga Q.<br />
e rr P<br />
r r − P Q<br />
das duas cargas relativamente<br />
) do ponto P relativamente à<br />
B → →<br />
Qq B<br />
B<br />
o 1 Qqo<br />
dr<br />
WAB<br />
= ∫ Fe<br />
• ds = ∫ rˆ<br />
• rˆ<br />
dr =<br />
A<br />
A 2<br />
r<br />
∫A<br />
2<br />
4πε<br />
4πε<br />
r<br />
em que fizemos, para simplificar a notação, a seguinte substituição:<br />
Observe que<br />
v r r<br />
r = P<br />
−<br />
Q<br />
e<br />
o<br />
r r<br />
P<br />
−<br />
Q<br />
rˆ<br />
= r r<br />
−<br />
W<br />
AB é uma função apenas da distância entre as cargas e,<br />
portanto, in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong> do caminho usado para calcular a integral <strong>de</strong> linha <strong>de</strong> A<br />
até B. Então, po<strong>de</strong>mos concluir que a força Coulombiana é uma força<br />
conservativa.<br />
Assim, quando q<br />
o<br />
se <strong>de</strong>sloca <strong>de</strong> A até B, po<strong>de</strong>mos, associar ao trabalho realizado por<br />
→<br />
F , uma função energia potencial que só <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> dos pontos A e B, <strong>de</strong> tal forma<br />
e<br />
que a variação da energia potencial U<br />
B<br />
− U<br />
A entre os pontos B e A seja igual ao<br />
negativo do trabalho<br />
carga <strong>de</strong> A até B:<br />
P<br />
W<br />
AB realizado pela força elétrica no <strong>de</strong>slocamento da<br />
Q<br />
o<br />
B → →<br />
Fe<br />
• ds<br />
A<br />
∫<br />
U − U = − W = −<br />
(9.2)<br />
B<br />
A<br />
Lembre-se que, no SI, a unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> energia e trabalho é o Joule [J].<br />
AB<br />
Figura 9.1: Os vetores-posição da carga Q e do ponto P<br />
A força elétrica que a carga Q exerce sobre q<br />
0<br />
é:<br />
→ →<br />
1<br />
Fe<br />
= qo<br />
E =<br />
4πε<br />
o<br />
Qqo<br />
v r<br />
r −<br />
P<br />
Q<br />
2<br />
r r<br />
P<br />
−<br />
Q<br />
r r<br />
−<br />
P<br />
Q<br />
(9.1)<br />
EXEMPLO 9.1<br />
Na figura 9.3, suponha que uma carga<br />
q o<br />
= +4, 5 nC<br />
se <strong>de</strong>sloque em uma<br />
3<br />
região on<strong>de</strong> o campo elétrico seja dado por E = ( 2,00×<br />
10 N / C) j<br />
variação da energia potencial<br />
→<br />
∆ U quando q<br />
o<br />
vai <strong>de</strong>:<br />
(a) A para B. (b) B para C (c) A para C.<br />
ˆ . Calcule a<br />
r<br />
r P Q<br />
Essa expressão mostra que a força elétrica <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> apenas da distância<br />
r − entre as cargas e está sempre dirigida ao longo da linha que as une.<br />
157<br />
156
OB<br />
cosθ<br />
= = AB<br />
3<br />
2 2<br />
2 + 3<br />
=<br />
3<br />
= 0.83<br />
13<br />
Então:<br />
U<br />
B<br />
−U<br />
A<br />
= −W<br />
AB<br />
= −<br />
-9<br />
3<br />
−2<br />
2 2<br />
−2<br />
2<br />
( 4,5×<br />
10 C)( 2,0×<br />
10 N/C) ( 0,83) ( 2,0 × 10 m ) + ( 3,0 × 10 m ) 2<br />
U B<br />
−U<br />
A<br />
= − 2,7 × 10<br />
-7<br />
J<br />
Figura 9.3<br />
b) Quando q<br />
o<br />
se <strong>de</strong>sloca <strong>de</strong> B para C o trabalho realizado pela força elétrica é<br />
Solução:<br />
Para todos os casos a variação da energia potencial entre os pontos assinalados<br />
po<strong>de</strong> ser obtida através do trabalho realizado pela força elétrica ao <strong>de</strong>slocar<br />
entre os dois pontos. Portanto:<br />
→ →<br />
Como F = q E<br />
e o<br />
,<br />
a) para a trajetória <strong>de</strong> A para B,<br />
W<br />
∫<br />
= B AB A o<br />
W<br />
AB<br />
W<br />
W<br />
→<br />
3<br />
q (2,0 × 10 N/C) ĵ•<br />
ds<br />
3<br />
= q (2,0 × 10 N/C)<br />
o<br />
∫<br />
B<br />
A<br />
→<br />
ĵ•<br />
ds<br />
B → →<br />
AB = ∫ Fe<br />
• ds<br />
A<br />
B<br />
= ∫ q<br />
AB A<br />
o<br />
• →<br />
→ →<br />
•<br />
Observe atentamente pela figura que ( ) θ<br />
→ →<br />
E e ds .<br />
Mas:<br />
W<br />
AB<br />
WAB<br />
3<br />
= q (2,0×<br />
10 N/C)<br />
o<br />
= (4,5×<br />
10<br />
-9<br />
∫<br />
B<br />
A<br />
cosθ<br />
ds<br />
3<br />
C) (2,0×<br />
10 C) cosθ<br />
E<br />
ds<br />
q<br />
o<br />
ĵ ds = ds cos , on<strong>de</strong> θ é o ângulo entre<br />
∫<br />
B<br />
A<br />
ds<br />
dado por<br />
C<br />
BC = ∫ qo<br />
B<br />
W<br />
W<br />
∫<br />
= C BC o<br />
B<br />
W<br />
BC<br />
→ →<br />
•<br />
E<br />
ds<br />
→<br />
3<br />
3<br />
q (2,0 × 10 N/C) ĵ•<br />
ds = q (2,0 × 10 N/C)<br />
3<br />
= q (2,0×<br />
10 N/C)<br />
o<br />
∫<br />
C<br />
B<br />
cosφ<br />
ds<br />
on<strong>de</strong>, para este caso, φ é o ângulo entre<br />
o<br />
→<br />
E e<br />
∫<br />
C<br />
B<br />
→<br />
ĵ•<br />
ds<br />
figura 9.3. Lembre que é sempre o menor ângulo entre os vetores<br />
-9<br />
3<br />
W = (4,5×<br />
10 C)(2,0×<br />
10 N/C) cos φ<br />
BC<br />
W<br />
BC<br />
=<br />
∫<br />
C<br />
B<br />
ds<br />
-9<br />
3<br />
o<br />
(4,5 × 10 C) (2,0 × 10 N/C) cos135 ×<br />
−7<br />
W BC<br />
= −2,6<br />
× 10<br />
U<br />
C<br />
c) O vetor<br />
−U<br />
B<br />
= −W<br />
BC<br />
J<br />
= + 2,6×<br />
10<br />
-5<br />
J<br />
→<br />
ds . I<strong>de</strong>ntifique esse ângulo na<br />
-2 2<br />
( 4,2 10 m )<br />
→<br />
E e ds<br />
r . Então:<br />
→<br />
→<br />
E é perpendicular ao vetor ds em qualquer ponto da trajetória e <strong>de</strong>sse<br />
modo o trabalho realizado pela força elétrica <strong>de</strong> A para C é nulo. Em outras<br />
palavras, a diferença <strong>de</strong> energia potencial elétrica entre C e A é nula.<br />
W<br />
C → →<br />
= ∫ q E • ds<br />
AC A<br />
o<br />
-9<br />
3<br />
W = (4,5×<br />
10 C) (2,0×<br />
10 N/C) cos β ds<br />
AC<br />
∫<br />
C<br />
A<br />
158<br />
159
sendo β o ângulo entre<br />
W<br />
AC<br />
W<br />
AC<br />
U<br />
C<br />
= (4,5×<br />
10<br />
= 0<br />
− U<br />
A<br />
= 0<br />
-9<br />
→<br />
E e<br />
→<br />
ds quando<br />
3<br />
C) (2,0×<br />
10 N/C) cos 90<br />
q<br />
o<br />
se <strong>de</strong>sloca <strong>de</strong> A para C. Então:<br />
o<br />
∫<br />
ATIVIDADE 9.1<br />
No Exemplo 9.1, verifique se o trabalho realizado pela força no <strong>de</strong>slocamento da<br />
carga <strong>de</strong> A até B, passando pelo ponto O, dá o mesmo valor que foi calculado no<br />
Exemplo.<br />
C<br />
A<br />
ds<br />
nível <strong>de</strong> energia potencial, teremos uma energia potencial infinita.<br />
→<br />
Como a força F é a força que atua entre duas cargas, a energia potencial é<br />
e<br />
uma função do conjunto das cargas. Assim, não é correto falarmos em energia<br />
potencial <strong>de</strong> uma carga apenas. Entretanto, quando tratamos <strong>de</strong> carga elétrica<br />
em um campo elétrico (o qual é gerado por uma ou várias outras cargas), po<strong>de</strong>mos<br />
falar na energia potencial <strong>de</strong> uma carga (por exemplo,<br />
q<br />
o<br />
) em um ponto P do<br />
campo elétrico, em relação a um dado nível <strong>de</strong> energia potencial. Fica, então,<br />
subentendido que a energia potencial é do sistema constituído pela carga<br />
outras que geram o campo no qual está q<br />
o<br />
.<br />
q<br />
o<br />
e as<br />
Tomando a energia potencial em um ponto A, U<br />
A<br />
= 0 , para um ponto P<br />
qualquer po<strong>de</strong>mos escrever:<br />
U<br />
P → →<br />
P = − qo<br />
∫ E • ds<br />
A<br />
(9.4)<br />
PENSE E RESPONDA<br />
r<br />
−3<br />
O que aconteceria com U<br />
B<br />
− U<br />
A e W<br />
AB se E = −2,0<br />
× 10 ˆj<br />
N/C?<br />
9.2 ENERGIA POTENCIAL ELÉTRICA DE DUAS CARGAS PONTUAIS<br />
Para obter a energia potencial elétrica <strong>de</strong> um sistema constituído por uma<br />
carga Q <strong>de</strong> vetor-posição r Q<br />
e <strong>de</strong> outra<br />
q<br />
o<br />
, <strong>de</strong> vetor-posição r 0<br />
, ambos referidos a<br />
9.1.1 NÍVEL ZERO DE ENERGIA POTENCIAL<br />
A equação 9-2 nos mostra que não <strong>de</strong>finimos energia potencial em termos<br />
absolutos, mas apenas a diferença <strong>de</strong> energia potencial entre dois pontos <strong>de</strong><br />
um campo elétrico. Por causa disso, costumamos escolher um ponto do campo e<br />
estabelecer arbitrariamente que, nele, a energia potencial é zero. Este ponto é<br />
chamado <strong>de</strong> nível zero <strong>de</strong> energia potencial. Assim, a diferença <strong>de</strong> energia<br />
potencial entre qualquer ponto P do campo e o nível (por exemplo, o ponto A) é<br />
numericamente igual à energia potencial no ponto P. Então:<br />
U − 0 = − W<br />
P<br />
AP<br />
= −<br />
P → →<br />
Fe<br />
• ds<br />
A<br />
∫<br />
(9.3)<br />
O nível zero <strong>de</strong> energia potencial é escolhido, geralmente, no ponto<br />
em que a força é nula. No caso da força elétrica exercida por uma carga ou<br />
distribuição discreta <strong>de</strong> cargas, o nível é um ponto situado a uma distância infinita<br />
da carga sobre a qual a força atua. Devemos, entretanto, ter cuidado com o caso<br />
<strong>de</strong> uma distribuição infinita <strong>de</strong> cargas. Nesse caso, se escolhermos o infinito como<br />
um mesmo referencial O, temos que lembrar que o vetor campo elétrico para uma<br />
distribuição discreta <strong>de</strong> cargas é dado por:<br />
→<br />
E =<br />
1<br />
4πε<br />
De acordo com a equação 9.3, e fazendo:<br />
r<br />
temos que: ds<br />
= rˆ<br />
dr e:<br />
U<br />
r r<br />
=<br />
P<br />
U<br />
= −q<br />
P<br />
r<br />
o<br />
Q<br />
r r<br />
−<br />
0<br />
− rQ<br />
e rˆ<br />
∫<br />
o<br />
∞<br />
P →<br />
→<br />
0<br />
E • ds = −q<br />
r<br />
o<br />
Q<br />
1<br />
4πε<br />
2<br />
o<br />
r r<br />
0<br />
−<br />
r r<br />
−<br />
0<br />
Q<br />
Q<br />
r r<br />
0<br />
−<br />
= r r<br />
−<br />
∫<br />
r<br />
∞<br />
0<br />
Q<br />
Q<br />
Q<br />
rˆ<br />
• rˆ<br />
dr<br />
2<br />
r<br />
Qqo<br />
1 Qqo<br />
⎛ 1 1 ⎞<br />
= − − = − ⎜ − + ⎟<br />
4πε<br />
r 4πε<br />
⎝ r ∞ ⎠<br />
o<br />
∞<br />
o<br />
160<br />
161
Então:<br />
Colocando uma terceira carga q<br />
3<br />
próxima <strong>de</strong>ssa distribuição, ela irá interagir<br />
U<br />
P<br />
1 Qq<br />
=<br />
4πε<br />
r<br />
o<br />
o<br />
1<br />
=<br />
4πε<br />
o<br />
Qq<br />
o<br />
r − r<br />
0<br />
Q<br />
(9.5)<br />
com as cargas q<br />
1<br />
e q<br />
2<br />
. As energias potenciais dos sistemas constituídos por q<br />
1<br />
e<br />
q<br />
3<br />
e por q<br />
2<br />
e q<br />
3<br />
são respectivamente:<br />
A equação 9.5 nos dá a energia potencial elétrica <strong>de</strong> duas cargas Q e<br />
separadas por uma distância r<br />
r r = − 0<br />
. Não fizemos nenhuma restrição aos sinais<br />
Q<br />
qo<br />
U<br />
1<br />
q q<br />
1 3<br />
13<br />
= r r<br />
e<br />
4 πε<br />
o<br />
3 − 1'<br />
U<br />
23<br />
1<br />
=<br />
4 πε<br />
o<br />
q2q3<br />
r r<br />
− 3<br />
2'<br />
das cargas. Se uma <strong>de</strong>las for negativa a energia potencial <strong>de</strong>sse sistema será<br />
negativa e se ambas forem positivas, a energia potencial será positiva, como é<br />
possível ver pela equação 9.5.<br />
9.3 ENERGIA POTENCIAL ELÉTRICA DE VÁRIAS CARGAS PONTUAIS<br />
Consi<strong>de</strong>re um sistema constituído <strong>de</strong> duas cargas q<br />
1 e q<br />
2 , separadas por<br />
r r<br />
uma distância<br />
2 −<br />
1 ' , como mostra a figura 9.5. Sabemos que a energia potencial<br />
elétrica <strong>de</strong>sse sistema é dada pela equação 9.5, tomando U = 0 quando as cargas<br />
estão separadas por uma distância infinitamente gran<strong>de</strong>. Ou seja,<br />
U<br />
12<br />
1<br />
=<br />
4 πε<br />
o<br />
q1q2<br />
r r<br />
− 2<br />
1'<br />
ou:<br />
Então a energia potencial total do sistema constituído das três cargas será:<br />
U =<br />
1<br />
4πε<br />
o<br />
2<br />
U = U +<br />
q1q2<br />
r r +<br />
−<br />
1'<br />
12<br />
+ U13<br />
U<br />
23<br />
1<br />
4πε<br />
o<br />
q1q3<br />
r r +<br />
−<br />
3<br />
1'<br />
1<br />
4πε<br />
o<br />
q2q3<br />
r r<br />
−<br />
Po<strong>de</strong>mos aplicar esse raciocínio para sistemas com mais <strong>de</strong> três cargas.<br />
Assim, a energia potencial <strong>de</strong> um sistema <strong>de</strong> várias cargas em um ponto P do<br />
espaço, cada uma <strong>de</strong>las gerando um campo elétrico neste ponto, é a soma das<br />
energias potenciais associadas a cada carga<br />
ponto:<br />
q<br />
i<br />
e uma carga<br />
3<br />
2'<br />
q<br />
j<br />
colocada neste<br />
U =<br />
1<br />
4πε<br />
N<br />
∑<br />
qi<br />
q<br />
j<br />
r r<br />
o i < j rj<br />
− ri<br />
(9-6)<br />
on<strong>de</strong><br />
r r − j é a distância entre a carga i<br />
i<br />
q e a j-ésima carga. Para não contarmos<br />
duas vezes as interações entre duas cargas e como não existe energia potencial <strong>de</strong><br />
um sistema constituído <strong>de</strong> uma carga apenas, fizemos na soma da equação 9.5,<br />
i < j . Note que aqui também adotamos para o sistema <strong>de</strong> N cargas U = 0 quando<br />
r = ∞ .<br />
i<br />
EXEMPLO 9.2<br />
r r − 2 Figura 9.5: Duas cargas pontuais q<br />
1 e q2<br />
estão separadas por uma distância 1<br />
; uma<br />
terceira carga q<br />
3 é colocada próximo das outras duas, separada <strong>de</strong> q<br />
1 por uma distância<br />
r r<br />
r<br />
3 − 1' e <strong>de</strong> q<br />
2 , por r 3 2<br />
Duas cargas pontuais positivas<br />
q o<br />
= 6,0µC<br />
e q<br />
1<br />
= 4,0µ<br />
C estão no<br />
plano xy e possuem coor<strong>de</strong>nadas (0,0<br />
cm; 0,0 cm) e (8,0 cm; 0,0 cm),<br />
respectivamente. Uma carga também Figura 9.6<br />
r − . 163<br />
162
pontual e negativa q<br />
2<br />
= −5,0µ<br />
C é trazida lentamente e com velocida<strong>de</strong> constante<br />
do infinito até a o ponto P com coor<strong>de</strong>nadas (12 cm; 0 cm). Calcule a energia<br />
potencial elétrica do sistema formado pelas três cargas.<br />
Resolução:<br />
A energia potencial das três cargas é dada pela equação 9.5:<br />
U =<br />
1<br />
4πε<br />
o<br />
qoq1<br />
r r<br />
−<br />
1<br />
0'<br />
+<br />
1<br />
4πε<br />
o<br />
qoq2<br />
r r<br />
−<br />
On<strong>de</strong> r ij<br />
é a distância entre a carga<br />
2<br />
0'<br />
+<br />
1<br />
4πε<br />
o<br />
q1q2<br />
r r<br />
−<br />
2<br />
1'<br />
q<br />
i<br />
e a carga<br />
q<br />
j<br />
. Então:<br />
−6<br />
−6<br />
−6<br />
−6<br />
−6<br />
−6<br />
( 6,0 × 10 C)( 4,0 × 10 C) ( 6,0 × 10 C)( −5,0<br />
× 10 C) ( 4,0 × 10 C)( −5,0<br />
× 10 C)<br />
1 ⎛<br />
U = ⎜<br />
+<br />
+<br />
−2<br />
−2<br />
−2<br />
4πε<br />
o ⎝ 8,0 × 10 m<br />
12×<br />
10 m<br />
4,0 × 10 m<br />
Então:<br />
U = −4, 0J<br />
Três cargas pontuais<br />
<strong>de</strong> um triângulo eqüilátero <strong>de</strong> lado<br />
do sistema formado pelas três cargas.<br />
ATIVIDADE 9.2<br />
q = 1<br />
9, 4 mC , q −5, 2 mC<br />
2<br />
= e q3 = 6, 0 mC estão nos vértices<br />
l = 3, 0 mm. Calcule a energia potencial elétrica<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
Figura 9.7: Dipolo elétrico em um campo elétrico<br />
O campo elétrico exerce uma força elétrica sobre cada carga do dipolo como<br />
mostrado na figura. Essas forças são iguais e <strong>de</strong> sentidos contrários, <strong>de</strong> modo que a<br />
força elétrica resultante sobre o dipolo é nula. Entretanto, porque não possuem a<br />
mesma linha <strong>de</strong> ação, elas exercem um torque sobre o dipolo, <strong>de</strong> modo que o<br />
torque total é:<br />
r r r r r<br />
τ = a × F F<br />
+<br />
+ a ×<br />
Em que a r é o vetor-posição da carga (positiva ou negativa) relativamente ao ponto<br />
r r<br />
O. Como a força elétrica que atua nas cargas é F = q E , o módulo do torque é,<br />
então:<br />
r<br />
τ a F senθ<br />
+ a F senθ<br />
= a q E senθ<br />
= p senθ<br />
=<br />
+ −<br />
2<br />
porque ambos os torques têm a direção perpendicular à folha <strong>de</strong> papel e o sentido<br />
para <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong>la. Nessa equação, usamos a notação<br />
−<br />
p = 2aq. Consi<strong>de</strong>rando que o<br />
vetor momento <strong>de</strong> dipolo p r está dirigido da carga negativa para a positiva, a<br />
ATIVIDADE 9.3<br />
Nos vértices <strong>de</strong> um quadrado <strong>de</strong> lado l estão quatro cargas<br />
q<br />
1<br />
= + e , q2 = + 5e<br />
,<br />
q3 = −e e q = 2e<br />
. Obtenha a energia potencial elétrica <strong>de</strong>ssa configuração <strong>de</strong><br />
cargas.<br />
4<br />
−<br />
9.4 DIPOLO ELÉTRICO EM UM CAMPO ELÉTRICO<br />
Consi<strong>de</strong>remos um dipolo elétrico colocado em um campo elétrico uniforme (Figura<br />
9.7) <strong>de</strong> modo tal que o momento <strong>de</strong> dipolo p r faça um ângulo θ com o sentido do<br />
campo.<br />
equação vetorial do torque fica:<br />
r r<br />
τ = p×<br />
E<br />
r<br />
Quando um dipolo está em um campo magnético, por causa do torque exercido<br />
pela força elétrica sobre ele, é preciso realizar um trabalho externo para mudar sua<br />
orientação relativa ao campo. O trabalho realizado pelo torque para variar a<br />
orientação <strong>de</strong> um ângulo θ<br />
0<br />
a outro θ , é:<br />
θ<br />
W = ∫ τ dθ<br />
= ∫ p E senθ<br />
dθ<br />
= p E∫<br />
θ0<br />
θ<br />
θ0 θ0<br />
θ<br />
θ<br />
sen θ dθ<br />
= p E − cosθ<br />
= − p E (cosθ<br />
− cosθ<br />
0<br />
)<br />
A este trabalho, po<strong>de</strong>mos associar uma energia potencial. Escolhendo o nível zero<br />
na posição θ<br />
0<br />
= π / 2 , po<strong>de</strong>mos escrever que:<br />
r r<br />
U = − p E cos θ = − p • E<br />
(9.7)<br />
θ0<br />
164<br />
165
RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS<br />
ATIVIDADE 9.1<br />
RESPOSTA COMENTADA:<br />
O trabalho<br />
então, po<strong>de</strong>mos obter<br />
W<br />
AB<br />
é in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nte da trajetória, pois a força elétrica é conservativa,<br />
∆ U a partir <strong>de</strong> qualquer trajetória, por exemplo, a trajetória<br />
do ponto A até o ponto O (origem do sistema <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas) e do ponto O para o<br />
ponto B.<br />
W<br />
AB<br />
= W<br />
AO<br />
+ W<br />
OB<br />
⇒ W<br />
Observe que quando<br />
ao vetor<br />
AB<br />
=<br />
∫<br />
O<br />
A<br />
o<br />
→<br />
→<br />
∫<br />
q E • ds +<br />
B<br />
O<br />
→ →<br />
q E • ds<br />
o<br />
q<br />
o<br />
vai do ponto A para o ponto O, o vetor<br />
→<br />
E é perpendicular<br />
→<br />
o<br />
ds , ou seja, θ<br />
1<br />
= 90 e, por isso, o trabalho realizado pela força elétrica<br />
nesse percurso é nulo. Com efeito:<br />
W<br />
O → →<br />
AO = ∫ qo<br />
E • ds<br />
A<br />
3<br />
W = q (2,0×<br />
10 N/C) cosθ<br />
1<br />
ds<br />
AO<br />
o<br />
3<br />
W = q (2,0×<br />
10 N/C) cos90º<br />
AO<br />
W AO<br />
= 0<br />
o<br />
∫<br />
B<br />
A<br />
∫<br />
B<br />
A<br />
ds<br />
O trabalho no <strong>de</strong>slocamento <strong>de</strong> O até B é:<br />
W<br />
B → →<br />
= ∫ q E • ds<br />
OB O<br />
o<br />
Como W = W + W ,<br />
AB<br />
AO<br />
−7<br />
W AB<br />
= 0 + 2,7 × 10<br />
−7<br />
W AB<br />
= 2,7 × 10<br />
E então<br />
efetuado por<br />
J<br />
J<br />
OB<br />
-7<br />
∆U = − 2,7×<br />
10 J . Esse resultado po<strong>de</strong> ser obtido para qualquer trajeto<br />
q<br />
o<br />
quando ela se <strong>de</strong>sloca do ponto A para o ponto B. Lembre que a<br />
força elétrica é uma força conservativa!<br />
ATIVIDADE 9.2<br />
RESPOSTA COMENTADA:<br />
Para as cargas nos vértices do triangulo equilátero, po<strong>de</strong>mos utilizar a<br />
equação 9.5, po<strong>de</strong>mos obter a energia potencial elétrica <strong>de</strong>ssa distribuição <strong>de</strong><br />
cargas. Como as distâncias entre cada uma das cargas é l , temos:<br />
U =<br />
1<br />
4πε<br />
⎛ q<br />
⎜<br />
⎝<br />
o<br />
1 1<br />
U =<br />
4 πε l<br />
1q<br />
l<br />
2<br />
q1q<br />
+<br />
l<br />
3<br />
q2q<br />
+<br />
l<br />
3<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
( q q + q q + q q )<br />
1 2<br />
Substituindo os valores<br />
teremos:<br />
U = −7 ,1 × 10<br />
ATIVIDADE 9.3<br />
o<br />
1 3<br />
RESPOSTA COMENTADA:<br />
7<br />
J<br />
2<br />
3<br />
q = 1<br />
9, 4mC<br />
, q −5, 2mC<br />
2<br />
= , q3 = 6, 0mC<br />
e l = 3, 0mm,<br />
3<br />
W = q (2,0×<br />
10 N/C) cosθ<br />
2<br />
ds<br />
OB<br />
o<br />
3<br />
W = q (2,0×<br />
10 N/C) cos0<br />
OB<br />
o<br />
∫<br />
B<br />
O<br />
Atente para a figura e perceba que, nesse caso, θ = 2<br />
0 .<br />
W OB<br />
=<br />
o<br />
∫<br />
B<br />
O<br />
ds<br />
9<br />
3<br />
-2 2<br />
( 4 ,5×<br />
10<br />
− C) ( 2,0x10 N/C) ( 3,0 × 10 m )<br />
W<br />
OB<br />
= 2,7 × 10<br />
-7<br />
J<br />
Figura 9.8<br />
De acordo com a figura 9.8, para as quatro cargas nos vértices do quadrado<br />
166<br />
167
temos:<br />
1 ⎛ q1q<br />
U = ⎜<br />
4πε<br />
o ⎝ l<br />
Então:<br />
U<br />
= −<br />
2<br />
q1q3<br />
q1q<br />
+ +<br />
l 2 l<br />
4<br />
q2q<br />
+<br />
l<br />
( e)( − e)<br />
3<br />
q2q4<br />
q3q<br />
+ +<br />
l 2 l<br />
4<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
( 5e)( − 2e)<br />
1 1⎛<br />
U = ⎜( e)( 5e)<br />
+ + ( e)( − 2e) + ( 5e)( − e)<br />
+ + e<br />
4πε<br />
o<br />
l ⎝<br />
2<br />
2<br />
1<br />
4πε<br />
o<br />
2<br />
2<br />
11 2 e 11 2 e<br />
= −<br />
2 l 8πε<br />
l<br />
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO<br />
o<br />
⎞<br />
( − e)( − 2 )⎟<br />
⎠<br />
E9.1) Uma gotícula em suspensão está carregada com uma carga q = 2,3 nC.<br />
Partindo do repouso em A ela é acelerada <strong>de</strong>vido ao campo elétrico da Terra que<br />
aponta para o seu centro, sendo a força gravitacional sobre a partícula <strong>de</strong>sprezível.<br />
Após <strong>de</strong>slocar 3,0 cm e chegar em B a gotícula adquire energia cinética igual a<br />
1,04x10 -8 J. Determine:<br />
a) O trabalho realizado sobre a partícula.<br />
b) A diferença <strong>de</strong> energia potencial elétrica entre os pontos A e B.<br />
b) x = 1,5 cm; y = 1,5 cm.<br />
c) x = 0; y = 3,0 cm.<br />
E9.5) Duas cargas q 1 = 5,3 nC e q 2 = 6,5 nC estão no plano xy com<br />
coor<strong>de</strong>nadas (0,0 cm; 00 cm) e (0,0 cm; 3,0 cm), respectivamente.<br />
Determine o vetor campo elétrico e a energia potencial elétrica nas posições:<br />
a) x = 6,0 cm; y = 0,0 cm.<br />
b) x = 3,5 cm; y = 0,0 cm.<br />
c) x = 0; y = 2,0 cm.<br />
E9.6) Uma carga pontual positiva com carga igual a q = 2,5 µC está na<br />
origem. Consi<strong>de</strong>re três pontos A, B e C com coor<strong>de</strong>nadas x A = 0,50 m, y A = 0;<br />
x B = -1,0 m, y B = 0; x C = 0, y C = 1,5 m, respectivamente. Determine a<br />
diferença <strong>de</strong> energia potencial elétrica:<br />
a) entre os pontos A e B.<br />
b) entre os pontos A e C.<br />
c) entre os pontos B e C.<br />
E9.2) Coloca-se uma carga q entre duas placas metálicas, paralelas e carregadas<br />
com cargas Q =1,5 nC e Q = - 1,5 nC.<br />
a) Calcule o trabalho realizado pela força elétrica quando a carga q se<br />
<strong>de</strong>sloca do ponto A para o ponto B, do ponto A para o ponto C e do ponto<br />
A para o ponto D.<br />
b) Obtenha a diferença <strong>de</strong> energia potencial U AB entre os pontos A e B, U AC<br />
entre os pontos A e C e U AD entre os pontos A e D.<br />
E9.3) Determine a diferença <strong>de</strong> energia potencial elétrica entre duas placas infinitas<br />
carregadas com cargas <strong>de</strong> sinais opostos e <strong>de</strong> mesmo valor com <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong><br />
superficial <strong>de</strong> carga σ = 10,6 µC separadas entre si por uma distância <strong>de</strong> 1,00 mm.<br />
E9.4) Uma carga q = 4,3 nC está na origem do sistema <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas<br />
cartesianas. Determine o campo elétrico E e a energia potencial elétrica nas<br />
posições:<br />
a) x = 3,0 cm; y = 0.<br />
168<br />
169
AULA 10 POTENCIAL ELÉTRICO<br />
OBJETIVOS<br />
DEFINIR POTENCIAL ELÉTRICO<br />
OBTER O POTENCIAL ELÉTRICO DE SISTEMAS COM VÁRIAS CARGAS ELÉTRICAS<br />
A equação (10.1) po<strong>de</strong> ser escrita em termos do campo elétrico. Com efeito, <strong>de</strong>sta<br />
equação vem:<br />
V<br />
BA<br />
W<br />
= −<br />
q<br />
AB<br />
o<br />
1<br />
= −<br />
q<br />
o<br />
∫<br />
B<br />
A<br />
r r<br />
q E • ds<br />
o<br />
10.1 O POTENCIAL ELÉTRICO<br />
ou:<br />
V<br />
BA<br />
B r r<br />
=−∫ E • ds<br />
A<br />
(10.2)<br />
Na aula anterior <strong>de</strong>finimos a energia potencial elétrica em um ponto P do<br />
espaço. Contudo, ela <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> das cargas que geram o campo elétrico bem como<br />
da carga<br />
<strong>de</strong><br />
q<br />
o que sofre a ação do campo nesse ponto. Para eliminar a <strong>de</strong>pendência<br />
q<br />
o e especificar diretamente o campo elétrico em P, introduzimos uma nova<br />
gran<strong>de</strong>za, chamada potencial elétrico.<br />
A diferença <strong>de</strong> potencial elétrico<br />
V<br />
BA<br />
, entre dois pontos B e A <strong>de</strong> um campo<br />
elétrico é <strong>de</strong>finida como a diferença <strong>de</strong> energia potencial elétrica<br />
<strong>de</strong> carga<br />
q<br />
o entre estes dois pontos; ou seja:<br />
V<br />
V<br />
U −U<br />
W<br />
= −<br />
∆ U por unida<strong>de</strong><br />
B A AB<br />
B<br />
−<br />
A<br />
=<br />
(10.1)<br />
qo<br />
qo<br />
Se o nível zero <strong>de</strong> potencial for tomado no ponto A, a equação acima nos mostra<br />
que o potencial no ponto B (relativo ao ponto A) é:<br />
B r r<br />
V = −∫ E • ds<br />
10.2 POTENCIAL ELÉTRICO DE UMA CARGA PUNTIFORME<br />
B<br />
A<br />
Consi<strong>de</strong>remos uma carga Q situada em um ponto do espaço cujo vetorposição<br />
relativo a um dado referencial O é<br />
r Q<br />
. O potencial em outro ponto P do<br />
espaço, <strong>de</strong> vetor-posição r P<br />
, é dado, em relação ao infinito, por:<br />
Tal como no caso da energia potencial, não <strong>de</strong>finimos potencial em<br />
termos absolutos; apenas a diferença <strong>de</strong> potencial entre dois pontos B e A.<br />
Essa diferença será numericamente igual ao potencial em um ponto B se,<br />
arbitrariamente, consi<strong>de</strong>rarmos o ponto A como nível zero <strong>de</strong> potencial, no qual o<br />
potencial é tomado arbitrariamente como nulo. Como na energia potencial, o nível<br />
normalmente é tomado a uma distância infinita das cargas que geram o campo<br />
elétrico.<br />
É preciso, mais uma vez, tomar um cuidado especial com o caso <strong>de</strong><br />
distribuições infinitas <strong>de</strong> cargas. Nessas situações, se escolhermos o infinito como<br />
nível <strong>de</strong> potencial, obteremos um potencial infinito; então, a possibilida<strong>de</strong> mais<br />
conveniente é escolher o nível zero <strong>de</strong> potencial coinci<strong>de</strong>nte com a origem do<br />
sistema <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas e situada na distribuição <strong>de</strong> cargas.<br />
No SI a unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> potencial elétrico é o Joule por Coulomb, que<br />
recebe o nome <strong>de</strong> Volt em homenagem a Alessandro Volta (1745 - 1827),<br />
inventor da pilha <strong>de</strong> Volta.<br />
Então: 1 Volt = 1 Joule/1 Coulomb.<br />
V =<br />
U<br />
q<br />
o<br />
=<br />
1<br />
4π ε<br />
o<br />
Q<br />
r r<br />
−<br />
P<br />
Q<br />
(10.3)<br />
r r r<br />
Note que o vetor = P<br />
−<br />
Q<br />
é o vetor-posição do ponto P<br />
relativamente à carga Q; seu módulo é igual à distância entre a carga Q e o<br />
ponto P. Essa distância in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong> do referencial usado para especificar os<br />
vetores-posição da carga Q e do ponto P. Este fato é que simplifica<br />
enormemente o problema <strong>de</strong> especificarmos o campo elétrico em um ponto<br />
através do potencial.<br />
que:<br />
Se escolhermos o referencial na carga que gera o campo, po<strong>de</strong>mos escrever<br />
U 1 Q 1 Q<br />
V = = r ≡<br />
(10.4)<br />
q 4π ε<br />
4π<br />
ε r<br />
10.3 POTENCIAL ELÉTRICO DE VÁRIAS CARGAS<br />
o<br />
o<br />
o<br />
170<br />
171
O potencial em um ponto P, <strong>de</strong> vetor-posição r P<br />
em relação a um dado<br />
referencial, em um campo elétrico gerado por várias cargas q i <strong>de</strong> vetores-posição r i<br />
em relação ao mesmo referencial, é a soma algébrica dos potenciais <strong>de</strong>vido a cada<br />
uma das cargas separadamente:<br />
V<br />
1<br />
4<br />
q<br />
N<br />
i<br />
= ∑ r r<br />
(10.5)<br />
πε<br />
0 i=1<br />
P −<br />
i<br />
Você nem precisaria resolver o problema algebricamente. Note que as distâncias<br />
das cargas ao centro do quadrado são as mesmas. Como as cargas estão<br />
distribuídas simetricamente (em posição e sinal) relativamente ao centro, o<br />
potencial tem que ser zero.<br />
ATIVIDADE 10.1<br />
ou, em termos da distância entre as cargas e o ponto P:<br />
V ≡<br />
1<br />
4πε<br />
N<br />
∑<br />
0 i=1<br />
qi<br />
r<br />
EXEMPLO 10.1<br />
i<br />
(10.6)<br />
Três cargas q<br />
1<br />
= + e , q2 = −e<br />
e q3 = + 2e<br />
em que e é a carga do elétron, estão<br />
nos vértices <strong>de</strong> um retângulo <strong>de</strong><br />
dimensões (10x20) cm como mostra a<br />
figura 10.2. Determine o potencial<br />
elétrico no ponto P. Figura 10.2<br />
A figura 10.1 mostra quatro cargas q<br />
1<br />
= q2<br />
= q3<br />
= q4<br />
= 1,0 µ C , nos vértices <strong>de</strong> um<br />
quadrado <strong>de</strong> lado um quadrado <strong>de</strong> lado<br />
a = 4, 2 cm . Determine o potencial elétrico<br />
ATIVIDADE 10.2<br />
no centro C do quadrado.<br />
Figura 10-1:Potencial no centro do quadrado<br />
Solução: Para obter o potencial eletrico no centro C do quadrado, utilizamos a<br />
equação 10.6. Escolhendo como referencial o centro do quadrado, temos que<br />
r r r r<br />
= 0 e P<br />
−<br />
q<br />
=<br />
i<br />
. Então:<br />
P<br />
V =<br />
1<br />
4πε<br />
4<br />
∑<br />
qi<br />
,<br />
r<br />
0 i=1<br />
i<br />
⎛<br />
1 ⎜ + q + q − q<br />
V = ⎜ + + +<br />
4πε<br />
a 2 a 2 a 2<br />
⎝ 2 2 2<br />
0 a<br />
V = 0<br />
− q<br />
2<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
Três partículas carregadas<br />
q<br />
1<br />
= +e , q2 = + 2e<br />
e q3 = −e<br />
estão nos<br />
vértices <strong>de</strong> um triângulo retângulo com<br />
catetos <strong>de</strong> lados l = 1<br />
2, 0cm<br />
e<br />
l2 = 2, 0cm (veja a figura 10.3).<br />
Determine o potencial elétrico <strong>de</strong>sse<br />
sistema nos pontos P 1 e P 2 (ponto médio<br />
da hipotenusa).<br />
10.2.1. POTENCIAL ELÉTRICO DE UM DIPOLO ELÉTRICO<br />
Figura 10.3<br />
Consi<strong>de</strong>remos um dipolo elétrico conforme mostra a Figura 10-4. Sejam: r +<br />
o vetor-posição da carga positiva relativamente à origem O do sistema <strong>de</strong><br />
coor<strong>de</strong>nadas; r −<br />
o vetor-posição da carga negativa e r o vetor-posição do ponto P<br />
on<strong>de</strong> <strong>de</strong>sejamos calcular o potencial elétrico.<br />
O potencial elétrico em P é a soma algébrica dos potenciais produzidos pelas duas<br />
cargas:<br />
172<br />
173
V ( r)<br />
=<br />
1<br />
4πε<br />
q<br />
r<br />
−<br />
1<br />
4πε<br />
q<br />
r<br />
=<br />
0 +<br />
0 −<br />
4<br />
q r−<br />
− r<br />
πε r r<br />
0<br />
−<br />
+<br />
+<br />
(10.7)<br />
Como<br />
obtendo:<br />
r >> a , po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>senvolver a raiz quadrada pelo teorema binomial,<br />
⎡ 1 2a<br />
cosθ ⎤ ⎡ a cosθ ⎤<br />
r+<br />
≅ r ⎢1<br />
− ⎥ ≅ r ⎢1<br />
−<br />
⎣ 2 r ⎦ ⎣ r ⎥<br />
⎦<br />
⎡ 1 2a<br />
cosθ ⎤ ⎡ a cosθ ⎤<br />
r−<br />
≅ r ⎢1<br />
+ ⎥ ≅ r ⎢1<br />
+<br />
⎣ 2 r ⎦ ⎣ r ⎥<br />
⎦<br />
Então:<br />
⎡ a cosθ<br />
a cosθ<br />
⎤ 2a<br />
cosθ<br />
r −<br />
− r +<br />
= r ⎢1 + −1+<br />
= r = 2a<br />
cosθ<br />
⎣ r r ⎥<br />
⎦ r<br />
( r )( r ) = r<br />
−<br />
+<br />
2<br />
Figura 10.4: Potencial produzido por um dipolo elétrico<br />
Levando esses valores em (10.5), obtemos:<br />
Na figura 10.4, temos:<br />
2 2 2<br />
a) no triângulo P(+q)O : r+<br />
= r + a − 2ar<br />
cosθ<br />
2 2 2<br />
b) no triângulo P(-q)O : r<br />
−<br />
= r + a + 2ar<br />
cosθ<br />
<strong>de</strong> on<strong>de</strong> po<strong>de</strong>mos tirar que:<br />
r+<br />
= r<br />
⎣<br />
r−<br />
= r<br />
⎣<br />
1<br />
2<br />
2<br />
⎡ 2 cos<br />
⎢ 1 a a θ ⎤<br />
+ −<br />
2 ⎥ ⎦<br />
r<br />
1<br />
2<br />
2<br />
⎡ 2 cos<br />
⎢ 1 a a θ ⎤<br />
+ +<br />
2 ⎥ ⎦<br />
No dipolo, o ponto P está situado a uma distância<br />
<strong>de</strong>sprezar os termos quadráticos <strong>de</strong>ntro da raiz quadrada e escrever:<br />
r<br />
r<br />
r<br />
1<br />
2<br />
⎡ 2 cos<br />
⎢ 1 a θ ⎤<br />
r+<br />
≅ r −<br />
⎣ r ⎥ ⎦<br />
1<br />
2<br />
⎡ 2 cos<br />
⎢ 1 a θ ⎤<br />
r−<br />
≅ r +<br />
⎣ r ⎥ ⎦<br />
r >> a . Assim, po<strong>de</strong>mos<br />
em que<br />
1 2a<br />
qcosθ<br />
1 p cosθ<br />
V ( r)<br />
=<br />
= (10.8)<br />
2<br />
2<br />
4πε<br />
r 4πε<br />
r<br />
0<br />
p = 2aq<br />
é o momento <strong>de</strong> dipolo. O ângulo θ é o ângulo que o vetor<br />
momento do dipolo p r faz com a direção do ponto on<strong>de</strong> se calcula o potencial (ver<br />
figura 10.4).<br />
A equação (10.8) mostra que o potencial elétrico do dipolo varia com o<br />
inverso do quadrado da distância ao dipolo.<br />
Como sabemos, o momento <strong>de</strong> dipolo é representado por um vetor com módulo<br />
p = 2a q , direção da linha que une as duas cargas e sentido da carga negativa para<br />
a positiva. Com ele, a equação (10.8) po<strong>de</strong> ser escrita vetorialmente como:<br />
V ( r)<br />
=<br />
1<br />
4πε<br />
0<br />
p<br />
r r •<br />
3<br />
r<br />
ATIVIDADE 10.3<br />
0<br />
Determine o potencial elétrico em um ponto P próximo a um dipolo elétrico <strong>de</strong><br />
174<br />
175
→<br />
−15<br />
momento <strong>de</strong> dipolo p −( 1,60 × 10 C m) i<br />
= ˆ que está na mediatriz da reta que liga<br />
−9<br />
as duas cargas <strong>de</strong> módulo igual a e = 1,60 × 10 C , conforme a figura 10.5.<br />
A Figura 10.6 mostra as linhas <strong>de</strong> força (linhas cheias) do campo elétrico gerado por<br />
uma carga positiva e as interseções sobre a folha <strong>de</strong> papel, das superfícies<br />
equipotenciais para a mesma carga (linhas tracejadas). Note que as superfícies<br />
equipotenciais, neste caso, são superfícies esféricas (linhas tracejadas).<br />
Figura 10.5<br />
10.4 SUPERFÍCIES EQUIPOTENCIAIS<br />
O potencial <strong>de</strong> uma carga elétrica isolada, <strong>de</strong> acordo com a equação (10-3),<br />
varia com o inverso da distância a ela. Então, todos os pontos do espaço situados à<br />
mesma distância r da carga terão o mesmo potencial e estarão sobre a superfície <strong>de</strong><br />
uma esfera <strong>de</strong> raio r, que é <strong>de</strong>nominada superfície equipotencial. Qualquer<br />
configuração <strong>de</strong> cargas gera superfícies equipotenciais, cuja forma <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> da<br />
distribuição.<br />
Uma proprieda<strong>de</strong> importante da superfície equipotencial é que, quando uma<br />
carga elétrica se <strong>de</strong>sloca sobre ela, a força elétrica não realiza trabalho<br />
sobre a carga, porque dois pontos da superfície terão sempre o mesmo<br />
potencial.<br />
Figura 10.6: Linhas <strong>de</strong> força e superfícies equipotenciais do<br />
campo elétrico gerado por uma carga positiva.<br />
A figura 10.7 mostra as linhas <strong>de</strong> força (linhas cheias) do campo elétrico gerado por<br />
duas cargas <strong>de</strong> sinais contrários, assim como as interseções das superfícies<br />
equipotenciais com a folha <strong>de</strong> papel (linhas tracejadas).<br />
Outra conseqüência é que o campo elétrico em cada ponto da superfície<br />
equipotencial <strong>de</strong>ve ser sempre perpendicular à superfície. Com efeito, como:<br />
V<br />
BA<br />
B r r<br />
=−∫ E • ds<br />
A<br />
e como a variação do potencial entre dois pontos A e B da superfície equipotencial é<br />
r r<br />
r<br />
nula, o produto escalar E • ds<br />
<strong>de</strong>ve ser nulo também. Logo, como ds<br />
é sempre<br />
tangente à superfície equipotencial, segue-se que E r <strong>de</strong>ve ser perpendicular à<br />
superfície.<br />
Figura 10.7: Linhas <strong>de</strong> força e superfícies equipotenciais do<br />
campo elétrico gerado por duas cargas <strong>de</strong> sinais contrários.<br />
176<br />
177
RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS<br />
ATIVIDADE 10.1:<br />
V<br />
2<br />
=<br />
1<br />
4πε<br />
0<br />
l<br />
2e<br />
2 / 2<br />
=<br />
1<br />
4πε<br />
0<br />
4e<br />
l<br />
2<br />
Seja a=0,10 m e b=0,20 m as dimensões dos lados do retângulo da Figura 10.2.<br />
Colocando o referencial no ponto P, r = 0 . Então, da equação 10.5, temos:<br />
−19<br />
Com e = 1,60 × 10 C, obtemos:<br />
1 ⎡ e 2e<br />
V = ⎢ + −<br />
4πε<br />
0 ⎣a<br />
b<br />
P<br />
e<br />
2 2<br />
a + b<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
ATIVIDADE 10.3:<br />
Lembre-se da <strong>de</strong>finição <strong>de</strong> momento <strong>de</strong> dipolo:<br />
p<br />
r = −qd<br />
iˆ<br />
Em que d é a distância entre as duas cargas e p r é um vetor orientado da<br />
carga negativa para a carga positiva. Dessa forma,<br />
V<br />
ou:<br />
= 9<br />
× 10<br />
9<br />
2 2<br />
N m / C × 1,6 × 10<br />
−19<br />
⎡<br />
C ⎢<br />
⎢⎣<br />
1<br />
0,10<br />
+<br />
m<br />
2<br />
0,20<br />
−<br />
m<br />
1<br />
2 2<br />
0,10 + 0,20<br />
⎤<br />
⎥<br />
m⎥⎦<br />
r<br />
p<br />
d = =<br />
q<br />
−30<br />
1,60<br />
× 10<br />
−11<br />
−19<br />
C m<br />
= 1,00 × 10<br />
1,60 × 10 C<br />
m<br />
V = 14×<br />
10<br />
−10<br />
−8<br />
[ 10 + 10 − 4,5] N / C = 2,2×<br />
10 V<br />
ATIVIDADE 10.2:<br />
Figura 10-9<br />
Figura 10.8: configuração das cargas<br />
Consi<strong>de</strong>remos o referencial na carga 2e. A distância do ponto P<br />
1<br />
a ela é d<br />
1<br />
= l 2<br />
e a distância do ponto P<br />
2<br />
a ela é d<br />
2<br />
= l 2 / 2 . Pela simetria da configuração <strong>de</strong><br />
cargas, vemos que, como as cargas e são iguais e <strong>de</strong> sinais contrários, a<br />
contribuição <strong>de</strong>las para o potencial total é nula, tanto no ponto P<br />
1<br />
quanto no ponto<br />
P<br />
2<br />
pois elas estão às mesmas distâncias <strong>de</strong>stes pontos. Então, o potencial total no<br />
ponto P<br />
1<br />
é:<br />
E, no ponto P<br />
2<br />
, o potencial é:<br />
V<br />
1<br />
=<br />
1<br />
4πε<br />
0<br />
2e<br />
l<br />
2<br />
Observe a figura 10.9. Tomando como referencial o ponto médio da linha<br />
que separa as cargas do dipolo, temos que:<br />
r<br />
d ˆj<br />
r v − d r d r<br />
r iˆ<br />
+<br />
=<br />
1<br />
=<br />
= r = i<br />
2<br />
2<br />
r P<br />
= 7<br />
− 2<br />
Pelo Teorema <strong>de</strong> Pitágoras:<br />
De acordo com a equação 10.1:<br />
2<br />
2 2 d<br />
r<br />
1<br />
= 49d<br />
+<br />
4<br />
r1 = r2<br />
= 7,00×<br />
10<br />
−12<br />
m<br />
1 ⎛ + e ( −e)<br />
⎞<br />
V =<br />
⎜ +<br />
⎟<br />
4πε<br />
0 ⎝ r1<br />
r2<br />
⎠<br />
178<br />
179
Substituindo os valores obtemos:<br />
V = 0<br />
Ou seja, o potencial no ponto P assinalado na figura 10.5 é igual a zero.<br />
Se você prestar atenção na equação (10.5), verá que, para pontos sobre a<br />
mediatriz do segmento que une as duas cargas do dipolo, o ângulo θ = 90º<br />
. Logo, a<br />
própria equação (10-5) dá diretamente V = 0 .<br />
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO<br />
E10.1) Determine o potencial elétrica entre duas placas infinitas carregadas com<br />
cargas <strong>de</strong> sinais opostos e <strong>de</strong> mesmo valor com <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> superficial <strong>de</strong> carga σ =<br />
10,6 µC separadas entre si por uma distância <strong>de</strong> 1,00 mm.<br />
E10.2) Uma carga q = 4,3 nC está na origem do sistema <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas<br />
cartesianas. Determine o potencial elétrico nas posições:<br />
a) x = 3,0 cm; y = 0.<br />
b) x = 1,5 cm; y = 1,5 cm.<br />
c) x = 0; y = 3,0 cm.<br />
E10.3) Duas cargas q 1 = 5,3 nC e q 2 = 6,5 nC estão no plano xy com coor<strong>de</strong>nadas<br />
(0,0 cm; 00 cm) e (0,0 cm; 3,0 cm), respectivamente. Determine o potencial<br />
elétrico nas posições:<br />
a) x = 6,0 cm; y = 0,0 cm.<br />
b) x = 3,5 cm; y = 0,0 cm.<br />
c) x = 0; y = 2,0 cm.<br />
E10.4) Uma carga pontual positiva com carga igual a q = 2,5 µC está na origem.<br />
Consi<strong>de</strong>re três pontos A, B e C com coor<strong>de</strong>nadas x A = 0,50 m, y A = 0; x B = -1,0 m,<br />
y B = 0; x C = 0, y C = 1,5 m, respectivamente. Determine a diferença <strong>de</strong> potencial<br />
elétrico:<br />
a) entre os pontos A e B.<br />
b) entre os pontos A e C.<br />
c) entre os pontos B e C.<br />
180
AULA 11 POTENCIAL ELÉTRICO DE DISTRIBUIÇÕES<br />
CONTÍNUAS DE CARGA ELÉTRICA<br />
2<br />
• dV = r sinθ<br />
dr dφ<br />
dθ<br />
para coor<strong>de</strong>nadas esféricas.<br />
A <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> volumétrica <strong>de</strong> cargas, chamada <strong>de</strong> ρ indica o número <strong>de</strong><br />
cargas por unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> volume.<br />
OBJETIVOS<br />
• DETERMINAR O POTENCIAL ELÉTRICO DE SISTEMAS COM DISTRIBUIÇÃO<br />
CONTÍNUA DE CARGAS ELÉTRICAS.<br />
11.2 POTENCIAL ELÉTRICO DE DISTRIBUIÇÕES LINEARES DE<br />
CARGA<br />
11.1 POTENCIAL ELÉTRICO DE DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE<br />
CARGA<br />
O potencial <strong>de</strong> uma distribuição contínua <strong>de</strong> carga é calculado dividindo esta<br />
distribuição em elementos <strong>de</strong> carga dq , cada um <strong>de</strong>les situado à distância r do<br />
ponto on<strong>de</strong> se <strong>de</strong>seja calcular o potencial e integrando sobre toda a distribuição:<br />
1 dq<br />
(11.1)<br />
V = ∫ dV =<br />
4π ε o<br />
∫<br />
r<br />
Para resolver problemas que envolvem o cálculo do potencial elétrico <strong>de</strong><br />
distribuições contínuas <strong>de</strong> carga em duas e três dimensões, é importante relembrar<br />
os elementos <strong>de</strong> área dA e <strong>de</strong> volume dV .<br />
(a) Para distribuições superficiais <strong>de</strong> cargas:<br />
• dA = dx dy para coor<strong>de</strong>nadas cartesianas em uma superfície plana.<br />
• dA = rdr dθ<br />
para coor<strong>de</strong>nadas polares (por exemplo, em um disco).<br />
O elemento <strong>de</strong> carga elétrica dq contido em um elemento dx <strong>de</strong><br />
comprimento da distribuição <strong>de</strong> cargas é dq = λ dx . O potencial gerado por este<br />
elemento dq situado à distância r do ponto P <strong>de</strong> vetor-posição r P<br />
é dado por:<br />
1 dq 1 λ dx<br />
dV ( r P<br />
) = =<br />
4πε 0<br />
r 4πε<br />
0<br />
r<br />
e o potencial gerado pela distribuição é, então:<br />
1 λ dx<br />
V ( r P<br />
) =<br />
4πε 0<br />
∫<br />
r<br />
(11.2)<br />
A seguir, veremos alguns exemplos <strong>de</strong> cálculo do potencial e mostraremos num<br />
exemplo on<strong>de</strong> já calculamos o campo elétrico, como o cálculo do potencial fica mais<br />
fácil e simples.<br />
Exemplo 11.1<br />
Um fio retilíneo e homogêneo <strong>de</strong> comprimento<br />
AB = 2l<br />
está carregado<br />
uniformemente com carga q . Calcular o potencial elétrico gerado por este fio no<br />
ponto P que está na mediatriz do fio (figura 11.1).<br />
A <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> superficial σ indica o número <strong>de</strong> cargas por unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> área.<br />
(b) Distribuição volumétrica <strong>de</strong> cargas: o elemento <strong>de</strong> volume dV po<strong>de</strong><br />
ser expresso como:<br />
• dV = dx dy dz para coor<strong>de</strong>nadas cartesianas.<br />
• dV = r dr dφ<br />
dz para coor<strong>de</strong>nadas cilíndricas.<br />
Figura 11.1: Fio retilíneo homogêneo<br />
Solução: Seja o sistema <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas com origem em O, ponto médio do fio,<br />
181<br />
182
com eixo Oz perpendicular ao papel e saindo <strong>de</strong>le. Sem perda <strong>de</strong> generalida<strong>de</strong>,<br />
po<strong>de</strong>mos escolher o ponto P situado no plano yz; as coor<strong>de</strong>nadas serão P(0,y,0).<br />
Neste sistema, temos:<br />
2<br />
r P<br />
= y r = x +<br />
O elemento <strong>de</strong> carga dq produz um potencial dV no ponto P igual a:<br />
dV ( y)<br />
=<br />
1<br />
4πε<br />
0<br />
λ dx<br />
y<br />
2 2<br />
x + y<br />
em que r é a distância entre o elemento <strong>de</strong> carga dq e o ponto P. Então, como a<br />
<strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> linear λ é constante:<br />
Portanto,<br />
1 l dx<br />
V ( y)<br />
= λ<br />
4πε<br />
∫ − l 2<br />
0 x + y<br />
1 q ⎛<br />
V = ln ⎜<br />
4πε<br />
l ⎜<br />
0<br />
2<br />
⎝<br />
2<br />
2<br />
2 2<br />
y + l<br />
2 2<br />
y + l<br />
+ l ⎞<br />
⎟<br />
− l ⎟<br />
⎠<br />
(11.3)<br />
Observe que obter o potencial <strong>de</strong> um fio retilíneo carregado foi mais fácil do que<br />
obter o campo elétrico que ele cria. Naturalmente isso se <strong>de</strong>ve ao fato do potencial<br />
elétrico ser uma gran<strong>de</strong>za escalar e não vetorial como o campo elétrico, que nos<br />
obrigaria a incluir a direção e o sentido do campo elétrico e calculá-lo a partir <strong>de</strong><br />
suas componentes.<br />
Exemplo 11.2<br />
Calcule o potencial elétrico em um ponto P, a uma distância y , <strong>de</strong> um fio retilíneo<br />
infinito carregado uniformemente com carga Q (figura 11.2).<br />
Figura 11.2: Fio retilíneo infinito carregado.<br />
Solução: No Exemplo 11.1 encontramos, para um fio finito <strong>de</strong> comprimento<br />
2 l e<br />
<strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> linear <strong>de</strong> cargas λ , que o potencial relativo ao infinito é dado pela<br />
equação (11.3).<br />
Po<strong>de</strong>mos consi<strong>de</strong>rar um fio infinito como um caso limite <strong>de</strong>ssa expressão, quando<br />
l >> y , e escrever:<br />
1 ⎡ l<br />
V ( y)<br />
= λ ln⎢<br />
4πε<br />
o ⎢⎣<br />
l<br />
2<br />
2<br />
+ y<br />
2<br />
+ y<br />
2<br />
+ l ⎤ 1 ⎡<br />
⎥ = λ ln⎢<br />
− l ⎥ 4πε<br />
⎦<br />
o ⎢⎣<br />
1+<br />
y<br />
1+<br />
y<br />
Desenvolvendo a raiz quadrada com o Teorema Binomial, temos:<br />
que levada na expressão do potencial nos dá:<br />
Logo:<br />
2<br />
2 2 1 ⎛ y ⎞<br />
1+<br />
y / l ≈ 1+<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎜<br />
2 ⎝ l<br />
2<br />
⎛ y ⎞<br />
2 +<br />
2<br />
1<br />
⎜<br />
2l<br />
⎟<br />
V ( y)<br />
= λ ln<br />
⎝ ⎠<br />
2<br />
4πε<br />
o<br />
y<br />
2<br />
2l<br />
2<br />
1 ⎡ ⎛ 4l<br />
⎞⎤<br />
V ( y)<br />
= λ⎢ln<br />
⎜ + 1<br />
⎟<br />
2 ⎥<br />
4πε<br />
o ⎣ ⎝ y ⎠⎦<br />
Aplicando, agora, a esta expressão, o <strong>de</strong>senvolvimento do logaritmo:<br />
obtemos, com<br />
infinito, pois<br />
α = 2l / y :<br />
2<br />
α<br />
ln(1 + α ) = 1+<br />
+K<br />
2<br />
1 ⎛ 2l<br />
⎞<br />
V ( y)<br />
≈ λ ln⎜<br />
⎟<br />
2πε<br />
o ⎝ y ⎠<br />
2<br />
2<br />
/ l<br />
/ l<br />
2<br />
2<br />
+ 1⎤<br />
⎥.<br />
−1⎥⎦<br />
Observe que tomando o fio infinito teremos o potencial V (y)<br />
também<br />
l → ∞ . Isso ocorre porque a própria distribuição <strong>de</strong> carga é infinita.<br />
Alertamos nas aulas 9 e 10 sobre o cuidado com a escolha do nível <strong>de</strong> potencial<br />
para distribuições infinitas <strong>de</strong> cargas. Esse exemplo nos mostra que não po<strong>de</strong>mos<br />
escolher o infinito como nosso nível <strong>de</strong> referência. Po<strong>de</strong>mos escolher, por exemplo,<br />
um ponto A qualquer, situado a uma distância<br />
y do fio infinito, on<strong>de</strong> V = 0 .<br />
o<br />
o<br />
183<br />
184
Dessa forma teremos:<br />
Figura 11.4: Arco <strong>de</strong> raio R<br />
ou:<br />
V ( y)<br />
−V<br />
( y ) = V ( y)<br />
− 0 =<br />
0<br />
1<br />
2πε<br />
o<br />
⎛ 2l<br />
λ ln⎜<br />
⎝ y<br />
⎞<br />
⎟ −<br />
⎠<br />
1<br />
2πε<br />
o<br />
⎛ 2l<br />
⎞<br />
λ ln<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝ y0<br />
⎠<br />
Solução: Temos que:<br />
V ( r)<br />
=<br />
1<br />
4πε<br />
0<br />
dq<br />
∫ r<br />
Lembrando que:<br />
teremos que:<br />
V ( y)<br />
=<br />
2<br />
λ<br />
πε o<br />
⎡ ⎛ 2l<br />
⎞<br />
⎢ln⎜<br />
⎣ ⎝ y<br />
⎟ −<br />
⎠<br />
⎛ a ⎞<br />
ln a − ln b = ln ⎜ ⎟<br />
⎝ b ⎠<br />
⎛ 2l<br />
⎞⎤<br />
ln<br />
⎜<br />
⎟⎥<br />
⎝ y0<br />
⎠⎦<br />
1 ⎛ yo<br />
V ( y)<br />
= λ ln⎜<br />
2πε<br />
o ⎝ y<br />
ATIVIDADE 11.1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
Seja o elemento <strong>de</strong> comprimento do arco como mostrado na Figura 11.4. Temos<br />
que: dq = λ R dθ ' e como a distância <strong>de</strong> dq ao centro do arco é constante e igual<br />
ao raio R do arco, vem:<br />
λ<br />
V r)<br />
=<br />
4πε<br />
R λ<br />
dθ<br />
' = ( θ2<br />
−θ<br />
)<br />
R 4πε<br />
θ2<br />
( ∫<br />
1<br />
θ1<br />
0<br />
0<br />
Note que os ângulos são medidos em radianos!<br />
Ativida<strong>de</strong> 11.2<br />
Obtenha o valor do potencial no centro do arco quando o ângulo subentendido pelo<br />
arco neste centro for <strong>de</strong> 70º a a <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> linear <strong>de</strong> carga for 10 mC/m.<br />
Obtenha uma expresssão para o potencial elétrico em um ponto P situado a uma<br />
distância r <strong>de</strong> um cilindro infinito, com <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> linear <strong>de</strong> cargas λ .<br />
Exemplo 11.4<br />
Calcule o potencial elétrico no centro <strong>de</strong> curvatura <strong>de</strong> um arco <strong>de</strong> círculo <strong>de</strong> raio R,<br />
com uma <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> linear <strong>de</strong> carga constante λ (figura 11.4).<br />
11.3 POTENCIAL ELÉTRICO DE DISTRIBUIÇÕES SUPERFICIAIS DE<br />
CARGA<br />
Para distribuições superficiais <strong>de</strong> carga, o elemento <strong>de</strong> carga dq é<br />
substituído pelo produto da <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> superficial <strong>de</strong> carga σ pelo elemento <strong>de</strong><br />
superfície dA; a integral é calculada sobre a superfície on<strong>de</strong> a carga está<br />
distribuída.<br />
EXEMPLO 11.5<br />
POTENCIAL ELÉTRICO DE UM DISCO CARREGADO<br />
Consi<strong>de</strong>re um disco <strong>de</strong> raio R uniformememente carregado com carga q . Calcule<br />
o potencial gerado por ele em um ponto P do eixo <strong>de</strong> simetria do disco e situado à<br />
distância x <strong>de</strong>ste centro.<br />
SOLUÇAO: Um elemento <strong>de</strong> carga dq cria um potencial elétrico dV a uma<br />
2 2<br />
distância r ' = R + x do ponto P, dado por:<br />
185<br />
186
dq<br />
dV ( x)<br />
=<br />
4πε<br />
1<br />
'<br />
0<br />
r<br />
11.4 POTENCIAL ELÉTRICO DE DISTRIBUIÇÕES VOLUMÉTRICAS DE<br />
CARGA<br />
No caso <strong>de</strong> distribuições volumétricas <strong>de</strong> carga, o elemento <strong>de</strong> carga dq é<br />
substituído pelo produto da <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> volumétrica ρ pelo elemento <strong>de</strong> volume dV<br />
e a integral é calculada sobre o volume on<strong>de</strong> a carga está distribuída.<br />
EXEMPLO 11.5<br />
POTENCIAL ELÉTRICO DE UMA CASCA ESFÉRICA CARREGADA<br />
Vamos <strong>de</strong>terminar o potencial em um ponto P <strong>de</strong>vido a uma casca esférica <strong>de</strong> raio<br />
Figura 11.5: disco carregado<br />
Para resolver o problema, vamos usar coor<strong>de</strong>nadas polares. Assim, o<br />
elemento <strong>de</strong> carga dq é dado por dq = σ r′ dθ ′ dr′<br />
. Integrando a equação acima<br />
R , que possui uma <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> superficial <strong>de</strong> carga uniforme. Usaremos o infinito<br />
como ponto <strong>de</strong> referência.<br />
obtemos:<br />
2π<br />
R σ r′<br />
V ( x)<br />
= ∫ dθ<br />
′<br />
0 ∫0<br />
4πε<br />
2 2<br />
0 r′<br />
+ x<br />
dr′<br />
Aqui, a integral em d θ′ po<strong>de</strong> ser feita imediatamente e vale 2 π . Então:<br />
2π σ<br />
V ( x)<br />
=<br />
4πε<br />
r′<br />
r′<br />
R<br />
∫0<br />
2 2<br />
0<br />
+ x<br />
dr′<br />
A integral em r′ é, feita a partir da substituição:<br />
Obtemos, então, para V (x)<br />
a expressão:<br />
σ<br />
V ( x)<br />
=<br />
2 ε<br />
2<br />
ou, como σ = Q/ π R , vem:<br />
∫<br />
2 2<br />
u = x + r′<br />
→ du = 2 r′<br />
dr′<br />
.<br />
1 du<br />
=<br />
2 u 4<br />
σ<br />
ε<br />
1/ 2<br />
⎡u<br />
⎤<br />
⎢ ⎥<br />
⎣1/<br />
2 ⎦<br />
2 2<br />
x + R<br />
0 0<br />
2 2 ε<br />
x<br />
0<br />
σ<br />
V ( x)<br />
= [ x<br />
2ε<br />
0<br />
2<br />
+ R<br />
2<br />
=<br />
σ<br />
− x]<br />
2 2<br />
[ x + R − x]<br />
Figura 11.8: Coor<strong>de</strong>nadas do elemento <strong>de</strong> área<br />
No sistema <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas da Figura 11.8, temos:<br />
Então:<br />
2 2<br />
r P<br />
= z r = R + z − 2 R z cosθ ′<br />
1<br />
dq<br />
dV ( z)<br />
=<br />
4πε 2 2<br />
0 R + z − 2 R z cosθ<br />
′<br />
Vamos usar coor<strong>de</strong>nadas esféricas para resolver o problema da integração da<br />
equação acima; temos , então, que:<br />
Q<br />
V ( x)<br />
=<br />
2πε<br />
R<br />
0<br />
2<br />
[<br />
2 2<br />
x + R − x].<br />
2<br />
q<br />
dq = σ dA = σ R sinθ<br />
′ dθ<br />
′ dφ′<br />
e σ =<br />
2<br />
4π<br />
R<br />
187<br />
188
Assim,<br />
2<br />
σ R sinθ<br />
′ dθ<br />
′ dφ′<br />
dV ( r P<br />
) =<br />
,<br />
4πε<br />
2 2<br />
0 R + z − 2 R z cosθ<br />
′<br />
b) para pontos <strong>de</strong>ntro da esfera z < R e tomamos o sinal negativo da raiz<br />
quadrada, que fica:<br />
2<br />
( R − z)<br />
= R − z<br />
Integrando, temos:<br />
Então:<br />
V ( z)<br />
=<br />
σ<br />
4πε<br />
0<br />
∫<br />
2π<br />
0<br />
π<br />
dφ<br />
′<br />
∫<br />
0<br />
2<br />
R sinθ<br />
′<br />
dθ<br />
′<br />
2 2<br />
R + z − 2 R z cosθ<br />
′<br />
Rσ<br />
V ( z)<br />
= [( R + z)<br />
− ( R − z)]<br />
2ε<br />
z<br />
0<br />
A integral em φ′ po<strong>de</strong> ser efetuada imediatamente, uma vez que o integrando<br />
in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> φ′ . A integral em θ ′ se faz com a mudança <strong>de</strong> variável:<br />
ou:<br />
Rσ<br />
V ( z)<br />
=<br />
ε<br />
0<br />
( r ≤ R).<br />
x = 2 R z cosθ ′ → dx = −2<br />
R z sinθ<br />
′ dθ<br />
′<br />
Ativida<strong>de</strong> 11.3<br />
o que dá:<br />
σ<br />
V ( z)<br />
= R<br />
4πε<br />
0<br />
− dx/2Rz<br />
+ 2Rz<br />
2<br />
⋅ 2π<br />
∫ =<br />
2Rz<br />
2 2 4ε<br />
0<br />
σR<br />
=<br />
2ε<br />
z<br />
0<br />
R + z − x<br />
σ<br />
R<br />
z<br />
2 2<br />
2 2<br />
[ R + z + 2 R z − R + z − 2 R z ]<br />
σR<br />
2<br />
2<br />
= [ ( R + z)<br />
− ( R − z)<br />
].<br />
2ε<br />
z<br />
0<br />
2<br />
−2<br />
2 2<br />
[ R + z − x] Rz<br />
+ 2Rz<br />
Determinar, a partir dos resultados do Exemplo 11.5, o potencial elétrico <strong>de</strong>ntro e<br />
fora <strong>de</strong> uma casca esférica condutora <strong>de</strong> raio R.<br />
Ativida<strong>de</strong> 11.4<br />
Faça um esboço do gráfico do potencial elétrico para pontos <strong>de</strong>ntro e fora<br />
<strong>de</strong> uma casca esférica condutora carregada eletricamente com <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong><br />
superficial <strong>de</strong> carga σ e raio R .<br />
Neste ponto <strong>de</strong>vemos ter cuidado ao extrair a raiz quadrada, cujo valor <strong>de</strong>ve ser<br />
um número real:<br />
a) para pontos fora da esfera, z > R e tomamos o sinal positivo da raiz quadrada,<br />
que fica:<br />
Então:<br />
ou:<br />
2<br />
( R − z)<br />
= z − R<br />
Rσ<br />
V ( z)<br />
= [( R + z)<br />
− ( z − R)]<br />
2ε<br />
z<br />
0<br />
2<br />
R σ<br />
V ( z)<br />
=<br />
ε z<br />
0<br />
( r > R)<br />
189<br />
190
RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS<br />
Rσ<br />
V ( R)<br />
= =<br />
ε<br />
RQ<br />
4πε<br />
R<br />
=<br />
2<br />
0 0<br />
4<br />
1<br />
πε<br />
0<br />
Q<br />
R<br />
ATIVIDADE 11.1<br />
Po<strong>de</strong>mos pensar em um cilindro infinito como um fio infinito que possui um<br />
raio R como sugere a figura 11.9. O potencial <strong>de</strong> um cilindro infinito carregado é<br />
semelhante ao produzido por um fio infinito; contudo calculamos o potencial para<br />
pontos em que<br />
superfície do cilindro, on<strong>de</strong><br />
y > R . Nesse caso po<strong>de</strong>mos tomar como nível <strong>de</strong> potencial a<br />
y = R . Dessa forma teremos:<br />
ATIVIDADE 11.4<br />
A figura 11.10 mostra um esboço dos gráficos do campo elétrico e do<br />
potencial elétrico para pontos <strong>de</strong>ntro e fora <strong>de</strong> uma casca esférica condutora<br />
carregada.<br />
V =<br />
1<br />
2πε<br />
o<br />
⎛ R ⎞<br />
λ ln⎜<br />
⎟<br />
⎝ y ⎠<br />
Figura 11.9: Cilindro infinito carregado.<br />
Figura 11.10: Gráficos do campo elétrico e potencial elétrico <strong>de</strong> uma esfera<br />
carregada.<br />
ATIVIDADE 11.2<br />
Se o ângulo subentendido é <strong>de</strong> 70°, a figura 11.4 nos mostra que θ = −35°<br />
e θ = + 35°<br />
. Então,<br />
2<br />
V (0) =<br />
4<br />
λ<br />
πε<br />
0<br />
( θ −θ<br />
) = 9×<br />
10<br />
2<br />
1<br />
9<br />
2 2<br />
N m / C<br />
× 10×<br />
10<br />
− 3<br />
π<br />
C × [35º −(<br />
−35º )] ×<br />
180º<br />
Em que o último termo dá a transformação <strong>de</strong> graus para radianos.<br />
Numericamente, então, temos:<br />
1<br />
No interior da esfera o campo elétrico é nulo, sendo o potencial constante.<br />
Para pontos fora da esfera o campo é inversamente proporcional ao quadrado <strong>de</strong> r<br />
, enquanto o potencial é inversamente proporcional a r .<br />
ATIVIDADE 11.5<br />
Obtivemos no Exemplo 11.5 o potencial elétrico para pontos interiores e<br />
exteriores a uma casca esférica condutora carregada. Para pontos fora da casca o<br />
potencial é inversamente proporcional a distância do centro da casca. E para pontos<br />
<strong>de</strong>ntro da casca o potencial é constante. Veja a figura 11.11:<br />
V (0) = 1,75 × 10<br />
−2<br />
V<br />
ATIVIDADE 11.3<br />
Como a esfera é metálica, a carga elétrica se distribui na sua superfície. Então, <strong>de</strong><br />
acordo com o Exemplo 11.5, o potencial <strong>de</strong>ntro da esfera é o mesmo que na sua<br />
superfície:<br />
191<br />
192
da questão anterior se o terminal positivo <strong>de</strong> uma <strong>de</strong>las estivesse em contato com<br />
o terminal positivo da outra?<br />
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO<br />
E11.1) Obtenha o potencial elétrico em um ponto P situado no eixo <strong>de</strong> um anel <strong>de</strong><br />
raio igual a 10 cm carregado uniformemente com carga <strong>de</strong> 1,5 nC a uma distância<br />
<strong>de</strong> 20 cm do seu centro.<br />
carregada.<br />
Figura 11.11: Gráfico do potencial elétrico para uma casca esférica<br />
PENSE E RESPONDA<br />
PR11.1) Para pontos situados a uma distância z >> R , o potencial <strong>de</strong> uma espira<br />
carregada se reduz ao <strong>de</strong> uma carga puntiforme?<br />
PR11.2) Se fizermos o raio <strong>de</strong> um disco carregado com uma carga Q for muito<br />
gran<strong>de</strong>, qual é o potencial elétrico em um ponto situado à distância z do centro do<br />
disco ( z
AULA 12 RELAÇÃO ENTRE CAMPO E POTENCIAL ELÉTRICO<br />
r r r<br />
V ( z)<br />
= −∫<br />
E • ds = −∫<br />
z<br />
σ r σ<br />
( k • kˆ)<br />
ds = − z<br />
2ε<br />
r0 0<br />
0<br />
2ε<br />
0<br />
OBJETIVOS<br />
DETERMINAR A RELAÇÃO ENTRE POTENCIAL E CAMPO ELÉTRICO<br />
12.1 OBTENDO O POTENCIAL A PARTIR DO CAMPO ELÉTRICO<br />
A equação do potencial no ponto P(x,y,z) <strong>de</strong> um campo elétrico:<br />
V<br />
P → →<br />
P = ∫ dV = − ∫ E • ds<br />
A<br />
(12.1)<br />
em que A é o nível <strong>de</strong> potencial, nos dá a relação entre o potencial e o campo<br />
elétrico no ponto P, na forma integral. Ela nos permite <strong>de</strong>terminar o potencial no<br />
ponto P quando conhecemos o campo elétrico neste ponto. Vejamos alguns<br />
exemplos <strong>de</strong> sua aplicação.<br />
EXEMPLO 12.1<br />
Potencial <strong>de</strong> uma distribuição plana infinita <strong>de</strong> carga<br />
Calcular o potencial elétrico gerado por uma distribuição plana infinita <strong>de</strong> carga<br />
em um ponto P situado a uma distância z da distribuição.<br />
Solução: Tomando um sistema <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas com origem no plano <strong>de</strong> cargas e<br />
eixo Oz com direção perpendicular a ele (os eixos Ox e Oy estão situados no<br />
r<br />
plano), temos que<br />
P<br />
= z e:<br />
r p<br />
r r<br />
V ( z)<br />
= −∫ E • ds<br />
r0<br />
ATIVIDADE 12.1<br />
Calcule o potencial em um ponto P situado à distância y <strong>de</strong> um fio infinito com<br />
distribuição uniforme <strong>de</strong> cargas.<br />
EXEMPLO 12.2<br />
Calcule o potencial no ponto P situado sobre o eixo <strong>de</strong> uma espira circular <strong>de</strong> raio<br />
R, à distância z do centro <strong>de</strong>la, supondo a espira carregada positivamente com<br />
uma distribuição linear uniforme <strong>de</strong> cargas.<br />
Solução: O campo elétrico gerado por uma espira circular <strong>de</strong> raio R em um ponto<br />
<strong>de</strong> seu eixo e à distância z <strong>de</strong> seu centro é:<br />
Q z<br />
E z)<br />
=<br />
4 πε<br />
2 2<br />
0<br />
( R + z )<br />
( 3/ 2<br />
r<br />
Então, com ds<br />
= dz kˆ<br />
, o potencial no ponto P, relativo ao infinito, é:<br />
r<br />
r<br />
Q<br />
z<br />
V z<br />
z<br />
( z)<br />
= −∫<br />
E • ds = − ∫<br />
( k • k dz = −<br />
∞ 2 2 3/ 2<br />
R + z<br />
∫∞<br />
2 2 3/<br />
4πε<br />
R + z<br />
2<br />
0<br />
( )<br />
4πε<br />
0<br />
( )<br />
ou, com a mudança <strong>de</strong> variável:<br />
2 2<br />
2 2<br />
u = R + z → du = 2 z dz z = ∞ → u = ∞ z = z → u = R + z<br />
vem:<br />
ˆ<br />
ˆ)<br />
kˆ<br />
Q<br />
z<br />
dz<br />
em que r 0<br />
se refere à posição do nível <strong>de</strong> potencial. No caso do plano infinito, é<br />
melhor escolhermos o nível zero <strong>de</strong> potencial coincidindo com o plano. Na<br />
Q<br />
V ( z)<br />
= −<br />
4πε<br />
0<br />
1<br />
2<br />
∫<br />
2 2<br />
R + z<br />
∞<br />
du<br />
u<br />
3/ 2<br />
Q<br />
= −<br />
4πε<br />
0<br />
1<br />
2<br />
2<br />
−<br />
u<br />
1/ 2<br />
∞<br />
2 2<br />
R + z<br />
Q<br />
=<br />
4πε<br />
0<br />
1<br />
2 2<br />
R + z<br />
expressão acima, conhecemos o campo elétrico gerado pelo plano infinito. Ele é<br />
uniforme e é dado por:<br />
r<br />
E =<br />
σ<br />
2ε<br />
0<br />
em que kˆ é o unitário do eixo Oz. Assim, o potencial em um ponto P(x,y,z) do<br />
r<br />
espaço será, com ds<br />
= dskˆ<br />
:<br />
kˆ<br />
ATIVIDADE 12.2<br />
Calcule o potencial no ponto P situado sobre o eixo <strong>de</strong> uma espira circular <strong>de</strong> raio<br />
R, à distância z do centro <strong>de</strong>la, supondo a espira carregada negativamente com<br />
uma distribuição linear uniforme <strong>de</strong> cargas.<br />
196<br />
197
EXEMPLO 12.3<br />
POTENCIAL DE UMA ESFERA DIELÉTRICA CARREGADA<br />
Calcular o potencial <strong>de</strong> uma esfera dielétrica maciça <strong>de</strong> raio R , carregada<br />
uniformemente com carga total Q positiva em um ponto P <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong>la ( r P<br />
< R ).<br />
carga <strong>de</strong>ntro volume da esfera <strong>de</strong> raio r , então:<br />
q Q<br />
= ⇒<br />
3 3<br />
r R<br />
Então, a expressão do campo elétrico fica:<br />
r<br />
q =<br />
R<br />
3<br />
3<br />
Solução: Temos:<br />
V ( r )<br />
P<br />
r P<br />
r<br />
= −∫ E •<br />
∞<br />
em que o nível <strong>de</strong> energia potencial foi escolhido situado no infinito. Para um ponto<br />
P do campo, a distâncias<br />
elétrico é:<br />
r<br />
E<br />
r<br />
ds<br />
r<br />
P<br />
ao centro da esfera, tais que ∞<br />
1 Q<br />
ˆ<br />
4πε 0<br />
r<br />
( R ≤ r < ∞)<br />
= r<br />
2<br />
P<br />
R ≤ r P<br />
<<br />
Para um ponto P interior à esfera ( 0 ≤ r P<br />
≤ R ), o campo elétrico é dado por:<br />
r 1 q<br />
E = rˆ<br />
0 ≤<br />
2<br />
4πε 0<br />
r<br />
( r R)<br />
P<br />
≤<br />
em que q é a carga da esfera contida <strong>de</strong>ntro do raio<br />
P<br />
, o campo<br />
r ≤ r e rˆ é o unitário<br />
dirigido do centro para a superfície da esfera porque a carga é positiva. Estas duas<br />
expressões mostram que a carga elétrica contida em uma esfera <strong>de</strong> raio r P<br />
não é a<br />
mesma para ambos os casos. Assim, para calcular o potencial em relação a um<br />
nível no infinito, vamos dividir o problema em dois: calculamos o potencial na<br />
superfície da esfera e somamos (algebricamente) o resultado à diferença <strong>de</strong><br />
potencial entre o ponto P interior à esfera carregada e à superfície:<br />
[ V ( R)<br />
−V<br />
( r )] ≡ V ( R)<br />
− [ V ( R)<br />
−V<br />
( r )]<br />
V ( rP<br />
< R)<br />
= V ( R)<br />
−V<br />
( ∞)<br />
−<br />
P<br />
P<br />
O potencial na superfície da esfera já nos é familiar:<br />
V ( R)<br />
=<br />
1<br />
4πε<br />
A diferença <strong>de</strong> potencial entre a superfície da esfera e o ponto P é:<br />
0<br />
Q<br />
R<br />
R r r<br />
V ( R)<br />
−V<br />
( r ) = −∫ E • ds<br />
P<br />
Portanto, precisamos calcular o campo elétrico no ponto P <strong>de</strong>ntro da esfera. Como<br />
a <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> volumétrica <strong>de</strong> cargas é constante, po<strong>de</strong>mos escrever que, se q é<br />
rp<br />
r 1 Q<br />
E = r rˆ<br />
3<br />
4πε 0<br />
R<br />
( r ≤ )<br />
No <strong>de</strong>slocamento do ponto P ( r = ), até a superfície r = R temos que:<br />
rP<br />
R r r Q<br />
V ( R)<br />
−V<br />
( rP<br />
) = −∫<br />
E • ds = −<br />
r<br />
3<br />
p 4π<br />
ε R<br />
Mas, no <strong>de</strong>slocamento <strong>de</strong> R até r P<br />
,<br />
Logo:<br />
r ˆ • ds<br />
r = dr e, então:<br />
0<br />
r P<br />
∫<br />
R<br />
rP<br />
r<br />
r (ˆ r • ds)<br />
2<br />
R r r Q R Q ⎛ R − r<br />
V ( R)<br />
−V<br />
( r ) = −∫ • = − ∫ = −<br />
⎜<br />
P<br />
E ds<br />
r dr<br />
r<br />
3<br />
3<br />
P 4π ε<br />
r<br />
0<br />
R P 4π<br />
ε<br />
0<br />
R ⎝ 2<br />
V ( r<br />
P<br />
V<br />
< R)<br />
= V ( R)<br />
−<br />
ou, efetuando as simplificações:<br />
< R)<br />
= V ( R)<br />
− [ V ( R)<br />
−V<br />
( r )]=<br />
( rP<br />
P<br />
1<br />
Q<br />
2<br />
⎛ R − r<br />
P<br />
[ V ( R)<br />
−V<br />
( r )] = +<br />
⎜<br />
4 4<br />
2 ⎟ P<br />
3<br />
πε<br />
0<br />
R π ε<br />
0<br />
R ⎠<br />
V ( r<br />
2<br />
Q ⎛ 3 R − r<br />
R)<br />
=<br />
⎜<br />
8πε<br />
0 ⎝ R<br />
P<br />
<<br />
3<br />
12.2 OBTENDO O CAMPO ELÉTRICO A PARTIR DO POTENCIAL<br />
A equação (12.1)<br />
V<br />
P → →<br />
P = ∫ dV = − ∫ E • ds<br />
A<br />
nos permite calcular o campo elétrico em um ponto P a partir do potencial neste<br />
ponto. Para fazer isso, consi<strong>de</strong>remos um sistema <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas cartesianas (po<strong>de</strong><br />
ser também qualquer outro, mas, para simplificar, usaremos as coor<strong>de</strong>nadas<br />
cartesianas). Neste sistema, sejam:<br />
r<br />
ds<br />
= dx iˆ + dy ˆj<br />
+ dz kˆ<br />
o vetor <strong>de</strong>slocamento no ponto P, e:<br />
2<br />
P<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
Q<br />
⎝<br />
2<br />
2<br />
P<br />
⎞<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
(12.2)<br />
198<br />
199
o vetor campo elétrico em P; então:<br />
isto é:<br />
r<br />
E = E iˆ + E ˆj<br />
+ E kˆ<br />
x<br />
y<br />
r<br />
E • ds<br />
r = E dx( iˆ<br />
• iˆ)<br />
+ E dy ( ˆj<br />
• ˆ) j + E dz ( kˆ<br />
• kˆ)<br />
x<br />
r<br />
E • ds<br />
r = Ex dx + E<br />
y<br />
dy + E<br />
y<br />
z<br />
z<br />
z<br />
dz<br />
(12.3)<br />
(12.4)<br />
∂V<br />
∂<br />
=<br />
∂x<br />
∂x<br />
( x<br />
∂V<br />
∂<br />
=<br />
∂y<br />
∂y<br />
( x<br />
∂V<br />
∂<br />
=<br />
∂z<br />
∂z<br />
( x<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1<br />
2 2<br />
+ y + z )<br />
1<br />
2 2<br />
+ y + z )<br />
1<br />
2 2<br />
+ y + z )<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
=<br />
=<br />
=<br />
1<br />
2 2<br />
( x<br />
1<br />
2 2<br />
( x<br />
1<br />
2 2<br />
( x<br />
2 x<br />
2 2<br />
+ y + z )<br />
2 y<br />
2 2<br />
+ y + z )<br />
2 z<br />
2 2<br />
+ y + z )<br />
3<br />
2<br />
3<br />
2<br />
3<br />
2<br />
=<br />
( x<br />
2<br />
=<br />
( x<br />
=<br />
( x<br />
2<br />
2<br />
x<br />
2 2<br />
+ y + z )<br />
y<br />
2 2<br />
+ y + z )<br />
z<br />
2 2<br />
+ y + z )<br />
3<br />
2<br />
3<br />
2<br />
3<br />
2<br />
Lembrando que:<br />
∂V<br />
∂V<br />
∂V<br />
dV = dx + dy + dz<br />
(12.5)<br />
∂x<br />
∂y<br />
∂z<br />
o potencial V(x,y,z) po<strong>de</strong> ser escrito como:<br />
∂V<br />
∂V<br />
∂V<br />
V = ∫ dV = ∫ dx + dy + dz<br />
(12.6)<br />
∂x<br />
∂y<br />
∂z<br />
Da equação (12-1), com as equações (12.5) e (12.6) vem, então, que:<br />
∂V<br />
∂V<br />
∂V<br />
dx + dy + dz = − ( Ex dx + E<br />
y<br />
dy + Ez<br />
dz)<br />
∂x<br />
∂y<br />
∂z<br />
<strong>de</strong> on<strong>de</strong> tiramos:<br />
∂V<br />
∂V<br />
∂V<br />
E x<br />
= − E y<br />
= − E z<br />
= −<br />
(12.7)<br />
∂ x<br />
∂ y<br />
∂ z<br />
Das equações (12.7), temos:<br />
E ∂V<br />
x<br />
= − = −<br />
x<br />
∂x<br />
+<br />
2 2 2<br />
( x + y z<br />
E ∂V<br />
y<br />
= − = −<br />
y<br />
∂y<br />
+<br />
2 2 2<br />
( x + y z<br />
E ∂V<br />
z<br />
= − = −<br />
z<br />
∂z<br />
+<br />
2 2 2<br />
( x + y z<br />
)<br />
3<br />
2<br />
)<br />
)<br />
3<br />
2<br />
3<br />
2<br />
r r<br />
Como:<br />
= x iˆ + y j + z kˆ<br />
, =<br />
que:<br />
r<br />
r<br />
( x + y + z ) e E = E iˆ + E j + E kˆ<br />
, vem<br />
1<br />
2 2 2 2<br />
r<br />
r<br />
r<br />
r<br />
r<br />
Q x i + y j + z kˆ<br />
Q<br />
1 Q<br />
E =<br />
= =<br />
3<br />
3/ 2<br />
2<br />
4πε<br />
2 2 2<br />
0<br />
2<br />
( x + y + z ) 4πε<br />
0<br />
r 4πε<br />
0<br />
r r<br />
x<br />
y<br />
z<br />
que são as relações entre o potencial no ponto P e o campo elétrico neste ponto.<br />
ou:<br />
r 1 Q<br />
E = rˆ<br />
2<br />
4πε 0<br />
r<br />
EXEMPLO 12.4<br />
O potencial em um ponto P situado à distância r <strong>de</strong> uma carga Q que gera o<br />
campo elétrico é:<br />
Calcule o campo elétrico neste ponto.<br />
V =<br />
1<br />
4πε<br />
0<br />
Q<br />
r<br />
EXEMPLO 12.5<br />
O potencial elétrico <strong>de</strong> um dipolo, em um ponto P do espaço <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas (x,y)<br />
é:<br />
1<br />
V =<br />
4π ε<br />
0<br />
r<br />
p • rˆ<br />
2<br />
r<br />
2 2 2 2<br />
Solução: Temos que: r = ( x + y + z ) . Então:<br />
1<br />
em que o vetor rˆ é o unitário da direção que une o centro do dipolo ao ponto P<br />
200<br />
201
(Figura 12.1) e<br />
p = Qd é o momento <strong>de</strong> dipolo. Calcular o campo elétrico em P.<br />
E ∂V<br />
p ∂ ⎡ z ⎤<br />
= − = − ⎢<br />
⎥ =<br />
z 3<br />
∂z<br />
4 πε ∂ ⎢<br />
2 2 2<br />
0<br />
z<br />
2<br />
⎣(<br />
x + y + z ) ⎥⎦<br />
3<br />
⎡ 2 2 2<br />
⎤<br />
= 2<br />
2 2 2 1/ 2<br />
p ( x + y + z ) z (3/ 2)(2z)(<br />
x + y + z )<br />
− ⎢<br />
−<br />
⎥<br />
⎢ + +<br />
+ + ⎥<br />
=<br />
2 2 2 3<br />
2 2 2<br />
4πε<br />
3<br />
0<br />
( x y z ) ( x y z )<br />
⎣<br />
⎦<br />
ou:<br />
2<br />
p ⎡ 1<br />
3z<br />
− ⎢<br />
−<br />
2 2 2 3/ 2 2 2<br />
4πε<br />
⎣(<br />
x + y + z ) ( x + y + z<br />
= 2 5 / 2<br />
0<br />
)<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
Figura 12.1: o dipolo elétrico<br />
Solução: Escolhendo o eixo Oz <strong>de</strong> um sistema <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas cartesiano com<br />
origem em O (centro do dipolo), temos que: z = r cos θ e:<br />
Então:<br />
1 pz 1<br />
V ( x,<br />
y,<br />
z)<br />
= =<br />
4π ε r 4π ε<br />
E x<br />
p z<br />
3<br />
3<br />
2 2 2<br />
0 0<br />
2<br />
( x + y + z )<br />
∂V<br />
p ∂ ⎡ z<br />
= − = − ⎢<br />
∂x<br />
4 πε ∂x<br />
⎢<br />
2 2<br />
⎣(<br />
x + y + z<br />
3<br />
2<br />
0<br />
2<br />
)<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
2<br />
∂V<br />
p ⎛ 3z<br />
1 ⎞<br />
− =<br />
⎜ −<br />
⎟<br />
5<br />
∂z<br />
4 πε<br />
0 ⎝ r r ⎠<br />
E z<br />
=<br />
3<br />
ATIVIDADE 12.3<br />
Calcule o campo elétrico em um ponto P situado à distância r no eixo <strong>de</strong> um disco<br />
com uma <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> <strong>de</strong> carga positiva constante.<br />
ou:<br />
ou, ainda:<br />
Finalmente:<br />
3<br />
⎡ 2 2 2 2<br />
2<br />
p ( x + y + z ) − z (3/ 2)( x + y<br />
− ⎢<br />
2 2 2<br />
4 πε<br />
0 ⎢<br />
( x + y + z )<br />
⎣<br />
E = x<br />
3<br />
⎡<br />
2<br />
p 1<br />
3z<br />
− ⎢<br />
−<br />
3 2 2<br />
4 πε ⎢<br />
2 2 2 2 + +<br />
⎣(<br />
x + y + z ) ( x y z<br />
2<br />
2<br />
+ z )<br />
E = x<br />
2 5 / 2<br />
0<br />
)<br />
E x<br />
∂V<br />
p 3xz<br />
= − =<br />
5<br />
∂x<br />
4 πε r<br />
0<br />
1<br />
2<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
2 z ⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
SAIBA MAIS<br />
A equação (12-1) nos diz que, para que o potencial elétrico seja univocamente<br />
<strong>de</strong>terminado em qualquer ponto P <strong>de</strong> um campo elétrico, é necessário que a<br />
integral do segundo membro seja in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nte da trajetória entre o nível A e o<br />
ponto P; ou seja, que o integrando seja uma diferencial exata. Isto significa que o<br />
potencial seja uma função contínua e tenha <strong>de</strong>rivadas contínuas em todos os<br />
pontos do campo. De acordo com o teorema <strong>de</strong> Schwarz do cálculo <strong>de</strong> funções <strong>de</strong><br />
várias variáveis, a condição <strong>de</strong> diferencial exata é que:<br />
2 2<br />
2 2<br />
2 2<br />
∂ V ∂ V ∂ V ∂ V ∂ V ∂ V<br />
=<br />
=<br />
=<br />
∂y∂x<br />
∂x∂y<br />
∂y∂z<br />
∂z∂y<br />
∂x∂z<br />
∂z∂x<br />
Analogamente:<br />
E y<br />
∂V<br />
p 3yz<br />
= − =<br />
5<br />
∂y<br />
4 πε r<br />
Para a componente segundo o eixo Ox, temos:<br />
0<br />
Então, <strong>de</strong>rivando a primeira das equações (12.7) em relação a y e a segunda em<br />
relação a x, obtemos:<br />
∂ 2 V ∂Ex<br />
∂ 2 V ∂E<br />
y<br />
= −<br />
= −<br />
(12.8)<br />
∂y∂x<br />
∂y<br />
∂x∂y<br />
∂x<br />
202<br />
203
Analogamente, combinando a primeira e terceira expressões, assim como a<br />
segunda e a terceira, obtemos:<br />
∂ 2 V ∂Ex<br />
∂ 2 V ∂E<br />
z<br />
= −<br />
= −<br />
(12.9)<br />
∂z∂x<br />
∂z<br />
∂x∂z<br />
∂x<br />
∂ 2 V ∂E<br />
y ∂ 2 V ∂Ez<br />
= −<br />
= −<br />
(12.10)<br />
∂z∂y<br />
∂z<br />
∂y∂z<br />
∂y<br />
Então, <strong>de</strong> (128), (12.9) e (12.10) vem:<br />
∂E<br />
∂E<br />
x y ∂E<br />
x<br />
∂E<br />
z<br />
∂E<br />
∂E<br />
z y<br />
=<br />
=<br />
=<br />
(12.11)<br />
∂y<br />
∂x<br />
∂z<br />
∂x<br />
∂y<br />
∂z<br />
que dão a condição para que o potencial V(x,y,z) seja univocamente <strong>de</strong>finido em<br />
cada ponto P do campo elétrico. Essa condição mostra também que as três<br />
componentes do vetor campo elétrico não são in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntes umas das outras, o<br />
que permite reduzir um problema vetorial em um problema escalar.<br />
SAIBA MAIS<br />
A equação (12.12) po<strong>de</strong> ser escrita como:<br />
r r r r<br />
dV = ∇V<br />
• ds = ∇V<br />
cosθ ds<br />
(12.14)<br />
em que θ é o ângulo entre os dois vetores. Ela nos indica que a variação do<br />
potencial com a posição no campo elétrico <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> da direção consi<strong>de</strong>rada neste<br />
campo. Essa variação é nula quando θ =90º, isto é, quando a direção consi<strong>de</strong>rada,<br />
dada por<br />
ds<br />
r , for perpendicular ao gradiente <strong>de</strong> potencial; ela é máxima para θ<br />
=0º, ou quando esta direção for paralela ao gradiente <strong>de</strong> potencial. Esse fato nos<br />
indica que o gradiente é um vetor que nos <strong>de</strong>fine uma <strong>de</strong>rivada direcional, cujo<br />
valor <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> da direção consi<strong>de</strong>rada em seu cálculo. A equação (12.13) nos diz<br />
então que a direção <strong>de</strong> maior valor do campo elétrico é a mesma do gradiente <strong>de</strong><br />
potencial; além disso, o sentido do campo é oposto ao do gradiente <strong>de</strong> potencial.<br />
A equação (12.5) nos permite dizer que o potencial po<strong>de</strong> ser consi<strong>de</strong>rado<br />
como o produto escalar <strong>de</strong> dois vetores: o vetor<br />
ds<br />
r , e um outro vetor<br />
∇ r V ,<br />
<strong>de</strong>nominado gradiente do potencial, cujas componentes cartesianas são as<br />
<strong>de</strong>rivadas parciais do potencial relativamente às coor<strong>de</strong>nadas:<br />
∂V<br />
V<br />
V iˆ<br />
∂<br />
∇ r<br />
= +<br />
∂x<br />
∂y<br />
ˆ<br />
∂V<br />
j + kˆ<br />
∂z<br />
Assim, <strong>de</strong> (12.5) vem:<br />
r r<br />
dV = ∇V<br />
• ds<br />
(12.12)<br />
Então, po<strong>de</strong>mos escrever uma relação vetorial em termos do gradiente do<br />
potencial e o campo elétrico:<br />
E r = −∇V<br />
r<br />
(12.13)<br />
Esta equação nos mostra que o campo elétrico tem a mesma direção que o<br />
gradiente <strong>de</strong> potencial, mas seu sentido é oposto ao do gradiente <strong>de</strong><br />
potencial.<br />
204<br />
205
RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS<br />
Ativida<strong>de</strong> 12.3<br />
Ativida<strong>de</strong> 12.1<br />
O campo elétrico gerado por um fio infinito com <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> uniforme <strong>de</strong> carga, em<br />
um ponto a uma distância y do fio, é:<br />
O potencial elétrico gerado por um disco com uma <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> superficial <strong>de</strong> cargas<br />
constante, em um ponto <strong>de</strong> seu eixo <strong>de</strong> simetria, situado à distância z do disco é:<br />
r<br />
E =<br />
λ ˆj<br />
πε y<br />
2<br />
0<br />
Em que o unitário está dirigido perpendicularmente ao fio. Então, com<br />
vem:<br />
r<br />
ds<br />
= dy ˆj<br />
V ( z)<br />
= −∫0<br />
2<br />
z<br />
dz = −<br />
0<br />
2<br />
0<br />
Como o potencial é função apenas da coor<strong>de</strong>nada z, temos:<br />
σ<br />
ε<br />
σ<br />
ε<br />
z<br />
=<br />
r r y λ<br />
−∫<br />
• = − ∫ • = − ∫<br />
y dy<br />
V E ds<br />
ˆ<br />
λ<br />
λ<br />
( j ˆ) j dy<br />
=<br />
y<br />
2πε<br />
y<br />
2πε<br />
y0<br />
y 2 πε<br />
0<br />
em que y<br />
0 é o raio do fio.<br />
0<br />
0<br />
0<br />
⎛ y0<br />
ln⎜<br />
⎝ y<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
∂V<br />
E(<br />
z)<br />
= −<br />
∂z<br />
σ<br />
=<br />
2ε<br />
0<br />
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO<br />
Ativida<strong>de</strong> 12.2<br />
O campo elétrico gerado por uma espira circular <strong>de</strong> raio R em um ponto <strong>de</strong> seu eixo<br />
e à distância z <strong>de</strong> seu centro é:<br />
Q<br />
E z)<br />
= −<br />
4πε<br />
( R<br />
z<br />
2<br />
z )<br />
( 2 3/ 2<br />
0<br />
+<br />
r<br />
Então, com ds<br />
= dz kˆ<br />
, o potencial no ponto P, relativo ao infinito, é:<br />
kˆ<br />
E12.1) No exemplo 12.2 foi calculado o potencial elétrico <strong>de</strong> um ponto sobre o eixo<br />
<strong>de</strong> uma espira carregada. Calcule o campo elétrico a partir do potencial. Compare<br />
seu resultado com a equação 5.1.<br />
E12.2) O potencial elétrico em um ponto sobre o eixo central <strong>de</strong> um disco<br />
uniformemente carregado foi calculado no exemplo 11.4. A partir <strong>de</strong>ssa equação,<br />
<strong>de</strong>termine uma expressão para o campo elétrico.<br />
r<br />
r<br />
Q<br />
z<br />
V z<br />
z<br />
( z)<br />
= −∫<br />
E • ds = ∫<br />
( k • k dz =<br />
∞ 2 2 3/ 2<br />
R + z<br />
∫∞<br />
2 2 3/<br />
4πε<br />
R + z<br />
2<br />
0<br />
( )<br />
4πε<br />
0<br />
( )<br />
ou, com a mudança <strong>de</strong> variável:<br />
ˆ<br />
ˆ)<br />
Q<br />
z<br />
dz<br />
E12.3) Calcule o campo elétrico para uma casca esfera carregada utilizando os<br />
resultados obtidos no exemplo 11.5.<br />
E12.4) O potencial elétrico <strong>de</strong> uma certa distribuição <strong>de</strong> cargas é<br />
V(x,y,z)=2,00xyz 2 . Calcule o campo elétrico no ponto (3;-2,4).<br />
2 2<br />
2 2<br />
u = R + z → du = 2 z dz z = ∞ → u = ∞ z = z → u = R + z<br />
vem:<br />
Q<br />
V ( z)<br />
=<br />
4πε<br />
0<br />
1<br />
2<br />
∫<br />
2 2<br />
R + z<br />
∞<br />
du<br />
u<br />
3/ 2<br />
Q<br />
=<br />
4πε<br />
0<br />
1<br />
2<br />
2<br />
−<br />
u<br />
1/ 2<br />
∞<br />
2 2<br />
R + z<br />
Q<br />
= −<br />
4πε<br />
0<br />
1<br />
2 2<br />
R + z<br />
206<br />
207
UNIDADE 5 – CAPACITORES<br />
Nesta unida<strong>de</strong> estudaremos os capacitores. Eles são um dos muitos tipos <strong>de</strong><br />
dispositivos usados em circuitos elétricos, como por exemplo, em rádios,<br />
computadores, televisores, celulares e vi<strong>de</strong>o-games. A importância <strong>de</strong>les está<br />
principalmente na proprieda<strong>de</strong> <strong>de</strong> armazenar carga elétrica, bem como <strong>de</strong> criar<br />
campos elétricos com a simetria <strong>de</strong>sejada.<br />
Os capacitores em circuitos elétricos frequentemente, aparecem ligados<br />
entre si. Por isso, é necessário saber qual a capacitância equivalente <strong>de</strong>ssas<br />
associações. A capacitância equivalente da associação <strong>de</strong> capacitores é a<br />
capacitância que teria um único capacitor que substituiria os capacitores que<br />
formam a associação. Existem essencialmente duas maneiras <strong>de</strong> conectar<br />
capacitores: em série ou em paralelo.<br />
208<br />
209
AULA 13: CAPACITÂNCIA<br />
e paralelas separadas por uma distância d; a figura 13.1c mostra os vários tipos <strong>de</strong><br />
capacitor comumente usados.<br />
OBJETIVOS<br />
DEFINIR CAPACITÂNCIA E ESTUDAR SUAS PROPRIEDADES<br />
CALCULAR A CAPACITÂNCIA EQUIVALENTE DE ASSOCIAÇÕES DE CAPACITORES<br />
13.1 CAPACITÂNCIA<br />
Um condutor isolado, quando carregado com uma carga Q , gera um<br />
potencial elétrico que é proporcional à carga e <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> também da forma e das<br />
dimensões do condutor. Como as cargas elétricas no condutor se alojam na sua<br />
superfície, quanto maior for a área do condutor, mais carga ele po<strong>de</strong> alojar para<br />
produzir um dado potencial. A relação entre a carga do condutor e o potencial<br />
gerado por ela, é <strong>de</strong>nominada capacitância do condutor:<br />
Q<br />
C = (13.1)<br />
V<br />
Por exemplo, um condutor esférico gera um potencial em pontos fora <strong>de</strong>le,<br />
situados à distância R do condutor, que é dado por:<br />
e a capacitância <strong>de</strong>ste condutor é:<br />
V =<br />
1<br />
4πε<br />
0<br />
Q<br />
R<br />
Q<br />
= 4πε R<br />
V<br />
C =<br />
0<br />
Esse exemplo nos mostra que a capacitância é uma proprieda<strong>de</strong><br />
associada à geometria do condutor e ao meio que ele se situa.<br />
A unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> capacitância no SI é o Farad (F), assim <strong>de</strong>nominado em<br />
homenagem a Michael Faraday.<br />
13.2 CAPACITORES<br />
1C<br />
1F<br />
= .<br />
1V<br />
Um capacitor é um sistema constituído <strong>de</strong> qualquer par <strong>de</strong> condutores<br />
isolados e carregados com cargas <strong>de</strong> sinais opostos, como mostra o esquema das<br />
figuras 13.1a. A figura 13.1b mostra um capacitor formado por duas placas planas<br />
210<br />
Figura 13.1. (a) Um capacitor constituído por dois condutores isolados e carregados;<br />
(b) um capacitor <strong>de</strong> placas planas e paralelas; (c) alguns tipos <strong>de</strong> capacitores disponíveis<br />
comercialmente.<br />
A importância dos capacitores está principalmente na proprieda<strong>de</strong><br />
<strong>de</strong> armazenar carga elétrica, bem como <strong>de</strong> criar campos elétricos com a<br />
simetria <strong>de</strong>sejada.<br />
A gran<strong>de</strong>za que <strong>de</strong>fine as proprieda<strong>de</strong>s do capacitor é a capacitância, que<br />
me<strong>de</strong> a capacida<strong>de</strong> que ele tem para armazenar carga elétrica. De acordo com a<br />
equação 13.1:<br />
Q<br />
C = . ∆V<br />
em que, neste caso, Q é o módulo da carga elétrica líquida no conjunto <strong>de</strong><br />
condutores e ∆ V é o módulo da diferença <strong>de</strong> potencial entre eles.<br />
Consequentemente, a capacitância C é sempre positiva.<br />
Os capacitores usuais tem capacitâncias da or<strong>de</strong>m <strong>de</strong> microfarads,<br />
−6<br />
1µ F = 1×<br />
10 F .<br />
EXEMPLO 13.1<br />
Calcule a capacitância <strong>de</strong> um capacitor formado por placas planas e paralelas <strong>de</strong><br />
área A separadas pela distância L no vácuo (Figura 13.2).<br />
211
Note a <strong>de</strong>pendência dos fatores geométricos A e L e vê-se portanto que a<br />
capacitância cresce com a área e <strong>de</strong>cresce com a distância. Isso nos mostra<br />
duas possibilida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> alterar a capacitância <strong>de</strong> dispositivos em geral.<br />
ATIVIDADE 13.1<br />
Consi<strong>de</strong>re um capacitor <strong>de</strong> placas planas e paralelas <strong>de</strong> área igual a 15 cm 2 . A<br />
distâcia entre as placas é 5,1 mm e o módulo da carga em cada placa é 6,0 nC.<br />
Figura 13.2: Capacitor <strong>de</strong> placas paralelas carregadas com carga Q e separadas por uma<br />
distância L.<br />
SOLUÇÃO: A diferença <strong>de</strong> potencial entre duas placas condutoras <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> da<br />
carga nessas placas. É conveniente, portanto, obter primeiro a expressão para a<br />
diferença <strong>de</strong> potencial elétrico entre as duas placas:<br />
r r<br />
∆V<br />
= V+ −V−<br />
= −∫ E • dl<br />
O campo elétrico entre as placas planas e paralelas é uniforme e está dirigido da<br />
placa positiva para a negativa; então, escolhendo um eixo Ox na direção e sentido<br />
do campo, com a origem O na placa positiva, a diferença <strong>de</strong> potencial entre as<br />
placas é:<br />
a) Qual é a capacitância <strong>de</strong>sse capacitor quando ele se encontra no vácuo?<br />
b) Determine a diferença <strong>de</strong> potencial entre as suas placas.<br />
c) Determine o valor do campo elétrico entre suas placas.<br />
EXEMPLO 13.2<br />
Vamos consi<strong>de</strong>rar agora o caso <strong>de</strong> uma esfera e uma casca esférica concêntricas e<br />
condutoras <strong>de</strong> raios<br />
R<br />
a<br />
e<br />
R<br />
b<br />
, com cargas<br />
+ Q e − Q respectivamente, como<br />
ilustra a figura 13.3. Qual a capacitância <strong>de</strong>sse capacitor esférico?<br />
∆V<br />
= V<br />
+<br />
−V<br />
−<br />
0<br />
= −∫ E dl = E L<br />
Utilizando a Lei <strong>de</strong> Gauss, po<strong>de</strong>mos escrever o campo elétrico no interior das placas<br />
como a soma vetorial dos campos gerados por cada uma das placas:<br />
r<br />
E = E<br />
r r+<br />
+ −<br />
L<br />
| Q | | Q | | Q |<br />
E = iˆ<br />
+ iˆ<br />
= iˆ<br />
2ε<br />
A 2ε<br />
A A<br />
0 0<br />
ε<br />
0<br />
on<strong>de</strong> î é o unitário do eixo Ox.<br />
A diferença <strong>de</strong> potencial entre as placas dos capacitores é:<br />
QL<br />
∆ V = ε 0<br />
A<br />
Figura 13.3: Capacitor esférico.<br />
Solução: Como a capacitância é:<br />
| Q |<br />
C =<br />
| ∆V<br />
|<br />
Portanto,<br />
| Q | ε A<br />
= =<br />
| ∆V<br />
| L<br />
C<br />
0<br />
precisamos calcular, antes <strong>de</strong> mais nada, o campo elétrico existente entre essas<br />
placas, para <strong>de</strong>pois obter<br />
caso simétrico é usar a lei <strong>de</strong> Gauss:<br />
∆ V . A melhor forma <strong>de</strong> obter o campo elétrico nesse<br />
212<br />
213
para<br />
Q<br />
∫ E r<br />
• nˆ<br />
dA =<br />
ε<br />
As cargas estão nas superfícies dos condutores e portanto o campo elétrico<br />
R < Ra<br />
é nulo. Entre os capacitores há um campo elétrico radial como<br />
mostrado na figura 13.3. O campo elétrico é constante sobre a superfície <strong>de</strong> Gauss<br />
<strong>de</strong> raio<br />
R<br />
P<br />
, e portanto:<br />
E∫<br />
dA = ε<br />
Q<br />
0<br />
0<br />
parâmetro que é pequeno e escrever a expressão em termos <strong>de</strong>sse parâmetro.<br />
Depois disso, faz-se uma expansão em torno do valor zero para o parâmetro. Esse<br />
parâmetro é em geral adimensional, dado que frequentemente é expresso como<br />
1<br />
uma razão entre duas gran<strong>de</strong>zas físicas γ<br />
1 e γ<br />
2<br />
, sendo que
13.3 ENERGIA EM UM CAPACITOR<br />
Figura 13.4: Superfície <strong>de</strong> Gauss cilíndrica em cabos coaxiais<br />
O campo elétrico entre os fios que constituem o cabo coaxial é radial e tem sentido<br />
do fio <strong>de</strong> raio menor para o fio <strong>de</strong> raio maior. Então, po<strong>de</strong>mos aplicar a lei <strong>de</strong><br />
Gauss escolhendo uma superfície gaussiana cilíndrica, <strong>de</strong> raio r, concêntrica com o<br />
eixo dos fios. Assim, para esta superfície, temos:<br />
Q<br />
∫ E r<br />
• nˆ<br />
dA =<br />
ε<br />
Para o comprimento L do cabo coaxial, a superfície <strong>de</strong> Gauss tem uma área lateral<br />
que vale<br />
A = 2π r L . Então:<br />
Assim, o campo elétrico entre os fios é:<br />
A diferença <strong>de</strong> potencial entre os fios é:<br />
V −V<br />
= −<br />
a<br />
b<br />
a<br />
∫b<br />
r r<br />
E • dl =<br />
Q<br />
E (2π<br />
r L)<br />
=<br />
ε<br />
0<br />
Q<br />
E =<br />
2π<br />
ε 0<br />
L r<br />
0<br />
Q b dr Q<br />
∫ =<br />
2π ε L a<br />
0<br />
r 2π<br />
ε<br />
0<br />
⎛ b ⎞<br />
ln⎜<br />
⎟<br />
L ⎝ a ⎠<br />
Para calcular a quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong> energia armazenada em um capacitor, vamos utilizar<br />
um capacitor <strong>de</strong> placas planas e paralelas mas o raciocínio po<strong>de</strong> ser estendido a um<br />
capacitor qualquer, in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntemente da forma e dos condutores que o<br />
constituem.<br />
Consi<strong>de</strong>remos, então, um capacitor <strong>de</strong> placas planas e paralelas. Quando ele está<br />
sendo carregado, há um acúmulo <strong>de</strong> cargas elétricas <strong>de</strong> um dado sinal em uma das<br />
placas do capacitor, o que provoca a repulsão <strong>de</strong> cargas <strong>de</strong> mesmo sinal na outra<br />
placa do capacitor. Esse acúmulo faz com que, em um <strong>de</strong>terminado instante, cada<br />
placa contenha a mesma carga q (em módulo).<br />
Observe, no entanto que uma das placas conterá um excesso <strong>de</strong> cargas positivas e<br />
a outra placa um excesso <strong>de</strong> cargas negativas, estabelecendo assim um campo<br />
elétrico E v entre as placas do capacitor. A diferença <strong>de</strong> potencial entre as duas<br />
placas é, então, V = q / C , sendo C a capacitância do capacitor.<br />
Imagine, agora, que se queira acumular mais uma carga elementar positiva dq na<br />
placa positiva. A diferença <strong>de</strong> potencial entre as placas fica aumentada. Esse<br />
aumento é equivalente ao trabalho por unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> carga que seria necessário para<br />
transferir essa mesma carga elementar positiva dq da placa negativa para a placa<br />
positiva do capacitor. Preste bem atenção na palavra “equivalente”, pois<br />
durante o processo <strong>de</strong> carga do capacitor NÃO tem cargas atravessando <strong>de</strong><br />
um lado para outro. A razão é simples: se isso acontecesse, ele não<br />
acumularia cargas, função principal <strong>de</strong> um capacitor. Enfim, o trabalho por<br />
unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> carga é armazenado no capacitor sob a forma <strong>de</strong> energia potencial<br />
elétrica U , dada por:<br />
A capacitância é, então:<br />
Q<br />
C =<br />
V −V<br />
a<br />
b<br />
2π ε<br />
0<br />
L<br />
=<br />
⎛ b ⎞<br />
ln⎜<br />
⎟<br />
⎝ a ⎠<br />
dU = V dq =<br />
q<br />
dq<br />
C<br />
A energia potencial armazenada quando o capacitor é carregado até ter uma carga<br />
total Q é:<br />
ATIVIDADE 13.3<br />
Consi<strong>de</strong>re o capacitor <strong>de</strong> cabos coaxiais do Exemplo 13.3. O que acontece no limite<br />
quando, b >> a ?<br />
2<br />
1 q 1 Q<br />
U = dq<br />
2<br />
∫ =<br />
C 2 C<br />
Que também po<strong>de</strong> ser escrita em termos da diferença <strong>de</strong> potencial e da<br />
capacitância:<br />
216<br />
217
1<br />
U = CV<br />
2<br />
Em um capacitor <strong>de</strong> placas planas e paralelas, <strong>de</strong>sprezando a região das suas<br />
bordas, o campo elétrico é uniforme. Assim, a <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> <strong>de</strong> energia u <strong>de</strong>le, isto é<br />
a energia por unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> volume, também <strong>de</strong>verá ser uniforme. Então:<br />
u =<br />
U<br />
A d<br />
2<br />
1<br />
CV<br />
=<br />
2<br />
A d<br />
em que Ad é o volume contido entre as placas. Substituindo a capacitância C pela<br />
sua expressão:<br />
obtemos:<br />
C =<br />
ε 0<br />
d<br />
A<br />
2<br />
2<br />
ε<br />
0 ⎛V<br />
⎞<br />
u = ⎜ ⎟<br />
2 ⎝ d ⎠<br />
(13.2)<br />
⎛V<br />
⎞<br />
Mas ⎜ ⎟ é o campo elétrico no capacitor. Substituindo então, na equação acima,<br />
⎝ d ⎠<br />
obtemos:<br />
u ε2 E<br />
0 2<br />
= (13.3)<br />
Po<strong>de</strong>-se mostrar que esta fórmula é geral e vale para a energia armazenada em<br />
uma região on<strong>de</strong> existe um campo elétrico.<br />
ATIVIDADE 13.4<br />
Calcule a <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> <strong>de</strong> energia entre as placas <strong>de</strong> um capacitor submetidas a uma<br />
diferença <strong>de</strong> potencial <strong>de</strong> 500 V no ar. A distância entre as placas é igual a 3,00<br />
mm e a sua carga é <strong>de</strong> 9,30 µF.<br />
RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS<br />
ATIVIDADE 13.1<br />
0<br />
A<br />
a) A capacitância <strong>de</strong> um capacitor plano <strong>de</strong> placas paralelas é C = ε tal que:<br />
L<br />
E portanto:<br />
−4<br />
2<br />
15×<br />
10 m<br />
F / m<br />
5,1 × 10 m<br />
−12<br />
C = 8,85 × 10<br />
−3<br />
12<br />
C = 2,6 × 10<br />
− F = 2, 6 pF<br />
b) Através da <strong>de</strong>finição <strong>de</strong> capacitâcia po<strong>de</strong>mos obter facilmente a diferença <strong>de</strong><br />
potencial entre as placas <strong>de</strong>ste capacitor uma vez que é conhecida a carga Q e sua<br />
capacitância C :<br />
Q<br />
∆ V =<br />
C<br />
−9<br />
6,0×<br />
10 C<br />
∆ V =<br />
−12<br />
2,6×<br />
10 F / m<br />
3<br />
∆ V = 2 ,6×<br />
10 V<br />
c) O campo elétrico entre as placas é constante e seu módulo po<strong>de</strong> ser obtido por<br />
E =<br />
∆V<br />
d<br />
2,6×<br />
10<br />
5,1 × 10<br />
−3<br />
E =<br />
−3<br />
V<br />
m<br />
E = 5,1 N / C<br />
PENSE E RESPONDA<br />
PR13.1) Qual é a <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> <strong>de</strong> energia armazenada em um campo elétrico<br />
uniforme <strong>de</strong> 10 V/m.<br />
ATIVIDADE 13.2<br />
a) Utilizando a equação que obtemos para um capacitor esférico temos:<br />
4πε<br />
0Ra<br />
R<br />
C =<br />
R − R<br />
b<br />
a<br />
b<br />
.<br />
218<br />
219
C<br />
4π<br />
−12<br />
−3<br />
−3<br />
( 8,85 × 10 F / m)( 85×<br />
10 m)( 100×<br />
10 m) .<br />
=<br />
−3<br />
−3<br />
100×<br />
10<br />
m − 85×<br />
10<br />
C = 0, 63pF<br />
m<br />
Dessa forma<br />
C → 2πε L o<br />
b) De acordo com a Lei <strong>de</strong> Gauss a casca esférica externa não contribui para o<br />
campo elétrico entre os condutores; apenas a esfera condutora interna. O campo<br />
elétrico criado pelo condutor interno é radial, dado pela equação<br />
Q<br />
4πε 0<br />
r<br />
→<br />
E =<br />
2<br />
rˆ<br />
ATIVIDADE 13.4<br />
Como em um capacitor <strong>de</strong> placas planas e paralelas,<br />
V 500V<br />
= =<br />
−<br />
d 3,0 × 10 m<br />
E<br />
3<br />
6<br />
E = 1,7 × 10 V / m<br />
V = Ed<br />
Da <strong>de</strong>finição <strong>de</strong> capacitância temos:<br />
Q = C ∆V<br />
E, portanto, o valor do campo elétrico E a um ponto situado a uma distância r do<br />
centro é:<br />
C∆V<br />
E =<br />
4πε<br />
r<br />
0<br />
2<br />
Utilizando a equação 13.3,<br />
=<br />
u 0 2 ε2 E<br />
(8,85 × 10<br />
u =<br />
−12<br />
6<br />
F / m)(1,7<br />
× 10 V / m)<br />
2<br />
E portanto,<br />
3<br />
u = 0,12<br />
J / m<br />
.<br />
2<br />
Em r 1 = 86 mm:<br />
E em r 2 = 97 mm:<br />
E1<br />
=<br />
4 π<br />
E2<br />
=<br />
4 π<br />
−12<br />
( 0,63×<br />
10 F / m)( 220V<br />
)<br />
−12<br />
−3<br />
( 8,85 × 10 F / m)( 86×<br />
10 m) 2<br />
2<br />
E = 1,7 10 V / m<br />
1<br />
×<br />
−12<br />
( 0,63×<br />
10 F / m)( 220V<br />
)<br />
−12<br />
−3<br />
( 8,85 × 10 F / m)( 97×<br />
10 m) 2<br />
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO<br />
E13.1) Qual <strong>de</strong>ve ser a carga elétrica das placas <strong>de</strong> um capacitor <strong>de</strong> capacitância<br />
9,5 nF para que a diferença <strong>de</strong> potencial entre elas seja <strong>de</strong> 110 V?<br />
E13.2) Determine a capacitância, a diferença <strong>de</strong> potencial entre suas placas e o<br />
módulo do campo elétrico entre as placas <strong>de</strong> um capacitor com placas paralelas <strong>de</strong><br />
área igual a 50 mm 2 , com carga igual a 7,5 nC e distância entre as placas igual a<br />
1,5 m<br />
ATIVIDADE 13.3<br />
Observe que quando<br />
b >> a :<br />
2<br />
E = 1,3 10 V / m<br />
2<br />
×<br />
a<br />
⎛ a ⎞<br />
→ 0 e ln⎜<br />
⎟ →1<br />
b<br />
⎝ b ⎠<br />
E13.3) Determine:<br />
a) a capacitância por unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> comprimento <strong>de</strong> um capacitor cilíndrico em que o<br />
condutor interno tem raio 2,0 mm e o condutor externo 3,5 mm.<br />
b) a carga <strong>de</strong> cada condutor sabendo que o potencial do condutor externo está a<br />
um potencial 5,0 V mais elevado do que o potencial do condutor interno<br />
E13.4) Determine a razão entre os raios <strong>de</strong> um capacitor cilíndrico em que sua<br />
capacitância por unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> comprimento é igual a 70 pF/m.<br />
220<br />
221
AULA 14 ASSOCIAÇÃO DE CAPACITORES<br />
OBJETIVO<br />
CALCULAR A CAPACITÂNCIA EQUIVALENTE DE ASSOCIAÇÕES DE CAPACITORES<br />
Para calcular a capacitância equivalente a esses dois capacitores C<br />
1<br />
e C<br />
2<br />
,<br />
vamos primeiramente calcular a diferença <strong>de</strong> potencial entre as placas <strong>de</strong>les. Para o<br />
primeiro capacitor temos:<br />
∆ V = V y<br />
−V<br />
,<br />
1 x<br />
e para o segundo:<br />
∆ V = V z<br />
− V .<br />
2 y<br />
14.1 – ASSOCIAÇÃO EM SÉRIE DE CAPACITORES<br />
Em circuitos, representaremos os capacitores pelos símbolos:<br />
cujas linhas verticais representam os condutores ligados a fios <strong>de</strong> um circuito<br />
elétrico, representado pelas linhas horizontais.<br />
Na associação em série, uma das placas <strong>de</strong> um capacitor é conectada, por<br />
meio <strong>de</strong> fios condutores, a uma placa <strong>de</strong> um outro capacitor como ilustra a figura<br />
14.1.<br />
A diferença <strong>de</strong> potencial entre os pontos z e x é:<br />
∆ V<br />
= ∆V1 + ∆V2<br />
x<br />
= V z<br />
−V<br />
.<br />
Os capacitores estão submetidos a diferenças <strong>de</strong> potencial diferentes mas o<br />
capacitor equivalente <strong>de</strong>ve estar submetido à diferença <strong>de</strong> potencial<br />
∆ V . Como o<br />
capacitor equivalente <strong>de</strong>ve ter a mesma carga Q que os capacitores ligados em<br />
série, <strong>de</strong>vemos ter:<br />
Q<br />
Q Q<br />
∆ V = = ∆V1<br />
+ ∆V2<br />
= +<br />
C<br />
C C<br />
Assim, a capacitância equivalente obe<strong>de</strong>ce à equação:<br />
1<br />
2<br />
.<br />
1 1 1<br />
= + ,<br />
(14.2)<br />
C C 1<br />
C 2<br />
e é menor do que a capacitância dos capacitores individuais.<br />
Figura 14.1: Associação em série <strong>de</strong> capacitores.<br />
Se colocarmos uma carga elétrica negativa<br />
− Q na placa do capacitor C<br />
1<br />
,<br />
ligada pelo fio ao ponto x, aparecerá, por indução, uma carga igual e <strong>de</strong> sinal<br />
contrário<br />
+ Q na placa da direita do capacitor. Como esta placa está ligada por<br />
outro fio, à placa da esquerda do capacitor C<br />
2<br />
, também por indução aparecerá<br />
uma carga<br />
− Q nesta placa. Novamente por indução, surgirá uma carga + Q na<br />
EXEMPLO 14.1<br />
A figura 14.2 mostra uma associação <strong>de</strong> capacitores. Sabendo que a carga elétrica<br />
nos capacitores é Q = 50,0 µ C e que as capacitâncias dos capacitores são,<br />
respectivamente, C = 1<br />
5,0 µ F , C = 6,0 µ F<br />
2 e C 3,0 µ F<br />
3<br />
= , calcule a diferença <strong>de</strong><br />
potencial nos terminais <strong>de</strong> cada capacitor e a capacitância equivalente da<br />
associação.<br />
placa da direita do capacitor C<br />
2<br />
. Assim, as cargas nas placas dos capacitores<br />
serão iguais em módulo. É este o raciocínio simples que leva às expressões<br />
usualmente <strong>de</strong>duzidas nos cursos elementares. Raciocine sempre o mais que pu<strong>de</strong>r<br />
e tente não <strong>de</strong>corar essas expressões.<br />
222<br />
Figura 14.2: Associação <strong>de</strong> capacitores<br />
223
Solução:<br />
Temos que:<br />
Q2<br />
C2<br />
=<br />
∆<br />
V xz<br />
.<br />
A capacitância equivalente é:<br />
Q 50,0 µ C<br />
V1 = = = 10, 0 V<br />
C 5,0 µ F<br />
1<br />
Q 50,0 µ C<br />
V2 = = = 8, 3 V<br />
C 6,0 µ F<br />
2<br />
Q 50,0 µ C<br />
V31 = = = 16, 7 V<br />
C 3,0 µ F<br />
3<br />
1 1 1 1 1 1 1<br />
1<br />
−1<br />
= + + = + + = (0,20 + 0,17 + 0,33)( µ F)<br />
− = 0,70( µ F)<br />
C<br />
C<br />
1<br />
C<br />
2<br />
C<br />
3<br />
5,0 µ F<br />
6,0 µ F<br />
3,0 µ F<br />
ou: C = 1,4µ<br />
F<br />
14.2 – ASSOCIAÇÃO EM PARALELO DE CAPACITORES<br />
A carga total nas placas dos capacitores é a soma das cargas nos<br />
capacitores individuais:<br />
Q = Q , 1<br />
+ Q2 e essa é a carga do capacitor equivalente.<br />
ou seja,<br />
A capacitância equivalente é dada por:<br />
Q<br />
C =<br />
∆V<br />
xz<br />
C1∆Vxz<br />
+ C2∆V<br />
=<br />
∆V<br />
xz<br />
xz<br />
,<br />
C = C . 1<br />
+ C2 (14.3)<br />
Para capacitores ligados em paralelo, a capacitância do capacitor equivalente<br />
é sempre maior do que as capacitâncias individuais.<br />
Os capacitores em paralelo, estão ilustrados na figura 14.3. Você consegue<br />
pensar nesta caso o que vai ser comum aos dois capacitores? Note em seguida que<br />
esse é o ingrediente físico da <strong>de</strong>monstração da fórmula matemática. Não a <strong>de</strong>core!<br />
EXEMPLO 14.2<br />
Calcule a capacitância equivalente do circuito mostrado na figura 14.4, nas<br />
seguintes condições: a) A chave S está aberta; b) A chave S está fechada.<br />
Eles são ligados <strong>de</strong> maneira a estarem submetidos à mesma<br />
diferença <strong>de</strong> potencial.<br />
Figura 14.4: Associação <strong>de</strong> capacitores.<br />
SOLUÇÃO:<br />
Figura 14.3: Associação em paralelo <strong>de</strong> capacitores.<br />
Então, po<strong>de</strong>mos escrever que:<br />
e<br />
C<br />
1 =<br />
Q<br />
∆<br />
1<br />
V xz<br />
a) Nos exercícios envolvendo vários capacitores a primeira coisa a fazer é<br />
i<strong>de</strong>ntificar quais estão ligados em série e quais estão ligados em paralelo. No caso<br />
acima, com a chave S aberta, vemos imediatamente que C<br />
1<br />
e C<br />
4<br />
estão em série e<br />
C<br />
2<br />
e C<br />
3<br />
também estão em série. Os capacitores equivalentes a C<br />
1<br />
e C<br />
4<br />
e a C<br />
2<br />
e<br />
C<br />
3<br />
estarão em paralelo. Então, primeiro precisamos das capacitâncias equivalentes<br />
224<br />
225
dos capacitores em série:<br />
1 1 1<br />
C1C4<br />
= + → C1,4<br />
=<br />
C C C<br />
C + C<br />
1,4<br />
1<br />
4<br />
1<br />
4<br />
Após um pouco <strong>de</strong> álgebra simples obtemos:<br />
( C1<br />
+ C2)(<br />
C3<br />
+ C4)<br />
C =<br />
.<br />
( C + C + C + C )<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
e<br />
1 1 1<br />
C2C<br />
= + → C2,3<br />
=<br />
C C C<br />
C +<br />
3<br />
2,3 2 3<br />
2<br />
C3<br />
.<br />
Note que, outra vez, o limite <strong>de</strong> todos os capacitores iguais (e iguais a C′ ) nos<br />
fornece:<br />
C = C ′.<br />
Agora esses novos dois capacitores C<br />
1,4<br />
e C<br />
2,3<br />
<strong>de</strong>vem ser associados em paralelo.<br />
Portanto a capacitância final resultante é dada por:<br />
C = C<br />
1,4<br />
+ C2,3<br />
=<br />
C1C<br />
4<br />
C2C3<br />
+<br />
C + C C + C<br />
1<br />
Note que se todos os capacitores tiverem a mesma capacitância<br />
C = C = C = C = C′<br />
1 2 3 4<br />
, teremos:<br />
2 2<br />
C′<br />
C′<br />
C = + = C′<br />
.<br />
2C′<br />
2C′<br />
Fazer limites simples para testar a resposta a qual chegamos é sempre uma boa<br />
estratégia para achar erros <strong>de</strong> conta. Se houver algum erro <strong>de</strong> conta, em boa parte<br />
das vezes, ele po<strong>de</strong> ser <strong>de</strong>tectado fazendo-se um limite conhecido.<br />
b) O que muda quando fechamos a chave S ? A diferença <strong>de</strong> potencial entre C<br />
1<br />
e<br />
C<br />
2<br />
será a mesma, nessas condições, isto implica imediatamente que o conjunto<br />
estará em paralelo, assim como C<br />
3<br />
e C<br />
4<br />
. Os respectivos capacitores equivalentes<br />
estarão em série uma vez que a diferença <strong>de</strong> potencial entre eles <strong>de</strong>ve ser a soma<br />
das diferenças <strong>de</strong> potencial dos capacitores equivalentes.<br />
4<br />
2<br />
3<br />
ATIVIDADE 14.1<br />
A figura 14.5 mostra uma associação <strong>de</strong> capacitores. Sabendo que a diferença <strong>de</strong><br />
potencial nos terminais dos fios é 10,0 V e que as capacitâncias dos capacitores<br />
são, respectivamente, C = 1<br />
5,0 µ F , C = 6,0 µ F<br />
2 e C 3,0 µ F<br />
3<br />
= , calcule a carga em<br />
cada capacitor e a capacitância equivalente da associação.<br />
Figura 14.5: Associação em paralelo <strong>de</strong> capacitores<br />
EXEMPLO 14.3<br />
Calcule a capacitâcia equivalente dos capacitores em série da figura 14.6, em que<br />
a seção interna tem comprimento b, po<strong>de</strong>ndo se movimentar verticalmente.<br />
Mostre que a capacitância equivalente não <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> da posição da seção central.<br />
C<br />
3<br />
e C<br />
4<br />
:<br />
Calculemos então, primeiro a capacitância equivalente entre C<br />
1<br />
e C<br />
2<br />
e entre<br />
C +<br />
= C C<br />
1,2 1 2<br />
e: C C + .<br />
3, .4<br />
=<br />
3<br />
C4<br />
e pelo raciocínio acima:<br />
Figura 14.6: Capacitores em série<br />
1 1 1 1 1<br />
= + = +<br />
C C C C + C C + C<br />
1,2<br />
3,4<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
SOLUÇÃO: Temos dois capacitores em série; o primeiro consiste na placas<br />
superiores e o segundo, nas inferiores. Temos, então,que:<br />
226<br />
227
1 1 1<br />
= +<br />
C C C<br />
1 2<br />
Se h é a separação das placas superiores, a capacitância do capacitor superior é:<br />
E a do capacitor inferior é:<br />
Então:<br />
Finalmente:<br />
1<br />
=<br />
ε<br />
0<br />
A<br />
C1<br />
=<br />
h<br />
ε<br />
0<br />
A<br />
C2<br />
=<br />
a − ( b + h)<br />
h<br />
ε A<br />
a − b − h a − b<br />
+ =<br />
ε A ε A<br />
C<br />
0<br />
0<br />
0<br />
C<br />
ε A<br />
a − b<br />
= 0<br />
Esta equação mostra que a capacitância não <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> da posição da seção móvel<br />
central; ela <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> apenas da dimensão linear (b) <strong>de</strong>sta seção e da separação<br />
(a) entre as placas fixas.<br />
pontos x e z é<br />
V xz<br />
= 50V<br />
.<br />
a) Determine a capacitância equivalente <strong>de</strong>ssa combinação.<br />
b) Calcule o módulo da carga em cada capacitor.<br />
c) Determine a diferença <strong>de</strong> potencial entre os pontos x e y .<br />
Figura 14.8 associação <strong>de</strong> três capacitores<br />
ATIVIDADE 14.2<br />
Quatro capacitores <strong>de</strong> capacitâncias<br />
C = 1<br />
5,0 µ F<br />
,<br />
C = 2<br />
5,0 µF , C = 3,2 µ F<br />
3 e<br />
C = 3,2 µF estão em um circuito conforme mostra a figura 14.7. A diferença <strong>de</strong><br />
4<br />
potencial entre os pontos x e z é V xz<br />
= 50V<br />
. Determine a capacitância<br />
equivalente <strong>de</strong>ssa combinação.<br />
Figura 14.7 associação <strong>de</strong> quatro capacitores<br />
ATIVIDADE 14.3<br />
Três capacitores <strong>de</strong> capacitâncias C = 1<br />
5,0 µ F<br />
,<br />
C = 2<br />
5,0 µF e 3,2 F<br />
3<br />
C = µ estão em<br />
um circuito conforme mostra a figura 14.8. A diferença <strong>de</strong> potencial entre os<br />
228<br />
229
RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS<br />
ATIVIDADE 14.1<br />
Como os capacitores estão em paralelo, a capacitância equivalente é:<br />
C = C + C + C = 5,0 µ F + 56,0 µ F + 3,0 µ F 14, 0µ<br />
F<br />
1 2 3<br />
=<br />
A carga em cada capacitor é:<br />
Q<br />
1<br />
= C1V<br />
= 5,0µ F × 10,0V<br />
= 50, 0 µ C<br />
Q<br />
2<br />
= C2<br />
V = 6,0µ F × 10,0V<br />
= 60, 0µ<br />
C<br />
Q<br />
3<br />
= C3V<br />
= 3,0µ F × 10,0V<br />
= 30, 0µ<br />
C<br />
ATIVIDADE 14.2<br />
Os capacitores C<br />
1 e C2<br />
estão em série entre si e em paralelo com o capacitor C<br />
3 .<br />
Então a capacitância equivalente <strong>de</strong>sses três capacitores é:<br />
C eq<br />
= C 1<br />
+ C<br />
,2<br />
3<br />
a) Os capacitores C<br />
1<br />
e C2<br />
estão em paralelo entre si e em série com o capacitor C3<br />
. Então a capacitância equivalente <strong>de</strong>ssa combinação é:<br />
1<br />
=<br />
(15 × 10<br />
C eq<br />
1 1 1<br />
= +<br />
C eq<br />
C + C C<br />
1<br />
1<br />
F + 5,0 × 10<br />
2<br />
F)<br />
+<br />
− 6<br />
−6<br />
C eq<br />
= 2,8 x10<br />
.<br />
− 6 F<br />
3<br />
1<br />
(3,2 x10<br />
b) Sabemos que em uma associação em paralelo, a carga total nas placas<br />
dos capacitores é a soma das cargas nos capacitores individuais e que em<br />
uma combinação em série as cargas, em módulo, em todas as placas <strong>de</strong>ve<br />
ser a mesma.<br />
Então a carga no capacitor C<br />
3 é a mesma que a da associação C<br />
12<br />
. E pela <strong>de</strong>finição<br />
<strong>de</strong> capacitância temos:<br />
−6<br />
F)<br />
Mas,<br />
Então:<br />
C<br />
C C<br />
1 2<br />
1,2<br />
= ,<br />
C1<br />
+ C2<br />
Q =<br />
2<br />
+ Q1<br />
Q3<br />
Q3 = CeqV<br />
ou Q 2<br />
+ Q 1<br />
= CeqV<br />
−6<br />
( 2,8 × 10 F )( V )<br />
Q =<br />
50<br />
3<br />
Observe que<br />
C C<br />
C + C<br />
1 2<br />
C eq<br />
= +<br />
1<br />
2<br />
C<br />
C<br />
eq<br />
está em série com C<br />
4<br />
. Então a capacitância equivalente do<br />
circuito formado pelos quatro capacitores,<br />
3<br />
*<br />
C<br />
eq<br />
será igual a:<br />
Q3 = 1,4 × 10<br />
Observe que os capacitores C<br />
1<br />
e C<br />
2<br />
estão no mesmo potencial, então:<br />
−4<br />
C<br />
1<br />
1<br />
C<br />
Q<br />
C<br />
2<br />
2<br />
Q =<br />
1<br />
C<br />
* eqC4<br />
Ceq<br />
=<br />
C + C<br />
eq<br />
4<br />
C<br />
Q =<br />
C<br />
2<br />
2<br />
Q<br />
1<br />
C C<br />
C + C C<br />
1 2<br />
4 3 4<br />
* C1<br />
+ C2<br />
C eq<br />
=<br />
C1C<br />
2<br />
+ C3<br />
+ C4<br />
C1<br />
+ C2<br />
*<br />
C eq<br />
= 2,1 µ F<br />
Então:<br />
5 Q<br />
2 = Q<br />
1<br />
15<br />
4 Q<br />
1 = Q<br />
3<br />
3<br />
ATIVIDADE 14.3<br />
4<br />
( 2,8 × C)<br />
4 −<br />
Q1 = 10<br />
3<br />
230<br />
231
Q1 = 3,7 × 10<br />
−4<br />
C<br />
E portanto,<br />
−4<br />
Q2 = 1,3 × 10 C .<br />
c) Sabemos que<br />
V<br />
= V<br />
+ V<br />
=<br />
xz xy yz<br />
50<br />
Sabemos também da <strong>de</strong>finição <strong>de</strong> capacitância que:<br />
Logo,<br />
Q<br />
C<br />
3<br />
V yz<br />
= e<br />
3<br />
Q<br />
C<br />
1<br />
V<br />
1<br />
V xy<br />
= =<br />
3,7 × 10<br />
15×<br />
10<br />
− 4<br />
V = xy − 6<br />
V xy<br />
= 25V<br />
C<br />
F<br />
Q<br />
C<br />
2<br />
2<br />
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO<br />
E14.1) Consi<strong>de</strong>re a Ativida<strong>de</strong> 14.2 em que quatro capacitores são colocados em um<br />
circuito, como ilustra a figura 15.7, <strong>de</strong> capacitâncias<br />
C = 3<br />
3,2µF<br />
e C = 3,2µ<br />
F<br />
4 .<br />
a) Calcule o módulo da carga em cada capacitor.<br />
b) Determine a diferença <strong>de</strong> potencial entre os pontos x e y .<br />
C = 1<br />
5,0µ<br />
F , C = 5,0µ<br />
F<br />
2 e<br />
E14.2) Dois capacitores com placas paralelas no vácuo possuem a mesma área e as<br />
distâncias <strong>de</strong> cada uma das placas é d<br />
1<br />
e d<br />
2<br />
. Determine a capacitância equivalente<br />
do circuito quando esses capacitores estão em série.<br />
E14.3) Calcule a capacitância <strong>de</strong> um capacitor <strong>de</strong> placas planas e paralelas com<br />
área A e a distância entre as placas é d<br />
1<br />
+ d<br />
2<br />
. Compare o resultado com o exercício<br />
anterior.<br />
E14.4) Dois capacitores com placas paralela no vácuo possuem áreas A<br />
1<br />
e A<br />
2<br />
e a<br />
distância entre as placas é d . Determine a capacitância equivalente do circuito<br />
quando esses capacitores estão em paralelo.<br />
E14.5) Calcule a capacitância <strong>de</strong> um capacitor <strong>de</strong> placas planas e paralelas <strong>de</strong> área<br />
A<br />
1<br />
+ A 2<br />
e distância entre as placas igual a d . Compare o resultado com o exercício<br />
anterior.<br />
232
AULA 15 CAPACITORES COM DIELÉTRICOS<br />
OBJETIVOS<br />
DETERMINAR A INFLUÊNCIA DE DIELÉTRICOS EM CAPACITORES<br />
Po<strong>de</strong>mos calcular<br />
V<br />
d<br />
da seguinte maneira:<br />
C<br />
d<br />
Q<br />
C<br />
d<br />
= .<br />
(15.3)<br />
V<br />
=<br />
Q<br />
V<br />
d<br />
=<br />
d<br />
Q V0<br />
V V<br />
0 d<br />
,<br />
15.1 INFLUÊNCIA DO DIELÉTRICO<br />
A capacitância <strong>de</strong> um capacitor po<strong>de</strong> ser aumentada se preenchermos a região<br />
entre as placas com um dielétrico. As placas condutoras po<strong>de</strong>m ser fixadas no<br />
dielétrico. O campo elétrico entre as placas com o dielétrico é dado por:<br />
E =<br />
Q<br />
εA<br />
on<strong>de</strong> ε é a permissivida<strong>de</strong> do material do dielétrico. Como ε > ε<br />
0<br />
para os materiais<br />
usualmente utilizados, o campo elétrico diminui. Isso provoca automaticamente<br />
uma diminuição na diferença <strong>de</strong> potencial entre as placas e, assim, um aumento na<br />
capacitância. Por exemplo, a capacitância <strong>de</strong> um capacitor <strong>de</strong> placas planoparalelas<br />
no vácuo, como vimos, é dada por:<br />
C<br />
ε A<br />
.<br />
L<br />
= 0<br />
0<br />
Nessas condições, suponhamos que este capacitor seja <strong>de</strong>sconectado dos fios<br />
externos e seja mantido isolado. Agora tomemos um dielétrico <strong>de</strong> permissivida<strong>de</strong> ε<br />
e o coloquemos em seu interior, preenchendo todo o seu volume. A capacitância vai<br />
mudar para:<br />
C d<br />
E a razão entre as duas capacitâncias é:<br />
C d<br />
C<br />
0<br />
εA = . L<br />
=<br />
ε<br />
= K,<br />
ε<br />
on<strong>de</strong> K é chamado constante dielétrica. A nova capacitância<br />
escrita como:<br />
0<br />
(15.1)<br />
(15.2)<br />
C<br />
d<br />
, po<strong>de</strong> ainda ser<br />
on<strong>de</strong> V<br />
0<br />
é a diferença <strong>de</strong> potencial do capacitor sem dielétrico, cuja capacitância é<br />
Q<br />
C<br />
0<br />
. Mas sabemos que = C0<br />
. Então, temos:<br />
V0<br />
Usando agora a equação (15.2), temos que:<br />
ou:<br />
V0<br />
C<br />
d<br />
= C0<br />
.<br />
(15.4)<br />
V<br />
KC<br />
0 =<br />
C<br />
d<br />
V<br />
0<br />
0<br />
V d<br />
V0<br />
= K<br />
V<br />
d<br />
(15.5)<br />
Isto é, a diferença <strong>de</strong> potencial diminui pelo mesmo fator K quando preenchemos<br />
o capacitor com um dielétrico. Toda essa discussão que fizemos é válida porque o<br />
capacitor está isolado do meio externo e as cargas estão fixas nas placas.<br />
Mas o que aconteceria se fixássemos o potencial ao invés das cargas? As<br />
capacitâncias C<br />
0<br />
e<br />
C<br />
d<br />
são as mesmas que antes, pois como vimos, só <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>m<br />
<strong>de</strong> fatores geométricos e da permissivida<strong>de</strong> do meio ε<br />
0<br />
e ε . Portanto continua<br />
sendo verda<strong>de</strong> que a capacitância, na presença do dielétrico, vai aumentar da<br />
mesma forma. Agora, dado que o potencial é fixo, po<strong>de</strong>mos nos perguntar o que<br />
acontece com as cargas. Para <strong>de</strong>scobrir isto escrevemos:<br />
e<br />
C<br />
d<br />
Q<br />
C<br />
0<br />
=<br />
V<br />
Qd<br />
Qd<br />
Q Qd<br />
= = = C0.<br />
V Q V Q<br />
Portanto, uma vez que C d<br />
= KC<br />
0<br />
, teremos:<br />
233<br />
234
Q d = K,<br />
Q<br />
(15.6)<br />
ou seja, a carga acumulada no capacitor também vai aumentar por um fator igual à<br />
constante dielétrica.<br />
A Tabela 15.1 mostra a constante dielétrica <strong>de</strong> alguns materiais. Observe<br />
que por <strong>de</strong>finição K ≥1.<br />
Tabela 15.1: Constante dielétrica <strong>de</strong> alguns materiais<br />
MATERIAL<br />
CONSTANTE<br />
DIELÉTRICA<br />
MATERIAL<br />
CONSTANTE<br />
DIELÉTRICA<br />
Vácuo 1,00000 Vidro Pyrex 4,5<br />
Ar 1,00054 Bakelite 4,8<br />
Teflon 2,1 Mica 5,4<br />
Polietileno 2,3 Porcelana 6,5<br />
Poliestireno 2,6 Neoprene 6,9<br />
Papel 3,5 Água 78<br />
Quartzo Fundido 3,8 Óxido <strong>de</strong> Titânio 100<br />
figura, que o campo elétrico é:<br />
E<br />
1<br />
=<br />
Q<br />
ε A<br />
Em que o campo elétrico E<br />
2<br />
regiões on<strong>de</strong> há vácuo.<br />
0<br />
E<br />
2<br />
Q<br />
= −<br />
ε A<br />
E<br />
3<br />
=<br />
Q<br />
ε A<br />
no dielétrico tem sentido oposto dos campos nas<br />
A diferença <strong>de</strong> potencial entre as placas do capacitor po<strong>de</strong> ser escrita em termos<br />
das diferenças <strong>de</strong> potencial <strong>de</strong>vidas aos campos elétricos <strong>de</strong>ntro do capacitor:<br />
Q ⎛ D ⎞<br />
V = V1 + V2<br />
+ V3<br />
= E1<br />
d1<br />
− E2<br />
D + E3<br />
d<br />
2<br />
= ⎜d1<br />
− + d<br />
2 ⎟<br />
ε A ⎝ K ⎠<br />
Mas d 1<br />
+ d 2<br />
= L − D , o que dá:<br />
Q ⎛ D ⎞ Q ⎛ K + 1 ⎞<br />
V = ⎜ L − D − ⎟ = ⎜ L − D⎟<br />
ε 0<br />
A ⎝ K ⎠ ε 0<br />
A ⎝ K ⎠<br />
0<br />
0<br />
A capacitância é, então:<br />
EXEMPLO 15.1<br />
Consi<strong>de</strong>re o capacitor semipreenchido por um dielétrico mostrado na figura 15.1.<br />
C =<br />
Q<br />
V<br />
ε 0<br />
A<br />
=<br />
⎛ K + 1 ⎞<br />
⎜ L − D⎟<br />
⎝ K ⎠<br />
ATIVIDADE 15.1<br />
Consi<strong>de</strong>re o capacitor semipreenchido por dois dielétricos como é mostrado na<br />
figura 15.2.<br />
Figura 15.1: Capacitor semipreenchido por dielétrico.<br />
A área do capacitor plano é A , a distância entre as placas é L = d1<br />
+ D + d<br />
2 e a<br />
espessura do dielétrico é D . O resto do volume do capacitor é ocupado pelo ar.<br />
Qual é a capacitância <strong>de</strong>sse capacitor?<br />
Solução: Consi<strong>de</strong>rando que as cargas das placas induzem uma mesma<br />
quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong> carga, mas <strong>de</strong> sinal oposto, no dielétrico, temos, nas três regiões da<br />
Figura 15.2: Capacitor semipreenchido por dielétricos.<br />
A área do capacitor plano é A , a distância entre as placas é L = d1<br />
+ D + d<br />
2 e as<br />
235<br />
236
espessuras dos dielétricos, <strong>de</strong> permissivida<strong>de</strong>s ε = 1<br />
K1ε<br />
o e ε = 2<br />
K2ε<br />
o , são d<br />
1<br />
e d<br />
2<br />
respectivamente. O resto do volume do capacitor é ocupado pelo ar. Qual é a<br />
capacitância <strong>de</strong>sse capacitor?<br />
EXEMPLO 15.2<br />
Então:<br />
1 1 1<br />
= + =<br />
C C C'<br />
d<br />
A<br />
2 d 1 d ⎛ 2 1 ⎞ d ε1<br />
+ ε<br />
2<br />
+ 2ε<br />
3<br />
+ =<br />
( ε<br />
1<br />
ε<br />
2<br />
) ε<br />
⎜ + =<br />
3<br />
( ε<br />
1<br />
ε<br />
2<br />
) ε<br />
⎟<br />
+ A A ⎝ +<br />
3 ⎠ A ε<br />
3<br />
( ε1<br />
+<br />
2<br />
)<br />
3<br />
ε<br />
ε<br />
3<br />
( ε1<br />
+ ε<br />
2<br />
)<br />
C =<br />
ε + ε + 2ε<br />
1<br />
2<br />
3<br />
A<br />
d<br />
Na Figura 15.3, a área das placas correspon<strong>de</strong>ntes ao dielétrico ε<br />
3<br />
é A e a área da<br />
placa correspon<strong>de</strong>nte aos dielétricos ε<br />
1 e 2<br />
equivalente do conjunto apresentado.<br />
ε é / 2<br />
A cada. Calcule a capacitância<br />
ATIVIDADE 15.2<br />
Consi<strong>de</strong>re o capacitor mostrado na figura 15.3. Partindo da expressão geral para a<br />
capacitância, discuta os seguintes limites:<br />
(a) ε1 → ε<br />
2 .<br />
(b) ε ε = ε = ε<br />
1<br />
=<br />
2 3<br />
Figura 15.3: Capacitor com dielétricos.<br />
Solução: O arranjo po<strong>de</strong> ser consi<strong>de</strong>rado como um sistema <strong>de</strong> um capacitores<br />
ligados em série e paralelo, como mostra a figura 15.4:<br />
ATIVIDADE 15.3<br />
A figura 15.5 mostra três dielétricos montados em um capacitor cuja área das<br />
placas é A sendo elas separadas pela distância d. Calcule a capacitância<br />
equivalente do sistema.<br />
Figura 15.5: Capacitor com dielétrico<br />
Figura 15.4: Associação dos acapacitores da Figura 15.3<br />
A capacitância equivalente do sistema é calculada, primeramente calculando a<br />
capacitância equivalente dos capacitores C<br />
1<br />
e C<br />
2<br />
, que estão ligados em paralelo:<br />
ε1<br />
A ε<br />
2<br />
A<br />
C = C + C2<br />
= + = ( ε1<br />
+<br />
2d<br />
2d<br />
' 1<br />
ε<br />
2<br />
A<br />
)<br />
2d<br />
Em seguida, calcula-se a capacida<strong>de</strong> equivalente dos capacitores ligados em série,<br />
isto é, o capacitor C<br />
3 e o capacitor equivalente C ' :<br />
237<br />
15.2 RIGIDEZ DIELÉTRICA<br />
Já vimos anteriormente a diferença entre um dielétrico e um condutor. Nos<br />
dielétricos (ou isolantes) os elétrons estão presos aos núcleos dos átomos e<br />
portanto, ao contrário dos metais, não existem elétrons livres nessa substância.<br />
Dado isto, sabemos que se um campo elétrico for aplicado a um dielétrico,<br />
vai haver uma tendência <strong>de</strong> afastar os elétrons <strong>de</strong> seus núcleos <strong>de</strong>vido à força<br />
externa. Mas o que acontece se aumentarmos muito o campo elétrico externo? É<br />
238
claro que a força que age em cada elétron vai aumentando também,<br />
proporcionalmente. Isto po<strong>de</strong> chegar ao ponto em que a força externa fica maior do<br />
que a força que liga o elétron ao seu núcleo. Quando isto acontece, os elétrons<br />
passarão a ser livres – transformando, então, um dielétrico em um condutor!<br />
Esse processo po<strong>de</strong> ocorrer com qualquer isolante e o campo elétrico aplicado que<br />
o transforma em condutor vai <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>r da estrutura <strong>de</strong> cada material.<br />
O valor mínimo do campo elétrico que <strong>de</strong>ve ser aplicado a um<br />
dielétrico para transformá-lo em condutor é <strong>de</strong>nominado rigi<strong>de</strong>z dielétrica.<br />
Cada material tem seu valor próprio <strong>de</strong> rigi<strong>de</strong>z dielétrica, dadas as diferentes<br />
estruturas microscópicas <strong>de</strong> cada um.<br />
Verifica-se experimentalmente que a rigi<strong>de</strong>z dielétrica do vidro é<br />
6<br />
14× 10 N/C (unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> campo elétrico!) enquanto a da mica po<strong>de</strong> atingir<br />
6<br />
6<br />
100× 10 N/C . A rigi<strong>de</strong>z dielétrica do ar é bem menor, 3× 10 N/ C .<br />
Consi<strong>de</strong>remos um capacitor <strong>de</strong> placas planas, separadas por uma camada<br />
6<br />
<strong>de</strong> ar. Se o campo elétrico criado por essas placas for inferior a 3× 10 N/ C , o ar<br />
entre elas permancerá isolante e impedirá que haja passagem <strong>de</strong> cargas <strong>de</strong> uma<br />
placa à outra. Entretanto, se o campo exce<strong>de</strong>r esse valor, a rigi<strong>de</strong>z dielétrica do ar<br />
será rompida e o ar se transformará em um condutor.<br />
A introdução <strong>de</strong> um dielétrico entre as placas <strong>de</strong> um capacitor produz uma variação<br />
importante em suas proprieda<strong>de</strong>s. Vamos agora verificar como po<strong>de</strong>mos escrever a<br />
lei <strong>de</strong> Gauss para o caso <strong>de</strong> um meio com dielétrico. Para fixar i<strong>de</strong>ias, escolheremos<br />
um capacitor <strong>de</strong> placas planas e paralelas como exemplo <strong>de</strong> cálculo, mas os<br />
resultados que obteremos serão válidos para qualquer outra situação.<br />
Quando não há dielétrico presente entre as placas do capacitor, a lei <strong>de</strong> Gauss se<br />
escreve:<br />
∫ E<br />
r<br />
• nˆ<br />
dA =<br />
S<br />
Para um capacitor <strong>de</strong> placas plano-paralelas <strong>de</strong> área A, com ar ou vácuo entre elas,<br />
o campo elétrico é:<br />
q<br />
E = 0<br />
ε A<br />
Se introduzirmos o dielétrico, o campo elétrico das cargas no capacitor induzirá<br />
cargas no dielétrico por polarização; as faces do dielétrico apresentarão cargas<br />
elétricas q′ <strong>de</strong> sinais opostos às das placas do capacitor, como po<strong>de</strong>mos ver na<br />
Figura 15.6:<br />
0<br />
q<br />
ε<br />
0<br />
As cargas, neste momento, ficarão livres e serão atraídas para as placas<br />
com cargas opostas a elas. Isso ocasiona uma <strong>de</strong>scarga elétrica entre as placas.<br />
Esta <strong>de</strong>scarga vem acompanhada <strong>de</strong> emissão <strong>de</strong> luz e um estalo que é causado<br />
pela expansão do ar que se aquece com a <strong>de</strong>scarga elétrica.<br />
É interessante notar também que o módulo da rigi<strong>de</strong>z dielétrica dos<br />
materiais utilizados é maior do que o do ar, o que tem como consequência imediata<br />
que esse tipo <strong>de</strong> capacitor po<strong>de</strong> ser submetido a campos mais intensos do que o ar.<br />
Quando a rigi<strong>de</strong>z dielétrica do material é atingida, o capacitor é danificado pois,<br />
como discutimos, ocorrerão <strong>de</strong>scargas elétricas <strong>de</strong> um condutor a outro. Portanto,<br />
colocar um dielétrico <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> um capacitor torna-o mais estável. Po<strong>de</strong>mos tornar<br />
essas idéias mais quantitativas.<br />
15.3 A LEI DE GAUSS E OS DIELÉTRICOS<br />
Figura 15.6: Capacitor com dielétrico<br />
Consi<strong>de</strong>rando uma superfície <strong>de</strong> Gauss como mostrado na figura, pelas linhas<br />
tracejadas, a aplicação da lei <strong>de</strong> Gauss nos dá:<br />
ou:<br />
r<br />
ε ∫ E • nˆ<br />
dA E A = q − q′<br />
0<br />
= ε<br />
0<br />
S<br />
E =<br />
q<br />
ε A<br />
0<br />
q′<br />
− (15.7)<br />
ε A<br />
0<br />
Em que E é o campo elétrico <strong>de</strong>vido à carga líquida <strong>de</strong>ntro da superfície <strong>de</strong> Gauss.<br />
Se K é a constante dielétrica do dielétrico, temos, <strong>de</strong> K = ε ε<br />
0<br />
, que:<br />
239<br />
240
E0<br />
E = =<br />
K<br />
q<br />
K<br />
Levando este valor do campo elétrico na equação (15.7), obtemos:<br />
q<br />
=<br />
Kε<br />
A<br />
q<br />
ε A<br />
ε o<br />
A<br />
q′<br />
−<br />
ε A<br />
o 0 0<br />
EXEMPLO 15.3<br />
A Figura 15.6 mostra um capacitor <strong>de</strong> placas plano-paralelas <strong>de</strong> área A e separação<br />
d, sujeito a uma diferença <strong>de</strong> potencial V<br />
0<br />
. O capacitor está isolado quando um<br />
dielétrico <strong>de</strong> espessura b e constante dielétrica K é inserido entre as placas do<br />
capacitor. Se A=100 cm 2 , d=1,0 cm, b=0,50 cm, K = 3, 5 e V<br />
0<br />
= 200 V, calcule:<br />
que, resolvida para a carga induzida nos dá:<br />
⎛ 1 ⎞<br />
q ′ = q ⎜1 − ⎟<br />
(15.8)<br />
⎝ K ⎠<br />
Isso mostra que a carga induzida no dielétrico é sempre menor que a das placas do<br />
capacitor quando o dielétrico não está presente.<br />
A lei <strong>de</strong> Gauss para o capacitor com dielétrico po<strong>de</strong> ser escrita, em termos das<br />
cargas do capacitor e das cargas induzidas como:<br />
Note que q − q′<br />
é a carga <strong>de</strong>ntro da superfície gaussiana.<br />
q − q′<br />
∫ E<br />
r • nˆ<br />
dA =<br />
(15.9)<br />
ε<br />
Uma outra maneira <strong>de</strong> escrever esta equação, <strong>de</strong>ssa vez em termos das cargas nas<br />
placas do capacitor é usando (15.8). Desta equação vem:<br />
e a equação (15.9) fica:<br />
q − q′<br />
=<br />
q<br />
K<br />
r q<br />
K E • nˆ<br />
dA =<br />
ε<br />
∫<br />
0<br />
0<br />
(15.10)<br />
Esta relação, embora <strong>de</strong>duzida com o auxílio <strong>de</strong> um capacitor <strong>de</strong> placas planas e<br />
paralelas, vale para qualquer caso em que o meio é um dielétrico. É importante<br />
notar que:<br />
a) o fluxo do campo elétrico agora contém a constante dielétrica;<br />
b) a carga que aparece no segundo membro é a carga livre do capacitor,<br />
isto é a carga nas suas placas (as cargas induzidas no dielétrico não<br />
entram na equação);<br />
c) o campo elétrico é o campo <strong>de</strong>ntro do dielétrico.<br />
Figura 15.6: Cargas no capacitor com dielétrico<br />
a) a capacitância do capacitor antes do dielétrico ser inserido;<br />
b) a carga no capacitor nesta situação;<br />
c) o campo elétrico sem o dielétrico;<br />
d) o campo elétrico no dielétrico após ele ser inserido entre as placas;<br />
e) a nova diferença <strong>de</strong> potencial entre as placas;<br />
f) a nova capacitância do capacitor.<br />
Solução:<br />
a) Temos que:<br />
b) a carga no capacitor é:<br />
c) o campo elétrico é:<br />
−12<br />
2 2 −2<br />
2<br />
ε<br />
0<br />
A (8,9 × 10 C / N.<br />
m )(10 m )<br />
C0 = =<br />
= 8,9 × 10<br />
−2<br />
d<br />
10 m<br />
−12<br />
q = C0 V0<br />
= 8,9 × 10 F × 200V<br />
= 1,8 × 10<br />
−9<br />
C<br />
−12<br />
−9<br />
q<br />
1,8<br />
× 10 C<br />
4<br />
E = =<br />
= 2,0 10 V / m<br />
0 12 2 2 2 2<br />
A (8,9 × 10 C / N.<br />
m )(10 m )<br />
×<br />
−<br />
−<br />
ε<br />
0<br />
d) o campo elétrico com o dielétrico é:<br />
4<br />
E0<br />
2,0 × 10 V / m<br />
3<br />
E = =<br />
= 5,7 × 10 V / m<br />
K 3,5<br />
F<br />
241<br />
242
e) Para calcular a diferença <strong>de</strong> potencial temos que fazer a integração do campo<br />
sobre uma trajetória em linha reta que da placa inferior (A) do dielétrico até a<br />
superior (B) na figura.<br />
Então:<br />
V<br />
r r B<br />
B<br />
−∫ E • dl = −∫<br />
E cos180º dl = ∫ E dl = E ( d −b)<br />
+ E b<br />
=<br />
0<br />
A<br />
A<br />
4<br />
−3<br />
3<br />
−3<br />
2<br />
V = (2,0 × 10 V / m × 5,0 × 10 m)<br />
+ (5,7 × 10 V / m × 5,0 × 10 m)<br />
= 1,3 × 10 V / m<br />
f) Temos:<br />
C =<br />
q<br />
V<br />
× C<br />
=<br />
= 1,4 × 10<br />
1,3 × 10 V<br />
−9<br />
1,8<br />
10<br />
−12<br />
2<br />
F<br />
RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS<br />
ATIVIDADE 15.1<br />
Po<strong>de</strong>mos pensar no capacitor resultante como sendo composto por uma<br />
associação em série <strong>de</strong> três capacitores. O primeiro que envolve a distância d<br />
1 e<br />
tem o dielétrico entre as placas com capacitância:<br />
= εA<br />
C1 d<br />
O segundo, formado pelo dielétrico com ar entre as placas:<br />
1<br />
ATIVIDADE 15.4<br />
Consi<strong>de</strong>re um capacitor esférico carregado com carga q preenchido totalmente<br />
com um líquido isolante <strong>de</strong> constante dielétrica K . O condutor interno possui raio<br />
R<br />
a e o condutor externo, raio<br />
R<br />
b . Calcule a capacitância <strong>de</strong>sse capacitor esférico.<br />
C<br />
2<br />
ε o<br />
A<br />
=<br />
D<br />
E o terceiro correspon<strong>de</strong>nte a um capacitor com dielétrico entre as placas, cuja<br />
distância é d<br />
2 :<br />
= εA<br />
C3 d<br />
2<br />
A capacitância resultante é:<br />
1 1 1 1 d1<br />
+ d<br />
2<br />
= + + =<br />
C C C C εA<br />
D<br />
+ .<br />
ε<br />
1 2 3<br />
o<br />
A<br />
Po<strong>de</strong>mos ainda introduzir a distância L = d1<br />
+ D + d2<br />
da seguinte forma:<br />
E, portanto:<br />
1 L − D D<br />
= +<br />
C εA<br />
ε A<br />
1 ε<br />
o(<br />
L − D)<br />
+ εD<br />
=<br />
.<br />
C ε ε<br />
0<br />
A<br />
ε<br />
0εA<br />
C =<br />
ε o<br />
( L − D)<br />
+ εD<br />
εA<br />
C =<br />
( L − D) + KD<br />
o<br />
243<br />
244
on<strong>de</strong> usamos<br />
ε<br />
ε 0<br />
= K<br />
.<br />
Um aspecto interessante da expressão acima é que apren<strong>de</strong>mos que a<br />
capacitância resultante NÃO DEPENDE da posição do dielétrico entre as placas<br />
( d e 2)<br />
1<br />
d<br />
, mas apenas da sua espessura.<br />
Po<strong>de</strong>mos avaliar o resultado final obtido acima, testando o caso em que o<br />
capacitor está preenchido completamente com ar. Nesse caso tomamos o limite<br />
quando<br />
D → L . Então, como se esperava:<br />
A A<br />
→<br />
ε = ε<br />
KL L<br />
C<br />
0<br />
Po<strong>de</strong>mos também testar o caso em que o capacitor está completamente<br />
preenchido pelo dielétrico, isto é, D → 0 . Então, como se esperava:<br />
ATIVIDADE 15.3<br />
Po<strong>de</strong>mos pensar no capacitor resultante como sendo composto por uma<br />
associação em paralelo <strong>de</strong> dois capacitores<br />
C = ε A 1<br />
1<br />
e<br />
d<br />
este último resulta da combinação em série <strong>de</strong> C<br />
A capacitância resultante é:<br />
ATIVIDADE 15.4<br />
C eq<br />
= 1<br />
1<br />
C'<br />
2<br />
ε A/<br />
2<br />
e C<br />
d<br />
ε1A<br />
2ε<br />
2ε<br />
3 A ⎡ 2ε<br />
2ε<br />
⎤<br />
3 A<br />
= + = ⎢ε<br />
1<br />
+ ⎥ .<br />
d ( ε<br />
2<br />
+ ε<br />
3)<br />
d ⎣ ( ε<br />
2<br />
+ ε<br />
3)<br />
⎦ d<br />
2ε<br />
2ε<br />
3<br />
A<br />
=<br />
, sendo que<br />
( ε + ε ) d<br />
2<br />
3<br />
= 2<br />
2<br />
ε A / 2<br />
.<br />
d<br />
εA<br />
εA<br />
C =<br />
→<br />
K ( L − D)<br />
+ L L<br />
Aplicando a Lei <strong>de</strong> Gauss, utilizamos uma superfície esférica <strong>de</strong> raio<br />
Utilizando a equação 15.10 temos então:<br />
R <<br />
a<br />
< r Rb<br />
.<br />
ATIVIDADE 15.2<br />
Sabemos que para o capacitor em questão<br />
ε →<br />
ε<br />
3<br />
( ε1<br />
+ ε<br />
2<br />
)<br />
C =<br />
ε + ε + 2ε<br />
a) O que significa 1<br />
ε<br />
2 ? Neste caso, teremos dois capacitores em série.<br />
1<br />
2<br />
3<br />
A<br />
d<br />
ε<br />
3<br />
( ε1<br />
+ ε<br />
2<br />
) A ε<br />
3<br />
(2ε<br />
2<br />
) A ε<br />
3<br />
( ε<br />
2<br />
) A<br />
C =<br />
=<br />
=<br />
ε + ε + 2ε<br />
d 2ε<br />
+ 2ε<br />
d ε + ε d<br />
1<br />
2<br />
3<br />
2<br />
A<br />
3<br />
A<br />
Se você calcular a capacitância resultante do conjunto C1<br />
→ C′<br />
2<br />
= e C3<br />
= ,<br />
d d<br />
em série, vai encontrar exatamente a expressão acima.<br />
b) O que significa ε<br />
1<br />
= ε<br />
2<br />
= ε<br />
3<br />
= ε ? Neste caso teremos o capacitor preenchido<br />
completamente com o mesmo dielétrico. Usando que<br />
2<br />
3<br />
2<br />
3<br />
ε<br />
ε<br />
2 d = L , a espessura do<br />
capacitor, recuperamos a expressão geral para a capacitância. Ou seja:<br />
ε<br />
3<br />
( ε1<br />
+ ε<br />
2<br />
)<br />
C =<br />
ε + ε + 2ε<br />
1<br />
2<br />
3<br />
A ε ( ε + ε ) A ε (2ε<br />
) A ε A εA<br />
=<br />
= = =<br />
d ε + ε + 2ε<br />
d 4ε<br />
d 2 d L<br />
r q<br />
K E • nˆ<br />
da =<br />
ε<br />
∫<br />
q<br />
∫ K E da = ε 0<br />
O campo elétrico sobre toda a superfície gaussiana tem o mesmo módulo e por<br />
isso,<br />
Então:<br />
Logo,<br />
∫<br />
K E da =<br />
2<br />
( )( 4π<br />
r )<br />
q<br />
ε 0<br />
q<br />
KE =<br />
ε<br />
1 q<br />
E =<br />
2<br />
4πKε<br />
r<br />
0<br />
1 q<br />
E =<br />
2<br />
4πε<br />
r<br />
0<br />
0<br />
245<br />
246
On<strong>de</strong><br />
ε = Kε<br />
o é a permissivida<strong>de</strong> do material dielétrico colocado entre os<br />
condutores. Já obtivemos a diferença <strong>de</strong> potencial entre dois condutores esféricos<br />
concêntricos:<br />
q Rb<br />
− Ra<br />
∆V<br />
= Va<br />
−Vb<br />
=<br />
4πε<br />
R R<br />
Da <strong>de</strong>finição <strong>de</strong> capacitância, obtemos a capacitância:<br />
C =<br />
q<br />
∆ V<br />
Observe que o campo elétrico se reduz <strong>de</strong> um fator K quando é inserido o dielétrico<br />
entre os condutores. Dessa forma o diferença <strong>de</strong> potencial entre os condutores<br />
aumenta do mesmo fator K.<br />
q<br />
C =<br />
q Rb<br />
− R<br />
4πKε<br />
R R<br />
Portanto a capacitância do capacitor esférico com dielétrico é:<br />
0<br />
b<br />
0<br />
a<br />
4πε Ra<br />
R<br />
C =<br />
R − R<br />
a<br />
b<br />
b<br />
a<br />
a<br />
b<br />
distância entre as placas é <strong>de</strong> 3,0 mm. Suponha que inicialmente, o capacitor seja<br />
ligado a uma fonte <strong>de</strong> tensão em 1000 V. Depois <strong>de</strong> retirada a fonte é inserido um<br />
material dielétrico entre as planas, quando a diferença <strong>de</strong> potencial entre suas<br />
placas diminui para 500 V.<br />
a) Determine a capacitância C A antes e C D <strong>de</strong>pois <strong>de</strong> inserido o dielétrico.<br />
b) Calcule o valor da carga elétrica Q <strong>de</strong> cada placa e o valor da carga elétrica<br />
induzida Q i quando foi inserido o dielétrico.<br />
c) Determine a constante dielétrica do material que foi inserido entre suas<br />
placas.<br />
E15.3) Consi<strong>de</strong>re o capacitor do exercício 15.1.<br />
a) Calcule o valor do campo elétrico antes e <strong>de</strong>pois <strong>de</strong> ser inserido o dielétrico<br />
entre as suas placas.<br />
b) Determine a energia potencial elétrica acumulada antes e <strong>de</strong>pois <strong>de</strong> ser<br />
inserido o dielétrico.<br />
c) A <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> <strong>de</strong> energia muda quando o dielétrico é inserido entre as placas<br />
do capacitor? Determine a <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> <strong>de</strong> energia antes e <strong>de</strong>pois <strong>de</strong> ser<br />
inserido o dielétrico.<br />
PENSE E RESPONDA<br />
PR15.1) Na Ativida<strong>de</strong> 15.3 discuta o que ocorre com o capacitor nos seguintes<br />
limites: (a) ε<br />
2<br />
→ ε<br />
3<br />
(b) ε ε = ε = ε<br />
1<br />
=<br />
2 3<br />
.<br />
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO<br />
E15.1) Um capacitor <strong>de</strong> placas paralelas tem capacitância 9,0 pF quando<br />
preenchido com ar. Colocando-se um dielétrico entre as placas, a capacitância<br />
muda para 18 pF. Determine a constante dielétrica do material inserido no<br />
capacitor.<br />
E15.2) Consi<strong>de</strong>re um capacitor <strong>de</strong> placas planas paralelas com área <strong>de</strong> 100 cm 2 . A<br />
247<br />
248
AULA 16 VETORES POLARIZAÇÃO E DESLOCAMENTO ELÉTRICO<br />
OBJETIVOS<br />
DEFINIR OS VETORES POLARIZAÇÃO E DESLOCAMENTO ELÉTRICO<br />
q<br />
A<br />
⎛ q ⎞ q′<br />
= ε 0 ⎜ +<br />
K<br />
o<br />
A<br />
⎟<br />
(16.1)<br />
⎝ ε ⎠ A<br />
O último termo <strong>de</strong>sta equação é a carga induzida por unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> área no dielétrico.<br />
Ele é chamado <strong>de</strong> módulo do vetor polarização elétrica, sendo representado por<br />
→<br />
P :<br />
16.1 OS VETORES POLARIZAÇÃO E DESLOCAMENTO ELÉTRICO<br />
→<br />
q′<br />
P =<br />
A<br />
(16.2)<br />
Quando trabalhamos com problemas simples, em eletromagnetismo, as<br />
fórmulas apresentadas na seção anterior satisfazem perfeitamente à <strong>de</strong>scrição <strong>de</strong><br />
um campo elétrico no vácuo e em um dielétrico. Entretanto, encontramos com<br />
muita frequência problemas que envolvem campos elétricos não uniformes ou<br />
simetrias mais complicadas do que as exemplificadas antes. Para esses casos mais<br />
difíceis, há uma maneira <strong>de</strong> trabalhar que facilita bastante nossa tarefa. Ela<br />
consiste em usar alguns vetores que <strong>de</strong>finiremos a seguir usando um capacitor <strong>de</strong><br />
placas paralelas. Entretanto, ao fazermos isso, não significa que esses vetores só<br />
po<strong>de</strong>m ser <strong>de</strong>finidos para este tipo <strong>de</strong> capacitor. Na realida<strong>de</strong>, eles são muito gerais<br />
e se aplicam a todo tipo <strong>de</strong> problema envolvendo dielétricos.<br />
Consi<strong>de</strong>remos um capacitor <strong>de</strong> placas planas e paralelas com uma <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
cargas<br />
σ = q<br />
0<br />
/<br />
A . Se introduzirmos um dielétrico <strong>de</strong> constante dielétrica K entre<br />
as placas do capacitor, o campo elétrico E no dielétrico fica:<br />
E =<br />
q<br />
ε A<br />
0<br />
q′<br />
−<br />
ε A<br />
Em que q′ é a carga elétrica induzida nas faces do dielétrico. Substituindo na<br />
equação acima, o valor do campo elétrico no dielétrico, por seu valor:<br />
e reescrevendo a equação, obtemos:<br />
ou, ainda:<br />
E0<br />
E = =<br />
K<br />
q<br />
ε A<br />
0<br />
q<br />
K<br />
ε o<br />
q<br />
= +<br />
Kε<br />
A<br />
A<br />
q′<br />
A<br />
0 o<br />
ε<br />
0<br />
249<br />
Uma outra <strong>de</strong>finição para<br />
→<br />
P , que também é usada, consiste em multiplicar o<br />
numerador e o <strong>de</strong>nominador da expressão acima pela espessura (d) do dielétrico:<br />
→<br />
q′<br />
d<br />
P =<br />
A d<br />
O numerador é o produto das cargas <strong>de</strong> polarização (iguais e <strong>de</strong> sinais contrários)<br />
pela separação <strong>de</strong>las e po<strong>de</strong> ser consi<strong>de</strong>rado como o momento <strong>de</strong> dipolo<br />
induzido do dielétrico. O <strong>de</strong>nominador é o volume do dielétrico.<br />
Portanto<br />
→<br />
P significa o momento <strong>de</strong> dipolo induzido por unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> volume do<br />
dielétrico. Ele po<strong>de</strong> ser também consi<strong>de</strong>rado como o módulo <strong>de</strong> um vetor que, tal<br />
como o momento <strong>de</strong> dipolo <strong>de</strong> cargas elétricas, tem seu sentido indo das cargas<br />
negativas para as positivas. Assim, po<strong>de</strong>mos escrever a equação (16.1) como:<br />
q<br />
A<br />
ε E + P<br />
(16.3)<br />
= 0<br />
A quantida<strong>de</strong> do primeiro membro aparece sempre em situações da eletrostática.<br />
Por isso, damos a ela o nome <strong>de</strong> <strong>de</strong>slocamento elétrico<br />
(16.3) fica:<br />
com:<br />
→<br />
D . Assim a equação<br />
D ε E + P<br />
(16.4)<br />
= 0<br />
q<br />
D = (16.5)<br />
A<br />
Como o campo elétrico e a polarização são vetores, o <strong>de</strong>slocamento elétrico<br />
também <strong>de</strong>ve ser. Então, no caso geral, a equação (16.5) fica:<br />
r r r<br />
D ε E + P<br />
(16.6)<br />
= 0<br />
250
A figura 16.1 mostra os três vetores. No caso do capacitor <strong>de</strong> placas planas, os três<br />
são vetores constantes em cada ponto do dielétrico, <strong>de</strong> modo que a natureza<br />
vetorial <strong>de</strong>les, neste caso, não é importante. Entretanto, isso nem sempre acontece<br />
e temos que trabalhar com eles como vetores que realmente são.<br />
d) o campo elétrico<br />
região.<br />
→<br />
D e<br />
→<br />
E é o que <strong>de</strong>termina a força elétrica que atua na<br />
→<br />
P são apenas quantida<strong>de</strong>s auxiliares para facilitar o cálculo<br />
em problemas mais complexos. Por isso, po<strong>de</strong>mos expressar os vetores<br />
em função <strong>de</strong><br />
→<br />
E . Com efeito,<br />
→ →<br />
D e P<br />
q ⎛ q ⎞<br />
D = = Kε = K<br />
A<br />
⎜<br />
Kε<br />
o<br />
A<br />
⎟<br />
⎝ ⎠<br />
0<br />
ε 0<br />
E<br />
ou:<br />
r r r<br />
D = K ε<br />
0<br />
E = ε E<br />
(16.7)<br />
q′<br />
q ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞<br />
P = = ⎜1 − ⎟ = D ⎜1<br />
− ⎟ = K ε<br />
0<br />
E ⎜1<br />
− ⎟ = ε<br />
0<br />
−1<br />
A A ⎝ K ⎠ ⎝ K ⎠ ⎝ K ⎠<br />
( K ) E<br />
ou:<br />
r<br />
r<br />
P = ε<br />
0<br />
( K −1) E<br />
(16.8)<br />
Esta equação mostra que, na ausência <strong>de</strong> dielétrico ( K = 1), o vetor polarização se<br />
anula.<br />
A constante χ = K −1<br />
é <strong>de</strong>nominada susceptibilida<strong>de</strong> elétrica do dielétrico. Ela<br />
Figura 16.1: Os três vetores elétricos<br />
Devemos notar alguns pontos muito importantes sobre os vetores:<br />
a)<br />
→<br />
D está ligado apenas à carga livre, isto é, à carga externa ao dielétrico<br />
(no caso, a das placas do capacitor); note que, na figura, as linhas <strong>de</strong> força <strong>de</strong><br />
→<br />
D ligam apenas as cargas nas placas;<br />
b)<br />
→<br />
P está ligado apenas às cargas <strong>de</strong> polarização, isto é, à cargas<br />
induzidas; na figura, as linhas <strong>de</strong> força <strong>de</strong><br />
nas faces do dielétrico;<br />
c)<br />
→<br />
P ligam essas cargas, que se situam<br />
→<br />
E está ligado às cargas realmente presentes, sejam elas livres ou<br />
induzidas;<br />
é sempre maior que a unida<strong>de</strong>, pois K > 1. Em termos <strong>de</strong>la a equação (16.8) se<br />
escreve:<br />
r r<br />
P = χ ε 0<br />
E<br />
(16.9)<br />
A <strong>de</strong>finição do vetor <strong>de</strong>slocamento elétrico, dada por (16.7), permite que<br />
modifiquemos a lei <strong>de</strong> Gauss e a escrevamos para um meio dielétrico:<br />
r<br />
∫ D • nˆ<br />
da = q<br />
(16.10)<br />
em que q é a carga livre (a carga induzida é excluída!).<br />
EXEMPLO 16.1<br />
A Figura 16.2 mostra um capacitor <strong>de</strong> placas plano-paralelas <strong>de</strong> área A e<br />
251<br />
252
separação d, sujeito a uma diferença <strong>de</strong> potencial V<br />
0<br />
. O capacitor está isolado<br />
quando um dielétrico <strong>de</strong> espessura b e constante dielétrica K é inserido entre as<br />
placas do capacitor. Se A=100 cm 2 , d=1,0 cm, b=0,50 cm, K = 3, 5 e V<br />
0<br />
= 200<br />
V, calcule:<br />
On<strong>de</strong><br />
ĵ<br />
é o vetor unitário na direção do eixo y.<br />
b) O campo elétrico estabelecido na região sem o dielétrico ser obtido a partir da<br />
Lei <strong>de</strong> Gauss:<br />
∫ E r<br />
• nˆ<br />
dA =<br />
q<br />
ε<br />
0<br />
On<strong>de</strong> q é a carga nas placas do capacitor. Da equação acima temos:<br />
E =<br />
q<br />
A<br />
ε o<br />
Figura 16.2: Cargas no capacitor com dielétrico<br />
E portanto:<br />
a) o vetor <strong>de</strong>slocamento;<br />
b) o vetor campo elétrico na região sem dielétrico;<br />
c) o vetor polarização.<br />
Solução:<br />
a) Para um capacitor <strong>de</strong> placas planas paralelas sem o dielétrico:<br />
−12<br />
2 2 −2<br />
2<br />
ε<br />
0<br />
A (8,9 × 10 C / N.<br />
m ) (10 m )<br />
C0 = =<br />
= 8,9 × 10<br />
−2<br />
d<br />
10 m<br />
Como a carga nas placas do capacitor é<br />
−12<br />
−9<br />
q = C0 V0<br />
= 8,9 × 10 F × 200V<br />
= 1,8 × 10 C ,<br />
o módulo do vetor <strong>de</strong>slocamento é dado pela equação 16.5:<br />
q<br />
D =<br />
A<br />
1,8 × 10<br />
D =<br />
100 × 10<br />
D =<br />
−9<br />
−4<br />
C<br />
m<br />
−7<br />
2<br />
1,8<br />
× 10 C / m<br />
Adotando o eixo y perpendicular às placas temos:<br />
2<br />
−12<br />
F<br />
E<br />
−9<br />
1,8 × 10 C<br />
−12<br />
−4<br />
(8,85 × 10 F / m)(100<br />
× 10 m<br />
= 2<br />
4<br />
E = 2,0×<br />
10 V / m<br />
De acordo com a figura 16.2 po<strong>de</strong>mos observar que o campo elétrico é<br />
perpendicular às placa e portanto:<br />
→<br />
E = −(2,0<br />
× 10<br />
4<br />
V / m)<br />
ˆj<br />
c) O vetor polarização é dado pela equação 16.9:<br />
→<br />
P = (3,5 −1)(8,85<br />
× 10<br />
→<br />
→<br />
P = χ ε<br />
0<br />
−12<br />
P = −(4,4<br />
× 10<br />
→<br />
E<br />
F / m)(<br />
−2,0<br />
× 10<br />
−7<br />
2<br />
C / m ) ˆj<br />
4<br />
)<br />
V / m)<br />
ˆj<br />
PENSE E RESPONDA<br />
PR16.1) Consi<strong>de</strong>re o capacitor do exercício E15.2. Calcule os vetores <strong>de</strong>slocamento<br />
elétrico e polarização elétrica antes e <strong>de</strong>pois <strong>de</strong> ser inserido o dielétrico entre suas<br />
placas.<br />
→<br />
−7 2<br />
D = −( 1,8 × 10 C / m )j ˆ<br />
253<br />
254
AULA 17 TRABALHO E ENERGIA DE DISTRIBUIÇÕES DE CARGA<br />
Agora, vamos trazer uma terceira carga q<br />
3<br />
; isso vai requerer um trabalho q 3<br />
V 12<br />
( r 3<br />
)<br />
, on<strong>de</strong> V 12 é o potencial <strong>de</strong>vido às cargas q 1 e q<br />
2 no ponto r 3<br />
, isto é:<br />
OBJETIVO<br />
CALCULAR A ENERGIA DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE CARGAS<br />
W<br />
3<br />
=<br />
1<br />
4πε<br />
0<br />
⎛ q<br />
⎜<br />
1<br />
q2<br />
q3<br />
+<br />
r r r r<br />
⎝<br />
3<br />
− 1<br />
3<br />
−<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
17.1 TRABALHO E ENERGIA DE UMA DISTRIBUIÇÃO DISCRETA DE<br />
CARGAS<br />
Para se construir uma dada distribuição <strong>de</strong> cargas elétricas, é necessário<br />
realizar um trabalho contra as forças elétricas que atuam entre elas. Pela<br />
conservação da energia, este trabalho <strong>de</strong>ve ser armazenado na distribuição, e, <strong>de</strong><br />
acordo com o ponto <strong>de</strong> vista que adotarmos, há duas maneiras <strong>de</strong> explicar on<strong>de</strong> ele<br />
é armazenado.<br />
Se pensarmos na ação à distância, a energia é localizada nas cargas<br />
elétricas da distribuição, sob a forma <strong>de</strong> energia potencial elétrica entre elas.<br />
Entretanto, se adotarmos a idéia <strong>de</strong> campo elétrico, a energia fica armazenada no<br />
campo. Na eletrostática, em que as cargas estão sempre em repouso, esses pontos<br />
<strong>de</strong> vista são equivalentes, mas, na eletrodinâmica, on<strong>de</strong> não po<strong>de</strong>mos pensar em<br />
ação à distância, eles não o são.<br />
Calculemos a energia armazenada em uma distribuição <strong>de</strong> cargas elétricas<br />
puntiformes, através do trabalho realizado para trazer cada uma <strong>de</strong>las do infinito<br />
até a sua posição na distribuição.<br />
Generalizando, teremos que o trabalho necessário para reunir N cargas<br />
puntiformes numa distribuição <strong>de</strong>sejada será:<br />
a restrição<br />
N<br />
1 qiq<br />
j<br />
W = ∑∑ r r<br />
(17.1)<br />
4 πε<br />
0 i=1<br />
j> i rj<br />
− ri<br />
j > i serve para evitar dupla contagem. Por exemplo, suponhamos 4<br />
cargas. A expressão acima fica:<br />
i = 1 j = 2<br />
i = 1 j = 3<br />
i = 2 j = 3<br />
W<br />
W<br />
12<br />
13<br />
W<br />
23<br />
=<br />
=<br />
=<br />
1<br />
4 πε<br />
1<br />
4 πε<br />
0<br />
0<br />
1<br />
4 πε<br />
0<br />
q1q2<br />
r r<br />
−<br />
2<br />
3<br />
1<br />
1<br />
q1q3<br />
r r<br />
−<br />
q2q3<br />
r r<br />
−<br />
Então: W = W12 + W13<br />
+ W14<br />
+ W23<br />
3<br />
2<br />
Para trazer a primeira carga q<br />
1 não precisamos realizar trabalho, pois não<br />
há nenhuma outra carga ou campo elétrico na região da distribuição. Para trazer a<br />
segunda carga q<br />
2 , o trabalho necessário é:<br />
W 2<br />
= q 2<br />
V 1<br />
( r 2<br />
).<br />
Na expressão acima, V 1<br />
( r 2<br />
) é o potencial <strong>de</strong>vido a q<br />
1 no ponto r 2 , on<strong>de</strong><br />
estamos colocando a carga q<br />
2 :<br />
1 ⎛ ⎞<br />
⎜<br />
q1<br />
W<br />
⎟<br />
2<br />
= q2<br />
r r<br />
4πε<br />
0 ⎝<br />
2<br />
− 1 ⎠<br />
Note que W<br />
12<br />
= W21<br />
e não entra duas vezes na conta. Por isso, o índice inferior do<br />
segundo somatório diz que<br />
j > i .<br />
Na equação (17.1), se colocarmos como índice inferior do segundo somatório a<br />
condição<br />
j ≠ i , todos os termos serão computados, com duplicação <strong>de</strong>les pois<br />
W<br />
ij<br />
= W ji<br />
. Se fizermos isso, a equação (17.1) fica:<br />
W<br />
1<br />
=<br />
2<br />
1<br />
4πε<br />
N<br />
∑<br />
0 i=1<br />
q<br />
∑<br />
i<br />
j≠i<br />
q<br />
j 1<br />
r r =<br />
−<br />
2<br />
j<br />
i<br />
n<br />
∑<br />
q V ( r )<br />
i<br />
i=1<br />
i<br />
(17.2)<br />
255<br />
256
on<strong>de</strong> o fator 1/2 "toma conta" das contagens duplas. (Convença-se <strong>de</strong>sta<br />
expressão!)<br />
ATIVIDADE 17.1<br />
Mostre que a expressão 17.2 produz um resultado semelhante ao da equação<br />
(17.1) para quatro cargas pontuais.<br />
SOLUÇÃO: Vamos numerar as cargas no sentido horário a partir do vértice<br />
superior esquerdo do quadrado. Então:<br />
expressão para trabalho total é:<br />
W<br />
T<br />
1<br />
=<br />
2<br />
1<br />
4πε<br />
q<br />
1<br />
= + q , q2 = −q<br />
, q<br />
3<br />
= + q e q4 = −q<br />
. A<br />
4<br />
∑<br />
0 i=1<br />
q<br />
j<br />
q ∑ r r<br />
−<br />
i<br />
j≠i<br />
j<br />
i<br />
Note agora que a expressão (17.2) não <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> da or<strong>de</strong>m que usamos<br />
para juntar as cargas, uma vez que todos os pares aparecem na soma. Então,<br />
vamos isolar<br />
q<br />
i<br />
:<br />
n ⎛ n<br />
1<br />
⎞<br />
⎜<br />
q<br />
j<br />
W = ⎟<br />
∑q<br />
i<br />
⎜∑<br />
r r<br />
(17.3)<br />
8 πε ⎟<br />
0 i=1<br />
j≠i<br />
⎝<br />
j<br />
−<br />
i ⎠<br />
Observe que o termo entre parênteses é o potencial no ponto r i<br />
(a posição<br />
Então:<br />
i = 1<br />
i = 1<br />
i = 1<br />
j = 2<br />
j = 3<br />
j = 4<br />
W<br />
W<br />
W<br />
21<br />
31<br />
41<br />
1 ( + q)(<br />
−q)<br />
=<br />
4πε<br />
a<br />
0<br />
1 ( + q)(<br />
+ q)<br />
=<br />
4πε<br />
a 2<br />
0<br />
1 ( + q)(<br />
−q)<br />
=<br />
4πε<br />
a<br />
0<br />
<strong>de</strong> q<br />
i<br />
) <strong>de</strong>vido a todas as outras cargas. Então temos:<br />
n<br />
1 1 q<br />
j 1<br />
W = ∑ qi<br />
∑ r r =<br />
2 4πε<br />
−<br />
2<br />
i=1<br />
0<br />
j≠i<br />
j<br />
i<br />
n<br />
∑<br />
q V ( r )<br />
i<br />
i=1<br />
i<br />
(17.4)<br />
Este é o trabalho necessário para juntar todas as cargas; é a energia<br />
i = 2<br />
i = 2<br />
j = 1<br />
j = 3<br />
W<br />
W<br />
12<br />
32<br />
1 ( −q)(<br />
+ q)<br />
=<br />
4πε<br />
a<br />
0<br />
1 ( −q)(<br />
+ q)<br />
=<br />
4πε<br />
a<br />
0<br />
contida nessa configuração.<br />
i = 2<br />
j = 4<br />
W<br />
42<br />
1 ( −q)(<br />
−q)<br />
=<br />
4πε<br />
a 2<br />
0<br />
EXEMPLO 17.1<br />
i = 3<br />
j = 1<br />
W<br />
13<br />
1 ( + q)(<br />
+ q)<br />
=<br />
4πε<br />
a 2<br />
0<br />
Determine uma expressão para o trabalho necessário para colocar quatro cargas<br />
reunidas como mostra a figura 17.1.<br />
i = 3<br />
j = 2<br />
W<br />
23<br />
1 ( + q)(<br />
−q)<br />
=<br />
4πε<br />
a<br />
0<br />
i = 3<br />
j = 4<br />
W<br />
43<br />
1 ( + q)(<br />
−q)<br />
=<br />
4πε<br />
a<br />
0<br />
i = 4<br />
j = 1<br />
W<br />
14<br />
1 ( −q)(<br />
+ q)<br />
=<br />
4πε<br />
a<br />
0<br />
i = 4<br />
j = 2<br />
W<br />
24<br />
1 ( −q)(<br />
+ q)<br />
=<br />
4πε<br />
a 2<br />
0<br />
Figura 17.1: Reunião <strong>de</strong> cargas.<br />
257<br />
258
i = 4<br />
j = 3<br />
W<br />
34<br />
1 ( −q)(<br />
+ q)<br />
=<br />
4πε<br />
a<br />
0<br />
n<br />
1<br />
W = ∑ qi<br />
V ( ri<br />
),<br />
(17.5)<br />
2<br />
i=1<br />
Portanto:<br />
1 1 ⎡(<br />
+ q)(<br />
−q)<br />
( + q)(<br />
+ q)<br />
( + q)(<br />
−q)<br />
⎤<br />
W T<br />
= ⎢ + + +<br />
2 4πε<br />
⎥<br />
0 ⎣ a a 2 a ⎦<br />
1 ⎡(<br />
−q)(<br />
+ q)<br />
( −q)(<br />
+ q)<br />
( −q)(<br />
−q)<br />
⎤<br />
+ ⎢ + + ⎥ +<br />
4πε<br />
0 ⎣ a a a 2 ⎦<br />
1 ⎡(<br />
+ q)(<br />
+ q)<br />
( + q)(<br />
−q)<br />
( + q)(<br />
−q)<br />
⎤<br />
+ ⎢ + + ⎥ +<br />
4πε<br />
0 ⎣ a 2 a a ⎦<br />
1<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎡ ( −q)(<br />
+ q)<br />
( −q)(<br />
−q)<br />
( −q)(<br />
+<br />
+ +<br />
+ q)<br />
4πε<br />
⎥<br />
0 ⎣ a a 2 a ⎦<br />
Então:<br />
se a distribuição <strong>de</strong> cargas for contínua, teremos:<br />
dv sendo o volume infinitesimal e V o potencial.<br />
ou<br />
∫<br />
1<br />
W = ρ(<br />
r)<br />
V ( r)<br />
dv<br />
2<br />
∫<br />
(17.6)<br />
As integrais para distribuições lineares e superficiais seriam<br />
σ ( r ) V ( r)<br />
dA , respectivamente.<br />
EXEMPLO 17.2<br />
∫ λ( L ) V ( L)<br />
dL<br />
W T<br />
=<br />
1<br />
2<br />
1<br />
4<br />
2<br />
2<br />
2<br />
q ⎛ 4 ⎞ 1 q ⎛ 1 ⎞ 1 q<br />
⎜ − 8⎟<br />
= ⎜ − 2⎟<br />
= −<br />
a ⎝ 2 ⎠ 2 πε<br />
0<br />
a ⎝ 2 ⎠ 2 πε<br />
0<br />
πε<br />
ATIVIDADE 17.2<br />
0<br />
a<br />
⎛<br />
⎜<br />
2 −<br />
⎝<br />
2 ⎞<br />
⎟<br />
2<br />
⎠<br />
Encontre a energia <strong>de</strong> uma casca esférica uniformemente carregada com carga<br />
total Q e raio R .<br />
SOLUÇÃO: Vamos usar a <strong>de</strong>finição:<br />
Calcule agora o trabalho necessário para trazer do infinito a carga faltante no<br />
sistema mostrado na figura 17.1.<br />
1<br />
W = σ V dA.<br />
2<br />
∫<br />
Como sabemos, o potencial na superfície da esfera é constante e dado por:<br />
1<br />
V =<br />
4 πε<br />
0<br />
Q<br />
R<br />
Então:<br />
W<br />
1<br />
=<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1 Q 1 Q ( σ 4π<br />
R ) 1 Q<br />
σ dS =<br />
4πε<br />
0<br />
R<br />
∫<br />
=<br />
8πε<br />
0<br />
R 8πε<br />
0<br />
R<br />
Figura 17.1: Trazendo uma carga do infinito.<br />
EXEMPLO 17.3<br />
17.2 TRABALHO E ENERGIA DE UMA DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA DE<br />
CARGAS<br />
Retomemos a expressão que nos fornece a energia total <strong>de</strong> um sistema<br />
discreto <strong>de</strong> cargas:<br />
259<br />
Encontre a energia <strong>de</strong> uma esfera uniformemente carregada com carga total q e<br />
raio R .<br />
Solução: Dividamos a esfera em cascas esféricas elementares <strong>de</strong> raio r e<br />
260
espessura dr. A carga em cada casca é:<br />
dq = 4π r<br />
2 ρ dr<br />
e o potencial no ponto r <strong>de</strong>vido à carga interna ao raio r da esfera é:<br />
Mas:<br />
V ( r)<br />
=<br />
1 q ( r)<br />
4πε 0<br />
r<br />
potencial elétrica associada ao campo elétrico é uma gran<strong>de</strong>za escalar. Então,<br />
po<strong>de</strong>mos ecrever:<br />
u = C<br />
r<br />
• r<br />
= C E<br />
0<br />
( E E)<br />
em que C<br />
0<br />
é uma constante. Para <strong>de</strong>terminá-la, consi<strong>de</strong>remos o campo elétrico<br />
gerado por uma esfera <strong>de</strong> raio R em um ponto à distância r <strong>de</strong> seu centro ( r > R ):<br />
E =<br />
1<br />
4πε<br />
0<br />
Q<br />
2<br />
r<br />
0<br />
2<br />
Levando na integral, obtemos:<br />
Como:<br />
1 1<br />
W =<br />
2 4πε<br />
0<br />
∫<br />
0<br />
R<br />
4π<br />
r<br />
4<br />
q ( r)<br />
= π r<br />
3 ρ<br />
3<br />
4<br />
ρ dr ⋅ π r<br />
3<br />
r<br />
2<br />
ρ<br />
4π<br />
2<br />
= ρ<br />
3ε<br />
3<br />
0<br />
∫<br />
0<br />
R<br />
r<br />
4<br />
5<br />
4π<br />
2 R<br />
dr = ρ<br />
3ε<br />
5<br />
0<br />
Portanto, a <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> <strong>de</strong> energia é:<br />
u = C<br />
0<br />
2<br />
Q<br />
(4πε<br />
)<br />
A energia total do campo elétrico será, então:<br />
0<br />
2<br />
1<br />
4<br />
r<br />
2<br />
2<br />
2<br />
Q r dr Q<br />
U = ∞4π<br />
∫ u dv = C0 C<br />
2<br />
0<br />
(4πε<br />
)<br />
∫ =<br />
R 4<br />
r (4πε<br />
)<br />
2<br />
0<br />
0<br />
4π<br />
R<br />
A expressão <strong>de</strong> W fica:<br />
Q<br />
ρ =<br />
4<br />
π R<br />
3<br />
W =<br />
3<br />
5<br />
3<br />
2<br />
Q<br />
4πε<br />
R<br />
0<br />
Mas, <strong>de</strong> acordo com o Exemplo 17.3, temos que:<br />
2<br />
Q<br />
U =<br />
8 πε R<br />
Igualando essas duas últimas expressões, obtemos:<br />
C<br />
0<br />
0<br />
2<br />
2<br />
Q 4π<br />
Q<br />
=<br />
2<br />
( 4πε<br />
) R 8πε<br />
R<br />
0<br />
0<br />
<strong>de</strong> on<strong>de</strong> vem:<br />
17.3 DENSIDADE DE ENERGIA<br />
A equação (17.6) po<strong>de</strong> ser escrita em termos do campo elétrico ao invés do<br />
potencial. Para isso, partimos da i<strong>de</strong>ia <strong>de</strong> que em cada ponto <strong>de</strong> um campo elétrico<br />
existe uma <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> <strong>de</strong> energia que <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> apenas do módulo do vetor<br />
campo elétrico e in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong> da direção no espaço consi<strong>de</strong>rada, porque a energia<br />
ε<br />
0<br />
C<br />
0<br />
=<br />
2<br />
E, finalmente, po<strong>de</strong>mos escrever que a energia total armazenada no campo elétrico<br />
é:<br />
0 2<br />
U = ε E<br />
2<br />
(17.7)<br />
261<br />
262
EXEMPLO 17.4<br />
Encontre a energia <strong>de</strong> uma casca esférica uniformemente carregada com carga<br />
total Q e raio R .<br />
SOLUÇÃO: Vamos usar a equação:<br />
r 1 Q<br />
Dentro da esfera, E = 0 ; fora E = rˆ<br />
.<br />
2<br />
4πε<br />
r<br />
ε<br />
0<br />
U =<br />
2<br />
∫<br />
fora<br />
1<br />
( )<br />
4πε<br />
0<br />
2<br />
Q<br />
r<br />
2<br />
4<br />
0<br />
ε 2<br />
U = 0<br />
E d υ ,<br />
2<br />
∫<br />
Portanto:<br />
2<br />
1<br />
r dr sinθ<br />
dθ<br />
dφ<br />
= Q<br />
2<br />
32π<br />
ε<br />
0<br />
2<br />
4π<br />
∫<br />
∞<br />
R<br />
dr<br />
=<br />
2<br />
r<br />
1<br />
8πε<br />
0<br />
2<br />
Q<br />
.<br />
R<br />
17.4 UMA APARENTE INCONSISTÊNCIA NA DESCRIÇÃO DA ENEGIA<br />
A equação:<br />
2<br />
U =<br />
ε 0 E d υ ,<br />
2<br />
∫<br />
(17.8)<br />
todo espaço<br />
implica que toda energia <strong>de</strong> uma distribuição <strong>de</strong> cargas estacionárias é<br />
sempre positiva. Por outro lado, a equação:<br />
n<br />
1<br />
W = U = ∑ qi<br />
V ( ri<br />
)<br />
(17.9)<br />
2<br />
po<strong>de</strong> ser positiva ou negativa. O que está errado? A resposta é que ambas as<br />
equações estão corretas, elas apenas representam situações ligeiramente<br />
diferentes. A equação (17.8) não leva em conta o trabalho necessário para "fazer"<br />
as partículas: ela parte do princípio <strong>de</strong> que as cargas já estão "prontas".<br />
i=1<br />
Note que se tomarmos a equação (17.9), a energia <strong>de</strong> uma carga<br />
pontiforme é infinita:<br />
A equação (17.9) é mais completa no sentido <strong>de</strong> que nos diz qual é a energia<br />
TOTAL contida numa configuração <strong>de</strong> cargas, mas a equação (17.8) é mais<br />
apropriada quando estamos tratando <strong>de</strong> cargas puntiformes porque preferimos<br />
<strong>de</strong>ixar <strong>de</strong> contar a energia (infinita!) necessária para fabricar as cargas.<br />
Mas, matematicamente, on<strong>de</strong> entrou essa inconsistência? A<br />
inconsistência está na transformação que fizemos para ir da <strong>de</strong>scrição discreta para<br />
contínua. Na discreta, o termo V r ) representa o potencial <strong>de</strong>vido a todas as<br />
cargas exceto<br />
( i<br />
q<br />
i<br />
. Para uma distribuição contínua não haverá essa distinção e ela<br />
contém também o que chamamos <strong>de</strong> "auto-energia", que é a energia<br />
necessária para formar cada carga.<br />
As equações (17.8) e (17.9) representam duas maneiras diferentes <strong>de</strong><br />
calcular a mesma coisa. A primeira é uma integral sobre o campo elétrico; a<br />
segunda, é uma integral sobre a distribuição <strong>de</strong> cargas. Então, essas duas integrais<br />
envolvem duas regiões completamente distintas. Afinal, on<strong>de</strong> fica armazenada a<br />
energia? A primeira equação parece sugerir que ela está guardada no campo e a<br />
segunda, na carga. No nível <strong>de</strong>ste curso não é possível <strong>de</strong>cidir essa questão. No<br />
contexto da teoria da radiação é útil (e em Relativida<strong>de</strong> Geral é fundamental)<br />
pensar que a energia está no campo, mas no contexto da eletrostática, não<br />
po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>cidir isso.<br />
Note que, como a energia eletrostática é quadrática, ela não obe<strong>de</strong>ce<br />
ao princípio da superposição. A energia <strong>de</strong> um sistema composto por dois<br />
campos não será apenas a soma das energias <strong>de</strong> cada um, mas vai conter também<br />
termos cruzados.<br />
ou:<br />
ε<br />
0 2 ε<br />
0<br />
= E dυ<br />
= ( E1<br />
E2<br />
) dυ<br />
2<br />
∫<br />
+<br />
2<br />
∫<br />
U total<br />
2<br />
ε<br />
0 2 2<br />
U = ( E1<br />
+ E2<br />
+ 2E1<br />
⋅ E2<br />
) dυ<br />
= W1<br />
+ W2<br />
+ ε<br />
0<br />
E1<br />
⋅ E2<br />
2<br />
∫<br />
∫<br />
dυ<br />
U<br />
ε<br />
2<br />
q 2<br />
q<br />
r dr sinθ<br />
dθ<br />
dφ<br />
=<br />
8πε<br />
2<br />
= ∞<br />
0<br />
2 4<br />
2(4πε<br />
)<br />
∫<br />
∫0<br />
2<br />
0<br />
r<br />
0<br />
dr<br />
→ ∞.<br />
r<br />
(17.10)<br />
263<br />
Os dois primeiros termos são as "auto-energias" dos campos E<br />
1 e E<br />
2 e o<br />
outro termo representa a energia proveniente da interação entre esses<br />
campos.<br />
264
RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS<br />
ATIVIDADE 17.1:<br />
Temos, com a equação (17.1):<br />
i = 1 j = 2<br />
W<br />
12<br />
=<br />
1<br />
4 πε<br />
0<br />
q1q2<br />
r r<br />
−<br />
2<br />
1<br />
− q<br />
Wq<br />
= [ V+ q<br />
( a)<br />
+ V−q<br />
( a 2) + V+<br />
q<br />
( a)]<br />
=<br />
4πε<br />
2<br />
− q ⎡q<br />
q q⎤<br />
− q ⎡<br />
=<br />
= 2<br />
4<br />
⎢ − +<br />
0<br />
a a 2 a<br />
⎥<br />
4<br />
0a<br />
⎢ −<br />
πε ⎣<br />
⎦ πε ⎣<br />
PENSE E RESPONDA<br />
0<br />
1 ⎤<br />
⎥ = 2<br />
2 ⎦<br />
W T<br />
.<br />
i = 1 j = 3<br />
i = 1 j = 4<br />
W<br />
13<br />
W<br />
14<br />
=<br />
=<br />
1<br />
4 πε<br />
0<br />
1<br />
4 πε<br />
0<br />
q1q3<br />
r r<br />
−<br />
3<br />
4<br />
1<br />
q1q4<br />
r r<br />
−<br />
1<br />
PR17.1) O potencial (em relação a um ponto no infinito) sobre um ponto<br />
equidistante <strong>de</strong> duas cargas iguais e sinais opostos é igual a zero. É possível trazer<br />
uma carga do infinito até esse ponto <strong>de</strong> modo que o trabalho seja igual a zero em<br />
qualquer trecho da trajetória? Caso seja possível, <strong>de</strong>screva como. Caso não seja,<br />
explique por quê.<br />
i = 2 j = 3<br />
i = 2 j = 4<br />
i = 3 j = 4<br />
W<br />
W<br />
W<br />
23<br />
24<br />
34<br />
=<br />
=<br />
=<br />
1<br />
4 πε<br />
0<br />
1<br />
4 πε<br />
0<br />
1<br />
4 πε<br />
0<br />
q2q3<br />
r r<br />
−<br />
3<br />
4<br />
2<br />
q2q4<br />
r r<br />
−<br />
4<br />
2<br />
q3q4<br />
r r<br />
−<br />
Com a equação 13.2 obtemos para as cargas q 1 e q<br />
2 :<br />
i = 1 j = 2<br />
i = 2 j = 1<br />
V =<br />
V =<br />
1<br />
4<br />
q<br />
3<br />
W<br />
1<br />
= πε<br />
q q<br />
2<br />
1 2<br />
r r<br />
12 r r<br />
πε<br />
0<br />
2 −<br />
1<br />
4<br />
0<br />
2 −<br />
1<br />
1<br />
4<br />
q<br />
W<br />
1<br />
= πε<br />
q q<br />
1<br />
1 2<br />
r r<br />
21 r r<br />
πε<br />
0<br />
1 −<br />
2<br />
4<br />
0<br />
1 −<br />
2<br />
Repetindo para todas as outras combinações <strong>de</strong> pares <strong>de</strong> cargas, chegamos a um<br />
resultado semelhante no caso <strong>de</strong> cada uma <strong>de</strong>las. Na soma <strong>de</strong> todos os termos,<br />
obtemos o dobro dos termos que quando usamos a equação (17.1). Portanto, os<br />
trabalhos são contados duas vezes (note a mesma expressão para W<br />
12 e W<br />
21). Daí<br />
a necessida<strong>de</strong> <strong>de</strong> dividir por dois o resultado final.<br />
Ativida<strong>de</strong> 17.2<br />
O trabalho necessário para trazer uma carga<br />
vazio é:<br />
− q do infinito e colocá-la no vértice<br />
265<br />
PR17.2) É possível fazer um arranjo <strong>de</strong> duas cargas puntiformes, separadas por<br />
uma distância finita, <strong>de</strong> modo que a energia potencial elétrica seja igual à energia<br />
potencial quando a distância entre as cargas for finita?<br />
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO<br />
E17.1) Uma carga puntual q<br />
1<br />
= −6,0µ<br />
C é mantida na origem. Uma carga também<br />
puntual<br />
q<br />
2<br />
= 3,0µ<br />
C é colocada sobre o eixo y em y = 12cm<br />
. Determine a energia<br />
potencial do sistema constituído das duas cargas.<br />
E17.2) Uma carga puntual Q = 6,0µ<br />
C <strong>de</strong> massa M = 2,5µ<br />
g é mantida na origem.<br />
Uma carga também puntual<br />
eixo x em<br />
q = 4,0µ<br />
C <strong>de</strong> massa m = 0,5µ<br />
g é colocada sobre o<br />
x = 20cm<br />
e mantida em repouso. Em <strong>de</strong>terminado momento as cargas<br />
ficam livres para se mover.<br />
a) Determine a energia potencial do sistema constituído das duas cargas em<br />
repouso.<br />
b) Determine a velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong> Q em x = 35cm<br />
e em x = 42cm<br />
.<br />
c) Determine a velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong> q em x = −5cm<br />
e em x = −12cm<br />
.<br />
E17.3) Consi<strong>de</strong>re três cargas puntuais<br />
nos vértices <strong>de</strong> um triângulo equilátero <strong>de</strong> lado<br />
potencial <strong>de</strong>ssa distribuição <strong>de</strong> cargas.<br />
q<br />
1<br />
= −2,0µ<br />
C , q<br />
2<br />
= −2,5µ<br />
C e q<br />
3<br />
= −3,0µ<br />
C<br />
l = 2, 0mm<br />
. Calcule a energia<br />
266
E17.4) São colocadas quatro cargas<br />
q<br />
1<br />
= −2,0µ<br />
C , q<br />
2<br />
= −1,0µ<br />
C , q<br />
3<br />
= −2,0µ<br />
C e<br />
q<br />
3<br />
= 1,0 µC nos vértices <strong>de</strong> um quadrado <strong>de</strong> lado l = 2, 0mm<br />
. Qual é a energia<br />
potencial <strong>de</strong>sse sistema?<br />
U5.3) Na figura abaixo temos quatro capacitores<br />
C = 1<br />
10,0µ<br />
F , C = 5,0µ<br />
F<br />
2 ,<br />
C<br />
3<br />
= 8,0µF<br />
C = 9,0µ<br />
F . A diferença <strong>de</strong> potencial entre xy é <strong>de</strong> 50 ,0 V . (a)<br />
4<br />
Determine a capacitância equivalente entre x e y. (b) Qual é a quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong> carga<br />
armazenada nessa combinação? (c) Qual é a carga nos capacitores <strong>de</strong><br />
9 ,0µF ?<br />
10 ,0µ F e<br />
E17.5) Uma casca esférica <strong>de</strong> raio r = 2, 0cm<br />
está carregada com carga q = 2, 2nC<br />
.<br />
Calcule a sua energia potencial.<br />
E17.6) Duas cargas puntiformes estão localizadas no eixo Ox, sendo que,<br />
q = −e<br />
está na origem e q<br />
2<br />
= + e está localizada em x = a . (a) Calcule o trabalho realizado<br />
por uma força externa para trazer uma terceira carga puntiforme<br />
infinito até o ponto<br />
constituído pelas três cargas.<br />
1<br />
q<br />
3<br />
= + e do<br />
x = 2a<br />
. (b) Calcule a energia potencial total do sistema<br />
E17.7) Três cargas puntiformes, inicialmente muito afastadas entre si, estão sobre<br />
os vértices <strong>de</strong> um triângulo equilátero <strong>de</strong> lado igual a d . Duas <strong>de</strong>ssas cargas<br />
possuem carga q . Qual o valor da terceira carga se <strong>de</strong>sejamos realizar um trabalho<br />
líquido igual a zero para colocar as três cargas nos vértices do triângulo?<br />
PROBLEMAS DA UNIDADE<br />
U5.1) Um capacitor <strong>de</strong> placas paralelas, separadas por uma distância <strong>de</strong><br />
0 ,328mm<br />
e com carga <strong>de</strong> 0,148µ<br />
F em cada uma <strong>de</strong>las, possui capacitância <strong>de</strong> 0 ,245 pF . (a)<br />
Qual é a diferença <strong>de</strong> potencial entre elas? (b) Qual é a área <strong>de</strong> cada placa? (c)<br />
Qual é o módulo do campo elétrico entre as placas? (d) Qual é a <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
carga em cada placa?<br />
U5.2) Um capacitor é constituído <strong>de</strong> dois cilindros ocos <strong>de</strong> ferro co-axiais. O raio do<br />
cilindro interno é 0 ,50mm<br />
e o do cilindro externo é 5 ,0mm<br />
. As cargas nos cilindros<br />
são iguais e valem<br />
10 ,0 pC , mas o cilindro interno está carregado negativamente e<br />
o externo possui cargas positivas. O comprimento <strong>de</strong> cada cilindro é <strong>de</strong><br />
18 ,0cm<br />
. (a)<br />
Qual é a capacitância? (b) Qual é a diferença <strong>de</strong> potencial necessária para produzir<br />
essas cargas no cilindro?<br />
Figura do exercício 5.3<br />
U5.4) Três capacitores idênticos estão ligados <strong>de</strong> modo a proporcionarem uma<br />
capacitância equivalente máxima <strong>de</strong><br />
15 ,0µ F . (a) Descreva a montagem dos<br />
capacitores. (b) Além <strong>de</strong>sta ainda existe três outras maneiras <strong>de</strong> se ligarem os<br />
capacitores. Quais as capacitâncias equivalentes <strong>de</strong> cada uma <strong>de</strong>stas montagens?<br />
U5.5) Um capacitor <strong>de</strong> placas paralelas é carregado por uma bateria até que haja<br />
uma diferença <strong>de</strong> potencial <strong>de</strong><br />
12 ,5V<br />
entre suas placas. A capacitância do capacitor<br />
é 13 ,5 pF . A bateria é <strong>de</strong>sligada e uma placa <strong>de</strong> porcelana ( k = 6, 50 k= 6,50) é<br />
introduzida entre as placas. Qual é a energia do capacitor (a) antes da introdução<br />
da placa e (b) <strong>de</strong>pois da introdução da placa?<br />
U5.6) Duas placas paralelas possuem cargas iguais e opostas. Quando existe vácuo<br />
entre as placas, o módulo do campo elétrico é<br />
5<br />
3,20 × 10 V / m . Um dielétrico é<br />
5<br />
colocado entre as placas e o campo elétrico passa a ser 2,50 × 10 V / m . (a) Qual é<br />
a <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> <strong>de</strong> carga em cada superfície do dielétrico? (b) Qual é o valor da<br />
constante dielétrica?<br />
U5.7) Uma carga <strong>de</strong><br />
− 9,0nC<br />
está distribuída uniformemente em um anel fino <strong>de</strong><br />
plástico situado no plano yz, com o centro do anel situado na origem. Uma carga<br />
pontual <strong>de</strong><br />
raio do anel é<br />
− 6,0µ C -6,0 pC está situada sobre o eixo x, no ponto x = 3, 0m<br />
. Se o<br />
1 ,5m<br />
, qual <strong>de</strong>ve ser o trabalho executado por uma força externa<br />
sobre a carga pontual para <strong>de</strong>slocá-la até a origem?<br />
267<br />
268
U5.8) Dois elétrons são mantidos fixos, separados por uma distância <strong>de</strong><br />
2 ,0cm<br />
.<br />
Outro elétron é arremessado a partir do infinito e pára no ponto médio entre os<br />
dois elétrons. Qual é a velocida<strong>de</strong> inicial do terceiro elétron?<br />
269
UNIDADE 6<br />
FORÇA ELETROMOTRIZ, CORRENTE E RESISTÊNCIA<br />
Introduzimos nesta unida<strong>de</strong> os conceitos básicos necessários à <strong>de</strong>scrição dos<br />
circuitos elétricos <strong>de</strong> corrente contínua. Descrevemos o que se <strong>de</strong>nomina força<br />
eletromotriz, necessária para manter cargas em movimento em um circuito elétrico<br />
e fazemos uma <strong>de</strong>scrição esquemática <strong>de</strong> um gerador <strong>de</strong> força eletromotriz<br />
específico, que é a célula <strong>de</strong> Volta.<br />
Definimos as gran<strong>de</strong>zas macroscópicas corrente elétrica e resistência<br />
elétrica, e as gran<strong>de</strong>zas microscópicas correspon<strong>de</strong>ntes, <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> <strong>de</strong> corrente e<br />
resistivida<strong>de</strong>.<br />
Introduzimos os conceitos <strong>de</strong> condutores, isolantes, semicondutores e<br />
supercondutores e analisamos seus comportamentos quanto a variações em sua<br />
temperatura. No caso dos condutores apresentamos um mo<strong>de</strong>lo clássico da<br />
resistivida<strong>de</strong>, com algumas correções quânticas que aproximam os resultados<br />
calculados dos valores observados.<br />
Finalmente analisamos a produção <strong>de</strong> calor com o uso da eletricida<strong>de</strong>, um<br />
processo conhecido como Efeito Joule.<br />
270<br />
271
AULA18 FORÇA ELETROMOTRIZ, CORRENTE E DENSIDADE DE<br />
CORRENTE<br />
Sabemos que a matéria é, normalmente, neutra e que, por exemplo, uma<br />
corrente <strong>de</strong> água em um rio, embora constitua um fluxo <strong>de</strong> matéria, não está<br />
associada a qualquer corrente elétrica.<br />
OBJETIVOS<br />
• DEFINIR FORÇA ELETROMOTRIZ (FEM)<br />
• DESCREVER O FUNCIONAMENTO DE GERADOR DE FEM (PILHA)<br />
• ENTENDER OS CONCEITOS DE CORRENTE E DENSIDADE DE CORRENTE<br />
Sabemos também que a matéria é constituída, basicamente, por partículas,<br />
algumas neutras, outras positivas e outras negativas (nêutrons, prótons e<br />
elétrons).<br />
Constata-se, no entanto, que, das partículas carregadas em diversos materiais,<br />
algumas po<strong>de</strong>m ter mobilida<strong>de</strong> muito maior que outras, sempre que forçadas a<br />
se mover pela ação <strong>de</strong> campos elétricos.<br />
18.1 FORÇA ELETROMOTRIZ<br />
Nas aulas anteriores apren<strong>de</strong>mos a <strong>de</strong>screver, e a calcular, campos elétricos<br />
e diferenças <strong>de</strong> potencial elétrico produzidas por diversas distribuições estáticas <strong>de</strong><br />
cargas e essa parte <strong>de</strong> nosso estudo, é por isso, <strong>de</strong>nominada eletrostática.<br />
Entretanto, a energia elétrica que consumimos em nosso dia a dia, seja em<br />
nossas casas, seja nas indústrias, ou outros setores da socieda<strong>de</strong>, se <strong>de</strong>ve ao<br />
trabalho realizado por cargas elétricas que, <strong>de</strong> alguma maneira, são forçadas a se<br />
mover.<br />
Por este motivo, quando as luzes <strong>de</strong> uma residência se apagam<br />
repentinamente, diz-se que faltou corrente.<br />
Nesse contexto surgem duas questões fundamentais, que são:<br />
a) O que é a corrente elétrica?<br />
b) O quê é necessário para que surja uma corrente e para que ela<br />
permaneça durante o período <strong>de</strong> tempo <strong>de</strong> que precisamos?<br />
Estas questões po<strong>de</strong>m ser respondidas separadamente.<br />
a) Quanto à primeira, po<strong>de</strong>-se dizer que a palavra corrente está associada,<br />
usualmente, ao fluxo <strong>de</strong> matéria.<br />
É o caso dos metais nos quais temos íons positivos que constituem uma re<strong>de</strong><br />
cristalina, mas com alguns elétrons, usualmente um por cada átomo, que<br />
po<strong>de</strong>m se mover por todo o corpo metálico. O comportamento <strong>de</strong>sses elétrons,<br />
conhecidos como elétrons <strong>de</strong> condução, em muitos aspectos, se aproxima ao <strong>de</strong><br />
um gás.<br />
Quando são forçados a se mover preferencialmente em <strong>de</strong>terminada direção<br />
pela ação <strong>de</strong> algum campo elétrico, são esses elétrons, mais ou menos livres,<br />
que constituem uma corrente elétrica, enquanto os íons positivos permanecem<br />
em torno <strong>de</strong> suas posições <strong>de</strong> equilíbrio. Aqui há corrente elétrica associada a<br />
uma pequena corrente <strong>de</strong> matéria, já que a massa dos elétrons é muito menor<br />
que a dos íons que constituem a re<strong>de</strong> cristalina.<br />
No caso <strong>de</strong> uma solução salina aquosa, temos íons positivos e negativos que<br />
po<strong>de</strong>m se mover “livremente”. Quando forçados pela ação <strong>de</strong> campos elétricos,<br />
os cátions se movem em sentido contrário ao dos ânions. Ambos os tipos <strong>de</strong><br />
íons contribuem para a corrente elétrica, embora possa ocorrer que não haja<br />
qualquer fluxo <strong>de</strong> matéria.<br />
Será apresentada, mais adiante, uma <strong>de</strong>finição matemática rigorosa da<br />
gran<strong>de</strong>za física <strong>de</strong>nominada corrente elétrica.<br />
b) Quanto à segunda questão é necessário que sejam produzidos campos elétricos<br />
no interior da matéria que forcem as cargas elétricas disponíveis (“livres”) a se<br />
mover em <strong>de</strong>terminada direção.<br />
272<br />
273
Quando em uma tempesta<strong>de</strong> forma-se uma nuvem muito carregada, um campo<br />
elétrico muito intenso é criado entre aquela e a superfície da Terra. Isto po<strong>de</strong><br />
provocar um raio, que é a passagem <strong>de</strong> gran<strong>de</strong> quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong> carga elétrica da<br />
Terra para a nuvem ou da nuvem para a Terra.<br />
interligadas, com <strong>de</strong>senvolvimentos tecnológicos posteriores que aumentam sua<br />
eficiência e seu manuseio.<br />
Este fluxo <strong>de</strong> cargas, <strong>de</strong>nominado corrente corona, é muito intenso e tem uma<br />
duração muito curta, cessando assim que a nuvem se <strong>de</strong>scarrega, ou assim que<br />
<strong>de</strong>ixa <strong>de</strong> existir uma diferença <strong>de</strong> potencial entre a nuvem e a Terra.<br />
Mas não é disso que precisamos se queremos, por exemplo, manter acesas as<br />
luzes <strong>de</strong> uma residência por mais que alguns décimos <strong>de</strong> segundo.<br />
Para isto é necessário que se possa criar e manter um campo elétrico, que<br />
representa a força (eletro)motriz que provoca o movimento das cargas<br />
elétricas.<br />
Isto é, necessita-se <strong>de</strong> um dispositivo que possa gerar uma separação <strong>de</strong><br />
cargas positivas e negativas e que essa separação permaneça, mesmo<br />
quando haja um fluxo contínuo <strong>de</strong> cargas passando pelo dispositivo.<br />
Tal dispositivo constitui um gerador <strong>de</strong> corrente ou <strong>de</strong> força eletromotriz.<br />
18.2 GERADORES DE CORRENTE E FORÇA ELETROMOTRIZ<br />
A solução para o problema <strong>de</strong> criar um campo elétrico estável foi encontrada<br />
por Alessandro Giuseppe Antonio Anastasio Volta (1745-1827), que, em 1800,<br />
inventou um dispositivo, hoje conhecido com o nome <strong>de</strong> célula voltaica, que é<br />
capaz <strong>de</strong> produzir uma diferença <strong>de</strong> potencial pequena, porém estável<br />
entre dois polos, ou eletrodos, o que permite manter cargas em movimento<br />
por longos períodos <strong>de</strong> tempo. Os eletrodos são constituídos por dois metais<br />
diferentes que são imersos em uma solução salina, o eletrólito, e espontaneamente<br />
<strong>de</strong>senvolvem uma diferença <strong>de</strong> potencial <strong>de</strong>vido à reação química envolvendo os<br />
eletrodos e o eletrólito.<br />
Cada célula apresenta uma diferença <strong>de</strong> potencial entre seus polos que<br />
<strong>de</strong>pen<strong>de</strong> exclusivamente dos metais utilizados. As diversas pilhas e baterias<br />
elétricas, às quais estamos tão acostumados, são conjuntos <strong>de</strong> células voltaicas<br />
Figura 18.1: Representação esquemática <strong>de</strong> uma célula voltaica.<br />
A figura 18.1 mostra esquematicamente o funcionamento <strong>de</strong> uma célula<br />
voltaica em que os eletrodos são <strong>de</strong> cobre e <strong>de</strong> zinco. Nela, temos uma solução <strong>de</strong><br />
CuSO 4 e ZnSO 4 em água, on<strong>de</strong> são imersos os eletrodos. Inicialmente, alguns<br />
átomos <strong>de</strong> cada eletrodo per<strong>de</strong>m dois elétrons e se integram à solução como íons<br />
positivos. Com isto, os eletrodos se tornam negativos com relação ao eletrólito, que<br />
inicialmente é uma “sopa” neutra e uniforme <strong>de</strong> moléculas <strong>de</strong> água e <strong>de</strong> íons H + ,<br />
OH – 2<br />
, SO – 4 , Cu 2+ e Zn 2+ .<br />
A diferença na energia <strong>de</strong> ionização dos diferentes metais faz com que os<br />
eletrodos fiquem com potenciais diferentes e haja uma redistribuição das cargas no<br />
eletrólito. Neste caso o eletrodo <strong>de</strong> zinco fica em um potencial mais baixo e é<br />
<strong>de</strong>nominado polo negativo; o eletrodo <strong>de</strong> cobre, por sua vez, é <strong>de</strong>nominado<br />
polo positivo e seu potencial elétrico está 1,1 V acima do potencial do polo<br />
negativo.<br />
Os elétrons e íons negativos que se encontram próximos do polo negativo,<br />
têm energia maior do que aqueles que se localizam próximos do polo positivo. Já os<br />
íons positivos próximos do polo negativo tem energia menor do que aqueles que se<br />
encontram em torno do polo positivo.<br />
Quando ligamos os eletrodos externamente com um fio condutor,<br />
elétrons do polo negativo fluem para o polo positivo. Ali, alguns íons <strong>de</strong><br />
cobre, Cu 2+ , que se encontram no eletrólito, recebem dois elétrons, cada<br />
um <strong>de</strong>les, tornando-se neutros, e se <strong>de</strong>positam nesse eletrodo saindo da<br />
solução. Enquanto isso, átomos <strong>de</strong> zinco <strong>de</strong>ixam elétrons no polo negativo<br />
e se integram ao eletrólito como íons Zn 2+ .<br />
274<br />
275
Enquanto houver um circuito externo haverá um fluxo contínuo <strong>de</strong><br />
cargas elétricas: ao mesmo tempo em que elétrons chegam ao polo<br />
positivo pelo circuito externo e se recombinam com íons <strong>de</strong> cobre,<br />
aumentando a massa <strong>de</strong>sse eletrodo, vão surgindo outros elétrons no polo<br />
negativo que vai per<strong>de</strong>ndo massa enquanto enriquece o eletrólito com íons<br />
<strong>de</strong> zinco. No interior da célula há um fluxo líquido <strong>de</strong> íons positivos do polo<br />
negativo para o positivo.<br />
Quando os elétrons percorrem o fio externo saindo do eletrodo negativo,<br />
on<strong>de</strong> tem mais energia, e se dirigem ao polo positivo, on<strong>de</strong> sua energia é menor,<br />
observa-se que essa diferença <strong>de</strong> energia surge na forma <strong>de</strong> calor no fio.<br />
De forma simplificada po<strong>de</strong>mos representar o que ocorre no interior da<br />
célula com a equação:<br />
Cu 2+ + Zn → Cu + Zn 2+ (18.1)<br />
Do ponto <strong>de</strong> vista da Química esta reação é classificada como exotérmica,<br />
pois a energia dos produtos é menor que a dos reagentes. A diferença <strong>de</strong> energia,<br />
no entanto, não aparece como energia térmica e sim como energia potencial<br />
elétrica, que po<strong>de</strong> ser utilizada para gerar calor, mas po<strong>de</strong> também ser usada para<br />
realizar trabalho utilizando um motor elétrico.<br />
Na figura 18.2, representamos <strong>de</strong> maneira simplificada um dispositivo, como<br />
uma célula voltaica, capaz <strong>de</strong> manter uma diferença <strong>de</strong> potencial permanente entre<br />
seus terminais. Existem vários tipos <strong>de</strong> dispositivos, além das pilhas e baterias, que<br />
têm essa capacida<strong>de</strong>, sendo que em cada um <strong>de</strong>les temos uma forma diferente <strong>de</strong><br />
energia que é transformada em energia elétrica.<br />
cargas ou íons em seu interior, estão sujeitas à uma espécie <strong>de</strong> força não<br />
conservativa (à qual não se po<strong>de</strong> associar um potencial) <strong>de</strong>vida à interação entre os<br />
diferentes íons. Essa força gera a distribuição <strong>de</strong> cargas que produz o campo entre<br />
os terminais do dispositivo. Já que não há nenhum fluxo líquido <strong>de</strong> cargas, essa<br />
força é igual e oposta à força produzida pelo campo elétrico.<br />
Portanto, para uma carga qualquer, livre para se mover no interior do<br />
dispositivo, <strong>de</strong>vemos ter:<br />
r<br />
F NC<br />
r<br />
= − qE<br />
(18.2)<br />
Dividindo esta equação pelo valor da carga, multiplicando escalarmente por<br />
um <strong>de</strong>slocamento infinitesimal,<br />
dl<br />
r , e integrando do polo negativo até o positivo,<br />
encontramos o trabalho por unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> carga, realizado pelo dispositivo para<br />
manter a diferença <strong>de</strong> potencial que o caracteriza:<br />
W<br />
q<br />
1 + r r + r r<br />
= ∫ FNC<br />
• dl = −<br />
− ∫ E • dl<br />
q<br />
−<br />
(18.3)<br />
Esta equação nos mostra que cargas positivas atravessando tais dispositivos<br />
indo do polo negativo para o positivo, ou cargas negativas que os atravessam em<br />
sentido oposto, recebem energia. Damos o nome <strong>de</strong> força eletromotriz do<br />
dispositivo, ε , a esta energia por unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> carga. Ela é igual à diferença <strong>de</strong><br />
potencial V entre seus polos, quando não há nenhum circuito externo, ou seja:<br />
+<br />
E r →<br />
–<br />
ε = V<br />
(18.4)<br />
Figura 18.2: Esquema <strong>de</strong> um dispositivo qualquer, gerador <strong>de</strong> força eletromotriz, com a<br />
direção do campo elétrico em seu interior representado por uma seta.<br />
Para qualquer um <strong>de</strong>sses dispositivos, há uma diferença <strong>de</strong> potencial entre<br />
os polos, tal que, em seu interior, existe um campo elétrico cujo sentido é do polo<br />
positivo para o negativo. Não há qualquer campo elétrico externo aplicado e, então,<br />
o campo em seu interior <strong>de</strong>veria ser nulo. Entretanto, isso não ocorre porque as<br />
276<br />
Esses dispositivos são <strong>de</strong>nominados geradores <strong>de</strong> força eletromotriz, ou<br />
geradores <strong>de</strong> fem, embora a palavra força esteja sendo usada <strong>de</strong> forma imprópria<br />
por motivos históricos; talvez eles pu<strong>de</strong>ssem ser mais apropriadamente<br />
<strong>de</strong>nominados “geradores <strong>de</strong> energia eletromotriz”.<br />
Um dispositivo conhecido como gerador <strong>de</strong> van <strong>de</strong>r Graaf é um exemplo<br />
<strong>de</strong>ste tipo <strong>de</strong> equipamento. Esse gerador consiste <strong>de</strong> uma cinta <strong>de</strong> borracha que<br />
recebe cargas e as leva para o interior <strong>de</strong> uma esfera metálica on<strong>de</strong> são<br />
<strong>de</strong>positadas. Essas cargas se dirigem para a superfície da esfera que adquire então<br />
277
um potencial superior ao da Terra. É necessária a energia fornecida por um motor<br />
para forçar a cinta <strong>de</strong> borracha a transportar mais cargas, <strong>de</strong> mesmo sinal que as<br />
que já estão acumuladas na esfera, <strong>de</strong>vido à repulsão entre estas e as que a cinta<br />
está trazendo.<br />
ATIVIDADE 18.1<br />
Assista ao ví<strong>de</strong>o sobre o Gerador <strong>de</strong> van <strong>de</strong>r Graaf e discuta seu funcionamento<br />
com seus colegas.<br />
Outro tipo <strong>de</strong> dispositivo, que será estudado mais adiante, é o dínamo,<br />
on<strong>de</strong> uma fonte <strong>de</strong> energia mecânica força um conjunto <strong>de</strong> espiras a girar em um<br />
campo magnético, gerando um campo elétrico. Essa fonte <strong>de</strong> energia mecânica é<br />
semelhante à queda d’água em uma usina hidrelétrica, ou ao fluxo <strong>de</strong> vapor<br />
aquecido em uma usina nuclear.<br />
EXEMPLO 18.1<br />
quantos átomos foram <strong>de</strong>positados. A massa molecular do cobre é m Cu<br />
= 63, 54g<br />
,<br />
portanto, sendo<br />
m<br />
Cu<br />
a massa <strong>de</strong> cobre <strong>de</strong>positada no eletrodo e N<br />
A<br />
o número <strong>de</strong><br />
Avogadro, o número <strong>de</strong> átomos é:<br />
m<br />
N<br />
9,50 × .6,02 × .10<br />
23<br />
Cu A<br />
22<br />
N<br />
atm<br />
= =<br />
= 9,00×<br />
10<br />
(18.6)<br />
M<br />
Cu<br />
63,54<br />
Então po<strong>de</strong>mos calcular a variação <strong>de</strong> temperatura da água:<br />
2 e N<br />
∆T<br />
=<br />
m c<br />
ag<br />
atm<br />
ag<br />
−19<br />
ε 2.1,60 × 10 × 9,00 × 10<br />
=<br />
1000×<br />
4,18<br />
Qual a diminuição na massa <strong>de</strong> zinco<br />
22<br />
ATIVIDADE 18.2<br />
× 1,1<br />
o<br />
= 7,58 C . (18.7)<br />
m<br />
Zn<br />
, do eletrodo negativo <strong>de</strong> uma célula<br />
como a da figura 18.1, quando esta é utilizada para aumentar a temperatura, <strong>de</strong><br />
um litro <strong>de</strong> água, em 10º C, sabendo que a massa molecular do zinco é<br />
M Zn<br />
= 65, 4g .<br />
Uma célula voltaica como a da figura 18.1, foi utilizada para aquecer um litro <strong>de</strong><br />
água. Depois <strong>de</strong> efetuado o processo observou-se que o eletrodo <strong>de</strong> cobre teve sua<br />
massa aumentada em<br />
9 ,5 g . Desprezando eventuais perdas <strong>de</strong> energia para o<br />
meio ambiente, qual a variação da temperatura da água?<br />
PENSE E RESPONDA<br />
SOLUÇÃO: Quando ligamos os terminais da célula a um condutor metálico que é<br />
imerso na água, <strong>de</strong>vemos igualar a energia ganha pelas cargas em seu interior ao<br />
calor cedido externamente à água. A temperatura da água aumenta, portanto, <strong>de</strong><br />
acordo com a equação:<br />
on<strong>de</strong><br />
da água,<br />
∆ Q = m c ∆T<br />
qε<br />
(18.5)<br />
agua agua<br />
=<br />
∆Q<br />
é o calor absorvido pela água, m<br />
agua<br />
sua massa, c<br />
agua<br />
o calor específico<br />
∆ T a variação <strong>de</strong> sua temperatura, q a carga que passa pela célula e<br />
ε = 1,1V é a fem (abreviatura <strong>de</strong> força eletromotriz) da célula.<br />
Para encontrar a carga total que passou pela célula, sabendo que cada íon <strong>de</strong><br />
cobre absorve dois elétrons ao se <strong>de</strong>positar no polo positivo, <strong>de</strong>vemos saber<br />
PR18.1) Qual é a diferença entre fem (força eletromotriz) e ddp (diferença <strong>de</strong><br />
potencial)? Em que condições a ddp nos terminais <strong>de</strong> uma bateria é igual à fem da<br />
bateria? Em que condições elas são diferentes?<br />
PR18.2) Uma pilha ou bateria é sempre i<strong>de</strong>ntificada pela fem especificada no<br />
rótulo; por exemplo, uma pilha AA usada em lanternas é especificada para “1,5<br />
volt”. Seria também apropriado colocar um rótulo em uma bateria para especificar<br />
a corrente que ela fornece? Por quê?<br />
PR18.3) Oito pilhas <strong>de</strong> lanterna em série fornecem uma fem aproximada <strong>de</strong><br />
12,0 V<br />
, igual à fem da bateria <strong>de</strong> um carro. Você po<strong>de</strong> usar essas pilhas para dar a<br />
partida do motor quando a bateria do carro está <strong>de</strong>scarregada?<br />
278<br />
279
18.3 CORRENTE ELÉTRICA<br />
Geradores <strong>de</strong> força eletromotriz po<strong>de</strong>m manter fluxos contínuos <strong>de</strong> carga<br />
através <strong>de</strong> circuitos condutores. A figura 18.3 mostra um gerador <strong>de</strong> fem com seus<br />
polos ligados externamente através <strong>de</strong> fios metálicos <strong>de</strong> diferentes espessuras.<br />
Nesses fios são representados alguns elétrons ( ) cujas velocida<strong>de</strong>s médias são<br />
indicadas por setas. No interior do gerador, supondo que seja do tipo <strong>de</strong> uma célula<br />
voltaica, são mostrados íons positivos ( ) que se movem em sentido contrário ao<br />
do campo elétrico, forçados pela diferença entre os potenciais eletroquímicos dos<br />
eletrodos. No circuito externo são mostradas com linhas tracejadas algumas<br />
superfícies, indicadas com os símbolos sr, sr’, so e sh, com seus vetores normais,<br />
por on<strong>de</strong> fluem os elétrons <strong>de</strong> condução.<br />
positivos. Cada átomo contribui com um elétron para a banda <strong>de</strong> condução.<br />
O gás <strong>de</strong> partículas negativas é, em cada momento e em cada ponto do<br />
corpo, neutralizado eletricamente pela re<strong>de</strong> positiva.<br />
Quando não há campo elétrico aplicado, a velocida<strong>de</strong> média dos<br />
elétrons é nula, ou seja, não há nenhuma direção privilegiada quanto ao<br />
movimento <strong>de</strong>ssas partículas, assim como acontece com a velocida<strong>de</strong> média das<br />
moléculas <strong>de</strong> um gás encerrado em uma garrafa. Em cada região há elétrons<br />
passando em todas as direções e o módulo <strong>de</strong> sua velocida<strong>de</strong> po<strong>de</strong> ser estimada<br />
supondo que o conjunto <strong>de</strong> elétrons se comporta como um gás i<strong>de</strong>al à temperatura<br />
ambiente.<br />
EXEMPLO 18.2<br />
+<br />
–<br />
sr’ so<br />
sh<br />
A<br />
F<br />
sr<br />
C<br />
D<br />
B<br />
E<br />
Fig. 18.3 – Célula voltaica e um circuito externo composto <strong>de</strong> fios condutores <strong>de</strong> diferentes<br />
espessuras. Alguns elétrons nos fios externos são representados com setas que indicam seu<br />
movimento. No interior r do dispositivo, íons positivos se <strong>de</strong>slocam em direção contrária. Uma<br />
seção reta, sr, uma seção oblíqua, so, uma horizontal, sh e parte <strong>de</strong> uma seção reta, sr’, são<br />
mostradas com seus vetores normais.<br />
Cada átomo constituinte da matéria é, geralmente, neutro, contendo o<br />
mesmo número <strong>de</strong> prótons e <strong>de</strong> elétrons. Quando esses átomos se associam<br />
po<strong>de</strong>mos ter diferentes situações <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ndo dos tipos <strong>de</strong> átomos que se juntam e<br />
das condições termodinâmicas.<br />
Em sólidos condutores, como os metais, alguns elétrons das órbitas<br />
mais externas ernas <strong>de</strong> cada átomo <strong>de</strong>ixam <strong>de</strong> estar ligados a estes e ficam livres<br />
para percorrer todo o corpo. Temos, então, íons positivos que vibram em<br />
torno <strong>de</strong> posições fixas, formando uma re<strong>de</strong> cristalina, e os elétrons, da<br />
chamada banda <strong>de</strong> condução, que se comportam como um gás <strong>de</strong><br />
partículas livres que, eventualmente, po<strong>de</strong>m se chocar com a re<strong>de</strong> <strong>de</strong> íons<br />
Encontre a velocida<strong>de</strong> quadrática média dos elétrons <strong>de</strong> condução em um metal à<br />
temperatura ambiente, supondo que se comportam como um gás i<strong>de</strong>al.<br />
SOLUÇÃO: De acordo com a teoria cinética dos gases a energia cinética média das<br />
partículas <strong>de</strong> um gás i<strong>de</strong>al é:<br />
1 3<br />
mu<br />
2 = k<br />
B<br />
T<br />
(18.8)<br />
2 2<br />
on<strong>de</strong> m é a massa do elétron, u sua velocida<strong>de</strong> quadrática média,<br />
k<br />
B a constante<br />
<strong>de</strong> Boltzmann e T é a temperatura. Na temperatura ambiente (T ~ 300 K) a<br />
velocida<strong>de</strong> quadrática média dos elétrons é:<br />
u<br />
1<br />
2<br />
=<br />
−<br />
−23<br />
⎛ 3k<br />
B<br />
T ⎞ ⎛ 3. × 1,4 × 10 × 300 ⎞<br />
5<br />
⎜ ⎟ =<br />
= 1,2 × 10 m / s.<br />
31<br />
m<br />
⎜<br />
9,1 10<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ × ⎠<br />
1<br />
2<br />
(18.9)<br />
Este resultado, baseado no teorema da equipartição da energia, é bem menor que<br />
o resultado obtido com a teoria quântica, que é próximo <strong>de</strong> 1,6 x 10 6 m/s. Isto<br />
mostra que esse teorema não se aplica a esse gás mas serviu, historicamente, para<br />
se ter uma primeira aproximação para essa velocida<strong>de</strong>.<br />
Na figura 18.3 a diferença <strong>de</strong> potencial entre os terminais A e F criada pelo<br />
gerador estabelece um campo elétrico no interior dos fios do circuito externo<br />
280<br />
281
que, diferentemente do caso eletrostático, não se anula, mas força os elétrons<br />
livres nos fios a adquirirem uma velocida<strong>de</strong> média diferente <strong>de</strong> zero e a se<br />
moverem no sentido contrário ao do campo elétrico (ou seja, no sentido<br />
horário nessa figura). Os elétrons não se acumulam no terminal A, pois ali se<br />
recombinam com íons positivos que se movem, no interior da célula, do terminal F<br />
para o terminal A. Para cada par <strong>de</strong> elétrons que se recombinam em A surgem dois<br />
elétrons em F, como já dissemos, com energia maior que os que chegaram em A.<br />
Você po<strong>de</strong> achar estranho o movimento dos íons positivos <strong>de</strong> F para A, já<br />
que o campo elétrico <strong>de</strong>ntro da célula, aponta do terminal positivo para o terminal<br />
negativo (i.e, no sentido horário nessa figura) e as cargas positivas <strong>de</strong>veriam<br />
mover-se naturalmente <strong>de</strong> F para A. Mas lembre-se que a função da célula é<br />
justamente dar energia às cargas levando-as do potencial mais baixo para o mais<br />
alto. Portanto, <strong>de</strong>ntro da célula, as cargas positivas se movem <strong>de</strong> F para A (ou seja,<br />
no sentido anti-horário nessa figura).<br />
Se o gerador <strong>de</strong> fem for <strong>de</strong> outro tipo, como um dínamo ou um termopar, as<br />
cargas móveis em seu interior serão também elétrons, que se movem <strong>de</strong> A para F,<br />
e há um fluxo contínuo <strong>de</strong> cargas negativas que não se acumulam em qualquer<br />
parte, mantendo a neutralida<strong>de</strong> da matéria em todos os pontos do circuito. Isto<br />
sugere que o fluxo <strong>de</strong> íons positivos <strong>de</strong> F para A, numa célula voltaica é, em termos<br />
<strong>de</strong> efeitos elétricos, equivalente a um fluxo <strong>de</strong> cargas negativas em sentido<br />
contrário em outros tipos <strong>de</strong> geradores. De fato, um fluxo <strong>de</strong> cargas positivas<br />
em um sentido é equivalente a um fluxo <strong>de</strong> cargas negativas em sentido<br />
oposto; com exceção do que ocorre em um fenômeno específico, o efeito Hall, que<br />
envolve campos elétricos e magnéticos e será estudado mais à frente.<br />
Na própria célula voltaica há íons negativos que se movem no sentido<br />
contrário aos positivos mas que não foram representados para manter a clareza do<br />
<strong>de</strong>senho; o fluxo que importa em cada região é a soma da carga positiva que flui<br />
em um sentido com a carga negativa que se move em sentido oposto.<br />
Por outro lado, duas cargas <strong>de</strong> mesmo módulo, mas <strong>de</strong> sinais contrários,<br />
movendo-se no mesmo sentido não representam qualquer fluxo líquido <strong>de</strong> cargas e<br />
seus efeitos elétricos se anulam. É o que ocorre quando temos um átomo neutro<br />
em movimento: trata-se <strong>de</strong> um conjunto <strong>de</strong> cargas positivas e negativas que se<br />
movem sem que haja qualquer fluxo líquido <strong>de</strong> cargas.<br />
282<br />
PENSE E RESPONDA<br />
PR18.4) Está claro para mim em que sentido as cargas estão se movendo?<br />
Consi<strong>de</strong>re a seção reta sr, indicada na fig. 18.3, que em um intervalo <strong>de</strong><br />
tempo ∆t é atravessada por uma carga líquida ∆q. Definimos a corrente elétrica,<br />
i , que a atravessa como:<br />
∆ q<br />
i = (18.10)<br />
∆ t<br />
A corrente elétrica, ou simplesmente a corrente, é a taxa com que a<br />
carga líquida atravessa uma <strong>de</strong>terminada superfície. Definida a superfície que<br />
estamos consi<strong>de</strong>rando, contamos, durante um intervalo <strong>de</strong> tempo <strong>de</strong>terminado, a<br />
quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong> cargas positivas que a atravessam em um sentido, por exemplo, <strong>de</strong><br />
A para B se consi<strong>de</strong>ramos a superfície “sr” na figura 18.3, <strong>de</strong>scontando as que<br />
passam em sentido contrário. Contamos também as cargas negativas que cruzam a<br />
superfície <strong>de</strong> B para A, <strong>de</strong>scontadas as que passam <strong>de</strong> A para B e somamos seu<br />
valor absoluto ao das positivas. O resultado obtido é dividido pelo intervalo <strong>de</strong><br />
tempo em questão.<br />
A taxa com que a carga elétrica atravessa uma <strong>de</strong>terminada superfície em<br />
um circuito po<strong>de</strong> variar com o tempo, <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ndo do tipo <strong>de</strong> circuito e do tipo <strong>de</strong><br />
gerador que é utilizado. Por isto <strong>de</strong>finimos a corrente elétrica, <strong>de</strong> forma mais geral,<br />
tomando um limite diferencial, e que transforma o segundo membro da equação<br />
anterior em uma <strong>de</strong>rivada:<br />
d q<br />
i = (18.11)<br />
d t<br />
A unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> corrente elétrica no SI, Coulomb por segundo, recebe o<br />
nome <strong>de</strong> Ampère:<br />
1 Ampère = 1 A = 1 C/s . (18.12)<br />
A superfície “so” na figura 18.3 é uma seção oblíqua do condutor. Como não<br />
há acúmulo <strong>de</strong> cargas em qualquer parte do circuito, a mesma quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
cargas que passa pela superfície “sr” passa por “so”, no mesmo intervalo <strong>de</strong> tempo.<br />
Mesmo tendo áreas <strong>de</strong> suas superfícies diferentes, as correntes que passam por<br />
ambas são iguais.<br />
283
Quanto à superfície horizontal “sh”, a corrente que a atravessa é nula, pois o<br />
movimento líquido <strong>de</strong> cargas é paralelo à superfície, ou perpendicular à seu vetor<br />
normal.<br />
Já a superfície sr’ é atravessada apenas por parte das cargas que<br />
atravessam “so” ou “sr”. Tanto em “sr” quanto em sr’ o movimento líquido das<br />
cargas é paralelo aos vetores normais das superfícies e a quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong> cargas que<br />
as atravessam <strong>de</strong>vem ser proporcionais a suas áreas.<br />
No trecho EDCB o fluxo <strong>de</strong> elétrons é obrigado a atravessar seções retas<br />
com áreas diferentes. Embora a corrente seja a mesma em todas as seções retas<br />
do circuito, a quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong> cargas por unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> área varia bastante, sendo<br />
muito maior no trecho DC do que em outros pontos do circuito.<br />
18.4 DENSIDADE DE CORRENTE ELÉTRICA<br />
A figura 18.4 mostra, esquematicamente, um trecho <strong>de</strong> um condutor, <strong>de</strong><br />
seção reta A, percorrido por uma corrente i. Se não houvesse campo elétrico no<br />
interior do condutor os elétrons da banda <strong>de</strong> condução teriam um movimento<br />
caótico, cuja velocida<strong>de</strong> média seria nula, apesar da velocida<strong>de</strong> quadrática média<br />
ser <strong>de</strong> aproximadamente 1600 km/s. Quando há um campo, os elétrons passam a<br />
ter, superposto a esse movimento caótico, um movimento em sentido contrário ao<br />
da corrente convencional. Ou seja, a velocida<strong>de</strong> média <strong>de</strong>sses elétrons <strong>de</strong>ixa <strong>de</strong> ser<br />
nula e assume um valor, que como veremos é muito menor que a velocida<strong>de</strong><br />
quadrática média dos elétrons, mas é a que está ligada ao valor da corrente. Esta<br />
velocida<strong>de</strong> média é <strong>de</strong>nominada velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong> arraste,<br />
v r a<br />
, e é representada na<br />
figura como se cada portador <strong>de</strong> carga tivesse apenas esse movimento, na mesma<br />
direção, mas em sentido contrário ao do campo.<br />
18.3.1 A CORRENTE ELÉTRICA CONVENCIONAL<br />
No interior <strong>de</strong> cada fio, com área da seção reta constante, o campo elétrico<br />
que se estabelece é uniforme e paralelo ao eixo do fio condutor, mesmo que este<br />
seja dobrado ou enrolado <strong>de</strong> alguma maneira arbitrária. O campo força as cargas<br />
positivas a se moverem em sua direção e sentido, enquanto as cargas negativas<br />
são forçadas a se moverem em sentido contrário ao do campo.<br />
Em um metal, sabemos que são elétrons os responsáveis pela condução<br />
elétrica; em um acelerador <strong>de</strong> partículas po<strong>de</strong>-se gerar um feixe <strong>de</strong> prótons, que<br />
constitui uma corrente elétrica; já em uma solução salina tanto íons positivos<br />
quanto negativos se <strong>de</strong>slocam, resultando na corrente total. É conveniente<br />
adotar uma corrente convencional, composta apenas por cargas positivas,<br />
em que as cargas negativas que se movem contra o campo são substituídas por<br />
cargas positivas movendo-se no sentido do campo. Sendo assim, na figura 18.3 a<br />
corrente convencional percorre o circuito externo no sentido ABCDEF enquanto os<br />
portadores <strong>de</strong> carga reais, os elétrons da banda <strong>de</strong> condução em cada condutor, se<br />
<strong>de</strong>slocam no sentido indicado pelas setas.<br />
Portanto, quando dizemos, por exemplo, que um fio metálico é percorrido<br />
por uma corrente em um sentido, sabemos que na realida<strong>de</strong> temos um fluxo <strong>de</strong><br />
elétrons no sentido contrário, mas que, para todos os efeitos que nos interessam<br />
aqui, se comporta como a corrente convencional.<br />
284<br />
Figura 18.4: Trecho <strong>de</strong> um condutor percorrido por uma corrente convencional, i, em que<br />
elétrons <strong>de</strong> condução são representados com sua velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong> arraste.<br />
Em um intervalo <strong>de</strong> tempo<br />
∆ t =<br />
L<br />
v a<br />
, todos os elétrons <strong>de</strong> condução no<br />
trecho <strong>de</strong> comprimento L , indicado na figura 18.4, irão atravessar a seção reta<br />
marcada com a letra A. Consi<strong>de</strong>rando que temos n portadores <strong>de</strong> carga por unida<strong>de</strong><br />
<strong>de</strong> volume no condutor e que cada portador tem carga q , a corrente po<strong>de</strong> ser<br />
relacionada à velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong> arraste:<br />
∆ q n q L A<br />
i = = = n q va<br />
A<br />
(18.13)<br />
∆ t L v<br />
a<br />
Vemos que a corrente é proporcional à área da seção reta do fio. Dividindo a<br />
corrente por essa área temos a corrente por unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> área que atravessa o fio.<br />
Essa gran<strong>de</strong>za representa o módulo do vetor <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> <strong>de</strong> corrente que se<br />
relaciona à corrente pela expressão:<br />
285
em que<br />
r r<br />
i = ∫ J • ⋅ dA<br />
(18.14)<br />
S<br />
dA<br />
r é um vetor normal à superfície consi<strong>de</strong>rada em cada ponto e cujo<br />
módulo é um elemento diferencial <strong>de</strong> área. J r é o vetor <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> <strong>de</strong> corrente,<br />
que tem a direção da velocida<strong>de</strong> média dos portadores <strong>de</strong> carga e sentido igual ao<br />
da corrente convencional. Sua unida<strong>de</strong> no SI é Ampère por metro quadrado, e é<br />
dado pela equação:<br />
r r<br />
J = nqv a<br />
(18.15)<br />
Esta expressão mostra que um fluxo <strong>de</strong> cargas positivas, em uma direção e<br />
sentido, produz um vetor <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> <strong>de</strong> corrente idêntico ao que é produzido por<br />
um fluxo da mesma quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong> carga negativa, na mesma direção, mas em<br />
sentido contrário.<br />
Enquanto a <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> <strong>de</strong> corrente é um vetor, conforme po<strong>de</strong>mos notar<br />
na equação 18.15, a corrente é um escalar. Embora a corrente tenha um<br />
sentido, não se po<strong>de</strong> falar <strong>de</strong> direção da mesma. Em um fio, com encapamento<br />
dielétrico, ligado a uma fem, a corrente não se altera se ele é dobrado <strong>de</strong> diversas<br />
maneiras, assumindo diferentes formas e orientações no espaço.<br />
Por outro lado, a corrente é uma gran<strong>de</strong>za macroscópica, no sentido<br />
<strong>de</strong> que me<strong>de</strong> a carga que passa através <strong>de</strong> uma dada superfície, cuja área<br />
é mensurável, enquanto a <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> <strong>de</strong> corrente é uma gran<strong>de</strong>za<br />
microscópica, que nos fornece uma visão do que ocorre em cada ponto no<br />
interior do condutor.<br />
EXEMPLO 18.3<br />
Qual o número <strong>de</strong> elétrons <strong>de</strong> condução por milímetro cúbico em um fio <strong>de</strong> cobre,<br />
3<br />
cuja <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> é 8,96<br />
g / cm ?<br />
SOLUÇÃO: Cada átomo <strong>de</strong> cobre contribui com um elétron para a banda <strong>de</strong><br />
condução, portanto o número <strong>de</strong> elétrons <strong>de</strong> condução é igual ao número <strong>de</strong><br />
átomos em um milímetro cúbico. Temos nesse volume uma massa <strong>de</strong> 8,96<br />
mg / cm<br />
; sendo a massa molecular do cobre <strong>de</strong> 63 ,54 g , encontramos o número <strong>de</strong>sejado:<br />
n =<br />
mCu<br />
N<br />
M<br />
Cu<br />
A<br />
− 3<br />
8,96 × 10 × 6,022×<br />
10<br />
=<br />
63,54<br />
23<br />
ATIVIDADE 18.3<br />
= 8,49 × 10<br />
19<br />
portadores/<br />
mm<br />
Qual a velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong> arraste dos elétrons <strong>de</strong> condução em um fio <strong>de</strong> cobre cuja<br />
2<br />
área da seção reta é <strong>de</strong> 1,0<br />
mm e que é percorrido por uma corrente <strong>de</strong> 2 ,00A<br />
?<br />
ATIVIDADE 18.4<br />
Encontre a velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong> arraste dos elétrons em um fio <strong>de</strong> prata com dois<br />
milímetros quadrados <strong>de</strong> seção reta, percorrido por uma corrente <strong>de</strong> 5,00 A,<br />
3<br />
sabendo que a <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> da prata é <strong>de</strong> 10,5<br />
g / cm e que sua massa molecular é<br />
<strong>de</strong><br />
108 g .<br />
3<br />
3<br />
Se o condutor tiver mais <strong>de</strong> um tipo <strong>de</strong> portador <strong>de</strong> carga, como é o caso <strong>de</strong><br />
uma solução salina, a <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> <strong>de</strong> corrente terá a contribuição <strong>de</strong> cada um <strong>de</strong>les:<br />
r<br />
J<br />
∑<br />
r<br />
= ni<br />
qi<br />
vi<br />
(18.16)<br />
Os portadores mais leves são mais efetivos na condução <strong>de</strong> corrente, pois<br />
sua velocida<strong>de</strong> é usualmente maior.<br />
286<br />
287
RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS<br />
ATIVIDADE 18.1<br />
O ví<strong>de</strong>o estará disponível no ambiente virtual <strong>de</strong> aprendizagem.<br />
ATIVIDADE 18.2<br />
A energia gasta para aumentar a temperatura <strong>de</strong> um litro <strong>de</strong> água em <strong>de</strong>z graus<br />
Celsius é:<br />
∆Q<br />
= m<br />
agua<br />
c<br />
agua<br />
3<br />
4<br />
∆T<br />
= 4,18×<br />
10 × 10 = 4,18×<br />
10 J<br />
Como no exemplo 18.3, <strong>de</strong>vemos calcular o número <strong>de</strong> portadores <strong>de</strong> carga por<br />
unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> volume no fio <strong>de</strong> prata:<br />
n<br />
d<br />
Ag<br />
N<br />
=<br />
M<br />
10,5<br />
22<br />
3<br />
=<br />
= 5,85 10 portadores / cm .<br />
23<br />
6,022 × 10 × 108<br />
A<br />
Ag<br />
×<br />
Ag<br />
Este valor é um pouco menor que no caso do cobre. Po<strong>de</strong>mos agora, como<br />
na Ativida<strong>de</strong> 18.2, calcular a velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong> arraste:<br />
v a<br />
5 −4<br />
=<br />
= 2,7 × 10<br />
− 6<br />
28<br />
−19<br />
2.10 × 5,85 × 10 × 1,6 × 10<br />
m<br />
.<br />
s<br />
on<strong>de</strong> fizemos uso dos valores conhecidos da <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> da água igual a 1 ,00 kg / l ,<br />
0<br />
<strong>de</strong> seu calor específico igual 1 ,00 kcal / g C e do equivalente mecânico do calor:<br />
1 ,00 cal = 4, 18J .<br />
Desprezando qualquer perda para o meio ambiente igualamos este calor à<br />
energia elétrica consumida para encontrar a quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong> carga que atravessa a<br />
célula voltaica durante o processo:<br />
4<br />
∆Q<br />
4,18 × 10<br />
4<br />
q = = = 3,8 × 10 C<br />
ε 1,1<br />
’<br />
O valor <strong>de</strong>sta carga dividida pelo dobro da carga do elétron nos dá o número<br />
<strong>de</strong> átomos <strong>de</strong> zinco que <strong>de</strong>ixam o polo negativo e se integram à solução. Dividindo<br />
este número pelo número <strong>de</strong> Avogadro temos o número <strong>de</strong> moles que multiplicado<br />
pela massa molecular do zinco fornece a quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong> massa perdida por este<br />
eletrodo:<br />
m<br />
N<br />
ATIVIDADE 18.3<br />
Sendo, na equação 18.13,<br />
4<br />
3,8 × 10<br />
,4<br />
19<br />
2×<br />
1,6 × 10 × 6,022 × 10<br />
atm<br />
Zn<br />
= M<br />
Zn<br />
= 65 =<br />
−<br />
23<br />
N<br />
A<br />
13g.<br />
−19<br />
q = e = 1,60 × 10 C , a carga do elétron e n o valor<br />
calculado no exemplo 18.3, encontramos a velocida<strong>de</strong>:<br />
2,00<br />
5 m<br />
v = a<br />
= 1,5.10 .<br />
19<br />
− 19<br />
6<br />
8,5 × 10 × 1,6 × 10 × 1,0 × 10<br />
− s<br />
ATIVIDADE 18.4<br />
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO<br />
E18.1) Uma bateria <strong>de</strong> motocicleta com uma força eletromotriz <strong>de</strong><br />
carga inicial <strong>de</strong><br />
12 ,0 V tem uma<br />
120 Ah . Supondo que a diferença <strong>de</strong> potencial entre os terminais<br />
permaneça constante até que a bateria se <strong>de</strong>scarregue, quantas horas a bateria é<br />
capaz <strong>de</strong> fornecer uma potência <strong>de</strong><br />
E18.2) Uma corrente elétrica <strong>de</strong><br />
100 W ?<br />
Coulombs fluem através <strong>de</strong>sse chuveiro em<br />
3 ,6 A flui através <strong>de</strong> um chuveiro. Quantos<br />
3 ,0 h ?<br />
E18.3) Por um fio <strong>de</strong> cobre <strong>de</strong> 2,5 mm <strong>de</strong> diâmetro passa uma corrente <strong>de</strong><br />
−10<br />
1,20 × 10 A . O número <strong>de</strong> portadores <strong>de</strong> carga por unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> volume é<br />
8,49<br />
28 −3<br />
× 10 m . Supondo que a corrente é uniforme, calcule (a) a <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
corrente e (b) a velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>riva dos elétrons.<br />
8<br />
E18.4) Um feixe <strong>de</strong> partículas possui 2 ,0 × 10 íons positivos duplamente carregados<br />
por centímetro cúbico, todos eles se movem para o norte com uma velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
5<br />
1,0 × 10 m / s . Determine (a) o módulo e (b) a direção da <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> <strong>de</strong> corrente J r .<br />
(c) É possível <strong>de</strong>terminar a corrente total associada? Justifique.<br />
E18.5) O fusível é projetado para abrir um circuito quando a corrente ultrapassar<br />
um certo valor. Suponha que o material a ser usado em um fusível sofra fusão<br />
2<br />
quando a <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> <strong>de</strong> corrente ultrapassar 440A<br />
/ cm . Que diâmetro <strong>de</strong> fio<br />
cilíndrico <strong>de</strong>ve ser usado para fazer um fusível que limite a corrente <strong>de</strong><br />
0 ,5A<br />
?<br />
288<br />
289
AULA 19 RESISTÊNCIA ELÉTRICA, RESISTIVIDADE E LEI DE<br />
OHM<br />
OBJETIVOS<br />
• DISCUTIR OS CONCEITOS RELACIONADOS À RESISTÊNCIA E À RESISTIVIDADE ELÉTRICAS<br />
Lembre-se que V é a variação da energia potencial elétrica <strong>de</strong> cada unida<strong>de</strong><br />
<strong>de</strong> carga que percorre o condutor; portanto o produto<br />
R i representa a perda <strong>de</strong><br />
energia potencial elétrica quando uma unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> carga atravessa um condutor e<br />
esta energia aparece como energia térmica no próprio condutor que, nesse caso,<br />
<strong>de</strong>nominamos resistor.<br />
A razão Volt/Ampère, que é a unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> resistência, por sua<br />
importância, recebe o nome <strong>de</strong> Ohm cujo símbolo é Ω :<br />
19.1 RESISTÊNCIA ELÉTRICA<br />
Quando ligamos externamente os pólos <strong>de</strong> um gerador <strong>de</strong> força eletromotriz<br />
com algum condutor, surge, uma corrente elétrica, cujo sentido convencional, como<br />
vimos, é do pólo positivo para o pólo negativo. De fato, o que acontece é que<br />
elétrons saem do pólo negativo, per<strong>de</strong>m energia potencial elétrica, que surge como<br />
energia térmica no fio condutor, e chegam ao pólo positivo.<br />
Já que a tensão entre os terminais dos geradores <strong>de</strong> força eletromotriz é<br />
característica <strong>de</strong> cada um <strong>de</strong>les, uma pergunta que se po<strong>de</strong> fazer neste ponto é:<br />
com que facilida<strong>de</strong> fluirão as cargas, quando esses terminais são ligados<br />
externamente? Equivalentemente: qual o valor da corrente que percorrerá o<br />
circuito?<br />
A resposta é que a corrente obtida <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> principalmente das<br />
características do circuito externo: o comprimento, a seção reta dos fios utilizados<br />
os materiais <strong>de</strong> que são feitos, são fatores que influenciam o resultado.<br />
Quando se aplica uma diferença <strong>de</strong> potencial às extremida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> um<br />
condutor provocando a passagem <strong>de</strong> uma corrente elétrica, <strong>de</strong>fine-se a resistência<br />
elétrica (ou, simplesmente, resistência), R , entre esse dois pontos, como a<br />
razão entre a tensão aplicada, V , e a corrente gerada, i .<br />
V<br />
R = . (19.1)<br />
i<br />
Quanto maior for a resistência do condutor menor será a corrente, para um<br />
dado potencial aplicado.<br />
V<br />
1 Ohm = 1 Ω = 1 . (19.2)<br />
m<br />
19.2 LEI DE OHM<br />
A equação 19.1 <strong>de</strong>fine o que é a resistência <strong>de</strong> um condutor, mas não nos<br />
fornece qualquer informação a respeito do comportamento <strong>de</strong>ssa gran<strong>de</strong>za, quando<br />
aplicamos diferentes valores <strong>de</strong> tensão às extremida<strong>de</strong>s do condutor.<br />
A tensão aplicada às extremida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> um condutor e a conseqüente corrente<br />
que o percorre são gran<strong>de</strong>zas macroscópicas que po<strong>de</strong>m ser medidas com<br />
aparelhos <strong>de</strong>nominados respectivamente voltímetro e amperímetro. Tais aparelhos<br />
serão <strong>de</strong>scritos em uma aula posterior.<br />
Para termos uma noção mais clara do que ocorre quando fazemos variar o<br />
valor da tensão aplicada a um condutor, apresentamos os resultados <strong>de</strong> nossas<br />
medidas <strong>de</strong> tensão e corrente <strong>de</strong> forma gráfica.<br />
Na figura 19.1 po<strong>de</strong>mos ver diferentes comportamentos da corrente em<br />
função da tensão aplicada a: (a) um condutor linear ou ôhmico; (b) uma válvula<br />
diodo, que só conduz corrente em um sentido; (c) um diodo semicondutor, cuja<br />
resistência não só varia com a tensão aplicada, mas apresenta valores muito<br />
diferentes quando se inverte sua polarida<strong>de</strong>.<br />
Nessas medidas <strong>de</strong> corrente e tensão, a temperatura <strong>de</strong> cada condutor é<br />
mantida constante, pois, como veremos, os valores das resistivida<strong>de</strong>s dos diversos<br />
materiais apresentam alguma <strong>de</strong>pendência com a temperatura..<br />
290<br />
291
Diversos dispositivos construídos pelo ser humano não apresentam esse<br />
comportamento. Nas figuras 19.1 (b) e (c) temos dois exemplos <strong>de</strong> condutores que<br />
não têm comportamento linear e cujo uso em circuitos elétricos advém exatamente<br />
<strong>de</strong> seus comportamentos incomuns na natureza. Estes são <strong>de</strong>nominados<br />
condutores não lineares ou não ôhmicos.<br />
Figura 19.1: Gráficos <strong>de</strong> corrente em função da tensão aplicada: (a) condutor<br />
ôhmico, (b) válvula <strong>de</strong> diodo e (c) diodo semicondutor.<br />
Nos três casos apresentados, e <strong>de</strong> forma geral, o inverso multiplicativo da<br />
inclinação em cada ponto <strong>de</strong> cada curva representa a resistência para cada valor da<br />
tensão.<br />
Em outras palavras, a inclinação representa a condutância do material em<br />
cada ponto da curva. A condutância, S, é <strong>de</strong>finida pela expressão i = SV, mas<br />
raramente é utilizada.<br />
A imensa maioria, <strong>de</strong>ntre todos os objetos condutores, tem um<br />
comportamento <strong>de</strong>scrito pela curva apresentada na figura 19.1a.<br />
Essa curva correspon<strong>de</strong> a uma reta que passa pela origem, ou seja, trata-se<br />
<strong>de</strong> uma proporção direta entre a corrente e a tensão. Isto indica que uma infinida<strong>de</strong><br />
<strong>de</strong> objetos têm resistências cujos valores in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>m das tensões a que estão<br />
submetidos, <strong>de</strong>s<strong>de</strong> que mantidas inalteradas suas temperaturas.<br />
Esta observação correspon<strong>de</strong> à lei <strong>de</strong> Ohm (Georg Simon Ohm, 1781-<br />
1854):<br />
A lei <strong>de</strong> Ohm é uma relação empírica obtida da observação <strong>de</strong> que a<br />
maioria dos materiais apresenta o comportamento sugerido pela figura<br />
19.1(a).<br />
Po<strong>de</strong>mos fazer, no entanto, uma <strong>de</strong>dução clássica da lei <strong>de</strong> Ohm, baseada<br />
em um mo<strong>de</strong>lo microscópico que consi<strong>de</strong>ra um condutor como uma re<strong>de</strong> cristalina<br />
envolta por um gás <strong>de</strong> partículas que têm, por se chocarem constantemente com a<br />
re<strong>de</strong>, um movimento aleatório, com velocida<strong>de</strong> quadrática média em torno <strong>de</strong> 1600<br />
km/s.<br />
Quando é aplicado um campo elétrico esses elétrons são acelerados,<br />
ganhando, portanto, energia cinética. Ao se chocarem novamente com íons<br />
positivos, per<strong>de</strong>m completamente esta energia para a re<strong>de</strong>. Este processo continua<br />
e os elétrons ganham um pouco <strong>de</strong> energia, que é logo entregue à re<strong>de</strong> cristalina.<br />
Desta forma, os elétrons adquirem uma velocida<strong>de</strong> média, a velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
arraste<br />
v<br />
a<br />
, que permanece constante.<br />
Esse processo é diferente do que ocorre com elétrons sob a ação <strong>de</strong> um<br />
campo, no espaço livre, que são acelerados e têm sua velocida<strong>de</strong> aumentada<br />
continuamente.<br />
Consi<strong>de</strong>remos que o tempo médio entre dois choques <strong>de</strong> um elétron com a<br />
re<strong>de</strong> seja τ e que o tempo <strong>de</strong> duração <strong>de</strong> cada choque seja <strong>de</strong>sprezível; então, a<br />
cada intervalo <strong>de</strong> tempo τ cada elétron, em média, adquire (<strong>de</strong>vido à ação do<br />
campo elétrico) e per<strong>de</strong> (<strong>de</strong>vido aos choques com a re<strong>de</strong>) uma quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
A resistência da maioria dos condutores in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong> dos valores <strong>de</strong> tensão<br />
a eles aplicados, sendo a corrente produzida, em cada caso, diretamente<br />
proporcional à tensão aplicada.<br />
movimento<br />
mv<br />
a<br />
. Po<strong>de</strong>mos então dizer que a re<strong>de</strong> cristalina funciona como<br />
um meio viscoso que exerce uma força média contrária à que é exercida<br />
pelo campo elétrico, que leva os elétrons terem uma velocida<strong>de</strong> terminal: a<br />
velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong> arraste.<br />
Devido à forma da curva obtida nos gráficos como o da figura 19.1(a) os<br />
condutores que se comportam <strong>de</strong> acordo com a lei <strong>de</strong> Ohm são<br />
<strong>de</strong>nominados condutores ôhmicos ou lineares.<br />
elétrica:<br />
Igualando a perda média <strong>de</strong> momento por unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> tempo à força<br />
292<br />
293
mv a<br />
= eE,<br />
τ<br />
(19.3)<br />
o que nos fornece a resistivida<strong>de</strong> <strong>de</strong> um condutor:<br />
on<strong>de</strong> m é a massa e e a carga do elétron, encontramos a velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong> arraste<br />
como função da intensida<strong>de</strong> do campo elétrico e do intervalo <strong>de</strong> tempo médio entre<br />
choques.<br />
E mu<br />
ρ = =<br />
J n e<br />
2 L .<br />
(19.6)<br />
EXEMPLO 19.1<br />
Qual o tempo médio entre as colisões dos elétrons com a re<strong>de</strong> em um fio <strong>de</strong> cobre<br />
2<br />
com 1,0<br />
mm <strong>de</strong> seção reta, 1 ,0 m <strong>de</strong> comprimento, percorrido por uma corrente <strong>de</strong><br />
2 ,0 A ?<br />
SOLUÇÃO: De acordo com a ativida<strong>de</strong> 18.2, a velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong> arraste dos elétrons é<br />
<strong>de</strong> 1,5.10<br />
−4<br />
m / s . O campo elétrico po<strong>de</strong> ser calculado usando-se:<br />
Portanto o tempo médio entre choques é:<br />
τ =<br />
−8<br />
1,7<br />
∗10<br />
Ωm<br />
× 2,0A<br />
−2<br />
E = ρ J =<br />
3,4 ∗10<br />
V / m .<br />
−6<br />
2<br />
1,0 ∗10<br />
m<br />
−31<br />
m a 9,11∗<br />
10<br />
− 14<br />
v<br />
e E<br />
=<br />
1,6 ∗10<br />
−19<br />
−4<br />
kg × 1,5 ∗10<br />
m / s<br />
= 2,5∗10<br />
−2<br />
C × 3,4∗10<br />
V / m<br />
s<br />
A velocida<strong>de</strong> quadrática média não é afetada pelo campo elétrico, pois,<br />
como vimos, este produz um efeito sobre os elétrons que é sua velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
arraste, um valor<br />
10<br />
10 vezes menor que a velocida<strong>de</strong> u .<br />
O livre caminho médio <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> da probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> colisão entre os elétrons<br />
e os íons da re<strong>de</strong>. No mo<strong>de</strong>lo clássico, esta probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> das dimensões<br />
dos íons da re<strong>de</strong> e do número <strong>de</strong>stes por unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> volume, sendo in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nte<br />
<strong>de</strong> qualquer campo aplicado.<br />
Nenhuma das <strong>de</strong>mais gran<strong>de</strong>zas que aparecem nesta expressão para a<br />
resistivida<strong>de</strong> clássica <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> do campo elétrico. Ela está, portanto, <strong>de</strong> acordo com<br />
a lei <strong>de</strong> Ohm.<br />
Embora o mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> elétrons como bolas <strong>de</strong> bilhar, chocando-se<br />
inelasticamente com ‘pinos’ em uma mesa tridimensional, seja bastante grosseiro,<br />
e necessário o uso da teoria quântica para se obter resultados mais condizentes<br />
com os obtidos experimentalmente, esta expressão é qualitativamente correta.<br />
Consi<strong>de</strong>rando que os elétrons se movem, entre os choques, com velocida<strong>de</strong>s<br />
em torno da velocida<strong>de</strong> quadrática média, introduzimos o conceito <strong>de</strong> livre<br />
caminho médio, ( L ), que é a média das distâncias percorridas pelos<br />
elétrons entre dois choques:<br />
L = uτ ,<br />
(19.4)<br />
ATIVIDADE 19.1<br />
Qual o livre percurso médio dos elétrons no fio <strong>de</strong> cobre do exemplo 19.1?<br />
19.3 RESISTIVIDADE E CONDUTIVIDADE<br />
O que nos dá o tempo entre colisões como função da velocida<strong>de</strong> quadrática média e<br />
do livre caminho médio.<br />
Levando estes resultados à equação 18.16 encontramos<br />
2<br />
ne L<br />
J = n eva = E,<br />
(19.5)<br />
mu<br />
A resistência é uma característica <strong>de</strong> um condutor como um todo: aplica-se<br />
uma tensão às extremida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> um objeto macroscópico e observa-se a corrente<br />
que o atravessa.<br />
Para compreen<strong>de</strong>r o que ocorre em cada ponto no interior do<br />
condutor, adotamos um ponto <strong>de</strong> vista microscópico. Ao aplicarmos uma diferença<br />
<strong>de</strong> potencial às extremida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> um condutor, criamos um campo elétrico que força<br />
294<br />
295
os portadores <strong>de</strong> carga a adquirirem uma velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong> arraste, criando, assim,<br />
uma corrente elétrica.<br />
A <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> <strong>de</strong> corrente, como vimos anteriormente, é diretamente<br />
proporcional à velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong> arraste dos portadores <strong>de</strong> carga. A razão entre o valor<br />
do campo elétrico e o valor da <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> <strong>de</strong> corrente em cada ponto do condutor<br />
<strong>de</strong>fine a gran<strong>de</strong>za que <strong>de</strong>nominamos resistivida<strong>de</strong> resistivida<strong>de</strong>, ρ , do material:<br />
r r<br />
E = ρ J . (19.7)<br />
Esta equação indica que a <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> <strong>de</strong> corrente tem a mesma direção<br />
e sentido do campo elétrico em cada ponto.<br />
o que nos leva à expressão:<br />
L<br />
R = ρ .<br />
(19.10)<br />
A<br />
A resistência <strong>de</strong> um fio é tanto maior quanto maior for seu comprimento e<br />
tanto menor maior a área <strong>de</strong> sua seção reta.<br />
Este comportamento é análogo ao <strong>de</strong> um canudinho usado para beber<br />
líquidos. Quanto maior for seu comprimento e quanto menor a área <strong>de</strong> sua seção<br />
reta, maior será sua resistência à passagem do líquido. Por isso, na figura 18.3, a<br />
resistência do trecho CD <strong>de</strong>ve ser bem maior que a do trecho AB ou do trecho EF,<br />
se o material for o mesmo em todos os trechos do circuito externo.<br />
EXEMPLO 19.2<br />
Se um condutor é constituído por algum material cuja composição varia <strong>de</strong><br />
um ponto a outro a resistivida<strong>de</strong> também po<strong>de</strong> variar ao longo do volume do corpo.<br />
Consi<strong>de</strong>rando corpos homogêneos, a resistivida<strong>de</strong> é uma característica <strong>de</strong> cada<br />
material e in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong> das dimensões dos condutores consi<strong>de</strong>rados.<br />
Frequentemente é utilizada a gran<strong>de</strong>za, também característica <strong>de</strong> cada<br />
material, <strong>de</strong>nominada condutivida<strong>de</strong>, σ , que é o inverso multiplicativo da<br />
resistivida<strong>de</strong>.<br />
2<br />
Cabos <strong>de</strong> aço com 2,0<br />
cm <strong>de</strong> seção reta e 300 km <strong>de</strong> comprimento são utilizados<br />
para conectar uma usina hidrelétrica a uma cida<strong>de</strong>. Qual a resistência elétrica <strong>de</strong><br />
cada um <strong>de</strong>les?<br />
−8<br />
SOLUÇÃO: De acordo com a tabela 19.1 a resistivida<strong>de</strong> do aço é <strong>de</strong> 18 ,0×<br />
10 Ωm<br />
.<br />
Portanto a resistência <strong>de</strong> cada cabo é:<br />
5<br />
−8<br />
3.10<br />
R = 18.10<br />
= 270Ω<br />
(19.11)<br />
−4<br />
2.10<br />
Po<strong>de</strong>mos, então, reescrever a equação 19.7 na seguinte forma:<br />
r r<br />
J = σ E . (19.8)<br />
ATIVIDADE 19.2<br />
−8<br />
Um fio <strong>de</strong> Kanthal, liga metálica cuja resistivida<strong>de</strong> é <strong>de</strong> 140 × 10 Ωm<br />
, tem uma<br />
resistência <strong>de</strong> 5 ,6Ω<br />
, comprimento <strong>de</strong> 4 ,0 m e seção reta retangular.<br />
a) Qual a área <strong>de</strong> sua seção reta?<br />
Se uma diferença <strong>de</strong> potencial é aplicada a um fio <strong>de</strong> seção reta constante,<br />
A , e <strong>de</strong> comprimento L , a relação entre a tensão e o campo é<br />
corrente e a <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> <strong>de</strong> corrente é<br />
V = E L ; e entre a<br />
i = J A . De acordo com a equação 19.1<br />
b) O fio é cortado ao meio, resultando em dois fios <strong>de</strong> um metro que são<br />
colocados lado a lado, formando um único fio mais curto, porém mais grosso. Qual<br />
será sua nova resistência?<br />
teremos:<br />
EL<br />
R = ,<br />
(19.9)<br />
JA<br />
296<br />
297
RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS<br />
ATIVIDADE 19.1<br />
De acordo com a expressão para o livre caminho médio, tomando o valor da<br />
velocida<strong>de</strong> quadrática média com 1600 km/s e o tempo médio entre choques<br />
calculado no exemplo 20.1 temos:<br />
6<br />
L = v.<br />
τ = 1,6 × 10 .2,5 × 10<br />
−14<br />
= 4 × 10<br />
ATIVIDADE 19.2<br />
a) De acordo com a equação 19.6, a área da seção reta do fio é:<br />
−8<br />
L 140.10<br />
..4<br />
−6<br />
2<br />
2<br />
A = ρ = = 1,0.10 m = 1,0mm<br />
.<br />
R 5,6<br />
O fio tem uma seção reta quadrada com um milímetro <strong>de</strong> lado.<br />
b) Temos um novo resistor com comprimento<br />
po<strong>de</strong>mos calcular a nova resistência:<br />
−8<br />
m.<br />
L<br />
L ' = e área A' = 2A<br />
. Portanto<br />
2<br />
Determine (a) a corrente no fio, (b) o módulo da <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> <strong>de</strong> corrente e (c) a<br />
resistivida<strong>de</strong> do material do fio.<br />
E19.2) Um certo fio possui resistência R . Qual será a resistência <strong>de</strong> um outro fio<br />
<strong>de</strong> mesmo material com meta<strong>de</strong> do comprimento e meta<strong>de</strong> do diâmetro?<br />
E19.3) Uma diferença <strong>de</strong> potencial <strong>de</strong> 4,50V é aplicada entre as extremida<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
um fio <strong>de</strong> 2,50 m <strong>de</strong> comprimento e raio 0,654 mm. A corrente resultante é 17,6 A.<br />
Qual é a resistivida<strong>de</strong> do fio?<br />
E19.4) Um aluno possui dois condutores <strong>de</strong> mesmo material e mesmo<br />
comprimento: o primeiro é um fio maciço <strong>de</strong> 1,0 mm <strong>de</strong> diâmetro e o segundo é<br />
um tubo oco com diâmetro externo <strong>de</strong> 2,0 mm e diâmetro interno <strong>de</strong> 1,0 mm. Qual<br />
é a razão entre as resistências dos condutores?<br />
E19.5) Qual é a carga que passa por uma seção reta <strong>de</strong> um fio cobre em 3,0 ms se<br />
uma diferença <strong>de</strong> potencial <strong>de</strong> 3,0 nV é aplicada entre suas extremida<strong>de</strong>s. O fio<br />
possui 2 cm <strong>de</strong> comprimento e raio <strong>de</strong> 2,0 mm.<br />
'<br />
R<br />
'<br />
L<br />
= ρ<br />
'<br />
A<br />
L R<br />
= ρ = = 1,4Ω.<br />
4A<br />
4<br />
Portanto a nova resistência é quatro vezes menor que a original.<br />
PENSE E RESPONDA<br />
PR19.1) Três fios <strong>de</strong> mesmo diâmetro são ligados entre dois pontos mantidos a<br />
uma mesma diferença <strong>de</strong> potencial. As resistivida<strong>de</strong>s e comprimentos dos fios são<br />
ρ e L (fio A), 1,2 ρ e 1,2 L (fio B) e 0,9 ρ e L (fio C). Coloque os fios em or<strong>de</strong>m<br />
crescente <strong>de</strong> resistência.<br />
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO<br />
E19.1) Uma diferença <strong>de</strong> potencial <strong>de</strong> 23,0 V é aplicada nas extremida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> um<br />
fio <strong>de</strong> 4,0 m <strong>de</strong> comprimento e 6,0 mm <strong>de</strong> diâmetro e resistência <strong>de</strong> 15,0 Ω .<br />
298<br />
299
AULA 20 RESISTIVIDADE DOS MATERIAIS E POTÊNCIA<br />
ELÉTRICA<br />
OBJETIVOS<br />
• CONHECER E APLICAR A LEI DE OHM<br />
• APLICAR O CONCEITO DE POTÊNCIA ELÉTRICA<br />
20.1 RESISTIVIDADE E EFEITO DA TEMPERATURA<br />
Qualquer material submetido a uma tensão conduz alguma corrente, sendo,<br />
portanto, um condutor. Entretanto, observa-se que os valores <strong>de</strong> suas<br />
resistivida<strong>de</strong>s po<strong>de</strong>m ser muito próximos, se compararmos dois metais, ou muito<br />
diferentes, se compararmos um metal com um objeto <strong>de</strong> vidro.<br />
Materiais como o vidro, a borracha, a ma<strong>de</strong>ira, diversos tipos <strong>de</strong> plásticos<br />
etc., que têm resistivida<strong>de</strong>s muito altas, são <strong>de</strong>nominados isolantes ou<br />
dielétricos. Materiais, como os metais, que apresentam valores muito pequenos<br />
<strong>de</strong> sua resistivida<strong>de</strong> são <strong>de</strong>nominados condutores.<br />
Existem materiais cujas resistivida<strong>de</strong>s apresentam valores<br />
intermediários e por isto são <strong>de</strong>nominados semicondutores. Há ainda materiais<br />
que, quando resfriados abaixo <strong>de</strong> temperaturas características,<br />
<strong>de</strong>nominadas temperaturas críticas, apresentam valores nulos <strong>de</strong><br />
resistivida<strong>de</strong>; eles são <strong>de</strong>nominados supercondutores. Neste último caso é<br />
possível a existência <strong>de</strong> correntes elétricas sem perda <strong>de</strong> energia elétrica e<br />
conseqüente geração <strong>de</strong> calor.<br />
ATIVIDADE 20.1<br />
Pesquise sobre aplicações tecnológicas dos semicondutores e dos supercondutores.<br />
A tabela 20.1 mostra valores <strong>de</strong> resistivida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> diversos materiais à temperatura<br />
<strong>de</strong> referência<br />
0<br />
T0 = 20 C . Isto é importante, pois, em geral, os valores das<br />
resistivida<strong>de</strong>s mudam com a variação da temperatura. Po<strong>de</strong>mos representar esta<br />
<strong>de</strong>pendência, aproximadamente, através da equação<br />
300<br />
on<strong>de</strong> ρ<br />
0<br />
é a resistivida<strong>de</strong> a<br />
[ + ( T − )],<br />
ρ = ρ α<br />
(20.1)<br />
0<br />
1 T0<br />
20 0 C , T a temperatura e α é o coeficiente <strong>de</strong><br />
temperatura da resistivida<strong>de</strong>, cujos valores são também relacionados na tabela<br />
20.1.<br />
0<br />
Tabela 20.1: Resistivida<strong>de</strong>s e coeficientes <strong>de</strong> temperatura ( T0 = 20 C ) <strong>de</strong> alguns materiais<br />
Substância Resistivida<strong>de</strong> ( Ω m ) α ( o C -1 )<br />
CONDUTORES<br />
Metais<br />
Prata<br />
Cobre<br />
Ouro<br />
Alumínio<br />
Ferro<br />
Chumbo<br />
Mercúrio<br />
Ligas<br />
Aço<br />
Manganino<br />
Constantan<br />
Níquel-Cromo<br />
SEMICONDUTORES<br />
Carbono<br />
Germânio<br />
Silício<br />
Silício tipo n a<br />
Silício tipo p b<br />
DIELÉTRICOS<br />
Ma<strong>de</strong>ira<br />
Âmbar<br />
Vidro<br />
Mica<br />
Teflon<br />
Enxofre<br />
1,6 x 10 -8<br />
1,7 x 10 -8<br />
3,8 x 10 -3<br />
2,5 x 10 -8<br />
3,9 x 10 -3<br />
2,2 x 10 -8<br />
3,4 x 10 -3<br />
10 x 10 -8<br />
22 x 10 -8<br />
3,9 x 10 -3<br />
95 x 10 -8<br />
5,0 x 10 -3<br />
4,3 x 10 -3<br />
18 x 10 -8<br />
45 x 10 -8<br />
8,8 x 10 -4<br />
48 x 10 -8<br />
100 x 10 -8<br />
3,5 x 10 -5<br />
~ 10 -6<br />
0,45<br />
< 10 -5<br />
2,3 x 10 3<br />
4,0 x 10 -4<br />
8,7 x 10 -4<br />
2,8 x 10 -3<br />
– 5 x 10 -4<br />
10 8 a 10 11<br />
– 4,8 x 10 -2<br />
5 x 10 14<br />
10 10 a 10 14<br />
– 7,0 x 10 -2<br />
10 11 a 10 15<br />
> 10 13<br />
1,0 x 10 15<br />
a – silício dopado com 10 17 átomos <strong>de</strong> fósforo por mm 3 ; b – silício dopado com 10 17 átomos <strong>de</strong> alumínio<br />
por mm 3<br />
301
Vemos na tabela 20.1 que os metais puros são os melhores condutores e<br />
que suas resistivida<strong>de</strong>s são da or<strong>de</strong>m <strong>de</strong><br />
20<br />
10 vezes menores que a resistivida<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
alguns dielétricos. Os metais são também bons condutores <strong>de</strong> calor, pois os<br />
elétrons, responsáveis pela condução elétrica, têm também papel relevante na<br />
condução térmica.<br />
De forma geral po<strong>de</strong>-se afirmar que bons condutores <strong>de</strong> eletricida<strong>de</strong> são<br />
bons condutores <strong>de</strong> calor. No entanto as diferenças entre as condutivida<strong>de</strong>s<br />
térmicas dos materiais são muito menores. Não há condutores <strong>de</strong> calor tão<br />
eficientes quanto o são os bons condutores elétricos, assim como não há isolantes<br />
térmicos com a eficiência dos isolantes elétricos. Isto permite que manipulemos<br />
fluxos <strong>de</strong> cargas elétricas com muito mais facilida<strong>de</strong> do que se po<strong>de</strong> fazer com a<br />
energia térmica.<br />
PR20.1) Como você espera que ocorra a variação da resistivida<strong>de</strong> com a<br />
temperatura <strong>de</strong> um bom isolante tal como vidro ou poliestireno?<br />
<strong>de</strong>slocamento diferencial e integrarmos do pólo negativo até o positivo<br />
encontraremos:<br />
1<br />
q<br />
+ r 1 + r 1<br />
FNC<br />
dl +<br />
− ∫ E • dl =<br />
−<br />
∫<br />
r r + r r<br />
• ∫ ∆F<br />
• dl<br />
q q<br />
−<br />
(20.3)<br />
A primeira integral é a força eletromotriz do gerador; a segunda é o<br />
negativo da diferença <strong>de</strong> potencial entre seus pólos positivo e negativo; e a<br />
terceira é a energia necessária, por unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> carga, para manter as<br />
cargas em movimento, e que aparece como energia térmica no próprio<br />
gerador.<br />
gerador,<br />
Esta energia por unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> carga é igual à resistência interna do<br />
r , multiplicada pela corrente que o atravessa. Po<strong>de</strong>mos, então,<br />
reescrevendo esta última equação, mostrar a relação entre a diferença <strong>de</strong> potencial<br />
entre os terminais <strong>de</strong> um gerador e sua força eletromotriz, agora em um circuito<br />
fechado:<br />
20.2 POTÊNCIA EM CIRCUITOS ELÉTRICOS<br />
V+ −<br />
= ε − ri. (circuito fechado) (20.4)<br />
Quando não há qualquer circuito externo que possibilite a passagem <strong>de</strong><br />
corrente, a diferença <strong>de</strong> potencial entre os terminais <strong>de</strong> um gerador <strong>de</strong> força<br />
eletromotriz é igual à força eletromotriz <strong>de</strong>sse gerador.<br />
Quando ligamos seus terminais, externamente, com um condutor, elétrons<br />
<strong>de</strong>ixam o pólo negativo, indo para o pólo positivo e há uma ligeira diminuição na<br />
diferença <strong>de</strong> potencial entre os pólos, com uma conseqüente diminuição do campo<br />
no interior do gerador. Esta diminuição é necessária para manter uma corrente no<br />
circuito.<br />
Note que, quando o circuito estava aberto, a força elétrica sobre as cargas<br />
era igual e contrária à força não conservativa, que caracteriza a força eletromotriz<br />
do gerador, e isto mantinha as cargas com velocida<strong>de</strong> média nula. Devemos ter,<br />
portanto:<br />
on<strong>de</strong><br />
r<br />
F NC<br />
r r<br />
+ qE = ∆F ,<br />
(20.2)<br />
∆ F r<br />
é força necessária para manter a corrente no interior do gerador. Se<br />
multiplicarmos um produto escalar dos membros <strong>de</strong>ssa equação por um<br />
302<br />
Em geral, a resistência interna dos geradores, que i<strong>de</strong>almente seria nula, é<br />
pequena, comparada às resistências presentes no circuito externo. Em uma pilha<br />
comercial, que usamos em aparelhos elétricos, a fem <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> dos materiais<br />
utilizados em sua produção, e é uma característica, imutável, <strong>de</strong>sse dispositivo. Sua<br />
resistência interna, no entanto, que inicialmente não é gran<strong>de</strong> e assim permanece<br />
por um bom tempo, tem um gran<strong>de</strong> aumento <strong>de</strong>vido a uma diminuição do número<br />
<strong>de</strong> portadores <strong>de</strong> carga disponíveis, ao final <strong>de</strong> sua vida útil. Por isso, se medimos a<br />
diferença <strong>de</strong> potencial entre seus terminais encontramos uma tensão muito<br />
próxima do valor <strong>de</strong> sua fem. Quando a colocamos em um aparelho que requer<br />
uma corrente razoavelmente maior, a voltagem cai bastante <strong>de</strong>vido ao termo<br />
equação 20.4, e a pilha já não faz funcionar o aparelho.<br />
20.2.1 POTÊNCIA E EFEITO JOULE<br />
r i da<br />
Um gerador <strong>de</strong> força eletromotriz é usado para entregar energia elétrica a<br />
uma série <strong>de</strong> dispositivos que têm características e usos diversos. Em um resistor<br />
303
temos a transformação <strong>de</strong> energia elétrica em calor; em um motor temos a<br />
realização <strong>de</strong> trabalho; em capacitores po<strong>de</strong> se acumular energia nos campos<br />
elétricos gerados entre suas placas etc.<br />
Em qualquer circuito elétrico é importante a taxa com que um dispositivo<br />
entrega energia elétrica, ou a taxa com que o outro recebe esta energia. Imagine<br />
uma caixa que, externamente, tem dois contatos elétricos, mas que não nos<br />
permite saber o que há <strong>de</strong>ntro. Isto é uma “caixa preta” da qual só sabemos o que<br />
há <strong>de</strong>ntro quando ligamos nesses contatos dois eletrodos que fornecem uma<br />
diferença <strong>de</strong> potencial V e observa-se a passagem <strong>de</strong> uma corrente i .<br />
Quando uma pequena quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong> carga convencional dq atravessa a<br />
caixa, indo do potencial mais alto para o mais baixo ela entrega para o dispositivo<br />
<strong>de</strong>ntro da caixa uma energia V dq . A taxa com que o dispositivo recebe energia, ou<br />
seja, a potência, P , recebida é esta quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong> energia dividida pelo intervalo<br />
<strong>de</strong> tempo dt gasto pela carga para atravessar o elemento <strong>de</strong> circuito consi<strong>de</strong>rado.<br />
Po<strong>de</strong>mos, então, <strong>de</strong> acordo com a equação 20.1, escrever que, não importando que<br />
tipo <strong>de</strong> artefato esteja <strong>de</strong>ntro da caixa, a potência entregue é:<br />
P = Vi<br />
(20.5)<br />
Quando submetemos a uma diferença <strong>de</strong> potencial, não um dispositivo<br />
qualquer, mas um resistor, há produção <strong>de</strong> calor. Este efeito, que analisamos<br />
quando fizemos uma <strong>de</strong>dução clássica da lei <strong>de</strong> Ohm, é conhecido como efeito<br />
Joule.<br />
Usando a equação 19.1, po<strong>de</strong>mos eliminar a corrente na equação 20.5:<br />
ou po<strong>de</strong>mos eliminar a tensão e escrever:<br />
2<br />
V<br />
P = (20.6)<br />
R<br />
potência na forma <strong>de</strong> calor. Isto mostra que a resistência <strong>de</strong> um chuveiro elétrico,<br />
que dissipa uma potência <strong>de</strong> aproximadamente cinco quilowatts, é cinqüenta vezes<br />
menor que a <strong>de</strong> uma lâmpada <strong>de</strong> 100 watts.<br />
A equação 20.7 nos informa que se ligamos vários dispositivos em<br />
um circuito único, ou seja, em que todos os elementos são percorridos por uma<br />
mesma corrente, aquele que tiver maior resistência dissipará maior potência. No<br />
caso do chuveiro elétrico, queremos que haja geração apreciável <strong>de</strong> calor apenas<br />
na região por on<strong>de</strong> passa a água; por isso os fios que conduzem a corrente <strong>de</strong>s<strong>de</strong> o<br />
gerador até o chuveiro <strong>de</strong>vem ter resistência muito mais baixa que a do chuveiro.<br />
Isso é obtido usando fios condutores <strong>de</strong> cobre, que tem baixa resistivida<strong>de</strong>,<br />
razoavelmente grossos, e no chuveiro um resistor feito <strong>de</strong> alguma liga como níquelcromo,<br />
que tem alta resistivida<strong>de</strong> (<strong>de</strong>ntre os metais) e razoavelmente <strong>de</strong>lgado. O<br />
resistor do chuveiro não po<strong>de</strong> ser excessivamente fino, pois é necessário que ele<br />
dissipe a energia recebida, sem se fundir por excesso <strong>de</strong> temperatura; isso requer<br />
que o resistor tenha uma área mínima <strong>de</strong> contato com a água.<br />
EXEMPLO 20.1<br />
Qual a maior potência que um gerador, que tem resistência interna é r e cuja fem<br />
é ε , po<strong>de</strong> fornecer a um aquecedor cuja resistência é variável?<br />
SOLUÇÃO<br />
De acordo com as equações 20.1 e 20.10, ligando o gerador diretamente aos<br />
terminais do aquecedor <strong>de</strong> resistência R, temos que:<br />
ε − ri = Ri<br />
(20.8)<br />
o que nos permite encontrar a corrente que percorre o circuito:<br />
i =<br />
ε<br />
( R + r)<br />
(20.9)<br />
2<br />
P = Ri<br />
(20.7)<br />
A equação 20.13 po<strong>de</strong>, então, ser escrita como função das resistências:<br />
A equação 20.6 nos diz que se submetermos as extremida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> vários<br />
resistores a uma diferença <strong>de</strong> potencial fixa, aquele que tiver menor resistência, vai<br />
receber uma maior potência do gerador <strong>de</strong> fem e, obviamente, vai dissipar a maior<br />
304<br />
⎡<br />
P = R⎢<br />
⎣<br />
ε<br />
⎤<br />
2<br />
2<br />
ε R<br />
=<br />
R + r<br />
( ) ( ) . 2<br />
R + r<br />
⎥<br />
⎦<br />
(20.10)<br />
305
Igualando a zero a <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong>ssa expressão com relação a R encontramos:<br />
RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS<br />
1<br />
2R<br />
− =<br />
2<br />
( R + r) ( R + r)<br />
0<br />
(20.11)<br />
ATIVIDADE 20.1 Não haverá resposta para essa ativida<strong>de</strong>.<br />
PENSE E RESPONDA<br />
o que nos fornece o valor <strong>de</strong> R para o qual a potência dissipada no aquecedor é<br />
máxima (sua <strong>de</strong>rivada segunda é negativa):<br />
PR20.2) Quando uma corrente elétrica passa através <strong>de</strong> um resistor, ela per<strong>de</strong><br />
energia, transformando a energia perdida em energia térmica do resistor. A<br />
corrente elétrica per<strong>de</strong> energia cinética, energia potencial ou uma combinação das<br />
duas?<br />
R = r<br />
(20.12)<br />
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO<br />
E a potência máxima é:<br />
P<br />
max<br />
2<br />
ε<br />
= (20.13)<br />
4r<br />
E20.1) Quando um resistor <strong>de</strong> valor <strong>de</strong>sconhecido é ligado aos terminais <strong>de</strong> uma<br />
bateria <strong>de</strong> 3,0 V, a potência dissipada é 0,540 W. Quando o mesmo resistor é<br />
ligado aos terminais <strong>de</strong> uma bateria <strong>de</strong> 1,50 V, qual é a potência dissipada?<br />
O gerador entrega sua potência máxima quando a resistência externa é igual à<br />
resistência interna. Neste caso o próprio gerador adquire uma energia térmica igual<br />
à que ele ce<strong>de</strong> ao aquecedor.<br />
Quando a resistência externa é muito pequena, ten<strong>de</strong>ndo a zero, a potência nela<br />
dissipada também ten<strong>de</strong> a zero. No entanto, como a corrente ten<strong>de</strong> para o valor<br />
ε / R , a potencia que surge no próprio gerador ten<strong>de</strong> para ε<br />
2 / R . Isto é o que<br />
<strong>de</strong>nominamos “curto-circuito”, causa <strong>de</strong> muitos incêndios aci<strong>de</strong>ntais. Sendo a<br />
resistência interna do gerador muito pequena, po<strong>de</strong> ser perigoso ligar seus<br />
terminais com um condutor <strong>de</strong> resistência quase nula.<br />
E20.2) Uma corrente uniformemente distribuída percorre um fio <strong>de</strong> cobre com<br />
seção reta <strong>de</strong><br />
2,0<br />
m<br />
−6<br />
2<br />
× 10 e comprimento <strong>de</strong> ,00 m<br />
4 . (a) Qual é o módulo do<br />
campo elétrico no interior do fio? (b) Qual é a energia elétrica transformada em<br />
energia térmica em 30 min.?<br />
E20.3) Uma diferença <strong>de</strong> potencial <strong>de</strong> 15,0 V é aplicada aos terminais <strong>de</strong> um<br />
resistor , o que gera uma potência <strong>de</strong> 327 W. (a) Qual é a resistência? (b) Qual é a<br />
corrente que passa no resistor?<br />
E20.4) Consi<strong>de</strong>re um resistor <strong>de</strong> comprimento L , resistivida<strong>de</strong> uniforme ρ , área<br />
<strong>de</strong> seção reta A conduzindo uma corrente elétrica com <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> uniforme J .<br />
Utilizando a equação 20.12, calcule a potência elétrica dissipada por unida<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
volume. Expresse o resultado em termos <strong>de</strong> (a) J e E , (b) J e ρ e (c) ρ e E .<br />
E20.5) Um estudante manteve um rádio <strong>de</strong> 9,0 V, 7,0 W ligado no volume máximo<br />
durante 5 horas. Qual foi a carga que atravessou o rádio?<br />
E20.6) Um aquecedor <strong>de</strong> 500 W é ligado a uma diferença <strong>de</strong> potencial <strong>de</strong> 120 V. (a)<br />
Qual é a resistência do elemento <strong>de</strong> aquecimento? (b) Qual é a corrente no<br />
elemento <strong>de</strong> aquecimento?<br />
306<br />
307
AULA 21: CONDUTORES, DIELÉTRICOS E SEMICONDUTORES<br />
OBJETIVOS<br />
• DIFERENCIAR OS VÁRIOS ASPECTOS MICROSCÓPICOS DA CONDUÇÃO ELÉTRICA<br />
• DISTINGUIR ENTRE CONDUTORES, DIELÉTRICOS E SEMICONDUTORES<br />
21.1 VISÃO MICROSCÓPICA DA CONDUÇÃO ELÉTRICA<br />
A teoria clássica da resistivida<strong>de</strong> nos fornece um resultado que está <strong>de</strong><br />
acordo com a lei <strong>de</strong> Ohm, já que, com essa teoria, a expressão encontrada para<br />
essa gran<strong>de</strong>za in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong> do campo elétrico no interior dos condutores. No entanto,<br />
é necessário fazermos algumas modificações na teoria clássica para encontrarmos<br />
valores da resistivida<strong>de</strong> mais condizentes com a realida<strong>de</strong>. A primeira <strong>de</strong>las está no<br />
valor da velocida<strong>de</strong> quadrática média dos elétrons. A teoria quântica prevê um<br />
valor para esta velocida<strong>de</strong> essencialmente in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nte da temperatura, cerca <strong>de</strong><br />
13 vezes maior que a calculada usando a teoria cinética dos gases à temperatura<br />
ambiente.<br />
Ela também prevê que, se a re<strong>de</strong> formada pelos átomos que constitui o<br />
material sólido for completamente periódica, não há espalhamento dos elétrons por<br />
colisões com os átomos e entre eles, e o valor do livre caminho médio dos elétrons<br />
livres ten<strong>de</strong> para o infinito. O espalhamento dos elétrons é resultado da existência<br />
<strong>de</strong> inomogeneida<strong>de</strong>s na re<strong>de</strong>, resultantes <strong>de</strong> <strong>de</strong>feitos e vibrações da própria re<strong>de</strong>,<br />
impurezas e tipos diferentes <strong>de</strong> átomos, como acontece nas ligas metálicas.<br />
Nos metais puros temos apenas um tipo <strong>de</strong> átomo, com a presença <strong>de</strong><br />
impurezas em pequenas quantida<strong>de</strong>s e com certo número <strong>de</strong> <strong>de</strong>feitos no<br />
empilhamento dos átomos. As inhomogeneida<strong>de</strong>s se <strong>de</strong>vem, principalmente, às<br />
vibrações térmicas da re<strong>de</strong>; por isso, quando cai a temperatura, a resistivida<strong>de</strong> dos<br />
metais puros cai bastante. O livre caminho médio diminui com o aumento da<br />
temperatura (que provoca um aumento na agitação dos íons da re<strong>de</strong>).<br />
resistivida<strong>de</strong> com a temperatura é muito menor que nos metais puros. Isto po<strong>de</strong><br />
ser visto nos valores dos coeficientes <strong>de</strong> temperatura apresentados na Tabela 19.1.<br />
As correções quânticas produzem, para os condutores, previsões bastante<br />
coerentes com os resultados experimentais, mas não indicam o porquê das<br />
diferenças <strong>de</strong> comportamento entre condutores, isolantes e semicondutores.<br />
Os elétrons em um átomo isolado po<strong>de</strong>m ter valores <strong>de</strong> energia muito bem<br />
<strong>de</strong>finidos, enquanto outros valores <strong>de</strong> energia são totalmente proibidos. Geralmente<br />
a separação entre os níveis <strong>de</strong> mais baixa energia é <strong>de</strong> alguns elétrons-volt. Todos<br />
os átomos isolados, <strong>de</strong> uma mesma espécie, têm os mesmos níveis <strong>de</strong> energia<br />
permitidos. Quando dois átomos são colocados próximos, seus níveis <strong>de</strong> energia<br />
são perturbados mutuamente e dão origem a um conjunto <strong>de</strong> níveis <strong>de</strong> energia<br />
comuns aos elétrons dos dois átomos.<br />
Se tomarmos, por exemplo, um nível <strong>de</strong> energia na camada 2p em cada<br />
átomo, teremos dois níveis correspon<strong>de</strong>ntes, com energias ligeiramente diferentes,<br />
no conjunto dos dois átomos. Se agregarmos um número muito gran<strong>de</strong> <strong>de</strong> átomos,<br />
10 23 átomos por mol, cada um contribui com um nível <strong>de</strong> energia e forma-se uma<br />
banda <strong>de</strong> níveis <strong>de</strong> energia com espaçamento muito pequeno entre eles.<br />
Separada <strong>de</strong>ssa banda por uma diferença apreciável <strong>de</strong> energia encontraremos<br />
outra banda <strong>de</strong> energia, correspon<strong>de</strong>ndo a outro nível dos átomos individuais, a<br />
banda 3s, por exemplo. Assim sendo, em um sólido temos diversas bandas com<br />
muitos níveis com energias muito próximas, separadas razoavelmente <strong>de</strong> outras<br />
bandas que por sua vez tem muitos níveis muito próximos também.<br />
Os elétrons nos átomos, <strong>de</strong> acordo com o princípio <strong>de</strong> exclusão <strong>de</strong><br />
Pauli, não po<strong>de</strong>m ter o mesmo conjunto <strong>de</strong> números quânticos. Por isso os<br />
níveis <strong>de</strong> energia vão sendo ocupados pelos elétrons das energias mais<br />
baixas para as mais altas. Quando a camada 2p, por exemplo, é completada por<br />
seis elétrons, o próximo elétron terá <strong>de</strong> ocupar um nível da camada 3s. Nos sólidos<br />
temos bandas <strong>de</strong> energia em que todos os níveis disponíveis estão ocupados por<br />
elétrons, separadas <strong>de</strong> alguns elétrons-volt <strong>de</strong> outras bandas igualmente ocupadas,<br />
até que se chega às bandas ocupadas pelos elétrons <strong>de</strong> maior energia. A separação<br />
entre as bandas <strong>de</strong> maior energia é menor que entre as bandas <strong>de</strong> menor energia.<br />
Ainda assim elas po<strong>de</strong>m estar razoavelmente espaçadas. Mas as bandas po<strong>de</strong>m<br />
chegar até a se superpor, <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ndo do tipo <strong>de</strong> átomos e dos tipos <strong>de</strong> ligações<br />
entre os átomos.<br />
No caso das ligas metálicas a resistivida<strong>de</strong> se <strong>de</strong>ve tanto à agitação térmica<br />
quanto ao fato da re<strong>de</strong> ser constituída <strong>de</strong> átomos diferentes. Por isso a redução da<br />
308<br />
21.1.1 ESTRUTURA DE BANDAS<br />
309
No caso dos condutores a banda ocupada com maior energia tem níveis não<br />
ocupados por elétrons. Esta banda po<strong>de</strong> estar separada da próxima banda vazia por<br />
um intervalo <strong>de</strong> energias <strong>de</strong>nominado banda proibida ou po<strong>de</strong> se superpor a esta.<br />
Quando se aplica um campo, os elétrons po<strong>de</strong>m ganhar pequenas quantida<strong>de</strong>s <strong>de</strong><br />
energia <strong>de</strong>sse campo, mudando para níveis <strong>de</strong> energia ligeiramente maiores, na<br />
mesma banda, no caso representado na figura 21.1a, ou mesmo para níveis <strong>de</strong><br />
outra banda, no caso representado na figura 21.1c, <strong>de</strong> forma a adquirirem a<br />
velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong> arrasto responsável pela corrente elétrica no material.<br />
entre as bandas é muito menor que no caso dos dielétricos. Isto faz com que um<br />
número muito maior <strong>de</strong> elétrons possam ser promovidos termicamente para a<br />
banda <strong>de</strong> condução. O resultado é uma resistivida<strong>de</strong> muito menor que a dos<br />
dielétricos, mas bem maior que a dos condutores. O aumento <strong>de</strong> temperatura<br />
promove mais elétrons para a banda <strong>de</strong> condução sendo responsável por uma<br />
queda na resistivida<strong>de</strong>, ao contrário do que ocorre com os condutores, em que o<br />
aumento da temperatura aumenta a agitação da re<strong>de</strong> aumentando a resistivida<strong>de</strong><br />
do material.<br />
21.1.2 ADIÇÃO DE IMPUREZAS EM SEMICONDUTORES<br />
A resistivida<strong>de</strong> <strong>de</strong> isolantes e semicondutores po<strong>de</strong> ser bastante alterada<br />
pela adição, por um processo <strong>de</strong>nominado dopagem, <strong>de</strong> pequenas quantida<strong>de</strong>s <strong>de</strong><br />
“impurezas”, cujos átomos têm um elétron a mais ou a menos que os da matriz.<br />
Isto modifica ligeiramente a estrutura <strong>de</strong> bandas do cristal original, alterando<br />
drasticamente o número <strong>de</strong> portadores <strong>de</strong> carga disponíveis.<br />
Figura 21.1: Estrutura <strong>de</strong> bandas: (a) condutor, (b) isolante, (c) condutor e (d)<br />
semicondutor.<br />
No caso dos isolantes, ou dielétricos, cuja estrutura <strong>de</strong> bandas está<br />
representada na figura 21.1b, todos os níveis da banda superior estão ocupados e<br />
há uma distância gran<strong>de</strong> para a próxima banda, que está virtualmente <strong>de</strong>socupada.<br />
Quando um campo elétrico é aplicado, os elétrons não têm níveis <strong>de</strong> energia<br />
próximos, disponíveis, para que possam ganhar energia do campo, e este não po<strong>de</strong><br />
dar energia suficiente para que os elétrons passem para outra banda. Este fato<br />
seria responsável por uma resistivida<strong>de</strong> infinita. No entanto, <strong>de</strong>vido à pequena<br />
energia térmica, da or<strong>de</strong>m <strong>de</strong> 0,02 eV, uns poucos elétrons no sólido po<strong>de</strong>m ser<br />
promovidos da chamada banda <strong>de</strong> valência (a última camada totalmente<br />
ocupada) para a banda <strong>de</strong> condução (a próxima camada <strong>de</strong>socupada). Isto faz<br />
com que, mesmo um isolante, tenha ainda alguns poucos portadores <strong>de</strong> carga que<br />
po<strong>de</strong>m absorver pequenas quantida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> energia, contribuindo para uma pequena<br />
condutivida<strong>de</strong>. Entretanto, enquanto nos metais po<strong>de</strong>mos ter um portador <strong>de</strong> carga<br />
por átomo, nos isolantes esse número é muitas or<strong>de</strong>ns <strong>de</strong> gran<strong>de</strong>za menor.<br />
Se os átomos das impurezas têm um elétron a mais, os níveis que po<strong>de</strong>m<br />
ser ocupados por este ficam acima da banda <strong>de</strong> valência dos átomos da matriz e<br />
bastante próximos <strong>de</strong> sua banda <strong>de</strong> condução, po<strong>de</strong>ndo facilmente ser promovidos<br />
para esta. Isto po<strong>de</strong> ser visto esquematicamente na figura 21.2a. Essas impurezas<br />
são <strong>de</strong>nominadas doadoras, pois ce<strong>de</strong>m elétrons que vão participar da condução<br />
elétrica no cristal. Estes semicondutores são do tipo n, por serem os<br />
portadores <strong>de</strong> carga negativos.<br />
Por outro lado, se os átomos das impurezas têm um elétron a menos que os<br />
da matriz haverá níveis <strong>de</strong> energia vazios logo acima da banda <strong>de</strong> valência, como<br />
mostra a figura 21.2b. Estes átomos po<strong>de</strong>m receber elétrons <strong>de</strong> átomos da<br />
matriz, <strong>de</strong>ixando um “buraco” na banda <strong>de</strong> condução da matriz, que é a falta<br />
<strong>de</strong>sse elétron. Um elétron <strong>de</strong> outro átomo da matriz po<strong>de</strong> ocupar o lugar <strong>de</strong>sse<br />
buraco, que por sua vez se move para o átomo que ce<strong>de</strong>u o elétron. Dessa forma<br />
um buraco se <strong>de</strong>sloca como se fosse uma carga positiva caminhando no<br />
sentido do campo aplicado. Estes semicondutores são, portanto, do tipo p.<br />
Nos semicondutores, cuja estrutura <strong>de</strong> bandas está mostrada na figura<br />
21.1d, a banda <strong>de</strong> valência está cheia, como nos isolantes, entretanto, a separação<br />
310<br />
311
U6.4) Um fio <strong>de</strong> 4,00 m <strong>de</strong> comprimento e 6,00 mm <strong>de</strong> diâmetro tem uma<br />
resistência <strong>de</strong> 15,0 m Ω . Uma diferença <strong>de</strong> potencial <strong>de</strong> 23,0 V é aplicada às<br />
extremida<strong>de</strong>s do fio. (a) Qual é a corrente no fio? (b) Qual é o módulo da<br />
<strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> <strong>de</strong> corrente? (c) Calcule a resistivida<strong>de</strong> do material do fio.<br />
Figura 21.2: Estrutura <strong>de</strong> banda <strong>de</strong> semicondutores: (a) tipo n e (b) tipo p.<br />
U6.5) Um fio com uma resistência <strong>de</strong> 8,0 Ω é esticado até que seu comprimento<br />
fique três vezes maior do que o comprimento original. Determine a resistência do<br />
fio após a operação. Suponha que a resistivida<strong>de</strong> e a <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> do material<br />
permaneçam constantes.<br />
PENSE E RESPONDA<br />
PR21.1) Discuta em termos da estrutura da banda <strong>de</strong> energia eletrônica, as razões<br />
para a diferença na condutivida<strong>de</strong> elétrica entre os metais, os semicondutores e os<br />
isolantes.<br />
PR21.2) Explique sucintamente a diferença entre semicondutores do tipo p e do<br />
tipo n.<br />
PR21.3) Do ponto <strong>de</strong> vista microscópico, como po<strong>de</strong>mos explicar o fato <strong>de</strong> alguns<br />
sólidos serem condutores e outros não?<br />
PROBLEMAS DA UNIDADE<br />
U6.6) Uma mola comprimida é formada por 75 espiras com diâmetro igual a 3,50<br />
cm, e é feita <strong>de</strong> um fio metálico isolante com 3,25 mm <strong>de</strong> diâmetro. Um ohmímetro<br />
conectado através <strong>de</strong> suas extremida<strong>de</strong>s opostas registra 1,74 Ω . Qual é a<br />
resistivida<strong>de</strong> do metal?<br />
U6.7) Um receptor <strong>de</strong> GPS opera com uma bateria <strong>de</strong> 9,0 V e consome uma<br />
corrente elétrica <strong>de</strong> 0,13 A. Qual é a energia elétrica que ele consome durante uma<br />
hora e meia?<br />
U6.8) A potência <strong>de</strong> um resistor <strong>de</strong> carbono <strong>de</strong> 10000 Ω, usado em circuitos<br />
eletrônicos, é <strong>de</strong> 25,0 W. (a) Qual a corrente máxima que o resistor suporta? (b)<br />
Qual a voltagem máxima que po<strong>de</strong> ser aplicada ao resistor?<br />
U6.1) Uma correia <strong>de</strong> 50 cm <strong>de</strong> largura está se movendo com uma velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
30,0 m/s entre uma fonte <strong>de</strong> carga e uma esfera. A correia transporta as cargas<br />
para a esfera a uma taxa correspon<strong>de</strong>nte a 100,0<br />
µ A.<br />
Determine a <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong><br />
U6.9) Uma lâmpada <strong>de</strong> 25,0 Ω está conectada aos terminais <strong>de</strong> uma bateria <strong>de</strong><br />
12,0 V com 3,5 Ω <strong>de</strong> resistência interna. Qual é a porcentagem da potência da<br />
bateria que é dissipada através da resistência interna?<br />
superficial <strong>de</strong> cargas na correia.<br />
U6.2) Uma corrente elétrica passa através <strong>de</strong> uma solução <strong>de</strong> cloreto <strong>de</strong> sódio. Em<br />
1,0 s,<br />
16<br />
2 ,68× 10 íons Na + chegam ao eletrodo negativo e<br />
16<br />
3 ,92× 10 íons <strong>de</strong> Cl -<br />
chegam ao eletrodo positivo. (a) Qual é a corrente elétrica que passa entre os<br />
eletrodos? (b) Qual é o sentido da corrente?<br />
U6.3) Em instalações elétricas resi<strong>de</strong>nciais se usa fios <strong>de</strong> cobre com diâmetro <strong>de</strong><br />
2,05 mm. Calcule a resistência <strong>de</strong> um fio <strong>de</strong> cobre com comprimento igual a 24,0<br />
m.<br />
312<br />
313
UNIDADE 7<br />
CIRCUITOS DE CORRENTE CONTÍNUA<br />
O uso <strong>de</strong> circuitos elétricos teve um impacto imenso sobre o<br />
<strong>de</strong>senvolvimento das socieda<strong>de</strong>s humanas. Suas aplicações são muito variadas,<br />
como na iluminação pública, em sistemas para aquecimento, nas gran<strong>de</strong>s indústrias<br />
ou em nossas moradias. Não se po<strong>de</strong> conceber a maioria dos avanços tecnológicos<br />
do século XX sem a existência <strong>de</strong> tais circuitos.<br />
Na unida<strong>de</strong> anterior foram introduzidos os conceitos básicos necessários à<br />
<strong>de</strong>scrição <strong>de</strong> circuitos elétricos <strong>de</strong> corrente contínua. Nesses circuitos as correntes<br />
fluem sempre no mesmo sentido, pois são alimentados por fontes <strong>de</strong> força<br />
eletromotriz cuja polarida<strong>de</strong> se mantém ao longo do tempo. Mais adiante<br />
estudaremos os circuitos <strong>de</strong> corrente alternada, em que as cargas, em vez <strong>de</strong> se<br />
moverem sempre em um mesmo sentido, executam movimentos oscilatórios, com<br />
os sentidos das correntes se invertendo <strong>de</strong> forma periódica.<br />
Nesta unida<strong>de</strong> <strong>de</strong>screveremos vários circuitos <strong>de</strong> corrente contínua e as<br />
forma <strong>de</strong> resolvê-los, ou seja, como encontrar todas as diferenças <strong>de</strong> potenciais, ou<br />
tensões, a que cada um <strong>de</strong> seus elementos está submetido bem como a corrente<br />
que percorre cada um <strong>de</strong>les.<br />
Ao mesmo tempo em que foram elaboradas as teorias que <strong>de</strong>screvem estes<br />
fenômenos, também foram sendo <strong>de</strong>senvolvidos aparelhos para a sua mensuração;<br />
os quais serão <strong>de</strong>scritos no final <strong>de</strong>sta unida<strong>de</strong>.<br />
314<br />
315
AULA 22: LEIS DE KIRCHHOFF<br />
OBJETIVOS<br />
• APLICAR A LEI DAS MALHAS<br />
• APLICAR A LEI DOS NÓS<br />
eletromotriz. O resistor é representado por um trecho na forma <strong>de</strong> um <strong>de</strong>nte <strong>de</strong><br />
serra e é indicado pela letra R . O sentido da corrente convencional, i , que se<br />
estabelece no circuito está indicado na figura 22.1a pelas setas. O sentido é o<br />
mesmo nas figuras 22.1b e 22.1c.<br />
R 1<br />
22.1 LEI DAS MALHAS<br />
E<br />
P<br />
i<br />
i<br />
i<br />
R<br />
E R 2<br />
P<br />
R 3<br />
E<br />
r<br />
R<br />
Um circuito elétrico é um sistema constituído por um ou vários condutores<br />
ligados aos polos <strong>de</strong> um gerador <strong>de</strong> força eletromotriz, <strong>de</strong> modo que uma corrente<br />
elétrica possa fluir através <strong>de</strong>ste e dos elementos condutores.<br />
Como vimos em aulas anteriores, quando uma carga elétrica positiva passa<br />
pelo interior <strong>de</strong> um gerador <strong>de</strong> fem, indo do polo negativo para o positivo, o seu<br />
potencial elétrico é elevado (ou, equivalementemente a diferença <strong>de</strong> potencial entre<br />
os polos <strong>de</strong>sse gerador aumenta). Definimos um gerador i<strong>de</strong>al como sendo aquele<br />
em que o valor da diferença <strong>de</strong> potencial entre seus polos é igual à fem do gerador,<br />
mesmo quando este é percorrido por uma corrente. Isto equivale a dizer que em<br />
um gerador i<strong>de</strong>al a resistência interna é nula.<br />
Externamente ao gerador, as cargas que saem do polo positivo (on<strong>de</strong> o<br />
potencial é mais alto) passam pelos diversos dispositivos que por ventura estejam<br />
no circuito e vão para o polo negativo (on<strong>de</strong> o potencial é mais baixo). Portanto, ao<br />
atravessar o circuito externo ao gerador, a corrente que se estabelece é tal que as<br />
cargas convencionais se dirigem do potencial mais alto para o potencial mais baixo.<br />
Na figura 22.1 apresentamos alguns circuitos, muito simples, <strong>de</strong> corrente<br />
contínua. Em cada um <strong>de</strong>les há apenas uma malha, isto é, há apenas um percurso<br />
fechado on<strong>de</strong> po<strong>de</strong> haver fluxo <strong>de</strong> cargas.<br />
Na figura 22.1a temos um gerador <strong>de</strong> fem i<strong>de</strong>al ao qual é ligado um resistor,<br />
com o auxílio <strong>de</strong> fios cujas resistências supomos serem <strong>de</strong>sprezíveis (ou i<strong>de</strong>almente<br />
nulas). Os fios <strong>de</strong> resistência <strong>de</strong>sprezível são representados por segmentos <strong>de</strong> reta.<br />
O gerador é representado por dois traços, paralelos entre si e<br />
perpendiculares aos fios que estão ligados aos seus polos, sendo que o<br />
traço menor representa o polo negativo e o traço maior o polo positivo. Ao<br />
lado <strong>de</strong>ste escrevemos a letra ε , comumente usada para representar força<br />
(a) (b) (c)<br />
Figura 22.1: Alguns circuitos <strong>de</strong> uma malha: (a) Resistor <strong>de</strong> resistência R ligado a um<br />
gerador i<strong>de</strong>al <strong>de</strong> fem ε . O sentido da corrente convencional, i , está indicado pelas setas.<br />
Nas <strong>de</strong>mais figuras o sentido da corrente é o mesmo e não foi indicado; (b) Resistores R<br />
1 ,<br />
R<br />
2 e R<br />
3 ligados em série a um gerador <strong>de</strong> fem ε . (c) Um gerador não i<strong>de</strong>al apresenta uma<br />
resistência interna, r , que po<strong>de</strong> ser representada como um resistor ligado em série ao<br />
gerador.<br />
Para encontrarmos o valor da corrente que percorre o circuito utilizamos a<br />
primeira regra <strong>de</strong> Kirchhoff, também <strong>de</strong>nominada lei das malhas que diz:<br />
quando percorremos um circuito elétrico, a partir <strong>de</strong> um ponto qualquer,<br />
somando todas as variações <strong>de</strong> potencial ao longo do percurso e voltamos<br />
ao ponto inicial, encontramos um resultado nulo.<br />
Isto se <strong>de</strong>ve ao fato <strong>de</strong> que, se percorremos qualquer circuito elétrico saindo<br />
<strong>de</strong> um ponto com potencial elétrico <strong>de</strong>finido e voltamos ao mesmo ponto, <strong>de</strong>vemos<br />
encontrar o mesmo potencial, ou a noção <strong>de</strong> potencial não teria qualquer utilida<strong>de</strong>.<br />
Para computarmos tais variações <strong>de</strong> potencial estabelecemos que, ao<br />
percorrermos o circuito, se atravessamos um gerador <strong>de</strong> fem do polo negativo para<br />
o positivo há um aumento <strong>de</strong> potencial igual ao valor da fem (em um gerador i<strong>de</strong>al)<br />
e quando percorremos um resistor no mesmo sentido da corrente convencional há<br />
uma queda <strong>de</strong> potencial (uma variação negativa) cujo valor absoluto é o produto da<br />
resistência <strong>de</strong>sse resistor pela intensida<strong>de</strong> da corrente que o percorre.<br />
Evi<strong>de</strong>ntemente, se percorremos cada um <strong>de</strong>sses elementos em sentido contrário,<br />
as variações <strong>de</strong> potencial terão seus sinais invertidos.<br />
316<br />
317
Na figura 22.1a, saindo do ponto indicado pela letra P, percorrendo o circuito<br />
no sentido horário e voltando ao mesmo ponto encontramos:<br />
computada ao percorrer o gerador do polo negativo para o positivo é dada pela<br />
equação 20.10. Portanto, aplicando a lei das malhas a esse circuito temos:<br />
ε − Ri<br />
= 0,<br />
o que nos fornece imediatamente o valor da corrente:<br />
ε<br />
i = ,<br />
(22.1)<br />
R<br />
um resultado que já havíamos encontrado em aulas anteriores.<br />
ε − ri − Ri<br />
= 0,<br />
ou ainda, i = ε .<br />
R + r<br />
(22.4)<br />
Esta expressão indica que um gerador real se comporta como um gerador<br />
i<strong>de</strong>al em série com um resistor, <strong>de</strong> resistência r . Esta resistência interna se soma à<br />
resistência externa equivalente. Este fato está representado na figura 22.1c.<br />
22.1.1 ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES EM SÉRIE<br />
22.2 LEI DOS NÓS<br />
Na figura 22.1b temos uma ligação em série <strong>de</strong> três resistores no circuito,<br />
ou seja, os resistores estão ligados <strong>de</strong> forma que todos são percorridos pela mesma<br />
corrente. Aplicando a lei das malhas, a partir do ponto P, indicado na figura, temos<br />
a equação:<br />
ε − R i<br />
1<br />
− R2i<br />
− R3i<br />
=<br />
que nos permite encontrar o valor da corrente:<br />
i =<br />
R<br />
ε<br />
1<br />
+ R2<br />
+ R3<br />
0,<br />
. (22.2)<br />
Po<strong>de</strong>mos tomar vários resistores e ligá-los a um gerador <strong>de</strong> fem <strong>de</strong> tal forma<br />
que a mesma diferença <strong>de</strong> potencial seja aplicada às extremida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> cada resistor.<br />
Isto está representado na figura 22.2.<br />
Os pontos P 1 e P 2 indicados nessa figura são <strong>de</strong>nominados nós e são pontos<br />
on<strong>de</strong> há mais <strong>de</strong> um caminho para a passagem <strong>de</strong> cargas. A lei dos nós ou<br />
segunda regra <strong>de</strong> Kirchhoff nos diz que, como há conservação da carga, a soma<br />
das correntes que chegam a um nó tem que ser igual à soma das correntes<br />
que saem <strong>de</strong>sse nó.<br />
Este resultado po<strong>de</strong> ser generalizado consi<strong>de</strong>rando um circuito <strong>de</strong> uma<br />
malha com N resistores ligados em série. Todos são percorridos pela mesma<br />
corrente e po<strong>de</strong>m ser substituídos por um único resistor equivalente,<br />
R<br />
S<br />
, cuja<br />
resistência é igual à soma das resistências dos N resistores. Ou seja,<br />
N<br />
∑<br />
R S<br />
= R j<br />
. (resistores ligados em série) (22.3)<br />
j = 1<br />
A resistência equivalente <strong>de</strong> uma associação em série <strong>de</strong> resistores é sempre<br />
maior que a resistência <strong>de</strong> cada um dos resistores presentes na associação.<br />
Quando ligamos um resistor a um gerador <strong>de</strong> fem real, ou seja, um gerador<br />
que possui uma resistência interna não <strong>de</strong>sprezível a variação <strong>de</strong> potencial a ser<br />
Figura 22.2: Resistores ligados em paralelo, sujeitos à mesma tensão ε , fornecida pela fonte i<strong>de</strong>al. A<br />
corrente, i , que passa pela fonte se divi<strong>de</strong>, no ponto<br />
P<br />
1<br />
, nas correntes<br />
i<br />
1<br />
, 2<br />
i e i<br />
3 , que passam<br />
respectivamente pelos resistores R<br />
1 , R<br />
2 e R<br />
3 . No ponto P 2 as três correntes se juntam novamente<br />
formando novamente a corrente i , que é a soma das outras três.<br />
318<br />
319
A corrente, i , que passa pelo gerador <strong>de</strong> fem se divi<strong>de</strong> no ponto P<br />
1 , que<br />
constitui um nó, em três correntes, i 1 , i 2 e i 3<br />
, que percorrem respectivamente os<br />
resistores R<br />
1 , R<br />
2 e R<br />
3<br />
. De acordo com a lei dos nós, aplicada ao ponto P<br />
1 , temos:<br />
EXEMPLO 22.1<br />
Temos três resistores idênticos, cada um com resistência elétrica igual a 60,0 Ω .<br />
De que maneiras os três po<strong>de</strong>m ser interligados e que valores das resistências<br />
equivalentes po<strong>de</strong>m ser obtidos?<br />
i = i +<br />
(22.5)<br />
.<br />
1<br />
+ i2<br />
i3 A aplicação da mesma lei ao ponto P<br />
2 não nos fornece nada <strong>de</strong> novo, pois<br />
SOLUÇÃO: Na figura 22.1b temos representada a associação em série <strong>de</strong> três<br />
resistores e, como vimos, a resistência equivalente é igual à soma das resistências<br />
dos três resistores:<br />
encontramos novamente esta última equação.<br />
22.1.2 – ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES EM PARALELO<br />
R S<br />
= R1 + R2<br />
+ R3<br />
= 60,0 Ω + 60,0 Ω + 60,0 Ω = 180,0 Ω.<br />
Como cada resistor está submetido à mesma tensão, ε , as correntes nos<br />
resistores são dadas, respectivamente, pelas expressões:<br />
Na figura 22.2 está representada a ligação em paralelo <strong>de</strong> três resistores, cuja<br />
resistência equivalente, <strong>de</strong> acordo com a equação 22.11, é:<br />
ε<br />
i1<br />
= ,<br />
R<br />
1<br />
ε<br />
ε<br />
i2<br />
= e i3<br />
= .<br />
R<br />
R<br />
2<br />
3<br />
1<br />
R<br />
P<br />
1 1 1 1<br />
+ + =<br />
60,0 Ω 60,0 Ω 60,0 Ω 20,0 Ω<br />
⇒<br />
=<br />
P<br />
R<br />
= 20,0 Ω.<br />
Somando estas correntes, encontramos a corrente que passa pelo gerador:<br />
ε ε ε<br />
i = + + =<br />
R<br />
ε<br />
1<br />
R2<br />
R3<br />
R1<br />
+ R2<br />
+ R3<br />
.<br />
(22.6)<br />
A figura 22.3 mostra as outras duas configurações possíveis. Na primeira <strong>de</strong>las,<br />
figura 22.3a, temos um resistor associado em série aos dois outros que se<br />
encontram, entre si, associados em paralelo.<br />
Este resultado nos indica que em uma ligação <strong>de</strong>ste tipo, <strong>de</strong>nominada<br />
ligação em paralelo <strong>de</strong> N resistores, po<strong>de</strong>mos substituí-los por um único resistor<br />
equivalente, cuja resistência,<br />
R<br />
P , é dada pela expressão<br />
N<br />
1 1<br />
= ∑ .<br />
R P<br />
R<br />
j = 1<br />
j<br />
(resistores ligados em paralelo) (22.7)<br />
A resistência equivalente <strong>de</strong> uma associação <strong>de</strong> resistores em<br />
paralelo é sempre menor que a resistência <strong>de</strong> qualquer um dos resistores presentes<br />
na associação.<br />
Figura 22.3: (a) Resistor ligado em série a um conjunto <strong>de</strong> dois resistores ligados em paralelo e (b)<br />
Resistor ligado em paralelo a um conjunto <strong>de</strong> dois resistores ligados em série.<br />
320<br />
321
Encontramos a resistência equivalente ao conjunto, que <strong>de</strong>nominamos<br />
dois passos:<br />
R<br />
SP<br />
, em<br />
R S<br />
= R + R = 60,0 Ω + 60,0 Ω = 120,0 ..<br />
2 2 3<br />
Ω<br />
1) Primeiramente calculamos a resistência equivalente dos resistores ligados<br />
em paralelo, R<br />
P2<br />
. Em seguida encontramos resistência equivalente da<br />
ligação em série do primeiro resistor com um resistor com essa resistência<br />
calculada. Este segundo passo está representado na figura 22.4a.<br />
4) Em seguida a resistência equivalente a todo o conjunto é calculada<br />
associando o primeiro resistor em paralelo com um resistor <strong>de</strong> resistência<br />
R<br />
S 2 , como mostrado na figura 22.4b.<br />
R 1<br />
R P2<br />
R 1<br />
1<br />
R<br />
PS<br />
1 1 1 1<br />
+ = + ⇒<br />
R R 60,0 Ω 120,0 Ω<br />
= RPS<br />
1<br />
S 2<br />
= 40,0 Ω.<br />
R S2<br />
(a)<br />
E<br />
(b)<br />
E<br />
Encontramos, portanto, quatro valores para as resistências equivalentes das quatro<br />
possíveis associações <strong>de</strong>sses três resistores idênticos: 180,0 Ω , 20,0 Ω , 90,0 Ω e<br />
40,0 Ω .<br />
Figura 22.4: (a) Resistor ligado em série com um resistor equivalente a um conjunto <strong>de</strong> dois<br />
resistores ligados em paralelo e (b) Resistor ligado em paralelo a um resistor equivalente a um<br />
conjunto <strong>de</strong> dois resistores ligados em série.<br />
ATIVIDADE 22.1<br />
Como no exemplo 22.1, temos três resistores que <strong>de</strong>vem ser associados, mas dois<br />
2) Utilizando a equação 22.11 encontramos a resistência equivalente aos dois<br />
resistores em paralelo:<br />
<strong>de</strong>les têm resistência <strong>de</strong> 50,0 Ω e um <strong>de</strong>les tem resistência <strong>de</strong> 80,0 Ω . Quais os<br />
valores das resistências equivalentes possíveis?<br />
R R<br />
2 3<br />
R P 2<br />
=<br />
R2<br />
+ R3<br />
Com os valores das resistências, obtemos: R<br />
P2 = 30,0 Ω.<br />
.<br />
A resistência final é então:<br />
Ou, numericamente: R = 90,0<br />
Ω.<br />
SP<br />
R<br />
SP<br />
= R + R<br />
1<br />
P2<br />
R1R2<br />
+ R1<br />
R3<br />
+ R2R3<br />
=<br />
R + R<br />
Na figura 22.3b temos a última configuração possível, na qual um resistor é ligado<br />
em paralelo a um conjunto com dois resistores associados em série. Novamente<br />
fazemos o cálculo em dois passos:<br />
3) Calculamos a resistência equivalente <strong>de</strong>sses dois resistores ligados em série,<br />
R<br />
S 2<br />
.<br />
2<br />
3<br />
EXEMPLO 22.2<br />
Sendo o valor da fem, ε = 12,0 V, encontre os valores das correntes que<br />
percorrem a fonte e cada um dos resistores, em cada uma das associações<br />
possíveis do exemplo 22.1.<br />
SOLUÇÃO: No exemplo mencionado, cada uma das associações possíveis foi<br />
reduzida ao caso <strong>de</strong> um único resistor equivalente ligado a uma fonte. Portanto,<br />
em cada caso a corrente que percorre a fonte tem seu valor dado pelo valor da<br />
fem dividido pela resistência equivalente.<br />
Na figura 22.1b, on<strong>de</strong> temos representada a associação em série temos apenas<br />
uma corrente, i f<br />
, que percorre a fonte e os resistores. Seu valor é:<br />
322<br />
323
i<br />
ε 12,0<br />
V<br />
−2<br />
= = = 6,67 × 10 A<br />
R 180,0 Ω<br />
f<br />
=<br />
s<br />
66,7 mA.<br />
(22.18)<br />
Na figura 22.2, on<strong>de</strong> temos a ligação em paralelo, a corrente que percorre a fonte,<br />
O outro resistor é percorrido pela corrente i R , que é:<br />
12<br />
i R<br />
= = 0,2A<br />
= 200mA.<br />
R 60<br />
= ε ATIVIDADE 22.2<br />
i<br />
f<br />
, se divi<strong>de</strong> em três correntes idênticas, i R , <strong>de</strong>vido ao fato das três resistências<br />
serem as mesmas. Temos então:<br />
V<br />
i = ε 12,0<br />
= = 0, A<br />
f<br />
R<br />
6<br />
P<br />
20,0 Ω<br />
12,0 V i<br />
f<br />
i<br />
0,2 A<br />
R 60,0 3<br />
.<br />
R<br />
= ε = = =<br />
Ω<br />
Sendo o valor da fem, ε = 12,0 V, encontre os valores das correntes que percorrem<br />
a fonte e cada um dos resistores, para cada uma das associações possíveis da<br />
ativida<strong>de</strong> 22.1.<br />
Na figura 22.3a, a resistência equivalente é<br />
passa pela fonte é:<br />
ε 12,0<br />
V<br />
−2<br />
i<br />
f<br />
= = = 1,3 × 10 A = 13 mA<br />
R 90,0 Ω<br />
SP<br />
R<br />
SP<br />
= 90Ω<br />
, portanto a corrente que<br />
Esta mesma corrente atravessa o primeiro resistor e se divi<strong>de</strong> em duas outras, i<br />
P2<br />
,<br />
idênticas, que passam pelos resistores que estão ligados em paralelo. Ou seja:<br />
−2<br />
i<br />
f 1,3 × 10<br />
−2<br />
iP2 = = = 6,7 × 10 A = 67 mA<br />
2 2<br />
Na figura 22.3b a resistência equivalente é<br />
R = 40Ω<br />
e a corrente que passa pela<br />
PS<br />
fonte é:<br />
i<br />
= ε<br />
R<br />
12,0 V<br />
=<br />
40,0 Ω<br />
f<br />
=<br />
PS<br />
0,3 A.<br />
Esta corrente se divi<strong>de</strong> em duas. Cada um dos dois resistores em série, cujo<br />
conjunto tem a resistência equivalente<br />
dada por:<br />
R<br />
S 2<br />
= 120Ω<br />
é percorrido pela corrente i<br />
S 2<br />
,<br />
i<br />
12,0 V<br />
=<br />
120,0 Ω<br />
R<br />
1<br />
S 2<br />
= 0,<br />
S 2<br />
A<br />
= ε 325<br />
324
RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS<br />
1<br />
R P 2b<br />
1 1 13<br />
= + = =<br />
80 Ω 50 Ω 400 Ω<br />
1<br />
30,8<br />
Ω<br />
ATIVIDADE 22.1<br />
As associações possíveis com três resistores diferentes são as mesmas das<br />
figuras 22.1b, 22.2, 22.3a e 22.3b. Contudo, <strong>de</strong>vido ao fato dos resistores serem<br />
diferentes temos <strong>de</strong> ficar atentos à posição <strong>de</strong> cada um. Vamos lá:<br />
A) Nas associações das figuras 22.1b e 22.2 temos apenas uma possibilida<strong>de</strong> em<br />
cada uma <strong>de</strong>las. A associação em série nos dá o mesmo resultado que o do<br />
exemplo 22.1:<br />
R<br />
S<br />
B) A associação em paralelo nos dá:<br />
ou: R = 19 Ω .<br />
S<br />
= 50 Ω + 50 Ω + 80 Ω = 180 Ω<br />
1 1 1 1 21 1<br />
= + + = =<br />
50 Ω 50 Ω 80 Ω 400 Ω 19 Ω<br />
R S<br />
Estes dois resultados in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>m da or<strong>de</strong>m em que são colocados os<br />
diferentes resistores.<br />
ou:<br />
R<br />
P2b<br />
= 30, 8 Ω<br />
A resistência equivalente total é:<br />
R = 50 + 30,8 = 80, 8 Ω .<br />
SPb<br />
Estes dois últimos resultados po<strong>de</strong>m ser encontrados usando diretamente a<br />
equação 22.15.<br />
D) No caso da figura 22.3b temos também duas situações possíveis<br />
D1) O resistor <strong>de</strong> 80 Ω , quando ligado em paralelo ao conjunto dos dois<br />
resistores <strong>de</strong> 50 Ω ligados em série nos dá:<br />
R<br />
S 2a<br />
A resistência total é:<br />
1<br />
R PSa<br />
= 50 Ω + 50 Ω = 100 Ω<br />
1 1<br />
= + =<br />
80 Ω 100 Ω<br />
De on<strong>de</strong> obtemos R = 44, 4 Ω .<br />
PSa<br />
18<br />
800<br />
=<br />
1<br />
44,4<br />
Ω<br />
C) No caso da figura 22.3a, po<strong>de</strong>mos ter duas situações diferentes:<br />
C1) Na primeira situação o resistor <strong>de</strong> 80 Ω é o primeiro resistor, em série<br />
com o conjunto dos dois resistores <strong>de</strong> 50 Ω associados em paralelo.<br />
Temos então, como no exemplo 22.1,<br />
ou:<br />
1<br />
R P2a<br />
1 1 1<br />
= + =<br />
50 Ω 50 Ω 25 Ω<br />
R<br />
P2a<br />
= 25 Ω<br />
A resistência equivalente total será:<br />
R = 80 + 25 = 105 Ω .<br />
SPa<br />
C2) Na segunda situação o resistor <strong>de</strong> 80 Ω é ligado em paralelo com um dos<br />
resistores <strong>de</strong> 50 Ω e esse conjunto é ligado em série ao outro resistor <strong>de</strong><br />
o resistor <strong>de</strong> 50 Ω . Assim temos:<br />
D2) E quando o resistor <strong>de</strong> 80 Ω é ligado em série com um dos <strong>de</strong> 50 Ω temos<br />
a última situação:<br />
R<br />
S 2b<br />
e a resistência total é:<br />
1<br />
R PSb<br />
ou R = 36, 1 Ω .<br />
PSb<br />
= 80 Ω + 50 Ω = 130 Ω<br />
1 1 18<br />
= + =<br />
50 Ω 130 Ω 650 Ω<br />
Estes dois resultados po<strong>de</strong>m ser encontrados usando a equação 22.17.<br />
Em resumo, os valores encontrados, com todas as seis configurações possíveis<br />
foram 180 Ω , 19 Ω , 105 Ω , 80,8 Ω , 44,4 Ω e 36,1 Ω .<br />
326<br />
327
ATIVIDADE 22.2<br />
Consi<strong>de</strong>ramos, primeiramente a associação em série dos três resistores.<br />
A) Neste caso, os três resistores e a fonte são percorridos pela mesma corrente,<br />
que é dada pela razão entre a força eletromotriz e a resistência equivalente no<br />
circuito:<br />
ε V<br />
i<br />
12 −<br />
= = = 6,67 × 10<br />
2 66,<br />
R 180 Ω<br />
≅<br />
S<br />
7<br />
S<br />
mA .<br />
B) Com os três resistores em paralelo, a corrente que passa pela fem é:<br />
ε ⎛ 1 1 1 ⎞ 12 V<br />
−1<br />
iP = = 12 V ×<br />
= = 6,3×<br />
10 A ≅ 630 mA<br />
R<br />
⎜ + +<br />
P<br />
50 50 80<br />
⎟<br />
.<br />
⎝ Ω Ω Ω ⎠ 19 Ω<br />
Cada resistor é percorrido por uma corrente igual ao valor da fem dividido<br />
por sua própria resistência.<br />
Isso significa que cada resistor <strong>de</strong> cinqüenta ohms é percorrido por uma<br />
corrente:<br />
V<br />
i 12 −<br />
P<br />
2,4 10<br />
1<br />
50<br />
= = × A ≅ 240 mA ,<br />
50 Ω<br />
enquanto o resistor <strong>de</strong> oitenta ohms é percorrido pela corrente:<br />
V<br />
i 12 −<br />
P<br />
1,5 10<br />
1<br />
80<br />
= = × A ≅ 150 mA .<br />
80 Ω<br />
Obviamente, a soma <strong>de</strong>ssas três correntes é igual à corrente que passa pela<br />
fonte.<br />
C) Na figura 22.3a consi<strong>de</strong>ramos, como primeira opção, o resistor <strong>de</strong> oitenta ohms<br />
ligado em série com a associação em paralelo dos dois resistores <strong>de</strong> cinqüenta<br />
ohms.<br />
A corrente que percorre a fonte é dada por sua força eletromotriz dividida<br />
pela resistência equivalente <strong>de</strong>sta associação:<br />
V<br />
i 12 −<br />
SPa<br />
= = 1,14 × 10<br />
2 A ≅ 114 mA .<br />
105 Ω<br />
Esta mesma corrente percorre o resistor <strong>de</strong> oitenta ohms e se divi<strong>de</strong> em<br />
duas correntes idênticas que percorrem os resistores <strong>de</strong> cinqüenta ohms:<br />
i<br />
iSPa<br />
= iSPa<br />
mA e iSPa50 = = 57, 1mA.<br />
2<br />
SPa80 = 114<br />
D) Na segunda opção o resistor <strong>de</strong> cinqüenta ohms é colocado em série com a<br />
associação em paralelo do resistor <strong>de</strong> oitenta ohms com o outro resistor <strong>de</strong><br />
cinqüenta ohms. A corrente que atravessa a fonte e o primeiro resistor é dada,<br />
como sempre, pela fem dividida pela resistência da associação:<br />
V<br />
i i<br />
12 =<br />
SPb<br />
=<br />
SPb<br />
1,49 10<br />
1<br />
1<br />
= = × A ≅ 149<br />
80,8 Ω<br />
mA .<br />
Os dois resistores associados em paralelo estão submetidos à tensão<br />
produzida pela fonte subtraída da queda <strong>de</strong> tensão no primeiro resistor. Esta queda<br />
é dada pela resistência do primeiro resistor multiplicada pela corrente que o<br />
atravessa:<br />
V<br />
= R i 7, V .<br />
SPb1 1 SP<br />
= 43<br />
As correntes nos dois outros resistores serão, portanto:<br />
( 12 −7,43)<br />
V<br />
−2<br />
i SPb 2<br />
=<br />
= 5,8 × 10 A≅<br />
58 mA<br />
80 Ω<br />
e<br />
( 12 − 7,43) V<br />
−2<br />
i SPb 3<br />
=<br />
= 9,1 × 10 A = 91 mA .<br />
50 Ω<br />
E) Na associação da figura 22.3b, consi<strong>de</strong>rando o resistor <strong>de</strong> oitenta ohms em<br />
paralelo com a associação em série dos dois <strong>de</strong> cinqüenta ohms a corrente na<br />
fonte é<br />
ε V<br />
i<br />
12 −<br />
PSa<br />
= = = 2,70 × 10<br />
1 A ≅ 270 mA<br />
R 44,4 Ω<br />
PSa<br />
O resistor <strong>de</strong> oitenta ohms é percorrido pela corrente:<br />
ε V<br />
i<br />
12 −<br />
PSa<br />
1,5 10<br />
1<br />
80<br />
= = = × A ≅ 150 mA<br />
R 80Ω<br />
PSa<br />
328<br />
329
enquanto o restante da corrente passa por ambos os resistores <strong>de</strong> cinqüenta ohms:<br />
i<br />
= i − i = (270−150)<br />
mA mA .<br />
PSa50 PSa PSa80<br />
= 120<br />
Este último valor é igual à força eletromotriz dividida pela resistência<br />
equivalente à da associação, em série, <strong>de</strong> dois resistores <strong>de</strong> cinqüenta ohms.<br />
F) Consi<strong>de</strong>ramos, finalmente, um resistor <strong>de</strong> cinqüenta ohms ligado em paralelo<br />
com a associação em série do resistor <strong>de</strong> oitenta ohms com o outro resistor <strong>de</strong><br />
cinqüenta ohms.<br />
Encontramos a corrente que atravessa a fonte dividindo a força eletromotriz<br />
pela resistência equivalente da associação:<br />
ε V<br />
i<br />
12 −<br />
PSb<br />
= = = 3,3 × 10<br />
1 A ≅ 330<br />
R 36,1 Ω<br />
PSb<br />
mA .<br />
A corrente no primeiro resistor <strong>de</strong> cinqüenta ohms é a fem dividida por esta<br />
resistência e a corrente que passa pelo resistor <strong>de</strong> oitenta ohms e pelo segundo<br />
resistor <strong>de</strong> cinqüenta ohms é a corrente total subtraída da corrente que passa no<br />
primeiro resistor ou a força eletromotriz dividida pela resistência equivalente da<br />
ligação em série, que é <strong>de</strong> 130 Ω:<br />
ε V<br />
i 12 −<br />
SB<br />
2,4 10<br />
1<br />
50<br />
= = = × A ≅ 240 mA .<br />
R 50Ω<br />
50<br />
ε<br />
V<br />
i<br />
i i<br />
12 −<br />
SB PSb PSb<br />
9,23 10<br />
2<br />
130<br />
= = −<br />
50<br />
= = × A ≅ 923mA<br />
.<br />
R<br />
130 Ω<br />
130<br />
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO<br />
E22.1) Um resistor <strong>de</strong> 32 Ω é ligado em paralelo com um resistor <strong>de</strong> 20 Ω e o<br />
conjunto é conectado a uma fonte <strong>de</strong> tensão <strong>de</strong> 240 V. (a) Qual é a resistência<br />
equivalente da associação em paralelo? (b) Qual é a corrente total da combinação<br />
em paralelo? (c) Qual é a corrente através <strong>de</strong> cada resistor?<br />
E22.2) Mostre que quando dois resistores são ligados em paralelo, a resistência<br />
equivalente da combinação é sempre menor do que a resistência <strong>de</strong> qualquer um<br />
dos resistores.<br />
E22.3) A corrente em um circuito <strong>de</strong> uma malha e uma resistência R é 5,0 A.<br />
Quando uma resistência <strong>de</strong> 2,0 Ω é ligada em série com R , a corrente diminui<br />
para 4,0 A. Qual o valor <strong>de</strong> R ?<br />
E22.4) Três resistores <strong>de</strong> 1,60 Ω , 2,40 Ω e 4,80 Ω são ligados em paralelo a uma<br />
bateria <strong>de</strong> 28,0 V que possui resistência interna <strong>de</strong>sprezível. Calcule (a) a<br />
resistência equivalente da combinação, (b) a corrente através <strong>de</strong> cada resistor, (c)<br />
a corrente total através da bateria, (d) a voltagem através <strong>de</strong> cada resistor, (e) a<br />
energia dissipada em cada resistor.<br />
E22.5) Uma lâmpada <strong>de</strong> 60 W e 120 V e outra lâmpada <strong>de</strong> 200 W e 120 V são<br />
conectadas em série com uma fonte <strong>de</strong> 240 V. Sabemos que as resistências das<br />
lâmpadas não variam com a corrente. (a) Calcule a corrente que passa nas<br />
lâmpadas e (b) <strong>de</strong>termine a potência dissipada em cada lâmpada. Observação: A<br />
<strong>de</strong>scrição da lâmpada fornece a potência que ela dissipa quando é ligada à<br />
diferença <strong>de</strong> potencial especificada.<br />
PENSE E RESPONDA<br />
PR22.1) Por que as luzes <strong>de</strong> um automóvel ficam com pouca intensida<strong>de</strong> no<br />
momento em que o motor <strong>de</strong> arranque é acionado?<br />
PR22.2) As luzes <strong>de</strong> uma casa caem <strong>de</strong> intensida<strong>de</strong> no momento em que ligamos a<br />
máquina <strong>de</strong> lavar ou um ferro elétrico. Por quê?<br />
PR22.3) Em uma lanterna com duas pilhas, elas são geralmente ligadas em série.<br />
Por que não ligá-las em paralelo? Qual seria uma possível vantagem na conexão <strong>de</strong><br />
pilhas idênticas em paralelo?<br />
330<br />
331
AULA 23 CIRCUITOS DE MAIS DE UMA MALHA<br />
OBJETIVOS<br />
• APLICAR A LEI DAS MALHAS A CIRCUITOS ELÉTRICOS<br />
23.1 CIRCUITOS ELETRICOS<br />
Na aula anterior consi<strong>de</strong>ramos associações <strong>de</strong> resistores cujas resistências<br />
po<strong>de</strong>m ser reduzidas à uma resistência equivalente. Isto nos permite encontrar a<br />
corrente que atravessa o gerador. Usando os conceitos <strong>de</strong> ligações em série e em<br />
paralelo, foi possível encontrar as correntes em cada resistor. Muitas vezes é<br />
possível resolver circuitos razoavelmente complicados fazendo várias reduções <strong>de</strong><br />
conjuntos <strong>de</strong> resistores às suas resistências equivalentes.<br />
Entretanto, é muito comum encontrarmos circuitos elétricos em que há<br />
ligações que não po<strong>de</strong>m ser classificadas como ligações em série ou em paralelo.<br />
Na figura 23.1 mostramos um circuito em que há três resistores que nem<br />
são percorridos pela mesma corrente, como ocorre em uma ligação em série, nem<br />
estão submetidos a uma mesma diferença <strong>de</strong> potencial, como acontece com as<br />
ligações em paralelo.<br />
No circuito da figura 23.1 temos três correntes distintas e <strong>de</strong>vemos<br />
encontrar um sistema <strong>de</strong> três equações envolvendo essas correntes. Temos dois<br />
nós, que estão indicados pelas letras “b” e “e”. As correntes que saem <strong>de</strong> um nó ou<br />
chegam nele diferem entre si, e geralmente não sabemos <strong>de</strong> antemão quais são os<br />
seus sentidos no circuito; então, para resolver o problema <strong>de</strong> encontrar o valor e o<br />
sentido <strong>de</strong>ssas correntes, basta adotarmos arbitrariamente um sentido para elas.<br />
No final dos cálculos, aqueles sentidos que foram escolhidos corretamente nos dão<br />
um valor positivo para a corrente; se o sentido adotado não for o real, o valor da<br />
corrente encontrado será negativo<br />
Escolhendo o sentido das correntes como mostrado na Figura 23.1, e<br />
aplicando a lei dos nós ao primeiro dos nós, encontramos que i 1 é igual à soma <strong>de</strong><br />
i<br />
2 com i 3<br />
, o que nos fornece a primeira equação:<br />
i<br />
1<br />
= i2<br />
+<br />
3<br />
i3.<br />
(23.1)<br />
A aplicação da mesma lei ao nó indicado pela letra “e” não nos fornece<br />
qualquer informação nova e resulta na mesma equação.<br />
De forma geral quando temos N nós em um circuito a lei dos nós po<strong>de</strong> ser<br />
usada N −1<br />
vezes.<br />
R 1<br />
R 3<br />
R 2<br />
a b c<br />
i 1 i 2<br />
E 1<br />
E 2<br />
R 1<br />
R 3<br />
R 2<br />
a b c<br />
i 1 i 2<br />
E 1 i 3<br />
f<br />
e<br />
d<br />
E 2<br />
i 3<br />
f<br />
e<br />
d<br />
Figura 23.1: Circuito com mais <strong>de</strong> uma malha. Cada resistor é submetido a uma tensão<br />
específica e é percorrido por uma corrente diferente da dos <strong>de</strong>mais.<br />
Figura 23.1: Circuito com mais <strong>de</strong> uma malha. Cada resistor é submetido a uma tensão<br />
específica e é percorrido por uma corrente diferente da dos <strong>de</strong>mais.<br />
Temos três malhas (caminhos fechados) distintas neste circuito, que são<br />
indicadas pelas letras “abc<strong>de</strong>fa”, “abefa” e “bc<strong>de</strong>b”.<br />
Aplicando a lei das malhas ao caminho “fabef”, encontramos a equação:<br />
Neste caso <strong>de</strong>vemos aplicar a lei dos nós e a lei das malhas para obtermos<br />
um sistema com tantas equações quantos forem o número <strong>de</strong> correntes no circuito.<br />
332<br />
ε − R i − R i 0.<br />
(23.2)<br />
1 1 1 3 3<br />
=<br />
Aplicando novamente a lei das malhas ao percurso “bc<strong>de</strong>b” encontramos:<br />
333
− R i + ε + R i 0.<br />
(23.3)<br />
2 2 2 3 3<br />
=<br />
A aplicação <strong>de</strong>ssa mesma lei ao circuito “abc<strong>de</strong>fa” nos fornece uma equação<br />
que é a soma <strong>de</strong>ssas duas últimas equações, não acrescentando qualquer<br />
informação nova.<br />
Po<strong>de</strong>mos aqui também afirmar que se temos M malhas em um<br />
circuito a primeira regra <strong>de</strong> Kirchhoff po<strong>de</strong> ser aplicada M −1<br />
vezes.<br />
o que nos leva a:<br />
∆<br />
1<br />
= − ε1R2<br />
− ε<br />
2R3<br />
− ε1R3,<br />
(23.10)<br />
∆ (23.11)<br />
2<br />
= − ε1R3<br />
− ε<br />
2R1<br />
− ε<br />
2R3<br />
∆ . (23.12)<br />
3<br />
= − ε<br />
1R2<br />
+ ε<br />
2R1<br />
Temos as três equações necessárias para encontrar os valores das três<br />
correntes presentes no circuito. Vamos reescrevê-las <strong>de</strong> forma conveniente:<br />
i − i − i 0,<br />
(23.3)<br />
1 2 3<br />
=<br />
R i + R i =<br />
(23.4)<br />
1 1 3 3<br />
ε1<br />
R<br />
2i2<br />
− R3i3<br />
= ε 2.<br />
(23.5)<br />
Usamos o método <strong>de</strong> Kramer para resolver este sistema <strong>de</strong> equações.<br />
Escrevemos uma matriz com os coeficientes das correntes e calculamos seu<br />
<strong>de</strong>terminante. Este é o <strong>de</strong>terminante principal.<br />
⎛ 1 −1<br />
−1<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎟<br />
∆<br />
P<br />
= <strong>de</strong>t ⎜ R1<br />
0 R3<br />
⎟ = − R1R2<br />
− R2R3<br />
− R1R3<br />
. (23.6)<br />
⎜ 0 R2<br />
R ⎟<br />
⎝ −<br />
3 ⎠<br />
Substituindo a coluna correspon<strong>de</strong>nte a cada corrente por uma coluna com<br />
os valores dos membros da direita <strong>de</strong>ssas equações encontramos os <strong>de</strong>terminantes<br />
correspon<strong>de</strong>ntes a cada corrente:<br />
⎛ 0 −1<br />
−1<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎟<br />
∆1<br />
= <strong>de</strong>t ⎜ε 1<br />
0 R3<br />
⎟ ,<br />
(23.7)<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝ε<br />
2<br />
R2<br />
− R3<br />
⎠<br />
⎛ 1<br />
⎜<br />
∆2<br />
= <strong>de</strong>t ⎜ R1<br />
⎜<br />
⎝ 0<br />
0 −1<br />
⎞<br />
⎟<br />
ε<br />
1<br />
R3<br />
⎟<br />
(23.8)<br />
ε − ⎟<br />
2<br />
R3<br />
⎠<br />
⎛ 1 −1<br />
0 ⎞<br />
⎜<br />
⎟<br />
∆3<br />
= <strong>de</strong>t ⎜ R<br />
1<br />
0 ε1<br />
⎟.<br />
(23.9)<br />
⎜ 0 ⎟<br />
⎝ R2<br />
ε<br />
2 ⎠<br />
334<br />
As correntes são dadas, respectivamente, por estes <strong>de</strong>terminantes divididos<br />
pelo <strong>de</strong>terminante principal:<br />
R<br />
3<br />
Consi<strong>de</strong>rando<br />
= 15, 0 Ω<br />
, encontramos:<br />
2<br />
∆ P<br />
= − 350,0<br />
Ω , ∆ = − 475,0 VΩ<br />
e as correntes são dadas por:<br />
∆1<br />
∆<br />
2<br />
∆<br />
3<br />
i1<br />
= , i2<br />
= , i3<br />
= .<br />
(23.13)<br />
∆ ∆ ∆<br />
P<br />
P<br />
P<br />
ε = 10,0<br />
1<br />
V , ε = 15,0 V<br />
2 , R = 10, 0 Ω<br />
1 , R<br />
2<br />
= 10, 0 Ω e<br />
1 , ∆<br />
2<br />
= − 525,0 VΩ<br />
, ∆3 = 50,0 VΩ<br />
(23.14)<br />
i = ,36 A , i = 1,50 A , i = − 0.143 .<br />
(23.15)<br />
1<br />
1<br />
2<br />
3<br />
A<br />
O valor negativo encontrado para i 3 significa que o sentido da corrente é o<br />
contrário daquele que foi suposto inicialmente, ao fazer o <strong>de</strong>senho da figura 23.1.<br />
Quando temos um motor em um circuito, ou seja, um dispositivo que<br />
transforma energia elétrica em trabalho mecânico, este é <strong>de</strong>nominado gerador <strong>de</strong><br />
força contra-eletromotriz e é caracterizado por uma força contra-eletromotriz<br />
(fcem),<br />
ε<br />
m , que tem a mesma unida<strong>de</strong> que as fem do circuito. Ao percorremos o<br />
circuito no sentido da corrente, há uma diminuição no potencial <strong>de</strong> valor<br />
ε<br />
m , quando passamos pelo motor. Eventualmente esse motor po<strong>de</strong>rá ter uma<br />
resistência interna não <strong>de</strong>sprezível e, para representá-la, simplesmente<br />
consi<strong>de</strong>ramos, como nas fem não i<strong>de</strong>ais, uma resistência, r m , em série com a fcem<br />
do motor. A potência <strong>de</strong>senvolvida pelo motor, na forma <strong>de</strong> trabalho mecânico, é<br />
dada pelo valor <strong>de</strong> sua fcem multiplicado pelo valor da corrente que o atravessa.<br />
335
EXEMPLO 23.1<br />
Encontre as correntes que percorrem o motor e cada uma das fontes,<br />
representados na figura 23.2. Analise as potências produzidas ou consumidas por<br />
cada elemento do circuito Consi<strong>de</strong>re ε<br />
M<br />
= 40 V , ε = 60 V , R<br />
1<br />
= 8 Ω , R<br />
2<br />
= 12 Ω e<br />
R = 5 Ω .<br />
M<br />
De acordo com a lei dos nós temos a equação:<br />
i i − i 0.<br />
(23.16)<br />
1<br />
+<br />
2 M<br />
=<br />
A lei das malhas aplicada ao circuito que envolve o motor e a fonte da esquerda nos<br />
dá:<br />
R i + R i = ε − ε<br />
1 1 M M<br />
M<br />
.<br />
(23.17)<br />
Quando aplicada à malha que envolve as duas fontes, nos fornece:<br />
Figura 23.2: Duas fontes <strong>de</strong> força eletromotriz ε alimentam um motor <strong>de</strong> força<br />
contra-eletromotriz<br />
são indicadas.<br />
E<br />
R M<br />
R 1 R 2<br />
M<br />
ε<br />
m . As resistências internas <strong>de</strong> cada gerador <strong>de</strong> fem e do motor<br />
E<br />
R i − R i 0.<br />
(23.18)<br />
1 1 2 2<br />
=<br />
Utilizando o método <strong>de</strong> Kramer encontramos o <strong>de</strong>terminante principal para este<br />
conjunto <strong>de</strong> equações e os <strong>de</strong>terminantes associados a cada corrente.<br />
Como cada gerador possui uma resistência interna, parte da energia produzida<br />
surge como calor, a uma taxa que é igual ao valor da resistência multiplicada pelo<br />
quadrado da corrente. Ou seja:<br />
e<br />
2<br />
2<br />
Q = R i = 8,0 Ω× (1,2 A)<br />
12 W<br />
(23.19)<br />
1 1 1<br />
=<br />
E M<br />
337<br />
SOLUÇÃO: Como temos três correntes diferentes no circuito <strong>de</strong>vemos encontrar<br />
três equações para po<strong>de</strong>rmos encontrá-las.<br />
Na figura 23.3 mostramos os sentidos escolhidos para as correntes i 1<br />
, i 2<br />
e<br />
i<br />
M , que percorrem os resistores R<br />
1 , R<br />
2 e<br />
E<br />
i M<br />
R M<br />
R<br />
M , respectivamente.<br />
R 1 R 2<br />
M<br />
i 1<br />
i 2<br />
E<br />
2<br />
2<br />
Q = R i = 12 Ω × (0,8 A)<br />
8, 0 W . (23.20)<br />
2 2 2<br />
=<br />
Temos, portanto, que a fonte da esquerda fornece ao motor uma potência <strong>de</strong> 60 W,<br />
enquanto que a fonte da esquerda fornece uma potência <strong>de</strong> 40 W.<br />
No total o motor recebe uma potência <strong>de</strong> 1,0 x 10 2 W.<br />
Parte <strong>de</strong>ssa energia aparece como calor no motor, que se aquece, quando em<br />
funcionamento:<br />
2<br />
2<br />
QM = RM<br />
⋅ ( iM<br />
) = 5,0 Ω × (2,0 A)<br />
= 20 W . (23.21)<br />
Os restantes 80 W são transformados em trabalho mecânico pelo motor. Este valor<br />
é igual à fcem do motor multiplicado pela corrente:<br />
P<br />
= ε i = 40 V × 2,0 A 80 W.<br />
(23.22)<br />
mec M M<br />
=<br />
Figura 23.3: Duas fontes <strong>de</strong> força eletromotriz E alimentam um motor <strong>de</strong> força<br />
contra-eletromotriz ε<br />
m . As resistências internas <strong>de</strong> cada gerador <strong>de</strong> fem e do<br />
motor, bem como as correntes que percorrem cada um <strong>de</strong>les, são indicadas.<br />
ATIVIDADE 23.1<br />
Quatro resistores <strong>de</strong> 18,0 Ω são ligados em paralelo a uma fonte i<strong>de</strong>al <strong>de</strong> 25,0 V.<br />
Qual é a corrente na fonte?<br />
336
RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS<br />
V ab<br />
= 78V . (a) O elemento ? está absorvendo ou ce<strong>de</strong>ndo energia ao circuito? (b)<br />
Qual é a potencia absorvida ou fornecida pelo elemento?<br />
ATIVIDADE 23.1 Nao haverá resposta para esta ativida<strong>de</strong>.<br />
PENSE E RESPONDA<br />
PR23.1) A ligação <strong>de</strong> resistores po<strong>de</strong> ser sempre reduzida a combinações em série<br />
e paralelo? Caso existam exceções forneça exemplos.<br />
PR23.2) Você liga diversas lâmpadas idênticas a uma pilha <strong>de</strong> lanterna. O que<br />
ocorre com o brilho das lâmpadas à medida que o número <strong>de</strong> lâmpadas aumenta<br />
quando a ligação é (a) em série? e em (b) paralelo? (c) A bateria dura mais quando<br />
a ligação é em série ou quando é em paralelo?<br />
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO<br />
E23.1) Um resistor <strong>de</strong> 32Ω é ligado em paralelo com um resistor <strong>de</strong> 20Ω e o<br />
conjunto é conectado a uma fonte <strong>de</strong> tensa <strong>de</strong> 240 V. Qual é (a) a resistência<br />
equivalente da ligação em paralelo, (b) a corrente total da combinação em paralelo<br />
e (c) a corrente que passa através <strong>de</strong> cada resistor.<br />
Figura 23.5: Circuito do exercício 23.4<br />
E23.4) Duas resistências A e B são ligadas em série e a resistência equivalente é<br />
16 ,0 Ω . Quando estão ligadas em paralelo, a resistência equivalente é 3 ,0 Ω .<br />
Determine (a) a menor e (b) a menor das resistências A e B.<br />
E23.5) Qual é a resistência equivalente do circuito da figura 23.6? Calcule a<br />
corrente que passa em cada resistor e na bateria do circuito.<br />
E23.2) Calcule a resistência equivalente do circuito mostrado na figura 23.4 e<br />
calcule a corrente que passa em cada resistor. A resistência interna da bateria é<br />
<strong>de</strong>sprezível.<br />
Figura 23.6: Circuito do exercício 23.6<br />
Figura 23.4: Circuito do exercício 23.2<br />
E23.3) No circuito mostrado abaixo, as resistências são<br />
R = 2 Ω , R = 4 Ω<br />
R = 6, 0 Ω e a corrente i = 6, 0 A . A diferença <strong>de</strong> potencial entre os pontos A e B é<br />
3<br />
1<br />
2<br />
338<br />
339
AULA 24 APARELHOS DE MEDIDAS I<br />
OBJETIVOS<br />
• DISCUTIR O FUNCIONAMENTO DO GALVANÔMETRO E DO AMPERÍMETRO<br />
• RELACIONAR ESSES APARELHOS COM AS MEDIDAS DE TENSÃO E CORRENTE ELÉTRICAS<br />
24.1 GALVANÔMETRO<br />
A compreensão dos fenômenos elétricos e magnéticos teve gran<strong>de</strong><br />
<strong>de</strong>senvolvimento, nos séculos XVII e XIX, com as pesquisas realizadas,<br />
principalmente, nas universida<strong>de</strong>s européias. Ao mesmo tempo em que eram<br />
elaboradas as teorias que <strong>de</strong>screvem estes fenômenos, foram sendo <strong>de</strong>senvolvidos<br />
aparelhos para a sua mensuração.<br />
O mais importante dos aparelhos <strong>de</strong> medidas elétricas é, talvez, o<br />
galvanômetro, criado pelo físico inglês Michael Faraday, que permite fazer medições<br />
<strong>de</strong> pequenas correntes elétricas. A figura 24.1 mostra o esquema <strong>de</strong> funcionamento<br />
<strong>de</strong> um galvanômetro <strong>de</strong> bobina móvel, o mais comumente utilizado.<br />
Quando uma corrente percorre a bobina, esta provoca um torque, <strong>de</strong>vido à<br />
interação do campo magnético do ímã com as cargas em movimento que<br />
constituem a corrente elétrica. Os <strong>de</strong>talhes <strong>de</strong>ssa interação serão tratados nas<br />
próximas aulas <strong>de</strong>ste livro.<br />
Por ora, consi<strong>de</strong>ramos apenas que o torque sobre a bobina é proporcional à<br />
intensida<strong>de</strong> da corrente e que in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> sua posição angular, o que é obtido<br />
com uma geometria a<strong>de</strong>quada do ímã.<br />
Quando não há corrente, a posição da bobina é aquela em que a mola<br />
espiral permanece relaxada.<br />
Quando percorrida por uma corrente, i , a bobina gira <strong>de</strong> um ângulo θ , e a<br />
nova posição da bobina é a que correspon<strong>de</strong> ao equilíbrio entre o torque produzido<br />
pelo campo magnético e o torque restaurador da mola, que é proporcional ao<br />
<strong>de</strong>slocamento angular relativo à posição da mola relaxada.<br />
Po<strong>de</strong>mos então escrever a equação:<br />
α i = K θ ,<br />
(24.1)<br />
on<strong>de</strong> α e K são duas constantes <strong>de</strong> proporcionalida<strong>de</strong>, <strong>de</strong> on<strong>de</strong> vemos que a<br />
corrente é proporcional ao ângulo <strong>de</strong> rotação da bobina.<br />
Um ponteiro e uma escala conveniente nos permitem fazer a leitura da<br />
posição angular da bobina e, portanto, da corrente que a percorre.<br />
Figura 24.1: Esquema <strong>de</strong> funcionamento <strong>de</strong> um galvanômetro <strong>de</strong> bobina móvel. Esta é<br />
imersa em um campo magnético e po<strong>de</strong> girar em torno <strong>de</strong> um eixo perpendicular ao plano<br />
da figura. A passagem <strong>de</strong> corrente provoca um torque que é equilibrado pelo torque<br />
restaurador <strong>de</strong> uma mola espiral. O <strong>de</strong>slocamento angular mostrado por um ponteiro sobre<br />
uma escala é proporcional à corrente.<br />
Uma bobina retangular <strong>de</strong> fio condutor é colocada entre os pólos <strong>de</strong> um ímã<br />
permanente e po<strong>de</strong> girar em torno <strong>de</strong> um eixo, ao qual é fixada por uma mola<br />
espiral.<br />
Figura 24.1: Esquema <strong>de</strong> funcionamento <strong>de</strong> um galvanômetro <strong>de</strong> bobina móvel. Esta é<br />
imersa em um campo magnético e po<strong>de</strong> girar em torno <strong>de</strong> um eixo perpendicular ao plano<br />
da figura. A passagem <strong>de</strong> corrente provoca um torque que é equilibrado pelo troque<br />
restaurador <strong>de</strong> uma mola espiral. O <strong>de</strong>slocamento angular mostrado por um ponteiro sobre<br />
uma escala é proporcional à corrente.<br />
340<br />
341
valores entre<br />
As resistências internas,<br />
R<br />
G<br />
, <strong>de</strong> galvanômetros comuns costumam ter<br />
5 Ω e 30 Ω e as correntes <strong>de</strong> fundo <strong>de</strong> escala (as que provocam<br />
<strong>de</strong>flexões máximas do ponteiro),<br />
i<br />
G, max<br />
, têm valores típicos entre 0,1 mA e 10 mA.<br />
Se multiplicarmos a resistência interna <strong>de</strong> um galvanômetro pela corrente<br />
que o percorre encontraremos a tensão a que este está submetido. Em outras<br />
palavras, po<strong>de</strong>-se dizer que um galvanômetro me<strong>de</strong> tanto pequenas correntes<br />
como pequenas diferenças <strong>de</strong> potencial. Isto é:<br />
V<br />
G<br />
= RGiG.<br />
(24.2)<br />
SAIBA MAIS<br />
Um exemplo on<strong>de</strong> se faz uso <strong>de</strong> um galvanômetro é um circuito elétrico,<br />
conhecido como ponte <strong>de</strong> Wheatstone, utilizado para se encontrar valores <strong>de</strong><br />
resistências, com boa precisão.<br />
A figura 24.2 mostra o referido circuito, sendo R o resistor cuja resistência<br />
<strong>de</strong>seja-se medir. Nela, R<br />
1<br />
e R<br />
2<br />
são dois resistores com resistências fixas,<br />
geralmente idênticas, e conhecidas;<br />
Rx<br />
é um resistor cuja resistência po<strong>de</strong> ser<br />
variada continuamente e cujo valor po<strong>de</strong> sempre ser conhecido.<br />
a<br />
R 2<br />
b<br />
G<br />
c<br />
E<br />
R<br />
d<br />
R x<br />
Variando a resistência do resistor<br />
R<br />
x<br />
po<strong>de</strong>-se encontrar uma situação em<br />
que não há passagem <strong>de</strong> corrente através do galvanômetro. Nesta situação a<br />
diferença <strong>de</strong> potencial ente os pontos “a” e “b” é igual à diferença <strong>de</strong> potencial<br />
entre os pontos “a” e “c”. Da mesma forma a tensão entre os pontos “b” e “d” é<br />
idêntica à tensão entre os pontos “c” e “d”.<br />
Além disto, nessa mesma situação, a corrente i 1<br />
, que passa por R<br />
1<br />
, é a<br />
mesma que passa por R e a corrente i 2<br />
, que passa por R<br />
2<br />
, é a mesma que passa<br />
por<br />
R<br />
x . Po<strong>de</strong>mos, portanto escrever as equações:<br />
R = (24.3)<br />
1i1<br />
R2i2<br />
Ri1 = Rxi 2<br />
.<br />
(24.4)<br />
Dividindo uma equação pela outra e rearranjando termos encontramos que:<br />
R1<br />
R = Rx<br />
.<br />
(24.5)<br />
R<br />
2<br />
Normalmente diz-se que a ponte <strong>de</strong> Wheatstone fornece um valor muito<br />
preciso para a resistência que procuramos medir.<br />
O que se po<strong>de</strong> dizer é que esta última equação é um resultado teoricamente<br />
exato, ou seja, obtido sem que se fizessem aproximações matemáticas. No entanto<br />
a precisão do resultado obtido experimentalmente <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> da precisão com que os<br />
valores <strong>de</strong> R<br />
1<br />
, R<br />
2<br />
e R<br />
x<br />
são conhecidos.<br />
Se, por exemplo, cada uma <strong>de</strong>ssas resistências é conhecida com uma<br />
incerteza relativa <strong>de</strong> cinco por cento, a incerteza relativa encontrada para R é <strong>de</strong><br />
aproximadamente nove por cento.<br />
Para se realizar medidas com este circuito utilizam-se, como R<br />
1<br />
e R<br />
2<br />
, dois<br />
R 1<br />
343<br />
Figura 24.2: Ponte <strong>de</strong> Wheatstone. Quando a corrente no galvanômetro é anulada,<br />
ajustando-se o valor <strong>de</strong><br />
é igual à corrente em R<br />
2 .<br />
R<br />
x , a corrente em R é igual à corrente em R<br />
1 e a corrente em<br />
Neste circuito é conveniente utilizar um galvanômetro <strong>de</strong> zero central, que<br />
po<strong>de</strong> indicar correntes em qualquer sentido. Quando há alguma diferença <strong>de</strong><br />
potencial entre os pontos “b” e “c” o galvanômetro acusa a passagem <strong>de</strong> corrente,<br />
se essa diferença <strong>de</strong> potencial é invertida o galvanômetro indica uma corrente <strong>de</strong><br />
sinal contrário.<br />
R<br />
x<br />
fios <strong>de</strong> seção reta uniforme, <strong>de</strong> mesmo comprimento, constituídos <strong>de</strong> materiais<br />
condutores com resistivida<strong>de</strong>s bem conhecidas.<br />
R<br />
x<br />
é também um fio, <strong>de</strong> mesmo material dos anteriores e mesma área da<br />
seção transversal, mas <strong>de</strong> comprimento variável, o que é obtido com um contato<br />
móvel. O valor <strong>de</strong>ssa resistência po<strong>de</strong> ser conhecido com boa precisão.<br />
Os galvanômetros são aparelhos que suportam somente pequenas<br />
diferenças <strong>de</strong> potencial e a aplicação <strong>de</strong> tensões pouco elevadas po<strong>de</strong>riam danificá-<br />
342
los. Por isto, como medida <strong>de</strong> proteção, ao se iniciar uma medida, usa-se em série<br />
com o galvanômetro, um resistor que não permita a passagem <strong>de</strong> uma corrente<br />
maior que a <strong>de</strong> fundo <strong>de</strong> escala do aparelho em questão. Equilibra-se, assim, a<br />
ponte <strong>de</strong> forma grosseira, para em seguida retirar este resistor e fazer um ajuste<br />
mais fino.<br />
O esquema <strong>de</strong> funcionamento do amperímetro, para corrente contínua, é<br />
mostrado na figura 24.3b.<br />
De acordo com a lei dos nós, a corrente a ser medida, i , se divi<strong>de</strong> em uma<br />
parcela que percorre o galvanômetro, i G<br />
, e o restante, geralmente a maior parte,<br />
passa pelo “shunt”, i p<br />
.<br />
24.2 AMPERÍMETRO<br />
Normalmente é necessário medir correntes bem mais intensas que as que<br />
po<strong>de</strong>m ser medidas diretamente com um galvanômetro.<br />
Uma ducha <strong>de</strong> banho elétrica, por exemplo, po<strong>de</strong> ser percorrida por uma<br />
corrente <strong>de</strong> intensida<strong>de</strong> em torno <strong>de</strong> cinqüenta amperes, que é cem mil vezes<br />
maior que uma corrente <strong>de</strong> fundo, usual em galvanômetros, <strong>de</strong> meio miliampere.<br />
Para medirmos correntes maiores que a corrente <strong>de</strong> fundo <strong>de</strong> um<br />
galvanômetro, construímos o aparelho, a que damos o nome <strong>de</strong> amperímetro. Este<br />
nada mais é que um galvanômetro associado, em paralelo, a um condutor, <strong>de</strong><br />
pequena resistência, que, em geral, permite a passagem da maior parte da<br />
corrente, enquanto apenas uma pequena parcela passa pelo galvanômetro.<br />
No jargão da eletrotécnica, esse resistor, colocado em paralelo com o<br />
galvanômetro, é conhecido como shunt, palavra inglesa cujo significado é <strong>de</strong>svio.<br />
A figura 24.3a mostra um amperímetro inserido em um circuito simples. A<br />
corrente no circuito passa pelo amperímetro que, para perturbar minimamente o<br />
circuito, <strong>de</strong>ve ter uma resistência interna bastante pequena. Um amperímetro i<strong>de</strong>al<br />
seria aquele que apresentasse resistência nula, o que não é possível obter em<br />
aparelhos comuns.<br />
E 1<br />
A<br />
R<br />
i<br />
iG<br />
r G<br />
G<br />
i p<br />
i<br />
R P<br />
Além disto, como o galvanômetro está ligado em paralelo com<br />
estão submetidos à mesma diferença <strong>de</strong> potencial.<br />
Po<strong>de</strong>mos então escrever as equações:<br />
R<br />
p<br />
, ambos<br />
i = i G<br />
+ i p<br />
(24.6)<br />
r<br />
GiG<br />
= R<br />
pi<br />
p.<br />
(24.7)<br />
Eliminando a corrente que passa pelo <strong>de</strong>svio encontramos:<br />
⎛ r ⎞<br />
G<br />
i = ⎜ + 1⎟<br />
i G<br />
.<br />
(24.8)<br />
R<br />
⎝ p ⎠<br />
Po<strong>de</strong>m-se construir amperímetros que meçam quaisquer valores <strong>de</strong> corrente<br />
maiores que a corrente <strong>de</strong> fundo <strong>de</strong> escala do galvanômetro. O fator entre<br />
parênteses, neta última equação é <strong>de</strong>nominado fator <strong>de</strong> amplificação do<br />
amperímetro.<br />
Quando a corrente <strong>de</strong> fundo <strong>de</strong> escala do amperímetro é poucas vezes maior<br />
que a do galvanômetro, o valor <strong>de</strong><br />
R<br />
p<br />
é poucas vezes menor que r G<br />
e a unida<strong>de</strong>,<br />
que aparece no fator <strong>de</strong> amplificação, é relevante. Usualmente um amperímetro<br />
po<strong>de</strong> medir correntes muito maiores que a corrente <strong>de</strong> fundo do galvanômetro.<br />
Nesse caso<br />
R<br />
p<br />
é muito menor que r G<br />
e po<strong>de</strong>-se <strong>de</strong>sprezar aquela unida<strong>de</strong>.<br />
(a)<br />
(b)<br />
Figura 24.3: (a) Amperímetro inserido em um circuito é percorrido pela corrente a ser<br />
medida. (b) A corrente a ser medida é dividida: uma pequena parcela passa pelo<br />
galvanômetro, cuja resistência interna está representada por um resistor em série com este,<br />
e a maior parte da corrente passa por um resistor em paralelo que atua como <strong>de</strong>svio.<br />
344<br />
345
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO<br />
E24.1) A resistência <strong>de</strong> uma bobina <strong>de</strong> um galvanômetro é igual a<br />
25 ,0 Ω e a<br />
corrente necessária para atingir uma <strong>de</strong>flexão até o fundo da escala é <strong>de</strong> 500 ,0 µ F .<br />
Mostre em um diagrama como converter o galvanômetro em um amperímetro<br />
capaz <strong>de</strong> fornecer uma leitura até o fundo da escala igual a 20,0 mA e calcule a<br />
resistência <strong>de</strong> shunt.<br />
E24.2) A resistência da bobina <strong>de</strong> um galvanômetro é igual a<br />
9 ,36 Ω e uma<br />
corrente <strong>de</strong> 0,0224 A produz nele uma <strong>de</strong>flexão até o fundo da escala. O único<br />
shunt disponível possui resistência <strong>de</strong><br />
0.025<br />
Ω 0,025 Ω. Qual é o valor da<br />
resistência R que <strong>de</strong>ve ser conectada em série com a bobina, veja a figura 24.4?<br />
Figura 24.4: Circuito do exercício 24.2.<br />
346
AULA 25 APARELHOS DE MEDIDAS II<br />
OBJETIVOS<br />
• DISCUTIR O FUNCIONAMENTO DO VOLTÍMETRO E OHMÍMETRO<br />
• RELACIONAR ESSES APARELHOS COM AS MEDIDAS DE TENSÃO E RESISTÊNCIA ELÉTRICAS<br />
25.1 – VOLTÍMETRO<br />
Quando queremos medir tensões maiores que as que po<strong>de</strong>m ser medidas<br />
diretamente com um galvanômetro construímos um voltímetro que, assim como o<br />
amperímetro, usa um galvanômetro, mas com um resistor associado a ele em<br />
série.<br />
Desta forma, quando vamos medir uma <strong>de</strong>terminada tensão há apenas uma<br />
pequena diferença <strong>de</strong> potencial entre os terminais do galvanômetro ficando a maior<br />
parte da diferença <strong>de</strong> potencial entre os terminais do resistor em série.<br />
A figura 25.1a mostra a utilização <strong>de</strong> um voltímetro. Este é ligado em<br />
paralelo ao elemento <strong>de</strong> circuito que está submetido à tensão que queremos medir,<br />
no caso, a tensão a que está submetido o resistor R<br />
2<br />
.<br />
Na figura 25.1b temos o esquema <strong>de</strong> funcionamento do voltímetro, em que,<br />
usualmente, a resistência em série é responsável por quase toda a queda <strong>de</strong><br />
potencial. A tensão a ser medida é:<br />
( R r ) i .<br />
V = +<br />
(25.1)<br />
S<br />
G<br />
Quando a tensão máxima a ser medida é poucas vezes maior que aquela<br />
suportada pelo galvanômetro a resistência interna <strong>de</strong>ste é importante nesta<br />
equação. Usualmente as tensões a serem medidas são muito maiores que as que<br />
po<strong>de</strong>m ser medidas com o galvanômetro. Neste caso a resistência em série é muito<br />
maior que r G<br />
e po<strong>de</strong>-se <strong>de</strong>sprezar o valor <strong>de</strong>sta frente ao daquela.<br />
25.2 – OHMÍMETRO<br />
Para medirmos resistências <strong>de</strong> diversos condutores, <strong>de</strong>vemos aplicar uma<br />
tensão conhecida aos terminais dos resistores e medir as correntes<br />
correspon<strong>de</strong>ntes.<br />
Para tal po<strong>de</strong>mos usar o esquema mostrado na figura 25.2, on<strong>de</strong> temos uma<br />
fonte <strong>de</strong> fem <strong>de</strong> valor ε , um galvanômetro, com resistência interna r G<br />
<strong>de</strong> fundo <strong>de</strong> escala<br />
i<br />
G, max<br />
, e um resistor, R<br />
s<br />
, ligados em série.<br />
G<br />
e corrente<br />
R 1<br />
E 1<br />
R s r G<br />
R 2<br />
V<br />
G<br />
iG<br />
(a) (b)<br />
R s<br />
r G<br />
E<br />
b<br />
R ex<br />
G<br />
a<br />
Figura 25.2: Em um ohmímetro, uma fem e um resistor são ligados em série com um<br />
Figura 25.1: (a) Um voltímetro é ligado em paralelo com o elemento <strong>de</strong> circuito submetido à<br />
tensão que se <strong>de</strong>seja medir. (b) Em um voltímetro a maior parte da queda <strong>de</strong> tensão se dá<br />
em um resistor associado em série com um galvanômetro. Neste a queda <strong>de</strong> tensão é bem<br />
pequena.<br />
Ao ligarmos o voltímetro, como mostrado na figura 25.1a, ocorre uma<br />
diminuição na resistência equivalente no circuito. Para que haja um mínimo <strong>de</strong><br />
alteração no circuito, a resistência <strong>de</strong> um voltímetro <strong>de</strong>ve ser, portanto, bem<br />
gran<strong>de</strong>, i<strong>de</strong>almente infinita.<br />
galvanômetro. A resistência<br />
R<br />
s é escolhida <strong>de</strong> forma que quando os terminais “a” e “b” são<br />
interligados a corrente é máxima e correspon<strong>de</strong> a uma resistência externa nula. Quando os<br />
terminais são <strong>de</strong>sligados a corrente é nula e correspon<strong>de</strong> a uma corrente externa infinita.<br />
Quando um resistor externo é ligado entre os terminais a corrente tem um valor<br />
intermediário que <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> do valor <strong>de</strong> sua resistência.<br />
O valores <strong>de</strong> ε e <strong>de</strong><br />
R<br />
s<br />
são escolhidos forma que a corrente no<br />
galvanômetro seja máxima quando os terminais “a” e “b” são interligados, o que<br />
correspon<strong>de</strong> a uma resistência nula, no mostrador do ohmímetro.<br />
347<br />
348
Quando um resistor externo, cuja resistência <strong>de</strong>seja-se medir, é ligado aos<br />
terminais há passagem <strong>de</strong> uma corrente menor que a máxima. Se o resistor é<br />
retirado e o circuito fica aberto, temos corrente nula que correspon<strong>de</strong> ao limite <strong>de</strong><br />
uma resistência infinita.<br />
A resistência do ohmímetro é:<br />
R = R + r<br />
(25.2)<br />
Ohm<br />
Inserindo o resistor externo no circuito da figura 25.2 e aplicando a lei das<br />
malhas encontramos:<br />
R<br />
S<br />
ext<br />
R Ohm<br />
G<br />
.<br />
= ε − . (25.3)<br />
i<br />
Como a força eletromotriz é dada pelo produto da resistência do ohmímetro<br />
pelo valor da corrente máxima no galvanômetro, po<strong>de</strong>-se expressar o valor da<br />
resistência externa usando como parâmetros os valores da corrente máxima e da<br />
resistência do ohmímetro:<br />
⎛ imax<br />
⎞<br />
Rext = ROhm<br />
⎜ − 1⎟.<br />
(25.4)<br />
⎝ i ⎠<br />
Um mostrador <strong>de</strong> um ohmímetro é representado na figura 25.3.<br />
Figura 25.3 – (figura 25-24 do livro Tipler, P. A.; Física, vol. 2ª, 2 a ed.)<br />
R<br />
ext<br />
R ohm<br />
em função da razãoi<br />
imax<br />
. Resistências com valores muito maiores que o<br />
da resistência do ohmímetro são medidas com baixa precisão.<br />
R/R Ohm<br />
20<br />
18<br />
16<br />
14<br />
12<br />
10<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
0<br />
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0<br />
i/i max<br />
Figura 25.4: Razão entre a resistência a ser medida e a resistência interna <strong>de</strong> um<br />
ohmímetro como função da razão entre a corrente e a corrente máxima no<br />
galvanômetro. Quando a resistência externa é maior que cinco ou seis vezes a<br />
resistência interna do ohmímetro, a precisão se torna muito baixa.<br />
EXEMPLO 25.1<br />
Figura 25.3: Em um ohmímetro a corrente máxima correspon<strong>de</strong> a uma resistência<br />
externa nula, enquanto a corrente nula correspon<strong>de</strong> a uma resistência infinita. A<br />
escala não é linear como nos voltímetros e amperímetros.<br />
Deseja-se construir um voltímetro a partir <strong>de</strong> um galvanômetro, com fundo <strong>de</strong><br />
escala <strong>de</strong> 10 mA e resistência interna<br />
r<br />
G<br />
= 6, 0Ω<br />
, e um conjunto <strong>de</strong> três resistores<br />
idênticos, que po<strong>de</strong>m ser interligados <strong>de</strong> quatro maneiras como já analisamos em<br />
aulas anteriores. O menor fundo <strong>de</strong> escala que se <strong>de</strong>seja é <strong>de</strong> 6,0 V. Qual o valor<br />
das resistências <strong>de</strong> cada resistor e quais os outros fundos <strong>de</strong> escala possíveis?<br />
SOLUÇÃO: De acordo com a equação 25.1 <strong>de</strong>vemos ter:<br />
Po<strong>de</strong>mos ver que a relação entre o valor da resistência externa e a<br />
intensida<strong>de</strong> da corrente não é linear. O gráfico da figura 25.4 representa a razão<br />
(25.5)<br />
6,0 =<br />
( R S<br />
+ 6,0) × 10<br />
−2 A.<br />
Encontramos então o valor da resistência necessária para obtermos o menor fundo<br />
349<br />
350
<strong>de</strong> escala <strong>de</strong>sejado.<br />
RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS<br />
R = 5,9 × 10<br />
2 Ω.<br />
(25.6)<br />
sp<br />
Esta é a menor resistência possível e correspon<strong>de</strong> à ligação dos três resistores em<br />
paralelo, cuja resistência equivalente é <strong>de</strong> um terço do valor <strong>de</strong> cada resistência.<br />
Encontramos, portanto, o valor <strong>de</strong> cada uma:<br />
(25.7)<br />
R =<br />
1,78 × 10<br />
3 Ω.<br />
As <strong>de</strong>mais combinações dos três resistores têm as resistências equivalentes iguais<br />
ao valor <strong>de</strong> R multiplicado pelos fatores 2/3, 3/2 e 3.<br />
ATIVIDADE 25.1<br />
Para termos o maior fundo <strong>de</strong> escala possível, em um amperímetro,<br />
<strong>de</strong>vemos ter o <strong>de</strong>svio com a menor resistência possível, como se po<strong>de</strong> ver na<br />
equação 24.8. Esta resistência, então, correspon<strong>de</strong> à ligação em paralelo dos três<br />
resistores, sendo sua resistência equivalente igual a 1/3 do valor <strong>de</strong> cada<br />
resistência individual.<br />
Utilizando, naquela equação, os valores <strong>de</strong> 1,00 A para a corrente máxima,<br />
10 mA para a corrente <strong>de</strong> fundo do galvanômetro e 6 ,00 Ω para a resistência<br />
interna do galvanômetro encontramos o valor da resistência <strong>de</strong> cada resistor:<br />
3<br />
Com o fator 2/3 encontramos R = 1,78 × 10 Ω e temos o fundo <strong>de</strong> escala:<br />
sps<br />
R = 3R<br />
p<br />
rG<br />
iG<br />
= 3<br />
i − i<br />
max<br />
max<br />
G max<br />
= 0,182Ω<br />
.<br />
(25.8)<br />
3<br />
−2<br />
V ps<br />
= (1,78 × 10 + 6,0) × 10 = 12,5 V.<br />
Encontramos então os <strong>de</strong>mais fundos <strong>de</strong> escala usando i G igual a 10 mA e<br />
R<br />
p igual a 2/3, 3/2 e 3 vezes o valor <strong>de</strong> R, na equação 24.8:<br />
3<br />
Com o fator 3/2 encontramos R = 2,62 × 10 Ω e temos o fundo <strong>de</strong> escala:<br />
ssp<br />
3<br />
−2<br />
V sp<br />
= (2,67 × 10 + 6) × 10 = 26,8 V.<br />
(25.9)<br />
Finalmente, com o fator 3 encontramos<br />
escala do voltímetro é:<br />
3<br />
R = 5,35 × 10 Ω e o maior fundo <strong>de</strong><br />
3<br />
−2<br />
V s<br />
= (5,35 × 10 + 6,0) × 10 = 53,5 V.<br />
(25.10)<br />
ATIVIDADE 25.1<br />
Utilizando três resistores idênticos, que po<strong>de</strong>m ser associados das quatro maneiras<br />
analisadas no exemplo 22.1, encontre o valor <strong>de</strong> cada resistência se <strong>de</strong>sejamos<br />
construir um amperímetro cujo maior fundo <strong>de</strong> escala seja <strong>de</strong> 1.00 A. Consi<strong>de</strong>re um<br />
galvanômetro como o do exemplo 25.1 e encontre os <strong>de</strong>mais fundos <strong>de</strong> escala.<br />
351<br />
s<br />
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO<br />
⎛ 6<br />
⎜<br />
⎝ 0,121<br />
⎞<br />
⎟ ×<br />
⎠<br />
3<br />
i ps<br />
= + 1 10 = 5,05 × 10<br />
⎛<br />
3<br />
i 6 ⎞<br />
sp<br />
= + 1 10 = 2,30 × 10<br />
−<br />
⎜<br />
⎝ 0,273<br />
⎛ 6<br />
⎜<br />
⎝ 0,546<br />
⎟ ×<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟ ×<br />
⎠<br />
3<br />
i s<br />
= + 1 10 = 1,20 × 10<br />
E25.1) Uma bateria <strong>de</strong> 90,0 V possui uma resistência interna<br />
A<br />
A<br />
A<br />
r = 8, 23 Ω . (a) Qual é<br />
a leitura <strong>de</strong> um voltímetro com resistência R = 425 Ω quando ele é conectado aos<br />
terminais da bateria? (b) Qual <strong>de</strong>ve ser o valor máximo da razão<br />
V<br />
r / RV<br />
r/R V para<br />
que o erro associado com a leitura da fem da bateria não seja maior do que 4,0 %?<br />
E25.2) Dois voltímetros <strong>de</strong> 150 V, com uma resistência interna <strong>de</strong><br />
com resistência interna igual a<br />
10 ,0 kΩ<br />
e outro<br />
90 ,0 kΩ<br />
, são conectados em série com uma fonte<br />
<strong>de</strong> tensão <strong>de</strong> 120 V. Calcule o valor da leitura <strong>de</strong> cada voltímetro? Observação: Um<br />
voltímetro <strong>de</strong> 150 V é aquele no qual ocorre uma <strong>de</strong>flexão completa em sua escala<br />
quando existe uma tensão <strong>de</strong> 150 V aplicada em seus terminais.<br />
352
AULA 26 CIRCUITO RC<br />
OBJETIVOS<br />
• COMPREENDER O COMPORTAMENTO DA CARGA, CORRENTE E TENSÃO EM UM CIRCUITO RC<br />
26.1 ANÁLISE DE UM CIRCUITO RC<br />
Até agora analisamos circuitos <strong>de</strong> corrente contínua em que os valores das<br />
correntes são in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntes do tempo. Veremos agora um circuito <strong>de</strong> corrente<br />
contínua em que, embora a corrente não mu<strong>de</strong> <strong>de</strong> sentido (o que caracterizaria um<br />
circuito <strong>de</strong> corrente alternada) a intensida<strong>de</strong> da corrente varia com o passar do<br />
tempo.<br />
Na figura 26.1 temos um circuito com uma fem, um resistor e um capacitor,<br />
que são ligados em série quando a chave “ch” é ligada ao terminal “a”.<br />
Estando o capacitor inicialmente <strong>de</strong>scarregado surge uma corrente que irá<br />
carregar o capacitor.<br />
Aplicando a lei das malhas encontramos a equação que <strong>de</strong>screve o<br />
comportamento temporal da carga no capacitor e da corrente que o carrega.<br />
R<br />
a<br />
ch b i<br />
E<br />
C<br />
i<br />
Figura 26.1: Circuito RC. Quando a chave “ch” é ligada ao terminal “a”, com o capacitor<br />
<strong>de</strong>scarregado, surge uma corrente que irá carregar o capacitor. Quando a chave é ligada ao<br />
terminal “b”, com o capacitor carregado, este se <strong>de</strong>scarrega. A resistência no circuito limita o<br />
valor da corrente.<br />
A corrente, que é a taxa com que as cargas chegam às placas do capacitor,<br />
é simplesmente a <strong>de</strong>rivada da carga com relação ao tempo, o que nos permite<br />
escrever:<br />
q<br />
C<br />
+<br />
dq<br />
R = ε . (26.1)<br />
dt<br />
Esta é uma equação diferencial <strong>de</strong> primeira or<strong>de</strong>m, pois envolve <strong>de</strong>rivadas<br />
até a primeira or<strong>de</strong>m da carga. Po<strong>de</strong>mos integrá-la, rearranjando seus termos e<br />
notando que enquanto o tempo varia <strong>de</strong> zero a t, a carga no capacitor varia <strong>de</strong> zero<br />
a q(t):<br />
O resultado <strong>de</strong>ssas integrais é:<br />
∫<br />
q(<br />
t)<br />
dq<br />
q − C<br />
0 ε<br />
que, finalmente, po<strong>de</strong> ser escrito como:<br />
=<br />
⎡q(<br />
t)<br />
− Cε<br />
⎤ − t<br />
ln⎢<br />
= ,<br />
C ⎥<br />
⎣ − ε ⎦ RC<br />
∫<br />
t<br />
0<br />
− dt<br />
. (26.2)<br />
RC<br />
(26.3)<br />
−t<br />
⎛ ⎞<br />
( ) = ⎜1<br />
⎟<br />
−<br />
RC<br />
q t Cε e<br />
.<br />
(26.4)<br />
⎝ ⎠<br />
Derivando esta expressão em relação ao tempo encontramos a expressão<br />
para a corrente no circuito:<br />
−t<br />
RC<br />
i = ε e<br />
(26.5)<br />
R<br />
A equação 26.4 nos diz que a carga inicial é nula e que seu valor ten<strong>de</strong> para<br />
C ε , ou equivalentemente, que a diferença <strong>de</strong> potencial entre as placas do capacitor<br />
ten<strong>de</strong> para ε , que é a tensão gerada pela fonte <strong>de</strong> força motriz.<br />
Entretanto, o capacitor não é carregado instantaneamente. De acordo com<br />
aquela equação é necessário um intervalo <strong>de</strong> tempo infinito para atingir tal valor.<br />
O produto da resistência do resistor pela capacitância do capacitor é<br />
conhecido como constante <strong>de</strong> tempo do circuito RC:<br />
τ RC.<br />
(26.6)<br />
C<br />
=<br />
Da equação (26.4), po<strong>de</strong>mos ver que, <strong>de</strong>s<strong>de</strong> o instante inicial até o instante<br />
<strong>de</strong> tempo igual a<br />
τ<br />
C<br />
, a carga no capacitor (e, conseqüentemente, a diferença <strong>de</strong><br />
potencial entre suas placas) atinge aproximadamente 63,2% do valor máximo. A<br />
carga será 86,5% do valor máximo quando t = 2τ<br />
C<br />
e 95,0% quando t = 3τ<br />
C<br />
.<br />
353<br />
354
ATIVIDADE 26.1<br />
Mostre que, para t = τ<br />
C<br />
, t = 2τ<br />
C<br />
, t = 3τ<br />
C<br />
, a carga no capacitor atinge,<br />
respectivamente, os valores 63,2%, 86,5% e 95% da carga máxima no capacitor.<br />
tempo.<br />
Na figura 26.3 mostramos o valor da corrente no circuito como função do<br />
1,0<br />
0,8<br />
A corrente inicial, <strong>de</strong> acordo com a equação 26.5, é igual ao valor da fem<br />
dividido pelo da resistência. Como inicialmente não há carga no capacitor, toda a<br />
tensão fornecida pela fem aparece no resistor. Com o passar do tempo a diferença<br />
<strong>de</strong> potencial no capacitor aumenta enquanto a tensão no resistor diminui, ou seja,<br />
a carga no capacitor aumenta enquanto o valor da corrente diminui.<br />
Em um intervalo <strong>de</strong> tempo igual à constante <strong>de</strong> tempo do circuito, a corrente<br />
diminui para aproximadamente 37% <strong>de</strong> seu valor inicial.<br />
Se essa corrente permanecesse com o valor inicial o capacitor seria<br />
carregado completamente (a diferença <strong>de</strong> potencial entre suas placas atingiria o<br />
valor ε ) em um intervalo igual à constante <strong>de</strong> tempo do circuito. Isto po<strong>de</strong> ser<br />
visto na figura 26.2, on<strong>de</strong> mostramos, com traço cheio, a evolução temporal da<br />
diferença <strong>de</strong> potencial no capacitor ( V = q / C ) e, com linha tracejada, como esta<br />
evoluiria, se o valor da corrente fosse mantido constante e igual ao seu valor inicial.<br />
i/i o<br />
0,6<br />
0,4<br />
0,2<br />
0,0<br />
0 1 2 3 4 5 6<br />
Figura 26.3: Fração da corrente no circuito RC relativa ao valor da corrente inicial. O<br />
intervalo <strong>de</strong> tempo é dado em termos da constante <strong>de</strong> tempo do circuito,<br />
τ<br />
C = RC. Quando<br />
se passa um intervalo igual a uma constante <strong>de</strong> tempo o valor da corrente é <strong>de</strong><br />
aproximadamente 37% <strong>de</strong> seu valor inicial e é <strong>de</strong> 5% quando o intervalo <strong>de</strong> tempo é <strong>de</strong> três<br />
vezes o valor daquela constante.<br />
t/τ c<br />
1,0<br />
V/E<br />
0,8<br />
0,6<br />
0,4<br />
0,2<br />
0,0<br />
0 1 2 3 4 5<br />
Conforme já dissemos, o intervalo <strong>de</strong> tempo necessário para se atingir a<br />
situação em que todo o potencial gerado pela fem esteja no capacitor e corrente<br />
seja nula ten<strong>de</strong> ao infinito.<br />
Entretanto, nas figuras 26.2 e 26.3, po<strong>de</strong>mos ver que, quando se passa um<br />
intervalo <strong>de</strong> tempo em torno <strong>de</strong> cinco ou seis vezes a constante <strong>de</strong> tempo, po<strong>de</strong>-se<br />
consi<strong>de</strong>rar que tanto a corrente no circuito quanto a diferença <strong>de</strong> potencial no<br />
capacitor atingem seu valor <strong>de</strong> equilíbrio, zero e ε , respectivamente.<br />
Vamos analisar agora o processo <strong>de</strong> <strong>de</strong>scarga do capacitor, ou seja, quando<br />
a diferença <strong>de</strong> potencial entre as placas do capacitor representado na figura 26.1<br />
atinge um valor arbitrário V<br />
0<br />
, estando a chave ligada ao terminal “a”, passa-se a<br />
Figura 26.2: Fração da diferença <strong>de</strong> potencial entre as placas do capacitor, relativo a<br />
seu valor máximo, durante o processo <strong>de</strong> carga (linha cheia). Quando o intervalo <strong>de</strong> tempo<br />
atinge o valor <strong>de</strong> uma constante <strong>de</strong> tempo do circuito, a diferença <strong>de</strong> potencial atinge 63%<br />
do valor da fem presente no circuito. A diferença <strong>de</strong> potencial que teríamos se a<br />
corrente fosse constante, e igual ao valor inicial, é dada pela linha tracejada.<br />
t/τ c<br />
chave para o terminal “b”.<br />
Ocorre nesse instante a eliminação da fonte <strong>de</strong> força eletromotriz no<br />
circuito, que passa a ser <strong>de</strong>scrito pela equação:<br />
356<br />
355
q<br />
C<br />
+<br />
dq<br />
R = 0.<br />
dt<br />
(26.7)<br />
Como no caso da carga, po<strong>de</strong>mos integrar esta equação, consi<strong>de</strong>rando nulo<br />
o tempo no momento em que a chave é ligada em “b”:<br />
cento <strong>de</strong> seu valor máximo.<br />
Com uma fem <strong>de</strong> 12 V e com a chave na posição “a” o capacitor é carregado,<br />
inicialmente, até a tensão <strong>de</strong> 10 V, quando se inicia o funcionamento, passando a<br />
chave para a posição “b”.<br />
q ( t )<br />
∫<br />
0<br />
∫<br />
q<br />
dq<br />
q<br />
= t<br />
0<br />
− dt<br />
.<br />
RC<br />
(26.8)<br />
3<br />
Consi<strong>de</strong>rando os valores <strong>de</strong> R = 200 Ω.<br />
e C = 3 ,00×<br />
10 µ F , quais os valores<br />
máximo e mínimo da tensão no capacitor e qual o valor da corrente máxima?<br />
O resultado das integrais é:<br />
⎡q(<br />
t)<br />
⎤ − t<br />
ln⎢<br />
⎥ = .<br />
⎣ q0 ⎦ RC<br />
(26.9)<br />
Quanto tempo a lâmpada permanece acesa e quanto tempo permanece apagada se<br />
ela só emite luz quando a corrente é igual ou superior a cinqüenta por cento seu<br />
valor máximo?<br />
Po<strong>de</strong>mos, finalmente, escrever a carga no capacitor como função do tempo e<br />
sua <strong>de</strong>rivada temporal que é a corrente:<br />
−t<br />
RC<br />
q( t)<br />
q e<br />
(26.10)<br />
= 0<br />
e<br />
−t<br />
q0 RC<br />
i = − e .<br />
(26.11)<br />
RC<br />
A carga no capacitor diminui exponencialmente, governada pela mesma<br />
constante <strong>de</strong> tempo do processo <strong>de</strong> carga. Tanto a carga quanto a corrente<br />
diminuem para algo em trono <strong>de</strong> 37% <strong>de</strong> seu valor inicial em um intervalo igual a<br />
uma constante <strong>de</strong> tempo.<br />
A corrente tem, em cada instante, um valor igual à diferença <strong>de</strong> potencial,<br />
q ( t)<br />
/ C , aplicada ao resistor, dividida pelo valor da resistência. Este resultado é o<br />
esperado, pois, como foi retirada a fonte do circuito, apenas a diferença <strong>de</strong> potencial<br />
do capacitor é a responsável pela corrente que percorre o resistor.<br />
Além disso, o sinal da corrente encontrada é negativo. Isto que indica que,<br />
durante a <strong>de</strong>scarga, a corrente que percorre o circuito tem, como é <strong>de</strong> se esperar, o<br />
sentido contrário ao indicado na figura 26.1.<br />
EXEMPLO 26.1<br />
Em <strong>de</strong>terminado sistema “pisca-pisca” usa-se um circuito como o da figura 26.1,<br />
em que o resistor é, na verda<strong>de</strong>, uma pequena lâmpada e a chave é um dispositivo<br />
automático que alterna sua posição, toda vez que a corrente diminui para vinte por<br />
RESOLUÇÃO: Inicialmente encontramos o valor da constante <strong>de</strong> tempo do circuito:<br />
3<br />
−3<br />
RC = (200Ω)<br />
× (3,00 × 10 µ F)<br />
= 200×<br />
2 × 10 = 0,600s.<br />
(26.12)<br />
De acordo com a equação 26.11, o valor máximo da corrente é o da corrente<br />
inicial. Como<br />
q<br />
0<br />
/ C é a tensão inicial, que é máxima, vemos que:<br />
i = V / R = 10 / 200 = 50,0mA.<br />
(26.13)<br />
max<br />
0<br />
Igualando a exponencial naquela equação a 0,2 (20%) encontramos o intervalo <strong>de</strong><br />
tempo durante o qual a chave permanece na posição “b”, enquanto o capacitor se<br />
<strong>de</strong>scarrega, isto é:<br />
t<br />
Rc<br />
( 5) = 1,61RC<br />
0,966 s<br />
0 ,2 = e<br />
− ⇒ t = RC ln<br />
= . (26.14)<br />
Após este tempo, em que a diferença <strong>de</strong> potencial no capacitor cai para 20% da<br />
inicial, ou seja, 2,00 V, a chave passa para a posição “a”, e o capacitor passa a ser<br />
carregado.<br />
Igualando essa mesma exponencial a 0,5 obtemos o intervalo <strong>de</strong> tempo,<br />
que a lâmpada permanece acesa durante a <strong>de</strong>scarga:<br />
t<br />
Rc<br />
( 2) = 0,693RC<br />
0,416 s<br />
∆ ta<br />
, em<br />
0 ,5 = e<br />
− ⇒ ∆t<br />
= RC ln<br />
= . (26.15)<br />
a<br />
Dessa forma a lâmpada permanece apagada por um intervalo <strong>de</strong> tempo igual a<br />
0 ,916 RC = 0, 550s .<br />
Para encontrarmos o tempo <strong>de</strong> carga do capacitor <strong>de</strong>vemos integrar a equação 26.1<br />
usando como limite inferior da carga, seu valor quando o potencial atinge o valor<br />
357<br />
358
mínimo <strong>de</strong> dois volts. O resultado é:<br />
10<br />
Cε<br />
− q<br />
Cε<br />
− q<br />
min<br />
= e<br />
− t<br />
RC<br />
.<br />
(26.16)<br />
8<br />
Rearranjando os termos <strong>de</strong>sta equação encontramos a carga (ou o potencial) no<br />
capacitor:<br />
t<br />
( C − q ) ⎛1<br />
− e .<br />
−<br />
q = q +<br />
min ⎜ RC<br />
⎟<br />
⎞<br />
mim<br />
ε (26.17)<br />
⎝ ⎠<br />
Derivando em relação ao tempo encontramos a expressão para a corrente:<br />
Tensão (V)<br />
6<br />
4<br />
2<br />
− V −t<br />
min RC<br />
i = ε e .<br />
(26.18)<br />
R<br />
Po<strong>de</strong>mos ver que, sendo 2,00 V a tensão mínima e 12,0 V a fem do circuito, a<br />
corrente máxima durante a carga do capacitor é a mesma que encontramos na<br />
<strong>de</strong>scarga. A corrente cairá para 20% <strong>de</strong>ste valor em um intervalo <strong>de</strong> tempo idêntico<br />
ao da <strong>de</strong>scarga, que é tempo necessário para a exponencial atingir o valor 0,2.<br />
Usando este valor da exponencial na expressão da carga encontramos o potencial<br />
máximo durante a carga:<br />
0 1 2 3 4 5 6<br />
Tempo (s)<br />
Figura 26.4: A tensão no capacitor varia entre o valor mínimo <strong>de</strong> 2,0 V ao valor máximo <strong>de</strong><br />
10 V, alimentado por uma fem <strong>de</strong> 12 V e controlado por uma chave automática que alterna<br />
sua polarida<strong>de</strong> quando a tensão atinge os valores limites.<br />
60<br />
V = ,2V<br />
+ 0,8ε = 0,400 V + 9,6 V = 10,0 V.<br />
(26.19)<br />
max<br />
0<br />
min<br />
Igualmente, a lâmpada permanece acesa por um intervalo <strong>de</strong> tempo igual ao<br />
encontrado durante a <strong>de</strong>scarga.<br />
Resumindo: A lâmpada permanece acesa durante por 416 ms e apagada por 550<br />
ms, tanto durante a carga do capacitor quanto durante a <strong>de</strong>scarga. A tensão no<br />
capacitor varia entre o máximo <strong>de</strong> <strong>de</strong>z volts e o mínimo <strong>de</strong> dois volts.<br />
Na figura 26.4 mostramos a evolução da tensão no capacitor e na figura 26.5 a da<br />
corrente no circuito. Nesta última vemos setas horizontais que indicam os momento<br />
em que a lâmpada <strong>de</strong>ixa <strong>de</strong> emitir luz, voltando a acen<strong>de</strong>r toda vez que a chave<br />
alterna sua posição.<br />
359<br />
Corrente (mA)<br />
40<br />
20<br />
0<br />
-20<br />
-40<br />
-60<br />
0 1 2 3 4 5 6<br />
Tempo (s)<br />
Figura 26.5: Corrente no circuito do pisca-pisca. Durante a carga do capacitor a corrente,<br />
inicialmente com valor <strong>de</strong> 50 mA, diminui até o valor <strong>de</strong> 10 mA. Nesse instante a chave<br />
alterna sua polarida<strong>de</strong> para que o capacitor se <strong>de</strong>scarregue. A corrente passa a ser<br />
negativa, com valor inicial <strong>de</strong> 50 mA, que diminui até 10 mA, quando <strong>de</strong> novo o capacitor<br />
volta a ser carregado. As setas mostram os instantes em que a lâmpada <strong>de</strong>ixa <strong>de</strong> emitir luz.<br />
360
RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS<br />
ATIVIDADE 26.2<br />
Deseja-se carregar um capacitor até a tensão <strong>de</strong> 20,0 V. Se usássemos uma fem <strong>de</strong><br />
20,0 V para carregá-lo, o tempo <strong>de</strong> carga seria infinito. Por isto utilizamos uma fem<br />
<strong>de</strong> 21 V. Qual o tempo <strong>de</strong> carga nesta situação se sua capacitância é C = 106 µ F e<br />
se há uma resistência em série com este cuja resistência é <strong>de</strong> R = 300 Ω.<br />
? Qual o<br />
tempo necessário para que o capacitor, com uma diferença <strong>de</strong> potencial inicial entre<br />
suas placas <strong>de</strong> 20,0 V se <strong>de</strong>scarregue através da resistência interna <strong>de</strong> um<br />
voltímetro <strong>de</strong> valor R V<br />
= 47 kΩ.<br />
até atingir a tensão <strong>de</strong> 1,00 V?<br />
ATIVIDADE 26.1<br />
Substitua t = τ na equação 26.10 e faça os cálculos, lembrando que se <strong>de</strong>seja o<br />
C<br />
percentual da carga máxima no tempo em questão. Por exemplo:<br />
⎛<br />
q( t)<br />
Cε<br />
⎜<br />
1 − e<br />
⎝<br />
q(<br />
t<br />
=<br />
−<br />
t<br />
RC<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛<br />
RC)<br />
= Cε<br />
⎜<br />
1 − e<br />
⎝<br />
⎞<br />
⎟<br />
= Cε<br />
⎠<br />
−RC<br />
=<br />
RC<br />
−<br />
1<br />
( 1 − e ) = Cε<br />
( 1 − 0,368) = Cε<br />
( 0,632)<br />
q(<br />
t = RC)<br />
= 0,632 = 63,2%<br />
Cε<br />
ATIVIDADE 26.2<br />
A constante <strong>de</strong> tempo do circuito, durante a carga do capacitor é:<br />
−6<br />
τ<br />
C<br />
= RC = 300Ω × 106 × 10 F =<br />
31,8 ms.<br />
De acordo com a equação 26.4, o tempo <strong>de</strong> carga é dado por:<br />
20 ,0V<br />
<strong>de</strong> on<strong>de</strong> tiramos o intervalo <strong>de</strong> tempo.<br />
⎛<br />
21,0 V ⎜1<br />
− e<br />
⎝<br />
−t<br />
=<br />
τ c<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
t = τ ln[ 21] = 3,04τ<br />
= 96, ms .<br />
c c<br />
7<br />
Com o capacitor carregado e <strong>de</strong>sligado do circuito, medimos sua tensão com<br />
um voltímetro cuja resistência interna é <strong>de</strong> 47 k Ω.<br />
. Neste caso, ao começarmos a<br />
medição, a diferença <strong>de</strong> potencial é <strong>de</strong> 20,0 V e vai caindo <strong>de</strong> acordo com a nova<br />
constante <strong>de</strong> tempo que é o produto da capacitância do capacitor pela resistência<br />
interna do voltímetro:<br />
3<br />
−6<br />
τ<br />
C<br />
= RC = 47 × 10 Ω × 106 × 10 F =<br />
4,98 s.<br />
O tempo <strong>de</strong> <strong>de</strong>scarga é, <strong>de</strong> acordo com a equação 26.10, dado por:<br />
−t<br />
c<br />
1=<br />
20. e τ ,<br />
ou seja t = τ ln( 20,0) = 3,00τ<br />
14,9 s.<br />
C C<br />
=<br />
361<br />
362
PENSE E RESPONDA<br />
PROBLEMAS DA UNIDADE<br />
PR26.1) Quando um resistor, uma bateria e um capacitor são ligados em série, o<br />
resistor influencia a carga máxima que po<strong>de</strong> ser armazenada no capacitor? Por<br />
quê? Para que serve o resistor?<br />
PR26.2) Para uma resistência muito gran<strong>de</strong> é fácil construir um circuito RC com<br />
uma constante <strong>de</strong> tempo da or<strong>de</strong>m <strong>de</strong> alguns segundos ou minutos. Como esse<br />
resultado po<strong>de</strong>ria servir para a <strong>de</strong>terminação <strong>de</strong> uma resistência tão gran<strong>de</strong> que<br />
não pu<strong>de</strong>sse ser medida com os instrumentos comuns?<br />
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO<br />
P26.1) Que múltiplo da constante <strong>de</strong> tempo τ é tempo necessário para que um<br />
capacitor inicialmente <strong>de</strong>scarregado em um circuito RC série seja carregado com 99<br />
% da carga final?<br />
P26.2) Mostre que o produto RC possui dimensão <strong>de</strong> tempo.<br />
P26.3) No circuito mostrado abaixo R = 10 Ω.<br />
. Qual é a resistência equivalente<br />
entre os pontos A e B? Dica: Imagine que os pontos A e B estão ligados a uma<br />
fonte.<br />
E26.1) Um capacitor com uma carga inicial q<br />
0<br />
é <strong>de</strong>scarregado através <strong>de</strong> um<br />
2,0 R<br />
B<br />
resistor. Que múltiplo da constante <strong>de</strong> tempo τ é necessário para que o capacitor<br />
<strong>de</strong>scarregue (a) um terço da carga inicial; (b) dois terços da carga inicial?<br />
4,0 R R<br />
6,0 R<br />
E26.2) Um capacitor <strong>de</strong><br />
1 µ F com uma energia inicial <strong>de</strong> 0,50 J é <strong>de</strong>scarregado<br />
através <strong>de</strong> um resistor <strong>de</strong> 1 M Ω.<br />
. (a) Qual é a carga inicial do capacitor? (b) Qual é<br />
a corrente no resistor quando a <strong>de</strong>scarga começa?<br />
A<br />
3,0 R<br />
Figura 26.6: Circuito do problema 26.3.<br />
E26.3) Num circuito RC série, C = 1,80 µ F , R = 1,40<br />
MΩ.<br />
e ε = 12,0V<br />
. (a) Qual é a<br />
constante <strong>de</strong> tempo? (b) Qual a carga máxima que o capacitor po<strong>de</strong> receber ao ser<br />
<strong>de</strong>scarregado? (c) Quanto tempo é necessário para que a carga do capacitor atinja<br />
o valor <strong>de</strong> C = 16,0 µ F ?<br />
P26.4) No circuito mostrado abaixo, R<br />
1<br />
= 20,0 Ω.<br />
, R<br />
2<br />
= 10,0 Ω.<br />
e a força<br />
eletromotriz da fonte i<strong>de</strong>al é<br />
ε = 120 V<br />
. Determine a corrente no ponto a (a) com<br />
apenas a chave S<br />
1 fechada. (b) Com apenas a chave S<br />
1 e S<br />
2 fechadas e (c) com<br />
as três chaves fechadas.<br />
E26.4) Um resistor R = 850 Ω.<br />
carregado com capacitância dada por<br />
é conectado com as placas <strong>de</strong> um capacitor<br />
C = 4,62 µ F . Imediatamente antes da<br />
conexão ser feita, a carga no capacitor é 8,10 mC. (a) Qual é a energia<br />
armazenada inicialmente no capacitor? (b) Qual é a potência elétrica dissipada no<br />
resistor imediatamente após a conexão ser feita? (c) Qual é a potência elétrica<br />
dissipada no resistor no instante em que a energia armazenada no capacitor se<br />
reduziu à meta<strong>de</strong> do valor calculado no item (a)?<br />
Figura 26.7: Circuito do problema 26.4.<br />
363<br />
364
P26.4) Determine a potência dissipada em um resistor sujeito a uma <strong>de</strong> potencial<br />
constante <strong>de</strong> 120 V se sua resistência é <strong>de</strong> (a) 5,0<br />
Ω . e (b) 10,0<br />
Ω ..<br />
P26.5) Uma bateria possui uma fem ε e uma resistência r . Quando um resistor <strong>de</strong><br />
5,0<br />
Ω . é conectado entre seus terminais, a corrente é <strong>de</strong> 0,50 A. Quando esse<br />
resistor é substituído por outro 11 Ω . , a corrente passa a ser 0,25 A. Determine (a)<br />
a fem ε e (b) a resistência interna r .<br />
P26.6) Uma corrente I = 6,0 A passa por uma parte <strong>de</strong> um circuito, como mostrado<br />
na figura 26.7. As resistências são R = R = ,0R<br />
= 2,0R<br />
= 4,0 .. Qual é a<br />
corrente i 1 no resistor R<br />
1 ?<br />
1 2<br />
2<br />
3<br />
4<br />
Ω<br />
Figura 26.7: Parte do circuito do problema 26.6.<br />
P26.7) Um fio com 1 m <strong>de</strong> comprimento tem uma resistência <strong>de</strong> 0,3<br />
Ω . . Ele é<br />
estendido uniformemente até um comprimento <strong>de</strong> 2 m. Qual será a sua nova<br />
resistência?<br />
365
UNIDADE VIII<br />
CAMPO MAGNÉTICO<br />
Nesta unida<strong>de</strong> será discutida a origem do campo magnético gerado por um<br />
imã permanente e por um fio pelo qual circula uma corrente estacionária. A relação<br />
entre os vetores força magnética e indução magnética será <strong>de</strong>finida em função dos<br />
experimentos. Assim po<strong>de</strong>remos discutir as várias aplicações tecnológicas que<br />
utilizam o campo magnético.<br />
366<br />
367
27.2 O CAMPO MAGNÉTICO<br />
AULA 27 CAMPO MAGNÉTICO E FORÇA MAGNÉTICA<br />
- DEFINIR CAMPO MAGNÉTICO<br />
- DEFINIR FORÇA MAGNÉTICA<br />
27.1 UM POUCO DE HISTÓRIA<br />
OBJETIVOS<br />
A cida<strong>de</strong> grega <strong>de</strong> Magnésia já era conhecida na Antiguida<strong>de</strong> por existir, na<br />
sua região, um mineral ( Fe 3O4<br />
) cuja característica era atrair pequenos pedaços <strong>de</strong><br />
ferro. Esse mineral, hoje conhecido como magnetita, tem seu nome relacionado ao<br />
da cida<strong>de</strong>, assim como as palavras magnético e magnetismo.<br />
Aristóteles atribuiu a Thales (625 aC – 545 aC) a primeira discussão sobre<br />
magnetismo. Na China, as primeiras referências ao magnetismo datam do quarto<br />
século antes da Era Cristã e o primeiro estudo sobre a utilização <strong>de</strong> uma bússola<br />
magnética foi feito por Shen Kuo (1031 – 1095), que mostrou a sua utilida<strong>de</strong> para<br />
a navegação. A bússola magnética é constituída basicamente por uma agulha <strong>de</strong><br />
magnetita, capaz <strong>de</strong> se orientar numa direção próxima da direção Norte-Sul<br />
geográfica. Essa capacida<strong>de</strong> <strong>de</strong> orientação foi explicada por William Gilbert em<br />
1600, no seu livro De magnete, Magnetisque Corporibus et <strong>de</strong> Magno Magnete<br />
Tellure (Sobre os magnetos, e corpos magnéticos e sobre o gran<strong>de</strong> magneto da<br />
Terra). Gilbert mostrou experimentalmente que a Terra podia ser comparada a um<br />
enorme imã.<br />
Em 1819 começa o estudo da relação entre magnetismo e eletricida<strong>de</strong>, com a<br />
<strong>de</strong>scoberta <strong>de</strong> Hans Christian Oersted (1777-1851) que um fio percorrido por uma<br />
corrente elétrica influenciava uma bússola: quando esta era colocada paralelamente<br />
ao fio, ela se orientava no sentido perpendicular a ele. Paralelamente, André Marie<br />
Ampère (1775--1836), Carl Friedrich Gauss (1777-1855) e Michael Faraday<br />
(1791—1867) <strong>de</strong>senvolveram trabalhos mostrando outras relações entre<br />
eletricida<strong>de</strong> e magnetismo. Finalmente, coube a James Clerk Maxwell (1831—1879)<br />
sintetizar e expandir os resultados obtidos pelos seus antecessores, unificando<br />
eletricida<strong>de</strong>, magnetismo e óptica em uma única disciplina, <strong>de</strong>nominada<br />
eletromagnetismo. A nova teoria era muito po<strong>de</strong>rosa, mas tinha inconsistências em<br />
alguns casos, as quais foram resolvidas por Albert Einstein (1879—1955) na sua<br />
Teoria da Relativida<strong>de</strong> Restrita.<br />
Um imã permanente tem nas suas extremida<strong>de</strong>s o que chamamos <strong>de</strong> polos<br />
magnéticos (nome dado por Gilbert em analogia aos polos geográficos). A eles,<br />
damos os nomes <strong>de</strong> polo Norte e polo Sul. A experiência nos mostra que<br />
quando aproximamos polos <strong>de</strong> mesmo nome, eles se repelem; ao contrário,<br />
os polos que possuem nomes diferentes se atraem quando colocados<br />
próximos um do outro. Essa situação é semelhante à das cargas elétricas e<br />
po<strong>de</strong>ria sugerir a existência separada dos dois tipos <strong>de</strong> polos, tal como no caso das<br />
cargas elétricas. Entretanto, as experiências realizadas até hoje mostraram<br />
que não existe um polo magnético isolado na Natureza. Quando se quebra<br />
um imã em dois pedaços, polos iguais porém opostos, aparecem nas extremida<strong>de</strong>s<br />
dos dois fragmentos, resultando na formação <strong>de</strong> dois imãs.<br />
Da mesma forma que na eletricida<strong>de</strong>, as interações magnéticas são <strong>de</strong>scritas<br />
através da noção <strong>de</strong> campo magnético. As proprieda<strong>de</strong>s fundamentais dos<br />
campos magnéticos, observadas experimentalmente, são as seguintes:<br />
1) Os campos magnéticos se originam <strong>de</strong> cargas elétricas em<br />
movimento. Uma carga elétrica cria um campo elétrico quer esteja em repouso<br />
quer esteja em movimento. Entretanto, o campo magnético só é gerado por cargas<br />
elétricas em movimento. Estas cargas (em movimento), no caso <strong>de</strong> imãs,<br />
encontram-se nos átomos que os constituem.<br />
2) Uma corrente elétrica cria um campo magnético.<br />
A figura 27.1 ilustra o campo magnético existente num ímâ, na Terra e num<br />
fio transportando corrente.<br />
Figura 27.1: Ilustração do campo megnético (a) num ímã, (b) na Terra e (c) num fio<br />
tranportando corrente.<br />
368<br />
369
27.3 INDUÇÃO MAGNÉTICA E FORÇA MAGNÉTICA<br />
Quando estudamos o campo elétrico, nós o <strong>de</strong>finimos como sendo a razão<br />
entre a força elétrica exercida sobre uma carga teste pelo módulo da carga teste,<br />
isto é:<br />
r<br />
r F<br />
E =<br />
E<br />
q 0<br />
.<br />
coincidirem com o <strong>de</strong>do indicador e a direção e sentido do vetor indução magnética<br />
com o <strong>de</strong>do médio; a direção e o sentido da força magnética é dada pelo <strong>de</strong>do<br />
polegar (Figura 27.2).<br />
Por que não se <strong>de</strong>fine B r PENSE E RESPONDA 27.1<br />
na mesma direção <strong>de</strong> F r , como é feito para E r ?<br />
Po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>finir o campo magnético <strong>de</strong> forma análoga, isto é, pelo seu efeito<br />
sobre uma carga q que se move com velocida<strong>de</strong> v r .<br />
Para <strong>de</strong>finir uma gran<strong>de</strong>za que represente o campo magnético, temos que<br />
nos basear em experiências <strong>de</strong> comportamento <strong>de</strong> cargas elétricas em movimento<br />
<strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> uma região on<strong>de</strong> existe (obviamente) um campo magnético. Essas<br />
experiências nos permitem medir o efeito do campo sobre as cargas e esse efeito<br />
se manifesta através da força magnética<br />
F r B<br />
e é através <strong>de</strong>la que <strong>de</strong>finimos o vetor<br />
indução magnética ( B r ).<br />
A indução magnética é erroneamente <strong>de</strong>nominada campo magnético em<br />
muitos livros editados ou traduzidos no Brasil. A razão disso é que a indução<br />
magnética tem sempre a mesma direção e o mesmo sentido que o campo<br />
magnético; por isso, costuma-se i<strong>de</strong>ntificar um com o outro (faz-se o mesmo com a<br />
intensida<strong>de</strong> do campo elétrico e o campo elétrico). Entretanto, a indução<br />
magnética é uma medida do campo magnético. Devemos ter cuidado com a<br />
linguagem usada em ciência, <strong>de</strong> modo que neste curso, procuraremos usar a<br />
terminologia correta sempre que possível, mesmo porque o campo magnético po<strong>de</strong><br />
ser representado por outros vetores, como veremos posteriormente.<br />
Por <strong>de</strong>finição, a indução magnética é o vetor ( B r ) tal que a força magnética<br />
sobre uma carga <strong>de</strong> prova positiva q<br />
0<br />
, movendo-se com velocida<strong>de</strong> v r em um<br />
campo magnético, é dada pela expressão:<br />
Isto é,<br />
r r r<br />
= q 0<br />
v × B,<br />
F B<br />
(27.1)<br />
F r B<br />
é sempre perpendicular à velocida<strong>de</strong> da carga q<br />
0<br />
e também ao<br />
campo magnético existente na região. A direção e sentido da força magnética que<br />
atua sobre uma carga elétrica positiva em movimento num campo magnético são<br />
dadas pela regra da mão direita: Fazemos a direção e sentido do vetor velocida<strong>de</strong><br />
370<br />
Figura 27.2: Direção e sentido da força magnéticaque atua sobre uma carga elétrica<br />
relativamente ao campo e à velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong>ssa carga.<br />
Se o campo magnético é direcionado para o norte e uma partícula positivamente<br />
carregada está se movendo para leste, qual é a direção da força magnética sobre a<br />
partícula?<br />
Com efeito,<br />
Ela age <strong>de</strong> modo a <strong>de</strong>fletir as cargas elétricas, mas sem realizar trabalho.<br />
W<br />
PENSE E RESPONDA 27.2<br />
porque a força é sempre perpendicular ao vetor velocida<strong>de</strong> e, portanto, o produto<br />
escalar <strong>de</strong>la pelo vetor veolcida<strong>de</strong> é sempre nulo.<br />
mag<br />
r r r r r<br />
= dW = F • ds = q v × B • ( v dt)<br />
= 0<br />
∫<br />
mag<br />
∫<br />
A equação (27.1) mostra que o módulo da força magnética que atua sobre<br />
uma carga elétrica <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> do ângulo formado entre a direção <strong>de</strong> movimento da<br />
carga e a direção do campo magnético. A força é máxima se a carga se move<br />
perpendicularmente ao campo magnético; é nula se a carga se move na direção do<br />
campo. Este último fato nos permite <strong>de</strong>terminar experimentalmente a direção do<br />
B<br />
371
campo magnético em uma região do espaço: ela é a mesma que a direção <strong>de</strong><br />
movimento <strong>de</strong> uma carga positiva que possui movimento retilíneo.<br />
A unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> indução magnética no Sistema Internacional é o TESLA (T):<br />
Se a velocida<strong>de</strong> v r e a indução B r forem perpendiculares, o movimento será uma<br />
circunferência, e a força magnética irá fazer o papel da força centrípeta (figura<br />
27.3):<br />
1 N 1 N<br />
1T<br />
= = .<br />
1C<br />
× 1 m A⋅<br />
m<br />
s<br />
Um campo magnético <strong>de</strong> 1 T é muito intenso (lembre que 1 C é uma unida<strong>de</strong><br />
que contém uma carga muito gran<strong>de</strong>). Por causa disso, costuma-se<br />
frequentememente usar uma outra unida<strong>de</strong>, o GAUSS (G):<br />
O raio da trajetória é:<br />
mv<br />
F = qvB =<br />
r<br />
mv<br />
r =<br />
qB<br />
2<br />
1 G = 10<br />
.<br />
− 4 T<br />
O campo magnético da Terra é da or<strong>de</strong>m <strong>de</strong> 0,6 G. Nos trabalhos <strong>de</strong> pesquisa<br />
em laboratórios, po<strong>de</strong>mos produzir campo magnéticos muito intensos, da or<strong>de</strong>m <strong>de</strong><br />
algumas centenas <strong>de</strong> Tesla. Entretanto, tais valores são conseguidos durante<br />
intervalos <strong>de</strong> tempo muito pequenos.<br />
Note que o raio da trajetória é diretamente proporcional ao momento<br />
linear da partícula.<br />
Outra informação importante po<strong>de</strong> ser extraída da frequência angular do<br />
movimento <strong>de</strong>ssa partícula, ou seja:<br />
ω =<br />
v<br />
r<br />
qB<br />
= .<br />
m<br />
Concluímos que ω é proporcional à relação carga/massa da partícula em<br />
EXEMPLO 27.1<br />
Descreva, o movimento <strong>de</strong> uma partícula carregada em um campo magnético <strong>de</strong><br />
indução B r , entrando no plano da página (indicado pelo símbolo X), como mostra<br />
a Figura 27.3.<br />
questão.<br />
Essa frequência angular é <strong>de</strong>nominada frequência cíclotron, porque, em um<br />
<strong>de</strong>terminado tipo <strong>de</strong> acelerador <strong>de</strong> partículas atômicas e subatômicas -- o<br />
cíclotron -- partículas carregadas circulam exatamente com essa frequència.<br />
SOLUÇÃO: Lembre-se <strong>de</strong> que a força magnética altera a direção da velocida<strong>de</strong>,<br />
mas não o seu módulo. Por isso toda partícula carregada mergulhada num<br />
campo magnético mantém sua energia cinética.<br />
ATIVIDADE 27.1<br />
Um elétron com energia cinética <strong>de</strong> 15 eV (1 eV=<br />
1,60<br />
−19<br />
× 10 J) é lançado<br />
perpendicularmente a um campo magnético <strong>de</strong> indução B = 1, 0 G entrando no<br />
plano da página.<br />
(a) Qual é o raio <strong>de</strong> sua órbita?<br />
(b) Qual é a sua freqüência cíclotron?<br />
(c) Qual é o período <strong>de</strong> seu movimento?<br />
(d) Qual é o sentido <strong>de</strong> seu movimento circular quando visto por um observador<br />
olhando na mesma direção e sentido do campo?<br />
(e) Qual é o sentido <strong>de</strong> seu movimento circular quando visto por um observador<br />
olhando na mesma direção mas no sentido oposto ao do campo?<br />
Figura 27.3 : Carga positiva em campo magnético.<br />
EXEMPLO 27.2<br />
372<br />
373
Uma partícula carregada positivamente penetra num campo magnético com uma<br />
velocida<strong>de</strong>:<br />
r<br />
v = v iˆ<br />
v ˆ<br />
x y<br />
j v<br />
zk<br />
ˆ<br />
0<br />
+<br />
0<br />
+<br />
0<br />
Supondo que B r seja constante e que esteja apontando na direção x <strong>de</strong> um<br />
sistema <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas, <strong>de</strong>termine o movimento da partícula em função do<br />
tempo, a partir <strong>de</strong> t=0. Faça um esboço da trajetória.<br />
Solução: Ao penetrar no camo magnético, a partícula ficará sujeita a uma força<br />
magnética<br />
r r r<br />
= q v × B<br />
Portanto, equação <strong>de</strong> movimento da partícula será:<br />
r<br />
dv r r<br />
m = qv × B<br />
dt<br />
r<br />
Como: B = B iˆ<br />
, vem:<br />
r<br />
iˆ<br />
ˆj<br />
k<br />
r r<br />
r<br />
v × B = v v v = 0iˆ<br />
+ v B ˆj<br />
− v B kˆ<br />
Então:<br />
x<br />
B<br />
v<br />
0<br />
F B<br />
z<br />
0<br />
0<br />
dv<br />
m<br />
x = 0<br />
dt<br />
Integrando essa equação com a condição <strong>de</strong> que, em t = 0 ,<br />
x<br />
= v<br />
x<br />
, obtemos,<br />
z<br />
y<br />
v<br />
0<br />
para a componente da velocida<strong>de</strong> da partícula ao longo do eixo Ox:<br />
vx<br />
= v0x<br />
Integrando esta equação, obtemos a componente do vetor-posição da partícula<br />
ao longo <strong>de</strong> Ox:<br />
x = x + v<br />
0<br />
em que esta equação é obtida com a condição <strong>de</strong> que, em t = 0,<br />
x = x0<br />
. Então, o<br />
movimento da partícula ao longo do eixo Ox é retilíneo e uniforme.<br />
Para a componente do movimento segundo Oy, temos:<br />
t<br />
0 x<br />
dv<br />
y<br />
m = + q vz<br />
B<br />
(27.3)<br />
dt<br />
e, para a componete do movimento segundo Oz:<br />
(27.4)<br />
dvz<br />
m = −q v<br />
y<br />
B<br />
dt<br />
Essas duas equações não po<strong>de</strong>m ser resolvidas separadamente pois nelas,<br />
aparecem as duas componentes da velocida<strong>de</strong>. Para resolver esse sistema,<br />
<strong>de</strong>rivemos a equação 27-4 em relação ao tempo:<br />
<strong>de</strong> on<strong>de</strong> tiramos:<br />
2<br />
d v<br />
2<br />
dt<br />
z<br />
dv<br />
y<br />
= −ω<br />
dt<br />
dv<br />
dt<br />
y<br />
= −<br />
1 d v<br />
ω dt<br />
2<br />
z<br />
2<br />
⎛ qB ⎞<br />
⎜ω<br />
= ⎟<br />
⎝ m ⎠<br />
Levando a equação (27.3) nesta ultima e lembrando o valor <strong>de</strong> ω , obtemos:<br />
ou:<br />
q v<br />
z<br />
B<br />
m<br />
d v<br />
dt<br />
= −<br />
1 d v<br />
ω dt<br />
2<br />
z 2<br />
+ ω v<br />
2<br />
z<br />
2<br />
z<br />
2<br />
= 0<br />
Esta equação é a mesma <strong>de</strong> um oscilador harmônico simples, cuja solução é uma<br />
função seno (ou co-seno) da componente da velocida<strong>de</strong> segundo o eixo Oz. Seja,<br />
então a solução:<br />
v z<br />
= A sen ( ω t + φ)<br />
em que A e φ são constantes a serem <strong>de</strong>terminadas. Levando esta equação na<br />
equação diferencial para<br />
que, integrada, nos dá:<br />
v<br />
y<br />
, obtemos:<br />
dv<br />
y<br />
= ω v<br />
y<br />
= ω A sen ( ωt<br />
+ φ)<br />
dt<br />
v y<br />
= −C cos(<br />
ω t + φ)<br />
As constantes <strong>de</strong> integração <strong>de</strong>ssas componentes da velocida<strong>de</strong> segundo os eixos<br />
Oy e Oz são <strong>de</strong>terminadas com os valores iniciais da posição e da velocida<strong>de</strong> da<br />
carga elétrica.<br />
374<br />
375
A integração <strong>de</strong>ssas equações resulta em:<br />
C<br />
A<br />
y = − sen ( ω t + φ)<br />
z = − cos ( ω t + ϕ)<br />
ω<br />
ω<br />
O movimento da partícula ao longo dos eixos Oy e Oz é uma composição <strong>de</strong> dois<br />
movimentos oscilatórios, que, projetado sobre o plano yz resulta em um círculo<br />
<strong>de</strong> raio:<br />
2 2<br />
( A + C )<br />
r =<br />
ω<br />
1<br />
2<br />
move em uma região do espaço contendo um campo elétrico e outro magnético, o<br />
campo elétrico é quem acelera a carga; o campo magnético só a <strong>de</strong>flete. A energia<br />
total é conservada.<br />
ATIVIDADE 27.2<br />
Numa experiência que visa medir a intensida<strong>de</strong> da indução magnética <strong>de</strong> um<br />
conjunto <strong>de</strong> bobinas, aceleram-se elétrons a partir do do repouso através <strong>de</strong> uma<br />
diferença <strong>de</strong> potencial <strong>de</strong> 350 V e o feixe <strong>de</strong> elétrons <strong>de</strong>screve uma trajetória<br />
curva <strong>de</strong> raio<br />
feixe:<br />
a) qual o módulo <strong>de</strong> B r ?<br />
7,5 cm . Admitindo que o campo magnético seja perpendicular ao<br />
b) qual a frequência angular <strong>de</strong> revolução dos elétrons?<br />
c) qual o seu período <strong>de</strong> revolução?<br />
A Figura 27.4 mostra a trajetória da partícula.<br />
27.4 CONFINAMENTO DE PARTÍCULAS USANDO O CAMPO<br />
MAGNÉTICO<br />
Aqui vamos ver que apenas com os conhecimento básicos adquiridos po<strong>de</strong>mos<br />
compreen<strong>de</strong>r a física <strong>de</strong> fenômenos importantes.<br />
Figura 27.4: Trajetória da partícula com velocida<strong>de</strong> v<br />
27.4.1 A GARRAFA MAGNÉTICA<br />
Como po<strong>de</strong>mos ver na Figura, enquanto a partícula se move com velocida<strong>de</strong><br />
constante na direção Ox, ela também <strong>de</strong>screve um círculo no plano<br />
perpendicular a esta direção, cujo raio é <strong>de</strong>finido pela amplitu<strong>de</strong> das<br />
componentes da velocida<strong>de</strong> nas direções y e z.<br />
Quando partículas carregadas se movem num campo magnético que não é<br />
uniforme, seu movimento po<strong>de</strong> ser bastante complicado. Uma "garrafa magnética"<br />
é construída da seguinte forma: tomemos duas espiras <strong>de</strong> corrente como indicado<br />
na figura 27.5:<br />
27.3.1 FORÇA DE LORENTZ<br />
Quando uma carga elétrica se move em uma região do espaço on<strong>de</strong><br />
coexistem um campo elétrico e um campo magnético, ela fica sujeita a uma força<br />
resultante, dada por:<br />
r<br />
F<br />
r r r r r r<br />
E + q v × B = q ( E + v × )<br />
(27.5)<br />
= q0 0<br />
0<br />
B<br />
que também é conhecida com o nome <strong>de</strong> força <strong>de</strong> Lorentz. Devido ao caráter das<br />
forças elétricas e magnéticas, é preciso ressaltar que, quando uma carga elétrica se<br />
376<br />
Figura 27.5: A garrafa magnética.<br />
Nessas circunstâncias, uma partícula carregada que comece seu movimento<br />
numa das extremida<strong>de</strong>s do campo fixada por uma das espiras, irá espiralar em<br />
torno das linhas <strong>de</strong> campo até chegar à outra extremida<strong>de</strong>, on<strong>de</strong> inverte a direção<br />
377
e espirala para trás. As partículas carregadas po<strong>de</strong>m assim ficar confinadas <strong>de</strong>ntro<br />
<strong>de</strong>ssa configuração <strong>de</strong> campo magnético.<br />
Essa idéia foi usada para cofinar gases muito quentes ( T > 10 6 K)<br />
constituídos<br />
por elétrons e íons positivos, os chamados plasmas. Este esquema <strong>de</strong> confinamento<br />
<strong>de</strong> plasma po<strong>de</strong> ter papel relevante em processos <strong>de</strong> fusão nuclear controlada, que<br />
nos proporcionariam uma fonte essencialmente inesgotável <strong>de</strong> energia.<br />
Infelizmente, as garrafas magnéticas não são perfeitas: quando um número muito<br />
gran<strong>de</strong> <strong>de</strong> partículas estiver confinado, haverá colisões entre elas, que vazarão do<br />
sistema.<br />
27.4.2 OS CINTURÕES DE VAN ALLEN E AS AURORAS BOREAIS<br />
Os cinturões <strong>de</strong> Van Allen são constituídos por partículas carregadas (na sua<br />
maioria elétrons e prótons) que envolvem a Terra em formato <strong>de</strong> roscas conforme<br />
ilustrado na figura 27.6. Esses cinturões <strong>de</strong> radiação foram <strong>de</strong>scobertos em 1958<br />
por James Van Allen, que usou os dados reunidos pela instrumentação embarcada<br />
no satélite Explorer I. As partículas carregadas capturadas pelo campo magnético<br />
(não uniforme!) da Terra, espiralam em torno das linhas <strong>de</strong>sse campo, <strong>de</strong> um lado<br />
para outro. Essas partículas provêm, em sua maior parte do Sol, mas algumas<br />
provém <strong>de</strong> estrelas e outros corpos celestes. Por essa razão esses feixes <strong>de</strong><br />
partículas são <strong>de</strong>nominados raios cósmicos.<br />
A maior parte dos raios cósmicos é <strong>de</strong>sviada pelo campo magnético da Terra e<br />
nunca a atinge. No entanto, algumas são capturadas e formam o cinturão<br />
mencionado. Quando essas partículas estão na atmosfera terrestre, sobre os polos,<br />
coli<strong>de</strong>m com átomos da atmosfera e provocam emissão <strong>de</strong> luz por esses átomos. É<br />
essa a origem das auroras boreais.<br />
PENSE E RESPONDA 27.3<br />
Pesquise sobre as auroras boreais na internet e compartilhe com seus colegas no<br />
ambiente virtual <strong>de</strong> aprendizagem.<br />
27.5 APLICAÇÕES TECNOLÓGICAS DO USO DE UM CAMPO<br />
MAGNÉTICO<br />
27.5.1 FILTRO DE VELOCIDADE<br />
Em muitas experiências que envolvem o movimento <strong>de</strong> partículas<br />
carregadas, é importante ter uma fonte <strong>de</strong> partículas que se movem com uma<br />
mesma velocida<strong>de</strong>. Isso po<strong>de</strong> ser conseguido pela aplicação simultânea <strong>de</strong> um<br />
campo elétrico e um campo magnético, orientados como na Figura 27.7.<br />
Figura 27.7: Filtro <strong>de</strong> velocida<strong>de</strong>s.<br />
O campo elétrico está orientado para baixo enquanto que o campo<br />
magnético é aplicado perpendicularmente a ele, como indicado.<br />
Admitindo que a carga q das partículas seja positiva, vemos que a força<br />
magnética está dirigida para cima e a elétrica para baixo (Figura 27.8).<br />
Figura 27.6: Cinturões <strong>de</strong> Van Allen, ilustrando o campo magnético da terra e a<br />
trajetória das partículas.<br />
378<br />
Figura 27.8: Forças envolvidas na carga.<br />
379
Se os campos forem escolhidos <strong>de</strong> tal forma que a força elétrica equilibre a<br />
magnética, a partícula se moverá numa reta horizontal e sairá da região entre os<br />
campos à direita. A velocida<strong>de</strong> que ela terá é dada por:<br />
<strong>de</strong> on<strong>de</strong> vem:<br />
qvB = qE ,<br />
E<br />
v = . B<br />
Note então, que apenas as partículas com essa velocida<strong>de</strong> passam sem<br />
<strong>de</strong>svio pela região dos campos cruzados E e B . Na prática, E e B são ajustados<br />
para selecionar uma certa velocida<strong>de</strong>. As outras partículas serão <strong>de</strong>sviadas para<br />
cima ou para baixo já que a velocida<strong>de</strong> da partícula filtrada in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong> tanto <strong>de</strong> sua<br />
massa, quanto <strong>de</strong> sua carga!<br />
PENSE E RESPONDA 27.4<br />
Ao entrarem no campo magnético B<br />
0<br />
, os íons <strong>de</strong>screvem uma trajetória<br />
semi-circular até atingir uma chapa fotográfica em P . Como já vimos,<br />
então:<br />
mv<br />
r<br />
2<br />
m<br />
q<br />
= qvB ,<br />
=<br />
rB0<br />
v<br />
Se admitirmos que o módulo do campo magnético na região do filtro <strong>de</strong><br />
velocida<strong>de</strong>s seja B , teremos:<br />
.<br />
m rB0B<br />
=<br />
q E<br />
Note que todas as quantida<strong>de</strong>s envolvidas são mensuráveis. Assim, po<strong>de</strong>mos<br />
medir a relação carga/massa <strong>de</strong> partículas, através da medida do raio <strong>de</strong> curvatura<br />
da trajetória da partícula no campo B<br />
0<br />
.<br />
Como ficam as forças se a carga q for negativa.<br />
27.5.2 O ESPECTRÔMETRO DE MASSA<br />
O espectrômetro <strong>de</strong> massa é um instrumento que separa íons, sejam eles<br />
atômicos ou moleculares, conforme a relação carga-massa que possuam. Um feixe<br />
<strong>de</strong> íons passa por um filtro <strong>de</strong> velocida<strong>de</strong>s e <strong>de</strong>pois entra numa região com um<br />
campo magnético <strong>de</strong> indução B<br />
0<br />
, como mostra a figura 27.9:<br />
ATIVIDADE 27.3<br />
Faça uma representação esquemática dos vetores v r r r r<br />
, v × B e F para a partícula na<br />
região do campo magnético <strong>de</strong> indução B r<br />
da Figura 27.8 em vários instantes <strong>de</strong><br />
0<br />
tempo para verificar a trajetória mostrada na figura.<br />
27.5.3 O CÍCLOTRON<br />
Figura 27.9: Espectrômetro <strong>de</strong> massas.<br />
Inventado em 1932 por Ernest Lawrence (1902-1958), o cíclotron é um<br />
aparelho que consegue acelerar partículas até que atinjam velocida<strong>de</strong>s muito altas.<br />
Num ciclo <strong>de</strong> operação <strong>de</strong>ste aparelho, os campos elétrico e magnético têm papel<br />
fundamental, como veremos. As partículas muito energéticas que emergem <strong>de</strong> um<br />
cíclotron são usadas para bombar<strong>de</strong>ar outros núcleos; esse bombar<strong>de</strong>io, por sua<br />
vez, provoca reações nucleares <strong>de</strong> interesse para a pesquisa <strong>de</strong> Física <strong>de</strong> partículas<br />
e altas energias. Muitos hospitais usam cíclotrons para fabricar substâncias<br />
radioativas usadas para diagnósticos e para o tratamento <strong>de</strong> algumas<br />
enfermida<strong>de</strong>s.<br />
380<br />
381
A figura 27.10 mostra um esquema <strong>de</strong> um cíclotron.<br />
O cíclotron usa uma diferença <strong>de</strong> potencial mo<strong>de</strong>rada ( 10<br />
5 V )<br />
≈ para acelerar<br />
as partículas <strong>de</strong> modo que elas <strong>de</strong>vem dar muitas voltas para chegarem à<br />
velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong>sejada (são necessárias cerca <strong>de</strong> 100 voltas para que a energia da<br />
partícula atinja 10 Mev, com a diferença <strong>de</strong> potencial <strong>de</strong><br />
10 5 V . O campo<br />
magnético é alto, da or<strong>de</strong>m <strong>de</strong> 2 T e a região em que as partículas se movimentam<br />
é mantida à pressão da or<strong>de</strong>m <strong>de</strong><br />
6<br />
10 − mm Hg para evitar colisões com as<br />
moléculas <strong>de</strong> ar.<br />
Figura 27.10: O cíclotron.<br />
O movimento das cargas ocorre em duas peças semicirculares na forma <strong>de</strong><br />
um D . Uma voltagem elevada, alternada pelo oscilador, é aplicada a esses "dês" e<br />
um campo magnético uniforme (gerado por um eletroimã) é orientado<br />
perpendicularmente ao plano dos "dês". Os íons positivos, injetados em S na<br />
vizinhança do centro dos “dês”, <strong>de</strong>screvem uma trajetória semi-circular sobre um<br />
D (o <strong>de</strong> cima na figura) e atingem a faixa <strong>de</strong> interrupção num intervalo <strong>de</strong> tempo<br />
T /2 on<strong>de</strong> T é o período <strong>de</strong> revolução. A frequência da voltagem aplicada se ajusta<br />
<strong>de</strong> modo que a diferença <strong>de</strong> potencial V entre os “dês” seja positiva; assim, os<br />
íons serão acelerados ao passarem para o “D” inferior e a variação da energia<br />
cinética acumulada neles será qV .<br />
Os íons, então se movem numa trajetória semicircular <strong>de</strong> raio maior porque<br />
a velocida<strong>de</strong> aumentou. Depois do intervalo <strong>de</strong> tempo T /2 os íons chegam<br />
novamente no intervalo entre os “dês”. Neste instante, o potencial nesse espaço foi<br />
invertido (<strong>de</strong> modo que o “dê” <strong>de</strong> cima está agora negativo) e os íons recebem um<br />
outro impulso ao passar pelo intervalo aberto entre as peças do aparelho. O<br />
movimento continua e em cada volta os íons são acelerados <strong>de</strong><br />
eles são <strong>de</strong>sviados por uma placa e jogados para fora do aparelho.<br />
PENSE E RESPONDA 27.5<br />
2 qV . Finalmente,<br />
Faça um esboço dos campos E r e B r que resultam na aceleração dos íons no<br />
cíclotron.<br />
EXEMPLO 27.3<br />
Qual a energia cinética máxima dos prótons num cíclotron <strong>de</strong> raio<br />
campo magnético <strong>de</strong><br />
0,35 T ?<br />
0,50 m num<br />
SOLUÇÃO: Aplicando para o cíclotron, a expressão que obtivemos para a força<br />
centrípeta que atua na carga em campo magnético:<br />
temos que:<br />
2 2 2<br />
1 2 q B R<br />
K = mv =<br />
2 2m<br />
2<br />
mv = qvB<br />
r<br />
−19<br />
2 2<br />
(1,60×<br />
10 C)<br />
(0,35) (0,50)<br />
=<br />
−27<br />
2(1,67×<br />
10 kg)<br />
2<br />
= 2,34×<br />
10<br />
Note que a energia cinética adquirida pelos prótons nesse acelerador é equivalente<br />
à aquela que receberiam se atravessassem uma diferença <strong>de</strong> potencial <strong>de</strong> 1,46<br />
milhões <strong>de</strong> Volts.<br />
ATIVIDADE 27.4<br />
Qual a velocida<strong>de</strong> do próton que possui a energia do Exemplo 27.3?<br />
27.5.4 A DESCOBERTA DO ELÉTRON<br />
A experiência feita por J. J. Thomson em 1897, que permitiu a <strong>de</strong>scoberta<br />
da relação carga massa do elétron, também faz uso das forças elétrica e<br />
magnética. A importância <strong>de</strong>ssa experiência foi o impulso que levou a investigação<br />
e posterior <strong>de</strong>scoberta dos átomos na matéria. Por quê? Vamos acompanhar suas<br />
observações:<br />
−13<br />
J<br />
382<br />
383
1) Thomson mostrou que os raios <strong>de</strong> um tubo <strong>de</strong> raios catódicos podiam ser<br />
<strong>de</strong>sviados, tanto por campos elétricos quanto por campos magnéticos e que,<br />
portanto, <strong>de</strong>veriam ser constituídos por partículas carregadas.<br />
2) Medindo o <strong>de</strong>svio das partículas, Thomson mostrou que todas tinham a<br />
mesma relação<br />
q/ m , mesmo as que eram provenientes <strong>de</strong> materiais diferentes.<br />
Essas partículas eram, portanto, um dos constituintes fundamentais da matéria. O<br />
passo seguinte, é claro, sabendo que a matéria é neutra, foi buscar as partículas<br />
positivas que também <strong>de</strong>vem fazer parte <strong>de</strong> toda a matéria para torná-la neutra.<br />
A velocida<strong>de</strong> dos elétrons é <strong>de</strong>terminada aplicando-se um campo magnético<br />
perpendicular ao campo elétrico tal que:<br />
então:<br />
E e<br />
q E = qv B ,<br />
E<br />
v = , B<br />
B são parâmetros que po<strong>de</strong>mos controlar nos experimentos. Nessa<br />
velocida<strong>de</strong>, o elétron tem uma trajetória retilínea até se chocar contra a tela em P.<br />
Portanto, variando o campo magnético ou o elétrico, po<strong>de</strong>mos chegar à velocida<strong>de</strong>;<br />
com ela, a equação para y po<strong>de</strong> ser resolvida, resultando em:<br />
e 2 y E = .<br />
m B<br />
2 L 2<br />
Figura 27.11: Desvio das partículas carregadas.<br />
Na experiência <strong>de</strong> Thomson, (figura 27.11) os elétrons são emitidos por uma<br />
fonte <strong>de</strong> elétrons (cátodo). Um campo elétrico, orientado para baixo na figura,<br />
acelera os elétrons que passam pelo capacitor. Se não houver campo elétrico entre<br />
as placas, os eletrons percorrem uma trajetória retilínea como mostrado pela linha<br />
tracejada na figura e se chocarão contra uma tela no ponto P. Quando o capacitor<br />
está carregado, o campo elétrico entre as suas placas faz os eletrons se <strong>de</strong>sviarem<br />
da trajetória retilínea que teriam e se chocam contra a tela em um ponto situado a<br />
uma distância <strong>de</strong> P dada por:<br />
y<br />
e E L<br />
2m v<br />
2<br />
= 2<br />
em que L = x 1<br />
+ x2<br />
, distância total percorrida <strong>de</strong>ntro do capacitor ( x<br />
1<br />
) e fora <strong>de</strong>le ( x<br />
2<br />
).<br />
Nesta equação, E , L,<br />
y são mensuráveis. Quando a velocida<strong>de</strong> v for conhecida, a<br />
relação carga/massa do elétron po<strong>de</strong> ser calculada, e a carga, <strong>de</strong>terminada.<br />
,<br />
384<br />
385
RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS<br />
ATIVIDADE 27.1<br />
a) A velocida<strong>de</strong> do elétron que possui uma energia cinética K é dada por:<br />
−19<br />
2K<br />
2×<br />
15eV<br />
× 1,60 × 10 J / eV<br />
6<br />
v = = = 2,3 × 10 m / s<br />
−31<br />
m<br />
9,1 × 10 kg<br />
b) o raio da trajetória é:<br />
−31<br />
6<br />
mv (9,1 × 10 kg)<br />
(2.3×<br />
10 m/<br />
s)<br />
r = = = 0, 13 m<br />
−19<br />
−4<br />
e B (1,6 × 10 C)<br />
(1,0 × 10 T)<br />
c) a freqüência <strong>de</strong> cíclotron é:<br />
−19<br />
−4<br />
e B<br />
C T<br />
f = (1,6 × 10 ) (1,0 × 10 )<br />
= = 2,8 10<br />
31<br />
2 m 6,28 × (9,1 × 10 kg)<br />
×<br />
−<br />
π<br />
d) O período <strong>de</strong> revolução é:<br />
T 1 1<br />
−7<br />
= =<br />
= 3,6 × 10 s = 0,36 s<br />
f 2,8 10 rev / s<br />
µ<br />
6<br />
×<br />
6<br />
Hz<br />
7<br />
v 1,11×<br />
10 m/<br />
s<br />
8<br />
b) ω = =<br />
= 1,48×<br />
10 rad/<br />
s<br />
r 0,075m<br />
2π<br />
O período é dado por: T = = 42,5ns.<br />
ω<br />
ATIVIDADE 27.3<br />
Ao entrar na região <strong>de</strong> campo magnético, a regra da mão direita indica que a força<br />
que atua em cada íon do feixe está dirigida para P. Na direção <strong>de</strong> 45º em relação a<br />
PP’, a força continua a ter a direção do ponto P, assim como em qualquer outro<br />
ponto da trajetória, que é uma circunferência. O feixe <strong>de</strong>ixa o campo magnético em<br />
P’.<br />
ATIVIDADE 27.4<br />
A velocida<strong>de</strong> é, em função da energia cinética:<br />
−13<br />
2 K 2×<br />
2,34 × 10 J<br />
7<br />
v = ==<br />
= 1,67 × 10 m / s<br />
−27<br />
m 1,67 × 10 kg<br />
e) da regra da mão direita, uma carga positiva teria um movimento circular no<br />
sentido anti-horário quando visto do sentido oposto ao do campo. O elétron, por ter<br />
carga negativa, se moverá, então no sentido horário quando visto na mesma<br />
direção mas no sentido oposto ao do campo<br />
ATIVIDADE 27.2<br />
a) Devido à diferença <strong>de</strong> potencial, os elétrons vão adquirir energia cinética <strong>de</strong><br />
acordo com a conservação da energia<br />
1 −19<br />
2<br />
2 | e | V 2(1,60×<br />
10 C)(350V<br />
)<br />
mv =| e | V → v = =<br />
= 1,11×<br />
10<br />
7 m/<br />
s<br />
−31<br />
2<br />
m (9,11×<br />
10 kg)<br />
Conhecendo o raio, usamos o problema anterior e <strong>de</strong>terminamos o campo<br />
magnético:<br />
−31<br />
7<br />
mv (9,11×<br />
10 kg)(1,11×<br />
10 m/<br />
s)<br />
B = =<br />
= 8,43×<br />
10<br />
−19<br />
| e | r (1,60×<br />
10 C)(0,075m)<br />
−4<br />
T<br />
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO<br />
r<br />
6<br />
E27.1) Um elétron possui velocida<strong>de</strong>, v<br />
m s iˆ<br />
6<br />
= (2,0 × 10 ) + (3,0 × 10 m s)<br />
ˆj<br />
, e está<br />
r<br />
se movendo em uma região on<strong>de</strong> existe um campo B = ( 0,030T<br />
)ˆ i − (0,15T<br />
) ˆj<br />
. (a)<br />
Determine a força que age sobre o elétron. (b) Repita o cálculo para um próton<br />
com a mesma velocida<strong>de</strong>.<br />
E27.2) Um campo magnético uniforme <strong>de</strong> módulo 1,48 T está no sentido positivo<br />
<strong>de</strong> z . Encontre a força exercida pelo campo sobre um próton se sua velocida<strong>de</strong> é<br />
r<br />
(a) v = (2,7 Mm s)<br />
iˆ<br />
r<br />
, (b) v = (3,7 Mm s)<br />
ˆ<br />
r<br />
j e (c) v = (6,8 Mm s)<br />
kˆ<br />
.<br />
E27.3) Um próton tem uma trajetória que faz um ângulo <strong>de</strong> 23 o com a direção <strong>de</strong><br />
−17<br />
um campo magnético <strong>de</strong> 2,60 mT. Ele está sujeito a uma força <strong>de</strong> 6,5 × 10 N .<br />
Calcule (a) a velocida<strong>de</strong> do próton e (b) a energia cinética em elétrons-volts.<br />
E27.4) Um campo magnético uniforme é aplicado perpendicularmente a um feixe<br />
6<br />
<strong>de</strong> elétrons que se movem com uma velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong> 1,3 × 10 m / s . Qual é o valor do<br />
386<br />
387
campo se a trajetória dos elétrons seja um arco <strong>de</strong> circunferência com 0,350 m <strong>de</strong><br />
raio?<br />
E27.5) Um próton se move em uma órbita circular com raio <strong>de</strong> 65 cm perpendicular<br />
a um campo magnético uniforme <strong>de</strong> módulo 0,75 T. (a) Qual é o período <strong>de</strong>sse<br />
movimento? (b) Qual é a velocida<strong>de</strong> do próton? (c) Qual é a sua energia cinética?<br />
388
AULA 28 FORÇA MAGNÉTICA SOBRE CORRENTE ELÉTRICA<br />
r<br />
r j<br />
v d = ,<br />
ne<br />
OBJETIVO<br />
CALCULAR O EFEITO DE CAMPO MAGNÉTICO SOBRE CORRENTES ELÉTRICAS<br />
28.1 FORÇA MAGNÉTICA SOBRE UM FIO CONDUZINDO CORRENTE<br />
ELÉTRICA<br />
A figura 28.1 mostra um pequeno segmento <strong>de</strong> um fio condutor <strong>de</strong><br />
comprimento l e área <strong>de</strong> seção reta A .<br />
a expressão da força magnética fica:<br />
r<br />
r ⎛ j ⎞ r r r<br />
F B<br />
= n Al e<br />
⎜ B = Al j × B<br />
n e<br />
⎟ ×<br />
⎝ ⎠<br />
Mas j A = i , que é a corrente elétrica no fio. Essa corrente é produzida pelo<br />
movimento <strong>de</strong> elétrons, que são cargas negativas. Entretanto, o movimento <strong>de</strong><br />
cargas negativas em um sentido é o mesmo que o movimento <strong>de</strong> cargas positivas<br />
iguais no sentido contrário. Como a corrente elétrica é pensada em termos <strong>de</strong><br />
cargas positivas, se <strong>de</strong>finirmos o unitário û como um vetor <strong>de</strong> mesmo sentido que<br />
r<br />
o do movimento <strong>de</strong> cargas positivas, temos que j = j uˆ<br />
; portanto, a força<br />
magnética sobre o segmento será dada por:<br />
r<br />
r r<br />
=( A j)<br />
l uˆ × B = iluˆ<br />
× B<br />
F B<br />
ou:<br />
Figura 28.1: Segmento <strong>de</strong> fio condutor conduzindo corrente elétrica<br />
Se aplicarmos uma diferença <strong>de</strong> potencial às extremida<strong>de</strong>s do fio, ele será<br />
percorrido por uma corrente elétrica i , e se o fio estiver numa região on<strong>de</strong> há um<br />
campo magnético <strong>de</strong> indução B , uma força magnética F r B atuará sobre cada carga.<br />
r r r<br />
Essa força será dada por F = qv × B , on<strong>de</strong> v r<br />
d<br />
é a velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong> arraste das<br />
B<br />
d<br />
cargas. O efeito <strong>de</strong>ssa força é transmitido para o fio, que fica sob a ação da soma<br />
das forças que atuam sobre as cargas que constituem a corrente elétrica.<br />
r r r<br />
= il × B,<br />
(28.1)<br />
F B<br />
r<br />
on<strong>de</strong> l = l uˆ<br />
é um vetor cujo módulo correspon<strong>de</strong> ao comprimento do condutor e<br />
cuja direção e sentido coinci<strong>de</strong>m com as da corrente elétrica (que, por<br />
convenção, é o movimento <strong>de</strong> cargas positivas). A direção e o sentido da força<br />
que atua no condutor são dados pela regra da mão direita. A Figura 28.2 mostra<br />
algumas situações com diferentes direções e sentidos da corrente, do vetor indução<br />
magnética e da força magnética.<br />
A corrente i no fio é produzida pelo movimento o dos elétrons livres do metal.<br />
Se o número <strong>de</strong> cargas por unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> volume no fio for n , o número total <strong>de</strong><br />
cargas será o produto <strong>de</strong><br />
o produto <strong>de</strong> n pelo volume do fio Al . Então, a força<br />
sentida pelo segmento do condutor, será:<br />
r r r<br />
F = ( ev × B)(<br />
n Al).<br />
B<br />
d<br />
. Então, a força magnética,<br />
Da relação entre a velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong> arraste e a <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> <strong>de</strong> corrente:<br />
Figura 28.2: Direções e sentidos da força, indução magnética e corrente elétrica.<br />
389<br />
390
Po<strong>de</strong>mos generalizar a equação 28.1 para casos nos quais o condutor não<br />
seja necessariamente retilíneo, nem o campo, uniforme. A força sobre um elemento<br />
<strong>de</strong> corrente genérico é dado por<br />
r r r<br />
dF = i dl × B,<br />
(28.2)<br />
on<strong>de</strong><br />
dl<br />
r é um vetor que representa um elemento <strong>de</strong> comprimento dl do fio; sua<br />
direção é tangente ao fio na posição do elemento dl e seu sentido é o sentido da<br />
corrente elétrica.<br />
EXEMPLO 28.1<br />
O fio AB está no plano do papel e é percorrido por uma corrente elétrica i.<br />
Represente o vetor força se a corrente tem sentido <strong>de</strong> A para B e o vetor indução<br />
magnética tem direção vertical e sentido para baixo.<br />
Figura 28.5: Elemento <strong>de</strong> comprimento <strong>de</strong> fio com corrente elétrica.<br />
(a) a corrente tem o sentido <strong>de</strong> A para B e a indução magnética tem direção<br />
perpendicular ao papel e sentido para <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong>le;<br />
(b) a corrente tem sentido <strong>de</strong> B para A e a indução magnética é perpendicular ao<br />
papel e tem sentido para fora <strong>de</strong>le.<br />
EXEMPLO 28.2<br />
Por um fio retilíneo com 2,5 m <strong>de</strong> comprimento possa uma corrente elétrica <strong>de</strong><br />
15,0 A. Coloca-se o fio em um campo magnético <strong>de</strong> indução B = 3, 5 T, fazendo um<br />
ângulo <strong>de</strong> 30º com a direção do campo. Calcule a força que atua sobre fio.<br />
SOLUÇÃO: A figura 28.6 ilustra o nosso problema:<br />
Figura 28.3 Elemento <strong>de</strong> comprimento <strong>de</strong> fio com corrente elétrica.<br />
Solução:<br />
r r r<br />
Sabemos que a forçã magnética vale F B<br />
= il × B . O vetor dl<br />
r tem a mesma<br />
orientação da corrente. Aplicando a regra da mão direita temos a situação<br />
ilustrada na figura 28.4:<br />
Figura 28.6: Ilustração do exemplo 28.2.<br />
Figura 28.4: Fio transportando corrente com o sentido da força magnética indicada.<br />
ATIVIDADE 28.1<br />
O fio AB está no plano do papel e é percorrido por uma corrente elétrica i.<br />
Represente o vetor força nos seguintes casos:<br />
Temos que: i = 15 A;<br />
L = 2,5 m;<br />
B = 3,5 T;<br />
θ = 30º<br />
.<br />
r r r<br />
Então: F = i l × B = i l B senθ<br />
F r<br />
= 15 A×<br />
2,5 m×<br />
3,5 T × 0,5<br />
r<br />
F = 65, 6 N<br />
391<br />
392
PENSE E RESPONDA 28.1<br />
Qual seria o valor <strong>de</strong> F<br />
B se θ = 0º<br />
e θ = 90º<br />
?<br />
EXEMPLO 28.3<br />
Um fio <strong>de</strong> metal <strong>de</strong> comprimento d <strong>de</strong>sliza sem atrito sobre duas barras metálicas<br />
paralelas, também separadas pela distância d conforme mostra a figura 28.7. Uma<br />
corrente constante i no fio é mantida por uma fonte <strong>de</strong> força eletromotriz.<br />
Supondo que o fio está inicialmente em repouso, <strong>de</strong>termine a velocida<strong>de</strong> do fio em<br />
função do tempo, sabendo que a indução magnética é uniforme e perpendicular ao<br />
plano do fio e dos suportes.<br />
F B<br />
= −i<br />
d B iˆ<br />
Essa força é constante porque a indução magnética é constante. Portanto, o fio<br />
será <strong>de</strong>slocado por ela para a esquerda (sentido oposto ao do eixo Ox). De acordo<br />
com a segunda lei <strong>de</strong> Newton, po<strong>de</strong>mos escrever:<br />
dvx m = −i<br />
d B<br />
dt<br />
Da equação acima, vem, por integração, com a condição <strong>de</strong> que, em t = 0 , = 0<br />
Pois<br />
m<br />
v<br />
∫0<br />
i<br />
, d e B são constantes. Então:<br />
x<br />
t<br />
∫0<br />
dv = −i<br />
d B<br />
i d B<br />
v = t<br />
m<br />
dt<br />
v :<br />
ATIVIDADE 28.2<br />
Qual é a aceleração do fio no exemplo 28.4?<br />
Figura 28.7: Fio com corrente elétrica sobre suportes metálicos.<br />
SOLUÇÃO: Sobre o fio atua uma força magnética dada por:<br />
r r r<br />
= il × B<br />
F B<br />
EXEMPLO 28.3<br />
Um fio condutor tem a forma <strong>de</strong> meia circunferência <strong>de</strong> raio R , no plano xy . O fio<br />
é percorrido por uma corrente i , como mostra a figura 28.8. Há um campo<br />
r<br />
magnético homogêneo <strong>de</strong> indução magnética B = B kˆ<br />
, perpendicular ao plano da<br />
meia circunferência. Calcule a força do campo sobre ela.<br />
que, <strong>de</strong> acordo com a regra da mão direita, está situada no plano do circuito<br />
formado pelo fio e pelos suportes metálicos; sua direção é perpendicular ao fio<br />
(paralela aos suportes) e seu sentido, para a esquerda na Figura 28-3.<br />
Seja o sistema <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas mostrado na figura 28.4. Como a indução<br />
magnética é perpendicular ao plano do circuito, temos que:<br />
r<br />
r<br />
B = B ˆ j e l = d kˆ<br />
A força magnética que atua sobre o fio é, então:<br />
Figura 28.8: Fio condutor na forma <strong>de</strong> meia-circunferência<br />
393<br />
394
Solução O elemento <strong>de</strong> força<br />
dF<br />
r sobre um segmento do fio dl<br />
r é:<br />
r r r<br />
dF = i dl × B<br />
EXEMPLO 28.4<br />
Consi<strong>de</strong>re o Exemplo 28.3 mas com o fio na forma <strong>de</strong> uma semicircunferência<br />
fechada em seu diâmetro, com o campo magnético situado no plano do arco,<br />
conforme a figura 28.9.<br />
Ele está no plano xy e tem a direção radial como indicado na figura, porque é<br />
perpendicular ao segmento do fio (que está no plano xy) e ao vetor indução<br />
magnética (que coinci<strong>de</strong> com o eixo Oz).<br />
A força total po<strong>de</strong> ser obtida escrevendo-se a expressão <strong>de</strong><br />
fazendo a integração <strong>de</strong> 0 a π . Ou seja, sabendo que:<br />
r<br />
dl<br />
= −d l sinθ iˆ<br />
+ d l cosθ<br />
ˆj<br />
,<br />
dF<br />
r em termos <strong>de</strong> θ , e<br />
com dl = R dθ e B = B kˆ<br />
, temos:<br />
r r r<br />
dF<br />
= i dl × B = ( −i<br />
R sinθ<br />
dθ<br />
iˆ<br />
+ i R cosθ<br />
dθ<br />
ˆ) j × B kˆ<br />
Figura 28.9: arco no plano do campo magnético.<br />
SOLUÇÃO: A força sobre a parte retilínea do fio condutor tem o módulo<br />
tal que:<br />
r<br />
dF<br />
= i R Bcosθ dθ<br />
iˆ<br />
+ iRBsinθdθˆj<br />
F = i l B = i (2 R)<br />
B 2i<br />
R B<br />
1<br />
=<br />
Po<strong>de</strong>mos agora integrar sobre θ e obter:<br />
r<br />
π<br />
π<br />
F = i R Biˆ<br />
∫ cosθ<br />
dθ<br />
+ i R B ˆj<br />
∫ sinθ<br />
dθ<br />
0<br />
0<br />
r<br />
π<br />
π<br />
F i R B ˆj<br />
sinθ<br />
dθ<br />
= iRB[ − cosθ<br />
] ˆj<br />
∫<br />
=<br />
0<br />
0<br />
que é igual:<br />
r<br />
F = 2 i R B ˆj<br />
l 2R<br />
pois = e o fio está perpendicular ao campo. A direção <strong>de</strong> F r 1 é para a frente<br />
r r<br />
da página pois l × B está dirigido para a frente da página (saindo <strong>de</strong>la),<br />
(lembre-se que o produto vetorial é feito levando o primeiro vetor na direção do<br />
segundo, sempre pelo menor ângulo formado pelos dois).<br />
Para encontrar a força sobre a parte encurvada do condutor <strong>de</strong>vemos,<br />
inicialmente, encontrar uma expressão para o diferencial da força num segmento<br />
dl . Se θ for o ângulo entre B e dl então o módulo <strong>de</strong> dF<br />
2<br />
é:<br />
r r<br />
dF = i | dl × B |= i B sinθ<br />
dl<br />
2<br />
ATIVIDADE 28.3<br />
No exemplo anterior, qual é o módulo, direção e sentido da força magnética que<br />
atua na meia circunferência se a corrente elétrica e o campo elétrico tiverem<br />
sentidos opostos aos da Figura 28.8?<br />
e, como dl = Rdθ<br />
, vem que:<br />
dF = i B sinθ<br />
R d .<br />
2<br />
θ<br />
Observe que a direção da força sobre qualquer elemento é a mesma: para trás da<br />
395<br />
396
página (entrando na página) ( dl × B está dirigido neste sentido). Então a força<br />
sobre o condutor encurvado também está dirigida <strong>de</strong> frente para trás da página.<br />
Integrando a expressão acima, vem:<br />
π<br />
2<br />
=<br />
0<br />
−<br />
0<br />
∫<br />
π<br />
F i R B sinθ<br />
dθ<br />
= i R B[<br />
−cosθ<br />
] = −i<br />
R B ( cosπ<br />
cos0)<br />
= 2i<br />
R B<br />
Veja que esse resultado é exatamente o mesmo obtido para a parte reta<br />
da espira, mas com o sentido oposto. Isto mostra que a força total sobre o<br />
circuito fechado é nula.<br />
28.2 O EFEITO HALL<br />
Em 1879, Edwin Hall <strong>de</strong>scobriu que quando um condutor conduzindo uma<br />
corrente elétrica é colocado em um campo magnético, há uma voltagem gerada na<br />
direção perpendicular à corrente e ao campo magnético! Esse efeito po<strong>de</strong> ser<br />
compreendido através das proprieda<strong>de</strong>s das forças magnéticas e é usado com<br />
frequência para <strong>de</strong>terminar o número <strong>de</strong> portadores <strong>de</strong> corrente ou o próprio<br />
campo magnético.<br />
A montagem para observação do efeito Hall é constituída por um condutor<br />
na forma <strong>de</strong> uma fita <strong>de</strong>lgada <strong>de</strong> espessura t e largura d , percorrido por uma<br />
corrente elétrica convencional I na direção y como mostra a figura 28.10:<br />
O campo magnético é aplicado na direção<br />
forem elétrons, eles <strong>de</strong>vem se mover na direção<br />
− x . Se os portadores <strong>de</strong> corrente<br />
− y com velocida<strong>de</strong> v<br />
d<br />
, pois o<br />
movimento dos elétrons se faz no sentido oposto ao da corrente convenional.<br />
Sob a ação do campo magnético, cada elétron sofrerá uma força magnética<br />
para cima na direção + z.<br />
Lembre-se do sinal negativo <strong>de</strong>vido à carga do elétron<br />
quando fizer o produto vetorial. Então haverá um excesso <strong>de</strong> carga positiva na<br />
parte <strong>de</strong> baixo da placa.<br />
Essa migração <strong>de</strong> cargas na direção perpendicular à corrente vai acontecer<br />
até que o potencial eletrostático gerado por essa redistribuição <strong>de</strong> cargas produza<br />
uma força que compense exatamente a força magnética. Se um voltímetro estiver<br />
ligado nos pontos a e b , ele vai medir o que chamamos <strong>de</strong> tensão Hall, que se<br />
relaciona com os outros parâmetros do problema como segue: a corrente elétrica<br />
é:<br />
I = nv qA.<br />
De on<strong>de</strong> tiramos para a velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong> arraste dos elétrons:<br />
v d<br />
d<br />
I<br />
= , nqA<br />
on<strong>de</strong> A é a área da seção reta do condutor. Quando as forças elétricas e<br />
magnéticas se anularem teremos:<br />
q v B = q EH .<br />
d<br />
De on<strong>de</strong> vem que:<br />
E<br />
H<br />
= v B,<br />
d<br />
a tensão Hall<br />
V<br />
H medida será:<br />
Figura 28.10: Montagem para a observação do efeito Hall.<br />
= E<br />
d = v<br />
I B d<br />
B d = .<br />
n q A<br />
Se t é a espessura do material, po<strong>de</strong>mos escrever<br />
V<br />
H<br />
H<br />
d<br />
A = t d<br />
e teremos:<br />
. = nqt<br />
IB<br />
v d<br />
397<br />
398
Vemos daqui imediatamente que, se B for conhecido,<br />
V<br />
H<br />
po<strong>de</strong> ser<br />
usado para medir o número <strong>de</strong> protadores <strong>de</strong> carga ou, vice versa, se n for<br />
conhecido, B po<strong>de</strong> ser <strong>de</strong>terminado.<br />
EXEMPLO 28.5<br />
Qual é a or<strong>de</strong>m <strong>de</strong> gran<strong>de</strong>za <strong>de</strong> v<br />
d<br />
?<br />
PENSE E RESPONDA 28.2<br />
28.3 TORQUE EM CIRCUITOS ELÉTRICOS<br />
Uma tira retangular <strong>de</strong> cobre com 1,5 cm <strong>de</strong> largura e 0,1 cm <strong>de</strong> espessura é<br />
percorrida por uma corrente <strong>de</strong> 5 A. Um campo magnético <strong>de</strong> indução magnética<br />
<strong>de</strong> 1,2 T é aplicado perpendicularmente à face da tira. Achar a voltagem Hall<br />
resultante.<br />
Solução: Pela Tabela Periódica obtemos o peso atômico do cobre: 63,5 g/ mol .<br />
Lembre-se que um átomo grama <strong>de</strong> um elemento contém o número <strong>de</strong> Avogadro<br />
<strong>de</strong> átomos do elemento, i.e;<br />
po<strong>de</strong>mos calcular o volume ocupado por<br />
23<br />
6,02× 10 átomos. Sabendo a <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> do cobre,<br />
63,5 g <strong>de</strong> cobre:<br />
Como o campo magnético afeta um fio com corrente elétrica, é <strong>de</strong> se esperar<br />
que a sua presença afete também circuitos elétricos. A Figura 28.11 mostra um<br />
circuito retangular <strong>de</strong> lados a e b on<strong>de</strong> há uma corrente elétrica I, colocado em um<br />
campo magnético uniforme. Na parte (a) da figura, vemos as forças magnéticas<br />
que atuam sobre cada ramo do circuito e, na parte (b), a posição do circuito<br />
relativamente ao campo magnético.<br />
m 63,5g<br />
V = = = 7,09cm<br />
3<br />
ρ 8,95g/<br />
cm<br />
3<br />
Se agora admitirmos que cada átomo contribui com 1 elétron:<br />
6,02×<br />
10 elétrons<br />
n ×<br />
7,09cm<br />
23<br />
28<br />
3<br />
= = 8,48 10 elétrons/<br />
m<br />
3<br />
Então, da expressão <strong>de</strong><br />
V<br />
H , temos:<br />
Figura 28.11: Circuiro retangular em campomagnético uniforme.<br />
IB<br />
A T<br />
V = 5 × 1,2<br />
H<br />
=<br />
= 0,442µ<br />
V<br />
28 −3<br />
−19<br />
−<br />
nqt (8,48 × 10 m )(1,60 × 10 C)(0,1×<br />
10<br />
2 m)<br />
Note que a voltagem Hall é muito pequena num bom condutor. Note também que<br />
a largura da fita não <strong>de</strong>sempenha papel algum.<br />
Nos semicondutores, nos quais n é muito menor que nos metais monovalentes, as<br />
voltagens hall são maiores, pois<br />
V<br />
H varia com o inverso <strong>de</strong> n . Nesses materiais, o<br />
nível <strong>de</strong> corrente é da or<strong>de</strong>m <strong>de</strong> 1 mA. As voltagens são da or<strong>de</strong>m <strong>de</strong> 10 mV .<br />
399<br />
Aplicando a regra da mão direita ao produto vetorial da equação (28.1),<br />
<strong>de</strong>terminamos as forças que atuam em cada ramo da circuito. Essas forças estão<br />
mostradas na Figura 28.11a. As forças F r 1 e F r 3 , que atuam sobre os ramos <strong>de</strong><br />
comprimento a do circuito, possuem sentidos opostos porque a corrente elétrica<br />
tem sentidos contrários nos ramos on<strong>de</strong> atuam essas forças. O módulo <strong>de</strong>las é:<br />
F F = I a B<br />
1<br />
= 3<br />
porque o vetor l r é perpendicular ao campo magnético, como po<strong>de</strong> ser visto nas<br />
figuras 28.11a e 28.11b.<br />
400
Da mesma forma, as forças F r 2 e F r 4 , que atuam sobre os outros dois<br />
ramos <strong>de</strong> comprimento b, são iguais e <strong>de</strong> sentidos contrários. Entretanto, como<br />
mostrado na Figura 28.11b, o ângulo entre o vetor l r e o campo magnético é θ ,<br />
diferente <strong>de</strong> 90º. Assim, o módulo das forças F r 2 e F r 4 é:<br />
F = F = I b B sen(90º<br />
−θ<br />
) = I b B cos<br />
2 4<br />
θ<br />
A direção <strong>de</strong>ssas forças é perpendicular ao plano do papel e é comum a<br />
ambas as forças que, portanto, possuem a mesma linha <strong>de</strong> ação.<br />
Entretanto, as forças F<br />
1<br />
e F<br />
3<br />
, embora tenham a mesma direção (paralela à<br />
folha <strong>de</strong> papel), não possuem a mesma linha <strong>de</strong> ação quando o circuito está na<br />
posição mostrada na Figura 28.11b. Isto significa que elas não <strong>de</strong>slocam o circuito,<br />
mas produzem um torque sobre ele, que ten<strong>de</strong> a fazê-lo girar em torno da<br />
mediatriz dos lados <strong>de</strong> comprimento b (linha xx’ da Figura 28.11a). Este torque tem<br />
como módulo:<br />
r r r r r ⎛ b ⎞<br />
τ =<br />
× F1<br />
+<br />
3<br />
× F3<br />
= 2I<br />
a B ⎜ ⎟ senθ<br />
= I a b B sen<br />
⎝ 2 ⎠<br />
Lembrando que rr 1<br />
e r 3<br />
1<br />
θ<br />
são, respectivamente, as distâncias ao centro do<br />
circuito, dos pontos <strong>de</strong> aplicação das forças F r 1<br />
e F r 3<br />
, e que<br />
circuito, o torque também po<strong>de</strong> ser escrito como:<br />
.<br />
.<br />
A = a b é a área do<br />
τ = I A B senθ<br />
(28.3)<br />
Esta fórmula é geral, válida para circuitos <strong>de</strong> qualquer forma, retangulares ou<br />
não. Ela <strong>de</strong>screve o torque que faz o circuito girar em torno <strong>de</strong> seu eixo<br />
perpendicular à direção das forças que não possuem a mesma linha <strong>de</strong> ação (eixo<br />
xx’ na figura 28.11a). Ela também é válida para um sistema <strong>de</strong> várias espiras. Se N<br />
é o número <strong>de</strong> espiras, o torque sobre o conjunto é a soma dos torques sobre cada<br />
espira:<br />
τ = N I A B senθ.<br />
(28.4)<br />
Na equação 28.3, po<strong>de</strong>mos ver que o torque se anula se o plano do circuito<br />
for perpendicular ao campo magnético (ou, se a normal ao plano do circuito for<br />
401<br />
paralela ao campo), pois, nesse caso, as forças F<br />
1<br />
e F<br />
3<br />
terão a mesma linha <strong>de</strong><br />
ação. Em qualquer outra posição, o torque age no sentido <strong>de</strong> alinhar a normal ao<br />
plano do circuito com o campo magnético. Este fato é semelhante ao alinhamento<br />
<strong>de</strong> uma agulha magnética com o campo magnético da Terra.<br />
PENSE E RESPONDA 28.3<br />
Um estudante afirma que, se um raio atingisse o metal do poste que sustenta uma<br />
ban<strong>de</strong>ira, a força exercida sobre o poste pelo campo magnético da Terra seria<br />
suficiente gran<strong>de</strong> para entortar o poste. As correntes típicas <strong>de</strong> um raio são da<br />
or<strong>de</strong>m 104 a 105 A. A opinião do estudante po<strong>de</strong> ser justificada? Explique seu<br />
raciocínio.<br />
Como o torque e a indução magnética são vetores, po<strong>de</strong>mos escrever a<br />
equação (28.4) em uma forma vetorial se <strong>de</strong>finirmos um vetor:<br />
r µ = N I A ˆn,<br />
(28.5)<br />
em que nˆ é um vetor unitário perpendicular ao plano do circuito ou do sistema <strong>de</strong><br />
espiras (veja a figura 28.11b).<br />
O sentido da normal nˆ é dado com a seguinte regra: colocamos os<br />
<strong>de</strong>dos da mão direita aberta <strong>de</strong> modo que eles coincidam com o sentido da<br />
corrente elétrica no circuito. A normal terá, então, o sentido positivo<br />
indicado pelo <strong>de</strong>do polegar. Na Figura 28-8b, po<strong>de</strong>mos ver a que a normal<br />
nˆ faz um ângulo θ com o vetor indução magnética.<br />
O vetor µ r é <strong>de</strong>nominado momento <strong>de</strong> dipolo magnético do circuito ou do<br />
sistema <strong>de</strong> espiras. Com ele, a equação (28.4) fica:<br />
r r<br />
τ = µ × B v .<br />
(28.6)<br />
Como um circuito em um campo magnético sofre ação <strong>de</strong> um torque, é<br />
preciso que um agente externo realize um trabalho para mudar a orientação do<br />
momento <strong>de</strong> dipolo magnético. Portanto, po<strong>de</strong>mos associar ao momento <strong>de</strong> dipolo<br />
magnético uma energia potencial, cujo nível é geralmente tomado na posição em<br />
que o torque é nulo, isto é, na posição em que o plano do circuito seja paralelo ao<br />
402
campo magnético (na figura 28.11b, na posição em que θ = 90º<br />
). Dessa forma, a<br />
energia potencial do momento <strong>de</strong> dipolo magnético em uma posição dada pelo<br />
ângulo θ , relativamente ao nível zero, é:<br />
ou:<br />
U =<br />
∫<br />
θ<br />
90º<br />
τ dθ<br />
= µ B<br />
∫<br />
θ<br />
90º<br />
senθ<br />
dθ<br />
= −µ<br />
B cosθ<br />
r r<br />
U = −µ • B<br />
(28.7)<br />
ATIVIDADE 28.4<br />
Uma espira circular tem o raio <strong>de</strong> 2,0 cm, 10 voltas <strong>de</strong> fio condutor e uma<br />
corrente <strong>de</strong> 3 A. O eixo da espira faz um ângulo <strong>de</strong> 30° com um campo magnético<br />
<strong>de</strong> indução <strong>de</strong> 8000 G. Calcular o módulo do torque sobre a espira.<br />
EXEMPLO 28.7<br />
Um disco não condutor <strong>de</strong> massa M e raio R tem uma <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> superficial <strong>de</strong><br />
carga σ e gira com frequência angular ω em torno <strong>de</strong> seu eixo. Calcular o<br />
momento magnético <strong>de</strong>ste disco girante.<br />
EXEMPLO 28.6<br />
Uma espira circular <strong>de</strong> raio R , massa m e corrente I encontra-se sobre uma<br />
superfície horizontal áspera. Um campo magnético <strong>de</strong> indução B é paralelo ao<br />
plano da espira. Qual o valor <strong>de</strong> I para que um lado da espira seja erguido pelo<br />
campo magnético?<br />
Figura 28.13: Disco homogêneo girando.<br />
Primeiro calculamos o momento magnético <strong>de</strong> um elemento circular <strong>de</strong> raio r e<br />
Figura 28.12: Espira circular sendo erguida pelo campo magnético.<br />
A espira principiará a se erguer se o torque magnético for igual ao torque<br />
gravitacional.<br />
2<br />
| τ |= µ B = I π R B<br />
m<br />
2<br />
| τ |= mgR = I π R B<br />
g<br />
largura dr sobre o disco e <strong>de</strong>pois integramos sobre todos os elementos.<br />
dq = σ dA = σ (2π<br />
r dr).<br />
Se a carga for positiva, o momento magnético tem a direção <strong>de</strong> ω :<br />
2<br />
dµ<br />
= ( dI)<br />
A = dI π r .<br />
Então:<br />
I =<br />
mg<br />
π R B<br />
Lembrando que:<br />
dq<br />
ω<br />
dI = = f dq = dq<br />
dt<br />
2π<br />
vem:<br />
⎛ ω ⎞<br />
⎛ ω ⎞<br />
dI = ( σ dA)<br />
⎜ ⎟ = ( σ 2π<br />
r dr)<br />
⎜ ⎟ = σ ω r dr<br />
⎝ 2π<br />
⎠<br />
⎝ 2π<br />
⎠<br />
403<br />
404
Po<strong>de</strong>mos escrever:<br />
RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS<br />
dµ<br />
= ( dI)<br />
π r<br />
2<br />
= ( σ ω r dr)<br />
π r<br />
2<br />
3<br />
= π σ ω r dr.<br />
ATIVIDADE 28.1<br />
As figuras abaixo dão as orientações dos vetores força nos acasos propostos:<br />
Integrando sobre a superfície do disco, obtemos:<br />
R<br />
3 1<br />
4<br />
= π σ ω r dr = π σ ω R<br />
4<br />
0<br />
µ ∫<br />
Observações importantes: Em termos da carga total do disco,<br />
2<br />
σ π e o<br />
Q = R<br />
momento magnético fica:<br />
O momento angular do disco é<br />
E, então:<br />
Esses resultados são gerais.<br />
2 r<br />
r Q R ω<br />
µ = .<br />
4<br />
r ⎛ M<br />
L =<br />
⎜<br />
⎝ 2<br />
r<br />
µ =<br />
2<br />
R<br />
Q<br />
2 M<br />
⎞ r<br />
⎟ω ⎠<br />
r<br />
L<br />
ATIVIDADE 28.5<br />
No mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> Bohr para o átomo <strong>de</strong> Hidrogênio, um elétron tem uma órbita<br />
circular em torno do próton, cujo raio vale<br />
5,1<br />
10<br />
−11<br />
× cm. A frequência do<br />
ATIVIDADE 28.2<br />
O fio se <strong>de</strong>sloca com aceleração constante:<br />
ATIVIDADE 28.3<br />
i d B<br />
a =<br />
m<br />
A inversão simultânea dos sentidos da corrente elétrica e da indução magnética em<br />
relação aos sentidos mostrados na Figura 28.5, faz com que a direção e o sentido<br />
da força fique o mesmo que no caso da mesma figura.<br />
Ativida<strong>de</strong> 28.4<br />
r<br />
Temos: | τ |=|<br />
r µ × B |= µ B senθ<br />
= µ B sen30°<br />
2<br />
−2<br />
Mas µ = NIA = 10(3A)<br />
π (0,02) = 3,77×<br />
10 Am<br />
2<br />
movimento é<br />
15<br />
6,8× 10 revoluções por segundo. Calcule o momento <strong>de</strong> dipolo<br />
magnético equivalente do eletron.<br />
PENSE E RESPONDA 28.5<br />
ou:<br />
τ = µ B senθ<br />
= (3,77 × 10<br />
−2<br />
τ = 1,51×<br />
10<br />
2<br />
Am )(0,8T<br />
) sen 30°<br />
−2<br />
Nm<br />
Uma força magnética sobre uma partícula carregada nunca po<strong>de</strong> realizar trabalho,<br />
pois a cada instante a força é perpendicular à velocida<strong>de</strong>. O torque exercido por<br />
um campo magnético po<strong>de</strong> realizar trabalho sobre uma corrente quando a espira<br />
gira. Explique como essa aparente contradição po<strong>de</strong> ser conciliada.<br />
Ativida<strong>de</strong> 28.5<br />
O elétron, ao <strong>de</strong>screver um círculo em torno do próton produz uma corrente<br />
elétrica:<br />
i = e f = (1,6 × 10<br />
−19<br />
C)<br />
(6,8 × 10<br />
15<br />
s)<br />
= 1,1 × 10<br />
−3<br />
A<br />
405<br />
406
Como a trajetória do elétron po<strong>de</strong> ser igualada a uma espira circular, o momento<br />
<strong>de</strong> dipolo é:<br />
2 −3<br />
−11<br />
2<br />
−24<br />
µ = i A = i ( π r ) = 1,1×<br />
10 A×<br />
π × (5,1 × 10 m)<br />
= 9,0 × 10 A.<br />
m<br />
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO<br />
P8.2) Dois fios paralelos encontram-se separados por uma distância D . Supondo<br />
que eles carreguem correntes antiparalelas <strong>de</strong> intensida<strong>de</strong> i , obtenha o valor da<br />
indução magnética em um ponto P que se situa à uma distância r dos dois fios ao<br />
longo da mediatriz (linha situada a meio caminho entre ambos os fios).<br />
P8.3) Repita o problema anterior supondo que as correntes sejam paralelas.<br />
E28.1) Um fio <strong>de</strong> 1,80 m <strong>de</strong> comprimento é percorrido por uma corrente <strong>de</strong> 13,0 A<br />
e faz um ângulo <strong>de</strong> 35,0 o com um campo magnético uniforme <strong>de</strong> módulo B = 1,50<br />
T. Calcule a força magnética sobre o fio.<br />
E28.2) Uma barra horizontal com 0,20 m <strong>de</strong> comprimento é montada sobre uma<br />
balança e conduz uma corrente. No local da barra existe um campo magnético<br />
uniforme horizontal com módulo igual a 0,067 T e direção perpendicular à barra. A<br />
força magnética sobre a barra medida pela balança é igual a 0,13 N. Qual é o valor<br />
da corrente?<br />
E28.3) Uma espira retangular <strong>de</strong> 5,0 cm x 8,0 cm possui plano paralelo a um<br />
campo magnético <strong>de</strong> 0,19 T. A espira conduz uma corrente igual a 6,2 A. (a) Qual é<br />
o torque que atua sobre a espira? (b) Qual é o módulo do momento magnético da<br />
espira? (c) Qual é o torque máximo que po<strong>de</strong> ser obtido sobre um fio com o mesmo<br />
comprimento total da espira e conduzindo a mesma corrente?<br />
E28.4) Uma corrente <strong>de</strong> 4,51 mA percorre um fio <strong>de</strong> 25,0 cm <strong>de</strong> comprimento. Esse<br />
fio é convertido em uma bobina circular e é submetido a um campo magnético<br />
uniforme <strong>de</strong> módulo 5,71 mT. Se o torque que o campo exerce sobre a espira é o<br />
maior possível, <strong>de</strong>termine (a) o ângulo entre o campo magnético e o momento<br />
dipolar magnético da bobina, (b) o número <strong>de</strong> espiras da bobina e (c) o módulo do<br />
torque máximo.<br />
E28.5) Uma bobina circular com 8,6 cm <strong>de</strong> diâmetro possui 15 espiras e conduz<br />
uma corrente igual a 2,7 A. A bobina está em uma região on<strong>de</strong> o campo magnético<br />
vale 0,56 T. (a) Para qual orientação da bobina o torque atinge seu valor máximo e<br />
qual é esse torque máximo? (b) Para qual orientação da bobina o módulo do torque<br />
é igual a 71% do valor encontrado no item (a).<br />
PROBLEMAS DA UNIDADE<br />
P8.1) Determine a força que age sobre um neutron que possui velocida<strong>de</strong>,<br />
v<br />
r<br />
6<br />
m s iˆ<br />
6<br />
= (3,5 × 10 ) + (2,7 × 10 m s)<br />
ˆj<br />
, e está se movendo em uma região on<strong>de</strong><br />
r<br />
existe um campo B = ( 0,030T<br />
)ˆ i − (0,15T<br />
) ˆj<br />
.<br />
407<br />
408
UNIDADE 9<br />
FONTES DE CAMPO MAGNÉTICO E A LEI DE AMPÈRE<br />
Nesta unida<strong>de</strong> discutiremos como utilizar a Lei <strong>de</strong> Biot-Savart para <strong>de</strong>terminar o<br />
valor da indução magnética gerada por uma corrente elétrica estacionária, por uma<br />
espira e por um solenói<strong>de</strong> em um dado ponto do espaço. Em seguida, discutiremos<br />
a Lei <strong>de</strong> Ampère, que nos ajuda a calcular o campo magnético em situações <strong>de</strong> alta<br />
simetria, além <strong>de</strong> nos ajudar a enten<strong>de</strong>r como a corrente que atravessa uma<br />
superfície <strong>de</strong>limitada por uma curva fechada se relaciona com a integral do campo<br />
magnético através <strong>de</strong>ssa curva. Em outras palavras: como uma corrente elétrica<br />
estacionária gera um campo magnético no espaço.<br />
409<br />
410
AULA 29 A LEI DE BIOT-SAVART<br />
vetor-posição do ponto P relativamente a<br />
dl<br />
r e µ<br />
0 é uma constante<br />
OBJETIVOS<br />
• ESTUDAR A LEI DE BIOT-SAVERT<br />
• APLICÁ-LA EM PROBLEMAS DE GEOMETRIA SIMPLES<br />
29.1 A LEI DE BIOT-SAVART<br />
Em 1820, Oersted <strong>de</strong>scobriu aci<strong>de</strong>ntalmente que um fio conduzindo uma<br />
corrente elétrica podia <strong>de</strong>sviar a agulha imantada <strong>de</strong> uma bússola, estabelecendo,<br />
assim, uma relação entre corrente elétrica e campo magnético. A <strong>de</strong>scoberta <strong>de</strong><br />
Oersted foi estudada por Ampère, J. B. Biot (1774-1862) e F. Savart (1791-1841);<br />
eles mostraram que uma corrente elétrica gera um campo magnético.<br />
Nesta aula veremos como <strong>de</strong>terminar <strong>de</strong> um modo mais geral possível o valor da<br />
indução magnética gerada por uma corrente elétrica estacionária (isto é, constante)<br />
em um ponto do espaço. Essa relação é dada pela Lei <strong>de</strong> Biot-Savart.<br />
<strong>de</strong>nominada permeabilida<strong>de</strong> magnética do vácuo. Seu valor no Sistema<br />
Internacional é:<br />
−7<br />
2<br />
µ<br />
0<br />
= 4π<br />
⋅10<br />
N/<br />
A .<br />
Em relação a um referencial situado em um ponto O do espaço, a equação<br />
acima se escreve <strong>de</strong> outra forma. Com efeito, se r P<br />
é o vetor-posição do ponto P<br />
neste referencial,<br />
Então:<br />
r ' o do elemento do fio dl<br />
r , temos que:<br />
r r r<br />
=<br />
−<br />
' = r uˆ<br />
P<br />
R<br />
uˆ<br />
r<br />
r<br />
r r<br />
µ<br />
0i<br />
dl × (<br />
−<br />
')<br />
dB = r<br />
P r 3<br />
4π<br />
|<br />
−<br />
'|<br />
P<br />
R<br />
r r<br />
P<br />
−<br />
'<br />
= r r<br />
|<br />
−<br />
'|<br />
P<br />
(29.2)<br />
i<br />
Consi<strong>de</strong>re um fio <strong>de</strong> forma qualquer percorrido por uma corrente estacionária<br />
(figura 29.1):<br />
PENSE E RESPONDA 29.1<br />
A lei <strong>de</strong> Biot-Savart é válida somente para correntes contínuas?<br />
Po<strong>de</strong>mos fazer uma analogia com o campo elétrico:<br />
Figura 29.1: Indução magnética gerada por um fio no ponto P.<br />
dQ<br />
dE =<br />
4πε<br />
r<br />
(<br />
r<br />
−<br />
')<br />
P<br />
r r 3<br />
0<br />
|<br />
P<br />
−<br />
' |<br />
Para calcular a indução magnética B r no ponto P, gerado pela corrente que<br />
percorre o fio, vamos consi<strong>de</strong>rar um elemento infinitesimal do fio <strong>de</strong> comprimento<br />
dl . A lei <strong>de</strong> Biot-Savart nos afirma que a indução magnética<br />
elemento no ponto P do espaço é:<br />
dB<br />
r criada por este<br />
r µ i r r<br />
0<br />
dB = dl × R<br />
2<br />
4 π R<br />
(29.1)<br />
Figura 29.2: Elemento <strong>de</strong> Campo Elétrico.<br />
em que<br />
dl<br />
r é um vetor tangente ao fio na posição do elemento consi<strong>de</strong>rado, R r é o<br />
411<br />
412
A equação (29.1) ou (29.2) encerra algumas proprieda<strong>de</strong>s importantes do<br />
campo magnético, que <strong>de</strong>vemos ter sempre em mente:<br />
a) a indução magnética em um ponto P do espaço, <strong>de</strong>vida à corrente<br />
elétrica no fio, varia com o inverso do quadrado da<br />
distância do ponto ao fio;<br />
b) a indução magnética em um ponto P do espaço <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> do meio em que<br />
o fio está; quando este meio não é o vácuo, a constante µ<br />
0 muda <strong>de</strong><br />
valor;<br />
c) a indução magnética é um vetor perpendicular ao plano que contém os<br />
vetores dl<br />
r r r r<br />
e R = ( −<br />
') = r uˆ<br />
. Para <strong>de</strong>terminar o sentido do vetor B r ,<br />
P<br />
temos que usar a regra da mão direita do produto vetorial.<br />
R<br />
Aqui também temos algumas observações importantes a consi<strong>de</strong>rar:<br />
a) a integral nas equações (29.4) ou (29.5) é uma integral <strong>de</strong> linha; ela<br />
é portanto feita sobre todo o comprimento do fio. Para isso, temos<br />
que escrever<br />
dl<br />
r (na equação 29.4) ou dl (na equação 29.5) em função<br />
<strong>de</strong> um parâmetro que varie com a forma do fio e seja fácil para a<br />
integração;<br />
r r<br />
b) temos que escrever também os vetores ( − r' ) e seu módulo (na<br />
equação 29.4) ou os unitários<br />
ûT<br />
e<br />
r P<br />
û<br />
R<br />
em termos <strong>de</strong>sse parâmetro.<br />
Antes <strong>de</strong> continuar, note bem a diferença entre as equações<br />
(29.1) e (29.3) e entre as equações (29.4) e (29.5). Preste<br />
r r<br />
atenção nos vetores unitários e nos expoentes <strong>de</strong> − ' que<br />
aparecem nas equações; elas são as mesmas, apenas escritas <strong>de</strong><br />
forma diferente!<br />
r P<br />
A equação (29.2) po<strong>de</strong> ser escrita <strong>de</strong> uma forma mais clara, usando o fato<br />
<strong>de</strong> que o elemento<br />
dl<br />
r do fio po<strong>de</strong> ser substituído por:<br />
r<br />
d l =<br />
dl uˆT<br />
,<br />
EXEMPLO 29.1<br />
Um fio retilíneo <strong>de</strong> comprimento L é percorrido por uma corrente i . Qual a<br />
indução magnética produzida por esse fio num ponto P situado a uma altura y do<br />
fio? Consi<strong>de</strong>re que P está sobre uma perpendicular que passa pelo meio do fio.<br />
em que<br />
equação fica:<br />
ûT<br />
é um vetor unitário tangente ao fio, no ponto on<strong>de</strong><br />
dl<br />
r está. Assim, a<br />
r<br />
dB<br />
µ<br />
0i<br />
uˆ<br />
ˆ<br />
T<br />
× uR<br />
r r dl.<br />
4π<br />
|<br />
−<br />
'|<br />
= 2<br />
P<br />
(29.3)<br />
Dessa forma, a variação do campo magnético com o inverso do quadrado da<br />
distância fica mais explícita.<br />
A indução magnética no ponto P, <strong>de</strong>vida a todo o comprimento do fio<br />
é obtida usando o Princípio <strong>de</strong> Superposição, somando a contribuição <strong>de</strong> todos os<br />
elementos dl do fio:<br />
ou:<br />
r<br />
B<br />
∫<br />
r µ i<br />
=<br />
∫<br />
r r r<br />
dl × (<br />
−<br />
')<br />
r<br />
P r<br />
|<br />
−<br />
' |<br />
0<br />
= dB<br />
3<br />
4π<br />
P<br />
r r µ<br />
0i<br />
uˆ<br />
T<br />
× uˆ<br />
R<br />
B = ∫ dB = ∫ r r dl<br />
2<br />
4π<br />
|<br />
−<br />
'|<br />
P<br />
(29.4)<br />
(29.5)<br />
413<br />
Figura 29.3: Indução magnética <strong>de</strong> fio retilíneo com corrente.<br />
Solução: Vamos escolher a origem do referencial coinci<strong>de</strong>nte com a meta<strong>de</strong> do<br />
fio, como mostra a Figura 29.3, e o plano que contém P e fio como sendo o plano<br />
xy. A escolha da origem <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas é muito importante para simplificar o<br />
problema, como veremos nesse exemplo.<br />
De acordo com a lei <strong>de</strong> Biot-Savart:<br />
r<br />
r<br />
r r<br />
µ<br />
0i<br />
dl × (<br />
−<br />
')<br />
dB = r<br />
P r 3<br />
4π<br />
|<br />
−<br />
'|<br />
P<br />
414
temos, da Figura 29.3:<br />
r<br />
dl<br />
dx iˆ<br />
r<br />
P<br />
= 0iˆ<br />
y ˆ<br />
r<br />
= ′<br />
+<br />
P<br />
j<br />
'= x′<br />
iˆ<br />
(lembre que<br />
Então:<br />
Então:<br />
r ' é o vetor-posição <strong>de</strong> dl<br />
r no sistema <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas escolhido).<br />
r − r ' = −x′<br />
iˆ<br />
+ y<br />
P<br />
r r r<br />
dl<br />
× ( −<br />
') = dx′<br />
iˆ<br />
× [( −x′<br />
) iˆ<br />
+ y ˆ] j = y dx′<br />
kˆ<br />
P<br />
on<strong>de</strong> o unitário kˆ tem a direção perpendicular à folha <strong>de</strong> papel e o sentido para<br />
fora <strong>de</strong>la. Portanto:<br />
r<br />
B<br />
O resultado da integral é:<br />
r<br />
dB<br />
P<br />
µ i y dx′<br />
0<br />
P<br />
2 2<br />
4π<br />
[( x′<br />
) + y ]<br />
ˆj<br />
= 3/2<br />
P<br />
r µ<br />
0<br />
i<br />
dB = y<br />
4π<br />
P<br />
kˆ<br />
dx′<br />
+ y<br />
L / 2<br />
= ∫<br />
P<br />
fio ∫−<br />
L / 2 2 2 3/2<br />
[( x′<br />
)<br />
P<br />
]<br />
P<br />
kˆ<br />
EXEMPLO 29.2<br />
Campo gerado por um fio infinito<br />
Solução: No caso do fio infinito, a integral do Exemplo 29.1 fica:<br />
I<br />
y<br />
dx′<br />
= ∫ + ∞<br />
P<br />
− ∞<br />
2<br />
− ′ + 2<br />
[( x ) ]<br />
3/2<br />
P<br />
x yP<br />
Fazendo -u = xP − x′<br />
vem d x′ = du e a integral fica:<br />
Então:<br />
+∞ du 1 u<br />
I =<br />
=<br />
=<br />
∫<br />
2 2 2<br />
2<br />
[ u + y ] 1 y<br />
−∞ 2 2 3/2 2<br />
[ u + yP<br />
] y<br />
p<br />
p<br />
P<br />
−∞<br />
r<br />
B<br />
µ<br />
0<br />
i yP<br />
2 µ i<br />
× =<br />
2<br />
4π<br />
y 2π<br />
y<br />
=<br />
0<br />
O módulo <strong>de</strong> B r varia com o inverso da distância ao fio e o vetor está no plano<br />
perpendicular ao fio. A Figura 29.4 mostra as linhas <strong>de</strong> força do vetor B r . A<br />
corrente, representada pelo ponto central, tem o sentido para fora da página.<br />
P<br />
P<br />
kˆ<br />
+∞<br />
2<br />
+ L 2<br />
+ L / 2 dx′<br />
1 x'<br />
1 ⎡ L / 2<br />
− L / 2 ⎤<br />
∫ =<br />
= ⎢<br />
−<br />
−L<br />
/ 2 2 2 3/2 2<br />
2<br />
[( x′<br />
) + y ] y<br />
P<br />
P<br />
[( ) ( ) ] [ ] [ ] ⎥ ⎥<br />
2 2 2<br />
2<br />
2 2 2<br />
2 2 1/<br />
x'<br />
+ y<br />
1 y ⎢⎣<br />
+<br />
1/<br />
P ( L / 2) yP<br />
( L / 2) + y<br />
p<br />
P ⎦<br />
−L<br />
2<br />
o que dá:<br />
ou:<br />
r<br />
B<br />
µ<br />
0<br />
i<br />
y<br />
4π<br />
1<br />
2<br />
y<br />
2 L<br />
= P<br />
2 2 1/<br />
P [ L + yP<br />
]<br />
2<br />
r µ<br />
0<br />
i<br />
B =<br />
2 π y<br />
P<br />
L<br />
2 2<br />
[ L + 4y<br />
]<br />
ATIVIDADE 29.1<br />
Determine B r para um ponto Q, simétrico ao ponto P do Exemplo 29.1.<br />
P<br />
1/2<br />
kˆ<br />
kˆ<br />
Figura 29.4: Linhas <strong>de</strong> força da indução magnética <strong>de</strong> um fio longo.<br />
Dos Exemplos 29.1 e 29.2, bem como a Ativida<strong>de</strong> 29.1 po<strong>de</strong>mos<br />
extrair uma maneira <strong>de</strong> <strong>de</strong>terminar a direção do campo magnético em um<br />
ponto P do espaço, gerado por um fio conduzindo uma corrente elétrica.<br />
Basta, com a mão direita aberta, fazer coincidir o polegar com o sentido da<br />
corrente elétrica no fio. Em seguida, fechemos a mão. A direção da indução<br />
magnética em P será perpendicular ao plano contendo P e o fio e o sentido,<br />
o <strong>de</strong> fechamento da mão.<br />
EXEMPLO 29.3<br />
Consi<strong>de</strong>re o circuito abaixo (Figura 29.5), on<strong>de</strong> as linhas curvas são semicírculos<br />
com centro comum C . O raio do maior semicírculo é b e o do menor é a = b/ 2 .<br />
415<br />
416
As porções retas são perfeitamente horizontais. Encontre a indução magnética em<br />
C .<br />
PENSE E RESPONDA 29.2<br />
Porque a superposição dos campos é uma subtração?<br />
Figura 29.5: Cálculo do campo na origem.<br />
Solução: Os prolongamentos dos segmentos retos do circuito passam pelo ponto<br />
C. Assim, dl<br />
r e r r r<br />
são paralelos ao longo <strong>de</strong>les e, portanto, dl × = 0 . Logo, os<br />
segmentos retos não contribuem para a indução magnética em C.<br />
A indução magnética no ponto C <strong>de</strong>vida ao semi-círculo <strong>de</strong> raio b é, <strong>de</strong> acordo<br />
com (29.3),dada por:<br />
r<br />
B<br />
r r r<br />
µ<br />
0i<br />
dl × (<br />
−<br />
')<br />
4<br />
∫ r<br />
P r<br />
π |<br />
−<br />
'|<br />
=<br />
3<br />
P<br />
Mas dl<br />
r é tangente ao semicírculo <strong>de</strong> raio b em todos os seus pontos. Além disso,<br />
r r r<br />
P<br />
− ' = b e a direção <strong>de</strong> b r é radial, portanto, sempre perpendicular a dl<br />
r . Então,<br />
r r<br />
r µ i dl × b i πb<br />
dl dl b sen i πb<br />
0<br />
µ<br />
0<br />
90º µ<br />
0<br />
dl<br />
B = ∫ = ∫<br />
=<br />
3<br />
π b π 0<br />
2 3<br />
b b π ∫0<br />
2<br />
4<br />
4<br />
4 b<br />
ATIVIDADE 29.2<br />
Um circuito retangular <strong>de</strong> lados a e b , com<br />
a > b , é colocado em um campo<br />
magnético perpendicular ao seu plano. Uma corrente i constante percorre o<br />
circuito. Determine a indução magnética B r no centro do circuito.<br />
29.2 FORÇA ENTRE FIOS PARALELOS<br />
No Exemplo 29.2 vimos que um fio longo com uma corrente elétrica i A<br />
, cria<br />
um campo magnético em redor <strong>de</strong>le, cujas linhas <strong>de</strong> força são círculos concêntricos<br />
com o fio. Se colocarmos um outro fio longo, paralelamente ao primeiro (que<br />
chamaremos <strong>de</strong> fio B), também com uma corrente elétrica i B<br />
, e a uma distância R<br />
<strong>de</strong>le, este segundo fio sofrerá uma força do campo magnético do primeiro fio. A<br />
Figura 29.6 mostra os fios e o campo magnético gerado pelo fio A no fio B<br />
que dá:<br />
µ I<br />
B b<br />
= 0<br />
4 b<br />
(para fora do papel)<br />
Analogamente, para o semi-círculo <strong>de</strong> raio a :<br />
µ I<br />
B a<br />
= 0<br />
4 a<br />
(entrando no papel)<br />
Logo, como a = b/ 2 , a indução magnética do semicírculo <strong>de</strong> raio a é maior que a<br />
do semicírculo <strong>de</strong> raio b . A indução resultante é, então:<br />
Como a = b / 2 vem:<br />
B T<br />
µ I 1 1<br />
= 0 ( − )<br />
4 a b<br />
(entrando no papel)<br />
B I 2 1 I<br />
= µ 0 0<br />
( − ) =<br />
µ (entrando no papel)<br />
T<br />
4 b b 4 b<br />
Figura 29.6: Fios com correntes paralelas.<br />
De acordo com que vimos no Exemplo 29.2, o módulo da indução magnética<br />
no fio B é:<br />
µ<br />
0<br />
iA<br />
BA<br />
= .<br />
2π<br />
R<br />
417<br />
418
O módulo da força magnética que atua sobre um comprimento l do fio B é,<br />
então:<br />
F<br />
AB<br />
r r µ<br />
0<br />
iA<br />
µ<br />
0<br />
iA<br />
iB<br />
l<br />
= iB<br />
l × BA<br />
= iB<br />
l = .<br />
2π<br />
R 2π<br />
R<br />
(29.6)<br />
A direção e o sentido da força obe<strong>de</strong>ce a regra da mão direita para o produto<br />
vetorial (você <strong>de</strong>ve tentar ver claramente isso, fazendo os gestos com a<br />
mão).<br />
Obviamente, como o fio B tem corrente elétrica, o campo magnético gerado<br />
por ele exercerá uma força sobre o fio A. O módulo da força magnética que o<br />
campo <strong>de</strong> B exerce sobre o comprimento l do fio A é:<br />
r<br />
B<br />
µ<br />
0i<br />
uˆ<br />
× ˆ<br />
0<br />
( ˆ ) × ˆ<br />
T<br />
uR<br />
µ i dl uT<br />
u<br />
∫ dl =<br />
2<br />
4π<br />
r 4π<br />
∫<br />
r<br />
= 2<br />
em que colocamos o referencial no ponto A on<strong>de</strong> <strong>de</strong>sejamos calcular o campo<br />
magnético, <strong>de</strong> modo que a distância entre as cargas e este ponto em qualquer<br />
instante é r (Figura 29.7).<br />
R<br />
F<br />
BA<br />
= i<br />
A<br />
r r<br />
l × B<br />
B<br />
µ<br />
0<br />
iB<br />
µ<br />
0<br />
iA<br />
iB<br />
l<br />
= iA<br />
l = ,<br />
2π<br />
R 2π<br />
R<br />
(29.7)<br />
Figura 29.7: Carga elétrica em movimento gerando campos elétrico e magnético em A.<br />
idêntico ao da força que A exerce sobre B. Mas, <strong>de</strong> acordo com a regra da mão<br />
direita para o produto vetorial, a direção da força é a mesma, porém o sentido é<br />
oposto. Isto, aliás, já era <strong>de</strong> se esperar por causa da terceira lei <strong>de</strong> Newton: as<br />
duas forças são <strong>de</strong> ação e reação. Assim, po<strong>de</strong>mos dizer que correntes<br />
paralelas se atraem e correntes antiparalelas se repelem.<br />
PENSE E RESPONDA 29.3<br />
Dois fios transportando corrente são perpendiculares entre si. A corrente <strong>de</strong> um fio<br />
flui verticalmente para cima e a corrente no fio horizontal flui horizontalmente para<br />
o leste. Qual é a direção da força magnética no fio horizontal? Norte, Sul, Leste ou<br />
Oeste? Ou não existe força magnética líquida sobre o fio horizontal?<br />
29.3 CAMPO MAGNÉTICO GERADO POR CARGA EM MOVIMENTO<br />
Uma corrente elétrica nada mais é que o movimento direcionado <strong>de</strong> cargas<br />
elétricas; assim, o fato <strong>de</strong> uma corrente elétrica gerar um campo magnético indica<br />
que uma carga elétrica sozinha po<strong>de</strong> também gerar um campo magnético. Vamos<br />
tentar <strong>de</strong>terminar as características <strong>de</strong>ste campo; para isso, lançamos mão da lei<br />
<strong>de</strong> Biot-Savart, escrita na forma da equação (29.5):<br />
419<br />
Mas, <strong>de</strong> acordo com a teoria <strong>de</strong> corrente elétrica,<br />
idl uˆ<br />
T<br />
r r<br />
= ( j A)<br />
dl uˆ<br />
= j dV = nqv dV,<br />
T<br />
em que j r é a <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> <strong>de</strong> corrente, v r é a velocida<strong>de</strong> das cargas elétricas e dV é o<br />
elemento <strong>de</strong> volume que contém as cargas elétricas que se movem. Com essa<br />
expressão, a integral da indução magnética fica:<br />
como<br />
r<br />
r<br />
µ<br />
0<br />
( i dl uˆ<br />
T<br />
) × uˆ<br />
R<br />
µ<br />
0 ⎛ q v × uˆ<br />
T ⎞<br />
B =<br />
n dV ,<br />
2<br />
2<br />
4<br />
∫<br />
=<br />
r 4<br />
∫⎜<br />
⎟<br />
π<br />
π ⎝ r ⎠<br />
ndV<br />
é o número <strong>de</strong> cargas em um volume dV <strong>de</strong> corrente elétrica, po<strong>de</strong>mos<br />
interpretar o termo entre parênteses do integrando como sendo o campo<br />
magnético gerado por uma carga no ponto A. Então, escrevemos que:<br />
r<br />
r<br />
µ<br />
B =<br />
4π<br />
r<br />
0<br />
qv × uˆ<br />
T<br />
2<br />
(29.8)<br />
é o campo magnético gerado por uma carga elétrica q em um ponto A, a<br />
uma distância r <strong>de</strong>la. A equação nos diz que a direção do campo magnético é<br />
420
perpendicular à <strong>de</strong> r r e v r . As linhas <strong>de</strong> força magnéticas são círculos como<br />
mostrados na figura 29.7. Note que o campo magnético se anula ao longo da linha<br />
<strong>de</strong> movimento da carga e é máximo no plano perpendicular a esta linha, passando<br />
pela carga.<br />
Se supusermos que o campo elétrico E r gerado pela carga em A não é<br />
afetado pelo movimento <strong>de</strong>la, po<strong>de</strong>mos escrever que:<br />
Tirando o valor <strong>de</strong><br />
r 1 q<br />
E =<br />
4π ε r<br />
0<br />
ˆ .<br />
u<br />
2 R<br />
û<br />
R<br />
<strong>de</strong>ssa expressão e levando em (29.8), obtemos:<br />
r r r 1 r r<br />
B = µ<br />
0<br />
ε<br />
0<br />
v × E = v × E,<br />
(29.9)<br />
2<br />
c<br />
que dá a relação entre os campos elétrico e magnético gerados pela carga<br />
q em movimento.<br />
Na expressão (29.9), houve a substituição:<br />
1<br />
8<br />
c = = 2,9979×<br />
10 m/s (29.10)<br />
µ ε<br />
que é a velocida<strong>de</strong> da luz no vácuo.<br />
0<br />
0<br />
Em resumo, uma carga elétrica em repouso gera um campo elétrico; mas,<br />
se ela estiver em movimento, ela gera também um campo magnético. A equação<br />
(29-9) mostra que esses campos são dois aspectos <strong>de</strong> uma proprieda<strong>de</strong><br />
fundamental da matéria. Por isso, é mais correto usar o termo campo<br />
eletromagnético para <strong>de</strong>screver interações que envolvem cargas elétricas.<br />
A equação (29.8) vale quando a velocida<strong>de</strong> da carga é muito menor que a<br />
velocida<strong>de</strong> da luz. Quando isso não acontece, ela <strong>de</strong>ve ser substituída por uma<br />
outra equação <strong>de</strong>rivada da Teoria da Relativida<strong>de</strong>, conforme estudaremos mais<br />
adiante.<br />
SAIBA MAIS<br />
Sobre as unida<strong>de</strong>s do eletromagnetismo<br />
Quando estudamos a lei <strong>de</strong> Coulomb, vimos que a constante<br />
expressão da força elétrica:<br />
F<br />
e =<br />
K<br />
e<br />
q q<br />
r<br />
1 2<br />
2<br />
K<br />
e , que aparece na<br />
era <strong>de</strong>terminada experimentalmente a partir da <strong>de</strong>finição da unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> carga<br />
elétrica, o Coulomb. Ela é expressa em termos <strong>de</strong> uma outra constante – a<br />
permissivida<strong>de</strong> elétrica ε<br />
0 - por:<br />
K<br />
e<br />
1<br />
=<br />
4π ε<br />
Por outro lado, a força magnética que atua entre dois fios retilíneos e longos,<br />
percorridos por uma corrente elétrica e separados <strong>de</strong> uma distância R , é dada<br />
pela equação (29.6) ou (29.7):<br />
F = K<br />
m<br />
m<br />
i<br />
A<br />
0<br />
i<br />
B<br />
l<br />
2π R<br />
Ela contém uma constante <strong>de</strong> proporcionalida<strong>de</strong><br />
K<br />
m que também é expressa em<br />
termos <strong>de</strong> uma outra constante –a permissivida<strong>de</strong> magnética µ<br />
0 - por:<br />
K m<br />
µ<br />
0<br />
=<br />
4π<br />
A equação (29.10) nos mostra que µ<br />
0 e ε<br />
0 estão relacionados <strong>de</strong> uma maneira<br />
bem <strong>de</strong>finida; assim , o valor <strong>de</strong> uma das constantes <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> do valor da outra. A<br />
razão disso é que ambas se referem a uma só gran<strong>de</strong>za fundamental – a carga<br />
elétrica – já que a corrente elétrica é carga/tempo. Portanto, ao escolher o ampère<br />
como a quarta unida<strong>de</strong> fundamental do SI (além do quilograma, metro e<br />
segundo), a Conferência Geral <strong>de</strong> Pesos e Medidas <strong>de</strong> 1960 adotou, por<br />
<strong>de</strong>finição, que o valor <strong>de</strong><br />
K<br />
m <strong>de</strong>ve ser:<br />
K m<br />
=<br />
−7<br />
2<br />
10 c<br />
para que a equação (29-10) forneça o valor:<br />
ε<br />
1<br />
1<br />
12 2<br />
0<br />
= =<br />
= 8,854 × 10 C /<br />
2<br />
−7<br />
2<br />
µ<br />
0<br />
c 4π<br />
× 10 c<br />
N m<br />
2<br />
medido experimentalmente.<br />
Dessa forma, a equação (29.6) ou a equação (29.7) po<strong>de</strong> ser usada para <strong>de</strong>finir o<br />
ampère como unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> corrente elétrica que, percorrendo dois condutores<br />
421<br />
422
paralelos separados por uma distância <strong>de</strong> um metro, resulta em uma força<br />
−7<br />
(atrativa ou repulsiva) entre eles valendo 2,0 × 10 N/m <strong>de</strong> cada condutor. Dessa<br />
<strong>de</strong>finição <strong>de</strong> Ampère <strong>de</strong>corre, então, a <strong>de</strong>finição do Coulomb (unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> carga<br />
elétrica), como sendo a carga elétrica que flui por unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> área e tempo um<br />
condutor que possui uma corrente <strong>de</strong> um ampère.<br />
O campo magnético no centro do circuito é a soma dos campos gerados pelos<br />
quatro fios que fazem o circuito. Pela regra da mão direita, vemos que estes<br />
campos, no ponto P, são perpendiculares ao plano do circuito e têm sentido para<br />
fora do papel. O campo gerado por um fio <strong>de</strong> comprimento L, à distância r do fio é<br />
dado no Exemplo 29.1:<br />
RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS<br />
ATIVIDADE 29.1<br />
No caso do ponto Q, simétrico a P em telação ao fio, temos, da Figura 29.3:<br />
s<br />
dl<br />
dx iˆ<br />
r<br />
P<br />
= 0iˆ<br />
y ˆ<br />
r<br />
= ′<br />
−<br />
P<br />
j<br />
'= x′<br />
iˆ<br />
(lembre que<br />
Então:<br />
Então:<br />
r ' é o vetor-posição <strong>de</strong> dl<br />
r no sistema <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas escolhido).<br />
r − r ' = −x′<br />
iˆ<br />
− y<br />
P<br />
r r r<br />
dl<br />
× ( −<br />
') = dx′<br />
iˆ<br />
× [( −x′<br />
) iˆ<br />
− y ˆ] j = −y<br />
dx′<br />
kˆ<br />
P<br />
on<strong>de</strong> o unitário kˆ tem a direção perpendicular à folha <strong>de</strong> papel e o sentido para<br />
fora <strong>de</strong>la. Portanto:<br />
r<br />
dB<br />
P<br />
ˆj<br />
µ i y dx′<br />
0<br />
P<br />
−<br />
4 π<br />
2 2<br />
[( x′<br />
) + y ]<br />
= 3/2<br />
P<br />
tem sentido para <strong>de</strong>ntro da página. O resto do cálculo é o mesmo, apenas trocando<br />
o sinal da integral, o que dá, finalmente:<br />
r i L<br />
B = µ<br />
0<br />
− kˆ<br />
2 π y<br />
2 2 1/<br />
P [ L + 4yP<br />
]<br />
2<br />
P<br />
kˆ<br />
P<br />
r<br />
B<br />
µ<br />
0<br />
i<br />
2π<br />
r<br />
L<br />
= 1/ 2<br />
2 2<br />
[ L + 4r<br />
]<br />
em que o vetor unitário kˆ tem o sentido saindo da folha <strong>de</strong> papel.<br />
Os campos magnéticos gerados pelos fios <strong>de</strong> comprimento a são iguais pois o<br />
ponto P está eqüidistante <strong>de</strong>les. A distância entre P e eles vale b / 2. Então, para<br />
esses dois fios, temos:<br />
P<br />
kˆ<br />
B µ<br />
0<br />
i a 2µ<br />
0<br />
i<br />
= 2<br />
=<br />
a<br />
2π<br />
b/<br />
2<br />
+<br />
2 2 2<br />
2 2<br />
[ a + 4b<br />
/ 4] 1/ π b [ a b ] 1/ 2<br />
Analogamente, para os fios <strong>de</strong> comprimento b , temos:<br />
A indução magnética total será:<br />
B=<br />
B<br />
ou, ainda:<br />
+ B<br />
i<br />
B µ<br />
0 b 2µ<br />
0<br />
= 2<br />
=<br />
b<br />
2π<br />
a / 2<br />
+<br />
2 2 2<br />
2 2<br />
[ b + 4a<br />
/ 4] 1/ π a [ a b ] 1/ 2<br />
2µ<br />
0<br />
i a 2µ<br />
0<br />
i b 2µ<br />
0<br />
i<br />
=<br />
+<br />
=<br />
π b<br />
2 2 1/ 2<br />
1/ 2<br />
[ a + b ] π a<br />
2 2<br />
2 2<br />
[ a + b ] π [ a + b ]<br />
a b<br />
1/ 2<br />
B=<br />
π<br />
2 µ i<br />
2<br />
⎛ a + b<br />
⎜<br />
2<br />
⎞ 2 µ<br />
0<br />
i ⎛ ( a + b<br />
⎟ = ⎜<br />
2<br />
2 1/ 2<br />
0 )<br />
⎟<br />
[ ] 2 2 ⎜ ⎟ ⎜<br />
a + b<br />
1/ 2<br />
⎝ ab ⎠ π ⎝ ab ⎠<br />
i<br />
a<br />
b<br />
⎞<br />
⎛ a b ⎞<br />
⎜ + ⎟<br />
⎝ b a ⎠<br />
ATIVIDADE 29.2<br />
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO<br />
E29.1) Um pequeno elemento <strong>de</strong> corrente<br />
centrado na origem. Encontre o campo magnético<br />
Idl<br />
r com<br />
r<br />
dl<br />
= 2mmkˆ<br />
e<br />
I = 2A<br />
está<br />
dB<br />
r nos seguintes pontos: sobre<br />
o eixo x (a) em x= 3 m, (b) em x= -6 m, sobre o eixo z (c) em z= 3m e sobre o<br />
eixo y (d) em y= 3 m.<br />
Figura 29.29: Circuito percorrido por corrente estacionária<br />
423<br />
E29.2) Dois fios longos retos paralelos distando 8,6 cm transportando correntes <strong>de</strong><br />
424
mesmo módulo I. Os fios paralelos repelem-se mutuamente com uma força por<br />
unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> comprimento <strong>de</strong> 3,6 nN/m. (a) As correntes são paralelas ou<br />
antiparalelas? (b) Encontre I.<br />
E29.3) Um fio infinitamente longo e isolado está ao longo do eixo x e transporta<br />
uma corrente I na direção positiva do eixo x. Um outro fio infinitamente longo e<br />
isolado está ao longo do eixo y e transporta uma corrente I na direção y positiva.<br />
On<strong>de</strong> no plano xy o campo magnético resultante é nulo?<br />
E29.4) A corrente no fio mostrado na figura 29.9 é <strong>de</strong> 8 A. Encontre B r no ponto P<br />
<strong>de</strong>vido a cada segmento <strong>de</strong> fio e some-os para encontrar o B r resultante.<br />
Figura 29.9: corrente no fio do exercício 29.4<br />
425
AULA 30: CAMPO MAGNÉTICO EM SOLENÓIDES<br />
OBJETIVO<br />
• CALCULAR O CAMPO MAGNÉTICO GERADO POR UM SOLENÓIDE.<br />
• APLICAR A REGRA DA MÃO DIREITA PARA DEFINIR A DIREÇAO DO VETOR INDUÇÃO<br />
MAGNÉTICA GERADO POR UMA ESPIRA E DENTRO DE UM SOLENÓIDE<br />
30.1 CAMPO MAGNÉTICO GERADO POR UMA ESPIRA<br />
Nesta aula estudaremos as proprieda<strong>de</strong>s do campo magnético gerado por um<br />
solenói<strong>de</strong>, que é simplesmente um fio enrolado em espiras (Figura 30.1) <strong>de</strong> forma<br />
tal que seu comprimento seja muito maior que seu raio.<br />
Figura 30.1: Um solenoi<strong>de</strong>.<br />
Vamos começar estudando as características da indução magnética gerada por<br />
uma espira, que é a configuração básica <strong>de</strong> um solenói<strong>de</strong>. Vamos aplicar a lei <strong>de</strong><br />
Biot-Savart a uma espira circular <strong>de</strong> raio R, percorrida por uma corrente elétrica i ,<br />
em um ponto P no seu eixo <strong>de</strong> simetria (Figura 30.2).<br />
Aqui, o circuito que mantém a corrente estacionária i na espira não é<br />
mostrado pois estamos interessados <strong>de</strong> fato, apenas no campo produzido pela<br />
espira.<br />
elemento<br />
Seja um sistema <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas com origem no centro da espira. Um<br />
dl<br />
r da espira, localizado com relação à origem pelo vetor<br />
campo magnético <strong>de</strong> indução<br />
centro da espira ( r P<br />
) dada por:<br />
ao eixo<br />
r ' , gera um<br />
dB<br />
r no ponto P <strong>de</strong> vetor posição ( r P<br />
) relativo ao<br />
r<br />
dB<br />
r r r<br />
µ<br />
0i<br />
dl × (<br />
−<br />
')<br />
r<br />
P r .<br />
4π<br />
|<br />
−<br />
'|<br />
=<br />
3<br />
P<br />
Devido à simetria circular do problema no plano xy e também com relação<br />
cilíndricas. Temos:<br />
z (simetria axial) será conveniente trabalharmos em coor<strong>de</strong>nadas<br />
r<br />
P<br />
= z<br />
P<br />
kˆ<br />
r<br />
′ = x′<br />
iˆ<br />
+ y′<br />
ˆj<br />
+ 0kˆ<br />
≡ Rcosθ<br />
iˆ<br />
+ R senθ<br />
ˆj<br />
+ 0 kˆ<br />
( r − r ') = z kˆ<br />
− Rcosθ iˆ<br />
− R sinθ<br />
ˆj<br />
r P<br />
P<br />
2 2<br />
| r<br />
s<br />
'|= z R .<br />
P<br />
− r<br />
P<br />
+<br />
r r r<br />
Precisamos calcular o produto vetorial dl<br />
× ( P<br />
− r' ) e, para isso,<br />
escrevemos dl<br />
r<br />
= R dθ ˆ θ , em que θˆ um vetor unitário que é tangente ao círculo da<br />
espira, <strong>de</strong> mesmo sentido que a corrente elétrica circulando por ela. A Figura 30.3<br />
mostra a espira, o unitário θˆ e suas componentes segundo o sistema Oxyz .<br />
Figura 30.2: Campo Magnético <strong>de</strong> uma espira circular.<br />
Figura 30.3: Unitário tangente ao circulo da espira e suas componentes no sistema Oxyz.<br />
426<br />
427
Ele está no plano xy da espira e, portanto, suas componentes no sistema<br />
r<br />
= r 2π<br />
R µ [ ˆ ˆ<br />
0<br />
i zP<br />
cosθ<br />
i + zP<br />
senθ<br />
j + R kˆ]<br />
B ∫ dB =<br />
dθ.<br />
espira ∫0<br />
2 2<br />
4π<br />
( z + R )<br />
3/2<br />
P<br />
Oxyz são:<br />
As integrações angulares sobre θ são elementares pois R e<br />
zP<br />
são<br />
ˆ θ = −senθ<br />
iˆ<br />
+ cosθ<br />
ˆ. j<br />
constantes. Vale a pena chamar a atenção que as componentes segundo î e ĵ do<br />
campo magnético se anulam <strong>de</strong>vido à simetria axial do problema.<br />
Assim:<br />
r r r<br />
dl<br />
× ( −<br />
') = ( R dθ<br />
) ˆ θ × ( z kˆ<br />
− R cosθ<br />
iˆ<br />
− R senθ<br />
ˆ). j<br />
P<br />
P<br />
ATIVIDADE 30.1<br />
Verifique que as componentes <strong>de</strong> B r segundo os eixos Ox e Oy se anulam.<br />
Usando a equação para θˆ obtemos:<br />
r r r<br />
dl<br />
× ( −<br />
') = ( Rdθ<br />
)( −senθ<br />
iˆ<br />
+ cosθ<br />
ˆ) j × ( z kˆ<br />
− Rcosθ<br />
iˆ<br />
− R senθ<br />
ˆ) j<br />
P<br />
P<br />
Assim, para a componente segundo kˆ , temos:<br />
ou, <strong>de</strong>senvolvendo o produto vetorial e consi<strong>de</strong>rando que i ˆ × iˆ<br />
= ˆj<br />
× ˆj<br />
= 0 vem:<br />
2<br />
[ ˆ<br />
2<br />
− z senθ<br />
(ˆ i × kˆ)<br />
+ R sen θ (ˆ i × ˆ) j + z cosθ<br />
( j × kˆ)<br />
− Rcos<br />
( ˆj<br />
iˆ)<br />
]<br />
r r r<br />
dl<br />
× (<br />
P<br />
−<br />
')<br />
= ( R dθ<br />
)<br />
P<br />
P<br />
θ ×<br />
ou, ainda:<br />
r r r<br />
dl<br />
× (<br />
−<br />
'<br />
P<br />
) = (<br />
[ z sen ˆ<br />
2<br />
j R sen kˆ<br />
z iˆ<br />
2<br />
θ + θ + cosθ<br />
R cos θ kˆ<br />
]<br />
R dθ )<br />
+<br />
P<br />
P<br />
ou:<br />
r<br />
2<br />
= µ 2π<br />
0<br />
i R kˆ<br />
B<br />
+<br />
∫ θ<br />
2 2 3/2<br />
4π<br />
( z R )<br />
d<br />
0<br />
P<br />
r<br />
2<br />
0<br />
i R r<br />
B = µ k.<br />
(30.1)<br />
2 2 3/2<br />
2 ( z + R )<br />
P<br />
Se o ponto P está situado exatamente no centro da espira, z<br />
P<br />
= 0 e:<br />
o que dá:<br />
<strong>de</strong> modo que:<br />
e:<br />
r r r<br />
dl<br />
× ( −<br />
') = R dθ<br />
[ z cosθ<br />
iˆ<br />
+ z senθ<br />
ˆj<br />
R kˆ]<br />
P P<br />
P<br />
+<br />
r µ<br />
0i<br />
[ z<br />
dB = R dθ<br />
4π<br />
P<br />
cosθ<br />
iˆ<br />
+ z ˆ<br />
P<br />
senθ<br />
j + Rkˆ]<br />
2 3/2<br />
( z + R )<br />
2<br />
P<br />
r<br />
B<br />
µ i R<br />
2<br />
kˆ<br />
µ i<br />
= ˆ.<br />
3<br />
R 2R<br />
2<br />
0 0<br />
= k<br />
Então, a indução magnética gerada por uma espira contendo uma<br />
corrente estacionária tem a mesma direção que o eixo da espira. Seu<br />
sentido po<strong>de</strong> ser <strong>de</strong>terminado com a seguinte regra:<br />
Fechamos a mão direita sobre a espira <strong>de</strong> modo que o sentido <strong>de</strong><br />
fechamento coincida com o sentido da corrente na espira. O vetor indução<br />
magnética é perpendicular ao plano da espira com sentido dado pelo<br />
polegar, como motrado na Figura 30.4.<br />
428<br />
429
EXEMPLO 30.2<br />
Suponha que tivéssemos duas espiras separadas por uma distância d, com<br />
correntes <strong>de</strong> mesmos sentidos, <strong>de</strong> intensida<strong>de</strong> i .<br />
(a) Qual seria a indução magnética num ponto sob o eixo <strong>de</strong> simetria das espiras a<br />
meia distância uma da outra?<br />
(b) Qual seria a indução magnética no ponto Q, situado à distância d <strong>de</strong> P?<br />
Figura 30.4: Regra da mão direita para espiras com corrente elétrica.<br />
PENSE E RESPONDA 30.1<br />
O campo magnético é uniforme em algum lugar em uma espira com corrente?<br />
EXEMPLO 30.1<br />
Consi<strong>de</strong>re um ponto a uma distância muito gran<strong>de</strong><br />
indução magnética neste caso.<br />
z P<br />
>> R da espira. Calcule a<br />
Solução: Neste caso, po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>senvolver o <strong>de</strong>nominador <strong>de</strong> (29-7) em série<br />
binomial, o que dá:<br />
( z<br />
1<br />
+ R<br />
)<br />
3 R<br />
≈ 1−<br />
2<br />
2 2 3/2<br />
2<br />
P<br />
z P<br />
2<br />
Figura 30.5: Espiras paralelas com correntes.<br />
SOLUÇÃO:<br />
Como pensar?<br />
Você tem que manter a mão sempre na mesma posição e no sentido da corrente.<br />
É como se tivesse um ímã no centro da espira e o fato do ímã estar a direita ou a<br />
esquerda, o ímã não se inverte, conforme ilustra a figura 30.6<br />
Então, a equação (29-4) fica:<br />
r<br />
B<br />
µ<br />
0<br />
i R<br />
3<br />
2z<br />
2<br />
2<br />
3 R<br />
(1−<br />
) kˆ<br />
2 z<br />
= 2<br />
P<br />
P<br />
r<br />
2<br />
µ<br />
0i<br />
R µ<br />
0<br />
r<br />
ou: B = k ˆ = µ ( z >> R),<br />
3<br />
3<br />
2 z 2π<br />
P<br />
z P<br />
2<br />
on<strong>de</strong> µ = iπ R é o chamado momento <strong>de</strong> dipolo magnético.<br />
De fato, uma espira tem um momento <strong>de</strong> dipolo magnético associado que está<br />
sempre perpendicular ao plano <strong>de</strong>finido pela área, in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nte do fato <strong>de</strong> a<br />
espira ser circular ou não. Lembre mais uma vez da forma <strong>de</strong> <strong>de</strong>finição da normal,<br />
conforme discutimos em aulas anteriores.<br />
430<br />
Figura 30.6: Analogia da espira com um ímã, mostrando o sentido dos vetores momento<br />
magnético no ponto P.<br />
(a) Como as espiras são idênticas e possuem a mesma corrente, e como o ponto P<br />
está no meio da distância entre elas, a indução magnética <strong>de</strong>vida a cada uma<br />
<strong>de</strong>las em P será a mesma. A regra da mão direita nos dá que esses vetores estão<br />
ao longo do eixo das espiras e dirigidos para o ponto Q. Assim, a indução total<br />
será duas vezes a dada pela equação 30.1, isto é:<br />
431
B =<br />
1<br />
2 (<br />
µ i R<br />
z<br />
1<br />
2<br />
2<br />
4µ<br />
i R<br />
4R<br />
)<br />
2<br />
2<br />
3/ 2 2<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
=<br />
=<br />
=<br />
2 2 3/2<br />
2<br />
3/2<br />
2 2 3/2 2<br />
P<br />
+ R ) ⎛ d<br />
( d + 4R<br />
) ( d +<br />
2<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝ 4<br />
µ i R<br />
+ R<br />
⎟<br />
⎠<br />
1<br />
2<br />
4<br />
µ i R<br />
2 3/2<br />
(b) A distância da espira à esquerda <strong>de</strong> P até o ponto Q é (3d/2). A distância da<br />
espira à direita <strong>de</strong> P até o ponto Q é d/2. Então, se escolhermos o sentido positivo<br />
do eixo Oz, coinci<strong>de</strong>nte com a linha PQ, da esquerda para a direita, teremos:<br />
1. para a espira à esquerda <strong>de</strong> P, 3d / 2<br />
Exemplo 30.3<br />
Uma espira <strong>de</strong> raio a=20 cm é alinhada com um fio <strong>de</strong> comprimento L=2a <strong>de</strong><br />
modo que seu eixo <strong>de</strong> simetria passa pelo ponto médio do fio (Figura 30.7). A<br />
distância entre a espira e o fio é d=3a.<br />
r<br />
B<br />
2<br />
1 µ<br />
0<br />
i R<br />
2 2<br />
2 ( z + R )<br />
z P<br />
= e:<br />
2<br />
3 / 2 2<br />
2<br />
i R<br />
i R<br />
i R<br />
kˆ<br />
1 µ<br />
0<br />
4<br />
kˆ<br />
1 4 µ<br />
0<br />
µ<br />
0<br />
=<br />
=<br />
=<br />
k<br />
2 2<br />
2 2<br />
3/ 2<br />
2 2 3/2<br />
⎛ 9d<br />
2 (9d<br />
+ 4R<br />
) (9d<br />
+ 4R<br />
)<br />
2 ⎞<br />
⎜ + R<br />
4<br />
⎟<br />
⎝ ⎠<br />
= 1<br />
3/2<br />
3/2<br />
P<br />
2. Para a espira à direita <strong>de</strong> P, z P<br />
= d / 2 e:<br />
r<br />
B<br />
2<br />
1 µ<br />
0<br />
i R<br />
2 2<br />
2 ( z + R )<br />
2<br />
i R<br />
kˆ<br />
1 µ<br />
0<br />
=<br />
2 2<br />
⎛ d 2 ⎞<br />
⎜ + R<br />
4<br />
⎟<br />
⎝ ⎠<br />
3/ 2 2<br />
i R<br />
kˆ<br />
1 4 µ<br />
0<br />
=<br />
2 2<br />
2 ( d + 4R<br />
)<br />
2<br />
4µ<br />
0<br />
i R<br />
=<br />
2 2<br />
( d + 4R<br />
)<br />
= 2<br />
3/2<br />
3 / 2<br />
3/2<br />
3/2<br />
P<br />
Como as correntes possuem o mesmo sentido, teremos:<br />
r<br />
B<br />
r r<br />
2<br />
4µ<br />
0<br />
i R<br />
B1<br />
+ B2<br />
=<br />
2 2<br />
(9d<br />
+ 4R<br />
)<br />
2<br />
i R<br />
kˆ<br />
4µ<br />
0<br />
+<br />
2 2<br />
( d + 4R<br />
)<br />
= 3/2<br />
3/2<br />
kˆ<br />
kˆ<br />
ˆ<br />
Figura 30.7: Espira alinhada com fio<br />
Faz-se passar uma corrente i=2,25 Ampère tanto no fio quanto na espira. Calcule<br />
a indução magnética no ponto P, situado sobre o eixo da espira, à distância <strong>de</strong>la.<br />
Solução: Aplicando a regra da mão direita, tanto para a espira quanto para o fio,<br />
observamos que a indução magnética <strong>de</strong>vida à espira está dirigida ao longo do<br />
eixo Oz, no sentido positivo <strong>de</strong>le; a indução magnética <strong>de</strong>vida ao fio está dirigida<br />
ao longo do eixo Ox (perpendicular à folha <strong>de</strong> papel), com sentido do eixo (saindo<br />
da folha). Temos, então, que a indução magnética em P, <strong>de</strong>vida ao fio é:<br />
r<br />
B<br />
µ<br />
0<br />
i<br />
2π<br />
z<br />
L<br />
= fio<br />
2 2 1/<br />
P [ L + 4z<br />
P<br />
]<br />
2<br />
iˆ<br />
ATIVIDADE 30.2<br />
Conforme foi obtido no Exemplo 29.1. Com<br />
L = 2a<br />
e z P<br />
= 2a<br />
, temos:<br />
No Exemplo 30.2, se as correntes tivessem sentidos opostos:<br />
(a) Qual seria a indução magnética num ponto sob o eixo <strong>de</strong> simetria das espiras<br />
a meia distância uma da outra?<br />
(b) Qual seria a indução magnética no ponto Q, situado à distância d <strong>de</strong> P?<br />
r<br />
µ<br />
0<br />
i<br />
2π<br />
(2a)<br />
2a<br />
2 2<br />
[ 4a<br />
+ 4a<br />
]<br />
i<br />
iˆ<br />
µ<br />
=<br />
2π<br />
a<br />
B = 0<br />
fio<br />
1/ 2<br />
1<br />
iˆ<br />
8<br />
A indução magnética <strong>de</strong>vida à espira é, como foi visto no Exemplo 30.1:<br />
r<br />
B<br />
2<br />
µ<br />
0<br />
i a<br />
2 2<br />
2 ( z + a )<br />
= espira<br />
3/2<br />
P<br />
kˆ<br />
432<br />
433
Com<br />
z P<br />
= a vem:<br />
r<br />
B espira<br />
Então, a indução resultante é:<br />
2<br />
µ i a<br />
i<br />
= 0<br />
kˆ<br />
µ<br />
0<br />
=<br />
2 2 3/2<br />
2 ( a + a ) 2a<br />
1<br />
kˆ<br />
8<br />
EXEMPLO 30.4<br />
Um disco <strong>de</strong> raio R homogêneo tem uma carga Q distribuída por sua superfície e<br />
gira com velocida<strong>de</strong> angular ω constante. Suponha que a <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> <strong>de</strong> carga seja<br />
constante ao longo da sua superfície. Calcule a indução magnética em um ponto P<br />
situado a uma altura h acima do eixo do disco.<br />
r r<br />
B = B<br />
fio<br />
r<br />
+ B<br />
espira<br />
µ i<br />
=<br />
2π<br />
a<br />
1 i<br />
iˆ<br />
+<br />
8 2a<br />
0<br />
µ 0<br />
1<br />
kˆ<br />
8<br />
ou:<br />
r<br />
i ⎛ ⎞<br />
B = B iˆ + B kˆ<br />
µ<br />
0<br />
1 1<br />
x y<br />
= ⎜ iˆ<br />
+ kˆ<br />
⎟<br />
2a<br />
8 ⎝π<br />
⎠<br />
O módulo <strong>de</strong> B r é:<br />
B =<br />
B + B<br />
2<br />
x<br />
2<br />
z<br />
µ<br />
0<br />
i<br />
=<br />
2a<br />
1 ⎛ 1 ⎞<br />
⎜ + 1<br />
2<br />
⎟<br />
8 ⎝ π ⎠<br />
1/ 2<br />
Figura 30.8: Disco carregado com carga Q girante.<br />
O vetor B r está localizado no plano xz, fazendo um ângulo θ com o eixo Oz dado<br />
por:<br />
⎛ B<br />
θ = arctg<br />
⎜<br />
⎝ B<br />
Aplicando os valores numéricos, temos:<br />
x<br />
z<br />
⎞ ⎛ 1 ⎞<br />
⎟ = arctg ⎜ ⎟<br />
⎠ ⎝ π ⎠<br />
−7<br />
( 4π<br />
× 10 T.<br />
m / A)<br />
× 2,25 A<br />
−<br />
B =<br />
× 0,101 + 1 = 2,62 × 10<br />
2 × 0,20 m × 8<br />
θ = arctg( 0,318) = 17º,6<br />
PENSE E RESPONDA 30.2<br />
Desenhe o vetor indução magnética na figura 30.7<br />
6<br />
T<br />
Solução: Po<strong>de</strong>mos consi<strong>de</strong>rar o disco como uma superposição <strong>de</strong>nsa <strong>de</strong> espiras<br />
<strong>de</strong> espessura<br />
d r′ , cada qual com uma corrente i .<br />
Vamos calcular a "corrente" associada a uma "espira" <strong>de</strong> espessura<br />
disco:<br />
Q dQ<br />
2 =<br />
πR<br />
dA<br />
d r′ sobre o<br />
on<strong>de</strong> dA = r′<br />
dr′<br />
dθ<br />
, Q é a carga contida na espira. Como a corrente elétrica é:<br />
vem:<br />
E, como<br />
dθ<br />
ω = :<br />
dt<br />
dQ<br />
i =<br />
dt<br />
dQ r′<br />
dr′<br />
dθ<br />
Q<br />
=<br />
2<br />
dt π R dt<br />
Q<br />
i = r′<br />
dr′ω<br />
π R<br />
Agora po<strong>de</strong>mos usar a lei <strong>de</strong> Biot e Savart. Para uma espira, lembremos <strong>de</strong> 30.1<br />
que:<br />
2<br />
434<br />
435
B<br />
µ<br />
0i<br />
2 ( z<br />
2<br />
r′<br />
2<br />
+ r′<br />
)<br />
=<br />
2 3/2<br />
P<br />
kˆ<br />
Como<br />
z P<br />
= h , temos que:<br />
r<br />
B<br />
2<br />
µ<br />
0i<br />
r´<br />
2 2<br />
2 ( h + r´<br />
)<br />
=<br />
3/2<br />
kˆ<br />
Figura 30.9: Campo magnético <strong>de</strong> um solenói<strong>de</strong>.<br />
Logo esta espira contribui como um dB para o campo do disco:<br />
r<br />
dB<br />
2<br />
µ<br />
0 Qω<br />
r′<br />
r′<br />
dr′<br />
2<br />
2 2<br />
2 π R ( h + r′<br />
)<br />
= 3/2<br />
kˆ<br />
A figura 30.10 mostra um corte perpendicular às espiras por um plano<br />
paralelo a esta folha <strong>de</strong> papel.<br />
Integrando <strong>de</strong> r ′ = 0 até r ′ = R , obtemos<br />
r<br />
B<br />
3<br />
µ<br />
0<br />
Qω<br />
r′<br />
2 2 2<br />
2π<br />
R ( h + r′<br />
)<br />
=<br />
R<br />
disco ∫0<br />
3/2<br />
dr′<br />
kˆ<br />
ou:<br />
r<br />
B disco<br />
2 2<br />
µ<br />
0<br />
Qω<br />
⎛ R + 2h<br />
⎞<br />
= ⎜ 2⎟<br />
kˆ<br />
2<br />
2 R<br />
−<br />
π<br />
2 2<br />
⎝ h + R ⎠<br />
ATIVIDADE 30.3<br />
No Exemplo 30.4, qual é a indução magnética no centro da espira?<br />
Figura 30.10: Campo magnético nas espiras <strong>de</strong> um solenói<strong>de</strong>.<br />
Os círculos com o X são as interseções das espiras com a corrente<br />
entrando no papel (parte superior da espiras na Figura 30.9); os círculos<br />
com os pontos, são as interseções das espiras com a corrente saindo do<br />
papel (parte inferior das espiras na Figura 30.9).<br />
30.2 DESCRIÇÃO DO CAMPO MAGNÉTICO GERADO POR UM<br />
SOLENÓIDE<br />
A Figura 30.9 mostra as linhas <strong>de</strong> força da indução magnética gerada por<br />
uma corrente que percorre um solenói<strong>de</strong>. Ela é a soma vetorial das induções<br />
magnéticas geradas por cada uma das espiras que o constituem.<br />
As linhas com setas são as linhas da indução magnética gerada<br />
pelo fio das espiras. Po<strong>de</strong>mos ver que existe um cancelamento da indução<br />
magnética entre as porções dos fios adjacentes das espiras, ao passo que<br />
ao longo do solenói<strong>de</strong>, acontece uma superposição construtiva <strong>de</strong> linhas <strong>de</strong><br />
força, produzindo uma indução magnética que é aproximadamente<br />
uniforme e cilíndrica.<br />
PENSE E RESPONDA 30.3<br />
O campo magnético é nulo para pontos no exterior <strong>de</strong> um solenói<strong>de</strong>?<br />
436<br />
437
Vamos calcular a indução magnética em um ponto P do eixo <strong>de</strong> simetria e no<br />
interior <strong>de</strong> um solenói<strong>de</strong> constituido por espiras circulares <strong>de</strong> raio a e comprimento<br />
L. A figura 30.11 mostra a geometria do problema:<br />
O resultado <strong>de</strong>ssa integral é obtido com a mudança <strong>de</strong> variável<br />
ou por consulta em uma tabela <strong>de</strong> integrais. Temos, então:<br />
z = a tgθ<br />
z2<br />
r µ<br />
0<br />
i N 2 1 z µ<br />
0<br />
i N ⎡ z2<br />
z1<br />
B = a<br />
= ⎢ −<br />
2<br />
2 L a<br />
2 2<br />
2 L<br />
2 2 2 2<br />
z + a<br />
⎢<br />
z<br />
z<br />
1 ⎣ 2<br />
+ a z1<br />
+ a<br />
⎤ r<br />
⎥ k.<br />
⎥<br />
⎦<br />
fazer<br />
Como o solenói<strong>de</strong> tem um comprimento muito maior que seu raio, po<strong>de</strong>mos<br />
z → + ∞ e z → −∞<br />
, obtendo, então:<br />
2<br />
1<br />
Figura 30.11: Geometria para calcular a indução magnética no eixo do solenói<strong>de</strong>.<br />
r µ<br />
0<br />
i N<br />
B = = µ<br />
0<br />
n i kˆ.<br />
L<br />
(30.2)<br />
De acordo com a equação (30.1), a indução magnética no ponto P do eixo<br />
do solenói<strong>de</strong>, gerado por uma espira situada à distância z do ponto P é, na notação<br />
da figura 30.10 (não <strong>de</strong>ixe <strong>de</strong> comparar esta figura com a figura 30.2 e compare<br />
também esta equação com a equação 30.1):<br />
A importância do solenói<strong>de</strong> está no fato <strong>de</strong> po<strong>de</strong>rmos obter induções<br />
magnéticas bastante uniformes em regiões próximas a seu centro.<br />
r<br />
dB<br />
2<br />
µ<br />
0<br />
i a<br />
2 2<br />
2 ( z + a )<br />
= 3/2<br />
kˆ<br />
Suponhamos que o solenói<strong>de</strong> tenha N espiras no seu comprimento L. Então,<br />
o número <strong>de</strong> espiras por unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> comprimento é n = N L e o número <strong>de</strong> espiras<br />
no elemento <strong>de</strong> comprimento dz é ndz = ( N L)dz<br />
. A indução magnética no ponto<br />
P do eixo do solenói<strong>de</strong>, gerada pelas espiras contidas em dz, é:<br />
r<br />
dB<br />
2<br />
⎡ µ<br />
0<br />
i a<br />
⎢ 2 2<br />
⎣2(<br />
z + a )<br />
⎤ N ˆ µ<br />
0<br />
i N<br />
⎥ dz k =<br />
⎦ L 2 L ( z<br />
2<br />
a<br />
2<br />
+ a )<br />
= 3/2<br />
2 3/2<br />
dz kˆ.<br />
A indução <strong>de</strong>vida a todas as espiras é a integral <strong>de</strong>ssa expressão sobre todo<br />
o comprimento do solenói<strong>de</strong>. Então:<br />
r<br />
0<br />
i N<br />
B =<br />
µ a<br />
2 L<br />
2<br />
z2<br />
dz<br />
∫ z 2 2<br />
1 ( z + a )<br />
3/2<br />
kˆ.<br />
438<br />
439
RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS<br />
ATIVIDADE 30.1<br />
A componente <strong>de</strong> B r segundo o eixo Ox é:<br />
ou:<br />
r<br />
B<br />
x<br />
A componente segundo Oy é:<br />
r<br />
B<br />
y<br />
=<br />
=<br />
Ou:<br />
ATIVIDADE 30.2<br />
µ i 2π<br />
z cosθ<br />
dθ<br />
µ i R z<br />
2π<br />
∫<br />
0<br />
cosθ<br />
dθ<br />
π 0 2<br />
4<br />
P<br />
0<br />
P<br />
=<br />
2 2 3/<br />
2<br />
[ ] [ ] ∫<br />
+ 4π<br />
2 2 0<br />
z R<br />
z + R<br />
3/<br />
P<br />
r µ i R<br />
Bx<br />
=<br />
4π<br />
z<br />
0 P<br />
2π<br />
sen θ =<br />
2 2 3/ 2 0<br />
[ z<br />
P<br />
+ R ]<br />
µ 2π<br />
θ θ µ<br />
2π<br />
0<br />
i z<br />
P<br />
cos d<br />
0<br />
i R z<br />
P<br />
∫<br />
=<br />
2<br />
π 0 3/ 2<br />
4<br />
2 2<br />
[ ] [ ] ∫<br />
+ 4π<br />
2 2 0<br />
z R<br />
z + R<br />
3/<br />
P<br />
P<br />
r µ<br />
0<br />
i R zP<br />
2π<br />
By<br />
=<br />
− cosθ<br />
= 0<br />
3/ 2<br />
0<br />
4π<br />
2 2<br />
[ z + R ]<br />
P<br />
P<br />
0<br />
senθ<br />
dθ<br />
(a) Se as correntes tiverem sentidos opostos, o sentido dos vetores B serão<br />
opostos e, como eles são iguais em módulo, a indução resultante seria nula.<br />
E30.1) Uma espira <strong>de</strong> um fio com raio <strong>de</strong> 3 cm transporta uma corrente <strong>de</strong> 2,6 A.<br />
Qual é o módulo <strong>de</strong> B r sobre o eixo da espira em (a) no centro da espira, (b) 1 cm a<br />
partir do centro, (c) 2 cm a partir do centro e (d) 35 cm a partir do centro?<br />
E30.2) Encontra a corrente em uma espira circular com raio <strong>de</strong> 8 cm que irá<br />
fornecer um campo magnético <strong>de</strong> 2 G no centro da espira.<br />
r µ i<br />
E30.3) Mostre que a equação 30.1 reduz-se a B = 0<br />
kˆ<br />
no centro da espira.<br />
2R<br />
E30.4) Um enrolamento circular com raio <strong>de</strong> 5,0 cm possui 12 voltas, encontra-se<br />
em repouso no plano x e está centrado na origem. Ele transporta uma corrente <strong>de</strong><br />
4 A, <strong>de</strong> tal modo que a direção do momento magnético do enrolamento está ao<br />
longo do eixo x. Encontre o campo magnético sobre o eixo x em (a) x=0, (b) x=15<br />
cm e (c) x= 3 m.<br />
E30.5) Um solenói<strong>de</strong> com 30 cm <strong>de</strong> comprimento, raio <strong>de</strong> 12 cm e 300 voltas<br />
transporta uma corrente <strong>de</strong> 2,6 A. Encontre B r sobre o eixo do solenói<strong>de</strong> (a) no<br />
centro, (b) <strong>de</strong>ntro do solenói<strong>de</strong> a um ponto situado a 10 cm <strong>de</strong> uma extremida<strong>de</strong>.<br />
E30.6) Um solenói<strong>de</strong> com o comprimento <strong>de</strong> 2,7 m possui raio <strong>de</strong> 0,85 cm e 600<br />
voltas. Ele transporta uma corrente I <strong>de</strong> 2,5 A. Qual é o campo magnético<br />
aproximado sobre o eixo do solenói<strong>de</strong>?<br />
(b) No caso <strong>de</strong> correntes com sentidos opostos, teremos:<br />
ATIVIDADE 30.3<br />
r<br />
B<br />
r r<br />
2<br />
4 µ<br />
0<br />
i R<br />
B1<br />
+ B2<br />
=<br />
2 2<br />
(9d<br />
+ 4R<br />
)<br />
2<br />
i R<br />
kˆ<br />
4 µ<br />
0<br />
−<br />
2 2<br />
( d + 4R<br />
)<br />
= 3/2<br />
3/2<br />
kˆ<br />
r µ Qω<br />
r<br />
No centro do disco ( h → 0) , temos: B = 0 k<br />
2π<br />
R<br />
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO<br />
440<br />
441
AULA 31 LEI DE AMPÈRE<br />
OBJETIVO<br />
• ENUNCIAR A LEI DE AMPÈRE<br />
• APLICAR A LEI DE AMPÈRE EM PROBLEMAS DE GEOMETRIA SIMPLES<br />
• APLICAR A REGRA DA MÃO DIREITA PARA DEFINIR A CONVENÇÃO DE SINAL DO<br />
CÁLCULO DA CIRCULAÇÃO<br />
• MONTAR E CALCULAR A CIRCULAÇÃO DA INDUÇÃO MAGNÉTICA<br />
Portanto, a lei <strong>de</strong> Ampère relaciona a integral da componente tangencial<br />
do vetor B r ao longo <strong>de</strong> uma curva fechada C que <strong>de</strong>limita uma superfície S, com a<br />
corrente estacionária líquida i que atravessa essa superfície.<br />
A equação (31.1) merece algumas observações importantes:<br />
(a) a integral na equação 31.1 é uma integral <strong>de</strong> linha e, portanto, <strong>de</strong>ve ser<br />
calculada sobre a curva (fechada) C (por isso, o círculo sobre o símbolo da<br />
integral). A integral é <strong>de</strong>nominada circulação do vetor B r . O integrando é<br />
31.1 A LEI DE AMPÈRE<br />
O cálculo da indução magnética gerada em um ponto P do espaço por uma<br />
corrente elétrica é feito, como vimos, pela lei <strong>de</strong> Biot-Savart. Ele envolve uma<br />
integral que po<strong>de</strong> ser complicada em muitos casos. Por outro lado, este cálculo<br />
po<strong>de</strong> ser simplificado quando tratamos com sistemas com alto grau <strong>de</strong> simetria,<br />
graças à lei <strong>de</strong> Ampère.<br />
A lei <strong>de</strong> Ampère <strong>de</strong>corre <strong>de</strong> dois fatos experimentais:<br />
1) Como não há pólos magnéticos isolados na Natureza, as linhas <strong>de</strong><br />
força do campo magnético são linhas fechadas;<br />
2) A integral da indução magnética B r , gerada por uma corrente<br />
estacionária i , ao longo <strong>de</strong> uma linha <strong>de</strong> força do campo magnético,<br />
é proporcional à corrente elétrica que atravessa a superfície limitada<br />
por esta linha <strong>de</strong> força.<br />
Este último resultado po<strong>de</strong> ser generalizado para qualquer curva fechada C e<br />
uma corrente estacionária que atravesse a superfície limitada por esta curva.<br />
Matematicamente, po<strong>de</strong>mos escrever a lei <strong>de</strong> Ampère:<br />
em que<br />
<strong>de</strong>la.<br />
r r<br />
∫ B • dl = µ 0<br />
i,<br />
(31.1)<br />
C<br />
dl<br />
r é o vetor <strong>de</strong>slocamento tangente à curva fechada C em qualquer ponto<br />
442<br />
a componente do vetor B r na direção da tangente à curva C em qualquer<br />
ponto <strong>de</strong>la;<br />
(b) como há duas maneiras <strong>de</strong> se percorrer uma curva fechada, adota-se<br />
como sentido positivo convencional <strong>de</strong> percurso da curva C, aquele<br />
em que a superfície S, limitada por C, fique sempre à esquerda <strong>de</strong> C.<br />
Para o cálculo da circulação na lei <strong>de</strong> Ampère com essa convenção,<br />
consi<strong>de</strong>ra-se a corrente elétrica com o sentido positivo ou negativo, <strong>de</strong><br />
acordo com a regra da mão direita: colocando os <strong>de</strong>dos da mão direita<br />
no sentido positivo <strong>de</strong> percurso da curva, o <strong>de</strong>do polegar dá o<br />
sentido positivo da corrente elétrica.<br />
(c) se houver mais <strong>de</strong> uma corrente atravessando a superfície <strong>de</strong>limitada pelo<br />
percurso <strong>de</strong> integração, a corrente líquida é a soma algébrica dos valores<br />
das correntes existentes, com o sinal coincidindo com a regra da mão<br />
direita.<br />
A Figura 31.1 mostra uma curva C limitando uma superfície S.<br />
Perpendicularmente a S figuram alguns fios retilíneos cujas correntes elétricas têm<br />
os sentidos indicados. O sentido <strong>de</strong> percurso da curva C também está indicado.<br />
Assim, a lei <strong>de</strong> Ampère, aplicada ao circuito C, nos permite escrever:<br />
PENSE E RESPONDA 31.1<br />
r r<br />
∫ B • dl = µ<br />
0 2 3 4<br />
i<br />
C<br />
( − i − i + i + )<br />
Porque i 1<br />
e i 6 não foram levadas em conta no cálculo da circulação?<br />
5<br />
443
EXEMPLO 31.1<br />
Campo <strong>de</strong> um fio infinito com corrente i<br />
Calcular a indução magnética gerada por um fio infinito, percorrido por uma<br />
corrente estacionária i , em um ponto P situado à distância r do fio.<br />
Solução: De acordo com os passos acima <strong>de</strong>scritos, temos:<br />
Figura 31.1: Circuito envolvendo várias correntes elétricas. . A curva C é chamada <strong>de</strong> circuito<br />
<strong>de</strong> Ampère ou curva amperiana.<br />
(a) A Figura 31.2 mostra as linhas <strong>de</strong> força do campo magnético gerado pelo fio.<br />
Como já havíamos visto, elas são círculos concêntricos com cada ponto do fio<br />
e situadas no plano perpendicular ao fio. Essa é, pois a simetria que<br />
<strong>de</strong>sejávamos.<br />
Sabendo que<br />
ATIVIDADE 31.1<br />
i = 1<br />
6mA<br />
, i = 2<br />
5mA<br />
, i 4mA<br />
3<br />
= , i = 4<br />
3mA<br />
, i 2<br />
5<br />
= mA e<br />
i 1mA<br />
6<br />
=<br />
calcule o valor da circulação do vetor B r para o exemplo da figura 31.1<br />
Essas observações nos dão indicações para operarmos corretamente<br />
com a lei <strong>de</strong> Ampère:<br />
(i) ) primeiramente, <strong>de</strong>vemos observar qual a simetria que a situação física<br />
tem para justificar o uso da lei. Se não houver simetria, é inútil aplicarmos a<br />
lei;<br />
(ii) a simetria <strong>de</strong> que falamos vai se manifestar na possibilida<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
escolhermos uma curva <strong>de</strong> integração a<strong>de</strong>quada para usarmos na integral;<br />
(<strong>iii</strong>) <strong>de</strong>terminamos quais as correntes que atravessam a superfície limitada<br />
pela curva, o sentido da corrente líquida, que <strong>de</strong>ve ser o sentido positivo da<br />
integral.<br />
(d) expressamos o produto escalar do integrando em função <strong>de</strong> um parâmetro<br />
que permita a integração.<br />
Para enten<strong>de</strong>rmos o método acima, vamos fazer como na Lei <strong>de</strong> Gauss,<br />
começando com um exemplo simples.<br />
Figura 31.2: Linhas <strong>de</strong> força do campo magnético gerado pelo fio infinito.<br />
(b) Devido à simetria do campo magnético, para calcular a integral da equação<br />
(31.1) escolhemos como curva <strong>de</strong> integração um círculo <strong>de</strong> raio r , passando pelo<br />
ponto P e perpendicular ao fio, com origem no centro <strong>de</strong>le.<br />
(c) a corrente i é mostrada na Figura. Assim, escolhemos o sentido positivo <strong>de</strong><br />
percurso que, neste caso, coinci<strong>de</strong> com o campo magnético. Com a regra da mão<br />
direita, vemos que a corente elétrica é consi<strong>de</strong>rada positiva.<br />
(d) Como o campo magnético é constante ao longo da trajetória e tangente a ela,<br />
temos:<br />
que dá:<br />
∫<br />
r r<br />
2π<br />
B • dl = B (cos 0) ∫ dl = B × (2π<br />
r)<br />
= µ<br />
0i<br />
C<br />
0<br />
444<br />
445
µ i<br />
B = 0 (31.2)<br />
2π<br />
r<br />
que é o resultado obtido com a lei <strong>de</strong> Biot-Savart, mas <strong>de</strong> modo muito mais fácil.<br />
r<br />
Mas uˆ θ<br />
• dl<br />
é a componente <strong>de</strong> dl<br />
r na direção do vetor unitário ûθ<br />
e vale:<br />
u ˆ • dl<br />
r<br />
= r dθ.<br />
θ<br />
Note que a circulação vale<br />
B2 π r . Entretanto, como a corrente que gera o campo<br />
magnético é constante (consequentemente o segundo membro da lei <strong>de</strong> Ampère<br />
tem que ser constante) o campo magnético tem que <strong>de</strong>cair com r para a circulação<br />
ser constante, in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nte do raio da curva <strong>de</strong> integração.<br />
A escolha da curva <strong>de</strong> integração é semelhante à da superfície <strong>de</strong> Gauss. Ela <strong>de</strong>ve<br />
sempre passar pelo ponto on<strong>de</strong> calculamos a indução magnética.<br />
ou:<br />
Então:<br />
∫<br />
r r<br />
=<br />
µ i 2 µ<br />
0<br />
B • dl r<br />
π dθ<br />
=<br />
i 2<br />
2π<br />
r<br />
∫0<br />
2π<br />
C<br />
∫<br />
0<br />
π<br />
B<br />
r<br />
dl<br />
r<br />
• = µ i, 0<br />
C<br />
,<br />
PENSE E RESPONDA 31.2<br />
A lei <strong>de</strong> Ampère só é válida para correntes estacionárias?<br />
que é a expressão da Lei <strong>de</strong> Ampère. Portanto, a forma da curva não afeta a<br />
aplicação da lei.<br />
Se compararmos a solução do problema dada por este exemplo, com a do<br />
cálculo da indução magnética usando a lei <strong>de</strong> Biot –Savart (Exemplos 29.1 e<br />
29.2),vemos que a simetria do campo magnético ajudou a simplificar a solução.<br />
PENSE E RESPONDA 31.3<br />
Se o módulo do campo magnético situado a uma distância R <strong>de</strong> um fio longo<br />
retilíneo e que carrega uma corrente é B, a que distância do fio o campo terá<br />
módulo equivalente a 3B?<br />
É importante notar que, se escolhermos uma curva arbitrária C envolvendo o<br />
fio, temos (Figura 31.3):<br />
∫<br />
r r r µ i r<br />
0<br />
B • dl = ∫ Buˆ<br />
θ • dl u • dl<br />
C ∫<br />
ˆθ<br />
C<br />
2π<br />
r<br />
C<br />
ATIVIDADE 31.2<br />
A Figura 31.4 mostra quatro fios concêntricos (círculos em negrito) percorridos por<br />
correntes elétricas valendo, respectivamente, i<br />
a<br />
= 8 A saindo do papel, ib<br />
= 10A<br />
entrando no papel, ic<br />
= 3 A entrando no papel e id<br />
= 7 A saindo do papel. Calcule a<br />
circulação da indução magnética em cada circuito circular concêntrico com cada fio<br />
tal que:<br />
Figura 31.3: Lei <strong>de</strong> Ampère e curva arbitrária.<br />
Figura 31.4: Fios concêntricos com correntes elétricas <strong>de</strong> vários sentidos e intensida<strong>de</strong>s<br />
446<br />
447
Então:<br />
(a) compreendido entre os fios a e b;<br />
(b) compreendido entre os fios b e c<br />
(c) compreendido entre os fios c e d<br />
(d) envolvendo todos os fios<br />
(a) Para<br />
a < r < b temos:<br />
∫<br />
r r<br />
B • dl = µ 0<br />
i,<br />
C<br />
EXEMPLO 31.2<br />
ou:<br />
Consi<strong>de</strong>re dois cilindros condutores coaxiais, paralelos a um eixo que tomaremos<br />
como o eixo z (Figura 31.5). O condutor interno tem raio a e carrega uma<br />
corrente i uniformemente distribuída sobre sua área transversal com sentido <strong>de</strong><br />
+ z . O condutor externo tem raio interno b e raio externo c e carrega uma<br />
corrente i uniformemente distribuída sobre sua área transversal com sentido<br />
Encontre o campo magnético nas regiões:<br />
a) a < r < b<br />
b) b < r < c<br />
c) r > c<br />
− z .<br />
∫<br />
r r<br />
2π<br />
B • dl = B (cos 0) ∫ dl = B(2π<br />
r)<br />
= µ<br />
0i<br />
C<br />
e:<br />
µ i<br />
B r<br />
= 0 ˆ. φ<br />
2π<br />
r<br />
(b) b < r < c . Da mesma forma que anteriormente:<br />
∫<br />
C<br />
0<br />
r r<br />
B • dl = µ 0<br />
i'<br />
e:<br />
∫<br />
r r<br />
B • dl = B (2π<br />
r)<br />
C<br />
Figura 31.5: Cilindros condutores coaxiais.<br />
A corrente i’ que atravessa o condutor cilíndrico externo é a diferença entre a<br />
corrente total e a interna ao raio r :<br />
SOLUÇÃO: O problema possui simetria suficiente para usar a lei <strong>de</strong> Ampère. O<br />
circuito <strong>de</strong> integração é um círculo centrado no eixo. O campo magnético é<br />
tangente ao círculo em todos os pontos e po<strong>de</strong> ser escrito como B r<br />
= B(<br />
r)<br />
φˆ em<br />
que φˆ é o unitário da direção tangente ao círculo <strong>de</strong> integração (Figura 31.6).<br />
i´ = −(<br />
i − jA),<br />
on<strong>de</strong> o primeiro termo é a corrente total no cilindro e o segundo, a corrente que<br />
flui na região do cilindro com r>b. O sinal negativo indica que o sentido da<br />
corrente é o <strong>de</strong> –z. A área A é a área do cilindro compreendida entre os raios r e b.<br />
Então:<br />
A = π ( r<br />
2<br />
2<br />
− b ).<br />
Figura 31.6: Unitário φˆ tangente ao circulo <strong>de</strong> integração.<br />
Como a <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> <strong>de</strong> corrente no cilindro é constante, po<strong>de</strong>mos escrever que:<br />
448<br />
449
Portanto:<br />
j<br />
i<br />
i<br />
= .<br />
2<br />
π ( c − b )<br />
=<br />
2<br />
Atotal<br />
a indução magnética escolhemos um circuito <strong>de</strong> integração ABCD (circuito <strong>de</strong><br />
Ampère ou curva amperiana) como mostrado nela, <strong>de</strong> modo tal que envolva<br />
apenas uma espira.<br />
2 2<br />
⎛ iπ<br />
( r − b )<br />
( 2 ) =<br />
0<br />
,<br />
2 2<br />
( ) ⎟ ⎞<br />
B π r µ<br />
⎜−<br />
i +<br />
⎝ π c − b ⎠<br />
ou:<br />
B r<br />
µ i ⎡(<br />
r<br />
⎢<br />
2π<br />
r ⎣(<br />
c<br />
2<br />
− c ) ⎤<br />
⎥<br />
ˆ.<br />
− b ) ⎦<br />
2<br />
=<br />
0<br />
2 2<br />
φ<br />
Figura 31.7: Circuito <strong>de</strong> Ampère.<br />
c) r>c. Neste caso, temos que a corrente total que atravessa a área <strong>de</strong>limitada por<br />
um círculo <strong>de</strong> raio r>b é nula, pois as correntes nos dois cilindros possuem<br />
Temos, que:<br />
∫<br />
ABCD<br />
r<br />
B • r r r r r r<br />
dl = ∫ B • dl + ∫ B • dl + ∫ B • dl + ∫<br />
AB<br />
BC<br />
CD<br />
DA<br />
r r<br />
B • dl .<br />
sentidos contrários. Então: B=0.<br />
ATIVIDADE 31.3<br />
Calcule a indução magnética em um ponto P situado a uma distância r <strong>de</strong> um<br />
cilindro maciço <strong>de</strong> raio R, percorrido por uma corrente elétrica <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong><br />
constante j. Suponha que:<br />
a) rR<br />
O trajeto CD é paralelo ao campo magnético, assim como o AB; porém po<strong>de</strong>mos<br />
colocar o trajeto AB do circuito tão longe quanto queiramos <strong>de</strong> modo que o campo<br />
aí se anula. Nos trajetos BC e DA, o campo é perpendicular ao <strong>de</strong>slocamento e,<br />
portanto, as respectivas integrais são nulas. Assim a única contribuição importante<br />
na lei <strong>de</strong> Ampère é a da integral <strong>de</strong> linha ao longo <strong>de</strong> CD.<br />
∫<br />
ABCD<br />
r r<br />
B • dl = ∫<br />
CD<br />
r<br />
B • dl = Ba,<br />
Vamos ver agora como a lei <strong>de</strong> Ampère nos ajuda em geometrias mais<br />
elaboradas.<br />
EXEMPLO 31.3<br />
Usando a Lei <strong>de</strong> Ampère, calcule a indução magnética no interior <strong>de</strong> um solenói<strong>de</strong><br />
muito longo formado por n espiras por unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> comprimento e percorrido por<br />
uma corrente i .<br />
on<strong>de</strong> a é o comprimento do circuito CD. Pela Lei <strong>de</strong> Ampère:<br />
Ba = µ 0<br />
i',<br />
on<strong>de</strong> i ' é a corrente na região envolvida pelo circuito <strong>de</strong> Ampère e que, portanto,<br />
percorre uma espira do solenói<strong>de</strong>. Então:<br />
i'<br />
B = µ 0 .<br />
a<br />
SOLUÇÃO: Como vimos anteriormente, um solenói<strong>de</strong> muito longo possui um<br />
campo magnético praticamente homogêneo no seu interior, com linhas <strong>de</strong> campo<br />
paralelas ao seu eixo. A Figura 31.7 mostra uma seção do solenói<strong>de</strong>. Para calcular<br />
450<br />
A corrente total i é:<br />
i = nai'<br />
sendo n<br />
comprimento no solenói<strong>de</strong>. Então:<br />
o número <strong>de</strong> espiras por unida<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
451
ou, vetorialmente, com<br />
µ<br />
0<br />
n ai<br />
B = = µ<br />
0<br />
ni,<br />
a<br />
ûx<br />
sendo o unitário do eixo Ox:<br />
r<br />
B −µ<br />
niuˆ<br />
.<br />
=<br />
0 x<br />
Seja um circuito <strong>de</strong> Ampère circular <strong>de</strong> raio r , mostrada na figura 31.9 como uma<br />
linha pontilhada. Se i 0 é a corrente em uma espira, a corrente total compreendida<br />
na região limitada pela linha pontilhada é o produto do número <strong>de</strong> espiras pela<br />
corrente em cada espira, tal que i = N i0<br />
. Então, como as linhas <strong>de</strong> indução<br />
magnética circulam <strong>de</strong>ntro do torói<strong>de</strong>:<br />
∫ Γ<br />
r r<br />
B • dl = µ µ N i<br />
0<br />
i =<br />
0<br />
0<br />
EXEMPLO 31.4<br />
Campo magnético gerado por um torói<strong>de</strong><br />
Consi<strong>de</strong>re um solenói<strong>de</strong>, parecido com o do exercício anterior, <strong>de</strong> tamanho C e<br />
que o torçamos unindo suas extremida<strong>de</strong>s até formar um torói<strong>de</strong> (Figura 31.8).<br />
Usando a Lei <strong>de</strong> Ampère, calcule seu campo magnético.<br />
ou:<br />
B ( 2π r)<br />
= µ<br />
0<br />
N i0.<br />
Mas o torói<strong>de</strong> está limitado pelos raios interno a e externo b. Então, para a
condutor na parte da reta que une o centro dos dois cilindros.<br />
que dá:<br />
2<br />
B i<br />
2π<br />
r = −µ<br />
0<br />
J π a . ( a < r < b)<br />
2) a do cilindro maior:<br />
B e<br />
2π<br />
r = µ J π r<br />
0<br />
2<br />
que dá o campo resultante:<br />
2<br />
µ J ( r<br />
Br<br />
= Be<br />
+ Bi<br />
=<br />
2 r<br />
0<br />
−<br />
2<br />
a )<br />
Figura 31.10: Cilindro condutor com cavida<strong>de</strong> não concêntrica.<br />
SOLUÇÃO: A <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> superficial <strong>de</strong> corrente é relacionada com a corrente<br />
elétrica por:<br />
r<br />
di = J • nˆ<br />
dA.<br />
Então, para uma <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> <strong>de</strong> corrente constante atravessando uma área circular<br />
2<br />
A = π R :<br />
Calcule a indução magnética para<br />
ATIVIDADE 31.4<br />
r > b no exemplo 31.5<br />
PENSE E RESPONDA 31.4<br />
Quais são as vantagens e <strong>de</strong>svantagens relativas da lei <strong>de</strong> Biot e Savart e da lei <strong>de</strong><br />
Ampère para os cálculos práticos <strong>de</strong> campo magnético?<br />
r I<br />
= ˆ I<br />
J k = k ˆ.<br />
2<br />
A π R<br />
Para resolver o problema é essencial que raciocinemos da maneira que se segue,<br />
uma vez que a quebra <strong>de</strong> simetria introduzida pela cavida<strong>de</strong> cilíndrica feita no<br />
cilindro maciço, faz com que a Lei <strong>de</strong> Ampère não possa ser aplicada<br />
imediatamente, pois não há curva ampereana simples que explore a simetria do<br />
campo magnético<br />
Suponhamos que tivéssemos um cilindro maciço <strong>de</strong> raio b , percorrido por uma<br />
corrente com J constante, e que, no seu interior houvesse uma região <strong>de</strong> raio a ,<br />
cilíndrica, em que houvesse uma corrente <strong>de</strong> sentido contrário, com <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
corrente − J . Então, na região teríamos J = 0 , o que simularia o buraco do ponto<br />
<strong>de</strong> vista eletromagnético. Assim numa região a uma distância r do eixo do cilindro<br />
(com a < r < b ) teríamos duas contribuições:<br />
1) a do cilindro interno <strong>de</strong> raio a:<br />
r r<br />
∫ B • dl = µ<br />
0<br />
I<br />
Γ<br />
455<br />
454
RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS<br />
raio r do cilindro, e I, a corrente que percorre todo o cilindro, temos que:<br />
ATIVIDADE 31.1<br />
r r<br />
∫ µ<br />
0<br />
A circulação do campo magnético é dada por: B • dl = ( − i − i + i + i )<br />
ATIVIDADE 31.2<br />
(a) O circuito circular compreendido entre os fios a e b só envolve o fio a. O sentido<br />
positivo <strong>de</strong> percurso do circuito é o antihorário e a corrente que percorre o fio e sai<br />
do papel; portanto, pela regra da mão direita, ela tem o sentido positivo. Assim:<br />
∫<br />
r r<br />
B • dl = µ<br />
= 4π<br />
× 10<br />
T.<br />
A<br />
C<br />
× 8 A = 10×<br />
10<br />
−7<br />
−1<br />
−6<br />
0<br />
ia<br />
T<br />
(b) O circuito circular compreendido entre os fios b e c envolve os fios a e b. O<br />
sentido positivo <strong>de</strong> percurso do circuito é o antihorário. Pela regra da mão direita,<br />
como a corrente que percorre o fio b penetra no papel, temos:<br />
∫<br />
r r<br />
B • dl = µ ( i<br />
− i ) = 4π<br />
× 10<br />
T.<br />
A<br />
× (8 A −10<br />
A)<br />
= −2,5<br />
× 10<br />
−7<br />
−1<br />
−6<br />
0 a b<br />
T<br />
(c) O circuito circular compreendido entre os fios c e d envolve os fios a, b e c. O<br />
sentido positivo <strong>de</strong> percurso do circuito é o antihorário. Pela regra da mão direita,<br />
como a corrente que percorre o fio c penetra no papel, temos:<br />
r r<br />
B • dl = µ ( i −<br />
∫<br />
− i ) = 4π<br />
× 10<br />
T.<br />
A<br />
× (8 A −10<br />
A − 3 A)<br />
= −6,3×<br />
10<br />
−7<br />
−1<br />
−6<br />
0 a<br />
ib<br />
c<br />
T<br />
(d) o circuito circular envolve todos os fios e a corrente que percorre o fio d tem<br />
sentido para fora do papel. Então:<br />
r r<br />
B • dl = µ ( i −<br />
∫<br />
−<br />
+ i ) = 4π<br />
× 10<br />
T.<br />
A<br />
× (8 A −10<br />
A − 3 A + 7 A)<br />
= 2,5×<br />
10<br />
−7<br />
−1<br />
−6<br />
0 a<br />
ib<br />
ic<br />
d<br />
T<br />
Devemos consi<strong>de</strong>rar apenas as correntes que estão limitadas pela curva amperiana.<br />
Substituindo os valores das correntes temos:<br />
2<br />
.<br />
3<br />
4<br />
5<br />
.<br />
.<br />
.<br />
i<br />
π r<br />
2<br />
=<br />
I<br />
π R<br />
Se o ponto P, situado à distância r do eixo do cilindro, estiver <strong>de</strong>ntro do cilindro,<br />
teremos rR, o cilindro se comporta como um fio. Portanto: B = I<br />
2π<br />
R<br />
ATIVIDADE 31.4<br />
Do Exemplo 31.4, a indução magnética em um ponto situado a uma distância<br />
do cilindro é calculado com um circuito circular <strong>de</strong> raio r . Temos:<br />
B e<br />
(2π r)<br />
= µ J π<br />
.<br />
2<br />
I<br />
2<br />
0<br />
b<br />
Como a indução <strong>de</strong>ntro do cilindro não varia, a indução total fica, então:<br />
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO<br />
2 2<br />
µ<br />
0<br />
J ( b − a )<br />
Br<br />
= Be<br />
+ Bi<br />
=<br />
2 r<br />
.<br />
µ<br />
r > b<br />
E31.1) No interior <strong>de</strong> uma curva fechada exstem diversos condutores. A integral <strong>de</strong><br />
linha<br />
∫ B<br />
r . dl<br />
r<br />
em torno da curva é igual a 3,83.10 -4 T. (a) Qual é a corrente total que<br />
passa nos condutores? (b) Se você fizesse a integral percorrendo a curva em<br />
sentido contrário, qual seria o valor da integral? Explique.<br />
µ<br />
( − i − i + i + i ) = µ ( − mA − 4mA<br />
+ 3mA<br />
+ 2mA) = µ ( − 4 ).<br />
0 2 3 4 5 0<br />
5<br />
0<br />
mA<br />
ATIVIDADE 31.3<br />
Como a <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> <strong>de</strong> corrente no cilindro é constante, se i é a corrente <strong>de</strong>ntro do<br />
456<br />
E31.2) A figura 31.9 mostra uma seção reta <strong>de</strong> diversos condutores que<br />
atravessam o plano da página. O sentido das correntes está indicado na figura e<br />
valem I 1 =4,0 A, I 2 =6,0 A e I 3 =2,0 A. Temos quatro trajetórias indicadas na figura.<br />
457
(a) Qual é o valor da integral<br />
∫ B<br />
r . dl<br />
r<br />
para cada uma das trajetórias?<br />
Figura 31.9: Representação do exercício 31.2.<br />
PROBLEMAS DA UNIDADE<br />
P9.1) Uma seção reta <strong>de</strong> um fio cilíndrico longo <strong>de</strong> raio a= 2,00 cm e que conduz<br />
uma corrente <strong>de</strong> 170 A está mostrado na figura 31.10. Qual é o módulo do campo<br />
elétrico produzido pela corrente a uma distância do eixo do fio igual a (a) 0, (b)<br />
1,00 cm, (c) 2,00 cm e (d) 4,00 cm?<br />
Figura 31.10: Seção transversal <strong>de</strong> um fio conduzindo corrente.<br />
P9.2) Um fio cilíndrico longo e retilíneo <strong>de</strong> raio R, transporta uma corrente<br />
uniformemente distribuída sobre sua seção reta. Em qual local o campo magnético<br />
produzido por essa corrente é igual à meta<strong>de</strong> do seu valor máximo? Consi<strong>de</strong>re<br />
pontos internos e externos ao fio.<br />
P9.3) Um solenói<strong>de</strong> é projetado para produzir um campo magnético igual a 0,0270<br />
T em seu centro. Ele possui raio <strong>de</strong> 1,40 cm, comprimento <strong>de</strong> 40,0 cm e o fio<br />
conduz uma corrente máxima <strong>de</strong> 12,0 A. (a) Qual é o comprimento total do fio? (b)<br />
Qual o número mínimo <strong>de</strong> espiras que o solenói<strong>de</strong> <strong>de</strong>ve possuir?<br />
P31.4) Um fio cilíndrico <strong>de</strong> raio a=3,1 mm é percorrido por uma <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
corrente, J, que varia linearmente com a distância radial r <strong>de</strong> acordo com a equação<br />
J=J 0 r/a on<strong>de</strong> J 0 =310 A/m 2 . Determine o módulo do campo magnético para (a) r=0,<br />
(b) r= a/2 e (c) r=a.<br />
458
UNIDADE X<br />
LEIS DE FARADAY E DE LENZ E A INDUÇÃO<br />
ELETROMAGNÉTICA<br />
Até agora estudamos fenômenos elétricos e magnéticos <strong>de</strong> forma<br />
completamente separada: a eletrostática e a magnetostática são assuntos<br />
completamente fechados sobre si mesmos. Apren<strong>de</strong>mos ainda que cargas elétricas<br />
estacionárias geram campos elétricos, assim como cargas elétricas em movimento<br />
(correntes) geram campos magnéticos.<br />
A partir <strong>de</strong> agora vamos apren<strong>de</strong>r que tanto o campo elétrico quanto o<br />
campo magnético po<strong>de</strong>m ser gerados por uma fonte que não está mencionada<br />
acima: a variação temporal <strong>de</strong> um campo elétrico (que po<strong>de</strong> gerar um campo<br />
magnético) e reciprocamente, a variação temporal <strong>de</strong> um campo magnético (que<br />
po<strong>de</strong> gerar um campo elétrico).<br />
A lei <strong>de</strong> Faraday trata do caso em que um campo elétrico é gerado a partir<br />
da variação temporal do fluxo do campo magnético. Começamos então a enten<strong>de</strong>r<br />
o porquê do nome Eletromagnetismo. Esse nome só tem sentido se fenômenos<br />
tipicamente elétricos possam gerar fenômenos tipicamente magnéticos e viceversa.<br />
458<br />
459
AULA 32: LEI DE FARADAY E LEI DE LENZ<br />
OBJETIVOS<br />
- ENUNCIAR A LEI DE FARADAY E A LEI DE LENZ<br />
- APLICAR A LEI DE FARADAY E LEI DE LENZ EM DIVERAS SITUAÇÕES<br />
- GERADORES E MOTORES<br />
- RELACIONAR FORÇA ELETROMOTRIZ E CORRENTE INDUZIDA<br />
fluxo do vetor indução magnética tem papel importante. Então, para simplificar a<br />
linguagem, chamaremos o fluxo do vetor indução magnética apenas <strong>de</strong><br />
fluxo magnético. Entretanto, <strong>de</strong>vemos sempre ter em mente que esta<br />
<strong>de</strong>nominação se refere ao fluxo <strong>de</strong> um vetor (no caso B r ) através <strong>de</strong> uma<br />
superfície.<br />
32.2 A LEI DE FARADAY<br />
32.1 O FLUXO DA INDUÇÃO MAGNÉTICA<br />
como:<br />
O fluxo do vetor indução magnética através <strong>de</strong> uma superfície A é <strong>de</strong>finido<br />
Φ<br />
B<br />
r<br />
= ∫ B • nˆ<br />
dA,<br />
on<strong>de</strong> dA é um elemento da superfície consi<strong>de</strong>rada e nˆ , um vetor unitário normal à<br />
superfície. Sua unida<strong>de</strong> é o<br />
2<br />
Tesla× m que também é <strong>de</strong>nominada Weber (Wb), em<br />
homenagem a Wilhelm Eduard Weber (1804-1891), inventor do telégrafo<br />
eletromagnético.<br />
Como não há monopólos magnéticos na Natureza, as linhas <strong>de</strong> força<br />
do campo magnético são fechadas. Como exemplo, lembre-se das linhas <strong>de</strong><br />
força do campo magnético gerado por uma corrente elétrica que percorre um fio<br />
longo ou um solenói<strong>de</strong> (figura 30.8). Em um ímã as linhas <strong>de</strong> força saem pela<br />
extremida<strong>de</strong> a que damos o nome <strong>de</strong> polo magnético Norte e entram na<br />
extremida<strong>de</strong> chamada <strong>de</strong> polo magnético Sul.<br />
Se consi<strong>de</strong>rarmos uma superfície fechada qualquer em um campo magnético,<br />
todas as linhas <strong>de</strong> força que entram nessa superfície saem <strong>de</strong>la. Assim, o fluxo do<br />
vetor indução magnética através <strong>de</strong> uma superfície fechada é sempre nulo.<br />
Matematicamente<br />
Φ<br />
B<br />
r<br />
= ∫ B • nˆ<br />
dA = 0.<br />
Em 1831 Michael Faraday anunciou os resultados <strong>de</strong> uma série <strong>de</strong><br />
experimentos, incluindo três que <strong>de</strong>screveremos a seguir:<br />
Experimento 1: Consi<strong>de</strong>re um circuito elétrico retangular constituído por<br />
um fio metálico e uma resistência R, colocado em repouso num campo magnético<br />
uniforme <strong>de</strong> indução magnética B r<br />
perpendicular ao plano do circuito (Figura<br />
32.1a). A forma do circuito não é importante: os resultados do experimento são<br />
in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntes <strong>de</strong>la. Também o fato do campo magnético ser uniforme e<br />
perpendicular ao plano do circuito não muda os resultados. Essas hipóteses são<br />
feitas apenas para simplificar os cálculos e não <strong>de</strong>ixar que eles escondam a<br />
interpretação dos fenômenos físicos envolvidos.<br />
Figura 32.1a: Circuito elétrico em repouso num campo magnético uniforme.<br />
Não havendo força eletromotriz no circuito, não haverá corrente elétrica<br />
através do fio e da resistência que o constituem.<br />
Se agora <strong>de</strong>slocarmos o circuito <strong>de</strong>ntro da região do campo magnético (por<br />
exemplo da esquerda para a direita como na Figura 32.1b), observaremos que,<br />
enquanto ele estiver se movendo totalmente imerso no campo magnético,<br />
não haverá corrente elétrica percorrendo o circuito.<br />
Essa expressão é chamada <strong>de</strong> lei <strong>de</strong> Gauss para o magnetismo, pela sua<br />
semelhança com a respectiva lei para a eletrostática.<br />
Nesta Unida<strong>de</strong> estaremos interessados em muitos fenômenos nos quais o<br />
460<br />
461
o movimento do ímã (relativamente ao circuito) muda <strong>de</strong> sentido (Figura 32.1d).<br />
Figura 32.1b: Circuito elétrico movendo-se num campo magnético uniforme com velocida<strong>de</strong><br />
v r .<br />
Eventualmente, o circuito elétrico atinge o limite da região contendo o<br />
campo magnético e começa a sair <strong>de</strong>la, como mostra a figura 32.1c:<br />
Figura 32.1d: Imã se aproximando e se afastando <strong>de</strong> um circuito elétrico. Observe que o<br />
sentido da corrente se inverte quando o movimento do imã ocorre no sentido contrário.<br />
PENSE E RESPONDA 32.2<br />
Figura 32.1c: Circuito elétrico saindo <strong>de</strong> uma região contendo um campo magnético<br />
Se o polo sul estivesse inicialmente se aproximando do circuito e <strong>de</strong>pois se<br />
afastando, haveria uma corrente induzida? Como seriam o sentido da corrente em<br />
amboos os casos?<br />
A partir <strong>de</strong>ste momento, uma corrente flui no circuito e ela continua<br />
a existir no circuito enquanto parte <strong>de</strong>le ainda estiver na região contendo o<br />
campo magnético; quando todo o circuito <strong>de</strong>ixa a região, a corrente<br />
elétrica <strong>de</strong>ixa <strong>de</strong> existir.<br />
O mesmo fenômeno acontece quando o circuito, ao invés <strong>de</strong> sair da<br />
região do campo magnético, entra nela: apenas o sentido da corrente é<br />
invertido em relação àquele quando o circuito sai do campo magnético. Da<br />
mesma forma que antes, a corrente continua a existir enquanto parte do circuito<br />
fica <strong>de</strong>ntro da região do campo magnético; quando todo o circuito está <strong>de</strong>ntro ou<br />
fora <strong>de</strong>la não há corrente elétrica no circuito.<br />
PENSE E RESPONDA 32.1<br />
Se o circuito estivesse parado e a região on<strong>de</strong> se encontra B r se movesse para a<br />
direita, apareceria uma corrente no circuito?<br />
Experimento 2: Quando aproximamos ou afastamos um ímã <strong>de</strong> um<br />
circuito, aparece uma corrente elétrica no circuito. A corrente <strong>de</strong>saparece quando o<br />
ímã fica em repouso relativamente ao circuito e volta a aparecer quando o ímã<br />
volta a se movimentar. O sentido da corrente no circuito também se inverte quando<br />
462<br />
Experimento 3: Se o circuito estiver em repouso relativamente ao campo<br />
magnético, ao alterarmos a intensida<strong>de</strong> do vetor indução magnética do campo<br />
magnético, uma corrente elétrica aparece no circuito. Se aumentamos a<br />
intensida<strong>de</strong> da indução magnética a corrente tem um sentido. Se diminuirmos a<br />
intensida<strong>de</strong> da indução magnética a corrente adquireo sentido contrário.<br />
PENSE E RESPONDA 32.3<br />
Se o circuito e a região do campo magnético estivesse em repouso mas<br />
repentinamente a área do circuito aumentasse e diminuisse <strong>de</strong> tamanho, haveria<br />
indução <strong>de</strong> corrente elétrica nesse circuito?<br />
Lembrando que, para que apareça uma corrente elétrica no circuito, é<br />
preciso que apareça um campo elétrico nos fios que o constituem. Você vai notar<br />
imediatamente que o campo elétrico, que produz o movimento das cargas<br />
elétricas, é gerado pela variação <strong>de</strong> alguma coisa. Que coisa é essa? Não é o<br />
campo magnético, pois este fica constante nos dois primeiros experimentos. Não é<br />
o movimento do circuito, que fica parado no experimento 3.<br />
463
Repare, entretanto, que existe uma gran<strong>de</strong>za que varia nos três<br />
experimentos: o fluxo magnético através da área do circuito varia com o<br />
tempo.<br />
Em outras palavras, a variação temporal do fluxo magnético gera o campo<br />
elétrico! E esse campo elétrico po<strong>de</strong> ser <strong>de</strong>scrito através da força eletromotriz<br />
induzida no circuito. A lei <strong>de</strong> Faraday po<strong>de</strong> então ser formulada da seguinte<br />
forma:<br />
A lei <strong>de</strong> Lenz se refere a corrente elétrica em circuitos fechados mas, no caso<br />
<strong>de</strong> circuitos abertos, po<strong>de</strong>mos imaginá-los como fechados e, assim, <strong>de</strong>terminar o<br />
sentido da força eletromotriz.<br />
Para enten<strong>de</strong>rmos bem a lei, consi<strong>de</strong>remos um circuito fechado, na forma <strong>de</strong><br />
uma espira circular. Ao aproximarmos <strong>de</strong>la um ímã como mostrado na Figura 32.2,<br />
o fluxo magnético aumenta através da espira.<br />
A variação do fluxo magnético através <strong>de</strong> uma superfície gera uma<br />
força eletromotriz ε através <strong>de</strong>la.<br />
Expressa matematicamente, a lei fica:<br />
dΦ<br />
ε = − B<br />
, (32.1)<br />
dt<br />
Figura 32.2: (a) Ímã com pólo Norte se aproximando <strong>de</strong> uma espira; (b) os campos<br />
o sinal negativo indica o sentido da força eletromotriz. Faraday, embora sabendo da<br />
existência do sinal, não fez nenhuma menção a ele; foi Heinrich F. E. Lenz (1804-<br />
1865) quem, em 1834 o introduziu na equação (32.1), e estabeleceu, assim, a Lei<br />
<strong>de</strong> Lenz.<br />
É preciso notar que a corrente elétrica induzida no circuito, observada nas<br />
experiências <strong>de</strong> Faraday, existe somente porque o circuito é fechado (como o da<br />
Figura 32.1). Quando o circuito é aberto, a força eletromotriz induzida – que é<br />
medida como uma diferença <strong>de</strong> potencial entre as extremida<strong>de</strong>s do circuito – existe<br />
sempre que há variação do fluxo magnético através do circuito.<br />
PENSE E RESPONDA 32.4<br />
Se não houvesse um circuito real, a variação temporal do fluxo magnético induziria<br />
um campo elétrico no espaço?<br />
32.4 A LEI DE LENZ<br />
magnético do imã ( B r ) e o induzido pelo aumento do fluxo magnético ( B r ) para se opor à<br />
variação do fluxo magnético.<br />
Essa variação temporal do fluxo magnético induz no circuito uma força<br />
eletromotriz e, como ele é fechado, uma corrente elétrica. Esta, por sua vez, induz<br />
um campo magnético que, na área <strong>de</strong>limitada pelo circuito, <strong>de</strong>ve se opor ao<br />
aumento do fluxo. Isto é, o campo magnético induzido <strong>de</strong>ve ter o sentido<br />
oposto ao campo magnético existente. Então, <strong>de</strong> acordo com a regra da mão<br />
direita, o sentido da corrente elétrica induzida no circuito é o sentido anti-horário<br />
para quem observa o circuito do lado do ímã, veja a figura 32.2b. Assim, o fluxo<br />
magnético induzido trabalha no sentido <strong>de</strong> compensar o aumento do fluxo<br />
causado pela aproximação do ímã.<br />
ATIVIDADE 32.1<br />
Descreva , inclusive com <strong>de</strong>senhos,como <strong>de</strong>ve ser o sentido da corrente induzida na<br />
espira se, ao invés do pólo Norte:<br />
i<br />
A lei <strong>de</strong> Lenz estabelece o sentido da corrente elétrica induzida pelo fluxo<br />
magnético variável no tempo que atravessa um circuito. Ela nos diz que:<br />
(a) aproximamos da espira o pólo Sul do ímã;<br />
(b) afastamos da espira o pólo Sul do ímã.<br />
A força eletromotriz induzida pela variação temporal do fluxo magnético<br />
gera uma corrente que ten<strong>de</strong> a se opor à variação <strong>de</strong>ste fluxo magnético.<br />
464<br />
465
ATIVIDADE 32.2<br />
Um solenói<strong>de</strong> com uma corrente i é aproximado <strong>de</strong> uma espira (Figura 32.6). Qual<br />
o sentido da corrente induzida na espira, visto pelo observador?<br />
(a) qual é a magnitu<strong>de</strong> da força eletromotriz induzida no circuito em t = 2, 0 s?<br />
(b) Qual é o sentido da corrente na resistência R=3,0 Ω ?<br />
(c) Qual a corrente neste instante?<br />
Figura 32.6<br />
Quando aproximamos ou afastamos o ímã do circuito, sempre sofremos<br />
uma força que ten<strong>de</strong> a nos impedir <strong>de</strong> continuar o movimento. Portanto,<br />
precisamos realizar um certo trabalho para vencer essa força, trabalho este que,<br />
pela conservação da energia, não fica armazenado no circuito; ele é transformado<br />
em calor e liberado no circuito sob a forma <strong>de</strong> efeito Joule.<br />
Se afastarmos o ímã da espira, o campo magnético na área <strong>de</strong>limitada por<br />
ela vai diminuir e, consequentemente, o fluxo magnético nesta área diminui. Então,<br />
a força eletromotriz induzida <strong>de</strong>ve criar uma corrente tal que o campo magnético<br />
induzido por ela se some ao campo magnético existente e produza um aumento do<br />
fluxo através da área consi<strong>de</strong>rada. Novamente, a regra da mão direita nos mostra<br />
que a corrente <strong>de</strong>ve ter o sentido horário para quem observa a espira do lado do<br />
ímã.<br />
É fundamental notar que o importante aquí é a variação do fluxo<br />
magnético e não do campo magnético: as leis <strong>de</strong> Faraday e <strong>de</strong> Lenz se<br />
referem à variação do fluxo magnético!!!<br />
Uma outra observação, que nunca é <strong>de</strong>mais ser repetida, é que força<br />
eletromotriz induzida só existe enquanto houver variação do fluxo<br />
magnético. Uma vez cessada esta variação, a corrente <strong>de</strong>saparece.<br />
EXEMPLO 32.1<br />
Uma espira quadrada <strong>de</strong> lado a=10,0 cm e resistência R=2,5 Ω é colocada em um<br />
campo magnético cuja indução aumenta com uma taxa <strong>de</strong> 0,45 mT/s. Se o plano<br />
da espira faz um ângulo <strong>de</strong> 60º com a direção do campo magnético, calcule:<br />
(a) a força eletromotriz induzida na espira;<br />
(b) a corrente induzida na espira;<br />
(c) a taxa <strong>de</strong> aquecimento no fio.<br />
SOLUÇÃO:<br />
(a) Enquanto o campo magnético está aumentando, aparece na espira uma força<br />
eletromotriz na espira, dada por:<br />
dΦ<br />
d r d<br />
ε = − = − ∫ B • ndA ˆ = − ∫ Bcos60º<br />
ds<br />
dt dt<br />
dt<br />
ATIVIDADE 32.3<br />
O circuito circular da Figura 32.3 está em um campo magnético cujo sentido é<br />
dirigido perpendicularmente e para <strong>de</strong>ntro da folha <strong>de</strong> papel. O fluxo do campo<br />
magnético varia através do circuito com o tempo <strong>de</strong> acordo com a equação<br />
( ) = 6t<br />
2 + 3t<br />
+ 2<br />
Φ t mWb .<br />
Pois, se o ângulo entre o plano da espira e o campo magnético é <strong>de</strong> 30º, o ângulo<br />
entre a normal à espira e o campo magnético é 90º-30º=60º.<br />
Então:<br />
dB<br />
1 dB<br />
ε = − cos60º<br />
ds = − a<br />
dt<br />
∫<br />
2 dt<br />
2<br />
Numericamente:<br />
Figura 32.3: Circuito em campo magnético<br />
ε = −<br />
1 T −3<br />
2<br />
−6<br />
× 0,45×<br />
10<br />
2<br />
(b) Temos que:<br />
× (0,10 m)<br />
s<br />
= 2,3×<br />
10<br />
V<br />
466<br />
467
−6<br />
2,3×<br />
10 V<br />
i = ε =<br />
= 9,2<br />
×10 −7 A<br />
R 2,5 Ω<br />
(c) A taxa <strong>de</strong> aquecimento no fio é igual à potência liberada por efeito Joule no fio.<br />
Então:<br />
P = i<br />
2 R = 2,1 × 10<br />
−5 J / s<br />
Se nós cortarmos o circuito abrindo-o, o, não ocorrerá mais a força resistiva,<br />
não realizaremos trabalho aproximando ou afastando o ímã do circuito. Entretanto,<br />
haverá uma força eletromotriz nele, mas, tal como numa bateria ligada a um<br />
circuito aberto, não há corrente elétrica gerada e também não há liberação <strong>de</strong> calor<br />
no circuito.<br />
ATIVIDADE 32.4<br />
A Figura 32.4 mostra duas espiras com eixos coinci<strong>de</strong>ntes. Faz-scorrente na espira maior, no sentido horário. Qual o sentido da corrente induzida na<br />
espira menor? A força que atua sobre ela é atrativa ou repulsiva?<br />
passar uma<br />
Figura 32.4: Espiras em paralelo<br />
ATIVIDADE 32.5<br />
Qual o sentido da corrente na resistência da Figura 32.5 imediatamente após o<br />
fechamento da chave S?<br />
EXEMPLO 32.2<br />
Um solenói<strong>de</strong> circular com 50 espiras possui um diâmetro <strong>de</strong> 4,0 cm e resistência<br />
<strong>de</strong> 60,0 Ω . O solenói<strong>de</strong> é colocado em um campo magnético <strong>de</strong> indução B=500 G,<br />
perpendicular ao plano das espiras. Se, subitamente, o sentido do campo<br />
magnético for invertido, qual é a carga total que flui no solenói<strong>de</strong>?<br />
Solução: Quando o campo magnético é invertido, uma força eletromotriz induzida<br />
aparece no solenói<strong>de</strong>, causando uma corrente induzida. Tanto a força eletromotriz<br />
quanto a corrente existem apenas durante a mudança <strong>de</strong> sentido do campo.<br />
Como:<br />
A carga que percorre uma espira é:<br />
Mas, <strong>de</strong> acorco com a lei <strong>de</strong> Faraday,<br />
e:<br />
q =<br />
t<br />
dq<br />
i =<br />
dt<br />
q = ∫ i dt =<br />
0 ∫ 0<br />
∫<br />
t<br />
0<br />
dΦ<br />
ε = −<br />
dt<br />
ε<br />
dt<br />
R<br />
t<br />
1<br />
= −<br />
R<br />
ε<br />
dt<br />
R<br />
∫<br />
t<br />
0<br />
dΦ<br />
dt<br />
dt<br />
Se, em t = 0 o fluxo magnético através <strong>de</strong> uma espira é Φ<br />
1<br />
e em t = t o fluxo é<br />
Φ<br />
2<br />
, a carga total que flui no solenói<strong>de</strong> é:<br />
Mas:<br />
∆Φ = Φ<br />
1 2 1<br />
q = − ∫ Φ dΦ =<br />
R<br />
Φ R<br />
1<br />
∫<br />
( Φ − Φ )<br />
1<br />
r r r<br />
B • n dA − B • nˆ<br />
dA = B • ( nˆ<br />
nˆ<br />
) dA<br />
∫<br />
ˆ<br />
1<br />
− Φ<br />
2<br />
=<br />
1<br />
2<br />
1<br />
−<br />
2<br />
Quando o campo magnético inverte, o unitário nˆ inverte <strong>de</strong> sentido, <strong>de</strong> modo que<br />
nˆ<br />
2<br />
= −nˆ1<br />
e a equação acima fica:<br />
2<br />
∫<br />
Figura32.5<br />
468<br />
∆Φ =<br />
A carga q que percorre uma espira é então:<br />
2∫ B r<br />
• n1 dA = 2 B A<br />
469
Portanto, a carga total nas N espiras é:<br />
Numericamente:<br />
2 B A<br />
q =<br />
R<br />
Q =<br />
2 N B A<br />
R<br />
−4<br />
−2<br />
2<br />
2×<br />
50×<br />
(500×<br />
10 T)<br />
× π × (1,5 × 10 m)<br />
Q =<br />
= 58,9 µ C<br />
60,0 Ω<br />
Seja t = 0 o instante em que o circuito entra na região <strong>de</strong> comprimento D,<br />
on<strong>de</strong> há um campo magnético <strong>de</strong> indução B r<br />
constante em toda a região e<br />
perpendicular ao plano do circuito, também mostrado na Figura 32.8a. Note que,<br />
como o circuito ainda está fora da região do campo magnético, o fluxo da indução<br />
magnética através da área<br />
A = h l é nulo.<br />
O circuito penetra, então, na região do campo magnético com velocida<strong>de</strong> v r .<br />
Seja dl o comprimento do circuito que está <strong>de</strong>ntro do campo magnético após o<br />
intervalo <strong>de</strong> tempo dt (Figura 32.8b).<br />
ATIVIDADE 32.6<br />
Se aumentarmos a resistência do circuito à esquerda da Figura 32.7, qual o sentido<br />
da corrente induzida no circuito da direita?<br />
Figura 32.8b: Circuito parcialmente imerso no campo magnético.<br />
Figura 32.7<br />
32.4 ESTUDO QUANTITATIVO DA LEI DE FARADAY<br />
Vamos agora quantificar as observações <strong>de</strong> Faraday. Consi<strong>de</strong>remos um<br />
circuito retangular (para facilitar o cálculo) <strong>de</strong> lados h e l ( l > h)<br />
com uma<br />
resistência R , movendo-se da esquerda para a direita na com velocida<strong>de</strong> v r . Como<br />
po<strong>de</strong> ser visto na figura 32.8a.<br />
Neste instante, a área dA = h dl do circuito estará contida <strong>de</strong>ntro do campo<br />
magnético. A variação do fluxo magnético através do circuito, no intervalo <strong>de</strong><br />
tempo dt é:<br />
r<br />
r<br />
d Φ = B • nˆ<br />
dA − 0 = B • nˆ<br />
( h dl)<br />
− 0<br />
em que nˆ é um vetor unitário perpendicular ao plano do circuito. O termo “zero” é<br />
para nos lembrar que na parte externa, on<strong>de</strong> não há campo magnético, a variação<br />
do fluxo magnético é nula. Escolhendo o sentido positivo do unitário coinci<strong>de</strong>nte<br />
r<br />
com o do vetor indução magnética, temos que B • nˆ<br />
= B cos0º<br />
= B . A equação<br />
acima fica então:<br />
d Φ = B h dl<br />
Figura 32.8a: Circuito elétrico entrando em uma região <strong>de</strong> campo magnético.<br />
pois h é constante. De acordo com a lei <strong>de</strong> Faraday, a variação do fluxo magnético<br />
através da área do circuito gera uma força eletromotriz:<br />
470<br />
471
ε = −<br />
d Φ<br />
= −<br />
dt<br />
d<br />
dt<br />
[ B h dl]<br />
= −<br />
dl<br />
B h<br />
dt<br />
magnético for constante,<br />
a área do circuito, através da qual há fluxo da indução<br />
magnética não está variando mais, ou seja:<br />
Mas<br />
dl / dt é a taxa <strong>de</strong> aumento do comprimento do circuito à medida que<br />
ele entra na região do campo magnético. Como o circuito se move para <strong>de</strong>ntro da<br />
região com velocida<strong>de</strong> v , <strong>de</strong>vemos ter:<br />
dl<br />
v = .<br />
dt<br />
dA d<br />
= l<br />
dt dt<br />
( h ) = 0<br />
Quando o circuito sai da região <strong>de</strong> campo magnético, ainda com velocida<strong>de</strong><br />
constante v (Figura 32.8d), há variação do fluxo magnético através <strong>de</strong>le. No<br />
intervalo <strong>de</strong> tempo dt , a extremida<strong>de</strong> direita do circuito percorre uma distância dl ,<br />
<strong>de</strong>ixando uma área dA =<br />
h ( l − dl) <strong>de</strong>ntro do campo magnético.<br />
Assim, a força eletromotriz induzida no circuito, <strong>de</strong>vida ao movimento <strong>de</strong>le<br />
relativamente ao campo magnético, fica, então:<br />
ε = −B h v<br />
De acordo com a lei <strong>de</strong> Lenz, essa força eletromotriz gera uma corrente<br />
induzida no circuito. A corrente, por sua vez, induz um campo magnético na área<br />
<strong>de</strong>limitada pelo circuito. A corrente <strong>de</strong>ve ter um sentido tal que o fluxo<br />
magnético induzido por ela se oponha ao aumento do fluxo existente. Na figura<br />
32.8b, o aumento da área <strong>de</strong>ntro do campo magnético aumenta o fluxo. Para<br />
compensar, o campo magnético induzido pela corrente <strong>de</strong>ve ter sentido para fora<br />
da figura. A regra da mão direita nos indica, então, que a corrente induzida tem o<br />
sentido anti-horário no circuito.<br />
Figura 32.8d: Circuito saindo da região do campo magnético.<br />
A variação do fluxo magnético, no intervalo <strong>de</strong> tempo dt é, então:<br />
d Φ = B h( l − dl)<br />
− B hl = −B h dl.<br />
A lei <strong>de</strong> Faraday nos diz que:<br />
ε = −<br />
d Φ<br />
=<br />
dt<br />
dl<br />
B h<br />
dt<br />
Figura 32.8c: Circuito parcialmente imerso no campo magnético. O sentido da corrente<br />
induzida é mostrada no circuito.<br />
ou, tal como anteriormente,<br />
ε = B hv.<br />
Note que somente haverá variação <strong>de</strong> fluxo magnético enquanto o<br />
comprimento (e, portanto, a área) do circuito que está <strong>de</strong>ntro do campo<br />
magnético estiver variando. Quando o circuito estiver totalmente contido no<br />
campo magnético, isto é, quando o comprimento do circuito <strong>de</strong>ntro do campo<br />
472<br />
Note que a força eletromotriz induzida no circuito quando ele está saindo do<br />
campo magnético tem sinal oposto ao da força eletromotriz induzida quando o<br />
circuito está entrando no campo magnético.<br />
473
PENSE E RESPONDA 32.5<br />
Dê argumentos que justifiquema inversão do sentido da corrente induzida.<br />
<strong>de</strong>créscimo da área contida <strong>de</strong>ntro do campo magnético. Finalmente, quando todo o<br />
circuito sai da região do campo magnético (em<br />
x = D ), o fluxo volta a se anular e a<br />
variação do fluxo também. Observe que o fato do fluxo ser zero não implica que a<br />
variação do fluxo também seja necessariamente zero.<br />
Se o circuito estiver fechado, a conclusão que chegamos é que a corrente<br />
elétrica induzida por esta força eletromotriz quando o circuito entra no campo<br />
magnético tem sentido oposto ao da corrente induzida no circuito quando este sai<br />
do campo magnético. Com efeito, ao sair da região <strong>de</strong> campo magnético, a área do<br />
circuito diminui e, conseqüentemente, o fluxo diminui. A corrente induzida <strong>de</strong>ve<br />
gerar um campo magnético que ten<strong>de</strong> a aumentar o fluxo; então, o sentido <strong>de</strong>ste<br />
campo é para <strong>de</strong>ntro da página e, com a regra da mão direita, po<strong>de</strong>mos ver que o<br />
sentido da corrente agora é horário.<br />
Figura 32.9: Gráfico do fluxo<br />
Correspon<strong>de</strong>ndo a essa figura, temos que a força eletromotriz induzida em<br />
cada trecho po<strong>de</strong> ser representada na figura 32.10.<br />
Figura 32.8e: Circuito saindo da região do campo magnético, com o sentido da corrente<br />
induzida no circuito.<br />
A figura 32.9, mostra o fluxo magnético em função da posição da<br />
extremida<strong>de</strong> direita do circuito. O eixo Ox coinci<strong>de</strong> com o lado maior do circuito e<br />
tem origem na posição on<strong>de</strong> o circuito entra no campo magnético. O comprimento<br />
da região com o campo é D.<br />
O fluxo magnético através do circuito é zero enquanto ele está fora da<br />
região do campo magnético ( x < 0 ). O fluxo passa a aumentar à medida que o<br />
circuito começa a entrar nesta região. O aumento é linear porque a variação da<br />
área do circuito <strong>de</strong>ntro do campo magnético é linear. Quando o circuito está todo<br />
<strong>de</strong>ntro do campo (em<br />
máximo:<br />
x = l ), o fluxo da indução magnética atinge seu valor<br />
Φ = B A = B h l<br />
Figura 32.10: Gráfico da força eletromotriz induzida no circuito.<br />
PENSE E RESPONDA 32.6<br />
Sabendo que a <strong>de</strong>rivada é a tangnete à curva explique porque o gráfico da figura<br />
32.10 é uma constante negativa quando o circuito está entre 0 e l e positiva entre<br />
D − l e D .<br />
e permanece constante enquanto o circuito estiver totalmente <strong>de</strong>ntro da região do<br />
campo magnético (em x = D − l ). Quando ele começa a sair da região do campo<br />
magnético, o fluxo da indução magnética passa a diminuir linearmente com o<br />
474<br />
475
EXEMPLO 32.3<br />
Força magnética sobre uma barra <strong>de</strong>slizante<br />
Uma barra, <strong>de</strong> massa m e comprimento l , <strong>de</strong>sliza sobre dois trilhos paralelos, sem<br />
atrito, na presença <strong>de</strong> um campo magnético uniforme, dirigido perpendicularmente<br />
e entrando no plano da página (Figura 32.11). A barra recebe uma velocida<strong>de</strong><br />
inicial v<br />
0<br />
e <strong>de</strong>pois se <strong>de</strong>sloca sobre os trilhos. Achar a velocida<strong>de</strong> da barra em<br />
função do tempo.<br />
duas força magnéticas (não mostradas na Figura), <strong>de</strong> mesma direção e sentidos<br />
opostos que, portanto se anulam e não produzem movimento lateral dos trilhos.<br />
Também sobre o trilho paralelo à barra não há força magnética porque este trilho<br />
não está <strong>de</strong>ntro do campo magnético.<br />
Como a força magnética é a única força paralela ao movimento da barra que atua<br />
sobre ela, pela segunda lei <strong>de</strong> Newton temos:<br />
dp<br />
= −I<br />
h B<br />
dt<br />
Mas, sabemos que a corrente induzida é :<br />
B hv<br />
I = ε = ,<br />
R R<br />
Solução:<br />
Figura 32.11: Barra <strong>de</strong>slizante em campo magnético.<br />
on<strong>de</strong> R é a resistência do circuito (trilhos e barra). Substituindo I na expressão da<br />
segunda lei <strong>de</strong> Newton, obtemos:<br />
Este exemplo é semelhante ao caso do circuito que entra em uma região contendo<br />
o campo magnético, que discutimos logo acima. Note que, à medida que a barra se<br />
<strong>de</strong>sloca para a direita, a área <strong>de</strong> campo magnético <strong>de</strong>ntro do circuito aumenta.<br />
Note também que, <strong>de</strong> acordo com a lei <strong>de</strong> Lenz, a corrente induzida tem sentido<br />
anti-horário.<br />
A força magnética que atua sobre a barra é:<br />
r r r<br />
= I h × B<br />
F m<br />
on<strong>de</strong> h é o comprimento da barra; o vetor h r tem o mesmo sentido da corrente<br />
elétrica. A direção e o sentido da força magnética sobre a barra são obtidos com a<br />
regra da mão direita do produto vetorial e são mostrados na Figura 32.22. O<br />
módulo, da força magnética é:<br />
|<br />
F m<br />
|= − I h B sen 90º<br />
= −<br />
I h B<br />
on<strong>de</strong> o sinal negativo mostra que ela vai ten<strong>de</strong>r a retardar o movimento da barra.<br />
Sobre a parte dos trilhos paralelos que estão <strong>de</strong>ntro do campo magnético, atuam<br />
ou:<br />
Integrando:<br />
obtemos que:<br />
Fazendo:<br />
obtemos:<br />
d(<br />
mv)<br />
⎛ Bhv ⎞<br />
= −⎜<br />
⎟<br />
dt ⎝ R ⎠<br />
2<br />
d(<br />
mv)<br />
B h<br />
= −<br />
dt R<br />
2<br />
d(<br />
mv)<br />
B h<br />
= −<br />
v R<br />
∫<br />
v<br />
v<br />
0<br />
2<br />
dv B h<br />
= −<br />
v mR<br />
1n<br />
v<br />
v<br />
0<br />
τ =<br />
2<br />
( hB)<br />
2<br />
2<br />
B h<br />
= −<br />
mR<br />
B 2<br />
2 h<br />
mR<br />
2<br />
v<br />
dt.<br />
t<br />
∫0<br />
2<br />
dt<br />
t.<br />
476<br />
477
1n<br />
v<br />
v<br />
0<br />
= −<br />
t<br />
τ<br />
ou:<br />
v = v e<br />
.<br />
−t/<br />
τ<br />
0<br />
Portanto, a velocida<strong>de</strong> da barra diminui exponencialmente com o tempo.<br />
Conhecendo v , po<strong>de</strong>mos também <strong>de</strong>terminar a corrente elétrica induzida:<br />
Bhv<br />
I =<br />
R<br />
B hv e<br />
I =<br />
0<br />
R<br />
Uma outra observação importante é que o circuito ten<strong>de</strong> a parar <strong>de</strong>ntro do campo<br />
magnético. Além disso, para que ele se <strong>de</strong>sloque <strong>de</strong>ntro do campo magnético<br />
com velocida<strong>de</strong> constante, é preciso que uma força externa seja aplicada a<br />
ele, com direção igual à da força magnética e sentido oposto ao <strong>de</strong>la.<br />
−t/<br />
τ<br />
.<br />
Figura 32.12: Circuito se dslocando com velocida<strong>de</strong> constante e saindo do campo magnético<br />
Tal como no Exemplo<br />
32.2, o circuito se move para a direita e há uma força<br />
magnética atuando sobre ele (<strong>de</strong>vido à corrente induzida), cujo módulo é:<br />
e que ten<strong>de</strong> a opor-se ao movimento do circuito. Portanto, se o circuito se <strong>de</strong>sloca<br />
para a direita, a força externa, para a direita, <strong>de</strong>ve ter módulo<br />
circuito se movendo com velocida<strong>de</strong> constante. A injeção <strong>de</strong> potência pela força<br />
externa sobre o circuito<br />
F m<br />
= I h B,<br />
elétrica <strong>de</strong>les. A injeção <strong>de</strong> potência no circuito é:<br />
I h<br />
B para manter o<br />
aparece no aquecimento dos fios <strong>de</strong>vido à resistência<br />
P = F v = ( I h B)<br />
v.<br />
Ativida<strong>de</strong> 32.7<br />
Calcule a fem induzida na barra do exemplo 32.3.<br />
Da conservação da energia, vem que:<br />
32.5 FORÇA ELETROMOTRIZ E CORRENTE INDUZIDA<br />
2<br />
I R = I h Bv,<br />
Para sabermos como esta corrente ou força eletromotriz induzida é<br />
produzida, vamos analisar o que ocorre, sob a luz das leis <strong>de</strong> Newton e da<br />
conservação da energia. A Figura 32.12 mostra um circuito saindo com velocida<strong>de</strong><br />
<strong>de</strong> on<strong>de</strong> se tira que:<br />
I R = Bhv = ε.<br />
constante v <strong>de</strong> uma região on<strong>de</strong> há um campo magnético uniforme <strong>de</strong> indução B r .<br />
Para que a velocida<strong>de</strong> seja constante, uma força F r externa é aplicada ao circuito,<br />
perpendicularmente ao lado <strong>de</strong> comprimento h .<br />
Então, vemos pelo balanço <strong>de</strong> energia do circuito, que a força eletromotriz ε<br />
tem <strong>de</strong> ser aquela que calculamos diretamente pela lei <strong>de</strong> Faraday, ou seja:<br />
ε = Ri = Bhv<br />
A outra pergunta que surge é: “Quem faz esse trabalho?”. Certamente não<br />
é a força magnética, que nunca produz trabalho, resta a força externa.<br />
478<br />
479
Como ficam as forças e a conservação <strong>de</strong> energia do ponto <strong>de</strong> vista<br />
<strong>de</strong> um elétron no fio do circuito?<br />
f = f sinθ.<br />
r<br />
m<br />
Se por exemplo a corrente elétrica no fio vertical <strong>de</strong> comprimento l da<br />
esquerda está dirigida para cima, significa que os elétrons <strong>de</strong>slocam-se para baixo.<br />
Visto por um observador em repouso relativamente ao campo magnético, a<br />
velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong> um dado elétron da corrente elétrica é a soma <strong>de</strong> duas componentes:<br />
uma componente vertical para baixo <strong>de</strong>ntro do fio -- a velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong> arraste ( v r ) --<br />
e uma componente horizontal v , igual à velocida<strong>de</strong> do circuito e dirigida para a<br />
direita na figura 32.13. A velocida<strong>de</strong> líquida v r<br />
e<br />
do elétron, relativa ao observador,<br />
faz então um ângulo θ com a horizontal, como mostra a figura 32.12a.<br />
d<br />
pare<strong>de</strong>s<br />
Assim, o trabalho efetuado sobre o elétron é feito pela força <strong>de</strong> reação das<br />
f r r<br />
. Quando o elétron se <strong>de</strong>sloca para baixo no fio, este <strong>de</strong>sloca-se para a<br />
direita; portanto, o elétron segue uma trajetória inclinada <strong>de</strong> comprimento S tal<br />
que:<br />
l = S senθ.<br />
O trabalho efetuado sobre o elétron, à medida que ele percorre o<br />
comprimento total do fio<br />
l = S senθ<br />
, é:<br />
W = f cosθ S = ( f senθ<br />
) cosθ<br />
S = ( f cosθ<br />
) ( senθ<br />
) S = f cosθ<br />
l<br />
r<br />
m<br />
W = ( f<br />
m<br />
cosθ<br />
) ( senθ<br />
) S<br />
W = f<br />
m<br />
cosθ<br />
l<br />
m<br />
m<br />
ou:<br />
W = e ve B cosθ<br />
l = e B ( ve<br />
cosθ<br />
) = e B v l<br />
Fig 32.13: (a) Velocida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> eletron no condutor; (b) forças envolvidas no condutor.<br />
W = e B ( cosθ<br />
)<br />
v e<br />
W = e Bvl<br />
v r<br />
e<br />
Temos então:<br />
A força magnética<br />
r<br />
f<br />
m<br />
v e<br />
cosθ<br />
= v<br />
r r<br />
= e v × B que atua sobre o elétron é perpendicular a<br />
e<br />
(figura 32.13a) e, portanto, não realiza trabalho sobre ele; ela apenas <strong>de</strong>flete o<br />
caminho do elétron. Entretanto, o elétron tem que se <strong>de</strong>slocar ao longo do fio, pois,<br />
caso contrário ele sairia do fio em algum momento. Para que a trajetória do<br />
elétron, relativamente ao fio, seja paralela ao fio, é preciso haver uma força f r<br />
r<br />
que<br />
equilibre a componente <strong>de</strong><br />
fr m<br />
perpendicular ao fio, como mostrado na Figura<br />
32.13b. Essa força é a força <strong>de</strong> reação das pare<strong>de</strong>s do fio sobre o elétron. Então,<br />
po<strong>de</strong>mos escrever que:<br />
480<br />
W = Bvl<br />
e<br />
W<br />
=<br />
e<br />
ε<br />
Portanto vemos que o trabalho por unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> carga é a força eletromotriz<br />
ε = Bvl <strong>de</strong> acordo com o resultado da lei <strong>de</strong> Faraday.<br />
32.6 GERADORES E MOTORES<br />
A Lei <strong>de</strong> Faraday tem uma importância prática muito gran<strong>de</strong>. Ela <strong>de</strong>screve<br />
o fenômeno da indução eletromagnética, que está na base <strong>de</strong> um número enorme<br />
<strong>de</strong> máquinas. Essas máquinas po<strong>de</strong>m ser classificadas basicamente em dois tipos:<br />
481
os geradores e o motores.<br />
Em qualquer dos casos o princípio <strong>de</strong> funcionamento é o seguinte: <strong>de</strong>ntro<br />
<strong>de</strong> um gran<strong>de</strong> ímã, colocam-se espiras que po<strong>de</strong>m girar em torno <strong>de</strong> seu eixo <strong>de</strong><br />
simetria. Nas usinas <strong>de</strong> força a energia necessária para girar a espira po<strong>de</strong> provir<br />
<strong>de</strong> várias fontes, por exemplo: numa usina hidrelétrica, a água <strong>de</strong> uma queda<br />
d'água é dirigida contra as palhetas <strong>de</strong> uma turbina a fim <strong>de</strong> provocar o movimento<br />
rotatório; numa usina termelétrica, o calor da queima <strong>de</strong> carvão ou <strong>de</strong> óleo<br />
converte a água em vapor d'água e esse vapor é dirigido contra as palhetas <strong>de</strong> uma<br />
turbina.<br />
Quando a espira gira no campo magnético do ímã, o fluxo magnético<br />
através da mesma se altera com o tempo e, num circuito externo, se induz uma<br />
corrente.<br />
d[<br />
cos(<br />
ω t)]<br />
ε = −NBA<br />
dt<br />
ε = N B Aω<br />
sin(<br />
ωt).<br />
Este resultado mostra que a força eletromotriz varia senoidalmente com o<br />
tempo e tem valor máximo:<br />
ε<br />
max<br />
= NBAω,<br />
que ocorre quando ω t = 90º ou 270º . Em outras palavras, ε = ε<br />
max<br />
quando o<br />
campo magnético estiver no plano da bobina e a taxa <strong>de</strong> variação do fluxo<br />
for máxima. Além disso, ε = 0 se ω t = 0º ou 180º , isto é, quando B for<br />
perpendicular ao plano da bobina e a taxa <strong>de</strong> variação do fluxo for nula.<br />
A frequência <strong>de</strong>sses geradores é da or<strong>de</strong>m <strong>de</strong> 60Hz. Essa é a frequência que<br />
alimenta nossas lâmpadas.<br />
ATIVIDADE 32.8<br />
Figura 32.13: Gerador <strong>de</strong> energia<br />
Porque não vemos as lâmpadas piscarem com frequência <strong>de</strong> 120 vezes/segundo?<br />
A fim <strong>de</strong> discutir quantitativamente o gerador, cujo esquema básico é<br />
mostrado na Figura 32.13, suponhamos que a bobina tenha N voltas, todas com a<br />
mesma área A e suponhamos que gire com uma velocida<strong>de</strong> angular ω . Se θ for o<br />
ângulo entre o campo magnético e a normal ao plano da bobina, ele varia<br />
periodicamente com o tempo com período<br />
da bobina em qualquer instante será dado por:<br />
2 π / ω . Então o fluxo magnético através<br />
Φ m<br />
= B Acosθ<br />
Φ<br />
m<br />
= B Acos( ω t).<br />
Portanto:<br />
dΦ<br />
m<br />
ε = −N<br />
dt<br />
482<br />
483
RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS<br />
ATIVIDADE 32.1<br />
(a) Quando aproximamos o pólo Sul <strong>de</strong> um imã <strong>de</strong> uma espira, o fluxo magnético<br />
através da superfície <strong>de</strong>limitada por ela aumenta. Entretanto, as linhas <strong>de</strong> força do<br />
campo magnético entram no pólo Sul. Por tanto, o aumento do fluxo se dá da<br />
esquerda para a direita na figura abaixo.<br />
Para t=2,0 s, ε = 27,0 V.<br />
dΦ<br />
ε = = 12t<br />
+ 3<br />
dt<br />
(b) Como o fluxo está crescendo e o campo se dirige para <strong>de</strong>ntro da folha <strong>de</strong> papel,<br />
a força eletromotriz tem que criar uma corrente que gere um campo magnético<br />
induzido para fora da folha <strong>de</strong> papel. Então, a regra da mão direita nos diz que o<br />
sentido da corrente é horário.<br />
(c) a corrente é dada por:<br />
ε 27,0<br />
i = = = 9,0 A.<br />
R 3,0<br />
ATIVIDADE 32.4<br />
Figura 32.14<br />
Portanto, a corrente elétrica induzida tem que gerar um campo magnético cujo<br />
fluxo <strong>de</strong>ve diminuir o fluxo do campo do imã. Para isso, o campo magnético <strong>de</strong>ntro<br />
região da espira <strong>de</strong>ve apontar para a esquerda na figura. A regra da mão direita dá,<br />
então, o sentido anti-horário da corrente induzida, quando se olha a espira da<br />
esquerda da figura.<br />
A espira da esquerda gera um campo magnético que, na espira da direita está<br />
dirigido para a direita. O fluxo que atravessa esta espira aumenta enquanto a<br />
corrente na espira da esquerda está aumentando. Portanto, na espira da dirita <strong>de</strong>ve<br />
aparecer uma corrente <strong>de</strong> sentido tal que o fluxo magnético gerado por ela<br />
contrabalance a variação do fluxo da espira da direita. A regra da mão direita nos<br />
dá o sentido da corrente induzida: anti-horário. Como os campos magnéticos<br />
possuem sentidos contrários, haverá repulsão entre as espiras.<br />
(b) No caso do imã se afastar da espira, ocorre o contrário e a corrente induzida na<br />
espira terá sentido horário.<br />
ATIVIDADE 32.2<br />
A regra da mão direita nos diz que a extremida<strong>de</strong> do solenói<strong>de</strong> que está mais<br />
próxima da espira se comporta como o pólo Norte <strong>de</strong> um ímã. O fluxo magnético<br />
aumenta quando o solenói<strong>de</strong> se aproxima da espira, com a s linhas <strong>de</strong> força<br />
atravessando a espira da esquerda para a direita. Então, a corrente induzida <strong>de</strong>ve<br />
gerar um campo magnético dirigido da direita para a esquerda. Logo, a corrente<br />
induzida <strong>de</strong>ve percorrer a espira no sentido horário.<br />
ATIVIDADE 32.5<br />
Quando a chave é fechada, aparece no solenói<strong>de</strong> uma corrente dirigida da esquerda<br />
para a direita (regra da mão direita). Então, o campo magnético <strong>de</strong>ntro do<br />
solenói<strong>de</strong> está dirigido da direita para a esquerda. O fluxo aumenta e o circuito com<br />
a resistência <strong>de</strong>ve gerar um campo magnético dirigido da direita para esquerda na<br />
região que envolve o solenói<strong>de</strong>. A regra da mão direita nos mostra que a corrente<br />
induzida <strong>de</strong>ve estar dirigida, na resistência, da direita para a esquerda.<br />
ATIVIDADE 32.6<br />
ATIVIDADE 32.3<br />
(a) Temos que:<br />
484<br />
Na situação da figura 32.6, a corrente elétrica no circuito da esquerda tem sentido<br />
anti-horário. Ela gera um campo magnético na região do circuito da direita,<br />
perpendicular ao plano do circuito e entrando na folha <strong>de</strong> papel. Quando a<br />
resistência no circuito da esquerda é aumentada, a corrente do circuito<br />
485
diminui.Então, o campo magnético na região do circuito da direita diminui <strong>de</strong><br />
intensida<strong>de</strong> e, conseqüentemente, o fluxo <strong>de</strong>ste campo através do circuito diminui.<br />
Para compensar a diminuição do fluxo, surge uma corrente induzida no circuito da<br />
direita no sentido horário para que o fluxo do campo magnético gerado por ela<br />
através do circuito seja aumentado.<br />
ATIVIDADE 32.7<br />
A a força eletromotriz induzida na barra será:<br />
ε = I R<br />
ε = B h v e<br />
0<br />
−t/<br />
τ<br />
.<br />
E32.4) Uma barra metálica com 1,50 m <strong>de</strong> comprimento é puxada para a direita a<br />
uma velocida<strong>de</strong> constante <strong>de</strong> 5,0 m/s. O campo magnético vale 0,750 T. A barra<br />
<strong>de</strong>sliza sobre trilhos metálicos paralelos conectados através <strong>de</strong> um resistor <strong>de</strong> 25,0<br />
Ω, como indica a figura 32.14. A resistência da barra e dos trilhos po<strong>de</strong> ser<br />
<strong>de</strong>sprezada.<br />
(a) Calcule o módulo da fem induzida no circuito. Determine o sentido da corrente<br />
induzida no circuito<br />
(b) utilizando a força magnética sobre as cargas na barra que se move,<br />
(c) usando a lei <strong>de</strong> Faraday e<br />
(d) usando a lei <strong>de</strong> Lenz.<br />
(e) Calcule a corrente através do resistor.<br />
Note que a força eletromotriz existe enquanto a velocida<strong>de</strong> da barra for diferente<br />
<strong>de</strong> zero, isto é, enquanto hover aumento da área do circuito, ou, ainda, enquando<br />
houver aumento do fluxo magnetico através do circuito.<br />
ATIVIDADE 32.8<br />
Porque seus olhos não conseguem acompanhar variações <strong>de</strong> intensida<strong>de</strong> numa<br />
freqüência tão alta.<br />
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO<br />
E32.1) Uma bobina com 500 espiras circulares com raio igual a 4,0 cm é colocada<br />
entre os pólos <strong>de</strong> um gran<strong>de</strong> eletroímã on<strong>de</strong> o campo magnético é uniforme e<br />
forma um ângulo <strong>de</strong> 60º com o plano da bobina. O campo magnético diminui com<br />
uma taxa igual a 0,200 T/s. Qual é o módulo e o sentido da fem induzida?<br />
Figura 32.14: Exercício E32.4.<br />
E32.5) Um campo magnético uniforme B r é perpendicular ao plano <strong>de</strong> uma espira<br />
com 10,0 cm <strong>de</strong> diâmetro, formada por um fio com 2,5 mm e uma resistivida<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
−8<br />
1 ,69 × 10 Ωm . Qual <strong>de</strong>ve ser a variação <strong>de</strong> B r para que uma corrente <strong>de</strong> 10 A seja<br />
induzida na espira?<br />
E32.2) Uma espira circular com 12,0 cm <strong>de</strong> raio orientada no plano xy é colocada<br />
numa região on<strong>de</strong> há um campo magnético uniforme <strong>de</strong> 1,5 T, orientado no eixo z<br />
positivo. Determine a fem média que será induzida na espira quando ela for<br />
removida da região do campo num intervalo <strong>de</strong> tempo <strong>de</strong> 2,0 ms.<br />
E32.3) O rotor <strong>de</strong> um pequeno gerador é constituído por uma bobina chata <strong>de</strong><br />
seção reta com 120 espiras quadradas <strong>de</strong> lado igual a 1,60 cm. A bobina gira em<br />
um campo magnético <strong>de</strong> 0,075 T. Qual será a velocida<strong>de</strong> angular da bobina se a<br />
fem máxima produzida for igual a 24,0 mV?<br />
486<br />
487
AULA 33: CAMPO ELÉTRICO VARIÁVEL COM O TEMPO<br />
OBJETIVOS<br />
• DESCREVER AS PROPRIEDADES DO CAMPO ELÉTRICO VARIÁVEL COM O TEMPO<br />
• RELACIONAR E , v E B COM F q<br />
• DIFERENCIAR CAMPOS ELETROSTÁTICOS DE CAMPOS ELÉTRICOS INDUZIDOS<br />
• DESCREVER A ORIGEM DAS CORRENTES DE FOUCAULT<br />
• OBTER ε PARA OBSERVADORES EM MOVIMENTO RELATIVO<br />
33.1 O CAMPO ELÉTRICO INDUZIDO<br />
Vimos que um fluxo magnético variável induz uma força eletromotriz e uma<br />
corrente numa espira condutora. Devemos então concluir que há criação <strong>de</strong><br />
campo elétrico num condutor em consequência <strong>de</strong> um fluxo magnético<br />
variável. Na realida<strong>de</strong>, a lei da indução eletromagnética mostra que sempre há<br />
geração <strong>de</strong> um campo elétrico por um fluxo magnético variável, mesmo no vácuo, e<br />
quando não estão presentes cargas elétricas.<br />
Esse campo elétrico tem proprieda<strong>de</strong>s bastante diferentes do campo<br />
eletrostático induzido por distribuições <strong>de</strong> cargas.<br />
Po<strong>de</strong>mos ilustrar esse ponto pela análise <strong>de</strong> uma espira condutora <strong>de</strong> raio r ,<br />
situada num campo magnético uniforme, perpendicular ao plano da espira (figura<br />
33.1) e que varia com o tempo.<br />
campo é <strong>de</strong>terminado pela lei <strong>de</strong> Lenz; no caso da Figura 33.1, o fluxo do campo<br />
magnético está aumentando e, por isso, a corrente <strong>de</strong>ve gerar um campo<br />
magnético induzido cujo fluxo ten<strong>de</strong> a compensar este aumento, isto é, saindo do<br />
papel no sentido anti-horário.<br />
ATIVIDADE 33.1<br />
Como ficará o campo elétrico induzido na figura 33.1 se o campo magnético estiver<br />
diminuindo com o tempo? E se o campo magnético estiver saindo do plano do<br />
papel?<br />
O trabalho realizado no <strong>de</strong>slocamento <strong>de</strong> uma carga <strong>de</strong> prova q (positiva)<br />
por todo o circuito da Figura 33.1 é:<br />
on<strong>de</strong> a integral é feita sobre todo o circuito.<br />
r r<br />
W = q ∫ E • dl<br />
,<br />
Por outro lado, o trabalho por unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> carga realizado no <strong>de</strong>slocamento<br />
ao longo <strong>de</strong> todo o circuito é igual à força eletromotriz que atua no circuito:<br />
W<br />
q<br />
= ε.<br />
Igualando essas duas equações, encontramos a relação entre a força<br />
eletromotriz e o campo elétrico induzidos no circuito pela variação do fluxo<br />
magnético através <strong>de</strong>le:<br />
r r<br />
ε = ∫ E • dl<br />
(33.1)<br />
Figura 33.1: Espira condutora e força elétrica induzida. Nesse caso, o fluxo magnético está<br />
aumentando.<br />
A lei <strong>de</strong> Lenz nos dá o sentido do campo elétrico ao longo da curva<br />
(fechada) <strong>de</strong> integração.<br />
Se o campo magnético se altera com o tempo, então a lei <strong>de</strong> Faraday nos<br />
diz que ocorre a indução <strong>de</strong> uma força eletromotriz dada por ε = −dΦ<br />
m<br />
/ dt . A<br />
corrente induzida que se produz é consequência do aparecimento do campo elétrico<br />
induzido E r que <strong>de</strong>ve ser tangente à espira em todos os pontos. O sentido do<br />
488<br />
489
EXEMPLO 33.1<br />
Calcule o campo elétrico induzido na espira <strong>de</strong> raio r da Figura 33.1, sabendo que<br />
o campo magnético na região do circuito é uniforme e aumenta com uma taxa<br />
dB / dt .<br />
PENSE E RESPONDA 33.1<br />
dB r<br />
Se for positivo qual é a orientação <strong>de</strong> E ? Ou vice versa?<br />
dt<br />
Solução:<br />
Para <strong>de</strong>terminar o campo elétrico, temos que <strong>de</strong>terminar uma curva <strong>de</strong> integração<br />
para a equação (33.1). Como po<strong>de</strong>mos ver, a simetria do problema nos diz que<br />
esta curva <strong>de</strong>ve ser um círculo <strong>de</strong> raio r. Escolhendo, então, como o sentido<br />
positivo do percurso da curva <strong>de</strong> integração (o sentido <strong>de</strong><br />
mesmo sentido <strong>de</strong> E r , obtemos:<br />
W = q E ( 2π<br />
r),<br />
dl<br />
r ), como sendo o<br />
É importante compreen<strong>de</strong>r que este resultado vale também na<br />
ausência <strong>de</strong> um condutor. Ou seja, o campo elétrico induzido exisirá<br />
in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntemente da presença <strong>de</strong> qualquer carga <strong>de</strong> prova! Isso quer<br />
dizer que uma carga livre num campo magnético variável sofrerá a ação<br />
<strong>de</strong>sse mesmo campo elétrico.<br />
No caso geral, como a força eletromotriz induzida é o trabalho por<br />
unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> carga realizado pelo campo elétrico no <strong>de</strong>slocamento da carga<br />
ao longo <strong>de</strong> uma curva <strong>de</strong> integração fechada, po<strong>de</strong>mos escrever que:<br />
on<strong>de</strong> r é o raio da espira. Então, <strong>de</strong> 33.1 vem:<br />
ou:<br />
ε = E ⋅ 2π<br />
r<br />
ε<br />
E =<br />
2π<br />
r<br />
Com este resultado e a lei <strong>de</strong> Faraday, <strong>de</strong>scobrimos que o campo E r assim gerado<br />
é:<br />
ou:<br />
| E |=<br />
Portanto, se a variação <strong>de</strong> B r<br />
2<br />
( Bπ<br />
r )<br />
2<br />
1 ⎛ dΦ<br />
m ⎞ 1 d<br />
π r<br />
⎜−<br />
⎟ = −<br />
= −<br />
2π r ⎝ dt ⎠ 2π<br />
r dt 2π<br />
r<br />
2<br />
( Bπ<br />
)<br />
1 d<br />
| E |= −<br />
r<br />
2π<br />
r dt<br />
2<br />
π r<br />
| E |= −<br />
2π<br />
r<br />
E<br />
dB<br />
dt<br />
r dB<br />
= − .<br />
2 dt<br />
dB<br />
dt<br />
com o tempo for especificada, o campo elétrico<br />
induzido po<strong>de</strong> ser calculado e seu sentido <strong>de</strong>ve ser tal que se oponha à<br />
variação do fluxo magnético<br />
∫<br />
r r dΦ<br />
E • dl = −<br />
dt<br />
m<br />
(33.1)<br />
É sempre bom relembrar que a integral <strong>de</strong> linha da equação acima é feita<br />
ao longo <strong>de</strong> uma curva fechada. Para isso, <strong>de</strong>vemos escolher um sentido <strong>de</strong><br />
percurso da curva como positivo.<br />
1) É importante ter sempre em mente que os campos elétricos criados<br />
por indução não são associados a cargas elétricas, mas sim, a um<br />
fluxo magnético variável no tempo. Há então, uma diferença<br />
fundamental entre o campo gerado por cargas elétricas e o gerado por<br />
indução. Por exemplo, as linhas <strong>de</strong> força <strong>de</strong> um campo associado a cargas<br />
elétricas têm início em uma carga positiva e término em uma carga<br />
negativa. As linhas <strong>de</strong> força <strong>de</strong> campos elétricos induzidos são<br />
sempre linhas fechadas, isto é, sem extremida<strong>de</strong> livre.<br />
2) Outro ponto importante é que o campo elétrico gerado por cargas elétricas é<br />
conservativo. Com efeito, a diferença <strong>de</strong> potencial entre dois pontos <strong>de</strong>ste<br />
campo:<br />
b r r<br />
V −V<br />
= −∫ E • dl<br />
b<br />
a<br />
a<br />
tem sempre o mesmo valor, in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntemente da trajetória escolhida para<br />
calcular a integral do campo elétrico. Em particular, quando o ponto A<br />
coinci<strong>de</strong> com o ponto B, obtemos:<br />
490<br />
491
V −V<br />
= −<br />
a<br />
a<br />
∫ a a<br />
r r<br />
E • dl<br />
= 0<br />
isto é, ao longo <strong>de</strong> uma curva fechada, a integral é nula. Por outro lado,<br />
quando o campo elétrico é induzido por uma variação temporal do<br />
fluxo magnético, a integral do campo elétrico ao longo <strong>de</strong> uma curva<br />
fechada não é zero, pois, <strong>de</strong> acordo com a lei <strong>de</strong> Faraday:<br />
r r dΦ<br />
m<br />
∫ E • dl = − ,<br />
dt<br />
ou seja, o campo induzido não é um campo conservativo.<br />
solenói<strong>de</strong> e tomemos a curva da integral <strong>de</strong> linha como um círculo passando pelo<br />
ponto consi<strong>de</strong>rado, com centro no eixo do solenói<strong>de</strong> e raio r (Figura 33.2b). Por<br />
simetria, vemos que o módulo <strong>de</strong> E r é constante sobre essa curva e tangente a ela<br />
em todos os pontos. O fluxo magnético que atravessa a curva é, em um instante<br />
qualquer:<br />
Assim, pela lei <strong>de</strong> Faraday:<br />
∫<br />
r r dΦ<br />
E • dl = − = −<br />
dt<br />
2<br />
∫ B<br />
r • nˆ<br />
dA = B ( π R )<br />
d<br />
dt<br />
2<br />
( B R )<br />
π = −π R<br />
2<br />
dB<br />
dt<br />
3) O campo elétrico iinduzido E r nunca po<strong>de</strong>rá ser um campo eletrostático!<br />
Portanto, a noção <strong>de</strong> potencial e energia potencial para este tipo <strong>de</strong> campo<br />
elétrico não tem significado algum, ou seja, não faz sentido dfinir essas<br />
gran<strong>de</strong>zas para um campo elétrico induzido.<br />
<strong>de</strong> on<strong>de</strong> se tira:<br />
r r<br />
E • dl = E ⋅ 2π<br />
r = −π<br />
R<br />
∫<br />
2<br />
dB<br />
dt<br />
EXEMPLO 33.2<br />
Um solenói<strong>de</strong> comprido, <strong>de</strong> raio R , tem n espiras por unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> comprimento e<br />
conduz uma corrente senoidal variável dada por: I = I 0<br />
cos(<br />
ω t)<br />
(Figura 33.2a).<br />
Como<br />
B = µ<br />
0nI<br />
e I = I0cosω<br />
t , temos:<br />
2 d<br />
E ⋅ 2π r = −π R ( µ<br />
0<br />
n I0<br />
cosω<br />
t)<br />
dt<br />
tal que:<br />
E ⋅<br />
2<br />
π r = +π R µ n I ω sin ( ω t).<br />
2<br />
0 0<br />
Logo:<br />
(a) (b)<br />
Figura 33.2: Solenói<strong>de</strong> envolto por arame: (a) visão do lateral do solenói<strong>de</strong>;<br />
(b)visão frontal a partir do lado esquerdo do solenói<strong>de</strong>.<br />
(a) Determinar o campo fora do solenói<strong>de</strong>.<br />
(b) Qual o campo elétrico no interior do solenói<strong>de</strong> a uma distância<br />
centro?<br />
Solução:<br />
r < R do<br />
(a) Primeiramente consi<strong>de</strong>remos um ponto externo à distância r do eixo do<br />
492<br />
2<br />
µ n I<br />
0<br />
ω R<br />
E =<br />
0 sin(<br />
ω t ) ( r > )<br />
2 r<br />
R<br />
Então vemos que o campo elétrico varia senoidalmente com o tempo e sua<br />
intensida<strong>de</strong> <strong>de</strong>cai com<br />
1/ r para pontos fora do solenói<strong>de</strong>.<br />
(b) Para pontos <strong>de</strong>ntro do solenói<strong>de</strong>, temos, escolhendo uma curva circular <strong>de</strong><br />
integração <strong>de</strong> raio r, que:<br />
ou:<br />
E ⋅ 2π<br />
r = −π<br />
r<br />
2<br />
dB<br />
dt<br />
493
E = −<br />
2<br />
E<br />
E<br />
E<br />
dB<br />
dt<br />
r d<br />
−<br />
2 dt<br />
( µ n I cos( ω ))<br />
=<br />
0 0<br />
t<br />
r<br />
µ<br />
0<br />
n I ω sin ( ω t)<br />
2<br />
=<br />
0<br />
µ n I ω r<br />
0 sin ( ω t)<br />
( r < )<br />
2<br />
R<br />
=<br />
0<br />
isso colocamos o campo magnético apenas na região interior à borda, <strong>de</strong> tal forma<br />
que o campo magnético seja zero nessa região. Assim, é mesmo o campo elétrico<br />
que faz o disco girar.<br />
Isso mostra que a amplitu<strong>de</strong> <strong>de</strong> E r no interior do solenói<strong>de</strong> cresce linearmente com<br />
r e varia senoidalmente com o tempo.<br />
ATIVIDADE 33.2<br />
Faça um esboço do campo elétrico em função <strong>de</strong> r .<br />
(a) (b)<br />
Figura 33.3: Disco com linha <strong>de</strong> cargas<br />
EXEMPLO 33.3<br />
Uma linha <strong>de</strong> cargas com condutivida<strong>de</strong> λ é grudada na borda <strong>de</strong> um disco<br />
metálico <strong>de</strong> raio b suspenso horizontalmente, como mostra a figura 33.3a, <strong>de</strong> tal<br />
forma que o disco esteja livre para girar. Na região central, até o raio a , existe um<br />
campo magnético uniforme B 0<br />
. Se o campo for <strong>de</strong>sligado, o que acontecerá?<br />
Solução:<br />
O campo magnético variável no tempo vai induzir um campo elétrico, em torno do<br />
eixo do disco. De acordo com a lei <strong>de</strong> Lenz o campo elétrico induzido terá o sentido<br />
<strong>de</strong> circulação em torno do eixo do disco <strong>de</strong> modo a provocar uma restauração do<br />
fluxo magnético inicial; portanto, ele estará com sentido anti-horário (Figura<br />
33.3b). Como consequência, o campo elétrico induzido exercerá uma força nas<br />
cargas que estão na borda da roda (como que estabelecendo uma corrente elétrica<br />
induzida que circula no mesmo sentido do campo elétrico) e o disco começará a<br />
girar no sentido anti-horário também. Quantitativamente, temos:<br />
ATIVIDADE 33.2<br />
Porque o campo magnético não po<strong>de</strong>ria ocupar toda a área do disco?<br />
33.2 CORRENTES DE FOUCAULT<br />
A Figura 33.4 mostra uma placa metálica que se move para a direita em um<br />
campo magnético. Parte da área da placa está contida no campo magnético e parte<br />
está fora <strong>de</strong>le. Como sabemos, a variação temporal do fluxo magnético através da<br />
área gera uma força eletromotriz e uma corrente elétrica induzidas em volta da<br />
curva que <strong>de</strong>limita a área da placa. O sentido da corrente , indicado na figura, é<br />
resultado da diminuição do fluxo magnético na área do circuito, o que induz uma<br />
fem e corrente induzida que criam um campo magnético induzido entrando na folha<br />
<strong>de</strong> papel. O campo magnético exerce uma força sobre esta corrente cujo sentido é<br />
oposto ao do movimento da placa, opondo-se então ao movimento <strong>de</strong>la.<br />
∫<br />
r r dΦ<br />
E • dl = − = −π<br />
a<br />
dt<br />
2<br />
dB<br />
dt<br />
Note que quem é responsável pela rotação é o campo elétrico induzido. Por<br />
Figura 33.4: Correntes <strong>de</strong> Foucault.<br />
494<br />
495
ATIVIDADE 33.3<br />
O produto nos quatro lados da placa está <strong>de</strong> acordo com a conclusão <strong>de</strong> que a<br />
força atua no sentido oposto ao do movimento da placa?<br />
Dica: Quanto vale o produto no lado direito, fora da região do campo magnético?<br />
As correntes induzidas em várias partes da placa são <strong>de</strong>nominadas correntes<br />
<strong>de</strong> Foucault em homenagem a Jean B. L. Foucault (1819-1868). Ele <strong>de</strong>monstrou<br />
que a frenagem da placa <strong>de</strong>corrente da força magnética sobre as correntes elétricas<br />
nela induzidas, gera calor por efeito Joule, o qual é transferido para o ambiente.<br />
Isto causa uma perda <strong>de</strong> potência no funcionamento <strong>de</strong> motores e geradores.<br />
seja pelo movimento do campo magnético relativo ao circuito ou pela mudança do<br />
fluxo magnético <strong>de</strong>vida à mudança da forma do circuito. Entretanto, observadores<br />
que estão em movimento relativo, embora meçam o mesmo valor da força<br />
eletromotriz, têm <strong>de</strong>scrições microscópicas diferentes para o fenômeno da indução.<br />
Na aula anterior vimos como um observador em repouso, relativamente a<br />
um campo magnético, <strong>de</strong>screve a o aparecimento da força eletromotriz. Vamos<br />
repetir o mesmo raciocínio, só que <strong>de</strong>sta vez usando uma carga positiva ao invés<br />
<strong>de</strong> um elétron.<br />
A potência perdida po<strong>de</strong> ser reduzida aumentando a dificulda<strong>de</strong> <strong>de</strong> produção<br />
das correntes induzidas. Por exemplo, uma maneira <strong>de</strong> reduzir as correntes é cortar<br />
a placa no formato <strong>de</strong> um pente, reduzindo assim a área <strong>de</strong> atuação <strong>de</strong>las.<br />
PENSE E RESPONDA 33.2<br />
Como o formato <strong>de</strong> pente das placas ajuda a reduzir as correntes <strong>de</strong> Foucault?<br />
Figura 33.5: O movimento <strong>de</strong> uma carga elétrica visto por um observador em repouso<br />
relativo a um campo magnético<br />
As correntes <strong>de</strong> Foucault po<strong>de</strong>m também ser usadas <strong>de</strong> modo útil. Em<br />
geral elas são utilizadas para amortecer oscilações, como numa balança mecânica<br />
muito sensível. Quando tocada a balança leva muito tempo até se estabilizar para<br />
que se possa efetuar as medidas; as correntes <strong>de</strong> Foucault auxiliam a reduzir este<br />
tempo <strong>de</strong> oscilação.<br />
Outra aplicação importante está nos sistemas <strong>de</strong> frenagem magnéticos,<br />
como os usados em gran<strong>de</strong>s máquinas como trens. Neles, há um gran<strong>de</strong> eletroímã<br />
colocado acima dos trilhos. Quando o ímã é acionado por uma corrente elétrica, o<br />
campo magnético gerado por ele cria correntes <strong>de</strong> Foucault nos trilhos, as quais,<br />
por sua vez, fornecem uma força <strong>de</strong> frenagem sobre o imã, freando assim o trem.<br />
Seja um observador S em repouso relativamente ao campo magnético,<br />
conforme indicado na figura 33.5. Quando o circuito se move para a direita em<br />
relação a ele, a carga elétrica (positiva agora) é carregada pelo circuito e tem uma<br />
velocida<strong>de</strong> v r para a direita. Ao mesmo tempo ela se <strong>de</strong>sloca sobre o fio do circuito,<br />
e tem uma velocida<strong>de</strong> v r<br />
d<br />
<strong>de</strong> arraste constante em relação ao circuito, com sentido<br />
para cima <strong>de</strong>vido à força eletromotriz induzida. A velocida<strong>de</strong> resultante da carga<br />
elétrica, relativamente ao observador S, é a soma vetorial das duas velocida<strong>de</strong>s e<br />
faz um ângulo θ com o sentido <strong>de</strong> movimento do circuito. A força magnética que<br />
atua sobre a carga é perpendicular à velocida<strong>de</strong> resultante V r , da carga, sendo<br />
dada por:<br />
33.3 A INDUÇÃO E O MOVIMENTO RELATIVO<br />
A lei <strong>de</strong> Faraday <strong>de</strong>screve perfeitamente a força eletromotriz induzida seja<br />
pelo movimento <strong>de</strong> um circuito em relação a um campo magnético que o envolve,<br />
496<br />
r r r<br />
= qV × B.<br />
F m<br />
Ela po<strong>de</strong> ser <strong>de</strong>composta em duas componentes: uma, com módulo<br />
497
F m<br />
senθ e direção do movimento do circuito, mas com sentido oposto a ele; e<br />
como<br />
v d<br />
dt é a mesma distância dl que a carga percorre no condutor, durante o<br />
outra, com módulo<br />
F<br />
m<br />
cosθ<br />
, dirigida para cima na figura 33.5. A primeira<br />
intervalo <strong>de</strong> tempo dt , temos que:<br />
componente ten<strong>de</strong> a fazer a carga elétrica sair pela pare<strong>de</strong> lateral do fio do circuito.<br />
A segunda componente ten<strong>de</strong> a fazer a carga acelerar na direção paralela<br />
ao fio. Entretanto, nenhuma das duas coisas ocorre. A componente paralela ao fio é<br />
equilibrada pelas forças internas <strong>de</strong> colisão a que a carga elétrica fica sujeita ao se<br />
<strong>de</strong>slocar no fio. Isso faz com que a velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong> arraste da carga seja constante.<br />
Como a carga elétrica não sai do fio, concluímos que a componente da força<br />
magnética perpendicular ao fio <strong>de</strong>ve ser compensada pela reação normal<br />
N = F senθ da pare<strong>de</strong> do fio sobre a carga elétrica. Esta força é a força externa<br />
m<br />
que <strong>de</strong>ve ser aplicada ao circuito para que este se <strong>de</strong>sloque com velocida<strong>de</strong><br />
constante em relação ao observador S.<br />
PENSE E RESPONDA 33.3<br />
O sentido do vetor N r na figura está consistente com a discussão acima? Desenhe<br />
o vetor que representa as forças internas na figura 33.5<br />
O trabalho realizado pela força<br />
<strong>de</strong>slocamento do circuito em um intervalo <strong>de</strong> tempo dt é:<br />
em que<br />
r r<br />
dW = N • dl =<br />
N r sobre a carga elétrica durante o<br />
( F senθ )( dl) cos0°<br />
= F senθ<br />
( v dt)<br />
m<br />
dW = Fm senθ<br />
( v dt),<br />
dl = v dt é a distância percorrida pelo circuito no intervalo <strong>de</strong> tempo dt .<br />
Substituindo a força magnética por F m<br />
= qv B e senθ<br />
= vd / v vem:<br />
m<br />
dW = qBv dl.<br />
O trabalho total realizado sobre a carga quando ela dá uma volta completa<br />
no circuito é:<br />
l<br />
W = ∫ dW =<br />
+<br />
x<br />
∫ qBvdl + ∫ qBvdl + ∫ qBvdl ∫<br />
0 0<br />
porque os trabalhos efetuados nos ramos superior e inferior do circuito são iguais e<br />
<strong>de</strong> sinais contrários; não há trabalho no ramo do circuito fora do campo magnético;<br />
resta, então, apenas o ramo vertical <strong>de</strong>ntro do campo magnético. Ou seja:<br />
W = qvBl.<br />
Como este trabalho faz mover a carga elétrica, estabelecendo uma corrente<br />
elétrica no circuito, ele po<strong>de</strong> ser visto como uma fonte <strong>de</strong> força eletromotriz. Da<br />
<strong>de</strong>finição <strong>de</strong> força eletromotriz vem, então que:<br />
W ε = = Bl v.<br />
q<br />
Que é exatamente o resultado da lei <strong>de</strong> Faraday obtido<br />
anteriormente. Assim, a força eletromotriz induzida está intimamente<br />
ligada à <strong>de</strong>flexão lateral das cargas elétricas no circuito em movimento em<br />
um campo magnético.<br />
PENSE E RESPONDA 33.4<br />
0<br />
x<br />
o<br />
l<br />
0dl<br />
⎛ vd<br />
⎞<br />
dW = ( qvB)<br />
⎜ ⎟v dt = ( qBv)(<br />
vd<br />
dt)<br />
⎝ v ⎠<br />
dW = ( qvB)( v dt),<br />
498<br />
Certifique-se que<br />
W = qvBl fazendo a integração ao longo do circuito.<br />
Vejamos agora a <strong>de</strong>scrição do fenômeno, visto por um observador S’ em<br />
repouso relativamente ao circuito. Para ele é o campo magnético que se <strong>de</strong>sloca<br />
499
para a esquerda com velocida<strong>de</strong><br />
(Figura 33.6).<br />
− v r e a carga elétrica não se move lateralmente<br />
Resumindo: o observador em repouso relativamente ao campo<br />
magnético só tem conhecimento <strong>de</strong>ste campo, que é responsável pela força<br />
que <strong>de</strong>sloca as cargas elétricas do circuito. Portanto, para ele, esta força é<br />
puramente <strong>de</strong> origem magnética.<br />
A força eletromotriz induzida é dada por:<br />
r r r<br />
ε = ( v × B)<br />
• d l .<br />
(33.3)<br />
∫<br />
Figura 33.6: O movimento <strong>de</strong> uma carga elétrica visto por um observador em repouso<br />
relativo a um circuito que se move em um campo magnético.<br />
O observador vê a carga se <strong>de</strong>slocando no sentido horário no circuito e<br />
explica este fato postulando a existência <strong>de</strong> um campo elétrico induzido no circuito<br />
pelo movimento do campo magnético. Este campo elétrico, que aparece apenas<br />
entre as extremida<strong>de</strong>s do fio vertical da esquerda, está associado a uma força<br />
eletromotriz e gera uma corrente elétrica no circuito. Esta força eletromotriz vale:<br />
r r<br />
ε = ∫ E • dl = E l<br />
porque não há campo elétrico induzido nos fios horizontais do circuito, nem no fio<br />
vertical da direita, que está fora do campo magnético.<br />
As duas expressões para a força eletromotriz, obtidas pelos dois<br />
observadores, <strong>de</strong>vem ser iguais. Então, igualando-as, vem:<br />
ε = Blv = El<br />
E = vB.<br />
Por outro lado, o observador em repouso relativamente ao fio só tem<br />
conhecimento da existência do campo elétrico que, para ele, é o responsável pela<br />
força (elétrica) que move as cargas. Para ele, a força eletromotriz é:<br />
r r<br />
ε = ∫ E • d l<br />
em que E r é o campo elétrico induzido que ele observa nos diferentes pontos do<br />
circuito.<br />
PENSE E RESPONDA 33.5<br />
Comente a expressão: “Observadores em diferentes estados <strong>de</strong> movimento<br />
me<strong>de</strong>m a mesmo força eletromotriz induzida mas discordam sobre a origem da<br />
força que induz o movimento”<br />
Para um observador que vê tanto o circuito quanto o campo magnético se<br />
movendo, a força que produz a corrente elétrica é uma combinação da força<br />
elétrica com a magnética:<br />
r r r r<br />
F = qE + qv × B<br />
tal que:<br />
Lembrando que o vetor E r está dirigido para cima no fio da esquerda, que o<br />
vetor B r é perpendicular a E r e a v r , po<strong>de</strong>mos escrever esta última expressão na<br />
forma vetorial (verifique com a regra da mão direita!):<br />
r<br />
F r r r<br />
= E + v × B.<br />
q<br />
r<br />
E<br />
r r<br />
v × B.<br />
Em outras palavras, cada observador vê forças diferentes,<br />
500<br />
501<br />
= (33.2)
esultantes <strong>de</strong> combinações diferentes <strong>de</strong><br />
r<br />
E v<br />
r r<br />
, e B<br />
mas, quando todas são<br />
RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES<br />
combinadas, todos os observadores formam a mesma combinação para<br />
r<br />
F / q e me<strong>de</strong>m a mesma força eletromotriz induzida no circuito. Portanto, a<br />
força total é a mesma, mas observadores diferentes estimam <strong>de</strong> modo<br />
diferente a contribuição das forças elétricas e magnéticas para a força<br />
total.<br />
ATIVIDADE 33.1<br />
Se o campo magnético estiver diminindo com o tempo, o campo elétrico induido<br />
terá sentido anti-horário. Se o campo campo magnético estiver saindo do plano do<br />
papel, o campo elétrico induzido terá sentido horário se o campo magnético estiver<br />
aumentando e anti-horário <strong>de</strong> tiver diminuindo.<br />
PENSE E RESPONDA<br />
PR33.5) Um anel metálico está com o plano orientado perpendicularmente a um<br />
campo magnético uniforme que aumente a uma taxa constante. Se o raio do anel<br />
for duplicado, por qual fator variará (a) a fem induzida no anel e (b) o campo<br />
elétrico induzido no anel?<br />
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO<br />
E33.1) Um solenói<strong>de</strong> fino possui 900 espiras por metro e raio igual a 2,50 cm. A<br />
corrente no solenói<strong>de</strong> cresce a uma taxa uniforme <strong>de</strong> 60,0 A/s. Qual é o módulo do<br />
campo elétrico induzido em ponto próximo do centro o solenói<strong>de</strong> e situado a uma<br />
distância do eixo do solenói<strong>de</strong> (a) 0,50 cm e (b) 1,00 cm?<br />
E33.2) O campo magnético <strong>de</strong> um ímã cilíndrico com 3,3 cm <strong>de</strong> diâmetro varia<br />
senoidalmente entre 29,6 3 30,0 T com uma freqüência <strong>de</strong> 15 Hz. Qual é a<br />
amplitu<strong>de</strong> do campo elétrico induzido por esta variação a uma distância <strong>de</strong> 1,6 cm<br />
do eixo do cilindro?<br />
E33.3) Um solenói<strong>de</strong> reto e longo com seção reta <strong>de</strong> área <strong>de</strong> 8,0 cm 2 contém 90<br />
espiras por metro e conduz uma corrente igual a 0,350 A. Um segundo<br />
enrolamento com 12 espiras circunda o centro do solenói<strong>de</strong>. A corrente do<br />
solenói<strong>de</strong> é <strong>de</strong>sligada <strong>de</strong> modo que o campo magnético do solenói<strong>de</strong> se anula em<br />
0,040s. Qual é a fem média induzida no segundo enrolamento?<br />
E33.4) Um anel metálico <strong>de</strong> 4,50 cm <strong>de</strong> raio é colocado entre os pólos norte e sul<br />
<strong>de</strong> gran<strong>de</strong>s ímãs, cujos planos <strong>de</strong> área são perpendiculares ao campo magnético.<br />
Esses ímãs produzem um campo inicial uniforme <strong>de</strong> 1,12 T. Os ímãs são <strong>de</strong>slocadas<br />
gradualmente fazendo com que o campo permaneça constante mas diminua a uma<br />
502<br />
503
taxa <strong>de</strong> 0,250 T. (a) Qual é o módulo do campo elétrico induzido no anel? (b) Em<br />
qual sentido a corrente flui, do ponto <strong>de</strong> vista <strong>de</strong> alguém no pólo sul do ímã?<br />
PROBLEMAS DA UNIDADE<br />
504<br />
505
UNIDADE XI<br />
INDUTÂNCIA<br />
Os indutores são dispositivos análogos aos capacitores. Ao serem<br />
atravessados por uma corrente elétrica, nos possibilitam criar e manter campos<br />
magnéticos em <strong>de</strong>terminadas regiões do espaço. Nesta unida<strong>de</strong> começaremos pela<br />
<strong>de</strong>finição <strong>de</strong> indutância. Depois estudaremos a diferença <strong>de</strong> potencial associada<br />
com os indutores e como eles atuam em circuitos elétricos. Por fim, estudaremos a<br />
auto indutância, a associação <strong>de</strong> indutores e sua indutância mútua.<br />
506<br />
507
AULA 34 INDUTORES E INDUTÂNCIA<br />
OBJETIVOS<br />
• APLICAR OS CONCEITOS DE INDUTORES E INDUTÂNCIA<br />
• CALCULAR A DENSIDADE DE ENERGIA EM UM INDUTOR<br />
34.1 INDUTORES E INDUTÂNCIA<br />
Se fizermos variar o valor da corrente que percorre o condutor, o valor do<br />
campo magnético gerado sofrerá uma variação.<br />
Por isso, o fluxo <strong>de</strong>sse campo na região das espiras formadas pelo fio<br />
condutor irá variar e, <strong>de</strong> acordo com a lei <strong>de</strong> Faraday, surgirá uma força<br />
eletromotriz induzida em cada espira <strong>de</strong>sse mesmo condutor.<br />
A força eletromotriz gerada entre os terminais do dispositivo é a soma das<br />
forças eletromotrizes em cada espira.<br />
Para calcularmos esta fem induzida <strong>de</strong>vemos conhecer o fluxo do campo<br />
magnético em cada uma das espiras e assim efetuarmos a soma:<br />
INDUTORES são dispositivos que ao serem atravessados por uma corrente<br />
elétrica, nos possibilitam criar e manter campos magnéticos em <strong>de</strong>terminadas<br />
regiões do espaço.<br />
Os indutores são análogos aos capacitores, os quais nos permitem criar e<br />
manter campos elétricos nas porções do espaço limitadas por suas placas por meio<br />
da separação <strong>de</strong> cargas positivas e negativas<br />
Na figura 34.1 po<strong>de</strong>-se ver um condutor enrolado em forma helicoidal que,<br />
quando percorrido por uma corrente, gera um campo magnético razoavelmente<br />
intenso em seu eixo. Algumas linhas <strong>de</strong> indução do campo magnético são<br />
representadas na figura por linhas tracejadas.<br />
d ϕ ⎞<br />
⎠<br />
d<br />
B<br />
ind<br />
= ∑ ⎜− ⎟ = − ∑ ϕB<br />
espiras dt dt<br />
. (34.1)<br />
espiras<br />
ε<br />
⎛<br />
⎝<br />
Em geral não é possível calcular, exatamente, o campo magnético, e por<br />
conseqüência seu fluxo, em cada espira. Entretanto, em alguns casos específicos,<br />
po<strong>de</strong>mos realizar esse cálculo e encontrar resultados interessantes.<br />
O protótipo dos indutores é um solenói<strong>de</strong>, <strong>de</strong> raio R e comprimento H, com<br />
um gran<strong>de</strong> número <strong>de</strong> espiras e com seu comprimento muito maior que seu raio,<br />
como mostrado na figura 34.2.<br />
i<br />
i<br />
Figura 34.2: Um solenói<strong>de</strong> próximo do i<strong>de</strong>al com um comprimento H algumas vezes<br />
maior que seu raio R.<br />
Figura 34.1: Um condutor enrolado em forma helicoidal quando percorrido por uma corrente<br />
gera um campo magnético razoavelmente intenso na parte interna mas bem pequeno na<br />
parte externa. As linhas tracejadas representam algumas linhas <strong>de</strong> indução do campo<br />
magnético.<br />
Neste caso temos um campo aproximadamente uniforme no interior do<br />
dispositivo e praticamente nulo em seu exterior.<br />
Obviamente o campo não é exatamente nulo fora do indutor, sendo<br />
semelhante ao produzido por um longo ímã linear, com os pólos norte e sul<br />
bastante longe um do outro. O campo magnético só é intenso no interior<br />
508<br />
509
do solenói<strong>de</strong> e, no exterior, próximo a suas extremida<strong>de</strong>s, diminuindo<br />
rapidamente quando nos afastamos <strong>de</strong>stas.<br />
Para calcularmos o fluxo conjugado das espiras, <strong>de</strong>sprezamos os<br />
efeitos da <strong>de</strong>formação das linhas <strong>de</strong> indução do campo nas duas extremida<strong>de</strong>s do<br />
solenói<strong>de</strong>. Esta aproximação é equivalente à que se fez ao consi<strong>de</strong>rarmos um<br />
capacitor <strong>de</strong> placas paralelas, com dimensões muito maiores que a distância entre<br />
elas, e admitirmos nesse espaço um campo elétrico uniforme, <strong>de</strong>sprezando o<br />
encurvamento das linhas <strong>de</strong> força nas bordas das placas.<br />
As espiras do solenói<strong>de</strong> <strong>de</strong>finem planos perpendiculares ao seu eixo e seus<br />
vetores normais são, portanto, paralelos a esse eixo, ou seja, têm a mesma direção<br />
do campo magnético. O valor do campo (uniforme) multiplicado pela área da seção<br />
reta do solenói<strong>de</strong> é o fluxo em cada espira. Multiplicado pelo número <strong>de</strong> espiras nos<br />
fornece o que <strong>de</strong>sejamos encontrar, que é o fluxo conjugado <strong>de</strong> todas as<br />
espiras.<br />
O campo magnético no interior <strong>de</strong> um solenói<strong>de</strong>, percorrido por uma<br />
corrente i , po<strong>de</strong> ser calculado com o uso da lei <strong>de</strong> Ampère e é dado pela<br />
expressão:<br />
B sol 0<br />
= µ n i ,<br />
on<strong>de</strong> n = N H é o número <strong>de</strong> espiras por unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> comprimento.<br />
sendo<br />
O fluxo conjugado no solenói<strong>de</strong> é então:<br />
2<br />
∑ B<br />
N A ( ni ) n V i , (34.2)<br />
ϕ = ϕ = µ = µ<br />
B, sol<br />
0 0<br />
espiras<br />
2<br />
A = πR a área da seção reta e V = AH o volume do solenói<strong>de</strong>.<br />
Po<strong>de</strong>mos ver que o fluxo conjugado é proporcional à corrente que<br />
percorre o solenói<strong>de</strong>.<br />
A constante <strong>de</strong> proporcionalida<strong>de</strong> entre o fluxo e a corrente é o resultado <strong>de</strong><br />
um produto <strong>de</strong> fatores que são constantes e envolvem apenas características<br />
geométricas do dispositivo em questão, além da permeabilida<strong>de</strong> magnética do<br />
vácuo. Devido a sua importância, dá-se o nome específico <strong>de</strong> indutância, a esse<br />
conjunto <strong>de</strong> fatores ou a esta constante <strong>de</strong> proporcionalida<strong>de</strong>.<br />
Po<strong>de</strong>mos resumir as idéias dizendo que o fluxo conjugado <strong>de</strong> todas<br />
as espiras é igual à indutância do indutor multiplicada pela intensida<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
corrente que o atravessa:<br />
sendo L o símbolo usual utilizado para a indutância.<br />
φ<br />
B , conj<br />
= Li , (34.3)<br />
Esta gran<strong>de</strong>za é também <strong>de</strong>nominada auto-indutância, pois está ligada ao<br />
cálculo do fluxo do campo magnético, na região das espiras, provocado pela<br />
corrente que percorre o próprio dispositivo. Isto é, uma corrente elétrica em um<br />
dispositivo faz com que seja criado um campo magnético que é responsável por um<br />
fluxo <strong>de</strong> campo na região entre suas próprias espiras.<br />
solenói<strong>de</strong>:<br />
Po<strong>de</strong>mos, então, escrever a expressão para a auto-indutância <strong>de</strong> um<br />
2<br />
L sol<br />
µ 0<br />
= n V . (34.4)<br />
A <strong>de</strong>pendência da indutância com o quadrado do número <strong>de</strong> espiras é<br />
esperada, pois o campo que gera um fluxo em cada espira é proporcional a N e o<br />
fluxo conjugado das N espiras <strong>de</strong>ve ser novamente multiplicado por este número.<br />
A unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> indutância é o resultado da divisão <strong>de</strong> uma unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> fluxo<br />
magnético por uma unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> corrente. Por sua importância recebe, no sistema<br />
internacional <strong>de</strong> unida<strong>de</strong>s (SI) o nome <strong>de</strong> henry (abreviatura H) em homenagem a<br />
Joseph Henry que <strong>de</strong>senvolveu, in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntemente, a teoria da<br />
eletromagnética na mesma época que Faraday.<br />
2<br />
1H = 1henry = 1 T. m / A = 1 Wb / A.<br />
indução<br />
Po<strong>de</strong>mos ver, também, da expressão encontrada para a indutância do<br />
solenói<strong>de</strong>, que esta é o produto da constante µ<br />
0 (permeabilida<strong>de</strong> magnética do<br />
510<br />
511
vácuo) por um fator que tem a dimensão <strong>de</strong> comprimento. Por isto, a<br />
permeabilida<strong>de</strong> do vácuo po<strong>de</strong> ser expressa em H / m .<br />
e medindo a força eletromotriz gerada entre seus terminais, <strong>de</strong>vido a esta variação,<br />
encontramos o valor da auto-indutância do dispositivo.<br />
ATIVIDADE 34.2<br />
ATIVIDADE 34.1<br />
Calcule o fluxo magnético através <strong>de</strong> um solenói<strong>de</strong> <strong>de</strong> 5 cm <strong>de</strong> comprimento e raio<br />
<strong>de</strong> 0,5 cm e que possui 100 espiras por centímetro, quando é percorrido por uma<br />
corrente <strong>de</strong> 2 A.<br />
34.2 DIFERENÇAS DE POTENCIAL E ENERGIA EM INDUTORES E DENSIDADE<br />
DE ENERGIA NO CAMPO MAGNÉTICO<br />
Obtenha a equação 34.5 a partir das equações 34.1 e 34.2<br />
Se, em um circuito elétrico nos <strong>de</strong>paramos com indutores como alguns <strong>de</strong><br />
seus elementos, ao percorremos uma malha no sentido da corrente <strong>de</strong>vemos contar<br />
as diferenças <strong>de</strong> potencial como indica a equação 34.5. Assim como para os<br />
resistores as quedas <strong>de</strong> potencial são dadas pelo valor da corrente multiplicado<br />
pelas respectivas resistências.<br />
Como vimos na seção anterior, quando um indutor é percorrido por uma<br />
corrente e é produzida qualquer variação nessa corrente, há uma variação do<br />
campo magnético na região das espiras do indutor o que gera uma fem induzida<br />
nele próprio.<br />
Por se tratar <strong>de</strong> um efeito sobre si mesmo, <strong>de</strong>nominamos este fenômeno <strong>de</strong><br />
auto-indução.<br />
Consi<strong>de</strong>remos que um indutor, como os das figuras 34.1 e 34.2, esteja<br />
sendo percorrido por uma corrente convencional com o sentido da esquerda para a<br />
direita. Se, por algum meio, produzimos um aumento nessa corrente será induzida<br />
uma força eletromotriz com o sentido, <strong>de</strong> acordo com a lei <strong>de</strong> Lenz, que ten<strong>de</strong> a<br />
diminuir essa corrente, ou seja, uma fem da direita para a esquerda.<br />
Se, por outro lado a corrente é diminuída a fem induzida tem o sentido da<br />
esquerda para a direita, ou seja, no sentido <strong>de</strong> reforçar a corrente.<br />
Combinando as equações 34.1 e 34.2 encontramos o valor <strong>de</strong>ssa força<br />
eletromotriz:<br />
di<br />
ε = − L . (34.5)<br />
dt<br />
Esta equação é muito importante porque nos indica a forma <strong>de</strong> medirmos a<br />
auto-indutância <strong>de</strong> um indutor, mesmo quando não sabemos calculá-la<br />
explicitamente, ou seja, conhecendo a taxa <strong>de</strong> variação da corrente em um indutor<br />
512<br />
A figura 34.3 mostra um circuito constituído por uma fonte <strong>de</strong> força<br />
eletromotriz i<strong>de</strong>al, um resistor, um indutor e uma chave que é usada para incluir ou<br />
excluir a fonte.<br />
R<br />
a<br />
ch b<br />
E<br />
L<br />
d<br />
Figura 34.3: Circuito RL composto por um resistor, R, e um indutor, L, ligados em<br />
série a uma fonte <strong>de</strong> força eletromotriz, ε , que po<strong>de</strong> ser incluída ou excluída com o<br />
uso <strong>de</strong> uma chave, ch.<br />
Aplicando a lei das malhas a partir do ponto “d”, supondo que a chave “ch”<br />
está conectada ao ponto “a”, temos:<br />
di<br />
ε − Ri − L = 0<br />
(34.6)<br />
dt<br />
Multiplicando esta equação pela intensida<strong>de</strong> <strong>de</strong> corrente encontramos:<br />
2 di<br />
ε i = Ri + Li .<br />
dt<br />
513
Nesta, o termo do lado esquerdo representa a potência entregue ao<br />
circuito pela fonte e o primeiro termo do lado direito representa a taxa <strong>de</strong><br />
produção <strong>de</strong> energia térmica no resistor (efeito Joule).<br />
Interpretamos o segundo termo do lado direito como sendo a parte<br />
da potência entregue ao indutor, necessária para criar o campo magnético<br />
em seu interior.<br />
Quando ligamos a chave “ch” no ponto “a”, começa a fluir uma corrente, que<br />
cresce a partir do valor inicial nulo.<br />
Para encontrarmos a energia recebida pelo indutor a partir do momento em<br />
que a chave é ligada ao ponto “a”, <strong>de</strong>vemos integrar esta última equação, mais<br />
especificamente o último termo, <strong>de</strong>s<strong>de</strong> o instante inicial ( t = 0)<br />
, quando a corrente<br />
é nula até o instante genérico t , em que a corrente é i ( t ) :<br />
Este resultado mostra que, em um solenói<strong>de</strong>, a energia armazenada<br />
por unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> volume é proporcional ao quadrado da intensida<strong>de</strong> do<br />
campo magnético.<br />
Embora tenhamos chegado a esta conclusão no caso específico <strong>de</strong> um<br />
solenói<strong>de</strong>, po<strong>de</strong>mos afirmar que este é um resultado geral e é a expressão para a<br />
<strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> <strong>de</strong> energia associada a um campo magnético, mesmo quando este não é<br />
uniforme ou quando é gerado por quaisquer dispositivos além dos solenói<strong>de</strong>s, ou<br />
ainda quando não estão confinados em regiões restritas do espaço.<br />
Po<strong>de</strong>mos então escrever a expressão para a <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> <strong>de</strong> energia em<br />
qualquer ponto do espaço on<strong>de</strong> haja um campo magnético:<br />
u<br />
2<br />
dU<br />
B B<br />
= . (34.10)<br />
dV 2 µ<br />
B<br />
=<br />
0<br />
U<br />
di<br />
1 i<br />
t<br />
i(<br />
t)<br />
dt Li di L<br />
2<br />
L<br />
= ∫ Li = =<br />
0 dt<br />
∫<br />
. (34.7)<br />
0 2<br />
Esta equação mostra que a energia necessária para se estabelecer<br />
uma corrente em um indutor é proporcional ao quadrado do valor da<br />
intensida<strong>de</strong> <strong>de</strong>ssa corrente.<br />
Po<strong>de</strong>mos comparar e ver a equivalência <strong>de</strong>sta expressão com a da energia<br />
armazenada em um capacitor, <strong>de</strong> capacitância C e carregado com uma carga q ,<br />
Também temos uma <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> <strong>de</strong> energia associada ao campo elétrico.<br />
Po<strong>de</strong>mos dizer então que, em qualquer região on<strong>de</strong> haja campos elétricos e<br />
magnéticos, há uma <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> <strong>de</strong> energia em cada ponto dada por:<br />
2<br />
1 B<br />
= . (34.11)<br />
2 2 µ<br />
2<br />
u EM<br />
ε<br />
0<br />
E +<br />
0<br />
que é:<br />
2<br />
q<br />
U c<br />
= .<br />
2C<br />
Calculamos o valor da energia no caso <strong>de</strong> um solenói<strong>de</strong> e encontramos:<br />
Para encontrar a energia total armazenada em uma região <strong>de</strong>vemos calcular<br />
a integral <strong>de</strong> volume <strong>de</strong>sta <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> em toda a região.<br />
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO<br />
U<br />
sol<br />
1<br />
= µ n i V<br />
2<br />
2 2<br />
0 sol<br />
(34.8)<br />
Utilizando a expressão do campo no interior do solenói<strong>de</strong> po<strong>de</strong>mos<br />
reescrever esta equação na seguinte forma:<br />
2<br />
U<br />
sol<br />
B = sol . (34.9)<br />
V<br />
2 µ<br />
0<br />
E34.1) Um bobina compacta possui 300 espiras e tem uma indutância igual a 9,0<br />
mH. Se ela é percorrida por uma corrente <strong>de</strong> 6,0 mA, calcule o fluxo magnético<br />
através da bobina.<br />
E34.2) Qual é a indutância necessária para se armazenar0,6 kW.h <strong>de</strong> energia em<br />
uma bobina que conduz uma corrente <strong>de</strong> 120 A?<br />
E34.3) Calcule a <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> <strong>de</strong> energia <strong>de</strong> um campo magnético existente entre os<br />
pólos <strong>de</strong> um eletroímã, que produz campos na or<strong>de</strong>m <strong>de</strong> 5,8 T?<br />
514<br />
515
AULA 35 ASSOCIAÇÃO DE INDUTORES, AUTO INDUTÂNCIA E<br />
INDUTÂNCIA MÚTUA<br />
Isto po<strong>de</strong> ser generalizado para um número, N , qualquer <strong>de</strong> indutores<br />
associados em série:<br />
N<br />
∑<br />
L série<br />
= L j<br />
. (35.1)<br />
j = 1<br />
OBJETIVOS<br />
• IDENTIFICAR ASSOCIAÇÕES DE INDUTORES EM PARALELO E EM SÉRIE<br />
• COMPREENDER UM CIRCUITO RL<br />
Na figura 35.2 po<strong>de</strong>mos ver dois indutores associados em paralelo.<br />
35.1 ASSOCIAÇÕES DE INDUTORES<br />
L 1<br />
Assim como po<strong>de</strong>mos associar resistores e capacitores em qualquer circuito,<br />
é possível construir associações <strong>de</strong> indutores.<br />
Na figura 35.1 vemos dois indutores, L<br />
1<br />
e L<br />
2<br />
, associados em série e<br />
i<br />
i 1<br />
a<br />
b<br />
i<br />
percorridos por uma corrente, i , on<strong>de</strong> tivemos o cuidado <strong>de</strong> dispô-los distantes um<br />
do outro, com o objetivo <strong>de</strong> tornar <strong>de</strong>sprezível a influência do campo produzido por<br />
cada indutor na posição on<strong>de</strong> se encontra o outro.<br />
i 2<br />
L 2<br />
i L 1<br />
L 2 i<br />
a b c<br />
Figura 35.2: Dois indutores ligados em paralelo. A corrente i se divi<strong>de</strong> nas correntes i 1 e i 2 no<br />
nó indicado pela letra a e ambas se recombinam no nó indicado pela letra b.<br />
Figura 35.1: Dois indutores ligados em série.<br />
A diferença <strong>de</strong> potencial entre os pontos c e a é dada pela soma da diferença<br />
<strong>de</strong> potencial entre os pontos b e a com a diferença <strong>de</strong> potencial entre os pontos c e<br />
b. Como a corrente que percorre ambos os indutores é a mesma po<strong>de</strong>mos escrever<br />
a equação:<br />
di di di<br />
Vca = Vcb − Vba = − L1 − L2<br />
= − Lsérie<br />
,<br />
dt dt dt<br />
on<strong>de</strong> substituímos a soma das duas indutâncias pelo símbolo<br />
L<br />
série<br />
.<br />
Esta substituição matemática nos mostra que dois indutores ligados<br />
em série, <strong>de</strong>s<strong>de</strong> que sua influência mútua seja <strong>de</strong>sprezível, po<strong>de</strong>m ser<br />
substituídos por um único indutor cuja indutância é igual à soma das<br />
indutâncias dos dispositivos.<br />
De acordo com a lei dos nós, a corrente, i , que chega ao ponto “a”, se<br />
divi<strong>de</strong> nas correntes i 1<br />
e i 2<br />
, que novamente se somam no ponto “b”.<br />
Po<strong>de</strong>mos, portanto, escrever para a <strong>de</strong>rivada das correntes:<br />
di di di<br />
= 1<br />
+<br />
2<br />
dt dt dt<br />
Como diferença <strong>de</strong> potencial entre os pontos b e a é dada por:<br />
chegamos à expressão:<br />
di1 di2<br />
V = − ba<br />
L1 L2<br />
dt<br />
= − dt<br />
,<br />
Vba Vba Vba<br />
+ = .<br />
L L L<br />
1 2<br />
paralelo<br />
516<br />
517
Chegamos à conclusão <strong>de</strong> que dois indutores associados em paralelo<br />
po<strong>de</strong>m ser substituído por um único equivalente em que o inverso <strong>de</strong> sua<br />
indutância seja igual à soma dos inversos das indutâncias individuais.<br />
Generalizando, po<strong>de</strong>mos afirmar que um número qualquer <strong>de</strong> indutores<br />
ligados em paralelo po<strong>de</strong>m ser substituídos por um único cuja indutância é dada<br />
pela equação:<br />
No circuito RL, a fonte estabelece uma corrente elétrica, nas espiras do<br />
indutor, que cria um campo magnético ao qual está associada uma energia. Em<br />
ambos os circuitos, parte da energia fornecida pela fonte é dissipada por efeito<br />
Joule no resistor.<br />
Para resolver o circuito RL, representado na figura 35.3, vamos supor<br />
inicialmente que não haja corrente elétrica e que no instante t = 0 a chave é ligada<br />
no ponto “a”.<br />
Assim pelas leis das malhas temos que:<br />
L<br />
N<br />
1 = ∑ 1<br />
. (35.2)<br />
paralelo<br />
j = 1<br />
L<br />
As equações 35.1 e 35.2 tem formas semelhantes às equações para as<br />
associações <strong>de</strong> resistores.<br />
35.2 CIRCUITO RL<br />
O circuito apresentado na figura 35.3, por ser constituído por um resistor e<br />
um capacitor ligados em série a uma fonte, que po<strong>de</strong> eventualmente ser excluída, é<br />
conhecido como circuito RL.<br />
E<br />
ch<br />
a<br />
b<br />
R<br />
Figura 35.3: Circuito RL.<br />
j<br />
L<br />
di<br />
ε − Ri − L = 0 dt<br />
Reescrevendo essa equação <strong>de</strong> uma forma que possa ser integrada<br />
imediatamente, isto é, reagrupando os termos relacionados com a corrente <strong>de</strong> um<br />
lado e com o tempo do outro, obtemos:<br />
di<br />
i −ε R<br />
= −<br />
R<br />
dt .<br />
L<br />
Os limites <strong>de</strong> integração para a corrente são zero e i ( t ) e para o tempo zero<br />
e t , respectivamente.<br />
Integrando a equação acima encontramos uma expressão logarítmica que<br />
po<strong>de</strong> ser invertida usando uma exponencial. O resultado final é:<br />
on<strong>de</strong> introduzimos a constante <strong>de</strong> tempo do circuito RL:<br />
ε −t<br />
τ L<br />
i( t)<br />
= (1 − e ) , (35.3)<br />
R<br />
τ = R<br />
L<br />
L<br />
. (35.4)<br />
Se apenas um resistor, <strong>de</strong> resistência R, é ligado a uma fem, ε , uma<br />
corrente cujo valor é<br />
ε R é estabelecida imediatamente.<br />
É um circuito análogo ao circuito RC que estudamos anteriormente. Naquele<br />
circuito a fonte <strong>de</strong> força eletromotriz ce<strong>de</strong> energia que, em parte, é armazenada na<br />
forma <strong>de</strong> um campo elétrico, no interior do capacitor, gerado pela separação <strong>de</strong><br />
cargas positivas e negativas em suas placas.<br />
Obtenha a equação 35.3.<br />
ATIVIDADE 35.1<br />
518<br />
519
O resultado que acabamos <strong>de</strong> encontrar mostra que, ao introduzirmos um<br />
indutor, a corrente ten<strong>de</strong> para esse mesmo valor, mas, partindo <strong>de</strong> zero, vai<br />
crescendo <strong>de</strong> forma que em um intervalo igual a uma constante <strong>de</strong> tempo atinge<br />
sessenta e três por cento do valor máximo, em um intervalo igual a duas<br />
constantes <strong>de</strong> tempo atinge a oitenta e seis por cento <strong>de</strong>sse valor, etc.<br />
Ainda <strong>de</strong> acordo com este resultado, para atingir o valor máximo,<br />
ε R , o<br />
tempo gasto é infinito, no entanto, em um intervalo igual a algumas poucas<br />
constantes <strong>de</strong> tempo seu valor já é muito próximo do valor da assíntota.<br />
Na figura 35.4 po<strong>de</strong>mos ver a evolução temporal da corrente. Se a corrente<br />
crescesse a uma taxa constante igual à taxa inicial <strong>de</strong> crescimento, que é igual a<br />
ε L , ela atingiria o valor máximo em um intervalo igual a uma constante <strong>de</strong> tempo<br />
do circuito.<br />
Figura 35.5: Queda <strong>de</strong> tensão no indutor, a partir do momento em que se conecta o circuito<br />
à fonte, com uma corrente inicial nula.<br />
No momento inicial a corrente é nula ( V = 0)<br />
R<br />
e a tensão fornecida pela fonte<br />
⎛ di ⎞<br />
cai toda no indutor ⎜VL<br />
= −L ⎟<br />
⎝ dt ⎠ .<br />
Enquanto a corrente, ou a queda <strong>de</strong> tensão no resistor, cresce, a queda <strong>de</strong><br />
tensão no indutor diminui. Em um intervalo <strong>de</strong> tempo igual a algumas constantes<br />
<strong>de</strong> tempo a queda <strong>de</strong> tensão no indutor se torna muito próxima <strong>de</strong> zero enquanto<br />
no resistor se aproxima do valor fornecido pela fem.<br />
Figura 35.4: Evolução temporal da corrente no circuito RL, a partir do instante em<br />
que se conecta o circuito à fonte, com uma corrente inicial nula.<br />
A variação da tensão no indutor é dada por:<br />
V<br />
di<br />
ε<br />
− t<br />
− t<br />
τL<br />
τL<br />
L<br />
= −L<br />
= −L<br />
e =−ε<br />
e<br />
.<br />
dt Rτ<br />
L<br />
Esta queda <strong>de</strong> tensão é representada na figura 35.5.<br />
Alternando a posição da chave, na figura 35.3, para a posição “b”, <strong>de</strong>pois <strong>de</strong><br />
estabelecida uma corrente no circuito, retiramos a fonte. Se tivéssemos apenas um<br />
resistor a corrente cairia a zero imediatamente. Porém, tirando o termo que<br />
representa a fem, na equação 34.3, temos a equação que <strong>de</strong>screve a nova<br />
situação:<br />
di<br />
R i + L = 0 . (35.5)<br />
dt<br />
A solução <strong>de</strong>sta equação é:<br />
− t<br />
τ L<br />
i = i 0<br />
e , (35.6)<br />
havendo portanto uma queda <strong>de</strong> tensão no resistor e um aumento da tensão no<br />
indutor dada por:<br />
V<br />
−1<br />
− t<br />
τ L<br />
L<br />
= − L e = R i0<br />
τ<br />
L<br />
e<br />
− t<br />
τ L<br />
, (35.7)<br />
520<br />
521
i 1<br />
i 2<br />
A 1<br />
A 2<br />
esta tensão é sempre igual e contrária à do resistor.<br />
ATIVIDADE 35.2<br />
Mostre que a equação 35.6 é solução da equação 35.5.<br />
Quando a fonte é retirada surge uma tensão induzida no indutor no sentido<br />
<strong>de</strong> impedir a queda da corrente. O indutor passa então a funcionar como uma fonte<br />
<strong>de</strong> força eletromotriz que mantém uma corrente no resistor. Esta fonte é, no<br />
entanto, efêmera e só existe enquanto há variações <strong>de</strong> corrente. Tanto a corrente<br />
quanto as tensões ten<strong>de</strong>m a se anular. Novamente a constante <strong>de</strong> tempo indica o<br />
tempo gasto para que atinjam aproximadamente 37 % do valor inicial.<br />
Os gráficos que representam estas variações <strong>de</strong> tensão são idênticos ao que<br />
aparece na figura 35.4.<br />
Faça um esboço da forma do gráfico<br />
ATIVIDADE 35.3<br />
V<br />
R<br />
e<br />
VL<br />
em função do tempo.<br />
Na figura 35.5 vemos dois condutores percorridos, cada um, por uma<br />
corrente, cujo valor é in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nte do valor da corrente no outro condutor.<br />
Cada uma <strong>de</strong>ssas correntes produz um campo magnético que, em princípio,<br />
é dado pela lei <strong>de</strong> Biot-Savart. O condutor percorrido pela corrente i 1 tem a forma<br />
<strong>de</strong> uma elipse que, por ser uma forma que se po<strong>de</strong> representar em termos<br />
matemáticos, po<strong>de</strong> ter o campo produzido calculado exatamente, ainda que este<br />
cálculo não seja fácil <strong>de</strong> realizar. O segundo condutor, no entanto tem uma forma<br />
irregular, que não po<strong>de</strong> ser <strong>de</strong>scrita analiticamente, por isto o campo produzido<br />
pela corrente i 2 , em cada ponto do espaço, não po<strong>de</strong> ser calculado exatamente.<br />
Ainda assim, po<strong>de</strong>mos afirmar que o campo magnético produzido por um<br />
condutor em qualquer lugar do espaço é sempre proporcional à corrente que o<br />
percorre.<br />
O campo magnético em cada ponto do espaço é, pelo princípio da<br />
superposição, a soma dos campos produzidos por cada uma das correntes,<br />
in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntemente. Por isto o fluxo do campo na região <strong>de</strong> cada um dos<br />
condutores, mais especificamente através das superfícies indicadas como A 1 e A 2 na<br />
figura 35.6, po<strong>de</strong> ser escrito como a soma dos fluxos produzidos por cada um<br />
<strong>de</strong>sses campos produzidos pelas duas correntes.<br />
35.3 AUTO INDUTÂNCIA E INDUTÂNCIA MÚTUA<br />
Quando temos dois indutores muito próximos, se fizermos passar,<br />
subitamente, uma corrente em um <strong>de</strong>les, o outro sentirá o efeito da variação do<br />
campo magnético produzido pelo primeiro na região on<strong>de</strong> se encontra o segundo.<br />
Da mesma forma, qualquer variação do campo produzido pelo segundo<br />
indutor gera, <strong>de</strong> acordo com a lei <strong>de</strong> Faraday, uma fem induzida no primeiro<br />
indutor.<br />
A este fenômeno damos o nome <strong>de</strong> indução mútua: efeito da<br />
variação do campo magnético produzido por um dispositivo sobre outro<br />
dispositivo que se encontra em suas imediações.<br />
522<br />
Figura 35.6: Dois circuitos condutores percorridos por correntes in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntes produzem<br />
fluxos, sobre cada um <strong>de</strong>les, que são a soma dos fluxos produzidos por cada um<br />
in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntemente.<br />
Po<strong>de</strong>mos então escrever o fluxo do campo magnético através <strong>de</strong> cada<br />
circuito:<br />
e<br />
Φ (35.8)<br />
B , 1<br />
= L1i<br />
1<br />
+ M1,2i2<br />
Φ . (35.9)<br />
B , 2<br />
= L2i2<br />
+ M<br />
2,1i1<br />
523
As constantes L<br />
1<br />
e L<br />
2<br />
, conforme <strong>de</strong>finimos na primeira seção <strong>de</strong>ste<br />
capítulo, é a auto-indutância dos condutores percorridos pelas correntes i 1<br />
e i 2<br />
,<br />
respectivamente.<br />
Cada condutor, neste caso particular, atua como um indutor que gera um<br />
campo magnético, ao mesmo tempo em que sente a presença do campo produzido<br />
por ele mesmo e do campo produzido pelo outro condutor.<br />
As constantes M<br />
1,2<br />
e M<br />
2,1<br />
são <strong>de</strong>nominadas indutâncias mútuas (do<br />
indutor correspon<strong>de</strong>nte ao primeiro índice, com relação ao outro).<br />
Simplesmente, são constantes <strong>de</strong> proporcionalida<strong>de</strong> entre a corrente em<br />
um circuito e o fluxo gerado por essa corrente no outro circuito.<br />
As duas indutâncias mútuas não são, em princípio, iguais. O valor <strong>de</strong> cada<br />
uma <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> fatores geométricos <strong>de</strong> cada condutor e da disposição relativa dos<br />
indutores no espaço.<br />
Se, como mostra a figura 35.6, a corrente no indutor à esquerda é i 1<br />
, a<br />
Na figura 35.7, po<strong>de</strong>mos ver dois solenói<strong>de</strong>s montados sobre o mesmo<br />
suporte, ou seja, os dois enrolamentos são dispostos um sobre o outro, <strong>de</strong> forma<br />
que a área limitada por cada espira <strong>de</strong> um enrolamento é a mesma que a área<br />
limitada por cada espira do outro enrolamento. O comprimento <strong>de</strong> ambos é o<br />
mesmo, mas o número <strong>de</strong> espiras por unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> comprimento é diferente um do<br />
outro.<br />
i 1<br />
i 1<br />
2R<br />
i 2<br />
H<br />
i 2<br />
Figura 35.7: Dois solenói<strong>de</strong>s ocupam o “mesmo lugar” no espaço: Dois enrolamentos<br />
isolados eletricamente são enrolados sobre um mesmo suporte. Ambos têm o mesmo raio e<br />
mesmo comprimento, mas número <strong>de</strong> espiras diferentes.<br />
corrente no indutor da direita é i<br />
2<br />
e há variações em ambas, as forças<br />
eletromotrizes nos indutores da esquerda e da direita são, respectivamente,<br />
di1<br />
di2<br />
ε<br />
1<br />
= − L1<br />
− M<br />
1,2<br />
, (35.10)<br />
dt dt<br />
di2<br />
di1<br />
ε<br />
2<br />
= − L2<br />
− M<br />
2,1<br />
. (35.11)<br />
dt dt<br />
Como vimos, quando há corrente nos dois enrolamentos, o campo no<br />
interior do dispositivo será a soma dos campos produzidos por cada solenói<strong>de</strong><br />
in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntemente.<br />
Da mesma maneira, o fluxo do campo em cada espira, seja <strong>de</strong> um ou do<br />
outro enrolamento, é a soma dos fluxos correspon<strong>de</strong>ntes aos dois campos<br />
superpostos.<br />
Lembrando <strong>de</strong> 34.3, as auto-indutâncias dos dois solenói<strong>de</strong>s são:<br />
Se não quisermos, por exemplo, que uma mudança nas posições dos<br />
indutores em um circuito influencie o valor das correntes obtidas, os valores das<br />
indutâncias mútuas <strong>de</strong>vem ser <strong>de</strong>sprezíveis. Por isto, em um circuito elétrico, os<br />
indutores <strong>de</strong>vem ser mantidos com um afastamento gran<strong>de</strong> entre si, se quisermos<br />
evitar influências mútuas entre eles.<br />
e<br />
L = µ n<br />
2<br />
1 o 1<br />
π<br />
2<br />
R H<br />
2 2<br />
L = µ n R H .<br />
2 o 2<br />
π<br />
Por outro lado, em <strong>de</strong>terminadas situações, po<strong>de</strong>mos tirar vantagem do<br />
acoplamento entre dois indutores.<br />
A indutância mútua do indutor que <strong>de</strong>nominamos primário com relação ao<br />
outro, que <strong>de</strong>nominamos secundário é:<br />
M<br />
2<br />
2<br />
= N µ n π R = µ n n R H . (35.12)<br />
1,2<br />
1 o 2<br />
o 1 2<br />
π<br />
524<br />
525
Já a indutância mútua do indutor que <strong>de</strong>nominamos secundário com relação<br />
ao primário é:<br />
M<br />
2<br />
2<br />
= N µ n π R = µ n n R H . (35.13)<br />
2,1<br />
2 o 1<br />
o 1 2<br />
π<br />
Este resultado nos diz que se quisermos obter uma fem induzida no<br />
enrolamento secundário muito maior que a fem induzida no primário, basta<br />
construirmos uma bobina com muito mais espiras no secundário relativo ao número<br />
<strong>de</strong> espiras no primário. Da mesma forma um pequeno número <strong>de</strong> espiras no<br />
secundário provocará uma pequena fem induzida.<br />
Neste caso particular, a indutância mútua do indutor secundário com relação<br />
ao primário tem uma expressão idêntica à anterior. Basta, em ambas as equações,<br />
trocar um índice pelo outro e ver que nada se altera.<br />
Comparando com as expressões das duas auto-indutâncias po<strong>de</strong>mos<br />
escrever um resultado que, é preciso ter em mente, é específico <strong>de</strong>sta configuração<br />
<strong>de</strong> indutores:<br />
SAIBA MAIS<br />
BOBINA DE INDUÇÃO<br />
Em motores, a álcool, gás ou gasolina, é necessário produzir uma faísca,<br />
em cada câmara <strong>de</strong> combustão, que precisa durar um curto intervalo <strong>de</strong> tempo. A<br />
faísca é produzida através <strong>de</strong> um arco voltaico em cada vela <strong>de</strong> ignição. Na figura<br />
35.7 representamos uma bobina <strong>de</strong> indução.<br />
M = = .<br />
1,2<br />
M<br />
2,1<br />
L1L<br />
2<br />
R 1<br />
Po<strong>de</strong>mos então reescrever as equações 35.10 e 35.11 para este caso<br />
particular:<br />
di1<br />
di2<br />
ε<br />
1<br />
= − L1<br />
− L1<br />
L2<br />
, (35.14)<br />
dt dt<br />
Eo<br />
a<br />
b<br />
L 1<br />
L 2<br />
R 2<br />
di2<br />
di1<br />
ε<br />
2<br />
= − L2<br />
− L1L<br />
2<br />
. (35.15)<br />
dt dt<br />
Fig. 35.7: Uma bobina <strong>de</strong> indução com um circuito primário composto por uma fonte ε o , um<br />
resistor R 1 e o indutor L 1 , acoplado ao indutor L 2 , no circuito secundário, que é fechado por<br />
um resistor <strong>de</strong> alta resistência, R 2 .<br />
Dividindo-se a força eletromotriz induzida no primário pela raiz quadrada <strong>de</strong><br />
sua auto-indutância, L<br />
1<br />
, encontramos uma expressão que é idêntica à força<br />
eletromotriz induzida no secundário dividida pela raiz quadrada <strong>de</strong> L<br />
2<br />
.<br />
Encontramos, portanto, a relação entre as duas fem’s induzidas:<br />
Um dispositivo, como o da figura 35.6 ou na forma <strong>de</strong> dois torói<strong>de</strong>s<br />
acoplados, é ligado <strong>de</strong> forma que o enrolamento primário é ligado, em série com<br />
um resistor R 1 , a uma fem,<br />
ε<br />
o<br />
, que representa, por exemplo, a bateria <strong>de</strong> 12 V <strong>de</strong><br />
um veículo. O indutor secundário é ligado a um resistor <strong>de</strong> alta resistência, R 2 , que<br />
simula o arco voltaico da vela <strong>de</strong> ignição, on<strong>de</strong> é produzida uma faísca.<br />
ε1<br />
=<br />
ε<br />
2<br />
L1<br />
L<br />
2<br />
n1<br />
N1<br />
= = . (35.16)<br />
n N<br />
2<br />
2<br />
Nota-se que os circuitos elétricos são in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntes, ou seja, temos duas<br />
malhas em que não há nenhum nó que permita a passagem <strong>de</strong> corrente do circuito<br />
primário para o circuito secundário. No entanto os indutores estão completamente<br />
acoplados quanto ao campo magnético. Os termos proporcionais às indutâncias<br />
526<br />
527
mútuas que aparecem nas equações abaixo representam o efeito elétrico do<br />
acoplamento magnético dos dois solenói<strong>de</strong>s.<br />
Aplicando a lei das malhas encontramos as equações para os circuitos<br />
primário e secundário, respectivamente:<br />
ε − R i + ε 0 , (35.8)<br />
0 1 1 1<br />
=<br />
L2 ε<br />
1<br />
− R2i2<br />
= 0 . (35.9)<br />
L<br />
1<br />
O primeiro termo <strong>de</strong>sta última equação é simplesmente a fem induzida no<br />
secundário, on<strong>de</strong> fizemos uso da equação 35.7.<br />
As equações 35.8 e 35.9 formam um sistema <strong>de</strong> equações diferenciais<br />
acopladas que po<strong>de</strong> ser resolvido com alguma manipulação, com o objetivo <strong>de</strong><br />
<strong>de</strong>sacoplá-las.<br />
Substituindo, na equação 35.9, a expressão para a fem no primário, dada<br />
pela equação 35.5, encontramos:<br />
di1<br />
di2<br />
L<br />
1<br />
L2<br />
+ L2<br />
+ R2i2<br />
= 0 . (35.10)<br />
dt dt<br />
Precisamos <strong>de</strong> uma relação entre as <strong>de</strong>rivadas das duas correntes para que<br />
possamos eliminar uma <strong>de</strong>las.<br />
Eliminando ε<br />
1 das equações 35.8 e 35.9 po<strong>de</strong>mos expressar a corrente no<br />
primário em termos da corrente no secundário:<br />
o<br />
R L<br />
i = ε +<br />
. (35.11)<br />
2 1<br />
1<br />
i2<br />
R1<br />
R1<br />
L<br />
2<br />
Como o primeiro termo do segundo membro <strong>de</strong>sta relação é constante, a<br />
relação entre as <strong>de</strong>rivadas temporais das correntes é:<br />
di 1<br />
R2<br />
L1<br />
di2<br />
= .<br />
dt R L dt<br />
1<br />
Quando a <strong>de</strong>rivada da corrente no primário é eliminada da equação 35.10<br />
encontramos imediatamente uma equação com termos apenas referentes à<br />
corrente no secundário:<br />
R<br />
R<br />
di<br />
di<br />
2 2<br />
2<br />
L1<br />
+ L2<br />
+ R2i2<br />
=<br />
1<br />
dt dt<br />
2<br />
0 .<br />
Reescrevemos esta equação <strong>de</strong> forma que possa ser integrada:<br />
di<br />
i<br />
2<br />
2<br />
dt<br />
= − .<br />
L1<br />
L2<br />
+<br />
R R<br />
1<br />
Esta equação po<strong>de</strong> ser integrada imediatamente, com os limites <strong>de</strong><br />
integração inferior e superior, respectivamente, zero e t, para o tempo e i 2 (0) e<br />
i 2 (t) para a corrente.<br />
que é:<br />
⎡ i t ⎤<br />
2(<br />
)<br />
ln⎢<br />
i<br />
⎥<br />
⎣ 2(0)<br />
⎦<br />
= −<br />
2<br />
t<br />
. (35.12)<br />
τ<br />
Nesta equação introduzimos a constante <strong>de</strong> tempo <strong>de</strong>ste circuito acoplado<br />
L<br />
L<br />
o<br />
1 2<br />
τ<br />
o<br />
= + . (35.13)<br />
R1<br />
R2<br />
Esta constante <strong>de</strong> tempo é a soma das constantes <strong>de</strong> tempo dos dois<br />
circuitos RL que temos no primário e no secundário. Devemos <strong>de</strong>terminar a<br />
corrente inicial no circuito secundário.<br />
Da equação 35.9 vemos que a corrente inicial no circuito secundário está<br />
relacionada à fem no primário no instante inicial:<br />
i (0)<br />
2<br />
L ε (0)<br />
L R<br />
2 1<br />
= .<br />
1<br />
2<br />
A fem no secundário no instante inicial é dada pela equação 35.8.<br />
528<br />
529
Levando em conta que a corrente inicial no primário é nula, a fem induzida<br />
inicialmente no primário tem o sentido oposto ao da fonte e seu valor é<br />
simplesmente igual ao da fonte.<br />
Com isto encontramos que a corrente no secundário no instante inicial é:<br />
L ε<br />
L R<br />
2 o<br />
2<br />
(0)<br />
= − .<br />
i<br />
Tomando a exponenciação <strong>de</strong> ambos os membros da equação 18 chegamos<br />
à expressão para a corrente no secundário.<br />
1<br />
2<br />
<strong>de</strong> tempo (igual umas poucas constantes <strong>de</strong> tempo), que é o que se necessita em<br />
um circuito <strong>de</strong> ignição.<br />
Não vamos resolver o problema quando a chave é mudada para a posição<br />
“b”, <strong>de</strong>pois <strong>de</strong> ter permanecido um bom tempo na posição “a”.<br />
Po<strong>de</strong>mos dizer, no entanto, que, sendo a corrente no secundário quase<br />
nula, assim como as duas fem’s induzidas e a corrente no primário quase<br />
constante, ao passar a chave para a posição “b” surge uma fem induzida no<br />
primário com o sentido contrário ao da situação <strong>de</strong>scrita anteriormente. A corrente<br />
no primário ten<strong>de</strong> exponencialmente a zero com a constante <strong>de</strong> tempo dada pela<br />
equação 35.13. No secundário surge uma corrente, também em sentido contrário<br />
ao da situação anterior e que é intensa inicialmente, ten<strong>de</strong>ndo a zero com a<br />
mesma constante <strong>de</strong> tempo.<br />
− t<br />
τ o<br />
2<br />
( t)<br />
= i2(0)<br />
e .<br />
i<br />
Temos então que numa bobina <strong>de</strong> indução é produzida uma faísca, numa<br />
vela do sistema <strong>de</strong> ignição <strong>de</strong> um veículo, toda vez que uma chave em seu circuito<br />
primário é ligada ou <strong>de</strong>sligada.<br />
Com este resultado e com o uso da equação 35.11 encontramos a corrente<br />
no primário:<br />
ε<br />
− t<br />
o<br />
τ o<br />
i1<br />
( t)<br />
= (1 − e ) .<br />
R<br />
1<br />
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO<br />
E35.1) Calcule a indutância equivalente do circuito mostrado abaixo que está ligado<br />
a uma fonte <strong>de</strong> corrente alternada. Os indutores valem L<br />
1<br />
= 20,0 mH, L<br />
2<br />
= 15,0<br />
mH, L<br />
3<br />
= 25,0 mH e L<br />
4<br />
= 35,0 mH.<br />
Quando ligamos a chave na posição “a” é induzida uma fem no primário,<br />
inicialmente, igual e oposta à da fonte, que impe<strong>de</strong> que a corrente atinja<br />
imediatamente o valor assintótico que é o valor da fem dividido pela resistência no<br />
primário. Esta fem induzida no primário induz uma fem no secundário que<br />
inicialmente tem o valor igual à fem da fonte no primário multiplicada pela razão<br />
entre o número <strong>de</strong> espiras do secundário e do primário.<br />
A fem no secundário gera uma corrente que, inicialmente, tem um valor<br />
máximo e que ten<strong>de</strong> a se anular, à medida que, no primário, a fem induzida ten<strong>de</strong><br />
a zero e a corrente ten<strong>de</strong> a seu valor assintótico.<br />
Como vimos, o acoplamento magnético entre os dois indutores faz com que<br />
o circuito apresente uma constante <strong>de</strong> tempo igual à soma das constates <strong>de</strong> tempo<br />
dos dois circuitos individuais.<br />
Figura 35.8: Circuito do exercício 35.1.<br />
E35.2) Uma bateria é conectada no instante t = 0<br />
<strong>de</strong><br />
τ<br />
L<br />
a corrente atine um valor <strong>de</strong> 0,200% menor que o valor final?<br />
E35.3) Mostre que L R possui unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> tempo.<br />
a um circuito RL. Para qual valor<br />
A corrente no secundário é apreciável apenas durante um pequeno intervalo<br />
530<br />
531
E35.4) Uma bobina e um resistor <strong>de</strong> 15,0 Ω estão conectados em série a uma<br />
bateria <strong>de</strong> 6,3 V . A chave do circuito é aberta e <strong>de</strong>pois <strong>de</strong> 2,0 ms a corrente<br />
diminui para 0,210 A . Calcule (a) a constante <strong>de</strong> tempo do circuito? (b) a<br />
indutância da bobina?<br />
P11.6) Em um <strong>de</strong>terminado circuito possuímos dois solenói<strong>de</strong>s. A corrente em um<br />
<strong>de</strong>les diminui 5 A em 2,0 ms e uma força eletromotriz <strong>de</strong> 25 kV é induzida no outro<br />
solenói<strong>de</strong>. Qual é a indutância mútua entre os solenói<strong>de</strong>s?<br />
E35.5) Em um circuito RL a corrente diminui <strong>de</strong> 1,0 A para 10 mA em um segundo,<br />
logo após a fonte ser removida. Determine a resistência do circuito se L= 10 H .<br />
E35.6) Duas bobinas possuem indutância mútua <strong>de</strong> 4,00.10 -4 H . A taxa com que a<br />
corrente cresce na bobina 1 é <strong>de</strong> 800 A/s. Calcule (a) a fem induzida na segunda<br />
bobina? Se essa corrente estivesse na segunda bobina, (b) qual seria a fem<br />
induzida na primeira bobina?<br />
PROBLEMAS DA UNIDADE<br />
P11.1) Calcule a indutância equivalente do circuito mostrado abaixo.<br />
Figura 35.9: Circuito do problema P11.1.<br />
P11.2) Qual é a taxa <strong>de</strong> variação da corrente para que a força eletromotriz num<br />
indutor <strong>de</strong> 12 H seja 60V ? A corrente através do indutor vale 2,0 V .<br />
P11.3) Um resistor <strong>de</strong> 1,20 kΩ é ligado em série a um indutor <strong>de</strong> 6,30<br />
µ H e são<br />
conectados a uma bateria <strong>de</strong> 14,0 V . (a) Qual o tempo necessário para que a<br />
corrente atinga 70 % do valor final? (b) Qual a corrente no resistor em t= 1,5<br />
τ<br />
L<br />
?<br />
P11.4) Uma espira possui raio <strong>de</strong> 70 mm e conduz uma corrente 80 A . Calcule (a)<br />
a <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong> <strong>de</strong> energia no centro da espira e (b) a intensida<strong>de</strong> do campo<br />
magnético?<br />
P11.5) Uma fonte <strong>de</strong> 100 V carrega um capacitor <strong>de</strong> 15<br />
µ F e em seguida ele é<br />
conectado em série a um indutor <strong>de</strong> 0.250 mH . Calcule (a) a freqüência <strong>de</strong><br />
oscilação do circuito, (b) a energia armazenada no capacitor no momento da<br />
conexão com o indutor e (c) a energia armazenada no indutor em t= 1,1 ms ?<br />
532<br />
533
UNIDADE 12<br />
OSCILAÇÕES ELETROMAGNÉTICAS E CIRCUITOS DE CORRENTE<br />
ALTERNADA<br />
Em unida<strong>de</strong>s anteriores estudamos o circuito RC, no qual há apenas um<br />
resistor e um capacitor, e o circuito RL, em que os elementos são um resistor e um<br />
indutor, po<strong>de</strong>ndo, em ambos os casos, serem ligados em série a uma fonte <strong>de</strong> força<br />
eletromotriz.<br />
Vimos que seu comportamento está associado às constantes <strong>de</strong> tempo<br />
τ = RC C , no circuito capacitivo e τ L R , no circuito indutivo.<br />
L<br />
=<br />
Vamos analisar agora, o comportamento <strong>de</strong> um circuito LC, ou seja, um<br />
circuito on<strong>de</strong> temos apenas um indutor e um capacitor, consi<strong>de</strong>rando <strong>de</strong>sprezível<br />
qualquer resistência eventualmente presente. Em seguida introduziremos um<br />
resistor e analisaremos o circuito <strong>de</strong>nominado RLC. Este circuito é utilizado, por<br />
exemplo, em receptores <strong>de</strong> rádio para que seja feita a seleção e ajuste da faixa <strong>de</strong><br />
frequências <strong>de</strong>sejada.<br />
Uma outra aplicação importante do estudo das oscilações eletromagnéticas<br />
se refere aos transformadores. Graças a esses dispositivos que aumentam ou<br />
abaixam a tensão é possível fazer com a energia gerada nas usinas possa chegar a<br />
gran<strong>de</strong>s distâncias sem maiores perdas <strong>de</strong> energia. Além disso, muitos<br />
equipamentos eletrônicos, como a fonte <strong>de</strong> alimentação <strong>de</strong> notebooks, possuem<br />
transformadores que reduzem a tensão <strong>de</strong> entrada, fornecida pela companhia <strong>de</strong><br />
energia elétrica, e fornecem na saída a tensão a<strong>de</strong>quada ao aparelho.<br />
534<br />
535
AULA 36 OSCILAÇÕES EM CIRCUITOS ELÉTRICOS I<br />
campo elétrico, acumulando cargas no capacitor, C . Quando o contato é ligado ao terminal<br />
b, a carga e a corrente oscilam harmonicamente.<br />
De acordo com a lei das malhas po<strong>de</strong>mos escrever:<br />
OBJETIVOS<br />
• COMPREENDER O COMPORTAMENTO DA CARGA E DA CORRENTE QUE OSCILAM<br />
HARMONICAMENTE EM UM CIRCUITO LC<br />
• ENTENDER A IMPORTÂNCIA DA CONSTANTE DE FASE DA OSCILAÇÃO PARA A<br />
DETERMINAÇÃO DA CARGA E DA CORRENTE EM UM CIRCUITO LC EM UM INSTANTE<br />
DE TEMPO ESPECÍFICO<br />
• SABER DIFERENCIAR E OBTER EM UM CIRCUITO LC A FREQUÊNCIA ANGULAR E AS<br />
AMPLITUDE DA CARGA E CORRENTE<br />
• COMPREENDER QUE A ENERGIA EM UM CIRCUITO LC FICA ARMAZENADA NOS<br />
CAMPOS ELÉTRICO E MAGNÉTICO, ALTERNANDO-SE HARMONICAMENTE ENTRE ELES,<br />
MAS COM VALOR TOTAL CONSTANTE<br />
De on<strong>de</strong> tiramos a equação para o circuito:<br />
di q<br />
V<br />
b<br />
− L − = V b<br />
.<br />
dt C<br />
Lembrando da <strong>de</strong>finição <strong>de</strong> corrente elétrica,<br />
di q<br />
L + = 0 . (36.1)<br />
dt C<br />
dq<br />
i = ,<br />
dt<br />
e substituindo na equação 36.1 temos:<br />
36.1 O CIRCUITO LC<br />
Consi<strong>de</strong>re o circuito da figura 36.1, no qual o contato móvel, m, é ligado ao<br />
terminal a. A força eletromotriz presente no circuito força a passagem <strong>de</strong> cargas,<br />
que irão carregar o capacitor, estabelecendo uma corrente. Se, em <strong>de</strong>terminado<br />
momento, o contato móvel é ligado ao terminal b, passamos a ter um circuito com<br />
um indutor e um capacitor, apenas.<br />
E<br />
m<br />
a<br />
Figura 36.1: Quando o contato móvel, m, é ligado ao terminal a, a fem, ε , força a<br />
passagem <strong>de</strong> uma corrente que cria um campo magnético no indutor, L , e produz um<br />
b<br />
C<br />
i<br />
+<br />
+<br />
+<br />
L<br />
i<br />
2<br />
d q q<br />
L + = 0. (36.2)<br />
2<br />
dt C<br />
A equação 36.2 é uma equação diferencial <strong>de</strong> segunda or<strong>de</strong>m, pois envolve<br />
a <strong>de</strong>rivada segunda da função da carga em função do tempo q (t)<br />
e tem como<br />
solução combinações lineares <strong>de</strong> funções seno e cosseno com os coeficientes<br />
a<strong>de</strong>quados (você verá como obter soluções da equação 36.2 em seu curso <strong>de</strong><br />
Cálculo).<br />
Quando substituímos q por ( t)<br />
q m 0<br />
cos ω na equação 36.2, por exemplo,<br />
encontramos que esta função, e portanto qualquer combinação linear, é solução<br />
<strong>de</strong>ssa equação diferencial, <strong>de</strong>s<strong>de</strong> que a freqüência angular, ω<br />
0 , seja dada pela<br />
equação<br />
ω = 1<br />
0<br />
LC<br />
. (36.3)<br />
Também po<strong>de</strong>mos escrever a solução para a equação 36.2 como uma<br />
equação do tipo:<br />
q = q cos( ω t + )<br />
m 0 , (36.4)<br />
0<br />
φ<br />
536<br />
537
on<strong>de</strong> as constantes<br />
q<br />
m e φ<br />
0 <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>m das cargas e correntes iniciais do circuito.<br />
Não é dificil mostrar que a equação 36.4 é solução da equação diferencial 36.2.<br />
i = −ω ( )<br />
0<br />
qm sen ωot<br />
+ φ0 . (36.7)<br />
Nesta expressão,<br />
q<br />
m , <strong>de</strong>nominado amplitu<strong>de</strong> da carga no capacitor, é o<br />
PENSE E RESPONDA 36.1<br />
Como você po<strong>de</strong>ria mostrar que uma equação do tipo Acos ( ω t)<br />
( ω t)<br />
q =<br />
0 ou<br />
q = B sen<br />
0 satisfaz a equação 36.2? Mostre que essas duas equações são<br />
soluções da equação 36.2.<br />
Inicialmente, quando ligamos o contato móvel m ao terminal b, temos certa<br />
quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong> carga no capacitor, q<br />
0, e <strong>de</strong>terminada corrente, i 0 , no circuito. Uma<br />
combinação linear da equação 36.4, também solução da equação diferencial 36.2<br />
que enfatiza este fato é:<br />
q<br />
( i ω ) sen(<br />
ω )<br />
q0 cos(<br />
ω<br />
0t)<br />
+<br />
0 0 0t<br />
= (36.5)<br />
valor máximo atingido pela carga acumulada no capacitor. O valor <strong>de</strong><br />
termos dos valores iniciais da carga e da corrente é dado pela equação<br />
Da equação 36.7 temos,<br />
( i ) 2<br />
2<br />
0 0<br />
ω0<br />
q<br />
m em<br />
q m<br />
= q + . (36.8)<br />
i = − im sen( ω<br />
ot<br />
+φ0)<br />
. (36.9)<br />
Assim como a carga no capacitor, a corrente atinge um valor máximo, que é<br />
<strong>de</strong>nominado amplitu<strong>de</strong> da corrente, i m . Observe que<br />
= ω . (36.10)<br />
im 0<br />
q m<br />
A relação entre o valor da constante <strong>de</strong> fase e os valores iniciais da carga e<br />
da corrente é dada pela equação:<br />
PENSE E RESPONDA 36.2<br />
Como você po<strong>de</strong>ria mostrar que uma combinação linear da equação 36.4, do tipo<br />
( ω t) + Bsen ( ω t)<br />
q = Acos<br />
0<br />
0 satisfaz a equação 36.2? Mostre que essa equação é<br />
solução quando A = qo<br />
e B = i 0<br />
ω0<br />
.<br />
tg<br />
( φ )<br />
−i<br />
0<br />
0<br />
= . (36.11)<br />
ω0<br />
q0<br />
Tanto o valor da carga no capacitor no instante t = 0, como o da corrente no<br />
circuito, nos são fornecidos pela amplitu<strong>de</strong> da carga e por φ<br />
0 , <strong>de</strong>nominado<br />
constante <strong>de</strong> fase da oscilação.<br />
Como a corrente no circuito é a <strong>de</strong>rivada da carga no capacitor em relação<br />
ao tempo, <strong>de</strong>rivamos a equação 36.5 e obtemos:<br />
dq<br />
i = = −ω<br />
0<br />
q0<br />
sen( ω0t)<br />
+ i0<br />
cos( ω0t)<br />
. (36.6)<br />
dt<br />
Se substituirmos o valor t = 0 nas equações 36.5 e 36.6 encontraremos os<br />
valores iniciais q<br />
0 e i 0 , respectivamente, como é <strong>de</strong> se esperar.<br />
As equações 36.5 e 36.6 mostram que tanto a carga quanto a corrente<br />
oscilam harmônicamente, ou seja, seu comportamento po<strong>de</strong> ser <strong>de</strong>scrito<br />
por uma única função harmônica, como são <strong>de</strong>nominadas as funções seno<br />
e cosseno.<br />
A figura 36.2 representa uma oscilação harmônica ( t)<br />
= Y cos( ω t + φ )<br />
y<br />
m<br />
com a constante <strong>de</strong> fase nula e os <strong>de</strong>mais parâmetros em unida<strong>de</strong>s arbitrárias.<br />
0<br />
0<br />
compacta,<br />
Manipulando a equação 36.6, po<strong>de</strong>mos reescrevê-la <strong>de</strong> forma mais<br />
538<br />
539
capacitor e no indutor sejam aproximadamente iguais, usamos as equações 36.4 e<br />
36.9 com o valor da constante <strong>de</strong> fase em torno <strong>de</strong> φ0 = 7π<br />
4 = −π<br />
4:<br />
q = qm cos( ω t + 0) ,<br />
0<br />
φ<br />
i = − i sen( ω t +φ0)<br />
m o<br />
.<br />
Consi<strong>de</strong>ramos que a carga é positiva quando a polarida<strong>de</strong> do capacitor é a<br />
que está indicada na figura 36.1 e negativa quando a polarida<strong>de</strong> do capacitor for<br />
invertida. Da mesma forma, quando a corrente tiver o sentido indicado na figura<br />
36.1 seu sinal será consi<strong>de</strong>rado positivo, sendo negativo se seu sentido for<br />
invertido.<br />
Figura 36.2: Oscilação harmônica: ( t)<br />
= Y cos( ω t + φ )<br />
φ<br />
0<br />
= 0, em unida<strong>de</strong>s arbitrárias.<br />
y<br />
m 0 0 , com ω =1, 0<br />
0 ; = 2, 8 m<br />
Y e<br />
Utilizando a expressão para o cosseno <strong>de</strong> uma soma po<strong>de</strong>mos reescrever a<br />
equação 36.7, para a corrente, como:<br />
i = ω<br />
0<br />
qm cos( ωot<br />
+ φ0<br />
+ π 2) = im<br />
cos( ωot<br />
+ φ0<br />
+ π 2) . (36.12)<br />
A equação 36.12 nos permite dizer que a fase da corrente, como é<br />
<strong>de</strong>nominado o argumento da função cosseno nesta equação, está<br />
adiantada <strong>de</strong> π 2 com relação à fase da carga no capacitor, que é o<br />
argumento da função harmônica na equação 36.4.<br />
Assim que é retirada a força eletromotriz, enquanto a corrente diminui, a<br />
carga no capacitor continuará a aumentar, até atingir um valor máximo,<br />
momento em que a corrente se anula.<br />
q<br />
m , no<br />
A partir daí, a corrente terá seu sinal invertido, começando a <strong>de</strong>scarregar o<br />
capacitor e aumentando gradativamente sua intensida<strong>de</strong>. Quando a carga se anular<br />
no capacitor, a corrente será máxima e igual a<br />
− ω 0<br />
qm<br />
. O processo continua e o<br />
capacitor se carrega, agora com cargas <strong>de</strong> sinal contrário ao inicial, até que a<br />
carga, <strong>de</strong> valor igual a<br />
novamente.<br />
− qm<br />
, seja máxima em valor absoluto e a corrente se anule<br />
Em seguida a corrente volta a ser positiva e vai crescendo enquanto a carga<br />
diminui em valor absoluto. Novamente a corrente é máxima quando a carga se<br />
anula e o capacitor começa a ser carregado positivamente, como no início.<br />
PENSE E RESPONDA 36.3<br />
Pensando nos gráficos <strong>de</strong> carga e corrente em função do tempo para um<br />
circuito LC, o que significa dizer que a fase da corrente está adiantada <strong>de</strong> π 2 em<br />
relação à carga em um circuito LC?<br />
Para <strong>de</strong>screver o que ocorre quando ligamos o contato móvel m ao terminal<br />
b, na figura 36.1, supondo que nesse momento as energias acumuladas no<br />
Um capacitor, <strong>de</strong> capacitância<br />
EXEMPLO 36.1<br />
0 ,25µ F , é carregado até a tensão <strong>de</strong> 20V<br />
e,<br />
em seguida, é <strong>de</strong>sligado da fonte e ligado a uma bobina, com<br />
10 mH <strong>de</strong><br />
indutância. Qual a carga inicial do capacitor e qual o valor máximo da corrente no<br />
circuito resultante?<br />
SOLUÇÃO: A carga inicial é dada pelo produto da tensão ao qual o capacitor foi<br />
submetido pelo valor <strong>de</strong> sua capacitância:<br />
−6<br />
( 0,25×<br />
10 F )( V )<br />
q = CV =<br />
20 ,<br />
0<br />
540<br />
541
q<br />
0<br />
= 5,0µC<br />
.<br />
A corrente máxima é a carga máxima multiplicada pela freqüência angular:<br />
1<br />
im<br />
= ω<br />
0<br />
qm<br />
= qm<br />
, pois<br />
LC<br />
ω = 1<br />
0<br />
LC<br />
,<br />
−3<br />
−6<br />
−<br />
2<br />
( H<br />
F ) 1<br />
−<br />
10×<br />
10 × 0,25×<br />
10 ( 5,0 × 10 C)<br />
6<br />
i m<br />
= ,<br />
i m<br />
= 0, 10A .<br />
Encontramos duas possibilida<strong>de</strong>s para tg<br />
−1 ( −1,74 ), que são os ângulos <strong>de</strong><br />
120 o e <strong>de</strong> 300 o ou – 60 o . Mas ( 0<br />
)<br />
m<br />
cos φ = q é negativo, portanto, encontramos:<br />
q 0<br />
o 2π<br />
φ<br />
0<br />
= 120 = rad .<br />
3<br />
(c) A amplitu<strong>de</strong> da carga é dada pela equação 36.5:<br />
2<br />
−6<br />
2<br />
−3<br />
3 −1<br />
2<br />
( i ω ) = ( 10x10<br />
C) + ( 87x10<br />
A 5,0 x10<br />
s ) 20 C<br />
2<br />
q m<br />
= q +<br />
µ<br />
0 0 0<br />
=<br />
E a amplitu<strong>de</strong> da da corrente pela equação:<br />
.<br />
EXEMPLO 36.2<br />
Em um circuito LC que oscila, a capacitância é <strong>de</strong><br />
40 mH . A carga inicial é q<br />
0<br />
= −10µ<br />
C e a corrente inicial é i0 = −87mA<br />
.<br />
(a) Em t = 0, o capacitor estava sendo carregado ou <strong>de</strong>scarregado?<br />
(b) Qual o valor da constante <strong>de</strong> fase?<br />
1 ,0µ F e a indutância <strong>de</strong><br />
Portanto,<br />
im =ω0<br />
q m<br />
3<br />
−<br />
( 5,0 × 10 s) × ( 20×<br />
10 C)<br />
i m<br />
6<br />
= ,<br />
i m<br />
= 0, 10A .<br />
(c) Quais os valores da amplitu<strong>de</strong> da carga e da amplitu<strong>de</strong> da corrente?<br />
SOLUÇÃO:<br />
(a) Como a carga inicial é negativa e a corrente inicial também é negativa o<br />
capacitor estava sendo carregado inicialmente com uma polarida<strong>de</strong> contrária à<br />
indicada na figura 36.1.<br />
(b) A constante <strong>de</strong> fase é dada pela equação 36.11, on<strong>de</strong> aparece a frequência<br />
angular que vale:<br />
ATIVIDADE 36.1<br />
Consi<strong>de</strong>re o circuito LC mostrado na figura 36.1, em que a capacitância é<br />
15 µ F e a indutância é 1 ,0m H . Logo após o capacitor ter sido carregado com<br />
uma carga <strong>de</strong> 2 ,0µ C o contato m é ligado ao contato b, sendo i = 0<br />
50m A .<br />
a) Determine a frequência angular.<br />
b) Determine as amplitu<strong>de</strong>s da carga e da corrente elétrica.<br />
Temos então:<br />
0<br />
−1<br />
( ) 2<br />
ω = LC<br />
−3<br />
−6<br />
( 40×<br />
10 H ) × ( 1,0 × F )<br />
ω<br />
0<br />
=<br />
10 ,<br />
( )<br />
0<br />
= 5,0 × 10 s<br />
3 −1<br />
ω .<br />
tg<br />
( φ )<br />
−i<br />
0<br />
0<br />
= ,<br />
ω0<br />
q0<br />
−3<br />
− 87×<br />
10 A<br />
tg φ = 1,74 .<br />
0<br />
= −<br />
−<br />
3 −1<br />
6<br />
( 5×<br />
10 s ) × ( 10×<br />
10 C)<br />
Os valores iniciais da carga e da corrente são arbitrários. O que os <strong>de</strong>fine,<br />
em cada caso, é a maneira como o sistema é posto a oscilar. Um mesmo circuito LC<br />
po<strong>de</strong> ser ter sido alimentado, por exemplo, por fontes <strong>de</strong> diferentes tensões, o que<br />
po<strong>de</strong> produzir diferentes valores iniciais para a carga e para a corrente. Da mesma<br />
forma, diferentes maneiras <strong>de</strong> excitar o circuito LC produzem diferentes amplitu<strong>de</strong>s<br />
e diferentes constantes <strong>de</strong> fase.<br />
Enquanto os valores da carga e da corrente <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>m <strong>de</strong> agentes externos,<br />
po<strong>de</strong>mos ver claramente, das equações 36.3, 36.4 e 36.9, que a carga no capacitor<br />
e a corrente no circuito oscilam com uma frequência angular que só <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> dos<br />
valores da capacitância e da indutância.<br />
542<br />
543
A freqüência f <strong>de</strong>ssa oscilação, que é a frequência angular ω dividida por<br />
2 π , é <strong>de</strong>nominada frequência natural da oscilação, ou mesmo, frequência<br />
natural do circuito. Seu valor é uma característica particular <strong>de</strong> cada circuito LC,<br />
assim como nos circuitos RC e RL encontramos suas constantes <strong>de</strong> tempo<br />
características.<br />
O período T das oscilações é, portanto:<br />
1<br />
T = = 2π<br />
LC . (36.13)<br />
f<br />
EXEMPLO 36.3<br />
Em um circuito sintonizador <strong>de</strong> um rádio há um indutor com indutância <strong>de</strong><br />
1 ,0mH e um capacitor variável. A faixa <strong>de</strong> freqüências sintonizadas é <strong>de</strong> 530 kHz a<br />
1710 kHz . Quais são os valores máximo e mínimo da capacitância?<br />
SOLUÇÃO: Como sabemos que:<br />
1<br />
T = = 2π<br />
LC<br />
f<br />
,<br />
rearranjamos esta última equação e encontramos para a capacitância a expressão:<br />
fica armazenada no campo elétrico criado entre as placas do capacitor. Como vimos<br />
anteriormente na aula 13 esta energia é dada pela equação<br />
2<br />
q<br />
U E<br />
= . 2 C<br />
Igualmente, para estabelecer uma corrente em um indutor é necessária uma<br />
energia que fica armazenada no campo magnético criado pela corrente. Esta<br />
energia é:<br />
1 i<br />
2<br />
U L<br />
2<br />
B<br />
= .<br />
No circuito LC há certa quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong> energia que se distribui entre o campo<br />
elétrico no capacitor e o campo magnético no indutor. Em qualquer instante a<br />
energia no circuito é a soma <strong>de</strong>ssas duas energias:<br />
U<br />
q<br />
2C<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
= U<br />
E<br />
+ U<br />
B<br />
= + Li<br />
(36.14)<br />
Substituindo aqui as equações 36.4 e 36.9 que nos dão os valores da carga<br />
e da corrente em função do tempo, encontramos:<br />
2<br />
q 2<br />
1 2 2 2<br />
U = cos ( ω<br />
0t<br />
+ φ0)<br />
+ Lω0<br />
qm<br />
sen ( ω0t<br />
+ φ0)<br />
2C<br />
2<br />
m<br />
.<br />
Portanto teremos:<br />
2 2 −1<br />
( 4 f ) .<br />
C = π L<br />
C = max<br />
90 pF e C<br />
min<br />
= 8, 7 pF .<br />
Como<br />
L ω 2<br />
1 C , os fatores que multiplicam os quadrados da senói<strong>de</strong> e da<br />
0 =<br />
cossenói<strong>de</strong> são idênticos; além disso, ω = q i m<br />
. Portanto, po<strong>de</strong>mos escrever:<br />
0<br />
2<br />
2<br />
[ cos ( ω t + φ ) + sen ( ω + φ )]<br />
m<br />
2<br />
qm U =<br />
0 0<br />
0t<br />
0<br />
. (36.15)<br />
2C<br />
ATIVIDADE 36.2<br />
Qual a faixa <strong>de</strong> valores da capacitância em um circuito receptor <strong>de</strong> rádio em que<br />
há um indutor <strong>de</strong><br />
freqüências entre 1 ,2MHz<br />
e 7 ,2MHz<br />
.<br />
2 ,0mH<br />
<strong>de</strong> indutância e que <strong>de</strong>ve sintonizar estações com<br />
ou ainda,<br />
2<br />
qm<br />
1 2<br />
U = = Lim<br />
. (36.16)<br />
2C<br />
2<br />
36.2 ENERGIA NO CIRCUITO LC<br />
Para carregar um capacitor é necessário que algum agente externo realize<br />
trabalho para separar cargas <strong>de</strong> sinais opostos. Este trabalho é igual à energia que<br />
544<br />
Esta duas expressões indicam que a energia total é uma constante e que<br />
esta se alterna entre elétrica e magnética (quando a função seno elevada ao<br />
quadrado é nula, o quadrado da função cosseno é máximo e vice-versa). Portanto,<br />
545
quando a corrente se anula o valor absoluto da carga é máxima e toda a energia no<br />
circuito está armazenada no capacitor. Por outro lado, quando a carga no capacitor<br />
se anula, a corrente é máxima e toda a energia se encontra no campo magnético<br />
no indutor.<br />
Quando <strong>de</strong>rivamos a equação 36.14 em relação ao tempo e igualamos o<br />
resultado a zero estamos expressando o fato da energia total ser constante:<br />
dU<br />
dt<br />
2<br />
q dq di d q q<br />
= + Li = L i + i = 0.<br />
2<br />
C dt dt dt C<br />
Observe pelas equações<br />
−5<br />
U = 5,0 × 10 J .<br />
q = q cos( ω t + )<br />
m 0 e i = −i<br />
sen ω t +φ )<br />
0<br />
φ<br />
m<br />
(<br />
o 0 ,<br />
que se a carga é máxima no capacitor e a corrente no circuito é nula no instante<br />
<strong>de</strong> tempo t=0, a constante <strong>de</strong> fase é nula, φ = 0<br />
0 .<br />
Logo, no instan<strong>de</strong> <strong>de</strong> tempo t = 0, toda a energia está armazenada no capacitor.<br />
Portanto,<br />
Dividindo esta expressão pela intensida<strong>de</strong> <strong>de</strong> corrente encontramos<br />
novamente a equação 36.2. Portanto essa equação po<strong>de</strong> ser encontrada <strong>de</strong> duas<br />
formas equivalentes: aplicando a lei das malhas ou pelo uso explícito da<br />
conservação da energia no circuito.<br />
EXEMPLO 36.4<br />
Consi<strong>de</strong>re o circuito LC do Exemplo 36.1, on<strong>de</strong> C = 0,25µ<br />
F , L = 10mH<br />
e o<br />
circuito é ligado a uma fonte <strong>de</strong><br />
20 V . Suponha que o contato m seja ligado ao<br />
terminal b da figura 36.1 no instante <strong>de</strong> tempo t = 0, quando a carga no capacitor<br />
é máxima e a corrente nula. Determine as energias armazenadas no capacitor, no<br />
indutor e a energia total do circuito nos instantes <strong>de</strong> tempo t = 0, t = T/4, t = T/2,<br />
t = 3T/4 e t = T, sendo T o período da oscilação eletromagnética no circuito.<br />
SOLUÇÃO: Como não há perdas <strong>de</strong> energia, po<strong>de</strong>mos afirmar que a<br />
energia é constante e, portanto, tem o mesmo valor em qualquer instante <strong>de</strong><br />
tempo; além disso a energia <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> da capacitância, da indutância e da tensão<br />
aplicada no circuito. Da equação 36.16 temos<br />
é<br />
A corrente máxima nesse circuito é<br />
2<br />
qm<br />
1 2<br />
U = = Lim<br />
.<br />
2C<br />
2<br />
0 ,10 A . Então a energia total do circuito<br />
−5<br />
−5<br />
U = 5,0 × 10 J , sendo U E<br />
= 5,0 × 10 J e U<br />
B<br />
= 0 , pois U = U E<br />
+ U .<br />
B<br />
Não são necessários cálculos para chegarmos à conclusão <strong>de</strong> que em t =<br />
T/2, e em t = T, novamente toda a energia estará armazenada no capacitor, uma<br />
vez que carga e corrente oscilam harmonicamente. O que muda apenas é a<br />
polarida<strong>de</strong> no capacitor conforme ele é carregado e <strong>de</strong>scarregado. Já , nos<br />
instantes t = T/4 e t = 3T/4 toda a energia estará armazenada no indutor<br />
Po<strong>de</strong>mos ainda utilizar as equações,<br />
2<br />
q 1<br />
U E<br />
= e U<br />
2<br />
B<br />
= Li<br />
;<br />
2C<br />
2<br />
U<br />
E<br />
2<br />
qm<br />
2<br />
1 2 2<br />
= cos ( ω0t<br />
) e U<br />
B<br />
= Lim<br />
sen ( ω0t)<br />
,<br />
2C<br />
2<br />
para obter as energias nesses instantes <strong>de</strong> tempo.<br />
Em t = 0, t = T/2 e em t = T, como<br />
Em t = T/4 e em t = 3T/4<br />
2π<br />
T = ,<br />
ω<br />
U E<br />
5<br />
0<br />
−<br />
= 5,0 × 10 J e U = 0 .<br />
B<br />
U =<br />
1<br />
2<br />
−<br />
( 10×<br />
10<br />
3 H )( 0, 10A) 2<br />
−5<br />
U = 0 e U B<br />
= 5,0 × 10 J .<br />
E<br />
546<br />
547
ATIVIDADE 36.3<br />
A figura 36.3 mostra <strong>de</strong> forma esquemática um circuito LC no qual o<br />
contato foi fechado no instante <strong>de</strong> tempo t = 0. Desconsi<strong>de</strong>re qualquer resistência<br />
entre os elementos <strong>de</strong>sse circuito. Faça um esboço dos campos, elétrico e<br />
magnético, no capacitor e no indutor nos instantes <strong>de</strong> tempo t = T/4, t = T/2, t =<br />
3T/4 e t = T, sendo T o período da oscilação eletromagnética. Faça também um<br />
esboço das energias, elétrica, magnética e total, do circuito para os mesmos<br />
instantes <strong>de</strong> tempo.<br />
RESPOSTA COMENTADA DAS ATIVIDADES PROPOSTAS<br />
ATIVIDADE 36.1<br />
a) A frequência angular é dada pela equação 36.3:<br />
ω =<br />
0<br />
1<br />
=<br />
LC<br />
1<br />
−3<br />
−6<br />
( 1,0 × 10 H )( 15×<br />
10 F )<br />
3<br />
ω = 8,2 10 rad / s.<br />
0<br />
×<br />
b) A amplitu<strong>de</strong> da carga po<strong>de</strong> ser obtida pela equação 36.8:<br />
.<br />
2<br />
−6<br />
2<br />
−3<br />
3 −1<br />
( i ) = ( 2,0 x10<br />
C) + ( 50x10<br />
A 8,2 x ) 2<br />
q m<br />
= q ω<br />
s<br />
2<br />
0<br />
+<br />
0 0<br />
10<br />
q m<br />
= 6,4 µC<br />
E a amplitu<strong>de</strong> da corrente po<strong>de</strong> ser obtida pela equação 36,10,<br />
i<br />
m<br />
3<br />
−6<br />
( 8,2 × 10 rad / s)( 6,4×<br />
C)<br />
= ω<br />
0<br />
q =<br />
0 ,<br />
m<br />
i m<br />
= 53mC .<br />
Figura 36.3: Circuito LC.<br />
ATIVIDADE 36.2<br />
Escrevemos a capacitância em termos do valor da indutância e da freqüência das<br />
oscilações, obtemos<br />
Portanto teremos:<br />
2 2 −1<br />
( 4 f ) .<br />
C = π L<br />
C<br />
max<br />
4<br />
=<br />
π<br />
2<br />
pF<br />
1<br />
12 −1<br />
2<br />
−3<br />
( 1,2 × 10 s ) × ( 2,0 × 10 H )<br />
−11<br />
C = 1,8 × 10 F 18<br />
max<br />
=<br />
E,<br />
C<br />
min<br />
4<br />
=<br />
π<br />
2<br />
pF<br />
1<br />
12 −1<br />
2<br />
−3<br />
( 7,2 × 10 s ) × ( 2,0 × 10 H )<br />
−13<br />
C = 4,9 × 10 F 0, 49<br />
min<br />
=<br />
.<br />
548<br />
549
ATIVIDADE 36.2<br />
No instante <strong>de</strong> tempo t = ¼ T, o capacitor estará completamente <strong>de</strong>scarregado e<br />
toda a energia estará contida no campo magnético criado pelo indutor, como<br />
mostra a figura 36.3.<br />
b) Suponha que a frequência da outra extremida<strong>de</strong> <strong>de</strong>ssa faixa <strong>de</strong> frequência seja<br />
f = 0, 55MHz . Determine o valor máximo para a capacitâcia <strong>de</strong> modo que as<br />
frequências <strong>de</strong> oscilações possam ser selecionadas <strong>de</strong>ntro do intervalo da banda <strong>de</strong><br />
frequência <strong>de</strong> rádio.<br />
E36.2) Um capacitor <strong>de</strong> capacitância<br />
fonte <strong>de</strong> tensão <strong>de</strong><br />
um indutor <strong>de</strong> indutância L = 2, 0H<br />
.<br />
C = 0,5µ<br />
F é inicialmente conectado a uma<br />
12 V . Em seguida, o capacitor é <strong>de</strong>sconetado da fonte e ligado a<br />
a) Determine a frequência angular das oscilações elétricas.<br />
b) Determine o período das oscilações elétricas.<br />
c) Calcule a carga inicial do capacitor e a sua carga após 0 ,015s<br />
ter sido ligado ao<br />
Figura 36.3: Oscilação da carga e corrente em um circuito LC. A energia permanece<br />
constante, alternando-se em elétrica e magnética.<br />
Em t = ½ T a energia estará no campo elétrico do capacitor. Observe que, em<br />
comparação com o início do ciclo, a polarida<strong>de</strong> do capacitor está invertida. Nesse<br />
momento a carga atinge seu valor máximo e a corrente é nula; observe a figura<br />
36.3.<br />
Em t = ¾ T a corrente é máxima e o capacitor está <strong>de</strong>scarregado. Então toda a<br />
energia está no campo magnético do indutor.<br />
Em um ciclo completo, quando t = T, o capacitor estará novamente carregado e a<br />
corrente no circuito é nula.<br />
A figura 36.3 também mostra como a energia é transformada em elétrica e<br />
magnética nos instantes <strong>de</strong> tempo do ciclo assinalados.<br />
indutor.<br />
d) Calcule também a corrente no indutor após 0 ,015s<br />
ter sido ligado ao capacitor.<br />
e) Encontre a energia armazenda no capacitor e no indutor.<br />
E36.3) Consi<strong>de</strong>re que em um circuito LC a corrente máxima seja <strong>de</strong><br />
capacitor tem capacitância C = 4,5µ<br />
F e o indutor, indutância L = 90 mH .<br />
a) Determine a carga máxima no capacitor.<br />
b) Calcule a carga no capacitor quando a corrente no indutor é 0 ,50 mA .<br />
i m<br />
0, 90mA<br />
= . O<br />
E36.4) Determine a carga no capacitor <strong>de</strong> um um circuito LC quando a corrente<br />
está variando a uma taxa <strong>de</strong> 2 ,5mA<br />
no indutor, <strong>de</strong> indutância L = 700mH<br />
, em que<br />
a capacitância do capacitor é C = 3,5µ<br />
F .<br />
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO<br />
E36.1) Um rádio tem um pequeno capcitor <strong>de</strong> capacitância variável<br />
C = 5, 0 pF .<br />
Uma bobina é conectada ao capaitor <strong>de</strong> modo que a frequência <strong>de</strong> oscilação do<br />
circuito LC seja<br />
f = 1, 5<br />
MHz<br />
E36.5) Em um circuito LC, com<br />
indutor é<br />
L = 400mH<br />
e C = 250 pF , a corrente máxima no<br />
i m<br />
= 1, 5A<br />
durante as oscilações. Obtenha a energia máxima armazenada<br />
no capacitor durante as oscilações <strong>de</strong> corrente.<br />
a) Determine a indutância da bobina.<br />
E36.6) Mostre que a expressão<br />
L tem unida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> tempo.<br />
C<br />
550<br />
551
E36.7) Faça um esboço dos campos, elétrico e magnético, no capacitor e no indutor<br />
<strong>de</strong> um circuito LC, nos instantes <strong>de</strong> tempo t =0, t = T/8, t = T/4, t = 3T/8, t = T/2,<br />
t = 5T/8, t = 3T/4, t = 7T/8 e t = T, sendo T o período da oscilação<br />
eletromagnética. Faça também um esboço das energias, elétrica, magnética e total,<br />
do circuito para os mesmos instantes <strong>de</strong> tempo.<br />
552
AULA 37 OSCILAÇÕES EM CIRCUITOS ELÉTRICOS II<br />
dU<br />
dt<br />
− Ri<br />
2<br />
OBJETIVOS<br />
• Compreen<strong>de</strong>r o comportamento da carga e da corrente que oscilam harmonicamente<br />
em um circuito RLC.<br />
• Enten<strong>de</strong>r que parte da energia é dissipada em um circuito RLC.<br />
37.1 CIRCUITO RLC<br />
Na aula 36 fizemos a <strong>de</strong>scrição do circuito LC. Com o intuito <strong>de</strong> fazer<br />
primeiro a situção mais simples e <strong>de</strong> mais fácil compreensão, fizemos a suposição<br />
<strong>de</strong> que não havia qualquer resistência no circuito.<br />
Embora existam materiais que, a baixas temperaturas, apresentem<br />
resistivida<strong>de</strong> nula, não é possível ainda construir corriqueiramente circuitos<br />
elétricos totalmente isentos <strong>de</strong> alguma resistência elétrica.<br />
Vamos então introduzir um resistor no circuito LC e transformá-lo em um<br />
circuito RLC, mais próximo da realida<strong>de</strong>. Note que, mesmo quando não utilizamos<br />
um resistor específico em um circuito, o próprio indutor apresenta uma resistência<br />
<strong>de</strong>terminada, que po<strong>de</strong> ser pequena, mas não nula.<br />
dU<br />
dt<br />
dU<br />
dt<br />
= ,<br />
q dq di<br />
= + Li ,<br />
C dt dt<br />
2<br />
q d q dq<br />
i + L i = − R i .<br />
C dt dt<br />
=<br />
2<br />
Dividindo esta equação pelo valor da corrente e rearranjando seus termos<br />
encontramos a equação do circuito, que po<strong>de</strong> ser igualmente encontrada pelo uso<br />
da lei das malhas:<br />
2<br />
d q dq q<br />
L + R + = 0 . (37.1)<br />
2<br />
dt dt C<br />
A equação 37.1 é um pouco mais complicada que a equação 36.1, <strong>de</strong>vido ao<br />
termo adicional, igual à resistência do resistor multiplicada pela <strong>de</strong>rivada temporal<br />
da carga, que, como no circuito LC, é a corrente no circuito.<br />
PENSE E RESPONDA 37.1<br />
Como seria possível obter a equação 37.1 usando a Lei das Malhas no circuito<br />
RLC?<br />
Novamente, ligamos o contato móvel ao terminal a e em <strong>de</strong>terminado<br />
momento o ligamos ao terminal b, e começamos a contar o tempo.<br />
Para encontrar a solução da equação 37.1 fazemos a suposição <strong>de</strong> que a<br />
carga seja dada por uma função do tipo:<br />
q = Ae<br />
λt<br />
Figura 37.1: Ao circuito i<strong>de</strong>alizado da figura 36.1 foi acrescentado um resistor, resultando<br />
em um circuito RLC, mais próximo do que ocorre em um circuito real.<br />
Na figura 37.1 temos o novo circuito, cuja equação encontraremos, fazendo<br />
a taxa <strong>de</strong> variação da energia no circuito igual ao negativo da potência dissipada<br />
por efeito Joule no resistor:<br />
em que <strong>de</strong>vemos <strong>de</strong>terminar A e λ (você apren<strong>de</strong>rá como obter as soluções da<br />
equação 37.1 em seu curso <strong>de</strong> Cálculo).<br />
Substituindo esta expressão na equação 37.1, encontramos uma equação <strong>de</strong><br />
segundo grau para λ :<br />
on<strong>de</strong><br />
2<br />
2<br />
λ + 2γ<br />
λ + ω = 0 ,<br />
0<br />
553<br />
554
γ = R 2L<br />
(37.2)<br />
−γ<br />
t<br />
q = q′<br />
cos( ω′<br />
m<br />
e t + φ0)<br />
, (37.6)<br />
e ω<br />
0 como foi <strong>de</strong>finido na equação 36.3:<br />
ω = 1<br />
0<br />
LC<br />
.<br />
Esta equação para λ tem por solução duas raízes:<br />
on<strong>de</strong><br />
−γ<br />
t<br />
i = −ω<br />
q′<br />
( ω′<br />
m<br />
e sen t + φ + 0) , (37.7)<br />
0<br />
φ<br />
tg(<br />
φ0)<br />
−<br />
( i + γ q )<br />
0 0<br />
= (37.8)<br />
ω′<br />
q<br />
0<br />
λ<br />
γ<br />
γ<br />
ω<br />
2 2<br />
= − ± −<br />
0<br />
, (37.3)<br />
e<br />
e, portanto, a solução final <strong>de</strong>ve ser uma combinação linear do tipo<br />
t<br />
t<br />
A e<br />
λ 1 λ2<br />
1<br />
+ A2e<br />
.<br />
Quando o valor da resistência no circuito não é muito gran<strong>de</strong> temos que γ<br />
é menor que ω<br />
0 , <strong>de</strong> forma que as raízes têm uma parte imaginária. Lembrando que<br />
2<br />
2 ⎛ i0<br />
+ γ q0<br />
⎞<br />
0<br />
+ ⎜ ⎟<br />
⎠<br />
q′<br />
m<br />
= q<br />
. (37.9)<br />
⎝ ω′<br />
as funções seno e cosseno po<strong>de</strong>m ser escritas em termos <strong>de</strong> funções exponenciais<br />
com argumento imaginário e, sem fornecer maiores <strong>de</strong>talhes sobre os cálculos<br />
envolvidos, encontramos a carga no capacitor e a corrente no circuito:<br />
−γ t i0<br />
+ γ q0<br />
− γ t<br />
q = q0 e cos( ω′<br />
t)<br />
+ e sen(<br />
ω′<br />
t)<br />
,<br />
ω´<br />
i = −ω<br />
q e<br />
i<br />
sen(<br />
ω′<br />
t + φ)<br />
+ ω<br />
+ γ q<br />
ω′<br />
cos( ω′<br />
t +<br />
− γ t<br />
0 0 − γ t<br />
0 0<br />
0<br />
φ<br />
e<br />
) ,<br />
Como po<strong>de</strong>mos ver, a carga oscila harmonicamente, ou seja, é<br />
<strong>de</strong>scrita por uma função cosseno, cuja fase cresce linearmente com o<br />
tempo. Entretanto, a função harmônica é multiplicada por uma função<br />
exponencial, <strong>de</strong>crescente, cujo expoente <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> do valor da resistência<br />
presente no circuito. Isto representa o amortecimento da oscilação.<br />
A gran<strong>de</strong>za<br />
q′<br />
m não é exatamente a amplitu<strong>de</strong> inicial do movimento: quando<br />
escolhemos o instante t = 0 <strong>de</strong> forma que a corrente inicial no circuito seja nula e a<br />
carga inicial no capacitor seja máxima, e igual a<br />
q<br />
m , encontramos que:<br />
on<strong>de</strong> temos uma nova freqüência angular, ω ´ , menor que ω<br />
0 :<br />
ω'<br />
2 2<br />
= ω0<br />
− γ . (37.4)<br />
i<br />
0<br />
= 0 → q m<br />
′ = q m<br />
cos( φ)<br />
.<br />
Neste caso a cada período, T ′ = 2π ω′<br />
, a corrente será nula e a carga será:<br />
Além disto, para simplificar um pouco a expressão para a corrente,<br />
introduzimos uma fase adicional, φ , dada por:<br />
γ<br />
tg ( φ)<br />
= . (37.5)<br />
ω′<br />
Dessa forma encontramos:<br />
−nγ<br />
T′<br />
′<br />
q ( nT ) = e q . (37.10)<br />
Este resultado sugere que a carga no capacitor oscila<br />
harmonicamente, mas com uma amplitu<strong>de</strong> que <strong>de</strong>cresce<br />
exponencialmente.<br />
m<br />
555<br />
556
A figura 37.2 representa uma oscilação amortecida, com um período<br />
T ´ = 2T<br />
ω´<br />
= 5,0 ou ω ´~ 1, 26; Y = 2, 8 e φ 0 , em unida<strong>de</strong>s arbitrárias.<br />
m<br />
0 =<br />
freqüência seja pequeno. Quando γ tem um valor <strong>de</strong> um décimo do valor<br />
<strong>de</strong> ω<br />
0 , a freqüência da oscilação é reduzida em meio por cento enquanto a<br />
amplitu<strong>de</strong> é reduzida em quarenta e sete por cento e a energia é reduzida<br />
em setenta e dois por cento em cada oscilação completa.<br />
EXEMPLO 37.1<br />
Em <strong>de</strong>terminado circuito RLC a energia é reduzida à meta<strong>de</strong> em duas oscilações<br />
completas. Qual a razão entre a constante <strong>de</strong> amortecimento, γ , e a freqüência<br />
angular <strong>de</strong> oscilação, ω′ do circuito? Qual a razão entre a freqüência da oscilação<br />
do circuito RLC e a freqüência do circuito LC correspon<strong>de</strong>nte?<br />
SOLUÇÃO: A fração da energia eletromagnética dissipada como calor no resistor é<br />
dada por:<br />
E nT ′)<br />
− E[(<br />
n + 2) T ′]<br />
=<br />
= 1 − e<br />
E(<br />
nT ′)<br />
∆ E ( −4γ<br />
T′<br />
E<br />
1<br />
= .<br />
2<br />
−γ<br />
. t<br />
Figura 37.2: Oscilação harmônica amortecida: y = Ym e cos( ω t + φ0)<br />
, com ω ´~ 1, 26 ;<br />
Y = 2,8 e φ 0<br />
m<br />
0 =<br />
, em unida<strong>de</strong>s arbitrárias.<br />
A energia, nos momentos em que a corrente é nula, está totalmente contida<br />
no campo elétrico do capacitor e é igual a:<br />
E<br />
q<br />
2C<br />
′<br />
2<br />
( nT′ ) = m −2nγ<br />
T′<br />
e . (37.11)<br />
A energia no circuito diminui com o passar do tempo e é conveniente<br />
calcular a fração da energia perdida em cada oscilação completa:<br />
Isolando a função exponencial e tomando o logaritmo da expressão resultante e<br />
recordando que T ′ = 2π ω′<br />
, po<strong>de</strong>mos encontrar:<br />
A razão entre ω′ e ω 0 é dada por:<br />
ω′<br />
=<br />
ω<br />
0<br />
γ ln[2]<br />
= = 0,0276 .<br />
ω′ 8π<br />
ω′<br />
2 2<br />
ω′<br />
+ γ<br />
=<br />
1<br />
= 0,986 .<br />
1 + 0,0276<br />
Ou seja, a freqüência da oscilação amortecida é 1,34% menor que a da oscilação<br />
não amortecida.<br />
ATIVIDADE 37.1<br />
∆<br />
E<br />
′ − +<br />
E(<br />
nT′<br />
)<br />
′<br />
= 1 − e<br />
E E(<br />
nT ) E[(<br />
n 1) T ]<br />
−2γ<br />
T ′<br />
=<br />
. (37.12)<br />
Como vimos, a presença <strong>de</strong> uma resistência no circuito reduz a<br />
frequência da oscilação e causa a diminuição da energia armazenada no<br />
circuito. Quando γ é pequeno (resistência pequena), comparado com ω<br />
0 , a<br />
redução da energia po<strong>de</strong> ser apreciável, ainda que o efeito sobre o valor da<br />
557<br />
Qual a variação relativa na frequência <strong>de</strong> oscilação <strong>de</strong> um circuito RLC, com<br />
relação à frequência <strong>de</strong> oscilação do circuito LC correspon<strong>de</strong>nte, quando o valor <strong>de</strong><br />
γ é um centésimo do valor <strong>de</strong> ω<br />
0 ? Que fração da energia inicial é dissipada como<br />
calor no resistor em uma oscilação completa?<br />
558
Quando se aumenta o valor da resistência, a frequência diminui e<br />
po<strong>de</strong> chegar a ser nula, ou seja, não haverá mais oscilação no circuito.<br />
Quando γ é igual a ω<br />
0 a frequência das oscilações se anula e as duas<br />
raízes coinci<strong>de</strong>m, sendo iguais a<br />
pouco mais elaborada e é dada por:<br />
− γ . A solução para a carga, neste caso, é um<br />
−γ<br />
t<br />
q = [ q0 + ( i0<br />
+ γ q0)<br />
t]<br />
e , (37.13)<br />
(a)<br />
(b)<br />
e a corrente é:<br />
−γ<br />
t<br />
i = [ i0 − γ ( i0<br />
+ γ q0)<br />
t]<br />
e . (37.14)<br />
Figura 37.3. Esboço dos gráficos <strong>de</strong> carga no capacitor em função do tempo em um circuito<br />
RLC (a) subamortecido, quando o valor da resistência R é gran<strong>de</strong> e (b) superamortecido,<br />
quando R é muito gran<strong>de</strong>.<br />
PENSE E RESPONDA 37.2<br />
Não há qualquer oscilação e tanto a carga no capacitor quanto a<br />
corrente no circuito ten<strong>de</strong>m a se anular.<br />
Que critérios você po<strong>de</strong> utilizar para <strong>de</strong>terminar se o sistema <strong>de</strong> um circuito LRC é<br />
superamortecido ou subamortecido? Explique.<br />
Como se po<strong>de</strong> ver das equações 37.3 e 37.4, quando γ é maior que ω<br />
0<br />
temos duas raízes, λ<br />
1 e λ<br />
2 , reais e negativas e a carga no capacitor é:<br />
enquanto a corrente é:<br />
λ q + i λ q + i<br />
= ,<br />
λ − λ λ − λ<br />
q<br />
2 0 0 − λ1<br />
t<br />
e −<br />
1 0 0 − λ2<br />
t<br />
e<br />
2<br />
1<br />
− λ λ q − λ i λ λ q + λ i<br />
= +<br />
.<br />
λ − λ<br />
λ − λ<br />
i<br />
1 2 0 1 0 − λ1<br />
t<br />
e<br />
1 2 0 2 0 − λ2<br />
t<br />
e<br />
2<br />
1<br />
Aqui também não há qualquer oscilação, tanto a carga no capacitor quanto a<br />
corrente no circuito, ten<strong>de</strong>m assintoticamente a zero. Veja a figura 37.3.<br />
2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
37.2 ANALOGIA COM AS OSCILAÇÕES MECÂNICAS<br />
As equações utilizadas para <strong>de</strong>screver as oscilações eletromagnéticas são<br />
formalmente idênticas às utilizadas para <strong>de</strong>screver as oscilações mecânicas, por<br />
exemplo, <strong>de</strong> um sistema massa mola.<br />
Um corpo <strong>de</strong> massa m , suspenso <strong>de</strong> uma mola <strong>de</strong> constante elástica k e<br />
sujeito a uma força <strong>de</strong> atrito, com o ar, proporcional à velocida<strong>de</strong> do corpo tem seu<br />
movimento <strong>de</strong>scrito pela equação:<br />
2<br />
d x dx<br />
m + b + kx = 0 .<br />
2<br />
dt dt<br />
Se observarmos a equação 37.1 veremos que ambas têm a mesma forma e<br />
que há uma analogia completa entre ambas se fizermos as seguintes<br />
correspondências:<br />
x ↔ q ,<br />
dx dq<br />
v = ↔ i =<br />
dt dt<br />
559<br />
560
m ↔ L<br />
b ↔ R<br />
E,<br />
k ↔<br />
1<br />
C<br />
A analogia não é apenas formal. Um indutor reage sempre<br />
contrariamente às tentativas <strong>de</strong> modificar a corrente que o percorre,<br />
fazendo um papel <strong>de</strong> inércia do circuito. No sistema mecânico a inércia é<br />
representada pela massa do corpo oscilante.<br />
2<br />
1 R 1 1<br />
ω<br />
0<br />
= − = ,<br />
2<br />
LC 4L<br />
4 LC<br />
1<br />
R =<br />
2<br />
15L<br />
C<br />
−3<br />
( × 10 H )<br />
−<br />
( 0,25×<br />
10 F )<br />
1 15 10<br />
= ,<br />
2<br />
R<br />
6<br />
R = 245Ω .<br />
A resistência elétrica é o resultado da interação dos elétrons com a<br />
re<strong>de</strong> cristalina, que retira a energia, ganha por estes do campo elétrico,<br />
transformando-a em calor. Da mesma forma o atrito do corpo com o ar<br />
retira energia mecânica do sistema e a transforma em energia térmica.<br />
A constante elástica da mola indica a dificulda<strong>de</strong> para se <strong>de</strong>formá-la,<br />
produzindo certo <strong>de</strong>slocamento enquanto a capacitância do capacitor é<br />
uma medida da facilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> se carregá-lo com <strong>de</strong>terminada quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
carga. Por isto a analogia entre uma gran<strong>de</strong>za e o inverso da outra.<br />
Em suma, todas as equações escritas nesta aula po<strong>de</strong>m ser transformadas<br />
nas equações correspon<strong>de</strong>ntes ao caso das oscilações mecânicas.<br />
EXEMPLO 37.2<br />
Consi<strong>de</strong>re um circuito RLC em que o capacitor tem capacitância<br />
indutor tem indutância<br />
0 ,250µ F e o<br />
10 ,0mH<br />
. Determine a resistência do circuito se a<br />
frequência <strong>de</strong> oscilação for igual a ¼ da frequência do circuito não amortecido.<br />
SOLUÇÃO: Para encontrarmos a resistência, usaremos o fato <strong>de</strong><br />
Como,das equações 37.4 e 36.3, temos<br />
ω `= 1 ω<br />
4<br />
0<br />
.<br />
ω'<br />
=<br />
2<br />
ω − γ<br />
2<br />
0<br />
e<br />
ω 562<br />
0 =<br />
1<br />
LC<br />
561
RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS<br />
ATIVIDADE 37.1<br />
(a) A freqüência angular do circuito RLC é dada, neste caso, por:<br />
ω ′ = ω<br />
0 = ω .<br />
Portanto a variação relativa na freqüência é:<br />
2 2 2<br />
2<br />
0<br />
− γ = ω0<br />
− ,0001ω<br />
0<br />
0, 99995<br />
0<br />
E37.5) Determine a resistência <strong>de</strong> um circuito RLC <strong>de</strong> capacitância C e indutância L<br />
se a frequência <strong>de</strong> oscilação for igual a 1/3 da frequência do circuito não<br />
amortecido.<br />
E37.6) Compare as resistências <strong>de</strong> dois circuitos RLC em que a frequência <strong>de</strong><br />
oscilação do primeiro é igual 1/2 da frequência do circuito não amortecido e do<br />
segundo é 1/10 da frequência do circuito não amortecido.<br />
ω0<br />
−ω′<br />
= 0,00005 = 0,005% ,<br />
ω<br />
0<br />
que é muito pequena.<br />
(b) A fração da energia dissipada como calor em uma oscilação é:<br />
∆ E<br />
= 1 − e<br />
E<br />
−2γ<br />
T′<br />
= 1 − e<br />
−4π<br />
.0,01<br />
= 0,12 .<br />
Isto é, 12% da energia inicial se transformam em calor em cada oscilação, apesar<br />
da variação no período ter sido mínima.<br />
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO<br />
E37.1) Um circuito LRC é formado por um indutor <strong>de</strong> indutância<br />
capacitor <strong>de</strong> capacitância C = 4,5 µ F e um resistor <strong>de</strong> resistância R .<br />
a) Determine a frequência angular quando a resistência for <strong>de</strong>sprezível.<br />
L = 3, 0mH<br />
, um<br />
b) Obtenha o valor da resistência para que a frequência angular seja 10% menor<br />
que a frequência angular calculada no item (a).<br />
E37.2) Determine a resistência <strong>de</strong> um circuito LRC, com<br />
L = 9, 0mH<br />
e C = 20 µ F ,<br />
<strong>de</strong> modo que a frequência das oscilações do circuito seja igual a um terço da<br />
frêquencia do circuito não amortecido.<br />
E37.3) Mostre que a expressão<br />
L tem unida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> resistência.<br />
C<br />
E37.4) Calcule a resistência <strong>de</strong> um circuito RLC em que<br />
L = 9, 0mH<br />
, C = 20 µ F e<br />
frequência angular ω ' = 1 2LC<br />
.<br />
563<br />
564
AULA 38 CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA<br />
OBJETIVOS<br />
• DEFINIR TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS.<br />
• COMPREENDER O COMPORTAMENTO DA CORRENTE ELÉTRICA EM CIRCUITOS SIMPLES COM<br />
FEM ALTERNADA.<br />
• DEFINIR REATÂNCIA CAPACITIVA E REATÂNCIA INDUTIVA.<br />
38.1 FORÇA ELETROMOTRIZ E CORRENTES ALTERNADAS<br />
Na aula 18 <strong>de</strong>screvemos, em princípio, o funcionamento <strong>de</strong> fontes <strong>de</strong> força<br />
eletromotriz que produzem diferenças <strong>de</strong> potencial com polarida<strong>de</strong> <strong>de</strong>finida, isto é,<br />
fontes que têm um pólo negativo e um pólo positivo, sendo o potencial elétrico do pólo<br />
positivo sempre mais alto que o potencial do pólo negativo.<br />
Quando seus pólos são ligados externamente, por meio <strong>de</strong> algum condutor<br />
elétrico, há circulação <strong>de</strong> corrente, sempre no mesmo sentido: <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong>ssas fontes a<br />
corrente convencional vai do pólo positivo para o negativo, ganhando energia<br />
potencial elétrica à custa da energia química armazenada, e externamente a corrente<br />
percorre o condutor, indo do pólo positivo para o negativo, per<strong>de</strong>ndo energia elétrica,<br />
que se transforma em energia térmica nesse condutor.<br />
Pelo fato <strong>de</strong> forçarem as cargas a se moverem sempre em um mesmo<br />
sentido, essas fontes são <strong>de</strong>nominadas fontes <strong>de</strong> corrente contínua ou fontes<br />
c.c.<br />
on<strong>de</strong> V é a amplitu<strong>de</strong> da oscilação, isto é, o valor da tensão oscila entre os valores<br />
M<br />
+ V M<br />
e VM<br />
− . φ<br />
0<br />
é <strong>de</strong>nominado constante te <strong>de</strong> fase e nos indica o valor da tensão no<br />
momento consi<strong>de</strong>rado como t=0:<br />
A frequência da oscilação f<br />
Quando um condutor é usado para ligar os pólos do gerador externamente, é<br />
produzida uma corrente. A corrente convencional nesse condutor, como é <strong>de</strong> se esperar,<br />
vai do pólo positivo para o pólo negativo, porém a polarida<strong>de</strong> do gerador se alterna<br />
dando origem a uma corrente alternada. Por isto um gerador é chamado <strong>de</strong> fonte <strong>de</strong><br />
força eletromotriz <strong>de</strong> corrente alternada ou fonte c.a.<br />
É importante notar neste caso que, in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntemente do sentido da corrente, a<br />
fonte está sempre entregando energia elétrica para as cargas que, ao passar pelo<br />
condutor externo, ce<strong>de</strong>m essa energia aquecendo-o o dando origem ao efeito Joule.<br />
38.2 OS CIRCUITOS MAIS SIMPLES DE CORRENTE ALTERNADA<br />
A figura 38.1 mostra um resistor ligado aos pólos <strong>de</strong> um gerador i<strong>de</strong>al <strong>de</strong> corrente<br />
alternada, cuja resistência interna é nula.<br />
( ) = V sen ( )<br />
V0 = V 0<br />
M<br />
φ 0<br />
é dada por:<br />
f 1 ω = = T 2π<br />
.<br />
Entretanto, como <strong>de</strong>scrito na aula 32, um gerador <strong>de</strong> energia (um dínamo por<br />
exemplo) é um dispositivo em que, pelo uso <strong>de</strong> algum agente externo, um conjunto <strong>de</strong><br />
espiras é forçado a girar, com velocida<strong>de</strong> angular constante, em um campo magnético<br />
estático e esta rotação força o aparecimento <strong>de</strong> uma força eletromotriz induzida nessas<br />
espiras. O resultado é o aparecimento <strong>de</strong> uma diferença <strong>de</strong> potencial entre os extremos<br />
do condutor que forma as espiras. Esta diferença <strong>de</strong> potencial, no entanto, não se<br />
mantém constante, mas oscila senoidalmente.<br />
A tensão entre os pólos do gerador po<strong>de</strong>, então, ser expressa pela equação:<br />
( )<br />
V = VM sen ω t + φ 0<br />
,<br />
Figura 38.1: Resistor,<br />
( t)<br />
ε = ε m<br />
sen ω .<br />
R , ligado a uma fonte <strong>de</strong> força eletromotriz (fem) alternada,<br />
As fontes <strong>de</strong> fem alternadas são, usualmente, representadas pelos símbolos<br />
mostrados na figura 38.2.<br />
565<br />
566
Aplicando a lei das malhas a este novo circuito, temos:<br />
q<br />
ε − = 0 . C<br />
Figura 38.2: Símbolos utilizados para representar forças eletromotrizes <strong>de</strong> corrente alternadas.<br />
Aplicando a lei das malhas, ao circuito da figura 38.1, obtemos a expressão:<br />
Consi<strong>de</strong>rando que a fem seja dada por:<br />
encontramos a expressão para a corrente no circuito:<br />
Po<strong>de</strong>mos ver que a corrente oscila, não só com a mesma frequência, mas<br />
com a mesma fase, ( ω t +<br />
φ ) , da força eletromotriz aplicada.<br />
A amplitu<strong>de</strong> da oscilação da corrente é dada por:<br />
Esta expressão é idêntica à que encontramos quando submetemos um resistor a<br />
Na figura 38.3 vemos um capacitor ligado aos terminais <strong>de</strong> uma fonte <strong>de</strong> força<br />
eletromotriz alternada.<br />
ε − Ri<br />
= 0<br />
( ω )<br />
ε = ε t +<br />
m<br />
sen φ 0<br />
,<br />
ε<br />
m<br />
i = sen<br />
t<br />
R<br />
0<br />
( ω t + φ ) = i sen( ω + )<br />
uma fem <strong>de</strong> corrente contínua <strong>de</strong> valor igual a ε<br />
m<br />
.<br />
0 m<br />
φ 0<br />
ε<br />
m<br />
im<br />
= ,<br />
R<br />
.<br />
(38.1)<br />
(38.2)<br />
(38.3)<br />
no capacitor:<br />
Substituindo a fem dada na equação 38.1, encontramos a expressão para a carga<br />
( ω )<br />
q = C ε<br />
m<br />
sen t + .<br />
Para encontrarmos a corrente no circuito <strong>de</strong>rivamos esta última equação em<br />
relação ao tempo e encontramos:<br />
φ 0<br />
dq<br />
i = = ω Cε<br />
m<br />
cos( ω t + φ 0<br />
).<br />
dt<br />
Queremos expressar a corrente em termos <strong>de</strong> uma senói<strong>de</strong>, isto é, em uma<br />
forma semelhante a das equações 38.1 e 38.2:<br />
ε<br />
m<br />
i = = sen<br />
t<br />
( 1 ω C)<br />
( ω t + φ + π 2) = i sen ( ω + φ + 2)<br />
0 m<br />
0<br />
π<br />
Vemos nesta expressão que a corrente tem uma amplitu<strong>de</strong>:<br />
on<strong>de</strong> introduzimos a gran<strong>de</strong>za<br />
i<br />
ε<br />
. (38.4)<br />
m<br />
m<br />
= , (38.5)<br />
X<br />
C<br />
X<br />
C<br />
, que limita a corrente neste circuito da mesma forma<br />
que a resistência o faz no circuito puramente resistivo, representado na figura 38.1. Essa<br />
gran<strong>de</strong>za é <strong>de</strong>nominada reatância capacitiva do circuito:<br />
1<br />
X C<br />
= . (38.6)<br />
ω C<br />
Quando aplicamos uma tensão contínua em um capacitor este é carregado e,<br />
rapidamente, atinge a tensão fornecida pela fonte, não permitindo mais a passagem <strong>de</strong><br />
corrente. Isto significa que a resistência à passagem <strong>de</strong> corrente torna-se infinita.<br />
Figura 38.3: Capacitor,<br />
C , ligado a uma fem alternada, ε = ε<br />
m<br />
sen(ω<br />
t +φ 0<br />
)<br />
t .<br />
A <strong>de</strong>finição <strong>de</strong> reatância capacitiva está <strong>de</strong> acordo com este resultado, já que uma<br />
tensão contínua equivale a uma oscilação no limite em que a frequência ten<strong>de</strong> a zero e a<br />
reatância, nesse caso, ten<strong>de</strong> a infinito.<br />
567<br />
568
Po<strong>de</strong>mos ver que a corrente também oscila com a mesma frequência da<br />
fonte, mas, quando expressa em termos <strong>de</strong> uma senói<strong>de</strong>, tem a sua fase<br />
adiantada em noventa graus, ou π 2 radianos, com relação à fase da fem<br />
aplicada.<br />
Finalmente, na figura 38.4 vemos um indutor ligado a nossa força eletromotriz<br />
alternada.<br />
noventa graus, ou π 2 radianos, com relação à fase da tensão aplicada ao<br />
indutor.<br />
A amplitu<strong>de</strong> da corrente é dada por:<br />
i<br />
ε<br />
m<br />
m<br />
= , (38.8)<br />
X<br />
L<br />
on<strong>de</strong> introduzimos a gran<strong>de</strong>za<br />
X<br />
L ,<br />
X L<br />
= ω L , (38.9)<br />
<strong>de</strong>nominada reatância indutiva do circuito.<br />
resultado é:<br />
Figura 38.4: Indutor, L<br />
L , ligado a uma fem alternada, ε = ε sen(ω<br />
t +<br />
De acordo com a lei das malhas temos:<br />
di<br />
ε − L = 0 . dt<br />
Substituindo ε pela expressão na equação 38.1 encontramos:<br />
di<br />
dt<br />
ε<br />
m<br />
= sen t<br />
L<br />
( ω + )<br />
Esta equação po<strong>de</strong> ser integrada para se encontrar a corrente no circuito. O<br />
Novamente expressamos a corrente em termos <strong>de</strong> uma senói<strong>de</strong>:<br />
ε<br />
m<br />
i = sen ( ω t + φ0 −π<br />
2) = im sen ( ω t + φ0<br />
−π<br />
2)<br />
.<br />
ω L<br />
Novamente a corrente oscila na mesma frequência da fem, mas vemos<br />
que, agora, a corrente é representada por uma senói<strong>de</strong> com a fase atrasada em<br />
φ 0<br />
ε<br />
m<br />
i = − cos( ω t + φ 0<br />
).<br />
ω L<br />
.<br />
m<br />
)<br />
+ φ 0 .<br />
(38.7)<br />
A reatância indutiva é análoga à resistência no circuito puramente resistivo,<br />
representado na figura 38.1, ou à reatância capacitiva no circuito puramente capacitivo,<br />
representado na figura 38.3.<br />
A unida<strong>de</strong> das reatâncias capacitiva e indutiva no SI, assim como a da resistência<br />
elétrica, é o Ohm ( Ω ).<br />
Sabemos, <strong>de</strong> acordo com a lei <strong>de</strong> Faraday, que um indutor reage às<br />
variações da corrente no tempo e não ao valor <strong>de</strong>sta propriamente. Por isto,<br />
quanto mais rápidas suas variações, ou quanto maior a frequência das<br />
oscilações, maior a reatância indutiva.<br />
Por outro lado, se as variações na corrente são muito lentas, o indutor<br />
pouco reage a elas e sua indutância é, então, pequena. No limite em que a<br />
frequência ten<strong>de</strong> a zero, temos uma corrente limitada apenas por alguma<br />
resistência do fio <strong>de</strong> que é feito o indutor, e a reatância indutiva ten<strong>de</strong> a zero.<br />
Um indutor, <strong>de</strong> indutância<br />
<strong>de</strong> tensão c.a, <strong>de</strong> valor<br />
angular for 100 rad/s? E 1000 rad/s?<br />
EXEMPLO 38.1<br />
L = 3, 00 m H e resistência <strong>de</strong>sprezível é ligado a uma fonte<br />
120 V . Qual será a amplitu<strong>de</strong> da corrente quando a frequência<br />
SOLUÇÃO: De acordo com a equação 38.8, a amplitu<strong>de</strong> da corrente é dada pela<br />
569<br />
570
equação:<br />
i<br />
m<br />
ε<br />
m<br />
=<br />
X<br />
L<br />
ε<br />
m<br />
=<br />
ω L<br />
ε<br />
m<br />
= 120V . Calcule as reatâncias indutivas e o valor da amplitu<strong>de</strong> da corrente quando a<br />
frequência angular for:<br />
a) 100 rad/s.<br />
b) 1000 rad/s.<br />
Quando a frequência for igual a 100 rad/s:<br />
120V<br />
= 100<br />
i m 3<br />
( rad / s)( 3,0 10<br />
−<br />
× H )<br />
i m<br />
= 400A<br />
E quando da frequência for igual a 1000 rad/s:<br />
120V<br />
= 1000<br />
i m 3<br />
( rad / s)( 3,0 10<br />
−<br />
× H )<br />
i m<br />
= 40A .<br />
Observe que quando a frequência <strong>de</strong> oscilação for 10 vezes maior a amplitu<strong>de</strong> da<br />
corrente será 10 vezes menor.<br />
ATIVIDADE 38.1<br />
Consi<strong>de</strong>re um capacitor <strong>de</strong> capacitância C = 5,00 µ F conectado a uma fonte c.a, sendo<br />
ε<br />
m<br />
= 120V . Calcule as reatâncias capacitivas e o valor da amplitu<strong>de</strong> da corrente quando<br />
a frequência angular for:<br />
a) 100 rad/s.<br />
b) 1000 rad/s.<br />
ATIVIDADE 38.2<br />
Consi<strong>de</strong>re um indutor <strong>de</strong> indutância<br />
C = 10, 0 mH conectado a uma fonte c.a, sendo<br />
571<br />
572
RESPOSTA COMENTADA DAS ATIVIDADES PROPOSTAS<br />
X = 1, 00Ω .<br />
L<br />
E a amplitu<strong>de</strong> da corrente é igual a:<br />
ATIVIDADE 38.1<br />
a) Quando um capacitor é ligado a uma fonte <strong>de</strong> tensão c.a, como mostra a figura 38.3,<br />
a corrente também oscila com a mesma frequência da fonte. A reatância capacitiva é<br />
dada pela equação 38.6:<br />
E a amplitu<strong>de</strong> da corrente é igual a:<br />
1<br />
1<br />
3<br />
X C<br />
= =<br />
= 2,00 × 10 Ω<br />
ω C<br />
−6 ( 100rad<br />
/ s)( 5,00 × 10 F )<br />
ε<br />
m<br />
im<br />
= = ε<br />
m<br />
ω C .<br />
X<br />
Para uma frequência igual a 100 rad/s temos:<br />
C<br />
−<br />
( 120V<br />
)( 100rad<br />
/ s)( 5,00 × 10 C)<br />
6<br />
i m<br />
=<br />
−2<br />
i m<br />
= 6,00 × 10<br />
Observe que, nesse circuito, a reatância é inversamente proporcional à frequência, mas<br />
a corrente elétrica é diretamente proporcional à ela. Então, se a frequência da fonte<br />
aumenta, a reatância diminui e a amplitu<strong>de</strong> da corrente aumenta, ao contrário do<br />
circuito com a mesma fonte e um indutor, mostrado na figura 38.4.<br />
b) Para uma frequência 10 vezes maior que a do item a, igual a 1000 rad/s, teremos<br />
uma reatância capacitiva 10 vezes menor e uma corrente 10 vezes maior:<br />
X<br />
C<br />
A<br />
2<br />
= 2,00 × 10 Ω<br />
−1<br />
i m<br />
= 6,00 × 10<br />
A<br />
Para uma frequência igual a 100 rad/s temos:<br />
i<br />
m<br />
i<br />
m<br />
ε<br />
m<br />
=<br />
X<br />
ε<br />
m<br />
ε<br />
m<br />
= = .<br />
X ωL<br />
L<br />
L<br />
ε<br />
m 120V<br />
= = ,<br />
ωL<br />
1,00 Ω<br />
i m<br />
= 120 A .<br />
Observe que, nesse circuito, a reatância é diretamente proporcional à frequência, mas a<br />
corrente elétrica é inversamente proporcional à ela. Então, se a frequência da fonte<br />
aumenta, a reatância aumenta e a amplitu<strong>de</strong> da corrente diminui, ao contrário do<br />
circuito com a mesma fonte e um capacitor, mostrado na figura 38.3.<br />
c) Para uma frequência 10 vezes maior que a do item a, igual a 1000 rad/s, teremos<br />
uma reatância indutiva 10 vezes maior e uma corrente 10 vezes menor:<br />
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO<br />
X = 10, 0Ω ,<br />
C<br />
i m<br />
= 12, 0 A .<br />
E38.1) Consi<strong>de</strong>re um indutor <strong>de</strong> resistência <strong>de</strong>sprezível, sendo<br />
fonte <strong>de</strong> tensão c.a, <strong>de</strong> valor<br />
L = 2, 0 H , ligado a uma<br />
50 V . Determine a amplitu<strong>de</strong> da corrente quando a<br />
frequência angular for ω = 100 1<br />
rad / s , ω = 1000 rad / s<br />
2 e ω rad / s<br />
3<br />
= 10000 .<br />
ATIVIDADE 38.2<br />
a) Quando um indutor é ligado a uma fonte <strong>de</strong> tensão c.a, como mostra a figura 38.4, a<br />
corrente também oscila com a mesma frequência da fonte. A reatância indutiva é dada<br />
pela equação 38.8:<br />
−<br />
( 100rad<br />
/ s)( 10,0 × 10 H )<br />
3<br />
X L<br />
= ω L =<br />
,<br />
E38.2) Um capacitor <strong>de</strong> capacitância C = 3,5 µ F está conectado a uma fonte c.a, sendo<br />
ε<br />
m<br />
= 100V<br />
. Calcule o valor da amplitu<strong>de</strong> da corrente quando a frequência angular for<br />
ω = 100rad /<br />
1<br />
s , ω = 1000rad / s<br />
2 e ω s<br />
3<br />
= 10000rad / .<br />
E38.3) Determine a reatância <strong>de</strong> um indutor <strong>de</strong><br />
2,0<br />
H para uma frequência <strong>de</strong> 90 Hz .<br />
573<br />
574
E38.4) Calcule a indutância <strong>de</strong> um indutor, com reatância<br />
frequência <strong>de</strong><br />
80 Hz .<br />
X =110Ω<br />
para uma<br />
L<br />
E38.5) Calcule a reatância <strong>de</strong> um capacitor, <strong>de</strong> capacitância<br />
frequência <strong>de</strong><br />
60 Hz .<br />
C = 6,0 µ F para uma<br />
E38.6) Demonstre que as expressões ω L e 1 ωC<br />
têm unida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> resistência.<br />
575
AULA 39 CIRCUITO RLC COM GERADOR<br />
OBJETIVOS<br />
• COMPREENDER O COMPORTAMENTO DA CORRENTE E DA FEM EM UM CIRCUITO RLC EM<br />
SÉRIE.<br />
• SABER DEFINIR A IMPEDÂNCIA DE UM CIRCUITO RLC.<br />
• SABER DEFINIR A FREQUÊNCIA DE RESSONÂNCIA DE UM CIRCUITO RLC.<br />
• REPRESENTAR CORRENTES E TENSÕES QUE OSCILAM HARMONICAMENTE ATRAVÉS DE<br />
DIAGRAMAS DE FASORES.<br />
Como vimos nas três situações analisadas na aula 38, as correntes oscilam com a<br />
mesma frequência da fonte, mas em cada caso há uma diferença <strong>de</strong> fase característica<br />
entre a tensão e a corrente.<br />
É natural, então, supormos que a corrente no circuito será representada por uma<br />
senoi<strong>de</strong> com a mesma frequência da fonte, mas com uma diferença <strong>de</strong> fase em relação a<br />
esta, que <strong>de</strong>ve ser <strong>de</strong>terminada.<br />
A corrente tem, portanto, a forma:<br />
( ω t + φ − φ )<br />
i<br />
m<br />
.<br />
= i sen<br />
0<br />
39.1 O CIRCUITO RLC<br />
A figura 39.1 mostra um resistor, um indutor e um capacitor ligados aos polos <strong>de</strong><br />
um gerador i<strong>de</strong>al <strong>de</strong> corrente alternada.<br />
Resolver a equação 39.1 resume-se então a <strong>de</strong>terminar a amplitu<strong>de</strong> da corrente e<br />
sua diferença <strong>de</strong> fase relativa à da força eletromotriz aplicada.<br />
Po<strong>de</strong>mos consi<strong>de</strong>rar nula, sem perda <strong>de</strong> generalida<strong>de</strong>, a fase φ .<br />
0<br />
Assim teremos, para a tensão aplicada e para a corrente as expressões:<br />
( t)<br />
ε = ε m<br />
sen ω ,<br />
( ω − φ )<br />
i = im sen t .<br />
Se integrarmos a corrente ao longo do tempo encontraremos a carga e, portanto,<br />
a tensão no capacitor. Se <strong>de</strong>rivarmos a corrente, com relação ao tempo, po<strong>de</strong>remos<br />
encontrar a tensão no indutor.<br />
− im<br />
q<br />
q = cos ( ω t − φ ) ⇒ = −X<br />
Cim<br />
cos ( ω t − φ ),<br />
ω<br />
C<br />
Figura 39.1: Um circuito RLC série em que um resistor, R , um indutor, L , e um<br />
capacitor, C , são ligados, em série, a uma fem alternada, ε = ε m<br />
sen ( ω t)<br />
.<br />
on<strong>de</strong><br />
di<br />
dt<br />
1<br />
X C<br />
= e X L<br />
ω C<br />
L<br />
= ω .<br />
di<br />
= ω im<br />
cos ( ω t − φ ) ⇒ L = X<br />
L<br />
im<br />
cos ( ω t − φ ),<br />
dt<br />
A lei das malhas nos fornece a equação do circuito:<br />
q di<br />
ε = + Ri + L .<br />
C dt<br />
(39.1)<br />
Substituindo estas quatro últimas expressões na equação 39.1 e utilizando as<br />
fórmulas para somas <strong>de</strong> ângulos em funções trigonométricas, dadas no Apêndice C,<br />
encontramos:<br />
ε sen<br />
m<br />
( ωt) = −X<br />
C<br />
im<br />
cos(<br />
φ) cos( ωt) − X<br />
C<br />
imsen( φ) sen( ωt)<br />
+ Rim<br />
cos( φ) sen( ωt) − Rimsen( φ) cos( ωt)<br />
+ X i cos( φ) cos( ωt) + X i sen( φ) sen( ωt)<br />
L m<br />
L m<br />
576<br />
577
Como as funções seno e cosseno são linearmente in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntes, <strong>de</strong>vemos equacionar<br />
separadamente os termos proporcionais ao sen( ω t)<br />
e os termos proporcionais ao<br />
cos ( ω t)<br />
:<br />
ε<br />
( X − X ) i ( φ ) − R i sen( φ )<br />
0 = cos<br />
. (39.2)<br />
m<br />
L<br />
C<br />
m<br />
( X − X ) i sen ( φ ) − R i cos( φ )<br />
L<br />
C<br />
m<br />
m<br />
= . (39.3)<br />
Da equação 39.2 encontramos a <strong>de</strong>fasagem entre a corrente e a tensão:<br />
Po<strong>de</strong>mos também escrever o seno e o cosseno do ângulo φ :<br />
m<br />
X<br />
L<br />
X<br />
C<br />
tg( φ ) =<br />
− . (39.4)<br />
R<br />
R<br />
cos ( φ ) = , (39.5)<br />
Z<br />
X<br />
L<br />
X<br />
C<br />
sen( φ ) =<br />
− . (39.6)<br />
Z<br />
quando a frequência da fonte é tal que as reatâncias indutiva e capacitiva do circuito são<br />
iguais.<br />
Igualando as duas reatâncias, dadas pelas equações 38.6 e 38.9 encontramos a<br />
frequência angular <strong>de</strong> ressonância <strong>de</strong>ste circuito:<br />
1<br />
ω = . (39.9)<br />
LC<br />
Note-se que esta é a frequência natural <strong>de</strong> oscilação do circuito LC analisado na<br />
aula 36.<br />
Quando a frequência da fonte se iguala à frequência natural <strong>de</strong> oscilação<br />
do circuito diz-se que este oscila em ressonância com a frequência da fonte.<br />
Além <strong>de</strong> a corrente ser máxima, a <strong>de</strong>fasagem entre a fem e a corrente se anula,<br />
já que, pela equação 39.5, o cosseno do ângulo <strong>de</strong> <strong>de</strong>fasagem se torna igual a um.<br />
Na figura 39.2 po<strong>de</strong>mos ver o comportamento da amplitu<strong>de</strong> da corrente como<br />
função da frequência da fonte para três valores diferentes da resistência. As curvas<br />
apresentadas são <strong>de</strong>nominadas curvas <strong>de</strong> ressonância do circuito.<br />
on<strong>de</strong> introduzimos a gran<strong>de</strong>za:<br />
( X ) 2<br />
L<br />
− X<br />
Z = R +<br />
,<br />
2 C<br />
(39.7)<br />
que é <strong>de</strong>nominada impedância do circuito.<br />
Substituindo as expressões do seno e do cosseno do ângulo <strong>de</strong> <strong>de</strong>fasagem na<br />
equação 39.3 encontramos a amplitu<strong>de</strong> da corrente:<br />
i<br />
m<br />
ε<br />
m<br />
= .<br />
Z<br />
(39.8)<br />
Vemos que, neste circuito, a impedância <strong>de</strong>sempenha o mesmo papel que<br />
a resistência no circuito puramente resistivo, ou das reatâncias nos casos<br />
puramente capacitivo e puramente indutivo. O valor da impedância, assim como<br />
os das reatâncias, <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> da frequência da fonte. A unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> impedância no SI<br />
é o Ohm (Ω ).<br />
Figura 39.2: Curvas <strong>de</strong> ressonância <strong>de</strong> um circuito RLC em série com três valores<br />
diferentes da resistência. Na curva correspon<strong>de</strong>nte à resistência <strong>de</strong><br />
10 Ω , ∆ ω indica sua meia<br />
largura, ou seja a largura da curva quando a amplitu<strong>de</strong> da corrente tem meta<strong>de</strong> do seu valor na<br />
condição <strong>de</strong> ressonância.<br />
Obviamente, a corrente terá amplitu<strong>de</strong> máxima quando a impedância tiver seu<br />
valor mínimo. Este valor mínimo é igual a R , a resistência do circuito apenas, e ocorre<br />
578<br />
579
Po<strong>de</strong>mos notar que tanto as alturas quanto as larguras das curvas estão ligadas<br />
ao valor da resistência.<br />
ω<br />
2 2<br />
+<br />
− ω0<br />
=<br />
R<br />
3 ω .<br />
+<br />
L<br />
EXEMPLO 39.1<br />
Consi<strong>de</strong>re os valores ε<br />
m<br />
= 10, 0V<br />
, R = 40, 0 Ω e L = 350mH<br />
, para o circuito RLC<br />
série representado na figura 39.1.<br />
(a) Se o circuito foi projetado para oscilar em ressonância na frequência <strong>de</strong> 60 Hz<br />
qual o valor da capacitância? Quais os valores das reatâncias capacitiva e indutiva<br />
nessa frequência?<br />
Quando a frequência é menor que a <strong>de</strong> ressonância, encontramos:<br />
2<br />
ω − ω<br />
2<br />
−<br />
0<br />
= −<br />
R<br />
3 ω .<br />
−<br />
L<br />
Subtraindo esta ultima equação da penúltima, membro a membro e dividindo pela<br />
soma das duas frequências encontramos a meia largura da curva <strong>de</strong> ressonância:<br />
(b) Qual é a meia largura da curva <strong>de</strong> ressonância <strong>de</strong>sse circuito?<br />
(c) Quais as <strong>de</strong>fasagens entre a corrente e a fem, nas situações em que isto<br />
ocorre?<br />
SOLUÇÃO: (a) A capacitância po<strong>de</strong> ser obtida através da equação 39.9:<br />
ω =<br />
C =<br />
Na ressonância as reatâncias são iguais:<br />
1<br />
LC<br />
⇒<br />
1<br />
1<br />
C =<br />
Lω<br />
2<br />
0<br />
( 0,350H<br />
)( 2π<br />
× 60Hz) 2<br />
C = 20,1 µF .<br />
A meia largura relativa é:<br />
∆ ω = ω+ − ω<br />
∆ω =<br />
_<br />
=<br />
40,0 Ω<br />
3<br />
0,350H<br />
R<br />
3<br />
L<br />
∆ω =198 rad / s .<br />
∆ω<br />
=<br />
∆ω<br />
0<br />
3C<br />
R = 0,525 .<br />
L<br />
X C<br />
X L<br />
( 2π<br />
× 60Hz<br />
)( 0,350 H ) = Ω<br />
= ω L =<br />
132<br />
= =<br />
ω C<br />
− −<br />
[( 2π<br />
× 60Hz)( 20,1 × 10 )] 6 F = 132Ω<br />
1 1<br />
(b) A meia largura é a distância entre as duas frequências, ω e<br />
+<br />
ω , para as quais<br />
−<br />
a corrente eficaz é meta<strong>de</strong> da corrente eficaz obtida na ressonância, isto é, quando<br />
a impedância é o dobro <strong>de</strong> seu valor na ressonância. De acordo com a equação<br />
39.7 para que isto ocorra <strong>de</strong>vemos ter:<br />
2 2<br />
( X X ) 3R<br />
− .<br />
L C<br />
=<br />
Quando a frequência é maior que sessenta hertz, o circuito se torna mais indutivo<br />
e temos:<br />
(c) As <strong>de</strong>fasagens são dadas pelo ângulo φ , cuja tangente é dada pela equação<br />
39.4. Temos então que:<br />
tg<br />
( φ )<br />
X<br />
=<br />
X<br />
R<br />
3R<br />
tg( φ ) = ± = ± 3 .<br />
R<br />
o<br />
Encontramos, então, que a <strong>de</strong>fasagem é <strong>de</strong> ± 60 = ± π 3 rad . O sinal mais<br />
correspon<strong>de</strong> à frequência mais alta, em que o circuito é mais indutivo e a tensão<br />
prece<strong>de</strong> a corrente. O sinal negativo ocorre quando o circuito é mais capacitivo e a<br />
corrente prece<strong>de</strong> a tensão aplicada.<br />
L −<br />
C<br />
580<br />
581
Consi<strong>de</strong>re um circuito RLC em série, em que, R = 200 Ω , L = 50, 0<br />
mH ,<br />
com frequência angular ω =<br />
10 .000 rad / s e m<br />
= 60V<br />
. Obtenha<br />
a) as reatâncias capacitiva X<br />
C e indutiva<br />
b) a impedância, Z ,<br />
c) a amplitu<strong>de</strong> da corrente elétrica, i m ,<br />
d) e o ângulo <strong>de</strong> fase φ .<br />
39.2 FASORES<br />
Tendo já resolvido algebricamente a equação 39.1, vamos apresentar uma forma<br />
gráfica para se resolver o mesmo problema, introduzindo o conceito <strong>de</strong> fasor, que é<br />
bastante útil sempre que temos que somar senoi<strong>de</strong>s com diferentes fases.<br />
A figura 39.3 representa dois vetores, com módulos A e B , que giram com a<br />
mesma velocida<strong>de</strong> angular, ω , mas que apontam em direções que formam um ângulo<br />
α entre si.<br />
ATIVIDADE 39.1<br />
ε<br />
X<br />
L<br />
,<br />
C = 600 nF ,<br />
A equação 39.1 constitui- se <strong>de</strong> uma soma <strong>de</strong> senói<strong>de</strong>s como estas:<br />
( ω t ) Ri sen (ω t<br />
ε sen m<br />
=<br />
m<br />
t − φ + X<br />
( ω t +α )<br />
B y<br />
sen .<br />
) i sen( ωt<br />
− φ − π ) + X i sen(<br />
C m<br />
2 ωt<br />
− φ + π<br />
L m<br />
2)<br />
→ →<br />
Figura 39.3: Dois vetores, A e B , com módulos A e B , respectivamente, que giram e formam<br />
um ângulo α entre eles. Suas componentes verticais são Asen ω t e Bsen (ωω t + α ).<br />
entre eles. Suas componentes verticais são ( )<br />
As componentes verticais <strong>de</strong>sses vetores são:<br />
( t)<br />
A y<br />
sen ω ,<br />
Representamos cada um dos termos <strong>de</strong>sta equação como a componente vertical<br />
<strong>de</strong> um vetor cuja amplitu<strong>de</strong> é igual à amplitu<strong>de</strong> da oscilação correspon<strong>de</strong>nte e que forma<br />
um ângulo com o eixo horizontal igual à fase <strong>de</strong>ssa oscilação.<br />
Note que cada componente <strong>de</strong> um vetor é um escalar e é por isto que po<strong>de</strong> ser<br />
usada para representar uma diferença <strong>de</strong> potencial. Os vetores utilizados nessa<br />
representação são <strong>de</strong>nominados fasores.<br />
Na figura 39.4 temos os fasores que representam a força eletromotriz, a<br />
corrente e as tensões nos diversos elementos do circuito representado na<br />
figura 39.1. A frequência da fonte é baixa <strong>de</strong> forma que a reatância capacitiva é<br />
maior que a reatância indutiva. O ângulo φ <strong>de</strong> acordo com a equação 39.4, é<br />
negativo e a fase da corrente está adiantada com relação à da fem aplicada, ou,<br />
equivalentemente, a fase da fem está atrasada com relação à da corrente. Diz-<br />
se, neste caso, que o circuito é mais capacitivo que indutivo.<br />
Figura 39.4: Diagrama <strong>de</strong> fasores para um circuito RLC série. Com a frequência da fonte menor<br />
que a frequência <strong>de</strong> ressonância o sistema é mais capacitivo que indutivo e a corrente prece<strong>de</strong> a<br />
tensão aplicada ao circuito.<br />
582<br />
583
Na figura 39.5 consi<strong>de</strong>ramos uma frequência alta da fem aplicada e o<br />
circuito se torna mais indutivo que capacitivo, ou seja, a reatância indutiva se<br />
torna maior que a reatância capacitiva. O ângulo φ é positivo e a fem está<br />
adiantada com relação à corrente.<br />
Nas figuras 39.4 ou 39.5 po<strong>de</strong>mos ver como encontrar a amplitu<strong>de</strong> da corrente e<br />
sua fase.<br />
Para somarmos as tensões nos diversos elementos, que correspon<strong>de</strong>m às<br />
componentes verticais dos diversos fasores da figura, usamos o fato <strong>de</strong> a soma das<br />
componentes verticais <strong>de</strong> diversos vetores serem iguais à componente vertical da<br />
resultante <strong>de</strong>sses vetores.<br />
Portanto o fasor que representa a fem do circuito tem que ser igual à resultante<br />
dos fasores que representam as tensões no resistor, no capacitor e no indutor.<br />
Os fasores que representam as tensões no capacitor e no indutor têm a mesma<br />
direção, perpendicular à direção do fasor que representa a corrente, mas com sentidos<br />
opostos. Seu módulo resultante é:<br />
V = X<br />
i − X<br />
.<br />
⊥ L m C m<br />
i<br />
Figura 39.5: Diagrama <strong>de</strong> fasores para um circuito RLC série. Com a frequência da fonte maior que<br />
a frequência <strong>de</strong> ressonância o sistema é mais indutivo que capacitivo e a tensão aplicada ao<br />
circuito prece<strong>de</strong> a corrente.<br />
O fasor que representa a tensão no resistor é paralelo ao que representa a<br />
corrente e seu módulo é dado por:<br />
V ||<br />
= R i m .<br />
Na figura 39.6 representamos a situação <strong>de</strong> ressonância. Quando a<br />
frequência angular da fonte é igual à frequência natural <strong>de</strong> oscilação do circuito<br />
LC as duas reatâncias são iguais, a corrente e a fem oscilam em fase φ = 0 . A<br />
impedância tem o menor valor possível e consequentemente temos a maior<br />
amplitu<strong>de</strong> possível para a corrente.<br />
O módulo do fasor que representa a fem é, então, igual à raiz quadrada da soma<br />
dos quadrados das duas componentes, paralela e perpendicular à corrente:<br />
m<br />
2<br />
( X<br />
L<br />
− X<br />
C<br />
) im<br />
2<br />
ε = R +<br />
.<br />
Este resultado é exatamente o que encontramos nas equações 39.6 e 39.7.<br />
A tangente do ângulo que indica a <strong>de</strong>fasagem entre a fem e a corrente é dada<br />
pela razão entre as componentes da tensão perpendicular e paralela à corrente. Ou seja,<br />
encontramos novamente o resultado obtido na equação 39.4.<br />
Figura 39.6: Diagrama <strong>de</strong> fasores para um circuito RLC série. Com a frequência da fonte igual à<br />
frequência <strong>de</strong> ressonância, o sistema é tão indutivo quanto capacitivo e a tensão aplicada ao<br />
circuito e a corrente oscilam em fase.<br />
ATIVIDADE 39.2<br />
Consi<strong>de</strong>re um circuito RLC com capacitância<br />
resistência<br />
C = 5, 0mF<br />
, indutância L = 20mH<br />
e<br />
R = 500Ω<br />
, alimentado por uma fonte c.a. em que ε<br />
m<br />
= 50V<br />
oscila com uma frequência<br />
. O circuito<br />
ω = 100rad / s . Faça um diagrama <strong>de</strong> fasores para circuito.<br />
584<br />
585
RESPOSTA COMENTADA DAS ATIVIDADES PROPOSTAS<br />
ATIVIDADE 39.1<br />
a) Po<strong>de</strong>mos obter as reatâncias <strong>de</strong> um circuito RLC utilizando as equações 38.6 e 38.9:<br />
1<br />
1<br />
X = =<br />
= 167 Ω<br />
C<br />
ω −<br />
C ( 10.000 rad / s)( 600×<br />
10<br />
9 F )<br />
e<br />
X L<br />
= ω L =<br />
Como a impedância é dada pela equação39.7,<br />
Z =<br />
temos:<br />
−<br />
( 10.000 rad / s)( 50,0 × 10 ) 3 H = 500 Ω<br />
R<br />
+<br />
( X ) 2<br />
L<br />
− X<br />
2 C<br />
2<br />
2<br />
( 200 Ω) + ( 500 −167) = Ω<br />
Z = 388<br />
,<br />
As reatâncias são iguais:<br />
1<br />
1<br />
X C<br />
= =<br />
= 2Ω<br />
.<br />
ω<br />
−<br />
C<br />
( 100 rad / s)( 5,0 × 10<br />
3 F )<br />
−<br />
( 100 rad / s)( 20×<br />
10<br />
3 H ) = 2 Ω<br />
X L<br />
= ω L =<br />
.<br />
A amplitu<strong>de</strong> da corrente é dada pela equação 39.8<br />
i<br />
m<br />
ε<br />
m<br />
Z<br />
= , on<strong>de</strong> ( ) 2<br />
2<br />
Como, as reatâncias são iguais, Z = R = R . Logo:<br />
m 50V<br />
im = ε = = 0, 10 A<br />
Z 500Ω<br />
Observe o diagrama:<br />
Z = R + X L<br />
− X .<br />
2 C<br />
b) A amplitu<strong>de</strong> da corrente é obtida pela equação 39.7:<br />
60V<br />
i m<br />
= = 0, 155 A<br />
388 Ω<br />
c) De acordo com a equação 39.4:<br />
ATIVIDADE 39.2<br />
tg<br />
X − X<br />
R<br />
⎛ X − X<br />
⎜<br />
⎝ R<br />
L C<br />
L C ⎞<br />
( φ) = ⇒ φ = arctg ⎟<br />
⎠<br />
⎛ 500 Ω −167<br />
Ω ⎞ o<br />
φ = arctg ⎜<br />
= 59<br />
200<br />
⎟<br />
⎝ Ω ⎠<br />
A frequência natural do circuito é dada pela equação<br />
1<br />
ω = ,<br />
LC<br />
ω 1<br />
=<br />
= 100 rad / s .<br />
−3<br />
−3<br />
( 20×<br />
10 H )( 5,0 × 10 F )<br />
Observe que a frequência angular da fonte é igual à frequência natural <strong>de</strong><br />
oscilação do circuito LC . Esta é uma situação <strong>de</strong> ressonância, on<strong>de</strong> as duas reatâncias<br />
são iguais, a corrente e a fem oscilam em fase φ = 0 , a impedância tem o menor valor<br />
possível e amplitu<strong>de</strong> da corrente é máxima. Veja a figura 39.6.<br />
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO<br />
E39.1) Consi<strong>de</strong>re um circuito RLC em série com um resistor <strong>de</strong> resistência<br />
um indutor com indutância<br />
R = 400 Ω ,<br />
L = 0, 200 H , , e um capacitor <strong>de</strong> C = 3,00 µ F ligado a uma<br />
fonte com ε<br />
m<br />
= 60, 0V<br />
e frequência angular ω = 300 rad / s . a) Determine a impedância<br />
do circuito, a amplitu<strong>de</strong> da corrente e as amplitu<strong>de</strong>s da tensão através do resistor, do<br />
indutor e do capacitor. b) Determine o ângulo <strong>de</strong> fase da tensão da fonte em relação à<br />
corrente. c) Faça um diagrama <strong>de</strong> fasores.<br />
E39.2) Consi<strong>de</strong>re o exercício E39.1. a) Determine a impedância para as frequências<br />
1000 rad/s, 500 rad/s e 250 rad/s. b) Verifique e <strong>de</strong>screva o comportamento da corrente<br />
elétrica quando as frequências diminuem. c) Determine o ângulo <strong>de</strong> fase entre a tensão<br />
e a corrente elétrica quando a frequência da fonte é 1000 rad/s.<br />
586<br />
587
E39.3) Faça um diagrama <strong>de</strong> fasores para o circuito RLC do exercício E39.1 para as<br />
frequências das fonte iguais a 1000 rad/s, 500 rad/s e 250 rad/s. Para cada caso diga se<br />
a tensão está adiantada ou atrasada em relação à corrente.<br />
E39.4) Faça um diagrama <strong>de</strong> fasores para um circuito RLC com capacitância C = 5, 0mF<br />
,<br />
indutância L = 20 mH e resistência R = 500Ω<br />
, alimentado por uma fonte c.a. em que<br />
ε<br />
m<br />
= 50V . O circuito oscila com uma frequência:<br />
a) ω = 50 rad / s .<br />
b) ω = 500 rad / s .<br />
588
AULA 40 VALOR EFICAZ E TRANSFORMADORES<br />
Quando uma fem alternada é estabelecida através <strong>de</strong> um circuito que é percorrido<br />
por uma corrente há fornecimento <strong>de</strong> energia elétrica da fonte para o circuito.<br />
OBJETIVOS<br />
Assim como nos circuitos <strong>de</strong> corrente contínua a potência entregue a cada<br />
instante é igual à força eletromotriz (i<strong>de</strong>al) multiplicada pela corrente.<br />
• SABER DEFINIR VALOR EFICAZ DA CORRENTE EM CIRCUITOS C.A.<br />
• SABER DEFIR POTÊNCIA MÉDIA E FATOR DE POTÊNCIA.<br />
• ENTENDER O FUNCIONAMENTO DE TRANSFORMADORES.<br />
40.1 VALOR EFICAZ E FATOR DE POTÊNCIA<br />
Quando medimos uma corrente alternada, com um amperímetro a<strong>de</strong>quado para<br />
este tipo <strong>de</strong> corrente, o que obtemos é um valor quadrático médio <strong>de</strong>ssa corrente e não<br />
seu valor em cada momento.<br />
Uma corrente representada por uma senoi<strong>de</strong> tem um valor médio nulo em um<br />
período. Entretanto seu valor quadrático médio é dado por:<br />
T<br />
2<br />
im<br />
0<br />
∫<br />
sen<br />
T<br />
∫0<br />
2<br />
( ωt)<br />
dt<br />
dt<br />
=<br />
1 2<br />
im<br />
PENSE E RESPONDA 40.1<br />
2<br />
im<br />
= .<br />
2<br />
É possível obter o valor da integral <strong>de</strong> sen 2 ( ωt)<br />
sem resolvê-la?<br />
Interessa-nos saber a potência média em cada período da oscilação:<br />
∫<br />
T<br />
ε<br />
m<br />
sen<br />
m<br />
0<br />
< P > =<br />
T<br />
dt<br />
( ω t) i sen ( ω t −φ)<br />
∫<br />
0<br />
dt<br />
. (40.2)<br />
Quando usamos a regra <strong>de</strong> soma <strong>de</strong> ângulos para o seno encontramos dois<br />
termos na integral. Um <strong>de</strong>les é proporcional a um seno multiplicado por um cosseno <strong>de</strong><br />
ω t e sua integral se anula. O outro termo é proporcional ao quadrado do seno e sua<br />
integral é:<br />
T<br />
( ω t) cos( φ)<br />
2<br />
∫ ε<br />
m<br />
imsen<br />
dt<br />
0<br />
1<br />
< P > =<br />
= ε<br />
m<br />
im<br />
cos( φ)<br />
.<br />
T<br />
(40.3)<br />
dt<br />
2<br />
∫<br />
0<br />
PENSE E RESPONDA 40.2<br />
Por que a variável T não aparece na equação 40.3? (Resolva a equação 40.2 para<br />
obter a equação 40.3).<br />
acima:<br />
Reescrevemos a equação 40.3 usando as gran<strong>de</strong>zas eficazes conforme <strong>de</strong>finimos<br />
Este valor é conhecido como valor eficaz da corrente:<br />
im<br />
i<br />
ef<br />
= . (40.1)<br />
2<br />
Para todas as gran<strong>de</strong>zas que oscilam harmonicamente po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>finir seu valor<br />
eficaz como sendo sua amplitu<strong>de</strong> dividida por raiz quadrada <strong>de</strong> dois: um voltímetro para<br />
corrente alternada me<strong>de</strong> diretamente a tensão eficaz e não o valor instantâneo da<br />
tensão.<br />
( φ)<br />
< P > = ε cos . (40.4)<br />
ef<br />
i ef<br />
O termo cos ( φ ) é <strong>de</strong>nominado fator <strong>de</strong> potência.<br />
Quando há uma gran<strong>de</strong> <strong>de</strong>fasagem da corrente com relação à fem, é necessária<br />
uma corrente muito mais alta para atingir uma <strong>de</strong>terminada potência do que seria<br />
necessária se o circuito operasse próximo à ressonância em que o fator se aproxima <strong>de</strong><br />
um.<br />
Substituindo na equação 40.4 as expressões dadas nas equações 39.5 e 39.8,<br />
589<br />
590
encontramos também:<br />
R<br />
cos ( φ)<br />
= e i<br />
Z<br />
m<br />
ε<br />
m<br />
=<br />
Z<br />
2<br />
< P > = . (40.5)<br />
R i ef<br />
T<br />
( ω t) cos( φ )<br />
2<br />
∫ ε<br />
0<br />
m<br />
imsen<br />
dt 1<br />
< P > =<br />
= ε<br />
m<br />
im<br />
cos( φ)<br />
,<br />
T<br />
dt<br />
2<br />
∫<br />
0<br />
1<br />
< P > = ( 60V<br />
)( 0,115 A)( 0,520) = 1, 79 W .<br />
2<br />
EXEMPLO 40.1<br />
PENSE E RESPONDA 40.3<br />
Consi<strong>de</strong>re um circuito RLC em série, em que,<br />
R = 200 Ω , L = 50, 0 mH , C = 600 nF ,<br />
com uma fonte <strong>de</strong> frequência angular ω =10.000 rad / s e ε<br />
m<br />
= 60V<br />
<strong>de</strong> potência e a potência média pelo circuito.<br />
. Determine o fator<br />
SOLUÇÃO: As reatâncias <strong>de</strong> um circuito RLC po<strong>de</strong>m ser obtidas utilizando as equações<br />
38.6 e 38.9:<br />
X 1<br />
1<br />
= =<br />
= 167 Ω<br />
C<br />
ω −<br />
C<br />
e<br />
X L<br />
= ω L =<br />
De acordo com a equação 39.4:<br />
tg<br />
( 10.000 rad / s)( 600 × 10<br />
9 F )<br />
−<br />
( 10.000 rad / s)( 50,0 × 10<br />
3 H ) = 500 Ω<br />
X − X<br />
R<br />
⎛ X − X<br />
⎜<br />
⎝ R<br />
L C<br />
L C ⎞<br />
( φ) = ⇒ φ = arctg ⎟<br />
⎠<br />
⎛ 500 Ω −167<br />
Ω ⎞ o<br />
φ = arctg ⎜<br />
= 59<br />
200<br />
⎟<br />
⎝ Ω ⎠<br />
Qual seria a amplitu<strong>de</strong> da corrente e a potência média do circuito RLC do EXEMPLO 40.1<br />
se a frequência <strong>de</strong> oscilação do circuito fosse igual à frequência natural?<br />
ATIVIDADE 40.1<br />
Um circuito RLC é ligado a uma fonte <strong>de</strong> tensão alternada<br />
impedância<br />
ε<br />
m<br />
= 80, 0V<br />
. O circuito tem<br />
105 Ω quando sua resitência é 75,0<br />
Ω e a fonte tem frequência 120Hz.<br />
Determine a potência média fornecida pela fonte.<br />
40.2 O TRANSFORMADOR<br />
A bobina <strong>de</strong> indução, discutida na aula 34, quando ligada a uma fonte <strong>de</strong> corrente<br />
alternada, passa a ser <strong>de</strong>nominada transformador. Na figura 40.1 mostramos <strong>de</strong> forma<br />
semelhante e esquematicamente a mesma bobina <strong>de</strong> indução <strong>de</strong>scrita naquela aula, mas<br />
usada como um transformador.<br />
φ .<br />
o<br />
O fator <strong>de</strong> potência é dado por cos ( ) = cos59 = 0, 520<br />
A amplitu<strong>de</strong> da corrente é obtida pela equação 39.8:<br />
ε<br />
m<br />
im<br />
= ,<br />
Z<br />
60 V<br />
i m<br />
= = 0, 155 A<br />
388 Ω<br />
Então, para obtermos a potência média, po<strong>de</strong>mos utilizar a equação 40.3:<br />
Figura 40.1: Um transformador em que uma fem <strong>de</strong> corrente alternada sen( ω t)<br />
circuito primário produz um tensão<br />
que as bobinas envolvem um núcleo, geralmente feito <strong>de</strong> ferro.<br />
ε<br />
m<br />
é inserida no<br />
V<br />
AB entre os terminais A e B do circuito secundário. Observe<br />
591<br />
592
No circuito primário temos um gerador <strong>de</strong> corrente alternada, ε 1<br />
, um resistor, R<br />
1<br />
,<br />
e um indutor, L<br />
1<br />
.<br />
No circuito secundário, que se encontra aberto, temos apenas um indutor, L<br />
2<br />
e<br />
entre os polos, ou extremida<strong>de</strong>s, <strong>de</strong>sse indutor é gerada uma diferença <strong>de</strong> potencial<br />
.<br />
O fato <strong>de</strong> mantermos o circuito secundário aberto faz com que a corrente ali, bem<br />
como sua <strong>de</strong>rivada temporal, seja nula. Isto facilita a solução do problema <strong>de</strong> encontrar<br />
a tensão fornecida pelo secundário, quando o primário é alimentado por uma fem <strong>de</strong><br />
amplitu<strong>de</strong> e frequência <strong>de</strong>terminadas.<br />
VAB<br />
cos<br />
tg<br />
( φ)<br />
( )<br />
ω L<br />
R<br />
1<br />
φ = ,<br />
1<br />
= .<br />
2<br />
R ( ) 2<br />
1<br />
+ ω L1<br />
Tendo encontrado a corrente no primário e lembrando que, no caso consi<strong>de</strong>rado,<br />
a indutância mútua é igual à raiz quadrada do produto das duas autoindutâncias,<br />
encontramos a tensão no secundário:<br />
V<br />
AB<br />
1<br />
R<br />
ω L1<br />
L2<br />
ε<br />
m<br />
= cos t<br />
2<br />
2<br />
R +<br />
1<br />
( ω L )<br />
1<br />
( ω −φ)<br />
. (40.6)<br />
As equações para os circuitos primário e secundário se tornam então,<br />
respectivamente,<br />
di1<br />
ε msen( ω t)<br />
= R1 i1<br />
+ L1<br />
.<br />
dt<br />
di<br />
= M<br />
21<br />
.<br />
dt<br />
V AB<br />
1<br />
Como po<strong>de</strong>mos ver, quando a frequência é nula, não há tensão produzida<br />
no circuito secundário, o que quer dizer que um transformador simplesmente<br />
não funciona quando a corrente é contínua: Não havendo variação da corrente<br />
no primário não há variação <strong>de</strong> fluxo e, portanto, não há força eletromotriz<br />
induzida.<br />
A amplitu<strong>de</strong> da tensão produzida no secundário cresce com o aumento da<br />
frequência, como é mostrado na figura 40.2.<br />
PENSE E RESPONDA 40.4<br />
Por que o termo M<br />
21<br />
aparece na equação da tensão V<br />
AB<br />
?<br />
A solução da equação do circuito primário é encontrada da mesma maneira que<br />
fizemos na aula 39, apenas eliminando o termo<br />
q C na equação 39.1 ou eliminando,<br />
simplesmente, todos os termos em que aparece a reatância capacitiva,<br />
é:<br />
X<br />
C . O resultado<br />
em que a amplitu<strong>de</strong> e a fase são dados por:<br />
i<br />
1,0<br />
( ω −φ)<br />
i1 = i1,<br />
0sen<br />
t ,<br />
ε<br />
m<br />
= .<br />
R +<br />
2<br />
1<br />
( ω L ) 2<br />
1<br />
Figura 40.2: Amplitu<strong>de</strong> da diferença <strong>de</strong> potencial entre os terminais A e B do circuito secundário do<br />
transformador representado na figura 40.1 como função da frequência.<br />
Para frequências suficientemente altas temos ω L<br />
1<br />
>> R1<br />
e a resistência<br />
po<strong>de</strong> ser <strong>de</strong>sprezada no <strong>de</strong>nominador da equação 40.6. A tensão no secundário<br />
593<br />
594
<strong>de</strong>ixa, então, <strong>de</strong> <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>r da frequência, aproximando-se <strong>de</strong> seu valor<br />
assintótico.<br />
Como a constante <strong>de</strong> tempo <strong>de</strong> um circuito RL é dada por τ = L<br />
L R po<strong>de</strong>mos<br />
escrever a condição para o bom funcionamento do transformador como:<br />
R<br />
>> =<br />
L<br />
ω τ<br />
−1<br />
1 ,<br />
L1<br />
sendo τ<br />
L1<br />
a constante <strong>de</strong> tempo indutiva do circuito primário.<br />
Nesta situação a <strong>de</strong>fasagem entre a corrente no primário e a fem aplicada ten<strong>de</strong> a<br />
90º ou π 2 e a tensão no secundário po<strong>de</strong> ser escrita como:<br />
V<br />
AB<br />
N2<br />
= ε<br />
m<br />
sen( ω t)<br />
. (40.7)<br />
N<br />
Encontramos, portanto, que, nessa condição, a tensão no secundário tem<br />
a mesma fase da força eletromotriz aplicada no primário e que sua amplitu<strong>de</strong> é<br />
aquela da fem aplicada, multiplicada pela razão entre o número <strong>de</strong> espiras do<br />
indutor secundário e o número <strong>de</strong> espiras do indutor primário.<br />
Po<strong>de</strong>-se usar, então, um transformador para aumentar a tensão, quando<br />
o número <strong>de</strong> espiras no indutor do circuito secundário é maior que no indutor<br />
do circuito primário, ou reduzir a tensão, quando o número <strong>de</strong> espiras no<br />
secundário é menor que o número <strong>de</strong> espiras no primário.<br />
Quando o circuito secundário é fechado, ligando-se um resistor entre os terminais<br />
A e B daquele circuito, passa a existir uma corrente i 2<br />
diferente <strong>de</strong> zero, o que torna a<br />
solução das equações bastante mais complicada.<br />
Sem nos <strong>de</strong>termos na solução matemática <strong>de</strong>ste problema, po<strong>de</strong>mos afirmar que,<br />
com a passagem <strong>de</strong> corrente no circuito secundário, aumenta a corrente no circuito<br />
primário.<br />
Como é <strong>de</strong> se esperar, a potência produzida pelo gerador no circuito primário é<br />
igual à soma da potência dissipada no resistor <strong>de</strong>sse circuito com a potência dissipada no<br />
resistor do circuito secundário.<br />
A condição <strong>de</strong> bom funcionamento do transformador passa a ser:<br />
1<br />
−<br />
( τ + ) 1<br />
L<br />
τ<br />
>><br />
L<br />
on<strong>de</strong> τ<br />
L2<br />
é a constante <strong>de</strong> tempo indutiva do circuito secundário.<br />
ω<br />
1 2 . (40.8)<br />
Para atingirmos esta condição em frequências não muito altas, como a frequência<br />
<strong>de</strong> 60 Hz usada comercialmente, torna-se necessário termos os valores das resistências<br />
baixas ou o das indutâncias altas, ou, ainda, alguma situação <strong>de</strong> compromisso entre os<br />
dois extremos.<br />
Para obtermos baixos valores <strong>de</strong> resistências precisamos <strong>de</strong> fios condutores com<br />
gran<strong>de</strong>s áreas <strong>de</strong> sua seção reta nos enrolamentos primário e secundário. Isto eleva<br />
muito o custo, pois os fios, normalmente <strong>de</strong> cobre, tem preço bastante elevado.<br />
Uma solução para este problema é a introdução <strong>de</strong> um núcleo <strong>de</strong> ferro sobre o<br />
qual são montados os enrolamentos.<br />
O ferro é um material que tem dipolos magnéticos permanentes, os quais se<br />
alinham com um campo magnético aplicado, aumentando fortemente o fluxo na região<br />
das espiras dos indutores. Isto faz aumentar, proporcionalmente, o valor das<br />
indutâncias, tanto do primário quanto do secundário. A indutância <strong>de</strong> cada enrolamento<br />
po<strong>de</strong> ser multiplicada por fatores próximos a mil, com o uso <strong>de</strong> ligas <strong>de</strong> ferro a<strong>de</strong>quadas.<br />
Desta forma a resistência dos fios dos enrolamentos não precisa ser tão pequena<br />
e po<strong>de</strong>-se fazer uso <strong>de</strong> fios mais finos e, consequentemente, menos dispendiosos.<br />
EXEMPLO 40.2<br />
Em <strong>de</strong>terminado transformador, a resistência do enrolamento primário é <strong>de</strong><br />
autoindutância é <strong>de</strong><br />
1 ,50 Ω e sua<br />
10 ,0 mH . O enrolamento secundário, montado sobre o primário, é<br />
feito com um fio do mesmo material, mas com a meta<strong>de</strong> do diâmetro e tem <strong>de</strong>zesseis<br />
vezes mais voltas que o primário.<br />
a) Para que frequências o transformador funciona com boa eficiência?<br />
b) Se a região no interior do suporte on<strong>de</strong> são feitos os enrolamentos do transformador<br />
for preenchida por um núcleo <strong>de</strong> aço que multiplica o fluxo em cada espira por um fator<br />
igual a 900, qual a nova faixa <strong>de</strong> frequências <strong>de</strong> funcionamento <strong>de</strong>sse transformador?<br />
SOLUÇÃO:<br />
595<br />
596
a) A resistência dos fios é dada pela equação<br />
l<br />
R = ρ ,<br />
A<br />
on<strong>de</strong> R é a resistivida<strong>de</strong> do fio, l é o seu comprimento e A é a área da secção reta.<br />
Pelos dados fornecidos, temos<br />
Então<br />
R<br />
A = 1 A e l<br />
2<br />
= 16l1<br />
2<br />
4<br />
l 16l<br />
16l<br />
ρ ρ ρ =<br />
2<br />
1<br />
1<br />
2<br />
= = R2<br />
= = 64<br />
A2<br />
1 4A1<br />
1 4A1<br />
1<br />
R<br />
2<br />
= 64R 1<br />
( 1,5 Ω) = Ω<br />
R = 64 96 .<br />
2<br />
l1<br />
ρ<br />
A<br />
Sua indutância é a do primário multiplicada pelo quadrado <strong>de</strong> <strong>de</strong>zesseis, sendo, portanto<br />
<strong>de</strong><br />
2560 mH .<br />
A condição <strong>de</strong> bom funcionamento <strong>de</strong>sse transformador é<br />
R1 R2<br />
1,50 Ω 96,0 Ω<br />
ω >> + =<br />
+ = 188 rad / s .<br />
−3<br />
L L 10,0 × 10 H 2,56H<br />
1<br />
2<br />
Esse transformador só funcionará bem com uma frequência angular maior que<br />
1000 radianos/segundo ou uma frequência <strong>de</strong> 6,3 KHz.<br />
b) a introdução do núcleo <strong>de</strong> aço multiplica o fluxo por um fator igual a 900 e isto<br />
multiplica as indutâncias do primário e do secundário pelo mesmo fator. Por isto a<br />
condição <strong>de</strong> bom funcionamento passa a ser:<br />
188 rad / s<br />
ω >>= = 0,208 rad / s .<br />
900<br />
Ou seja o transformador, agora, po<strong>de</strong> trabalhar eficientemente com frequências<br />
angulares acima <strong>de</strong> 1,5 radianos/segundo ou frequências acima <strong>de</strong> aproximadamente 10<br />
Hz.<br />
1<br />
Um dos motivos da gran<strong>de</strong> importância tecnológica do transformador ficará claro<br />
no exemplo a seguir.<br />
EXEMPLO 40.3<br />
Um consumidor industrial recebe uma potência <strong>de</strong> 12 kW, com uma tensão eficaz, na<br />
entrada, <strong>de</strong> 120 V e um fator <strong>de</strong> potência igual a um.<br />
a) Qual a corrente na entrada do circuito do consumidor?<br />
b) Se esta corrente percorresse um fio <strong>de</strong> cobre <strong>de</strong> três oitavos <strong>de</strong> polegada <strong>de</strong><br />
diâmetro, com um comprimento <strong>de</strong> cem quilômetros, qual seria a perda <strong>de</strong> calor nesse<br />
fio?<br />
c) Se, em vez <strong>de</strong> 120 V, a tensão <strong>de</strong> entrada fosse <strong>de</strong> 12 kV, quais seriam as respostas<br />
dos itens anteriores?<br />
SOLUÇÃO:<br />
a) A potência recebida em ressonância com a fonte é igual ao produto da tensão eficaz<br />
pela corrente eficaz na entrada da indústria. A corrente eficaz é, então:<br />
3<br />
P 12,0 × 10 W<br />
ief = =<br />
= 100 A .<br />
ε 120V<br />
ef<br />
b) A potência média, dissipada por efeito Joule no fio, é dada pelo produto da resistência<br />
do fio pelo quadrado da corrente eficaz. A resistência, por sua vez, é igual ao produto da<br />
resistivida<strong>de</strong> do cobre pelo comprimento do fio, dividido pela área <strong>de</strong> sua seção reta.<br />
Temos, portanto:<br />
R = ρ<br />
cu<br />
l<br />
A<br />
3<br />
−8<br />
100 × 10 m<br />
= 1,72<br />
× 10 Ω.<br />
m<br />
2<br />
−<br />
[( 3<br />
2<br />
π )( 2,54 × 10 m)<br />
]<br />
8<br />
2<br />
( 2,53 Ω)( 100A) = 25, KW<br />
2<br />
P = R ief =<br />
3<br />
= 2,53Ω<br />
, e<br />
Vemos que, se formos transportar essa corrente por 100 Km, a potência perdida no fio<br />
transmissor é mais que duas vezes a potência entregue ao consumidor.<br />
c) Se a tensão fosse <strong>de</strong> 12 kV, cem vezes maior que aquela utilizada na letra (a) <strong>de</strong>ste<br />
exemplo, a corrente seria dividida por cem. Ou seja, teríamos a corrente <strong>de</strong> apenas um<br />
597<br />
598
ampere. A potência perdida como calor no fio seria então:<br />
2<br />
( 2,53 Ω)( 1,00 A) = 2, W<br />
2<br />
P = R ief =<br />
53 .<br />
Agora a potência perdida é apenas uma pequena fração da potência entregue ao<br />
consumidor.<br />
N<br />
ε − R<br />
. (40.8)<br />
1<br />
1<br />
i1<br />
= − R2<br />
i2<br />
N<br />
2<br />
A equação para a conservação da energia é:<br />
2 2<br />
ε i<br />
1<br />
− R1<br />
i1<br />
= R2<br />
i2<br />
. (40.9)<br />
Dividindo a equação 40.9 por i 1<br />
e igualando o segundo termo da equação obtida<br />
PENSE E RESPONDA 40.4<br />
Se a potência perdida é bem menor quando a tensão <strong>de</strong> entrada é <strong>de</strong> 12 kV, no<br />
transformador do EXEMPLO 40.3, por que a companhia <strong>de</strong> energia elétrica não a fornece<br />
ao consumidor?<br />
com o segundo membro da equação 40.8 encontramos:<br />
Levando este resultado <strong>de</strong> volta à equação 40.8 encontramos:<br />
i<br />
i<br />
2 1<br />
= − . (40.10)<br />
1<br />
N<br />
N<br />
2<br />
Trabalhar com tensões muito altas, tanto nas usinas, on<strong>de</strong> é gerada a energia<br />
elétrica, quanto na outra ponta, ou seja, nas indústrias ou nas residências, é muito<br />
perigoso para o ser humano. Como vimos, no entanto, o transporte <strong>de</strong> gran<strong>de</strong>s<br />
correntes por gran<strong>de</strong>s distâncias é muito dispendioso.<br />
A solução para este problema obtém-se com o transformador: Produz-se a<br />
energia com baixa tensão alternada, na usina geradora. Em seguida, com o uso <strong>de</strong> um<br />
transformador elevador <strong>de</strong> tensão, eleva-se a diferença <strong>de</strong> potencial a valores bem altos<br />
e a potência requerida é transportada com baixa corrente. Em uma subestação, próxima<br />
ao consumidor final, a tensão é abaixada, com o uso <strong>de</strong> um transformador abaixador <strong>de</strong><br />
tensão, e finalmente entregue ao consumidor, em 127 V, por exemplo.<br />
A inexistência <strong>de</strong> transformadores para corrente contínua foi um dos fatores que<br />
mais impulsionou o uso dos geradores <strong>de</strong> corrente alternada e a distribuição <strong>de</strong> energia<br />
elétrica nessa forma.<br />
Outra utilida<strong>de</strong> do transformador aparece quando queremos ter uma<br />
transferência eficiente <strong>de</strong> potência.<br />
Quando inserimos um resistor, R<br />
2<br />
, entre os terminais A e B da figura 40.1, este é<br />
percorrido por uma corrente, i 2<br />
, enquanto o circuito primário, e, portanto, a fonte, é<br />
percorrido por uma corrente, i 1<br />
, <strong>de</strong> outro valor. Dessa forma,<br />
2<br />
⎛ N ⎞<br />
1<br />
ε = ⎜ R1<br />
+ R ⎟<br />
2 2<br />
i<br />
1<br />
. (40.11)<br />
N<br />
⎝<br />
2 ⎠<br />
Este resultado indica que a fonte fornece uma corrente igual à que forneceria a<br />
uma resistência equivalente dada por:<br />
N<br />
R eq<br />
+<br />
N<br />
2<br />
1<br />
= R1<br />
R<br />
2 2 . (40.12)<br />
É sabido que a maior transferência <strong>de</strong> potência ocorre quando a<br />
resistência externa é igual à resistência interna da fonte. Se uma fonte tem<br />
uma resistência interna muito diferente da resistência presente no circuito que<br />
é alimentado por ela, a transferência <strong>de</strong> energia é pouco eficiente. Po<strong>de</strong>-se,<br />
então, usar um transformador com uma razão a<strong>de</strong>quada entre o número <strong>de</strong><br />
espiras do primário e do secundário para se obter uma resistência equivalente<br />
mais próxima da resistência interna da fonte utilizada.<br />
O valor <strong>de</strong> R<br />
1<br />
é pequeno, em geral, e correspon<strong>de</strong> à resistência do fio do<br />
enrolamento primário. Com um valor a<strong>de</strong>quado para a razão entre o número <strong>de</strong> espiras<br />
po<strong>de</strong>-se obter uma resistência equivalente próxima à da fonte.<br />
Quando usamos um amplificador para alimentar uma caixa <strong>de</strong> som, é mais<br />
apropriado nos referirmos a suas impedâncias ao invés <strong>de</strong> suas resistências. O<br />
amplificador tem gran<strong>de</strong> impedância <strong>de</strong> saída, enquanto o alto falante tem baixa<br />
2<br />
599<br />
600
impedância. O artifício, para melhorar a eficiência na transferência <strong>de</strong> energia, é<br />
<strong>de</strong>nominado casamento <strong>de</strong> impedâncias.<br />
EXEMPLO 40.2<br />
Um rádio <strong>de</strong> 100 W, antes utilizado em Brasília on<strong>de</strong> a tensão fornecida pela<br />
companhia elétrica é <strong>de</strong> 220 V é ligado em Belo Horizonte on<strong>de</strong> a tensão fornecida é <strong>de</strong><br />
110 V. Devido a um <strong>de</strong>feito não é possível mudar a chave que faz a seleção entre as<br />
tensões <strong>de</strong> entrada <strong>de</strong> 220 V para 110 V. Utilizando um transformador é possível fazer a<br />
adaptação para utilização do aparelho.<br />
a) Qual <strong>de</strong>ve ser a razão entre o número <strong>de</strong> espiras do primário e secundário <strong>de</strong>sse<br />
transformador?<br />
b) Determine a corrente elétrica quando o rádio for liagado a uma fonte <strong>de</strong> 110 V.<br />
c) Calcule a sua resistência elétrica.<br />
SOLUÇÃO: a) Deve-se utilizar um transformador que aumente a tensão para 220 V.<br />
Sabemos que uma tensão alternada produz uma variação <strong>de</strong> fluxo magnético através do<br />
transformador. Observe que<br />
c) Como a potência fornecida ao primário é igual à resistência fornecida ao secundário,<br />
Como 1N2<br />
ε<br />
2N1<br />
ε = e<br />
=<br />
ε<br />
,<br />
R<br />
i<br />
2<br />
2<br />
1i1<br />
ε<br />
2i2<br />
ε = .<br />
R = ε<br />
.<br />
( N ) 2<br />
1<br />
2<br />
N1<br />
i1<br />
A corrente i 1 no primário po<strong>de</strong> ser obtida da potência média<br />
Logo,<br />
< P > 100W<br />
i1 = = = 0, 91A<br />
.<br />
ε 110V<br />
1<br />
= 110 V<br />
R ( 2) 2<br />
= 484Ω<br />
.<br />
0,91A<br />
d Φ<br />
B<br />
ε<br />
1<br />
= −N1<br />
e<br />
dt<br />
d Φ<br />
B<br />
ε<br />
2<br />
= −N<br />
2<br />
,<br />
dt<br />
on<strong>de</strong> ε<br />
1 e ε<br />
2 são as tensões no primário e secundário e N<br />
1 e N<br />
2 são os números <strong>de</strong><br />
espiras, respectivamente. Estamos <strong>de</strong>sprezando a resistências dos enrolamentos.<br />
Dessas equações concluimos que<br />
N ε<br />
2<br />
220V<br />
= =<br />
N ε 110V<br />
2<br />
=<br />
1<br />
1<br />
2 .<br />
Então, o número <strong>de</strong> espiras no secundário <strong>de</strong>ve ser igual ao dobro do número <strong>de</strong><br />
espiras do primário.<br />
b) A corrente elétrica no rádio po<strong>de</strong> ser obtida através da potência média,<br />
< P > 100W<br />
i2 = = ,<br />
ε 220V<br />
2<br />
i 0, 45 A<br />
2 = . 602<br />
601
RESPOSTA COMENTADA DAS ATIVIDADES PROPOSTAS<br />
ATIVIDADE 40.1<br />
A potência média é dada pela equação 40.3,<br />
< P >= 1<br />
ε<br />
m<br />
cos( φ)<br />
2<br />
i .<br />
m<br />
A amplitu<strong>de</strong> da corrente é dada pela equação 39.8,<br />
m<br />
80,0V<br />
im = ε = = 0, 762 A<br />
Z 105Ω<br />
Para encontrarmos o fator <strong>de</strong> potência, cos ( φ)<br />
, utilizamos a equação<br />
X<br />
L<br />
− X<br />
C<br />
⎛ X<br />
L<br />
− X<br />
C ⎞<br />
tg( φ ) = ⇒ φ = arctg⎜<br />
⎟ ,<br />
R<br />
⎝ R ⎠<br />
A diferença entre as reatâncias, indutiva e capacitiva, po<strong>de</strong> ser obtida através da<br />
equação 39.7,<br />
Portanto,<br />
Z<br />
2<br />
2 2<br />
( X − X ) ⇒ X − X = Z − R<br />
2<br />
= R +<br />
L C<br />
L C<br />
.<br />
⎛ 2 2<br />
Z R ⎞ ⎛ 2<br />
Z ⎞<br />
o<br />
arctg⎜<br />
−<br />
φ =<br />
⎟ = arctg⎜<br />
−1⎟<br />
= arctg( 1,96 −1) = 44, 4 .<br />
⎜<br />
2<br />
R ⎟ ⎜ R ⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
φ .<br />
o<br />
Então cos ( ) = cos44,4 = 0, 714<br />
A potência média é dada por<br />
1<br />
< P >= ε<br />
m<br />
im<br />
cos φ =<br />
2<br />
1<br />
2<br />
( ) ( 80,0V<br />
)( 0,762 A)( 0,714)<br />
< P >= 21, 8W .<br />
E40.2) Um circuito RLC em série, em que,<br />
uma fonte <strong>de</strong> frequência angular<br />
potência e a potência média pelo circuito.<br />
R = 100 Ω , L = 25, 0 mH , C = 300 nF , com<br />
ω = 500 rad / s e ε<br />
m<br />
= 60V<br />
. Determine o fator <strong>de</strong><br />
E40.3) Um transformador está conectado a uma fonte <strong>de</strong> tensão a.c <strong>de</strong> 110 V.e <strong>de</strong>ve<br />
fornecer 11.000V. a) Qual <strong>de</strong>ve ser a razão entre o número <strong>de</strong> espiras do primário e<br />
secundário <strong>de</strong>sse tranformador? b) Qual é a potência fornecida para o transformador<br />
quando a corrente eficaz no secundário for igual a 10 mA?<br />
E40.4) Um transformador possui 1000 espiras no primário e 20 espiras no secundário.<br />
primário?<br />
a) Qual é a voltagem no secundário para uma tensão eficaz <strong>de</strong> 120 V aplicada no<br />
b) Quais são as correntes elétricas nos primário e secundário, quando o<br />
secundário é ligado a uma resistência elétrica <strong>de</strong><br />
30 Ω ?<br />
PROBLEMAS DA UNIDADE 12<br />
P12.1) Faça um esboço dos gráficos <strong>de</strong> carga e corrente em função do tempo para um<br />
circuito LC. Explique o fato <strong>de</strong> a corrente está adiantada <strong>de</strong> π 2 em relação à carga<br />
nesse circuito.<br />
P12.2) Mostre que a corrente máxima acumulada em um capacitor <strong>de</strong> um circuito LC<br />
<strong>de</strong>pen<strong>de</strong> dos valores iniciais da carga, da corrente e da frequência angular, <strong>de</strong> acordo<br />
q m<br />
= q + i .<br />
2<br />
com a equação ( ) 2<br />
0 0<br />
ω0<br />
P12.3) Mostre que em um circuito LC, a constante <strong>de</strong> fase é dada pela equação<br />
tg<br />
( φ )<br />
−i<br />
0<br />
0<br />
= .<br />
ω0<br />
q0<br />
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO<br />
E40.1) Um eletroímã conectado a uma fonte <strong>de</strong> tensão alternada <strong>de</strong> 240 V e 60 Hz tem<br />
resistência 400 Ω e indutância 6 ,00H<br />
. Determine o fator <strong>de</strong> potência e a potência<br />
média fornecida pela fonte.<br />
P12.4) Faça um esboço dos gráficos <strong>de</strong> carga e corrente <strong>de</strong> um circuito RLC quando<br />
a) γ é menor que ω<br />
0<br />
.<br />
b) γ é igual a ω<br />
0<br />
.<br />
c) γ é maior que ω<br />
0<br />
.<br />
603<br />
604
P12.5) Suponha que sejam feitos dois circuitos simples, alimentando-os com a tensão<br />
fornecida pela companhia <strong>de</strong> energia elétrica; o primeiro com um capacitor, C = 9, 8nF<br />
,<br />
e o segundo com um indutor,<br />
para cada caso e a amplitu<strong>de</strong> da corrente.<br />
L = 6,7 µ H . Calcule as reatâncias capacitiva e indutiva<br />
P12.6) A corrente elétrica em uma bobina que possui 800 espiras e autoindutância<br />
7 ,0 mH é dada por i = ( 0,70 nA) cos( 126t<br />
) .<br />
a) Determine a fem máxima induzida na bobina.<br />
b) Calcule o fluxo magnético através <strong>de</strong> cada espira da bobina.<br />
c) Qual é o módulo da fem em t = 0,02s?<br />
P12.7) Consi<strong>de</strong>re um circuito RLC,<br />
ε<br />
m<br />
= 100 V , R = 400 Ω , C = 0,600 µ F e L = 3, 00 H .<br />
a) Calcule as tensões no resistor, no capacitor e no indutor para uma frequência<br />
<strong>de</strong> 600 rad/s.<br />
b) Determine a constante <strong>de</strong> fase.<br />
c) Faça um diagrama <strong>de</strong> fasores para frequências 50 rad/s, 500 rad/s e 5000<br />
rad/s.<br />
P12.8) Um consumidor recebe uma potência <strong>de</strong> 12,0 kW, com uma tensão eficaz, na<br />
entrada, <strong>de</strong> 220 V e um fator <strong>de</strong> potência igual a 0,950.<br />
a) Qual a corrente na entrada do circuito do consumidor?<br />
b) Se esta corrente percorresse um fio <strong>de</strong> cobre <strong>de</strong> meia polegada <strong>de</strong> diâmetro,<br />
com um comprimento <strong>de</strong> cem quilômetros, qual seria a perda <strong>de</strong> calor nesse fio?<br />
c) Se, em vez <strong>de</strong> 220 V, a tensão <strong>de</strong> entrada fosse <strong>de</strong> 10,0 kV, quais seriam as<br />
respostas dos itens anteriores?<br />
605
APÊNDICES<br />
APÊNDICE A - SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI)<br />
Gran<strong>de</strong>za Nome da Unida<strong>de</strong> Símbolo<br />
Unida<strong>de</strong>s Fundamentais<br />
Comprimento metro m<br />
Massa quilograma kg<br />
Tempo segundo s<br />
Corrente ampère A<br />
Temperatura kelvin K<br />
Intensida<strong>de</strong> luminosa can<strong>de</strong>la cd<br />
Quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong> substância mole mol<br />
Unida<strong>de</strong>s Derivadas Unida<strong>de</strong>s<br />
equivalentes<br />
Área metro quadrado m 2<br />
Volume metro cúbico m 3<br />
Frequência hertz Hz s -1<br />
Velocida<strong>de</strong> metro por segundo m/s<br />
Velocida<strong>de</strong> angular radiano por segundo rad/s<br />
Aceleração<br />
metro por segundo<br />
m/s 2<br />
quadrado<br />
Aceleração angular<br />
radiano por segundo rad/s 2<br />
quadrado<br />
Força newton N kg . m/s 2<br />
Pressão pascal Pa N/m 2<br />
Trabalho, energia joule J N . m<br />
Potência watt W J/s<br />
Carga elétrica coulomb C A . s<br />
Potencial elétrico volt V J/C<br />
Intensida<strong>de</strong> <strong>de</strong> campo newton por coulomb N/C V/m<br />
elétrico<br />
Resistência elétrica ohm Ω V/A<br />
Capacitância farad F C/V<br />
Fluxo magnético Weber Wb V . s<br />
Campo magnético Tesla T Wb/m 2<br />
Indutância Henry H Wb/A<br />
650<br />
651
DEFINIÇÕES DE UNIDADES DO SI<br />
APÊNDICE B – CONSTANTES NUMÉRICAS<br />
Metro (m)<br />
Quilograma (kg)<br />
Segundo (s)<br />
Ampère (A)<br />
Kelvin (K)<br />
Can<strong>de</strong>la (cd)<br />
Mole (mol)<br />
O metro é a distância percorrida pela luz no vácuo em<br />
1/299.792.458 s.<br />
O quilograma é a massa do corpo-padrão internacional preservado<br />
em Sèvres, na França.<br />
O segundo é a duração <strong>de</strong> 9.192.631.770 períodos da radiação<br />
correspon<strong>de</strong>nte a transição entre os dois níveis hiperfinos do<br />
estado fundamental do átomo <strong>de</strong> 133 Cs.<br />
O ampère é a corrente que em dois fios paralelos <strong>de</strong> comprimento<br />
infinito, separados <strong>de</strong> 1 m, provoca uma força magnética por<br />
unida<strong>de</strong> <strong>de</strong> comprimento <strong>de</strong> 2 . 10 -7 N/m.<br />
O kelvin é igual a 1/273,16 da temperatura termodinâmica do<br />
ponto triplo da água.<br />
A can<strong>de</strong>la é a intensida<strong>de</strong> luminosa na direção perpendicular da<br />
superfície <strong>de</strong> um corpo negro cuja área é <strong>de</strong> 1/600.000 m 2 na<br />
temperatura <strong>de</strong> solidificação da platina a uma pressão <strong>de</strong> 1 atm.<br />
O mole é a quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong> substância <strong>de</strong> um sistema que contém<br />
tantas entida<strong>de</strong>s elementares quantos átomos <strong>de</strong> carbono em<br />
0,012 kg <strong>de</strong> carbono-12.<br />
CONSTANTES FÍSICAS*<br />
Constante <strong>de</strong> gravitação G 6,673(10) × 10 -11 N⋅m 2 /kg 2<br />
Velocida<strong>de</strong> da luz c 2,99792458 × 10 8 m/s<br />
Carga do elétron e 1,602176462(63) × 10 -19 C<br />
Número <strong>de</strong> Avogadro N A 6,02214199(47) × 10 23<br />
partículas/mol<br />
Constante dos gases perfeitos R 8,314472(15) J/(mol⋅K)<br />
Constante <strong>de</strong> Boltzman k = R/N A 1,3806503(24) × 10 -23 J/K<br />
8,617342(15) × 10 -5 eV/K<br />
Constante <strong>de</strong> Stefan-<br />
σ = (π 2 /60) 5,670400(40) × 10 -8 W/(m 2 k 4 )<br />
Boltzmann<br />
k 4 /(ћ 3 c 2 )<br />
Constante <strong>de</strong> massa atômica m u 1,66053873(13) × 10- 27 kg =<br />
1u<br />
Constante <strong>de</strong> Coulomb k = 1/(4πε 0 ) 8,987551788 ... × 10 9 N⋅m 2 /C 2<br />
Permissivida<strong>de</strong> elétrica do<br />
vácuo<br />
ε 0 8,854187817 ... × 10 -12<br />
C 2 /(N⋅m 2 )<br />
Permeabilida<strong>de</strong> magnética do<br />
vácuo<br />
µ 0 4 π × 10 -7 N/A 2<br />
1,256637 × 10 -6 N/A 2<br />
Constante <strong>de</strong> Planck h 6,62606876(52) × 10 -34 J⋅s<br />
4,13566727(16) × 10 -15 eV⋅s<br />
ћ = h/2π<br />
1,054571596(82) × 10 -34 J⋅s<br />
6,58211889(26) × 10 -16 eV⋅s<br />
Massa do elétron m e 9,10938188(72) × 10 -31 kg<br />
Massa do próton m p 1,67262158(13) × 10 -27 kg<br />
Massa do nêutron m n 1,67492716(13) × 10 -27 kg<br />
Comprimento <strong>de</strong> onda <strong>de</strong> λ C = h/m e c<br />
2,426310215(18) × 10 -12 m<br />
Compton<br />
Constante <strong>de</strong> Rydberg R H 1,0973731568549(83) × 10 7 m -<br />
Magnéton <strong>de</strong> Bohr m B = eh/2m e 9,274000899(37) × 10 -24 J/T<br />
5,788381749(43) × 10 -5 eV/T<br />
Magnéton nuclear m n = eh/2m p 5,05078317(20) × 10 -27 J/T<br />
3,152451238(24) × 10 -8 eV/T<br />
Quantum do fluxo magnético Φ 0 = h/2e 2,067833636(81) × 10 -15 T⋅m 2<br />
Resistência Hall quantizada R K = h/e 2 2,5812807572(95) × 10 4 Ω<br />
* Os números entre parênteses indicam as incertezas dos últimos dois dígitos; por<br />
exemplo, o número 1,4585(34) significa 1,4585 ± 0,0034. Os valores que não<br />
possuem incertezas são exatos.<br />
1<br />
DADOS TERRESTRES<br />
652<br />
Aceleração média da gravida<strong>de</strong> g (valor padrão ao<br />
nível do mar a uma latitu<strong>de</strong> <strong>de</strong> 45º)<br />
Massa da Terra, M T<br />
Raio médio da Terra, R T<br />
Velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong> escape<br />
9,80665 m/s 2<br />
5,98 × 10 24 kg<br />
6,37 × 10 6 m<br />
1,12 × 10 4 m/s<br />
653
Constante solar* 1,35 kW/m 2<br />
Condições normais <strong>de</strong> temperatura e pressão (CNTP):<br />
Temperatura<br />
273,15 K<br />
Pressão<br />
101,325 kPa = 1 atm<br />
Massa molar do ar<br />
28,97 g/mol<br />
Massa específica do ar (CNTP), ρ ar 1,293 kg/m 3<br />
Velocida<strong>de</strong> do som (CNTP)<br />
331 m/s<br />
Calor <strong>de</strong> fusão da água (a 0ºC e 1 atm)<br />
333,5 kJ/kg<br />
Calor <strong>de</strong> vaporização da água (a 100ºC e 1 atm) 2,257 MJ/kg<br />
*Potência média inci<strong>de</strong>nte em uma área <strong>de</strong> 1 m 2 perpendicular aos raios solares, fora<br />
da atmosfera terrestre a uma distância média entre a Terra e o Sol.<br />
DADOS ASTRONÔMICOS<br />
Terra<br />
Distância à Lua*<br />
3,844 × 10 8 m<br />
Distância ao Sol*<br />
1,496 × 10 11 m<br />
Velocida<strong>de</strong> orbital média<br />
2,98 × 10 4 m/s<br />
Lua<br />
Massa<br />
7,35 × 10 22 kg<br />
Raio<br />
1,738 × 10 6 m<br />
Período<br />
27,32 dias<br />
Aceleração da gravida<strong>de</strong> na superfície 1,62 m/s 2<br />
Sol<br />
Massa<br />
1,99 × 10 30 kg<br />
Raio<br />
6,96 × 10 8 m<br />
*De centro a centro<br />
APÊNDICE C – FATORES DE CONVERSÃO DE UNIDADES<br />
Comprimento<br />
1 km = 0,6215 mi<br />
1 mi = 1,609 km<br />
1 m = 1,0936 jarda = 3,281 ft = 39,37<br />
in<br />
1 in = 2,54 cm<br />
1 ft = 12 in = 30,48 cm<br />
1 jarda = 3 ft = 91,44 cm<br />
1 ano-luz = 1 c . ano = 9,461 × 10 15 m<br />
1 Å = 0,1 nm<br />
Área<br />
1 m 2 = 10 4 cm 2<br />
1 km 2 = 0,3861 mi 2 = 247,1 acres<br />
1 in 2 = 6,4516 cm 2<br />
1 ft 2 = 9,29 × 10 -2 m 2<br />
1 m 2 = 10,76 ft 2<br />
1 acre = 43.560 ft 2<br />
1 mi 2 = 640 acres = 2,590 km 2<br />
Volume<br />
1 m 3 = 10 6 cm 3<br />
1 L = 1000 cm 3 = 10 -3 m 3<br />
1 gal = 3,786 L<br />
1 gal = 4 qt = 8 pt = 128 oz = 231 in 3<br />
1 in 3 = 16,39 cm 3<br />
1 ft 3 = 1728 in 3 = 28,32 L<br />
= 2,832 × 10 4 cm 3<br />
Tempo<br />
1 h = 60 min = 3,6 ks<br />
1 dia = 24 h = 1440 min = 86,4 ks<br />
1 ano = 365,24 dias = 3,156 × 10 7 s<br />
1 kg = 6,022 × 10 26 u<br />
1 slug = 14,59 kg<br />
1 kg = 6,852 × 10 -2 slug<br />
1 u = 931,50 MeV/c 2<br />
Massa Específica<br />
1 g/cm 3 = 1000 kg/m 3 = 1 kg/L<br />
(1 g/cm 3 )g = 62,4 lb/ft 3<br />
Força<br />
1 N = 0,2248 lb = 10 5 dyn<br />
1 lb = 4,448222 N<br />
(1 kg)g = 2,2046 lb<br />
Pressão<br />
1 Pa = 1 N/m 2<br />
1 atm = 101,325 kPa = 1,01325 bar<br />
1 atm = 14,7 lb/in 2 = 760 mmHg<br />
= 29,9 in Hg = 33,8 ftH 2 O<br />
1 lb/in 2 = 6,895 kPa<br />
1 torr = 1 mmHg = 133,32 Pa<br />
1 bar = 100 kPa<br />
Energia<br />
1 kW . h = 3,6 MJ<br />
1 cal = 4,1840 J<br />
1 ft . lb = 1,356 J = 1,286 × 10 -3 Btu<br />
1 L . atm = 101,325 J<br />
1 L . atm = 24,217 cal<br />
1 Btu = 778 ft . lb = 252 cal = 1054,35 J<br />
1 eV = 1,602 × 10 -19 J<br />
1 u . c 2 = 931,50 MeV<br />
1 erg = 10 -7 J<br />
Velocida<strong>de</strong><br />
1 m/s = 3,6 km/h<br />
1 km/h = 0,2778 m/s = 0,6215 mi/h<br />
1 mi/h = 0,4470 m/s = 1,609 km/h<br />
1 mi/h = 1,467 ft/s<br />
Potência<br />
1 HP = 550 ft . lb/s = 745,7 W<br />
1 Btu/h = 1,055 kW<br />
1 W = 1,341 × 10 -3 HP = 0,7376 ft . lb/s<br />
Ângulo e Velocida<strong>de</strong> Angular<br />
π rad = 180º<br />
1 rad = 57,30º<br />
1º = 1,745 × 10 -2 rad<br />
1 rpm = 0,1047 rad/s<br />
1 rad/s = 9,549 rpm<br />
Massa<br />
1 kg = 1000 g<br />
1 t = 1000 kg = 1 Mg<br />
1 u = 1,6606 × 10 -27 kg<br />
654<br />
655
APÊNDICE D – RELAÇÕES MATEMÁTICAS<br />
ÁLGEBRA<br />
− x 1 ( x+<br />
y)<br />
x y ( x−<br />
y)<br />
a<br />
a = a = a a a =<br />
x<br />
a<br />
a<br />
x<br />
y<br />
Logaritmos: Se log a = x, então a = 10 x . Se ln a = x, então a = e x .<br />
log a + log b = log (ab) ln a + ln b = ln (ab)<br />
log a – log b = log (a/b) ln a – ln b = ln (a/b)<br />
log (a n ) = n log a ln (a n ) = n ln a<br />
− b ± b<br />
2 − 4ac<br />
Equação do segundo grau: Se ax 2 + bx + c = 0, x = .<br />
2a<br />
SÉRIE BINOMIAL<br />
n n n−1<br />
n(<br />
n −1)<br />
a<br />
( a + b)<br />
= a + na b +<br />
2!<br />
n−2<br />
TRIGONOMETRIA<br />
2 2 2<br />
No triângulo retângulo ABC, x + y = r .<br />
Definição das funções trigonométricas:<br />
sen a = y/r cos a = x/r<br />
tan a = y/x<br />
cot a = x/y<br />
b<br />
2<br />
n(<br />
n −1)(<br />
n − 2) a<br />
+<br />
3!<br />
n−3<br />
3<br />
b<br />
+ ...<br />
GEOMETRIA<br />
Comprimento <strong>de</strong> uma circunferência <strong>de</strong> raio r: C = 2πr<br />
Área <strong>de</strong> um círculo <strong>de</strong> raio r: A = πr 2<br />
Volume <strong>de</strong> uma esfera <strong>de</strong> raio r: V = 4πr 3 /3<br />
Área da superfície <strong>de</strong> uma esfera <strong>de</strong> raio r: A = 4πr 2<br />
Volume <strong>de</strong> um cilindro <strong>de</strong> raio r e altura h: V = πr 2 h<br />
SÉRIES DE POTÊNCIAS<br />
Convergentes para os valores <strong>de</strong> x indicados.<br />
2<br />
3<br />
n nx n(<br />
n −1)<br />
x n(<br />
n −1)(<br />
n − 2) x<br />
2<br />
(1 ± x)<br />
= 1±<br />
+ +<br />
+ L ( x < 1)<br />
1! 2!<br />
3!<br />
2<br />
3<br />
−n<br />
nx n(<br />
n + 1) x n(<br />
n + 1)( n + 2) x<br />
2<br />
(1 ± x)<br />
= 1m<br />
+ +<br />
+ L ( x < 1)<br />
1! 2!<br />
3!<br />
3 5 7<br />
x x x<br />
sen x = x − + − + L (todo valor <strong>de</strong> x)<br />
3! 5! 7!<br />
2 4 6<br />
x x x<br />
cos x = 1−<br />
+ − + L (todo valor <strong>de</strong> x)<br />
2! 4! 6!<br />
3 5 7<br />
x 2x<br />
17x<br />
tan x = x + + + + L ( x < π / 2)<br />
3 15 315<br />
2 3<br />
x x x<br />
e = 1+<br />
x + + + L (todo valor <strong>de</strong> x)<br />
2! 3!<br />
2 3 4<br />
x x x<br />
ln(1 + x)<br />
= x − + + + L ( x < 1)<br />
2 3 4<br />
sec a = r/x<br />
csec a = r/y<br />
I<strong>de</strong>ntida<strong>de</strong>s:<br />
2<br />
2<br />
sen a + cos<br />
a = 1<br />
sen 2a<br />
= 2sen a cos a<br />
1 1−<br />
cos a<br />
sen a =<br />
2 2<br />
sen( −a)<br />
= −sen<br />
a<br />
cos( −a)<br />
= cos a<br />
sen( a ± π / 2) = ± cos a<br />
cos( a ± π / 2) = m sen a<br />
sen a<br />
tan a =<br />
cos a<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
cos 2a<br />
= cos a − sen a = 2cos a −1<br />
= 1−<br />
2sen a<br />
1 1+<br />
cos a<br />
cos a =<br />
2 2<br />
sen( a ± b)<br />
= sen a cosb<br />
± cos a sen b<br />
cos( a ± b)<br />
= cos a cosb<br />
m sen a sen b<br />
1 1<br />
sen a + sen b = 2sen ( a + b) cos ( a − b)<br />
2 2<br />
1 1<br />
cos a + cosb<br />
= 2cos ( a + b)cos<br />
( a − b)<br />
2 2<br />
656<br />
657
DERIVADAS E INTEGRAIS<br />
Nas fórmulas que se seguem u e v representam quaisquer funções <strong>de</strong> x, sendo a e m<br />
constantes. A cada uma das integrais in<strong>de</strong>finidas <strong>de</strong>ve ser adicionada uma constante<br />
<strong>de</strong> integração arbitrária.<br />
dx<br />
=<br />
dx<br />
d<br />
(<br />
dx<br />
d<br />
( u<br />
dx<br />
d<br />
x<br />
dx<br />
d<br />
ln<br />
dx<br />
d<br />
(<br />
dx<br />
d x<br />
e<br />
dx<br />
d<br />
dx<br />
d<br />
dx<br />
d<br />
dx<br />
d<br />
dx<br />
d<br />
dx<br />
d<br />
dx<br />
d u<br />
e<br />
dx<br />
du<br />
au)<br />
= a<br />
dx<br />
du<br />
+ v)<br />
= +<br />
dx<br />
m<br />
1<br />
= mx<br />
1<br />
x =<br />
x<br />
dv du<br />
uv)<br />
= u + v<br />
dx dx<br />
= e<br />
sen x = cos x<br />
x<br />
cos x = −sen<br />
x<br />
tan x = sec<br />
cot x = −csec<br />
sec x = tan x sec x<br />
csec x = −cot<br />
x csec x<br />
= e<br />
u<br />
m−1<br />
du<br />
dx<br />
2<br />
x<br />
2<br />
dv<br />
dx<br />
x<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
dx = x<br />
au dx = a u dx<br />
( u + v)<br />
dx =<br />
m+<br />
1<br />
m x<br />
x dx =<br />
m + 1<br />
dx<br />
= ln x<br />
x<br />
dv<br />
u dx = uv −<br />
dx<br />
e<br />
x<br />
sen x dx = −cos<br />
x<br />
cos x dx = sen x<br />
tan x dx = ln sec x<br />
2 1 1<br />
sen x dx = x − sen 2x<br />
2 4<br />
−ax<br />
1 −ax<br />
e dx = − e<br />
a<br />
−ax<br />
1<br />
−ax<br />
xe dx = − ( ax + 1) e<br />
2<br />
a<br />
2 −ax<br />
1 2 2<br />
x e dx = − ( a x + 2ax<br />
+ 2) e<br />
3<br />
a<br />
∞<br />
n −ax<br />
n!<br />
x e dx =<br />
0<br />
n+<br />
1<br />
a<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
0<br />
x<br />
dx = e<br />
∞<br />
2<br />
2n<br />
−ax<br />
∫<br />
e<br />
∫<br />
x<br />
∫<br />
u dx +<br />
∫<br />
∫<br />
( m ≠ −1)<br />
du<br />
v dx<br />
dx<br />
v dx<br />
1⋅<br />
3⋅<br />
5⋅⋅⋅<br />
(2n<br />
−1)<br />
dx =<br />
n+<br />
1 n<br />
2 a<br />
−ax<br />
π<br />
a<br />
SINAIS E SÍMBOLOS MATEMÁTICOS<br />
= é igual a<br />
≡ é <strong>de</strong>finido por<br />
≠ é diferente <strong>de</strong><br />
≈ é aproximadamente igual a<br />
∼ é da or<strong>de</strong>m <strong>de</strong><br />
∝ é proporcional a<br />
> é maior que<br />
≥ é maior ou igual a<br />
>> é muito maior que<br />
< é menor que<br />
≤ é menor ou igual a<br />
Apêndice E – Tabela Periódica<br />
660
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS<br />
ALONSO, M.; FINN, E. J. Física. São Paulo: Edgard Blücher, 1999.<br />
BLAU, P. J. Friction Science and Tecnology. New York: CRC Press, 2008.<br />
CHAVES, Alaor S. Física. Rio <strong>de</strong> Janeiro: Reichmann & Affonso Editores, 2001.<br />
EISBERG R.M.; LERNER L.S.. Física, <strong>fundamentos</strong> e aplicações. São Paulo: Editora<br />
McGraw Hill do Brasil, 1982.<br />
FEYNAM R.P., LEIGHTON R.B., SANDS M. The Feynman Lectures on Physics. 1963.<br />
Reading: Addison Wesley Publishing Co., 1963<br />
HALLIDAY D., RESNICK R. Fundamentos <strong>de</strong> física. 3. ed. Rio <strong>de</strong> Janeiro: Livros<br />
Técnicos e Científicos S.A., 1993.<br />
KELLER F.J., GETTYS W.E., SKOVE M.J.. Física. São Paulo: Makron Books do Brasil,<br />
1999.<br />
NUSSENZVEIG, Moysés H. Curso <strong>de</strong> física básica. 3. ed. São Paulo: Edgard Blücher,<br />
1997.<br />
RESNICK R., HALLIDAY D.,,KRANE K.S. Física. 4. ed. Rio <strong>de</strong> Janeiro: Livros Técnicos<br />
e Científicos S.A., 1996.<br />
RESNICK R., HALLIDAY D.,,KRANE K.S. Física. 5. ed. Rio <strong>de</strong> Janeiro: Livros Técnicos<br />
e Científicos S.A., 2003.<br />
SEARS & ZEMANSKY; YOUNG H.D., FREEDMAN R.A.. Física. 10. ed. São Paulo:<br />
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SERWAY, R. A. Física. 3. ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning Ltda., 2004.<br />
TIPLER P.. Física para cientistas e engenheiros. 4. ed. Rio <strong>de</strong> Janeiro: Livros Técnicos e<br />
Científicos S.A., 2000<br />
661