fundamentos de física iii fundamentos de física iii - Departamento de ...

γ = R 2L
(37.2)
−γ
t
q = q′
cos( ω′
m
e t + φ0)
, (37.6)
e ω
0 como foi definido na equação 36.3:
ω = 1
0
LC
.
Esta equação para λ tem por solução duas raízes:
onde
−γ
t
i = −ω
q′
( ω′
m
e sen t + φ + 0) , (37.7)
0
φ
tg(
φ0)
−
( i + γ q )
0 0
= (37.8)
ω′
q
0
λ
γ
γ
ω
2 2
= − ± −
0
, (37.3)
e
e, portanto, a solução final deve ser uma combinação linear do tipo
t
t
A e
λ 1 λ2
1
+ A2e
.
Quando o valor da resistência no circuito não é muito grande temos que γ
é menor que ω
0 , de forma que as raízes têm uma parte imaginária. Lembrando que
2
2 ⎛ i0
+ γ q0
⎞
0
+ ⎜ ⎟
⎠
q′
m
= q
. (37.9)
⎝ ω′
as funções seno e cosseno podem ser escritas em termos de funções exponenciais
com argumento imaginário e, sem fornecer maiores detalhes sobre os cálculos
envolvidos, encontramos a carga no capacitor e a corrente no circuito:
−γ t i0
+ γ q0
− γ t
q = q0 e cos( ω′
t)
+ e sen(
ω′
t)
,
ω´
i = −ω
q e
i
sen(
ω′
t + φ)
+ ω
+ γ q
ω′
cos( ω′
t +
− γ t
0 0 − γ t
0 0
0
φ
e
) ,
Como podemos ver, a carga oscila harmonicamente, ou seja, é
descrita por uma função cosseno, cuja fase cresce linearmente com o
tempo. Entretanto, a função harmônica é multiplicada por uma função
exponencial, decrescente, cujo expoente depende do valor da resistência
presente no circuito. Isto representa o amortecimento da oscilação.
A grandeza
q′
m não é exatamente a amplitude inicial do movimento: quando
escolhemos o instante t = 0 de forma que a corrente inicial no circuito seja nula e a
carga inicial no capacitor seja máxima, e igual a
q
m , encontramos que:
onde temos uma nova freqüência angular, ω ´ , menor que ω
0 :
ω'
2 2
= ω0
− γ . (37.4)
i
0
= 0 → q m
′ = q m
cos( φ)
.
Neste caso a cada período, T ′ = 2π ω′
, a corrente será nula e a carga será:
Além disto, para simplificar um pouco a expressão para a corrente,
introduzimos uma fase adicional, φ , dada por:
γ
tg ( φ)
= . (37.5)
ω′
Dessa forma encontramos:
−nγ
T′
′
q ( nT ) = e q . (37.10)
Este resultado sugere que a carga no capacitor oscila
harmonicamente, mas com uma amplitude que decresce
exponencialmente.
m
555
556