fundamentos de física iii fundamentos de física iii - Departamento de ...

Analogamente, combinando a primeira e terceira expressões, assim como a
segunda e a terceira, obtemos:
∂ 2 V ∂Ex
∂ 2 V ∂E
z
= −
= −
(12.9)
∂z∂x
∂z
∂x∂z
∂x
∂ 2 V ∂E
y ∂ 2 V ∂Ez
= −
= −
(12.10)
∂z∂y
∂z
∂y∂z
∂y
Então, de (128), (12.9) e (12.10) vem:
∂E
∂E
x y ∂E
x
∂E
z
∂E
∂E
z y
=
=
=
(12.11)
∂y
∂x
∂z
∂x
∂y
∂z
que dão a condição para que o potencial V(x,y,z) seja univocamente definido em
cada ponto P do campo elétrico. Essa condição mostra também que as três
componentes do vetor campo elétrico não são independentes umas das outras, o
que permite reduzir um problema vetorial em um problema escalar.
SAIBA MAIS
A equação (12.12) pode ser escrita como:
r r r r
dV = ∇V
• ds = ∇V
cosθ ds
(12.14)
em que θ é o ângulo entre os dois vetores. Ela nos indica que a variação do
potencial com a posição no campo elétrico depende da direção considerada neste
campo. Essa variação é nula quando θ =90º, isto é, quando a direção considerada,
dada por
ds
r , for perpendicular ao gradiente de potencial; ela é máxima para θ
=0º, ou quando esta direção for paralela ao gradiente de potencial. Esse fato nos
indica que o gradiente é um vetor que nos define uma derivada direcional, cujo
valor depende da direção considerada em seu cálculo. A equação (12.13) nos diz
então que a direção de maior valor do campo elétrico é a mesma do gradiente de
potencial; além disso, o sentido do campo é oposto ao do gradiente de potencial.
A equação (12.5) nos permite dizer que o potencial pode ser considerado
como o produto escalar de dois vetores: o vetor
ds
r , e um outro vetor
∇ r V ,
denominado gradiente do potencial, cujas componentes cartesianas são as
derivadas parciais do potencial relativamente às coordenadas:
∂V
V
V iˆ
∂
∇ r
= +
∂x
∂y
ˆ
∂V
j + kˆ
∂z
Assim, de (12.5) vem:
r r
dV = ∇V
• ds
(12.12)
Então, podemos escrever uma relação vetorial em termos do gradiente do
potencial e o campo elétrico:
E r = −∇V
r
(12.13)
Esta equação nos mostra que o campo elétrico tem a mesma direção que o
gradiente de potencial, mas seu sentido é oposto ao do gradiente de
potencial.
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