fundamentos de física iii fundamentos de física iii - Departamento de ...

V ( r)
=
1
4πε
q
r
−
1
4πε
q
r
=
0 +
0 −
4
q r−
− r
πε r r
0
−
+
+
(10.7)
Como
obtendo:
r >> a , podemos desenvolver a raiz quadrada pelo teorema binomial,
⎡ 1 2a
cosθ ⎤ ⎡ a cosθ ⎤
r+
≅ r ⎢1
− ⎥ ≅ r ⎢1
−
⎣ 2 r ⎦ ⎣ r ⎥
⎦
⎡ 1 2a
cosθ ⎤ ⎡ a cosθ ⎤
r−
≅ r ⎢1
+ ⎥ ≅ r ⎢1
+
⎣ 2 r ⎦ ⎣ r ⎥
⎦
Então:
⎡ a cosθ
a cosθ
⎤ 2a
cosθ
r −
− r +
= r ⎢1 + −1+
= r = 2a
cosθ
⎣ r r ⎥
⎦ r
( r )( r ) = r
−
+
2
Figura 10.4: Potencial produzido por um dipolo elétrico
Levando esses valores em (10.5), obtemos:
Na figura 10.4, temos:
2 2 2
a) no triângulo P(+q)O : r+
= r + a − 2ar
cosθ
2 2 2
b) no triângulo P(-q)O : r
−
= r + a + 2ar
cosθ
de onde podemos tirar que:
r+
= r
⎣
r−
= r
⎣
1
2
2
⎡ 2 cos
⎢ 1 a a θ ⎤
+ −
2 ⎥ ⎦
r
1
2
2
⎡ 2 cos
⎢ 1 a a θ ⎤
+ +
2 ⎥ ⎦
No dipolo, o ponto P está situado a uma distância
desprezar os termos quadráticos dentro da raiz quadrada e escrever:
r
r
r
1
2
⎡ 2 cos
⎢ 1 a θ ⎤
r+
≅ r −
⎣ r ⎥ ⎦
1
2
⎡ 2 cos
⎢ 1 a θ ⎤
r−
≅ r +
⎣ r ⎥ ⎦
r >> a . Assim, podemos
em que
1 2a
qcosθ
1 p cosθ
V ( r)
=
= (10.8)
2
2
4πε
r 4πε
r
0
p = 2aq
é o momento de dipolo. O ângulo θ é o ângulo que o vetor
momento do dipolo p r faz com a direção do ponto onde se calcula o potencial (ver
figura 10.4).
A equação (10.8) mostra que o potencial elétrico do dipolo varia com o
inverso do quadrado da distância ao dipolo.
Como sabemos, o momento de dipolo é representado por um vetor com módulo
p = 2a q , direção da linha que une as duas cargas e sentido da carga negativa para
a positiva. Com ele, a equação (10.8) pode ser escrita vetorialmente como:
V ( r)
=
1
4πε
0
p
r r •
3
r
ATIVIDADE 10.3
0
Determine o potencial elétrico em um ponto P próximo a um dipolo elétrico de
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