fundamentos de física iii fundamentos de física iii - Departamento de ...

Então, até como motivação para aprender a lei de Gauss, vamos antes disso
mostrar como resolver o problema da esfera uniformemente carregada pelos métodos
que já aprendemos. Depois vamos ver como a lei de Gauss simplifica tudo.
vem:
r − r = −r
senθ
cosφ
iˆ
− r senθ
senφ
ˆj
+ ( r − rcosθ
) kˆ.
P
P
EXEMPLO 5.5
Utilizando a Lei de Coulomb, encontre o campo elétrico em pontos internos e externos
a uma esfera uniformemente carregada com densidade volumétrica de carga ρ .
SOLUÇÃO: O procedimento é idêntico ao que adotamos anteriormente. Temos que:
1) escolher um referencial conveniente;
2) escolher um elemento de carga arbitrário dq;
3) desenhar o campo por ele gerado;
4) definir a posição r do elemento de carga dq , relativa ao referencial
escolhido;
5) definir a posição do ponto de observação;
6) definir a distância entre esses dois pontos, que é o que nos pede a lei de
Coulomb.
Se fizermos isso cuidadosamente, o problema estará essencialmente resolvido e se
resumirá a resolver integrais complicadas. Vamos escolher então o referencial. Como
essa escolha é arbitrária, podemos colocar o ponto de integração sobre o eixo z. A lei
de Coulomb nos fornece:
O módulo do vetor
r
dE
r r
1 dq
P
−
r r r r .
4π ε
0 |
−
| |
−
|
dq
=
2
P
P
(5.6)
r r − pode ser escrito em termos das cordenadas esféricas. A
r P
figura 5.6 ilustra o sistema de coordenadas utilizado. Como:
r
= rsenθ cosφiˆ
− rsenθsenφ
ˆj
+ rcosθ
kˆ.
e
r
= r kˆ
P
P
Figura 5.5: Escolha do referencial: coordenadas esféricas.
Assim, de acordo com a equação (5.6) o elemento de campo elétrico gerado por
d q
onde:
= ρdV
fica:
r
dE
2
1 ρr
dr senθ
dθ
dφ
2 2
4πε
[ r + r − 2r
rcosθ
]
= dq
3/2
0 p
P
r − r
P
r
(
2 2
1/2
= [ rp
+ r − 2 rP
r cosθ
]
2
e: dV = r dr senθ
dθ
dφ
P
r
−
),
é o elemento de volume em coordenadas esféricas. Podemos agora verificar
explicitamente que os campos nas direções x e y se anulam. Para isso, escreva a
componente do elemento dE
r
dq
na direção x e o integre sobre o volume da esfera:
96
97