fundamentos de física iii fundamentos de física iii - Departamento de ...

EXEMPLO 5.1
Considere uma espira metálica de raio R carregada com uma carga total Q
positiva, como mostra a figura 5.1. Calcule o campo elétrico no eixo que passa pelo
centro da espira.
r
dE
λ Rdθ
′
cosφ
kˆ.
2 2
4π ε ( R + z )
= dq
2
0
P
r
Tal que ( r λ 2π
Rdθ
′
E ) = =
cos kˆ
anel
z
P ∫ dEdq
φ .
2 2
4π ε
∫0
( R + z )
2
0
P
r
2 2
Como cosφ = z
P/
R + zP
vem: = λ R 2π
z
P ˆ
∫ dEdq
d
k.
2 2
4
∫ θ ′
π ε
0
( R + z )
3/2
0
P
Repare que o integrando não depende de θ′. Fica então, muito fácil:
r
E
λ2π
Rz
P ˆ Q z
P
) =
k =
2 2 3/2
2
4π ε ( R + z ) 4π
ε ( R + z
( anel
z
P
2
)
3/2
0
P
0
P
kˆ.
(5.1)
Note que o campo na origem z
P
= 0 é nulo, como seria de se esperar por simetria.
Outra vez, se
z P
>> R , devemos obter o campo de uma carga puntiforme. O
Figura 5.1: Espira carregada com uma carga Q.
SOLUÇÃO: Da figura, vemos que:
a) Para qualquer dq no aro, a distância que o localiza a partir do centro é
sempre r ′ = R .
r
b) A localização do ponto de observação é = z kˆ
.
c) A distância entre dq e P é
2 2
R + z P .
Simetria: Vemos que, pela simetria do problema, o campo gerado por qualquer
elemento de carga dq , terá um correspondente simétrico com relação à origem, cujo
campo terá uma componente horizontal idêntica e na vertical de mesmo módulo e
sentido. A carga total na espira Q = (2π R)
λ tal que dq = λRdθ.
P
P
parâmetro adimensional que caracteriza essa condição é:
Reescrevendo:
( R
2
z
+
P
2
z
P
x =
)
3/2
R
z P
=
z