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7.2 APLICAÇÕES DA LEI DE GAUSS
Vejamos agora como aplicar a Lei de Gauss para diferentes situações que
envolvem uma distribuição de cargas com simetria.
EXEMPLO 7.1
Figura 7.2: Superfície de Gauss interior à esfera dielétrica de raio R.
Campo gerado por uma esfera metálica carregada
Considere agora uma esfera metálica de raio R com carga total Q . Calcule o campo
elétrico para pontos exteriores e interiores a essa esfera.
O fluxo do campo elétrico é:
A carga total dentro da superfície é:
2
∫ E
r
⋅ nda ˆ = E ⋅ 4π
RP
.
S
4 3
q = ρ ⋅ π R P
.
3
Note que, neste caso, o raio que delimita a quantidade de carga que vai contribuir,
COINCIDE com R
P . Ou seja, a carga que contribui para o fluxo é q ( RP
).
SOLUÇÃO:
A primeira questão a considerar antes de pensar em qualquer fórmula é o tipo
de material do qual estamos falando. No caso anterior tratava-se de uma esfera
dielétrica. Como sabemos, as cargas não têm mobilidade em dielétricos e portanto elas
podem estar uniformemente distribuídas nele. Agora estamos falando de uma
esfera condutora, isto significa imediatamente que para pontos internos a essa
esfera:
E = 0.
int.
Desenvolvendo a lei de Gauss fica:
ou:
q(
R
∫ E r
⋅ nda ˆ =
S ε
0
p
)
Como vimos anteriormente, em materiais condutores as cargas se concentram na
superfície dos mesmos; então não temos cargas no interior da esfera.
2 ρ 4 3
E ⋅ 4π
R P
= ⋅ π R P
.
ε 3
0
Finalmente:
ρ
E =
3ε
O mesmo resultado que obtivemos laboriosamente fazendo uma integral
tridimensional.
0
R P
.
Figura 7.3: Superfície de Gauss para uma esfera metálica.
E os pontos exteriores? Escolhemos como superfície de Gauss uma superfície esférica
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