fundamentos de física iii fundamentos de física iii - Departamento de ...

EXEMPLO 12.3
POTENCIAL DE UMA ESFERA DIELÉTRICA CARREGADA
Calcular o potencial de uma esfera dielétrica maciça de raio R , carregada
uniformemente com carga total Q positiva em um ponto P dentro dela ( r P
< R ).
carga dentro volume da esfera de raio r , então:
q Q
= ⇒
3 3
r R
Então, a expressão do campo elétrico fica:
r
q =
R
3
3
Solução: Temos:
V ( r )
P
r P
r
= −∫ E •
∞
em que o nível de energia potencial foi escolhido situado no infinito. Para um ponto
P do campo, a distâncias
elétrico é:
r
E
r
ds
r
P
ao centro da esfera, tais que ∞
1 Q
ˆ
4πε 0
r
( R ≤ r < ∞)
= r
2
P
R ≤ r P
<
Para um ponto P interior à esfera ( 0 ≤ r P
≤ R ), o campo elétrico é dado por:
r 1 q
E = rˆ
0 ≤
2
4πε 0
r
( r R)
P
≤
em que q é a carga da esfera contida dentro do raio
P
, o campo
r ≤ r e rˆ é o unitário
dirigido do centro para a superfície da esfera porque a carga é positiva. Estas duas
expressões mostram que a carga elétrica contida em uma esfera de raio r P
não é a
mesma para ambos os casos. Assim, para calcular o potencial em relação a um
nível no infinito, vamos dividir o problema em dois: calculamos o potencial na
superfície da esfera e somamos (algebricamente) o resultado à diferença de
potencial entre o ponto P interior à esfera carregada e à superfície:
[ V ( R)
−V
( r )] ≡ V ( R)
− [ V ( R)
−V
( r )]
V ( rP
< R)
= V ( R)
−V
( ∞)
−
P
P
O potencial na superfície da esfera já nos é familiar:
V ( R)
=
1
4πε
A diferença de potencial entre a superfície da esfera e o ponto P é:
0
Q
R
R r r
V ( R)
−V
( r ) = −∫ E • ds
P
Portanto, precisamos calcular o campo elétrico no ponto P dentro da esfera. Como
a densidade volumétrica de cargas é constante, podemos escrever que, se q é
rp
r 1 Q
E = r rˆ
3
4πε 0
R
( r ≤ )
No deslocamento do ponto P ( r = ), até a superfície r = R temos que:
rP
R r r Q
V ( R)
−V
( rP
) = −∫
E • ds = −
r
3
p 4π
ε R
Mas, no deslocamento de R até r P
,
Logo:
r ˆ • ds
r = dr e, então:
0
r P
∫
R
rP
r
r (ˆ r • ds)
2
R r r Q R Q ⎛ R − r
V ( R)
−V
( r ) = −∫ • = − ∫ = −
⎜
P
E ds
r dr
r
3
3
P 4π ε
r
0
R P 4π
ε
0
R ⎝ 2
V ( r
P
V
< R)
= V ( R)
−
ou, efetuando as simplificações:
< R)
= V ( R)
− [ V ( R)
−V
( r )]=
( rP
P
1
Q
2
⎛ R − r
P
[ V ( R)
−V
( r )] = +
⎜
4 4
2 ⎟ P
3
πε
0
R π ε
0
R ⎠
V ( r
2
Q ⎛ 3 R − r
R)
=
⎜
8πε
0 ⎝ R
P
<
3
12.2 OBTENDO O CAMPO ELÉTRICO A PARTIR DO POTENCIAL
A equação (12.1)
V
P → →
P = ∫ dV = − ∫ E • ds
A
nos permite calcular o campo elétrico em um ponto P a partir do potencial neste
ponto. Para fazer isso, consideremos um sistema de coordenadas cartesianas (pode
ser também qualquer outro, mas, para simplificar, usaremos as coordenadas
cartesianas). Neste sistema, sejam:
r
ds
= dx iˆ + dy ˆj
+ dz kˆ
o vetor deslocamento no ponto P, e:
2
P
⎞
⎟
⎠
Q
⎝
2
2
P
⎞
⎞
⎟
⎠
(12.2)
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