fundamentos de física iii fundamentos de física iii - Departamento de ...

A equação (29.1) ou (29.2) encerra algumas propriedades importantes do
campo magnético, que devemos ter sempre em mente:
a) a indução magnética em um ponto P do espaço, devida à corrente
elétrica no fio, varia com o inverso do quadrado da
distância do ponto ao fio;
b) a indução magnética em um ponto P do espaço depende do meio em que
o fio está; quando este meio não é o vácuo, a constante µ
0 muda de
valor;
c) a indução magnética é um vetor perpendicular ao plano que contém os
vetores dl
r r r r
e R = ( −
') = r uˆ
. Para determinar o sentido do vetor B r ,
P
temos que usar a regra da mão direita do produto vetorial.
R
Aqui também temos algumas observações importantes a considerar:
a) a integral nas equações (29.4) ou (29.5) é uma integral de linha; ela
é portanto feita sobre todo o comprimento do fio. Para isso, temos
que escrever
dl
r (na equação 29.4) ou dl (na equação 29.5) em função
de um parâmetro que varie com a forma do fio e seja fácil para a
integração;
r r
b) temos que escrever também os vetores ( − r' ) e seu módulo (na
equação 29.4) ou os unitários
ûT
e
r P
û
R
em termos desse parâmetro.
Antes de continuar, note bem a diferença entre as equações
(29.1) e (29.3) e entre as equações (29.4) e (29.5). Preste
r r
atenção nos vetores unitários e nos expoentes de − ' que
aparecem nas equações; elas são as mesmas, apenas escritas de
forma diferente!
r P
A equação (29.2) pode ser escrita de uma forma mais clara, usando o fato
de que o elemento
dl
r do fio pode ser substituído por:
r
d l =
dl uˆT
,
EXEMPLO 29.1
Um fio retilíneo de comprimento L é percorrido por uma corrente i . Qual a
indução magnética produzida por esse fio num ponto P situado a uma altura y do
fio? Considere que P está sobre uma perpendicular que passa pelo meio do fio.
em que
equação fica:
ûT
é um vetor unitário tangente ao fio, no ponto onde
dl
r está. Assim, a
r
dB
µ
0i
uˆ
ˆ
T
× uR
r r dl.
4π
|
−
'|
= 2
P
(29.3)
Dessa forma, a variação do campo magnético com o inverso do quadrado da
distância fica mais explícita.
A indução magnética no ponto P, devida a todo o comprimento do fio
é obtida usando o Princípio de Superposição, somando a contribuição de todos os
elementos dl do fio:
ou:
r
B
∫
r µ i
=
∫
r r r
dl × (
−
')
r
P r
|
−
' |
0
= dB
3
4π
P
r r µ
0i
uˆ
T
× uˆ
R
B = ∫ dB = ∫ r r dl
2
4π
|
−
'|
P
(29.4)
(29.5)
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Figura 29.3: Indução magnética de fio retilíneo com corrente.
Solução: Vamos escolher a origem do referencial coincidente com a metade do
fio, como mostra a Figura 29.3, e o plano que contém P e fio como sendo o plano
xy. A escolha da origem de coordenadas é muito importante para simplificar o
problema, como veremos nesse exemplo.
De acordo com a lei de Biot-Savart:
r
r
r r
µ
0i
dl × (
−
')
dB = r
P r 3
4π
|
−
'|
P
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