fundamentos de física iii fundamentos de física iii - Departamento de ...

Uma partícula carregada positivamente penetra num campo magnético com uma
velocidade:
r
v = v iˆ
v ˆ
x y
j v
zk
ˆ
0
+
0
+
0
Supondo que B r seja constante e que esteja apontando na direção x de um
sistema de coordenadas, determine o movimento da partícula em função do
tempo, a partir de t=0. Faça um esboço da trajetória.
Solução: Ao penetrar no camo magnético, a partícula ficará sujeita a uma força
magnética
r r r
= q v × B
Portanto, equação de movimento da partícula será:
r
dv r r
m = qv × B
dt
r
Como: B = B iˆ
, vem:
r
iˆ
ˆj
k
r r
r
v × B = v v v = 0iˆ
+ v B ˆj
− v B kˆ
Então:
x
B
v
0
F B
z
0
0
dv
m
x = 0
dt
Integrando essa equação com a condição de que, em t = 0 ,
x
= v
x
, obtemos,
z
y
v
0
para a componente da velocidade da partícula ao longo do eixo Ox:
vx
= v0x
Integrando esta equação, obtemos a componente do vetor-posição da partícula
ao longo de Ox:
x = x + v
0
em que esta equação é obtida com a condição de que, em t = 0,
x = x0
. Então, o
movimento da partícula ao longo do eixo Ox é retilíneo e uniforme.
Para a componente do movimento segundo Oy, temos:
t
0 x
dv
y
m = + q vz
B
(27.3)
dt
e, para a componete do movimento segundo Oz:
(27.4)
dvz
m = −q v
y
B
dt
Essas duas equações não podem ser resolvidas separadamente pois nelas,
aparecem as duas componentes da velocidade. Para resolver esse sistema,
derivemos a equação 27-4 em relação ao tempo:
de onde tiramos:
2
d v
2
dt
z
dv
y
= −ω
dt
dv
dt
y
= −
1 d v
ω dt
2
z
2
⎛ qB ⎞
⎜ω
= ⎟
⎝ m ⎠
Levando a equação (27.3) nesta ultima e lembrando o valor de ω , obtemos:
ou:
q v
z
B
m
d v
dt
= −
1 d v
ω dt
2
z 2
+ ω v
2
z
2
z
2
= 0
Esta equação é a mesma de um oscilador harmônico simples, cuja solução é uma
função seno (ou co-seno) da componente da velocidade segundo o eixo Oz. Seja,
então a solução:
v z
= A sen ( ω t + φ)
em que A e φ são constantes a serem determinadas. Levando esta equação na
equação diferencial para
que, integrada, nos dá:
v
y
, obtemos:
dv
y
= ω v
y
= ω A sen ( ωt
+ φ)
dt
v y
= −C cos(
ω t + φ)
As constantes de integração dessas componentes da velocidade segundo os eixos
Oy e Oz são determinadas com os valores iniciais da posição e da velocidade da
carga elétrica.
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