fundamentos de física iii fundamentos de física iii - Departamento de ...

i = 4
j = 3
W
34
1 ( −q)(
+ q)
=
4πε
a
0
n
1
W = ∑ qi
V ( ri
),
(17.5)
2
i=1
Portanto:
1 1 ⎡(
+ q)(
−q)
( + q)(
+ q)
( + q)(
−q)
⎤
W T
= ⎢ + + +
2 4πε
⎥
0 ⎣ a a 2 a ⎦
1 ⎡(
−q)(
+ q)
( −q)(
+ q)
( −q)(
−q)
⎤
+ ⎢ + + ⎥ +
4πε
0 ⎣ a a a 2 ⎦
1 ⎡(
+ q)(
+ q)
( + q)(
−q)
( + q)(
−q)
⎤
+ ⎢ + + ⎥ +
4πε
0 ⎣ a 2 a a ⎦
1
⎤
⎢
⎡ ( −q)(
+ q)
( −q)(
−q)
( −q)(
+
+ +
+ q)
4πε
⎥
0 ⎣ a a 2 a ⎦
Então:
se a distribuição de cargas for contínua, teremos:
dv sendo o volume infinitesimal e V o potencial.
ou
∫
1
W = ρ(
r)
V ( r)
dv
2
∫
(17.6)
As integrais para distribuições lineares e superficiais seriam
σ ( r ) V ( r)
dA , respectivamente.
EXEMPLO 17.2
∫ λ( L ) V ( L)
dL
W T
=
1
2
1
4
2
2
2
q ⎛ 4 ⎞ 1 q ⎛ 1 ⎞ 1 q
⎜ − 8⎟
= ⎜ − 2⎟
= −
a ⎝ 2 ⎠ 2 πε
0
a ⎝ 2 ⎠ 2 πε
0
πε
ATIVIDADE 17.2
0
a
⎛
⎜
2 −
⎝
2 ⎞
⎟
2
⎠
Encontre a energia de uma casca esférica uniformemente carregada com carga
total Q e raio R .
SOLUÇÃO: Vamos usar a definição:
Calcule agora o trabalho necessário para trazer do infinito a carga faltante no
sistema mostrado na figura 17.1.
1
W = σ V dA.
2
∫
Como sabemos, o potencial na superfície da esfera é constante e dado por:
1
V =
4 πε
0
Q
R
Então:
W
1
=
2
2
2
1 Q 1 Q ( σ 4π
R ) 1 Q
σ dS =
4πε
0
R
∫
=
8πε
0
R 8πε
0
R
Figura 17.1: Trazendo uma carga do infinito.
EXEMPLO 17.3
17.2 TRABALHO E ENERGIA DE UMA DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA DE
CARGAS
Retomemos a expressão que nos fornece a energia total de um sistema
discreto de cargas:
259
Encontre a energia de uma esfera uniformemente carregada com carga total q e
raio R .
Solução: Dividamos a esfera em cascas esféricas elementares de raio r e
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