fundamentos de física iii fundamentos de física iii - Departamento de ...

com eixo Oz perpendicular ao papel e saindo dele. Sem perda de generalidade,
podemos escolher o ponto P situado no plano yz; as coordenadas serão P(0,y,0).
Neste sistema, temos:
2
r P
= y r = x +
O elemento de carga dq produz um potencial dV no ponto P igual a:
dV ( y)
=
1
4πε
0
λ dx
y
2 2
x + y
em que r é a distância entre o elemento de carga dq e o ponto P. Então, como a
densidade linear λ é constante:
Portanto,
1 l dx
V ( y)
= λ
4πε
∫ − l 2
0 x + y
1 q ⎛
V = ln ⎜
4πε
l ⎜
0
2
⎝
2
2
2 2
y + l
2 2
y + l
+ l ⎞
⎟
− l ⎟
⎠
(11.3)
Observe que obter o potencial de um fio retilíneo carregado foi mais fácil do que
obter o campo elétrico que ele cria. Naturalmente isso se deve ao fato do potencial
elétrico ser uma grandeza escalar e não vetorial como o campo elétrico, que nos
obrigaria a incluir a direção e o sentido do campo elétrico e calculá-lo a partir de
suas componentes.
Exemplo 11.2
Calcule o potencial elétrico em um ponto P, a uma distância y , de um fio retilíneo
infinito carregado uniformemente com carga Q (figura 11.2).
Figura 11.2: Fio retilíneo infinito carregado.
Solução: No Exemplo 11.1 encontramos, para um fio finito de comprimento
2 l e
densidade linear de cargas λ , que o potencial relativo ao infinito é dado pela
equação (11.3).
Podemos considerar um fio infinito como um caso limite dessa expressão, quando
l >> y , e escrever:
1 ⎡ l
V ( y)
= λ ln⎢
4πε
o ⎢⎣
l
2
2
+ y
2
+ y
2
+ l ⎤ 1 ⎡
⎥ = λ ln⎢
− l ⎥ 4πε
⎦
o ⎢⎣
1+
y
1+
y
Desenvolvendo a raiz quadrada com o Teorema Binomial, temos:
que levada na expressão do potencial nos dá:
Logo:
2
2 2 1 ⎛ y ⎞
1+
y / l ≈ 1+
⎟
⎠
⎜
2 ⎝ l
2
⎛ y ⎞
2 +
2
1
⎜
2l
⎟
V ( y)
= λ ln
⎝ ⎠
2
4πε
o
y
2
2l
2
1 ⎡ ⎛ 4l
⎞⎤
V ( y)
= λ⎢ln
⎜ + 1
⎟
2 ⎥
4πε
o ⎣ ⎝ y ⎠⎦
Aplicando, agora, a esta expressão, o desenvolvimento do logaritmo:
obtemos, com
infinito, pois
α = 2l / y :
2
α
ln(1 + α ) = 1+
+K
2
1 ⎛ 2l
⎞
V ( y)
≈ λ ln⎜
⎟
2πε
o ⎝ y ⎠
2
2
/ l
/ l
2
2
+ 1⎤
⎥.
−1⎥⎦
Observe que tomando o fio infinito teremos o potencial V (y)
também
l → ∞ . Isso ocorre porque a própria distribuição de carga é infinita.
Alertamos nas aulas 9 e 10 sobre o cuidado com a escolha do nível de potencial
para distribuições infinitas de cargas. Esse exemplo nos mostra que não podemos
escolher o infinito como nosso nível de referência. Podemos escolher, por exemplo,
um ponto A qualquer, situado a uma distância
y do fio infinito, onde V = 0 .
o
o
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184