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AULA 17 TRABALHO E ENERGIA DE DISTRIBUIÇÕES DE CARGA
Agora, vamos trazer uma terceira carga q
3
; isso vai requerer um trabalho q 3
V 12
( r 3
)
, onde V 12 é o potencial devido às cargas q 1 e q
2 no ponto r 3
, isto é:
OBJETIVO
CALCULAR A ENERGIA DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE CARGAS
W
3
=
1
4πε
0
⎛ q
⎜
1
q2
q3
+
r r r r
⎝
3
− 1
3
−
2
⎞
⎟
⎠
17.1 TRABALHO E ENERGIA DE UMA DISTRIBUIÇÃO DISCRETA DE
CARGAS
Para se construir uma dada distribuição de cargas elétricas, é necessário
realizar um trabalho contra as forças elétricas que atuam entre elas. Pela
conservação da energia, este trabalho deve ser armazenado na distribuição, e, de
acordo com o ponto de vista que adotarmos, há duas maneiras de explicar onde ele
é armazenado.
Se pensarmos na ação à distância, a energia é localizada nas cargas
elétricas da distribuição, sob a forma de energia potencial elétrica entre elas.
Entretanto, se adotarmos a idéia de campo elétrico, a energia fica armazenada no
campo. Na eletrostática, em que as cargas estão sempre em repouso, esses pontos
de vista são equivalentes, mas, na eletrodinâmica, onde não podemos pensar em
ação à distância, eles não o são.
Calculemos a energia armazenada em uma distribuição de cargas elétricas
puntiformes, através do trabalho realizado para trazer cada uma delas do infinito
até a sua posição na distribuição.
Generalizando, teremos que o trabalho necessário para reunir N cargas
puntiformes numa distribuição desejada será:
a restrição
N
1 qiq
j
W = ∑∑ r r
(17.1)
4 πε
0 i=1
j> i rj
− ri
j > i serve para evitar dupla contagem. Por exemplo, suponhamos 4
cargas. A expressão acima fica:
i = 1 j = 2
i = 1 j = 3
i = 2 j = 3
W
W
12
13
W
23
=
=
=
1
4 πε
1
4 πε
0
0
1
4 πε
0
q1q2
r r
−
2
3
1
1
q1q3
r r
−
q2q3
r r
−
Então: W = W12 + W13
+ W14
+ W23
3
2
Para trazer a primeira carga q
1 não precisamos realizar trabalho, pois não
há nenhuma outra carga ou campo elétrico na região da distribuição. Para trazer a
segunda carga q
2 , o trabalho necessário é:
W 2
= q 2
V 1
( r 2
).
Na expressão acima, V 1
( r 2
) é o potencial devido a q
1 no ponto r 2 , onde
estamos colocando a carga q
2 :
1 ⎛ ⎞
⎜
q1
W
⎟
2
= q2
r r
4πε
0 ⎝
2
− 1 ⎠
Note que W
12
= W21
e não entra duas vezes na conta. Por isso, o índice inferior do
segundo somatório diz que
j > i .
Na equação (17.1), se colocarmos como índice inferior do segundo somatório a
condição
j ≠ i , todos os termos serão computados, com duplicação deles pois
W
ij
= W ji
. Se fizermos isso, a equação (17.1) fica:
W
1
=
2
1
4πε
N
∑
0 i=1
q
∑
i
j≠i
q
j 1
r r =
−
2
j
i
n
∑
q V ( r )
i
i=1
i
(17.2)
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