fundamentos de física iii fundamentos de física iii - Departamento de ...

Assim,
2
σ R sinθ
′ dθ
′ dφ′
dV ( r P
) =
,
4πε
2 2
0 R + z − 2 R z cosθ
′
b) para pontos dentro da esfera z < R e tomamos o sinal negativo da raiz
quadrada, que fica:
2
( R − z)
= R − z
Integrando, temos:
Então:
V ( z)
=
σ
4πε
0
∫
2π
0
π
dφ
′
∫
0
2
R sinθ
′
dθ
′
2 2
R + z − 2 R z cosθ
′
Rσ
V ( z)
= [( R + z)
− ( R − z)]
2ε
z
0
A integral em φ′ pode ser efetuada imediatamente, uma vez que o integrando
independe de φ′ . A integral em θ ′ se faz com a mudança de variável:
ou:
Rσ
V ( z)
=
ε
0
( r ≤ R).
x = 2 R z cosθ ′ → dx = −2
R z sinθ
′ dθ
′
Atividade 11.3
o que dá:
σ
V ( z)
= R
4πε
0
− dx/2Rz
+ 2Rz
2
⋅ 2π
∫ =
2Rz
2 2 4ε
0
σR
=
2ε
z
0
R + z − x
σ
R
z
2 2
2 2
[ R + z + 2 R z − R + z − 2 R z ]
σR
2
2
= [ ( R + z)
− ( R − z)
].
2ε
z
0
2
−2
2 2
[ R + z − x] Rz
+ 2Rz
Determinar, a partir dos resultados do Exemplo 11.5, o potencial elétrico dentro e
fora de uma casca esférica condutora de raio R.
Atividade 11.4
Faça um esboço do gráfico do potencial elétrico para pontos dentro e fora
de uma casca esférica condutora carregada eletricamente com densidade
superficial de carga σ e raio R .
Neste ponto devemos ter cuidado ao extrair a raiz quadrada, cujo valor deve ser
um número real:
a) para pontos fora da esfera, z > R e tomamos o sinal positivo da raiz quadrada,
que fica:
Então:
ou:
2
( R − z)
= z − R
Rσ
V ( z)
= [( R + z)
− ( z − R)]
2ε
z
0
2
R σ
V ( z)
=
ε z
0
( r > R)
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