fundamentos de física iii fundamentos de física iii - Departamento de ...

AULA 12 RELAÇÃO ENTRE CAMPO E POTENCIAL ELÉTRICO
r r r
V ( z)
= −∫
E • ds = −∫
z
σ r σ
( k • kˆ)
ds = − z
2ε
r0 0
0
2ε
0
OBJETIVOS
DETERMINAR A RELAÇÃO ENTRE POTENCIAL E CAMPO ELÉTRICO
12.1 OBTENDO O POTENCIAL A PARTIR DO CAMPO ELÉTRICO
A equação do potencial no ponto P(x,y,z) de um campo elétrico:
V
P → →
P = ∫ dV = − ∫ E • ds
A
(12.1)
em que A é o nível de potencial, nos dá a relação entre o potencial e o campo
elétrico no ponto P, na forma integral. Ela nos permite determinar o potencial no
ponto P quando conhecemos o campo elétrico neste ponto. Vejamos alguns
exemplos de sua aplicação.
EXEMPLO 12.1
Potencial de uma distribuição plana infinita de carga
Calcular o potencial elétrico gerado por uma distribuição plana infinita de carga
em um ponto P situado a uma distância z da distribuição.
Solução: Tomando um sistema de coordenadas com origem no plano de cargas e
eixo Oz com direção perpendicular a ele (os eixos Ox e Oy estão situados no
r
plano), temos que
P
= z e:
r p
r r
V ( z)
= −∫ E • ds
r0
ATIVIDADE 12.1
Calcule o potencial em um ponto P situado à distância y de um fio infinito com
distribuição uniforme de cargas.
EXEMPLO 12.2
Calcule o potencial no ponto P situado sobre o eixo de uma espira circular de raio
R, à distância z do centro dela, supondo a espira carregada positivamente com
uma distribuição linear uniforme de cargas.
Solução: O campo elétrico gerado por uma espira circular de raio R em um ponto
de seu eixo e à distância z de seu centro é:
Q z
E z)
=
4 πε
2 2
0
( R + z )
( 3/ 2
r
Então, com ds
= dz kˆ
, o potencial no ponto P, relativo ao infinito, é:
r
r
Q
z
V z
z
( z)
= −∫
E • ds = − ∫
( k • k dz = −
∞ 2 2 3/ 2
R + z
∫∞
2 2 3/
4πε
R + z
2
0
( )
4πε
0
( )
ou, com a mudança de variável:
2 2
2 2
u = R + z → du = 2 z dz z = ∞ → u = ∞ z = z → u = R + z
vem:
ˆ
ˆ)
kˆ
Q
z
dz
em que r 0
se refere à posição do nível de potencial. No caso do plano infinito, é
melhor escolhermos o nível zero de potencial coincidindo com o plano. Na
Q
V ( z)
= −
4πε
0
1
2
∫
2 2
R + z
∞
du
u
3/ 2
Q
= −
4πε
0
1
2
2
−
u
1/ 2
∞
2 2
R + z
Q
=
4πε
0
1
2 2
R + z
expressão acima, conhecemos o campo elétrico gerado pelo plano infinito. Ele é
uniforme e é dado por:
r
E =
σ
2ε
0
em que kˆ é o unitário do eixo Oz. Assim, o potencial em um ponto P(x,y,z) do
r
espaço será, com ds
= dskˆ
:
kˆ
ATIVIDADE 12.2
Calcule o potencial no ponto P situado sobre o eixo de uma espira circular de raio
R, à distância z do centro dela, supondo a espira carregada negativamente com
uma distribuição linear uniforme de cargas.
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